ÁLGEBRA LINEAL Y

MATRICES

Ingeniería en Administración. Prof. Rubén Rodríguez.

Semestre 01-2013

Santiago de Chile

UNA MATRIZ ESTÁ FORMADA POR UN DOBLE

SUBÍNDICE DE ELEMENTOS SITUADOS EN FILAS Y

COLUMNAS.

A

a11 ,, a1n

a21 ,, a2n

am1 ,, amn

Aij

VECTOR FILA

[1 x n] matriz

jn aaaaA ,, 2 1

VECTOR COLUMNA

[m x 1] matrix

i

m

a

a

a

a

A 2

1

MATRIZ CUADRADA: MISMO NÚMERO DE FILAS Y

COLUMNAS

B

5 4 7

3 6 1

2 1 3

LA MATRIZ IDENTIDAD: ES UNA MATRIZ CUADRADA

CON PUROS UNOS EN LA DIAGONAL Y CEROS EN LOS

OTROS ESPACIOS.

I

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

MATRIZ TRANSPUESTA: UNA MATRIZ

TRANSPUESTA ES CUANDO LAS FILAS SE

CONVIERTEN EN COLUMNAS Y LAS

COLUMNAS SE CONVIERTEN EN FILAS

mnnn

m

m

aaa

aaa

aaa

A

,,

,,

,,

21

22212

12111

´

SUMA DE MATRICES: DA COMO RESULTADO

UNA NUEVA MATRIZ C QUE ES DEFINIDA

COMO LA COMBINACIÓN DE LAS MATRICES A

Y B DONDE: C=A+B

Cij Aij Bij

* Las tres matrices deberán tener la misma dimensión.

SUMA DE DOS MATRICES:

A a11 a12

a21 a22

B

b11 b12

b21 b22

C a11 b11 a12 b12

a21 b21 a 22 b22

EJEMPLO:

A B 3 4

5 6

1 2

3 4

4 6

8 10

C

RESTA DE MATRICES:

C = A - B

Es definida

por:

Cij Aij Bij

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES:

Las matrices A y B tienen estas dimensiones:

[r x c] y [s x d]

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES: LAS MATRICES A Y

B PODRÁN SER MULTIPLICADAS SI:

[r x c] and [s x d]

c = s

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

La matriz resultante tendrá las dimensiones:

[r x c] and [s x d]

r x d

PRODUCTO DE LAS MATRICES: AXB=C

A a11 a12

a21 a22

[2 x 2]

B b11 b12 b13

b21 b22 b23

[2 x 3]

232213212222122121221121

2312131122121211 21121111

babababababa

babababababaC

[2 x 3]

CALCULE: AXB=C

A

2 3

1 1

1 0

and B 1 1 1

1 0 2

[3 x 2] [2 x 3]

A y B podrán ser multiplicadas

1 1 1

3 1 2

8 2 5

12*01*1 10*01*1 11*01*1

32*11*1 10*11*1 21*11*1

82*31*2 20*31*2 51*31*2

C

CALCULE: AXB=C

A

2 3

1 1

1 0

and B 1 1 1

1 0 2

1 1 1

3 1 2

8 2 5

12*01*1 10*01*1 11*01*1

32*11*1 10*11*1 21*11*1

82*31*2 20*31*2 51*31*2

C

[3 x 2] [2 x 3]El resultado es 3 x 3

MATRIZ INVERSA

B1

B BB1

I

Como el inverso

de un número en

matemáticas

escalar

Un número igual que en

matemáticas escalar

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

a) Seis arrestos en la semana pasada divididos entre delitos y faltas.

b) Nueve arrestos - había dos veces delitos como el a).

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

9 2 :)

6 :)

21

21

xxb

xxa

SOLUCIÓN:

1 2

1 1 * Inversa de: es

1 2

1 1

9

6 *

1 2

1 1

2

1

x

x

9

6*

1 2

1 1 *

1 2

1 1*

1 2

1 1

2

1

x

x

3

3 *

1 0

0 1

2

1

x

x

3

3

2

1

x

x

FORMA GENERAL: N ECUACIONES EN N VARIABLES

n

j

ijij bAxobxa1

Los valores desconocidos de la variable x pueden ser

encontrados usando la inversa de la matriz A, tal que:

x A1

Ax A1

b

EJERCICIOS PARA LOS ALUMNOS:

1. Dadas las matrices

Calcular si es posible:

23

12A

24

10B

12

31

C

1

5

ABCa) )()21 ABCb T

2))()( AAAc

EJERCICIOS PARA LOS ALUMNOS:

Dadas las matrices:

Calcule :

126

590

362

A

753

242

111

B

BA

AB

)2

)1 22

2

2)4

)3

BABA

BA

BABA

BA

)6

)5 22