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Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 1/40

Álgebra LinealMa1010

Vectores en Rn y producto puntoDepartamento de Matemáticas

ITESM

IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7

AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades


Introducción

En este apartado se introduce el concepto devectores en el espacio n-dimensional asi como elconcepto producto punto entre vectores en elespacio n-dimensional. Se incluyen anotacionesgeométricas sobre estos conceptos.




Vector

Un vector n es arreglo vertical de n númerosreales de la forma:

x =

x1

x2

...xn




Vector

Un vector n es arreglo vertical de n númerosreales de la forma:

x =

x1

x2

...xn

Los elementos xi se llamarán las componentes delvector y podrán ser números reales cualquiera.




Ejemplo

El vector

x =

5

−3

8

−2




Ejemplo

El vector

x =

5

−3

8

−2

es un vector 4, es decir es un vector con 4componentes.




Ejemplo

El vector

x =

5

−3

8

−2

es un vector 4, es decir es un vector con 4componentes. La componente 1 es 5,




Ejemplo

El vector

x =

5

−3

8

−2

es un vector 4, es decir es un vector con 4componentes. La componente 1 es 5, lacomponente 2 es -3,




Ejemplo

El vector

x =

5

−3

8

−2

es un vector 4, es decir es un vector con 4componentes. La componente 1 es 5, lacomponente 2 es -3, la componente 3 es 8,




Ejemplo

El vector

x =

5

−3

8

−2

es un vector 4, es decir es un vector con 4componentes. La componente 1 es 5, lacomponente 2 es -3, la componente 3 es 8, y lacomponente 4 es -2 �




000

0.5 1

0.5

1.50.5

2

1

1.5

1

2

1.5

2.5

3

2

Figura 1: Componentes de un Vector




Igualdad entre vectores

Dos vectores ~x y ~y se dicen vectores iguales sitienen la misma dimensión y las coordenadascorrespondientes son todas iguales.




Ejemplo

Indique para que valor de x y y los vectores soniguales:

x =

[

x− 1

3

]

y =

[

y − 3

x+ 1

]




Ejemplo


x =

[

x− 1

3

]

y =

[

y − 3

x+ 1

]

Soluci onIgualando componentes:

x− 1 = y − 3

3 = x+ 1




Ejemplo


x =

[

x− 1

3

]

y =

[

y − 3

x+ 1

]

Soluci onIgualando componentes:

x− 1 = y − 3

3 = x+ 1

Resolviendo primero para x y luego para yobtenemos:

x = 2 y = 4�




Suma entre vectores

La suma entre vectores ~x y ~y sólo puede realizarsecuando los vectores tienen la misma dimensión,en cuyo caso la suma se calcula:

x1

x2

...xn

+

y1

y2...yn

=

x1 + y1

x2 + y2...

xn + yn




00

0

1

0.5

2

z

1

3

1

4

y

1.52 2

x

34

Figura 2: Suma de dos vectores por Componentes




Producto por escalares

El producto de un escalar c (número real) por unvector ~x da como resultado un vector. Esteproducto se define como:

c

x1

x2

...xn

=

cx1

cx2

...cxn

En la figura 3 se ilustra que el resultado de escalarun vector (hacerlo más pequeño o más grande,inclusive cambiarlo de sentido) coincide con elescalamiento de las componentes del vector.




-3

-2

-8

-6

-1

-4

-6-4

-2

-200

02

2

4

zx

4

y 1

6

2

Figura 3: Producto de escalar por vector




Propiedades

Las operaciones de suma entre vectores yproducto de un escalar por un vector satisfacen lassiguientes propiedades:1 Ley asociativa de la suma de vectores:

(~u+ ~v) + ~w = ~u+ (~v + ~w)

2 Ley conmutativa de la suma de vectores:

~u+ ~v = ~v + ~u

3 Vector cero:

~u+~0 = ~0 + ~u = ~u

4 Inversos aditivos:

~u+ (−~u) = (−~u) + ~u = ~0




5 Propiedad distributiva del producto sobre lasuma:

a (~u+ ~v) = a~u+ a~v

6 Propiedad distributiva de la suma se escalaressobre el producto:

(a+ b) ~u = a~u+ b~u

7 Propiedad asociativa del producto:

(ab) ~u = a (b~u) = b (a~u)

8 Propiedades generales:

1~u = ~u y 0~u = ~0




Aplicaciones de vectores

Ejemplo

Suponga una empresa maquiladora que a partirde componentes tipos básicos A, B y C ensamblaotros componentes. A los componentes A, B y C

los podemos considerar como materia prima,además son direrentes y un tipo no puede suplir aotro. Normalmente, la empresa tiene almacenadoen un buen número de estos componentes y llevaun control estricto de las cantidades. El personalde almacen por conveniencia reporta el contenidoy la salida de materiales por un vector de 3componentes. En lugar de decir: en bodega hay200 componentes tipo A, 250 componentes tipo B

y 347 componentes tipo C, la gente de bodegadice tenemos < 200, 250, 347 >.




Ejemplo

Siguiendo con el ejemplo, suponga queinicialmente poseen < 1200, 1400, 800 >. Un mesdespués salen cuatro pedidos por < 25, 30, 50 >cada uno y entra < 100, 300, 200 >. En el siguientemes salen tres pedidos por < 30, 25, 30 > cada unoy no hay entrada. Indique cuál es la cantidad dematerial en bodega.




Ejemplo

Siguiendo con el ejemplo, suponga queinicialmente poseen < 1200, 1400, 800 >. Un mesdespués salen cuatro pedidos por < 25, 30, 50 >cada uno y entra < 100, 300, 200 >. En el siguientemes salen tres pedidos por < 30, 25, 30 > cada unoy no hay entrada. Indique cuál es la cantidad dematerial en bodega.Soluci on

1200

1400

800

−4

25

30

50

+

100

300

200

−3

30

25

30

=

1110

1505

710

Quedan 1110 tipo A, 1505 tipo B y 710 tipo C �




Producto punto

Sean ~u =< u1, u2, · · · , un >, y ~v =< v1, v2, · · · , vn >dos vectores cualquiera en Rn.




Producto punto

Sean ~u =< u1, u2, · · · , un >, y ~v =< v1, v2, · · · , vn >dos vectores cualquiera en Rn. El producto Punto,o producto escalar, de ~u y ~v se define como

~u • ~v = u1 v1 + u2 v2 + · · ·+ un vn




Ejemplo

Determine el producto punto entre los vectores:

v =< 2, 3,−4 > y v =< 2,−1,−1 >




Ejemplo


v =< 2, 3,−4 > y v =< 2,−1,−1 >

Soluci onDe la propia definición del producto punto:

2

3

−4

•

2

−1

−1

=




Ejemplo


v =< 2, 3,−4 > y v =< 2,−1,−1 >


2

3

−4

•

2

−1

−1

= (2) · (2) + (3) · (−1) + (−4) · (−1)

=




Ejemplo


v =< 2, 3,−4 > y v =< 2,−1,−1 >


2

3

−4

•

2

−1

−1

= (2) · (2) + (3) · (−1) + (−4) · (−1)

= 4− 3 + 4 = 5�




NotaEs importante observar que el producto punto essólo entre vectores de la misma dimensión:




NotaEs importante observar que el producto punto essólo entre vectores de la misma dimensión: Noentre un escalar y un vector;




NotaEs importante observar que el producto punto essólo entre vectores de la misma dimensión: Noentre un escalar y un vector; No entre dosvectores de diferente dimensión.




NotaEs importante observar que el producto punto essólo entre vectores de la misma dimensión: Noentre un escalar y un vector; No entre dosvectores de diferente dimensión. También debeobservarse que el resultado del producto punto esun escalar, no un vector.




Ejemplo

Indique cuales opciones contienen operacionesindefinidas:

1. ~u • (~v • ~w) 2. ~u • ~u+ 2

3. (~u • ~v)~w 4. ~u • (3~v)5. (~u • ~u)3 6. ~u • (3 + ~w)

7. (~u • ~v)(~v • ~w)




Ejemplo


1. ~u • (~v • ~w) 2. ~u • ~u+ 2

3. (~u • ~v)~w 4. ~u • (3~v)5. (~u • ~u)3 6. ~u • (3 + ~w)

7. (~u • ~v)(~v • ~w)

Soluci on1. Indefinida porque (~v • ~w) es un escalar.




Ejemplo


1. ~u • (~v • ~w) 2. ~u • ~u+ 2

3. (~u • ~v)~w 4. ~u • (3~v)5. (~u • ~u)3 6. ~u • (3 + ~w)

7. (~u • ~v)(~v • ~w)

Soluci on2. Definida porque es una suma entre escalares.




Ejemplo


1. ~u • (~v • ~w) 2. ~u • ~u+ 2

3. (~u • ~v)~w 4. ~u • (3~v)5. (~u • ~u)3 6. ~u • (3 + ~w)

7. (~u • ~v)(~v • ~w)

Soluci on3. Definida porque es un escalar por un vector.




Ejemplo


1. ~u • (~v • ~w) 2. ~u • ~u+ 2

3. (~u • ~v)~w 4. ~u • (3~v)5. (~u • ~u)3 6. ~u • (3 + ~w)

7. (~u • ~v)(~v • ~w)

Soluci on4. Definida.




Ejemplo


1. ~u • (~v • ~w) 2. ~u • ~u+ 2

3. (~u • ~v)~w 4. ~u • (3~v)5. (~u • ~u)3 6. ~u • (3 + ~w)

7. (~u • ~v)(~v • ~w)

Soluci on5. Definida: es un escalar al cubo.




Ejemplo


1. ~u • (~v • ~w) 2. ~u • ~u+ 2

3. (~u • ~v)~w 4. ~u • (3~v)5. (~u • ~u)3 6. ~u • (3 + ~w)

7. (~u • ~v)(~v • ~w)

Soluci on6. Indefinida: lo que falla es la suma de escalarcon vector.




Ejemplo


1. ~u • (~v • ~w) 2. ~u • ~u+ 2

3. (~u • ~v)~w 4. ~u • (3~v)5. (~u • ~u)3 6. ~u • (3 + ~w)

7. (~u • ~v)(~v • ~w)

Soluci on7. Definida: es un producto entre escalares �




Ortogonalidad

Dos vectores ~u y ~v, se dice que son vectoresortogonales, si

~u • ~v = 0




Ejemplo

Diga si las siguientes parejas de vectores son o noortogonales:

u1 =< 2, 3,−4 > y u2 =< 1, 2, 3 >

v1 =< 2, 3 > y v2 =< −3, 2 >




Ejemplo


u1 =< 2, 3,−4 > y u2 =< 1, 2, 3 >

v1 =< 2, 3 > y v2 =< −3, 2 >

Soluci onLos vectores < 2, 3,−4 > y < 1, 2, 3 > no sonortogonales debido a que




Ejemplo


u1 =< 2, 3,−4 > y u2 =< 1, 2, 3 >

v1 =< 2, 3 > y v2 =< −3, 2 >


< 2, 3,−4 > • < 1, 2, 3 >= (2)·(1)+(3)·(2)+(−4)·(3) = −4 6= 0




Ejemplo


u1 =< 2, 3,−4 > y u2 =< 1, 2, 3 >

v1 =< 2, 3 > y v2 =< −3, 2 >


< 2, 3,−4 > • < 1, 2, 3 >= (2)·(1)+(3)·(2)+(−4)·(3) = −4 6= 0

Los vectores < 2, 3 > y < −3, 2 > sí sonortogonales debido a que:




Ejemplo


u1 =< 2, 3,−4 > y u2 =< 1, 2, 3 >

v1 =< 2, 3 > y v2 =< −3, 2 >


< 2, 3,−4 > • < 1, 2, 3 >= (2)·(1)+(3)·(2)+(−4)·(3) = −4 6= 0

Los vectores < 2, 3 > y < −3, 2 > sí sonortogonales debido a que:

< 2, 3 > • < −3, 2 >= (2) · (−3) + (3) · (2) = 0�




Longitud o norma

La norma de un vector ~u se define como

‖~u‖ =√~u • ~u =

√

u12 + · · · un

2




Ejemplo

Determine la norma del vector:

v =< 2,−3, 1 >




Ejemplo


v =< 2,−3, 1 >

Soluci onDirectamente de la definción:

‖ < 2,−3, 1 > ‖ =




Ejemplo


v =< 2,−3, 1 >


‖ < 2,−3, 1 > ‖ =√

(2) · (2) + (−3) · (−3) + (1) · (1)




Ejemplo


v =< 2,−3, 1 >


‖ < 2,−3, 1 > ‖ =√

(2) · (2) + (−3) · (−3) + (1) · (1)=

√14�




Distancia entre vectores

La distancia euclidiana entre los vectores ~u y ~v, sedefine como

d~u,~v = ‖~u− ~v‖




Ejemplo

Determine la distancia entre el punto P (2, 3, 0) y elpunto Q = (0, 6,−1).




Ejemplo

Determine la distancia entre el punto P (2, 3, 0) y elpunto Q = (0, 6,−1).Soluci onDirectamente de la definición tenemos:

d~P , ~Q =




Ejemplo


d~P , ~Q = ‖ < 2, 3, 0 > − < 0, 6,−1 > ‖=




Ejemplo


d~P , ~Q = ‖ < 2, 3, 0 > − < 0, 6,−1 > ‖= ‖ < 2,−3, 1 > ‖=




Ejemplo


d~P , ~Q = ‖ < 2, 3, 0 > − < 0, 6,−1 > ‖= ‖ < 2,−3, 1 > ‖=

√

22 + (−3)2 + 12

=




Ejemplo


d~P , ~Q = ‖ < 2, 3, 0 > − < 0, 6,−1 > ‖= ‖ < 2,−3, 1 > ‖=

√

22 + (−3)2 + 12

=√14�




Vector unitario

Un vector ~u se dice vector unitario, o simplementeunitario , si

‖~u‖ = 1




Ejemplo

Diga si los siguientes vectores son unitarios:

u =< 1, 2 > y v =< 1/√2,−1/

√2 >




Ejemplo


u =< 1, 2 > y v =< 1/√2,−1/

√2 >

Soluci onEl vector < 1, 2 > no es unitario debido a que:

‖ < 1, 2 > ‖ =√

< 1, 2 > • < 1, 2 > =√1 + 4 6= 1




Ejemplo


u =< 1, 2 > y v =< 1/√2,−1/

√2 >

Soluci on

Mientras que el vector < 1/√2,−1/

√2 > sí es

unitario porque:

‖ < 1/√2,−1/

√2 > ‖ =

√

1/2 + 1/2 = 1�




Ángulo entre vectores

El ángulo entre vectores ~u y ~v, se define como elúnico número θ (0 ≤ θ ≤ π)que cumple

cos (θ) =~u • ~v

‖~u‖ ‖~v‖




Ejemplo

Determine el ángulo entre los vectores~P =< 1, 2 > y ~Q =< 1,−1 >.




Ejemplo

Determine el ángulo entre los vectores~P =< 1, 2 > y ~Q =< 1,−1 >.Soluci onComo

~P • ~Q = 1− 2 = −1, ‖~P‖ =√5, ‖ ~Q‖ =

√2




Ejemplo

Determine el ángulo entre los vectores~P =< 1, 2 > y ~Q =< 1,−1 >.Soluci onComo

~P • ~Q = 1− 2 = −1, ‖~P‖ =√5, ‖ ~Q‖ =

√2

De donde:

cos (θ) =~P • ~Q

‖~P‖ · ‖ ~Q‖=

−1√10

≈= −0.31622,

de donde

θ ≈ 1.8925(en radianes), θ ≈ 108.43o�




Proyección ortogonal

Sean ~u y ~v dos vectores en Rn, ninguno de los dosel vector cero, La proyección ortogonal de ~u sobre~v se define como el vector

~upr,~v =

(

~u • ~v~v • ~v

)

~v.

En la figura 4 se ilustra la proyección ortogonal deun vector sobre otro.




Componentes de un vector

0

0.5

1

1.5

2

–1

–0.5 0.5 1 1.5 2

Figura 4: Proyección Ortogonal




Ejemplo

Determine la proyección de ~u =< 1, 2 > sobre~v =< 1, 1 >.




Ejemplo

Determine la proyección de ~u =< 1, 2 > sobre~v =< 1, 1 >.Soluci onComo

~u • ~v = 3, ~v • ~v = 2

Así




Ejemplo

Determine la proyección de ~u =< 1, 2 > sobre~v =< 1, 1 >.Soluci onComo

~u • ~v = 3, ~v • ~v = 2

Así

~upr,~v =3

2< 1, 1 >=<

3

2,3

2> �




Componente vectorial

La componente vectorial de ~u ortogonal a ~v sedefine como el vector

~uc,~v = ~u−(

~u • ~v~v • ~v

)

~v

En la figura 5 se ilustra la componente vectorialsobre un vector.




Componentes de un vector

0

0.5

1

1.5

2

–1

–0.5 0.5 1 1.5 2

Figura 5: Componente vectorial




Ejemplo

Determine la componente ortogonal de~u =< 1, 2 > sobre ~v =< 1, 1 >.




Ejemplo


Soluci onComo

~u • ~v = 3, ~v • ~v = 2




Ejemplo


Soluci onComo

~u • ~v = 3, ~v • ~v = 2

Así

~uc~v =< 1, 2 > −3

2< 1, 1 >=< −1

2,1

2>




Propiedades del Producto Punto

Para cualquier vectores ~u, ~v, y ~w en Rn y escalar cse cumple1 Simetrıa :

~u • ~v = ~v • ~u




Propiedades del Producto Punto

Para cualquier vectores ~u, ~v, y ~w en Rn y escalar cse cumple1 Simetrıa :

~u • ~v = ~v • ~u2 Aditividad :

~u • (~v + ~w) = ~u • ~v + ~u • ~w




3. Homogeneidad :

c (~u • ~v) = (c ~u) • ~v = ~u • (c~v)




3. Homogeneidad :

c (~u • ~v) = (c ~u) • ~v = ~u • (c~v)

4. Positividad :~u • ~u ≥ 0




3. Homogeneidad :

c (~u • ~v) = (c ~u) • ~v = ~u • (c~v)

4. Positividad :~u • ~u ≥ 0

Además,

~u • ~u = 0 si y sólo si ~u = ~0




Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Teorema

Para cualquiera dos vectores ~u y ~v en Rn secumple

|~u • ~v| ≤ ‖~u‖ ‖~v‖





Teorema


|~u • ~v| ≤ ‖~u‖ ‖~v‖Además, la igualdad se cumple si y sólo si

los vectores ~u y ~v son múltiplos escalaresentre sí.





Teorema


|~u • ~v| ≤ ‖~u‖ ‖~v‖Además, la igualdad se cumple si y sólo si

los vectores ~u y ~v son múltiplos escalaresentre sí.

El resultado anterior se conoce como ladesigualdad de Cauchy-Schwarz.




Desigualdad del Triángulo

Teorema


‖~u+ ~v‖ ≤ ‖~u‖+ ‖~v‖.




Desigualdad del Triángulo

Teorema


‖~u+ ~v‖ ≤ ‖~u‖+ ‖~v‖.

El resultado anterior se conoce como ladesigualdad del triángulo.




Teorema de Pitágoras

Teorema

Los vectores ~u y ~v son ortogonales si y sólosi se cumple

‖~u+ ~v‖2 = ‖~u‖2 + ‖~v‖2.




Teorema de Pitágoras

Teorema

Los vectores ~u y ~v son ortogonales si y sólosi se cumple

‖~u+ ~v‖2 = ‖~u‖2 + ‖~v‖2.

El resultado anterior se conoce como el Teoremade Pitágoras.

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