algebra 4to año.inec. logaritmos limite derivadas

Cuarto Año

Álgebra 1

INDICE

Inecuaciones …………………………. 03 Valor Absoluto ………………………. 18 Logaritmos …………………………… 23 Relaciones y Funciones ……………… 34 Límites ………………………………. 52 Derivadas ……………………………. 67 Misceláneas ………………………….. 80

Cuarto Año

Álgebra 2

Cuarto Año

TEMA: INECUACIONES

Para entender apropiadamente la teoría de inecuaciones, es necesario estudiar previamente el tema de desigualdades. A continuación tocaremos algunos conceptos en torno a las desigualdades.

DESIGUALDADESEs aquella comparación que se establece entre dos números reales mediante los símbolos de desigualdad: < , > , , . Luego, si a y b son números reales, entonces a < b, a > b , a b y a b se llaman desigualdades, y se leen:

a < b : “a menor que b” a b : “a menor o igual que b”a > b : “a mayor que b” a b : “a mayor o igual que b”

El siguiente acápite es de mucha importancia para las desigualdades e inecuaciones

Recta Numérica Real:

Es la forma geométrica que permite ordenas los números reales. Existe una correspondencia bunivoca entre R y la recta.

0 a b

- +

21

41

810 1

DEFINICIONES:Sea a R.

1) “a” es positivo a > 02) “a” es negativo b < 03) a > b a – b > 0 4) a < b a – b < 0

Ejm: -8 > -10 -8 – (-10) = 2 > 02 < 12 2 – 12 = -10 < 0

5) a b a > b a = b6) a x b x a x b

Álgebra 3

Cuarto Año

: Intersección () : Unión ()

INTERVALO: Es un subconjunto de los números reales que generalmente poseen extremos.

Intervalo Extrem oSuperior

Cotas Superiores

CotasInferiores

Extrem o Inferior

I R

CLASIFICACIÓN: INTERVALO

ACOTADO NO ACOTADO

ABIERTO

CERRADO

SEMIABIERTO

1) ACOTADOS O FINITOS

a. Intervalo Abierto

INFIMO SUPREMO

a b

INFIMO: Es la mayor cota inferior. Si el ínfimo pertenece al intervalo, se llama MÍNIMO.

SUPREMO: Es la menor cota superior. Si el supremo pertenece al intervalo, se le llama MÁXIMO.

b. Intervalo Cerrado

Álgebra 4

Cuarto Año

MINIMO MAXIMO

a b

c

cb

ca

c. Intervalo Semiabierto:

MINIMO

a b

MAXIMO

a b

SUPREMO

INFIMO

2) NO ACOTADOS O INFINITOS

a

A

B

b

C

OPERACIONES CON DESIGUALDADES:

Sean:

1) A = -3 ; 2 ; B = -1 ; 6

Álgebra 5

Cuarto Año

B

-3 -1 2 6

A B = -3 ; 6A B = -1 ; 2A – B = -3 ; 1B – A = 2 ; 6A’ = CA = - ; -3 2 ; +B’ = CB = - ; -3 6 ; +

2) A = { x R / x 2 x 3 }B = { x R / -2 x 3 }

3 -2

B A A

A B = RA B = {-2; 3}

INECUACIONES:

Es una desigualdad en la que hay una o mas cantidades desconocidas (incógnitas) y que solo se verifica para determinados valores de las incógnitas, o tal vez nunca se verifica.

Conjunto Solución (C.S.)Ejemplos:

1) 2x + 1 > 7 x > 3 C.S. = 3 ; +

2) Sen (x + 1) + 2 > 4 C.S. = 3) x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 + … + (x + 100)2 + 3 > 0 C.S. = R

Punto Crítico En la inecuación:

Álgebra 6

Cuarto Año

P(x) : Polinomios Los puntos críticos son las raíces de P(x), es decir:

Ejemplo:

P(x) = (x + 3)(x + 4)(x – 2) < 0 Puntos Críticos: -3 ; -4 ; 2

MÉTODO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS

En la inecuación polinomial

a(x – x1)(x – x2) …… (x – xn) > 0

1) Garantizar que coeficiente principal = a > 0; en caso contrario, multiplicar por -1.2) Hallamos los puntos críticos y los ubicamos ordenados en la recta.

+ +

x n x 3 x 2 x 1......

Ejemplos:Resolver las sgtes. inecuaciones

1) x2 – 5x + 6 0

(x – 2)(x – 3) 0

Puntos críticos: 2 ; 3

+ +

3 2

Álgebra 7

Cuarto Año

C.S. = 2; 3

2) (2 – x)(x + 5) < 0

Multiplicamos por (-1): (x – 2)(x + 5) > 0

+ +

2 -5

C.S. = - ; -5 2 ; +

INECUACIONES POLINOMIALES

1) INECUACION LINEAL

RESOLUCIÓN

Ejemplo:a2x + b < b2x +a

Si: 0< a < b a – b < 0

Solución:

2) INECUACION CUADRATICA

Álgebra 8

+ +

4 9

Cuarto Año

Resolución:

1)

Donde: : discriminante = b2 – 4ac

Ejemplos:

1. –4x2 – 4x + 1 < 0 = 0 (2x – 1)2 < 0 C.S. =

2. (2x – 3)2 > 0 C.S. = R 3. (-2x + 4)2 0 C.S. = R

4. (-5x + 20)2 0 C.S. = {4}

2)

Ejemplos:

1) x2 – 13x + 36 < 0 (x – 4)(x – 9) < 0 C.S. = 4 ; 9 x -9 x -4

2) x2 – 2x – 2 0 = 12 > 0. Hallamos los puntos críticos: x2 – 2x – 2 = 0

C.S. = - ; 1 1 + ; +

3)

a) Teorema del Trinomio PositivoSea: P(x) = ax2 + bx + c ; a 0

Álgebra 9

+ +

3131

+

Cuarto Año

< 0 a > 0 P(x) > 0 x R

b) Teorema del Trinomio Negativo

< 0 a < 0 P(x) < 0 x R

c) 0 a > 0 P(x) 0 x R

d) 0 a < 0 P(x) 0 x R

INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR

Teoremas:

Ejemplos:

1) (x + 1)66173 > 0 (x + 1) > 0 x > -1

C.S. = -1 ; +

2) (x + 2)777. (x + 1)111 < 0(X + 2)(X + 1) < 0

C.S. = -2 ; -1

3) (x2 + x + 2)30. (x + 1)23. (x – 3)5 > 0 < 0 Coef. Principal C.P. = 1 (x + 1)(x – 3) > 0

C.S. = - ; -1 3 ; +

4) (x4 + x2 + x8 + 3)66. (x2 + x + 1) . (x + 1) . (x – 2) < 0

Álgebra 10

++

Cuarto Año

< 0 C.P. = 1

C.S. = -1 ; 2

5) (x + 1)30. (x – 2)7. (x – 3) 0+x + 1 = x 2 ; 3x = -1

C.S. = 2 ; 3 {-1}INECUACION FRACCIONARIA

Resolución:

1) : Q(x) 0

2) 0.Q2(X)

Ejemplos: Resolver las siguientes inecuaciones:

1)

. C.V.A. : x -3

.

(x – 2)(x + 3) 0C.S.* = -3 ; 2

. C.S. = C.V.A C.S.* C.S. = -3 ; 2

2)

Álgebra 11

Cuarto Año

. x -3+ +

-3 -1 2 .

C.S. = -3 ; -1 2 , +

3)

. x 4 ; x 2

.

INECUACION IRRACIONAL

Forma General: Expresión algebraica irracional

Ejemplo:

RESOLUCIÓN:

1) Hallamos su C.V.A.Ejm:

C.V.A. = 2 ; - >

2) Transformar la inecuación en una polinomial.

TEOREMAS:

Álgebra 12

Cuarto Año

Ejm: Resolver:

+ +

3 1 4

C.S. = -3 ; 1 4 ; +

Ejemplo: Resolver:

Solución:

x - ; 4 0 ;

C.V.A =

Operamos:24x2 – 14x + 1 > 0(12x – 1) (2x – 1) > 0

……….. ()

C.S. = C.V.A. () =

Álgebra 13

Cuarto Año

PROBLEMAS PARA LA CLASE

* Sean: A = {x R / -3 < x 12}

B = {x R / -7 < x 9} Halle las sgtes. operaciones:

01) A B :

02) A B :

03) B – A :

04) A’ , B’ :

05) (A B) ’ :

06) (B – A) ’

07) 3x2 – x – 4 < 0

* Resolver las sgtes. Inecuaciones:

08) 3x2 – 4x + 1 5

09)

10)

11) Hallar el menor número “M” tal que x R, cumpla: 1 + 6x – x2 M

12) Si y

. Hallar m . n

13) Si . A qué

intervalo pertenece:

14)

15) x4 – 13x2 + 36 < 0

16)

17)

18) (x2 + 2x – 3)(3x – 4 – x2) 0

19)

20)

Álgebra 14

Cuarto Año

PROBLEMAS PARA LA CASA

* Resolver:

01)

a) - ; 1 1 ; 2b) - ; 0 2 ; +

c) - ; 1 ; +d) 1 ; 3 4 ; +

e) - ; 2 ; +

02)

a) - ; 1 3 ; +

b) - ; 3 ; +c) - ; 3/8 2 ; +

d) - ; e) N.A.

03)

a) - ; -1 0 ; +b) - ; 1 2 ; 5c) - ; 1 2 ; 3d) - ; 1 2 ; 5e) N.A.

04)

a) 3 ; 4b) 5 ; 6 3 ; 7c) 6 ; +d) - ; 0 4 ; 10e) N.A.

05) Hallar “A + B”, si x -1 ; 3 y

a) 3 b) -2

c) d)

e)

06) Resolver:

5x + 1 < 6x + 3 < 7x + 9

a) 3 ; 4 b) -2 ; +c) -5 ; + d) N.A.

07) ¿Qué valores de x mayores que 1/3 satisfacen la

inecuación: ?

a) {x R / 1/3 < x < 3}b) {x R / 1 < x < 4}c) {x R / 2 < x < 4}d) {x R / -1 < x < 3}e) N.A.

08) La desigualdad:

Álgebra 15

Cuarto Año

se satisface cuando:

a) x > y b) x>0, y>0c) x = y d) y > xe) N.A.

09) Resolver:

x2 + 7x + 12 > 0

a) - ; -8b) - ; 1c) - ; -4 -3 +d) - ; 2 3 ; +e) N.A.

10) Resolver:

a) x < – 3 b) x < -3/2c) x = -3/2 d) x = 5e ) No tiene solución

11) Resolver:

x4 + 96x – 144 < 6x3 + 7x2

a) -4 ; 3 3 ; 4b) -4 ; 4 ; x 3c) 3 ; 4 d) -3 ; 4e) N.A.

12) Al resolver la siguiente inecuación: x2 – 10x + 33 < 0, podemos afirmar que:

a) No existe solución real.b) x < -33 / 10c) x > -33 / 10d) x > 0e) x < 0

13) Resolver:

a) 3 ; 4 b) 4 ; +c) -2 ; 4 d) 2 ; 4e) 0 ; +

14) Hallar el menor número entero

tal que:

a) -4 b) -3c) 2 d) -2e) 1

15) Resolver:

a) -1/2 ; 7 b) -1 ; 5c) -3/2 ; 4 d) 0 ; 4e) 1 ; 5

Álgebra 16

Cuarto Año

TEMA: VALOR ABSOLUTO

Definición: ejemplo:

Propiedades:

1) |x| 0 ; x R

2) |xy| = |x| |y| x , y R

3) ; y 0

4) |x|2 = x2

5) |x| = |-x|

6)

ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Ejemplo:

1) |2x + 1| = 5x + 3

2) |2x2 – 2x + 5| = |x2 + 2|

Álgebra 17

C.S.CCxCx

07x2x303x2x2x5x2x22x5x2x2

22

2222

Cuarto Año

3) |x – 3| + |x + 1| = |x – 2|

-1 2 3

I II III IV

En I: x – 3 + x + 1 = x – 2x > 3 x = 0

No hay solución

En II: -x + 3 +x + 1 = x – 2 2< x < 3 6 = x

No hay solución

En III: -x + 3 + x +1 = -x + 2 -1 < x < 2 x = -2

No cumple

En IV: -x + 3 – x – 1 = -x + 20 = x

No cumple.

C.S. =

Álgebra 18

Cuarto Año

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Ejemplos: Resolver:

1) |x + 2| > 2x – 3

Solución:

x + 2 < -(2x – 3) x + 2 > x – 3 3x < 1 5 > x

x < 1/3 x < 5 C.S. = - ; 5

2) |3x – 1| < 5x – 3

Solución:

5x – 3 > 0 (-x + 3 < 3x – 1 < 5x – 3) x > 3/5 -5x + 3 < 3x – 1 3x – 1 < 5x – 3

-8x < -4 -2x < -2 x > 1/2 x > 1

C.S. = 1 ; +

Ejemplo: |x + 3| < |3x – 4|

|x + 3|2 < |3x – 4|2

(x + 3)2 < (3x – 4)2

(x + 3)2 – (3x – 4)2 < 0(4x – 1)(-2x + 7) < 0(4x – 1)(2x – 7) > 0

Álgebra 19

Cuarto Año


* Resolver los siguientes casos: (Hallar el conjunto solución)

01) |x – 2| = 5

Rpta.:

02) |3x – 5| = -2

Rpta.:

03) |3x – 1| = x

Rpta.:

04) |x – 8| = 3

Rpta.:

05) |2x – 3| = 7

Rpta.:

06) |3x – 5| = 2x

Rpta.:

07) |6x – 8| = 2

Rpta.:

08) |2x – 9| = x + 2

Rpta.:

09) |x – 8| = 2xRpta.:

10) |x2 – 5x| = |6|

Rpta.:

11)

Rpta.:

12)

Rpta.:

13) |2x + 1| > 2

Rpta.:

14) |2x – 5| > 3

Rpta.:

15) |x2 – x + 4| < 6

Rpta.:

16) |2x2 + x – 5| |x2 – 2x – 9|

Rpta.:

17) |3x – 1| < |x + 2|

Rpta.:

18)

Rpta.:

19) |x – 4| > -3

Rpta.:

20) |2x – 6| – |x – 2| |2x – 4| – |x – 3|

Rpta.:

Álgebra 20

Cuarto Año


Hallar el conjunto solución:

01) |x – 5| = 3

a) {8 ; 2} b) {8 ; 0} c) {6 ; 1}d) {3 ; 4} e) N.A.

02) |2x – 3| = 5a) {-4 ; -1} b) {4 ; -1} c) {3 ; -1}d) {5 ; -2} e) N.A.

03) |5x – 6| = -2

a) {4/5 ; 8/5} b) {4 ; 8/5} c) {4 ; 9}d) {4/3 ; 8/3} e) N.A.

04) |2x – 7| = 13

a) {10 ; 3} b) {-3 ; 5} c) {10 ; -3}d) {-3 ; 9} e) N.A.

05) |6x – 2| = 2x

a) {5 ; 9} b) {1 ; 4} c) {1/8 ; 3/4} d) {1/2 ; 1/4} e) {2 ; 4}

06) |7x – 9| = |x|

a) {3/2 ; 9/8} b) {3 ; 8} c) {3/2 ; 3}d) {6 ; 8} e) N.A.

07) |3x – 1| < 4a) x -1 ; 2 b) x -1 ; 5/3c) x -2 ; 9 d) x -1 ; 5e) N.A.

08) |x + 3| 5

a) x -8 ; 2 b) x -3 ; 5c) x -3 ; 6 d) x -9 ; 2e) N.A.

09) |x + 5| < 2x – 3

a) x 8 ; + b) x -2 ; 8c) x 4 ; + d) x 5 ; 9e) N.A.

10) |x2 – 4x| < 8

a) -1 – ; -1 +

b) -2 – ; -2 + c) -3 ; 4d) -3 – ; -3 + e) N.A.

11) |2x + 5| > 3a) x -1 ; 2 2 ; 4b) x -2 ; 9 - ; 2c) x -1 ; - ; -4d) x 1 ; 9 9 ; 2e) N.A.

12) |2x2 – 3| 4x + 3 a) x 0 ; 3 b) x 0 ; 4c) x -2 ; 3 d) x -2 ; 4e) N.A.

13)a) x -1 ; 1/12 1/12 ; 3b) x - ; 9 9 ; c) x -2 ; 9 9 ; 12d) x - ; 12 12 ; +e) x - ; 1/12 1/12 ; +

14) |x2 – |x – 2|| = x – 1 a) C.S. = {1 ; -1 ; 3}b) C.S. = {2 ; -3 ; 1}c) C.S. = {1 ; -2 ; 9}d) C.S. = {1 ; -1 ; 4}e) N.A.

15) |3 – |x|| = 2a) C.S. = {-2 ; 1 ; 3 ; 0}b) C.S. = {-3 ; 2 ; 1}c) C.S. = {-5 ; -1 ; 1 ; 5}d) C.S. = {-2 ; 1 ; 5 ; 9}e) N.A.

Álgebra 21

Cuarto Año

TEMA: LOGARITMOS

Los logaritmos son, en realidad, una operación inversa. Sabemos que la operación inversa de la suma, es la resta; de la multiplicación, es la división. De la misma forma, la operación inversa de la potenciación es la logaritmación. Los logaritmos surgen por la necesidad de despejar incógnitas que se encuentran como exponentes. Por ejemplo: 10x = 0,30103.La teoría de logaritmos es una herramienta fundamental para resolver ecuaciones d la forma: ax = b.

LOGARITMACION EN RDada la siguiente expresión: (potenciación)

La operación inversa, ósea:

Recibe el nombre de logaritmación.

Ejemplos: 32 = 9 Log3 9 = 2 33 = 27 Log3 27 = 3 34 = 81 Log3 81 = 4 35 = 243 Log3 243 = 5

Podemos decir que siendo 3 la base en todos los caso, el logaritmo de 9 es 2, puesto que 2 es el exponente a que se debe elevar la base 3 para obtener el número 9.Análogamente, en base 3, el logaritmo de 27 es 3, el logaritmo de 81 es 4 y el logaritmo de 243 es 5.

LOGARTIMO DE UN NÚMERO REAL Definición: El logaritmo de un número real y positivo real y positivo N, en l

base b(b > 0 b 1) es el exponente x al cual hay que elevar la base para obtener el número N, es decir:

Donde: x : resultado (logaritmo)b : base del logaritmo , b > 0 b 1N : número real y positivo

En general, si se cumple que ab = c, tendremos que b = LogaC. Es decir, que la operación de extraer logaritmos, también llamada logaritmación, es una operación inversa de la potenciación, ya que mientras en la potenciación se trataba de

Álgebra 22

Cuarto Año

encontrar un número llamado potencia, conocidas la base y el exponente, en la logaritmación se trata de hallar el exponente, conocidas la base y la potencia.

De lo expuesto anteriormente, deducimos que cualquier número positivo diferente de la unidad puede utilizarse como base del sistema de logaritmos. Por consiguiente el número de logaritmos es infinito.

Pero en la práctica, son dos los sistemas de logaritmos más utilizados: el sistema de logaritmos vulgares, cuya base es 10. Este sistema fue descubierto por el matemático ingles Henry Briggs. El otro sistema es el sistema de logaritmos naturales o neperianos, descubierto por el matemático escocés John Neper, cuya base es el número irracional e = 2,7182……

NOTAS:

* Cuando se emplean logaritmos vulgares se acostumbra omitir el subíndice 10. Así por ejemplo, tendremos que si:

10° = 1, escribiremos log1 = 0101 = 10, escribiremos Log10 = 1 <> Log1010 = 1102 = 100, escribiremos Log100 = 2 <> Log10100 = 2103 = 1000, “ Log1000 = 3 <> Log101000 = 3106 = 1000000, “ Log1000000 = 6 <> Log101000000 = 6

* Cuando se emplean logaritmos neperianos, la notación será la siguiente:

Ejemplos: Ln e = logee = 1 Ln 8 = loge8 Ln x = logex

Ejercicios:

1. Calcule “x” en: Ln x = 2

Solución: x = e2

2. Calcule “x” en: Log2(x2 + 7x) = 3

Solución: x2 + 7x = 23

x2 + 7x – 8 = 0

Álgebra 23

Se lee: Logaritmo neperiano del número N, se sobreentiende que la base es el número irracional e.

Cuarto Año

x 8x -1(x + 8) (x – 1) = 0x = -8 x = 1

IDENTIDAD FUNDAMENTAL DE LOS LOGARITMOS

De la definición de logaritmos, se desprende que:

N > 0 ; b > 0 b 1

Ejemplos:

6log6

3 = 3 7log

75 = 5

eln4 = 4

Ejercicio:

Efectuar: 4log2

5 + 27log3

4

Solución: (22)log

25 + (33)log

34 = (2log

25)2 + (3log

34)3

= (5)2 + (4)3 = 84

A continuación veremos las propiedades de los logaritmos que cumplen para cualquier sistema de logaritmos.

PROPIEDADES GENERALES DE LOS LOGARITMOS

1)

Ejemplos:

. Log51 = 0 ; log81 = 0 , Ln1 = 0

. Log44 = 1 ; lne = 1 , Ln(e + 3)(e + 3) = 1

2)

Ejemplos:

. log335 = log35 + log37

. log24 = log23 + log22 = log224

3)

Ejemplos:

Álgebra 24

Cuarto Año

. log2 = log25 – log23

. log25 = log210 – log22

4)

Ejemplos:

. log381 = log334 = 4log33 = 4

. log2512 = log229 = 9log22 = 9

. log5 = log551/3 = log55 =

NOTA:Por lo tanto, deducimos que:

logbAn

Ejemplos:

.

.

5) n 2 ; n Z+

Ejemplos:

.

.

6) ; n Z+

COROLARIO: ; m, n Z+

Ejemplos:

.

.

Álgebra 25

Cuarto Año

.

7) Propiedad del Cambio de Base

; x > 0 x 1

Ejemplos:

.

8)

COROLARIO: A > 0 A 1B > 0 B 1

Ejemplos:. log27 . log52 . log35 . log73 = log77 = 1

. log38 . log85 . log59 = log39 = Z

. log53 =

. log27 =

9)

Ejemplos:

. 3log25 = 5log23 . 6log45 = 5log45

COLOGARITMO.Se define el cologaritmo de un número N positivo en una base dada “b” positiva y diferente de la unidad, como el logaritmo de la inversa de dicho número en esa misma base.

Ejemplos:

Álgebra 26

Cuarto Año

.

.

ANTILOGARITMOSEl antilogaritmo de un número real en una base dada es igual al número que resulta de elevar la base al número.

Ejemplos:

. antilog23 = 23 = 8

. antilog25 = 25 = 32

Propiedades

1) antilogb (logbN) = N ; N > 0 b > 0 b 12) logb(antilogbx) = x ; x R b > 0 b 1

Ejemplos:

. antilog5(log5log216) = log216 = 4

. log3(antilog3400) = 400

FUNCION LOGARITMOGraficar f(x) = log2xTabulando para algunos valores:

Uniendo estos puntos, tenemos:

Álgebra 27

Cuarto Año

3

2

1

-1

-2

1 2 4 8 x

y

21

41

xlogy 2

Graficar: (x) = Tabulando:

2

-1

-2

-3

4 8 x

y

21

4

1

4

1

xlogy 2/1

Definición:

Una función logaritmo se define como el conjunto de pares ordenados (x ; y) / y = logbX, donde: x > 0 b > 0 b 1

Dom = R+ Rom = R

Es decir:f = { (x ; y) / f(x) = logbX ; x > 0 b 1}

Veamos dos casos:

Álgebra 28

Cuarto Año

A) Primer casof(x) = logbx ; x > 0 b > 1

(1;0) x 1 x2 x

y

1b xlogy

2b xlogy xlogy b

Del grafico:

B) Segundo casof(x) = logbx ; x > 0 0 < b < 1

(1;0)

x 1 x2x

y

1b xlogy

2b xlogy

xlogy b

Del grafico:

DESIGUALDADES LOGARITMICAS

Si:

Si:Ejemplos:. log2x > log25 x > 5

.

Además:* Si: b > 1, entonces se cumple:

.

.

Álgebra 29

Cuarto Año

Ejemplos:Log2x > 2 x > 22 x > 4Log3x < 4 x < 0 < x < 34

* Si: 0 < b < 1, entonces se cumple:

.

.

Ejemplos:

Álgebra 30

Cuarto Año


Calcular “x” en las siguientes ecuaciones:

01) Log17x = 1Rpta.:

02)

Rpta.:

03)

Rpta.:

04)

Rpta.:

05)

Rpta.:

06)

Rpta.:

07)Rpta.:

08)

Rpta.:

09)

Rpta.:

10)

Rpta.:

11)

Rpta.:

12)

Rpta.:

13)

Rpta.:

14)

Rpta.:

15)

Rpta.:

16)

Rpta.:

17) Resolver: Log3(7 – x) > 0Rpta.:

18) Resolver: Log16(log4(2 – x2)) < 0Rpta.:

19) Resolver: 24x – 5(22x) + 6 = 0 Rpta.:

20) Resolver:

Rpta.:

Álgebra 31

Cuarto Año


Calcular “x” en las siguientes ecuaciones:

01) Logx125 = 3a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

02) Log2(x – 3) = 3a) 9 b) 11 c) 10d) 8 e) 1

03)a) 4 b) 5 c) 6d) 9 e) N.A.

04) Log5(x2 – 2x + 1)a) 1 b) 2 c) 4d) 3 e) 5

05) Log2(x2 – 4x + 4)a) 2 b) {3 ; 1} c) {2 ; 5}d) {5 ; 7} e) N.A

06) Resolver: log3|3 – 4x| > 2

a) 3 ; + b) - ;

c) - ; 3 ; +d) - ; -3 3 ; 2e) N.A.

07) Si: logba = 4. Hallar: (alogca2 + b4logcb2) logbc4

a) 40b4 b) b4 c) b3

d) b e) 0

08) Si: logalogab – logaloga c = 1 calcular: logalogbN - logalogcN

a) 3 b) 2 c) -1d) 0 e) N.A

09) Simplificar:

a) 1 b) y c) 2d) x e) xy

10) Resolver:

a) 4 b) 115 c) 6d) 7 e) 8

11) Si: a = xlogy ; b = ylogx reducir:

a) 3 b) c) 2d) 1 e) 0

12) Si logxyx = 4. Calcular:

a) b) c) d) 3/2 e) 7

13) Resolver: logx + 1(5x + 19) = 2

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

14) Resolver:

a) - ; 28b) 0 ; 2– 8 28 ; +c) 0 ; 3 4 ; +d) - ; 1 2 ; +e) N.A.

15) Resolver: log16(log4(2 – x2)) < 0

a) -1 ; 1 b) 0 ; 1c) -2 ; 1 d) 1 ; e) 0 ;

Álgebra 32

Cuarto Año

Álgebra 33

Cuarto Año

TEMA: RELACIONES Y FUNCIONES

Conceptos Previos:

PAR ORDENADO:

Se define así:

(3 ; 5) = { {3} ; {3 ; 5} }(5 ; 3) = { {5} ; {5 ; 3} }

(3 ; 5) (5 ; 3)

Además:

Ejm: (3 ; a) = (b ; 4) b = 3 a = 4

Observación: (a ; a) = { {a} }

PRODUCTO CARTESIANO

Ejemplo: A = {1 ; 2}B = {a ; b ; c}

A x B = { (1 ; a) ; (1 ; b) ; (1 ; c) ; (2 ; a) ; (2 ; b) ; (2 ; c) }

B x A = { (a ; 1) ; (a ; 2) ; (b ; 1) ; (b ; 2) ; (c ; 1) ; (c ; 2) }

A x B B x A

DIAGRAMA DE VENN:

Álgebra 34

Cuarto Año

1

2

a

b

c

A B AxB

PROPIEDADES:

1) A x B = B x A A = B2) A x B = A B 3) n(A x B) = n(A) x n(B)

Donde: n(A) = cardinal de A (# de elementos)Ejm: n(A) = 2

n(B) = 3 n (A x B) = 6

RELACIONES

Una relación de A en B es cualquier subconjunto de A x B.

Si A x B = { (1 ; 2) , (1 ; 3) , (2 ; 2) , (2 ; 3) }Entonces:

R1 = { (1 ; 2) }R2 = { (x ; y) / x y ; x A , y B } = { (2 ; 2) }R3 =

FUNCIÓN

Sean A y B dos conjuntos no vacíos.Una función F de A en B (f = A B) es un conjunto de pares ordenados tal que todos los elementos de A debe tener un único elemento en B.

Álgebra 35

Cuarto Año

Ejemplo:

A B f

A B f

A B f

S i es función

Si es función

No es función

Definición Formal

Sea f : A B una función, entonces se cumple:

Condición de existencia

Ejemplo:

Sea f = { (2 ; x – y) ; (3 ; x + y) ; (2 ; 3) ; (3 ; 4) } una función. Halle: 2x – y

Solución: x – y = 3 x + y = 4

2x = 7

Álgebra 36

Cuarto Año

2

f

3

3

yx

4

yx

Entonces se cumple:

NOTA:. Toda función es una relación . No toda relación es una función

NOTACIÓN:

A B

PREIM AGEN IMAG EN

RANGO

DO MINIO O CO NJUNTO DE

PARTIDA

CO NJUNTO DE LLEGADA

O RANGO

Observación: Algunos matemáticos consideran:

Es función

Álgebra 37

Cuarto Año

Es aplicación

El dom inio esta formadopor todos loselementos delconjunto de partida

FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

Son aquellas funciones cuyo dominio y rango es un subconjunto de R.Ejemplo:

f = 0 ; 1 Rf : R R

DOMINIO:Dom(f) = { x / (x ; y) f }

RANGO:Ran(f) = { y / (x ; y) f }

REGLA DE CORRESPONDENCIAEs aquella ecuación que nos permite relacionar los elementos del dominio con los elementos del rango.Ejemplo: 1

2

3

4

A B

f

2

9

28

65

)x(fy

Variable independienteVariable dependiente

y = x3 + 1

f = { (x ; y) / x A y B }

Álgebra 38

Cuarto Año

Ejemplo: Sea: f = { (1 ; 2) , (3 ; 5) , (7 ; 6) , (4 ; 9) }Dom f = {1 ; 3 ; 7 ; 4}Ran f = {2 ; 5 ; 6 ; 9}

Ejemplo:

f(5) = 52

f(4) = 42

f(2) = 22

Entonces f(x) = x2 ; x {2 ; 4 ; 5}

Grafica de una función real en variable real

La grafica de una función “f” es la representación geométrica de los pares ordenaos que pertenecen a la función.

Gra(f) = { (x ; y) R2 / y = f(x) ; x Domf }

Ejemplo:

F(x) = x3

Dom f = R

TEOREMA:

Sea f : R RSi toda recta paralela al eje “y” corta a la grafica a lo más en un punto, dicha grafica será la representación de una función.

Ejemplo:

Álgebra 39

2

5

4

A B

f

16

25

4

x

y

3xy

Cuarto Año

x

y

Recta

Es función No es función, es una RELACIÓ N

x

y

Recta

NOTA: Generalmente una función estará bien definida cuando se especifique su dominio y regla de correspondencia.

FUNCIONES ESPECIALES

FUNCIÓN CONSTANTE

Regla de Correspondencia:

Dom f = RRan f = {c}

Ejemplo:

1. Graficar: f(x) = 3 , x R y = 3

Tabulando:

x

y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

3 f

2. Graficar: f(x) = -2 ; x -5 ; 2

Álgebra 40

x

y f

c > 0

c

Cuarto Año

x

y

-2

2 -5

y = -2

FUNCIÓN IDENTIDAD


Dom f = R

Ran f = R

Ejemplo:1. Graficar f(x) = x ; x 2 ; 5

2 5x

y

2

5

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO


Dom f = R ; Ran f = 0 ; +

Sea y = |x|, tabulando:

Álgebra 41

x

y

45°

Y=x a

a

Cuarto Año

x

y

-3 -2 -1 1 2 3

y=|x|

FUNCIÓN LINEAL

Regla de Correspondencia:Pendiente de la recta

Dom f = R ; Ran f = R

x

y

b f(x )

m>0 b>0

m>0 b<0

b<0 m<0

b>0 m<0

b

x

y

b

b

Ejemplos:y = 2x – 6 y = -3x + 1

x

y

0

-6

x

y

1

Si: x = 0 ; y = -6 ; (0 ; 6) punto de corte con el eje y.Si: y = 0 ; x = 3 ; (3 ; 0) punto de corte con el eje x.

Observación: * Si la pendiente (m) es negativa, la recta se inclina hacia la izquierda.

* Si la pendiente (m) es positiva, la recta se inclina hacia la derecha.

FUNCIÓN CUADRÁTICA: ; a 0

Completando cuadrados podemos darle la siguiente forma:

Álgebra 42

Cuarto Año

; a 0

Donde: V = (h ; k) es el vértice de la parábola.Si: a > 0 la parábola se abre hacia arriba.Si: a < 0 la parábola se abre hacia abajo.

A continuación analicemos la grafica de esta función, teniendo como referencia a su discriminante.

A) Primer CasoSi A > 0, la grafica de la parábola podría tener cualquiera de las siguientes formas:

1)

x

y

x 2x 1

k v

h

f

0

0a

x1 , x2 son las raíces reales y diferentes de f(x).Ran f = k ; +; observar que el mínimo valor de la función es kDom f = R

2)

x

y

x 2x 1

k

h

f 0

0a

v

x1 , x2 son las raíces reales y diferentes.Ran f = - ; k, observar que el máximo valor de la función es k.

B) Segundo Caso

Si A = 0, la grafica podría tener cualquiera de las siguientes formas:

1)

Álgebra 43

Cuarto Año

x

y

x 1 = x2

f 0a

2)x

yx 1 = x2

f 0a

C) Tercer Caso

Si A < 0, la grafica de la parábola podría tener cualquiera de las siguientes formas:

1)

x

y

k

h

f

v 0

0a

2)x

y

k

h

v 0

0a

Álgebra 44

Ran f = 0 ; +Dom f = R

Donde x1 ; x2 son las raíces reales e iguales.Ran f = - ; 0Dom f = R

Observar que la parábola no interfecta al eje real “x” por lo tanto no existen raíces realesRan f = k ; +

Ran f = - ; k

Cuarto Año

NOTA: Para completar cuadrados al polinomio: x2 + ax, se hace:

Ejemplos:

Ejemplo: f(x) = x2 – 6x + 8 f(x) = (x – 3)2 – (3)2 + 8 = (x – 3)2 – 1 v = (3 ; -1)

Si: x = 0, y = 8 (0 , 8) es el punto de corte en el eje “y”.Si: y = 0, x = 2 v x = 4. Entonces (2 ; 0), (4 ; 0) son los puntos de corte con el eje “x” y como l coeficiente principal es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Observe que para hallar el mínimo valor de la función cuando el coeficiente principal sea positivo, basta calcular el vértice, ya que la segunda componente indicara el mínimo valor de la función.

FUNCIÓN INVERSO MULTIPLICATIVO

Álgebra 45

x

y

f

8

2 3 -1 4

Ran f = -1 ; +(El mínimo valor de la función es -1)

Cuarto Año

x

y

FUNCIÓN POTENCIAL

Regla de Correspondencia: ; n Z+ ; n > 1 ; x R

1er CASO: n es PAR

y

x

2

4

6

xy

xy

xy

2do CASO: n es IMPAR

Álgebra 46

Dom f = R – {0} Ran f = R – {0}

Ran f = 0 ; +Dom f = R

Cuarto Año

5

3

xy

xy

y

x

Observación: Sea y = ax2n ; n Ny

x

1a0

2xy 1a

FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA

Regla de correspondencia: ; x 0

Su grafica es la siguiente y se obtiene tabulando:

Álgebra 47

Ran f = RDom f = R

Cuarto Año

x

y xy

Ejemplo:

1. Obtener la grafica de Solución: La grafica de esta función la obtendremos por desplazamiento horizontal, a partir de la grafica original .

x

y xy

x

y2xy

2

2. Graficar:

x

y

5xy xy

x

y

6x

y

6

2

26xy

Ran f = 2 ; +Dom f = 6 ; +

Álgebra 48

Ran f = 0 ; +Dom f = 0 ; +

Cuarto Año


01) Halle el dominio de

Rpta.:

02) Halle el dominio de:

Rpta.:

03) Hallar xy, para que el conjunto de pares ordenados representen una función. F = {(2 ; 4) , (3 ; x + y) , (5 ; 6), (3 ; 8) , (2 ; x – y )}

Rpta.:

04) Calcular a y b, para la siguiente función de pares ordenados: f = {(2; a -4) , (5; 6), (2; 7), (5; b -2), (3; 9)}

Rpta.:

05) Hallar el rango de:

Rpta.:

06) Halle la regla de correspondencia de la función, cuyo grafico es: Gr(f) = {(1 ; 2) , (2 ; 5) , (3 ; 10) , (4 ; 17)}

Rpta.:

07) Sea f una función tal que: f(2x – 5) = . Hallar f(3).

Rpta.:

08) Indicar si la grafica es una función.

x

y

Rpta.:

09) Indicar si la siguiente grafica es una función.

x

y

Rpta.:

10) ¿Cuál es el máximo valor que toma la siguiente función: f(x)

= -x2 + 10x – 21?

Rpta.:

Álgebra 49

Cuarto Año

11) Encontrar una función lineal f tal que: f(2) = 3 y f(3) = 2f(4)

Rpta.:

* Construir la gráfica de las siguientes funciones.

12) f(x) = 2x + 6

Rpta.:

13) f(x) = 5x – 10

Rpta.:

14) Si f(x) = 2x + 6. Hallar la grafica de f(x – 3)

Rpta.:

15) ¿A que función corresponde la siguiente grafica?

x

y

-2

Rpta.:

16) ¿A que función corresponde la siguiente grafica?

x

y

2

3

Rpta.:17) ¿Cuál es la grafica de:

f(x) = ?

Rpta.:

18) ¿Para que valor de “ab”, la relación binaria:

F = {(2;5), (-1; -3), (2; 2a –b), (-1; b - a), (a + b2; a)}

es una función?

Rpta.:

19) Hallar el dominio de la función:

Rpta.:

20) Hallar la grafica de;

Rpta.:

Álgebra 50

Cuarto Año


01) Hallar el dominio de: a) - ; -6 6 ; +b) - ; 3 4 ; +c) - ; -2 2 ; +d) -6 ; 6e) N.A.

02) Hallar el domino de:

a) -5 ; 5 b) -3 ; 4c) -3 ; 2 d) -5 ; 5e) N.A.

03) Hallar el dominio de:

a) - ; 6 6 ; +b) - ; 1 2 ; +c) - ; -9 9 ; +d) - ; 1 2 ; +e) N.A.

04) Hallar el dominio de:

a) 2 ; + b) - ; 2c) - ; 2 d) -2 ; +e) -2 ; +

05) Los siguientes pares ordenados constituyen una función. R = {(1 ; 2a) , (2 ; 7) , (5 ; 1) ; 81 ; 3a – 5) , (7 ; 9)}. Determine la suma de elementos del rango de dicha función.

a) 37 b) 27 c) 15d) 12 e) 30

06) Hallar a, si el máximo valor de f(x) = -ax2 + 2ax + a2 + 1, es 7.

a) 0 b) 1 c) 2d) 5 e) 6

07) Grafique: f(x) =

a)x

y

9

5 b)

c) -5x

y

d)x

y

9

e) N.A.

08) Determine el dominio de la siguiente función:

a) 0 ; + b) 0 ; 4c) 0 ; 5 d) - ; 4e) 0 ; 6

09) De la figura:

calcule:

Álgebra 51

Cuarto Año

x

y

3

21

1 5

f

a) 2 b) -1c) 3 d) 1e) N.A.

10) Encontrar el rango de la

función: f(x) = , x -2 ; 5

a) b)

c) d)

e)

11) Indicar si la siguiente grafica es una función:

x

y

a) Si es función b) No es función c) No se sabed) Faltan datose) N.A.

12) Calcule el rango de la siguiente

función: f(x) = .

Si x 5 ; 8

a) b)

c) d)

e)

13) Del grafico, calcule (a + b), si “f” representa una función valor absoluto.

x

y

12

b

a

f

a) 0 b) 3 c) 6d) 9 e) 12

14) Calcular el mínimo valor de la función: f(x) = x2 + 6x + 1

a) -8 b) 9 c) -6d) -5 e) 8

15) Si x -5 ; 4, calcule el rango de la función: f(x) = x2 + 4x + 7

a) 12 ; 39 b) 2 , 11c) 3 ; 39 d) 12 ; 39e) 12 ; 36

Álgebra 52

Cuarto Año

Álgebra 53

Cuarto Año

TEMA: LIMITES

El concepto de límite es un hecho fundamental en la matemática moderna y es la base sobre la que se sustentan otras ideas como la derivada. Durante el siglo XVII, los matemáticos dedicados al estudio de las derivadas e integrales se vieron obligados a trabajar con procesos infinitos que no entendían bien. Estos problemas tardarían dos siglos en ser resueltas.

INTRODUCCION A LOS LÍMITES Recordemos que dada una función y = f(x), para cada valor de “x” existe

su respectiva imagen f(x) llamada también “valor de la función f en x”. Veamos

* Siendo: y = f(x)Para x = x1 su imagen es f(x1)

x = x2 su imagen es f(x2)

x = x3 su imagen es f(x3)

Gráficamente:

)x(

)x(

)x(

1

2

3

f

f

f )x(fy

321 xxx x

y

* Siendo: f(x) = x + 2 , x 0 ; +Para x = 1 su imagen es f(1) = 3

x = 2 su imagen es f(2) = 4x = 3 su imagen es f(3) = 5

Gráficamente

x

y

)1(

)2(

)3(

f3

f4

f5

2xf )x(

0 1 2 3

A continuación consideremos un valor particular del dominio, por ejemplo x = a (x = 2). Cogiendo otros valores distintos de “a” (distintos de 2), pero cercamos al el, intentaremos una aproximación a “a” (aproximación a 2):

Álgebra 54

Cuarto Año

)x(fy

y

)x( '1

f

)x( '2

f

)x( 1f

)x( 2f

a

L

x1 x2 x2 x1 x3

Debemos observar que cuando x se va aproximando a “a” (tanto por la izquierda como por la derecha), las respectivas imágenes se van aproximando a “L” (tanto por abajo como por arriba).

x

y

2xf )x(

0 1 1,5 2 2,5 3

54,5

43,5

3

En este caso observamos que cuando x se va aproximando a 2 (tanto por la izquierda como por la derecha), las respectivas imágenes se van aproximando a 4 (tanto por abajo como por arriba).

Para una mayor comprobación, en el caso de f(x) = x + 2, intentemos la aproximación a x = 2, con valores mucho mas cercanos a el.

Esto lo podemos resumir diciendo:

Álgebra 55

Cuarto Año

Cuando x 2 (se lee: “x tiende a 2”)Se tiene que f(x) 4 (se lee: “f(x) tiende a 4”)

Asimismo, se sintetiza con la siguiente notación:

Ahora, veamos otro ejemplo para comprender mejor el concepto de límite.Consideremos una función real de variable real:

¿Qué sucede si x toma valores muy cercanos a 1?Para ello, si multiplicamos la expresión inicial, obteniéndose en forma equivalente:

f(x) = x + 1 ; x 1

Dándole un enfoque geométrico:

x

y

2

x 1

)x(f

(Valores por la izquierda) (Valores por la derecha)

Se observa que a medida que x se acerca a 1, y asea por la izquierda o por la derecha, entonces f(x) se acerca a 2; es decir, si x tiende a 1, entonces f (x)

tiende a 2.Simbolizando:

O en forma equivalente:

Álgebra 56

Se lee: “Límite de f(x) cuando x tiende a 2 es igual a 4”

Cuarto Año

Para obtener el valor limite 2, se ha reemplazado en la expresión f(x) = x + 1, el valor de 1 para x, así.

IDEA DE LÍMITE

Siendo y = f(x) una función, diremos que si x a implica f(x) L. Entonces:

x

y

)x(fy

0 a

L

NOTA: Debemos tener en cuanta que “a” no necesariamente pertenece al Dominio de f.

Ejemplo: f(x) = x2

Toda aproximación de x a 3 conduce a que f(x) se aproxime a 9

Ejemplo 2:

Toda aproximación de x a 3 conduce a que g(x) se aproxime a 9.

Álgebra 57

x

y

0

2)x( xf 9

3

x

y

0

9

3

223

)x( x3xxx

g

Cuarto Año

DEFINICION DE LÍMITE

El número L se llama límite de la función real de una variable real f, en el punto X0 (x0 no pertenece necesariamente al dominio de f), si para cada > 0, es posible hallar un valor positivo (delta) que depende de (épsilon), tal que:

Se dice que L es el límite de f(x) , cuando x tiende a x0 y se escribe como:

Interpretación Geométrica:

x

y

L + e

LL - e

)x(f

f

)x( 0 )x( 0 0x x

TEOREMA DE UNICIDAD DEL LÍMITE

Sea una función real de una variable real y x0 no pertenece a Domf.

LIMITES LATERALES

Consideremos la siguiente función:

Álgebra 58

Cuarto Año

x

y

L2

L1

)x(fy

Podemos notar que: * Cuando nos aproximamos a “a” por la izquierda, el límite es L1.

* Cuando nos aproximamos a “a” por la derecha, el límite es L2.

Limite por la derechaSe dice que L es el límite lateral de f(x) cuando x tiende hacia “a” por la derecha y se denota por:

Geométricamente:

x

y

)x(f

L

x a

Ejemplo: Calcular:

Álgebra 59

Cuarto Año

Solución: Si x 0+ x > 0

Como x > 0 |x| = x

Reemplazando:

Limite por la izquierda

Se dice que M es el límite lateral de f(x) cuando x tiende hacia “a” por la izquierda y se denota por:

Geométricamente:

x

y

)x(f

M

x a

TEOREMA:

El limite de f existe y es único, cuando x tiende al valor de a“, si y solo si existen los limites laterales y además son iguales:

Ejemplo:

Calcular:

Álgebra 60

Cuarto Año

Solución:

Ya vimos que:

Además:

Es decir:

Álgebra 61

x

y

1

-1

x|x|

f )x(

Cuarto Año

TEOREMAS SOBRE LÍMITES

Sean f y g funciones tales que:

y

Entonces:

1) , constante

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9) ; donde:

L 0 n Z+

L < 0 n es IMPAR

Ejemplo 1:

Álgebra 62

Cuarto Año

Encuentre el valor de: Solución:

= …. ……. (Por el Teorema 2)

= …. ……. (Por el Teorema 7)

= 2(3)4 ……………… (Por el Teorema 3)

= 162

Ejemplo:

Encuentre el valor de:

Solución:

=

=

=

FORMAS DETERMINADAS E INDETERMINADAS

Formas DeterminadasCuando su calculo puede ser posible directa (reemplace directo) o indirectamente (mediante transformaciones); entre ellos tenemos, (consideremos: a = constante no nula)

Álgebra 63

Cuarto Año

Formas Indeterminadas

Se dice de aquellas expresiones que para un valor de su(s) variable(s) adoptan cualquier valor, o en todo caso no es posible hacer su cálculo.

Entre las cuales tenemos:

Estudio de las formas indeterminadas de la forma:

Si la fracción: para x = a, toma la forma , es preciso transformarla

para “levantar la indeterminación”; es decir, simplificar al factor que hace indeterminada a la expresión. En este caso habría que encontrar el factor (x – a).

- Para ello se utilizan criterios de factorización o racionalización, según se requiere el ocaso, para encontrar al factor (x – a) que es el que hace indeterminada la expresión.

- Seguidamente se simplifica el factor (x – a).

- Se evalúa la expresión resultante para x = a.

- Si persiste la forma , se repten los procedimientos anteriores hasta lograr una forma determinada.

Álgebra 64

(no esta definida o no existe)

También:

Cuarto Año

Ejemplo 1:

Calcular L =

Solución:

Sustituyendo x por 0 se obtiene ; y se tiene una indeterminación.

Analizando la expresión podemos factorizar x2 en el numerador y denominador.

; evaluando para x = 0

Ejemplo 2:

Hallar

Solución:

Sustituyendo x por 1 obtenemos y se tiene una indeterminación.

Transformando el denominador:

evaluando para x = 1

Álgebra 65

Cuarto Año


Calcule los siguientes límites:

01)

Rpta.:

02)

Rpta.:

03)

Rpta.:

04)

Rpta.:

05)

Rpta.:

06)

Rpta.:

07)

Rpta.:

08)

Rpta.:

09)

Rpta.:

10)

Rpta.:

11)

Rpta.:

12)

Rpta.:

Álgebra 66

Cuarto Año

13)

Rpta.:

14)

Rpta.:

15)

Rpta.:

16)

Rpta.:

17)

Rpta.:

18)

Rpta.:

19)

Rpta.:

20)

Rpta.:

Álgebra 67

Cuarto Año


Calcule los siguientes límites:

01)

a) 15 b) 12 c) 13 d) 14 e) 19

02)

a) 13 b) 14 c) 15 d) 19 e) 20

03)

a) 9 b) 12 c) 13 d) 15 e) 10

04)

a) 1/6 b) ½ c) 1/3 d) 1/8 e) 1/7

05)

a) 13 b) 11 c) 12 d) 10 e) N.A.

06)

a) -1/4 b) 2/7 c) 1/8 d) -1/2 e) N.A.

07)

a) 1/3 b) 1/2 c) -1/6 d) 1/7 e) 1

08)

a) 1/3 b) 1/2 c) 1/8 d) 1/7 e) -1/2

09)

a) -3 b) -2 c) -1 d) 0 e) 1

10)

a) 3 b) 3/2 c) 2/3 d) 3/7 e) 7

11)

a) 2 b) 1 c) 0 d) 3 e) 4

12) siendo “f” una función definida por:

f(x) = sabiendo que

existe: . Hallar

a) -9 b) -8 c) -7 d) -6 e) -5

13) Sabiendo que:

a) -22 b) -23 c) -24 d) -20 e) 21

14)

a) 672 b) 600 c) 172 d) 345 e) 729

15)

a) 1/12 b) 1/15 c) 1/25d) 1/16 e) N.A.

Álgebra 68

Cuarto Año

TEMA: DERIVADAS

Si y = f(x), es natural que al cambiar x también cambie y. vamos a ocuparnos ahora de tratar de medir de alguna manera la relación entre estos cambios. Esta idea será sumamente fructífera ya que muchos problemas físicos, técnicos o geométricos, requieren analizar la relación entre las variaciones de dos magnitudes. Vamos a citar dos de los casos más conocidos y simples:

LA VELOCIDAD

Si S es la posición de un objeto sobre una trayectoria rectilínea, entonces S depende de t. la relación entre S y t es la velocidad:

Veamos el siguiente esquema:Ya sabemos que la velocidad V(t) en un instante t esta dada por:

Se trata de una relación entre el cambio de S y el cambio de t.

LA PENDIENTE DE UNA CURVAComo ya vimos anteriormente, la pendiente de la recta tangente a una curva sirve para definir la “pendiente de la curva” en un punto, digamos P. tomemos un punto Q sobre la grafica y consideremos la recta secante que pasa por P y Q. la pendiente de esta recta esta dad por:

Ahora, se hace tender Q hacia P, entonces f(x) – f(a) y x – a tienden a cero y se define la pendiente de la recta tangente a la curva en P como:

Álgebra 69

x

y

)x(f

x a

)a(f P

Q

Cuarto Año

Aquí aparece otra vez una relación entre el cambio de ordenadas y el de abscisas.

LA DERIVADA EN UN PUNTO

DEFINICION: Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene a un número x.

La derivada de f en x, se denota por f(x) y se define por:

Si este límite existe y es finito. En este caso diremos que la función f es diferenciable (derivable) en x.

Observaciones:

. En la definición de , x puede representar un número concreto ( es también un número concreto) o un elemento cualquiera del domino de f (en este caso, queda expresado en términos de x). En cualquier caso, la variable en el proceso de límite es h, y para los efectos del cálculo del límite, se toma como una constante a x.

Ejemplo 1:

Sea f(x) = 13x – 6. Encuentre

Solución:

Ejemplo 2:

Si f(x) = 3x2 + 5x + 4, hallar

Solución:

Álgebra 70

Cuarto Año

= 6x + 5

Ejemplo 3:

Si f(x) = 3x2 + 5x + 4, hallar

Solución:

= 17Nótese que tanto en el ejemplo 2 como en el 3, utilizamos la misma función (f(x) = 3x2 + 5x + 4). Si reemplazamos x = 2 en = 6x + 5 (ver ejemplo 2),

obtenemos = 17, lo cual confirma la respuesta en el ejemplo anterior.

Obsérvese la ventaja de calcular como función de un x arbitrario, pues si se tiene una expresión que permite calcular la derivada en cualquier número en que ella existe. A tal función se le llama función derivada.

Otras notaciones para la derivada

Álgebra 71

Cuarto Año

A lo largo de la historia se han utilizado diferentes notaciones para la derivada, las cuales, en mayor o menor grado y en dependencia de la aplicación de que se trate, se siguen utilizando en la actualidad.

Si y = f|x|, la derivada se puede denotar como:

Interpretación Geométrica y Física de la derivada

Volviendo a nuestros problemas iniciales, es obvio que en ambos casos los límites planteados son derivadas. Vamos a formalizarlo:

x

y

)x(f

x

')x(fm

: pendiente de la recta tangente a la grafica de f en el punto (x ; f(x)) Si S = S(t) es una magnitud física que depende del tiempo t entonces

es la velocidad con que cambia S en el instante t.

DERIVADAS LATERALES

Como la derivada es un limite h tiende a cero, la misma se puede calcular por un solo lado, lo cual en muchas problemas es necesario por diversas razones.

(Derivada lateral derecha)

(Derivada lateral izquierda)

Como en los demás limites, solo en el caso en que ambas derivadas laterales existan y sean iguales, la función será derivable en el número analizado.

Álgebra 72

Cuarto Año

Ejemplo:¿Es derivable en 1, la función f(x) = |x – 1|?

Solución:

x

y f

1 0

*

=

*

=

Como y son diferentes, entonces f no es derivable en 1.

Álgebra 73

Cuarto Año

CÁLCULO DE DERIVADAS

En lugar de aplicar en cada problema de derivación la definición de derivada, es preferible deducir un conjunto de reglas generales que permitan hallar las derivadas de una gran cantidad de funciones.Por ejemplo, si f y g son funciones derivadas, entonces hallaremos mediante estas reglas la derivada de otras funciones como f + g ; f – g ; 2f + g ; f . g ; f / g , etc.

Derivada de algunas funciones elementales

TEOREMA:

1) Sea C una constante, si f(x) = c, entonces

2) Si f(x) = x, entonces

3) Sea n N , si f(x) = xn, entonces = nxn – 1 , x R

Ejemplos:

- Si f(x) = 3 = 0 , x R

- Si f(x) = x2 = 2x , x R

- Si f(x) = x5 = 5x4 , x R

ÁLGEBRA DE DERIVADAS

TEOREMASupongamos que f y g son derivables y que C es una constante. Luego:

1) f y g es derivable y

2) f – g es derivable y

3) c . f es derivable y

4) f . g es derivable y

5) f/g es derivable y tal que g(x) 0

Ejemplos:

Hallar la derivada de cada una de las funciones siguiente:

Álgebra 74

Cuarto Año

a) f(x) = 3x4

b) f(x) = 3x4 + 2xc) f(x) = 4x3 – 3x2 + x + 2d) f(x) = (x2 + 3x + 1) (x2 – 9x)

e) f(x) =

Solución:

a)

b)

c)

=

d)

=

e)

LA REGLA DE LA CADENA

Cuando una variable “y” depende de una variable independiente “x” en una forma muy complicada, es conveniente considerarla como una función compuesta de dos o mas funciones. Por ejemplo:

Si: y = (3x2 + x – 5)4

Entonces podemos considerar:

y = 4, donde = 3x2 + x – 5

Esto a veces se representa esquemáticamente como una “cadena” de variables, lo cual da nombre a la regla que veremos mas adelante:

y x

Y podemos leer: y depende de ; depende de x.

Álgebra 75

Cuarto Año

Las cadenas pueden aun ser más largas.

Por ejemplo:

Puede escribirse como:

y = 3 , donde = z2 + 5 y z = es decir, y z xAunque parezca increíble, las funciones compuestas son muy fáciles de derivar, pues se rigen por la regla siguiente:

TEOREMA:

Si f y g son derivables y: y = f(), donde = g(x) y x

Entonces: Ejemplo:

Hallar la derivada de la función f(x) = (3x2 + x – 5)4

Solución.

Sea y = f(x), luego podemos escribir:y = 4, donde = 3x2 + x – 5

y como

Entonces: = 43 . (6x + 1)= 4 (3x2 + x – 5)3 . (6x + 1)

COROLARIO:Suponga que g es una función derivable y que n Z

Si entonces

DETERMINACION DE MAXIMOS Y MINIMOS DE FUNCIONES

A) Criterio de la primera derivada

1. Resolver la ecuación para calcular los valores críticos.

Álgebra 76

Cuarto Año

2. Representar estos valores críticos sobre el eje de las abscisas de un sistema coordenado, estableciendo un cierto número de intervalo.

3. Determinar el signo de en cada uno de los intervalos anteriores.4. Para cada uno de los valores críticos x0:

f(x) tiene un máximo f(x0) si pasa de + a –

f(x) tiene un mínimo f(x0) si pasa de – a +

f(x) no tiene un máximo ni un mínimo en el punto f(x0) , si no cambia de signo

B) Criterio de la segunda derivada

1. Resolver = 0 para calcular los valores críticos.2. Para cada uno de los valores críticos x0:

f(x) tiene un máximo f(x0) si < 0

f(x) tiene un mínimo f(x0) si > 0

Si = 0 ó se hace infinito; no se puede afirmar nada. En este último caso hay que recurrir al criterio de la primera derivada.

Ejemplo 1:

Hallar el máximo y el mínimo de: f(x) =

Solución:

Como solo hay 2 valores (puntos) críticos, entonces podemos reemplazar en la función cada uno de estos valores y el mayor valor que tome f será el máximo, y el menor, el mínimo de la función.

Álgebra 77

Cuarto Año

Ejemplo 2: Un jardín de 20m2 de área debe cercarse. Hallar las dimensiones que requieren la menor cantidad de cerca, si uno de los lados del jardín es colindante a una pared.

Solución:

Del enunciado:

xy = 200 ………. (1)

Hallamos la longitud del cerco (L)

L = 2x + y …………………… (2)

(1) en (2): L = 2x +

Lmin, si

Reemplazando en (1): y = 20

Las dimensiones son: 10 y 20 metros

Álgebra 78

Cuarto Año


Hallar la derivada de cada una de las siguientes expresiones:

01) f(x) = x3

02) g(x) = 6x5

03) h(x) = x3

04) g(x) =

05) y = 6x2 – 3x + 1

06) y = 3x3 – 2x + 6x4

07) y = 5x

08) y = (x + 1) (x – 1)

09) y = (3x6 – 1)7

10) h(x) =

11) y =

12) y =

13) y =

14) y =

15) Sea la función

f(x) = determinar a

y b, sabiendo que y f(1) = 2

16) Sea f(x) = determinar “a”

tal que ; a 0

17) Si f(x) = (a

= constante). Hallar

18) Hallar los valores máximos y mínimos de la función: f(x) = x3 – 3x + 7

19) Si un número y el cuadrado de otro suman 192. hallarlos para que su producto sea máximo.

20) Hallar dos números reales cuya diferencia es 40 y su producto sea mínimo.

Álgebra 79

Cuarto Año


Hallar la derivada de cada una de las siguientes expresiones:

01) y = x9

a) x8 b) 9x7

c) 9x8 d) x3

02) y = -3x3

a) -9x b) -9x2

c) 8x d) 7xe) -9

03) y = -2x1/2

a) –x3/2 b) 3x1/2

c) 8x2 d) –x –1/2

e) N.A.

04) y = 3x2 – 5x + 2

a) 6x – 3x + 2 b) 6x – 5xc) 6X – 5 d) 3x – 5 e) N.A.

05) y = 9x3 – 6x1/2 + 7x3/7

a) 27x2 – 3x–1/2 + 3x–4/7 b) 27x3 – 3x2 + 3xc) 27x2 – 3x3 + 2d) -27x2 + 3x–1/2 – 3x–4/7

e) N.A.

06) y = (x – 3) (x – 4)

a) 3x + 9 b) 2x + 9

c) 2x – 7 d) 2x + 7e) 3x – 7

07) y =

a) b)

c) d)

e) N.A.

08) y =

a) b)

c) d)

e) N.A.

Álgebra 80

Cuarto Año

09) y =

a) x5/3 – x1/5 + 2b) x3/5 – x2/5

c) x5/3 – x–3/5

d) x5/3 – x3/5

e) N.A.

10) y = (2x5 – 9)3

a) 3(2x5 – 9) (x4)b) 3(2x5 – 9)2 (10x4)c) (2x5 – 9) (10x3)d) 3(2x5 – 9) (x)e) N.A.

11) y = (3x4 + x2)6

a) 6(3x3 + x) (12x3 + 2x)b) 7(3x2 + x3)5 (6x3 + 3x2)c) 6(3x4 + x2)3 (12x3 + 3x2)d) 6(3x4 + x2)5 (12x3 + 2x)e) N.A.

12) Si: f(3x – 1) =

hallar f’(3x – 1)

a) (x – 1) (3x2 – 6x – 1) –1/2

b) (x – 2) (3x2 – 6x – 1)c) (x – 1) (2x2 – 6x – 1) 1/2

d) (x – 2) (3x2 – 6x – 1) –3/2

e) N.A.

13) Hallar b, tal que la derivada de

la función: f(x) = , sea -1

para x = 5

a) 1 b) 2c) 3 d) 4e) 5

14) Encuentre el máximo y mínimo de: f = 2x3 – 6x + 5

a) 1 ; 9 b) 1 ; 3c) 1 ; 8 d) 2 ; 9

15) Hallar dos números cuya suma sea igual a k (k es constante) y cuyo producto sea máximo.}

a) –k ; 2k b)

c) 2k ; 3k d)

e)

Álgebra 81

Cuarto Año

MISCELÁNEAS

01) Efectuar:

02) Efectuar:

03) Hallar ”x”:

04) Hallar: (3x)xSi: 8x – 8x – 1 = 14

05) Resolver:

06) Calcular:

07) Hallar “x”:

08) Si:

Hallar:

09) Si:

Calcular:

10) Si:

Hallar:

11) Transformar:

12) Transformar:

13) Efectuar:

14) Hallar:

15) Racionalizar:

Álgebra 82

algebra 4to año.inec. logaritmos limite derivadas

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limhf flim f0

se denota por

conocidas la base

entonces se cumple

la funcin

es decir

hf flim

son derivables