sesión 1 (Álgebra lineal ucc)
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8/9/2019 Sesión 1 (Álgebra Lineal UCC)
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Ecuaciones lineales y matricesMétodo de eliminación
Problemas lineales de planteo
Sesión 1
Ecuaciones lineales, matrices y Método de reducción
Frank Didier Suárez Motato
Departamento de Matemáticas
Universidad Cooperativa de Colombia
6 de febrero de 2015
Frank Didier Suárez Motato Ecuaciones lineales, matrices y ... 1 / 1 1
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Ecuaciones lineales y matricesMétodo de eliminación
Problemas lineales de planteoSistemas lineales
Sistemas lineales
Una ecuación del tipo
ax = b
que expresa la variable b en términos de la variable x y la constante a, se
denomina ecuación lineal Se utiliza la palabra lineal, porque la gráfica de
la ecuación anterior es una ĺınea recta.
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Ecuaciones lineales y matricesMétodo de eliminación
Problemas lineales de planteoSistemas lineales
Sistemas lineales
De manera análoga, la ecuación:
a1x1 + a2x2 + a3x3 + · · · + anxn = b (1)
que expresa a b en términos de las variables x1, x2, · · ·xn y las constantes
conocidas a1, a2, · · · an, se denomina ecuación lineal. En muchas aplicaciones
se nos dan b y las constantes b1, b2, · · · bn y nos dicen que debemos determi-
nar los números x1, x2, x3,· · ·
xn denominados incógnitas, que satisfacen laecuación (1)
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E i li l i
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Ecuaciones lineales y matricesMétodo de eliminación
Problemas lineales de planteoSistemas lineales
Sistemas lineales
Una solución de una ecuación lineal (1) es una sucesión de n números
s1, s2, . . . , sn que tienen la propiedad de satisfacer (1) cuando x1 = s1, x2 =
s2, . . . , xn = sn se sustituyen en (1)
Solución de una ecuación lineal
Observe que x1 = 2, x2 = 3, x3 = −4 es una solución de la ecuación lineal
6x1 − 3x2 + 4x3 = −13
Como ejercicio, usted encuentre otra solución de la ecuación lineal.
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E i li l t i
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Ecuaciones lineales y matricesMétodo de eliminación
Problemas lineales de planteoSistemas lineales
Sistemas lineales
Una solución de una ecuación lineal (1) es una sucesión de n números
s1, s2, . . . , sn que tienen la propiedad de satisfacer (1) cuando x1 = s1, x2 =
s2, . . . , xn = sn se sustituyen en (1)
Solución de una ecuación lineal
Observe que x1 = 2, x2 = 3, x3 = −4 es una solución de la ecuación lineal
6x1 − 3x2 + 4x3 = −13
Como ejercicio, usted encuentre otra solución de la ecuación lineal.
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Ecuaciones lineales y matrices
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Ecuaciones lineales y matricesMétodo de eliminación
Problemas lineales de planteoSistemas lineales
Sistemas lineales
De manera más general, un sistema de m ecuaciones lineales con n
incógnitas x1, x2, · · · , xn es un conjunto de m ecuaciones lineales, cada una
con n
incógnitas. Un sistema lineal lo denotamos de la siguiente forma:
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2...
......
... =...
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm
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Ecuaciones lineales y matrices
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Ecuaciones lineales y matricesMétodo de eliminación
Problemas lineales de planteoSistemas lineales
Sistemas lineales
Los sub́ındices los utilizamos de la siguiente forma, el primer ı́ndice i ı́ndica
que estamos trabajando con la i-ésima ecuacíon, mientras que el segundo
sub́ındice j
, está asociado con la j-ésima variable xj , ası́ la i-ésima ecuación
es:
ai1x1 + ai2x2 + · · · + ainxn = bi
En la matriz anterior las aij es son constantes conocidas. Ddos los valores de
b1, b2, . . . bm, queremos determinar los valores de x1, x2, . . . , xn que satisfacen
cada ecuación de la matriz anterior.
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Ecuaciones lineales y matrices
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Ecuaciones lineales y matricesMétodo de eliminación
Problemas lineales de planteo
Método de eliminación
Ejemplo del método de eliminación
Resuelva el siguiente sistema lineal usando el método de eliminación:
1
3x + 2y = 1
5x + y = 6 (2)
2
x + 5y = 5
5x + 2y = 3 (3)
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Ecuaciones lineales y matrices
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Problemas lineales de planteo
Método de eliminación
Ejemplo del método de eliminación
Resuelva el siguiente sistema lineal usando el método de eliminación:
1
3x + 2y = 1
5x + y = 6 (2)
2
x + 5y = 5
5x + 2y = 3 (3)
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yMétodo de eliminación
Problemas lineales de planteo
Soluciones posibles de un sistema lineal de dos variables
Dado que las ecuaciones en dos variables geométricamente son representadas
por rectas, entonces las posibilidades de solución seŕıan, cuando se intercep-
tan en un punto, en infinitos puntos o son paralelas. En su orden se tendŕıa
que:
El sistema tiene solución única. Ya visto en los ejemplos anteriores.
El sistema tiene infinitas soluciones.
x + 5y = 5
3x + 15y = 15 (4)
El sistema es inconsistente.
3x + 2y = 6
6x + 4y = 3 (5)
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Ecuaciones lineales y matrices
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Método de eliminaciónProblemas lineales de planteo
Método de eliminación
Ejercicios del método de eliminación1
3x + 2y + z = 1
5x + y − z = 6
x − y + 3z = 7 (6)
2
x + 5y − 5z = 5
x + y = 6
x − z = 12 (7)
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Ecuaciones lineales y matricesM´ d d li i i´
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Método de eliminaciónProblemas lineales de planteo
Método de eliminación
Ejercicios del método de eliminación1
3x + 2y + z = 1
5x + y − z = 6
x − y + 3z = 7 (6)
2
x + 5y − 5z = 5
x + y = 6
x − z = 12 (7)
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Ecuaciones lineales y matricesM t́ d d li i i´
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Metodo de eliminacionProblemas lineales de planteo
Planteamiento de sistemas lineales
Problema de refineŕıa
Una refineŕıa produce gasolina con azufre y sin azufre. Para producir cada
tonelada de gasolina sin azufre se necesitan 5 minutos en la planta
mezcladora y 4 minutos en la planta de refineŕıa, mientras que cada
tonelada de gasolina con azufre necesita 4 minutos en la planta mezcladora
y 2 minutos en la planta de refinación. Si la planta mezcladora
está disponible 3 horas y la de refinación 2 horas, ¿cuántas toneladas de
cada tipo de gasolina deben producirse de modo que las plantas operen a
toda su capacidad?
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Ecuaciones lineales y matricesMétodo de eliminación
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Metodo de eliminacionProblemas lineales de planteo
Planteamiento de sistemas lineales
Reveladores de peĺıcula
Un fabricante produce reveladores de peĺıculas de 2, 6 y 9 minutos. La
fabricación de cada tonelada del revelador de 2 minutos requiere 6 minutos
en la planta A
y 24 minutos en la planta B
para manufacturar cadatonelada del revelador de 6 minutos son necesarios 12 minutos en la planta
A y 12 minutos en la planta B. Por último, para producir cada tonelada del
revelador de 9 minutos se utiliza 12 minutos la planta A y 12 minutos la
planta B. Si la planta A está disponible 10 horas al d́ıa y la planta B 16horas diarias, ¿cuántas toneladas de cada tipode revelador de peĺıcula
pueden producirse de modo que las plantas operen a toda su capacidad?
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