taller matemáticotaller matemático (Álgebra y...

22/07/2013

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Taller matemáticoTaller matemáticoTaller matemáticoTaller matemático(Álgebra y Geometría)(Álgebra y Geometría)(Álgebra y Geometría)(Álgebra y Geometría)

CONTENIDO IMPARTIDO POR:

ª Í E Á E

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Mª CRUZ RODRÍGUEZ PALÁNQUEXFacultad de Estudios Estadísticos UCM

22/07/2013

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Parte I:

1:¿Cómo afrontar nuestro primer curso del Grado en Estadística Aplicada?2 A it éti2: Aritmética3: Polinomios y raíces. Ecuaciones de

segundo grado4: Inecuaciones5: Geometría básica en el plano y en el

espacio Cónicasespacio. Cónicas

Taller matemático 2/38

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1. ¿CÓMO AFRONTAR NUESTRO PRIMER CURSO DEL GRADO EN ESTADÍSTICA APLICADA?

• Conocimientos básicos bien aprendidos (Aritmética, polinomios, funciones con “nombre propio”,f d t t i ét i j t bi t i )

OBJETIVOS DEL TALLER MATEMÁTICO

fundamentos trigonométricos, conjuntos , combinatoria…)

• Buen uso del lenguaje matemático y del razonamiento matemático. Aprendemos a leer, expresarnos y razonar en Matemáticasen Matemáticas.

ABORDAMOS, EFICAZMENTE, EL TRABAJO MATEMÁTICO QUEREQUIEREN LAS ASIGNATURAS DEL PRIMER CURSODEL GRADO

• Aplicamos los conocimientos, previamente desarrollados, adecuadamente y con seguridad.

• Leemos, hablamos y nos expresamos en Matemáticas correctamente.

• Interpretamos, identificamos, visualizamos y estructuramos lo que hemos de desarrollar con precisión, sin olvidarla intuición y el proceso de abstracción.

• A partir de los métodos de demostración propios de la Matemática desarrollamos rigurosamente los pasos que

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• A partir de los métodos de demostración propios de la Matemática, desarrollamos, rigurosamente, los pasos queconstituyen el contenido de la resolución.


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ALGUNAS RECOMENDACIONES PARA EMPEZAR A TRABAJAR “ADECUADAMENTE” EN MATEMÁTICAS

• Los problemas están pensados para adquirir fundamentalmente técnicas y las principales ideas de los temas que vas estudiando. LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS TE AYUDA A ESCRIBIR, APRENDER, COMPRENDER Y PENSAR EN MATEMÁTICAS CON MAYOR CLARIDAD Y PRECISIÓNCOMPRENDER Y PENSAR EN MATEMÁTICAS CON MAYOR CLARIDAD Y PRECISIÓN.

¡ TRABAJA LOS EJERCICIOS DIARIAMENTE!

• ESFUÉRZATE cada día en comprender lo que los profesores te explican. Asimila en las clases presenciales Todo lo que puedas. ¡PREGUNTA!... y procura que tus dudas queden resueltas en un breve espacio de tiempo.

Trabaja siempre que puedas en EQUIPO Te enriquecerá de forma positiva y seguro de dará muy buenos• Trabaja, siempre que puedas, en EQUIPO. Te enriquecerá de forma positiva y seguro de dará muy buenos resultados

• Diviértete con las Matemáticas que estás aprendiendo. Plantéate inquietudes y nuevos retos. ¡DESCUBRE TODAS TUS POSIBILIDADES EN MATEMÁTICAS!

• Tu trabajo ahora es ESTUDIAR. PLANIFICA BIEN tu tiempo.

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Llamamos conjunto de números naturales a: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...} 2. ARITMÉTICA

(es un conjunto infinito)

Con los números naturales:- Contamos los elementos de un conjunto (número cardinal)Contamos los elementos de un conjunto (número cardinal)- Expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal)

Los números naturales están ordenados7 > 2; 7 es mayor que 27 > 2; 7 es mayor que 2. 2 < 7; 2 es menor que 7. ordenado conjuntoun es),( ≤N

Operación: SUMA (operación interna)Propiedades:

Operación: PRODUCTO (operación interna)Propiedades:Propiedades:

Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)Conmutativa: a + b = b + aElemento neutro: a + 0 = a

Propiedades:Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c)Conmutativa: a · b = b · aElemento neutro: a · 1 = a

Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c


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El “proceso inverso” a la propiedad distributiva es: sacar factor comúnSi varios sumandos tienen un factor común podemos transformar la suma enSi varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.a · b + a · c = a · (b + c)

NOTA: ¡Cuidado con la resta y la división de números naturales!

POTENCIAS DE NÚMEROS NATURALES:Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto formado porvarios factores iguales

433333 =⋅⋅⋅ Base: 3

PROPIEDADES:

Exponente: 4

aa ≠= )0(10

a = 11

6

nmnm aaa +=⋅


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nmma

≥ )(nmn nma

a≥= − )(

( ) nmnm aa = ⋅( )nnn baba ⋅=⋅ )(

nn aa ⎞⎛

)(

nba

ba

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

7

⎠⎝


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• Un número natural se puede descomponer como suma de potencias de base 10

8105106102658.2 23 +⋅+⋅+⋅=

Un número natural puede descomponerse, de forma única, como suma depotencias de base 2. Es lo que se conoce como sistema de numeración binario.En su escritura empleamos, sólo, las cifras 0 y 1.

4 )10001(171217 =+= luego 2)10001(171217 =+= luego

Teorema fundamental de la aritméticaE t t fi t d ú t l l d t d fEste teorema afirma que todo número natural, no nulo, se puede representar de forma única como producto de factores primos. Por ejemplo,

23 1732936.6 ⋅⋅=

No existe ninguna otra factorización de 6936 y 1200 en números primos

24 532200.1 ⋅⋅=

8

No existe ninguna otra factorización de 6936 y 1200 en números primos.


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Máximo común divisor: Es el mayor de los divisores comunes a varios naturales.Si el máximo común divisor de dos números es 1 se dice que son primos relativos.Para el cálculo del máximo común divisor de varios número primero los factorizamosPara el cálculo del máximo común divisor de varios número, primero los factorizamosy luego tomamos los factores comunes elevados al menor exponente.

Mínimo común múltiplo: Es el menor de los múltiplos comunes de un conjunto det l P l ál l d í i ú últi l t l f t i ió d l únaturales. Para el cálculo de mínimo común múltiplo tras la factorización de los número

tomamos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente.

23 17329366 ⋅⋅=

24 5322001

1732936.6

⋅⋅=

=

3 32)20019366(

532200.1

⋅=

⋅⋅=

mcd

224 17532)20019366(

32)200.1,936.6(

⋅⋅⋅=

⋅=

mcm

mcd

9

17532)200.1,936.6( ⋅⋅⋅=mcmTaller matemático 9/38

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Los conjuntos de números son:Los conjuntos de números son:

Veamos, a continuación, las operaciones y propiedades básicas del conjunto delos números reales.


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Si a, b y c son números reales entonces:

P i d dOperación Definición Que dice Ejemplo

Propiedad

Conmutativa Suma

Multiplicación

a+b = b+a

ab = ba

El orden al sumar o multiplicar reales no afecta el resultado.

2+8 = 8+2

5(-3) = ( -3)5

Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo

Asociativa Suma

Multiplicación

a+(b+c)=(a+b)+c

a(bc) = (ab)c

Puedes hacer diferentes asociaciones al sumar o multiplicar reales y no se

7+(6+1)=(7+6)+1

-2(4x7)= (-2x4)7p a(bc) = (ab)c p yafecta el resultado.

2(4x7) ( 2x4)7

Propiedad Operación Definición Que dice EjemploIdentidad Suma a + 0 = a Todo real sumado a 0 se queda

igual; el 0 es la identidad -11 + 0 = -11

Multiplicación a x 1= a

igual; el 0 es la identidad aditiva.

Todo real multiplicado por 1 se queda igual; el 1 es la identidad multiplicativa.

17 x 1 = 17

p


Inversos Suma

Multiplicación

a + ( -a) = 0 La suma de opuestos es cero.El producto de

15+ (-15) = 0

11=⎟

⎞⎜⎛⋅a 114 =⎟

⎞⎜⎛⋅

11

p precíprocos es 1.

1=⎟⎠

⎜⎝⋅

aa 1

44 =⎟

⎠⎜⎝⋅


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Distributiva Suma respecto a M lti li ió

a(b+c) = ab + ac El factor se distribuye a d d

2(x+8) =2( ) 2(8)Multiplicación cada sumando. 2(x) + 2(8)

Otras propiedades

Propiedad de los opuestosQue dice Ejemplo

Propiedad de los opuestos

-( -a ) = a El opuesto del opuesto es el mismo número.

- ( - 9 ) = 9

(-a)( b)= a (-b)= -(ab) El producto de reales con signos diferentes es negativo.

( -15) (2) = 15( - 2) = - (15 x 2)= - 30diferentes es negativo. = - 30

( - a)( -b) = ab El producto de reales con signos iguales es positivo.

( -34) ( - 8) = 34 x 8

-1 ( a ) = - a El producto entre un real y -1 es el opuesto del número real.

-1 ( 7.6 ) = - 7.6p

Propiedades del cero

Propiedad del ceroQue dice Ejemplo

a x 0 = 0 Todo real multiplicado por 0 es 0. 16 x 0 = 0

a x b = 0 entoncesa = 0 ó b = 0

Si un producto es 0 entonces al menos uno de sus factores es igual a 0.

(a+b)(a-b) = 0 entoncesa + b = 0 ó a – b = 0


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Recuerda

Definición Que dice EjemploOperación

Q j p

Resta a – b = a + ( - b) La resta es la suma del opuesto del sustraendo.

2 – 8 = 2 + (-8) = - 6

División La división es la multiplicación por el recíproco del divisor.

POTENCIACIÓN:POTENCIACIÓN:.

•Cuando el exponente es un número entero negativo, equivale a la fracción inversa de la base pero con exponente positivo.

•Cuando el exponente es una fracción irreducible n/m, equivale a una raíz:

Cualquier número elevado a el exponente 0 el resultado equivale a 1, excepto el caso particular de que, en principio, no está definido


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Potencia de exponente negativoUn número elevado a un exponente negativo, es igual al inverso de la misma expresión pero con exponente positivo:

Multiplicación de potencias de igual baseEl producto de dos o más potencias de igual base es igual a la base elevada ala suma de los correspondientes exponentes

División de potencias de igual baseLa división de dos potencias de igual base es igual a la base elevada a la resta de los exponentes respectivos:de os e po e es espec os


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Potencia de un productoLa potencia de un producto es igual al producto de los factores elevados cada uno alLa potencia de un producto es igual al producto de los factores elevados cada uno alexponente de dicha potencia. Es decir, una potencia de base a.b y de exponente n, es igual al factor a elevado a n, multiplicado por el factor b también elevado a n:

Potencia de una potenciapLa potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):

Propiedad distributivaLa potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división:La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división:


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Propiedades que no cumple la potenciación

No es distributiva con respecto a la adición y sustracción, es decir, no se puede distribuir cuando dentro del paréntesis es suma o resta:

No cumple la propiedad conmutativa, exceptuando aquellos casos en que base y exponente tienen el mismo valor o son equivalentes. En general:

Tampoco cumple la propiedad asociativa:


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OPERACIONES COMBINADAS

[ ] 521)328(3)243(5562214 =⋅−+−−⋅+⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

Primero operamos con los paréntesis.5 ⎥⎦

⎢⎣ ⎠⎝

[ ] )2(3)10(55

10414 +−+⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

Operamos con los corchetes y pondremos paréntesis: [ ] 1155

174−⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

1155

174−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

Multiplicamos el paréntesis:

f

( ) 13174 −⋅

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Y finalmente el resultado es: 521


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INDETERMINACIONES MATEMÁTICAS

Cuando al conjunto de los números reales le añadimos: { }∞−∞,


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3. POLINOMIOS Y RAÍCES. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Polinomio:

Un polinomio es una expresión algebraica formada por más de un término.p p g pEs una expresión algebraica de la forma:

p(x) = 011

1 axaxaxa nn

nn ++++ −

− Κ

Siendo: números llamados los coeficientes. 011 ,,, aaaa nn Κ−

n es un número natural.x la variable o incógnita.

es el término independientea es el término independiente0aEl grado de un polinomio p(x) es el mayor exponente al que se encuentraelevada la variable x.


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SUMA DE POLINOMIOS:

p(x) = 7x4 + 4x2 + 7x + 2 q(x) = 6x3 + 8x +3

PRODUCTO DE POLINOMIOS:

xxxxqxxp 432)(32)( 232 +−=−=

( )( )( )( )xxxxxx

xxxxxqxp

1296864

43232)()(

23345

232

=−+−+−=

=+−−=⋅

xxxxx

xxxxxx

129264

1296864

2345 −++−=

=++=


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DIVISIÓN DE POLINOMIOS:

Por tanto,

( )12

161085212

822

232

35

+−

++++=+−−+

xxxxxx

xxxxx

21

1212 +−+− xxxx


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Regla de Ruffini

División de polinomios, cuando el divisor es un binomio de la forma (x — a)

23 24 +− xx3

23−

+x

xx

Lo que quiere decir que:

⎞⎛ 5623 24

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−++++=

−+−

3561863

323 23

24

xxxx

xxx


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23

325 −x232

−xx

Luego,

325 −x 16842232 234 ++++=

−− xxxx

xx


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IDENTIDADES NOTABLESIDENTIDADES NOTABLES

Bi i l d d ( ) bababa 2 222 +±±Binomio al cuadrado:

Suma por diferencia:

( )

( )( ) bababa

bababa 2

22 −=−+

+±=±

Binomio al cubo:

Trinomio al cuadrado:

( )

( ) bcacabcbacba

babbaaba

222

33

2222

32233

+++++=++

±+±=±

Teorema del restoEl resto de la división de un polinomio p(x), entre un polinomio

de la forma (x − a) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a.valor: x a.

Calcular por el teorema del resto, el resto de la división:p(x) : q(x)p(x)= x4 − 3x2 + 2 q(x) = x − 3 p(x) x 3x + 2 q(x) x 3

p(3) = 34 − 3 · 32 + 2 = 81 − 27 + 2 = 56


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Teorema del factorEl polinomio p(x) es divisible por un polinomio de la forma (x − a) si y sólo

si p( a) = 0si p( a) = 0.

NOTA: Al valor x = a se le llama raíz o cero de p(x).

Calcular las raíces del polinomio:Calcular las raíces del polinomio:

65)( 2 +−= xxxp

x = 2 y x = 3 son raíces o ceros del polinomio: p(x) 0)3()2( == ppcomo

Propiedades de las raíces y factores de un polinomio1. Los ceros o raíces enteras de un polinomio son divisores del término independiente

del polinomio.2. A cada raíz del tipo x = a le corresponde un binomio del tipo (x − a). p p p ( )3. Podemos expresar un polinomio en factores al escribirlo como producto de todoslos binomios del tipo (x — a), que se correspondan a las raíces, x = a, que se obtengan.

)3)(2(652 −−=+− xxxx

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)3)(2(65 + xxxx


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4. La suma de los exponentes de los binomios ha de ser igual al grado del polinomio.

5. Todo polinomio que no tenga término independiente admite como raíz x = 0, ó l l i d it f tó lo que es lo mismo, admite como factor x.

6. Un polinomio se llama irreducible o primo cuando no puede descomponerse en f t

( )12 +=+ xxxx

factores.1)( 2 ++= xxxp

Hallar las raíces y descomponer en factores el polinomio:Hallar las raíces y descomponer en factores el polinomio:

Los divisores del término independiente son: ±1, ±2, ±3.

6)( 2 −−= xxxq

q(1) ≠ 0, q(−1) ≠ 0 , q(2) ≠ 0, q(−2) = 0, q(3)= 0 Entonces las raíces son: -2 y 3, por tanto:

)3)(2(6)( 2 −+=−−= xxxxxq ))(()(qNOTA:


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Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos

4. INECUACIONES

g g qmiembros aparecen ligados por uno de estos signos:

< menor que 2x − 1 < 7 <

≤ menor o igual que 2x − 1 ≤ 7

> mayor que 2x − 1 > 7

≥ mayor o igual que 2x − 1 ≥ 7

Inecuaciones equivalentesInecuaciones equivalentes

-Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número,la inecuación resultante es equivalente a la dada.

-Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número positivo, la inecuación resultante es equivalente a la dada.

-Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo

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Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número negativo, la inecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada.


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Resolución de INECUACIONES de primer grado

1º Quitar paréntesis1 Quitar paréntesis.

2º Quitar denominadores.

3º Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en3 Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro.

4º Efectuar las operaciones

5º Como el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.

6º Despejamos la incógnita.6 Despejamos la incógnita.

Obtenemos la solución como una desigualdad, pero ésta también podemos expresarla:De forma gráfica,como un intervalo

Resolución de sistemas de inecuaciones con una incógnita

Se resuelve cada inecuación por separado, siendo el conjunto solución del sistema la intersección de los conjuntos soluciones de ambas inecuaciones

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intersección de los conjuntos soluciones de ambas inecuaciones.


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Resuelve la siguiente inecuación:

Solución:

Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones:

Solución:Solución:

La solución común es la intersección de los conjuntos solución de ambas

inecuaciones.inecuaciones.

Solución:


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E ió t i l d l t

5. GEOMETRÍA BÁSICA EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO. CÓNICAS

Ecuación vectorial de la recta

Ecuación paramétrica de la precta en el plano

Ecuación continua de la recta:

Ecuación general o implicita de la recta:

Ecuación punto-pendienteEcuación punto pendiente


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•Halla la ecuación vectorial de la recta que pasa por y tiene como vector de dirección

•Calcula la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos P=(-2,3) y Q=(1,4)

Para determinar la ecuación vectorial necesitamos un punto y un vector de dirección, el punto l t t d di ió d d t i ti d d t d l tlo tenemos y un vector de dirección se puede determinar apartir de dos puntos de la recta:

l l ió t i lluego la ecuación vectorial es:


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Determinación de un plano en el espacio


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CÓNICAS

Expresión algebraica.En coordenadas cartesianas, las cónicas se expresan en forma algebraicamediante ecuaciones cuadráticas de dos variables (x,y) de la forma:( ,y)

en la que, en función de los valores de los parámetros, se tendrá:h² > ab: hipérbolah² > ab: hipérbola.h² = ab: parábola.h² < ab: elipse.a = b y h = 0: circunferencia .


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La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

La elipse con centro (0 0) tiene la siguiente expresión algebraica:La elipse con centro (0, 0) tiene la siguiente expresión algebraica:

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos,llamados focos, es constante y menor que la distancia entre los focos.Tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito)Tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras

La ecuación de una hipérbola con centro (0, 0), es:

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta llamada directriz.

Una parábola, cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el de ordenadas, tiene la siguiente ecuación:

Ecuación analítica de la circunferencia : Puesto que la distancia entre el centro (a, b)y uno cualquiera de los puntos (x , y) de la circunferencia es constante e igual al radio ry uno cualquiera de los puntos (x , y) de la circunferencia es constante e igual al radio r tendremos que :


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