Preguntas Propuestas1

. . .

2

Álgebra

Potenciación en R

1. Sea x=6,23 · (10)23

Simplifique 2 3 7 2

7

4 2 1

2 1−( ) −

+

x x

x· ·

A) 49 B) 98 C) 1/49D) 2/49 E) 2/7

2. Si al reducir

( )( )...( )( )

( )

2 2 2 2

1 1

1

3+ + + +

+

+

n n n n

a a

n veces� ������ ������

+ +

+

3 3

2

1...

( )

an veces

� ����� �����

se obtiene 15

3

−

· an

calcule el valor de 12

−n

A) 1/16 B) 1/8 C) 8D) 16 E) 32

3. Sean x e y números reales mayores que la unidad, de modo que xy=yx ∧ xm=yn. Calcule

el valor de yx

A) mn B) m C) m/nD) n E) n/m

4. Indique el menor valor de m+n si se sabe que

x x

n

2 4 2215( )( )( ) =...

3 27

19

2 3m m m

( ) =

− −

A) 8 B) – 5 C) 4D) 2 E) 9

5. Dado el conjunto

S x x x= ∈ =

−

N1

12

indique el cardinal de S.

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) más de 3

6. Luego de simplificar la expresión

x x x3 54

117 4( )

·

halle el exponente final de x.

A) 1/2 B) 1/3 C) 1/6D) 5/6 E) 1

7. Si al reducir 125 729 123 x ∧ x > 0 se obtiene

axb, indique el valor de a+b.

A) 18 B) 16 C) 20D) 15 E) 9

8. ¿Qué valor debe tomar m para que se verifique la igualdad

( , ) ( , ) , ?0 1 0 01 0 001 102− − =m m

A) 11/12 B) –11/15 C) 11/8D) 12/11 E) –11/12

UNMSM 2009 - I

Productos notables

9. Indique el valor de xx

44

21+

si se sabe que

xx

+ =1 2.

A) 0 B) 2 C) 4D) 1 E) 16

3

Álgebra10. Indique cuáles de las siguientes expresiones

son trinomio cuadrado perfecto.

I. 16a2+48a+36

II. 12 12 3 92 2a ab b+ +

III. x x2 14

− +

A) I ∧ IIB) I ∧ IIIC) solo IID) todasE) ninguna

11. Se define el operador

f n

n n

( ) = −

+ +

1 22

1 22

Determine el valor de f(0)+f(1)+f(2)

A) 11/2 B) 9/2 C) 7/2D) 9/4 E) 13/4

12. Dadas las igualdades

x y= + = −5 3 5 3;

calcule el valor de xyx y+

.

A) 1/2 B) 1/4 C) 1/8D) 1/16 E) 1

13. Respecto al número J.

J =+

++

++

++

23 1

23 5

25 7

27 9

A) J=3 – 3B) J es un número irracional.C) J es la de la forma a 2; a≠0.D) J es un número racional no entero.

E) J es un número entero.

14. Reduzca la expresión M.

M

a ba b

a ba b

a b

a b= +

−+ −

+

++( )

( )2

2 22

A) a ba b−+

B) ( )a ba b−−

2

C) a ba b+−

D) 1

E) a+b

15. Se sabe que m n+ = 33 y mn = 93 . Determine

el valor de m n3 3 1+( )−

A) –24 B) –12 C) –1/12D) –1/6 E) –1/18

16. Teniendo en cuenta que x verifica la igualdad x2 – 2x+4=0, halle el valor de x9.

A) –1024 B) –512 C) –1D) 2008 E) 2048

Miscelánea de problemas

17. Si 264=aa y 3 354

= ( )b b

halle 3a+2b.

A) 48 B) 96 C) 66D) 99 E) 44

UNMSM 2010 - II

. . .

4

Álgebra

18. Determine un valor de x que verifica la igual-dad 9x –12 · 3x=– 27

A) –1 B) –2 C) 2D) 3 E) – 4

19. Si se cumple que

a = + + +2 2 2 ...

b = 18 18 18

determine el valor numérico de

a b b a3 3

A) 2 B) 3 C) 12D) 6 E) 18

20. Sean x, y y z números negativos de modo que (x+y)2=z2+1 (x+y)2=y2+3 (z+y)2=x2+5 Entonces, ¿cuál es el valor de x+y+z?

A) – 3 B) − 3 C) – 5D) – 2 E) –1

21. Calcule el valor de

2 43

2

3

2−+

+ −−

x

x x

y

y y

si se sabe que x y= − ∧ = +3 1 3 13 3

A) 3 B) 9 C) 0D) 6 E) – 3

22. Simplifique la siguiente expresión.

(sen cos )( sen cos )

sen cos

α α α αα α

− +−1

3 3

Sugerencia: use productos notables.

A) sen2a+1

B) sen2a –1

C) sen3aD) cos3aE) sen2a+cos2a

23. Si la suma de dos números es 5 y la suma de sus cubos es 95, determine la suma de sus cuadrados.

A) 21 B) 20 C) 23D) 25 E) 24

24. Si se cumple que

(xy)2+(yz)2+(zx)2=xyz(x+y+z)

calcule la suma de las cifras de

x yz+

10

, considere {x; y; z} ⊂ R

A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 10

Polinomios

25. Dada la expresión fxxx( ) =−+11, calcule el valor

de f f

f f

( ) ( )

( ( ))

·2 2

2

− .

A) –1/2 B) –2 C) –1D) 1/2 E) 2

26. Sea f una expresión matemática de modo que f(x)=f(x –1)+f(x – 2).

Calcule el valor de f(2) – f(0) si se sabe que f(1)=4.

A) –4 B) 1 C) 0D) 4 E) 2

27. Dados los polinomios f(x – 2)=x2+1 y h(x+1)=3x+1

calcule h(f(7))+h(– 5).

A) 227 B) –17 C) 193D) 28 E) 7

5

Álgebra28. En el binomio P(x)=nx3+3x+xn

se cumple que P(2)=4k donde k ∈ Z+. Determine la suma de coeficientes de dicho

polinomio.

A) 7 B) 5 C) 4D) 6 E) 8

29. En el polinomio P(x)=(2x+1)n+(3x+1)n

se cumple que la suma de coeficientes excede en 23 al término independiente entonces, ¿cuál es el valor de n+3?

A) 4 B) 2 C) 3D) 7 E) 5

30. R y S son dos expresiones tales que

R(S(x)–1)=x y S(x+2)=2x+5

evalúe R(S(1,5)).

A) 1/2 B) 3/2 C) 2D) 5/2 E) 3

31. Dado el polinomio P(x+2)=ax2+bx – c, si P(x)=3x2 – 5x – 2, entonces, ¿cuál es el valor de abc?

A) 12 B) 6 C) 0D) – 8 E) –10

32. Dada la expresión matemática S(x2+1)=x2+x; x ≥ 0 halle S(x).

A) S(x)=x+1

B) S x xx( ) = + −1

C) S x xx( ) = − +1

D) S x xx( ) = + − +1 1

E) S x xx( ) = + − −1 1

División de polinomios

33. Dada la división exacta

ax bx cx

x

3 2

26

4

+ + −−

determine el valor de 4a+2b+c.

A) 6 B) 3 C) 4D) 5 E) 9

34. Calcule el resto de la siguiente división.

( )( )( )

x xx x+ + ++ +5 14 6

2013 2

A) – 9x –18B) 9x –18C) –10x+22D) – 9x+8E) 9x – 8

35. Dado el esquema de Horner

1 11 1 53 6

3 1 1

b jc

a e fh j

d k

− −

calcule el valor de (c+d+e)2012+(a+b)2 – (j+k)2

A) 20 B) 18 C) 26D) 24 E) 25

36. Calcule el resto de la siguiente división, si se sabe que no es lineal.

8 4 6 1

2 2 1

4 3 2 2

2x x x ax a

x x

+ − + + +− +

A) 26 B) 37 C) 16D) 17 E) 50

. . .

6

Álgebra

Claves

01 - D

02 - C

03 - C

04 - D

05 - C

06 - E

07 - B

08 - A

09 - C

10 - D

11 - B

12 - B

13 - E

14 - C

15 - D

16 - B

17 - C

18 - C

19 - D

20 - A

21 - D

22 - E

23 - A

24 - C

25 - B

26 - D

27 - A

28 - B

29 - E

30 - C

31 - C

32 - E

33 - B

34 - A

35 - E

36 - C

37 - D

38 - A

39 - E

40 - E

37. Dada la división

2 7 102 1

4 3 2x x ax bxx

+ − + ++

calcule el valor de a+b si se sabe que los co-eficientes del cociente son números impares consecutivos.

A) – 6 B) 32 C) 22D) 6 E) 1

38. Dado el polinomio

P x x xx( ) = + −( ) − +5 33 2 2 2 2 7 calcule el valor de P 2 1−( ).

A) 6

B) 3 2

C) − 2D) 4 E) 7

39. Calcule el residuo en la siguiente división al-gebraica.

( )2 54 12

4 2x xx+ ++

A) – 3 B) 0 C) x+1D) 7 E) 10

40. Si R(x) es el resto de la división

2 4 3

1

7 5 4 2

2x x x x

x

− + − +−

indique lo incorrecto

A) R(0)=3B) R(– x)=2x+3C) R(x)=2x+3D) R(–1)=5E) R(x)= – 2x+3