unidad 1: Álgebra de matrices ejercicios propuestos
TRANSCRIPT
Curso 2021-2022 MATEMATICAS II Unidad 1: Álgebra de matrices.
Unidad 1 Página 1
ÁLGEBRA LINEAL
Unidad 1: ÁLGEBRA DE MATRICES
EJERCICIOS PROPUESTOS
Contenidos Criterios
de evaluación Estándares de aprendizaje
evaluables
Matrices
- Conceptos básicos: matriz fila, matriz columna, dimensión, matriz cuadrada, traspuesta, simétrica, triangular...
Operaciones con matrices
- Suma, producto por un número, producto. Propiedades.
- Resolución de ecuaciones matriciales.
Matrices cuadradas - Matriz unidad. - Matriz inversa de otra. - Obtención de la inversa
de una matriz por el método de Gauss.
n-uplas de números reales
- Dependencia e independencia lineal.
- Obtención de una n-upla combinación lineal de otras.
- Constatación de si un conjunto de n-uplas son L.D. o L.I.
Rango de una matriz
- Obtención del rango de una matriz por observación de sus elementos (en casos evidentes).
- Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss.
1. Conocer y utilizar
eficazmente las matrices,
sus operaciones y sus
propiedades.
1.1. Realiza operaciones
combinadas con
matrices (elementales).
1.2. Resuelve ecuaciones
matriciales.
2. Conocer el significado de
rango de una matriz y
calcularlo mediante el
método de Gauss.
2.1. Calcula el rango de una
matriz numérica.
2.2. Calcula el rango de una
matriz que depende de
un parámetro.
3. Resolver problemas
algebraicos mediante
matrices y sus
operaciones.
3.1. Expresa un enunciado
mediante una relación
matricial y, en ese caso,
lo resuelve e interpreta
la solución dentro del
contexto del enunciado.
Curso 2021-2022 MATEMATICAS II Unidad 1: Álgebra de matrices.
Unidad 1 Página 2
EJERCICIOS PROPUESTOS
(los 15 ejercicios de esta unidad debes resolverlos en un
cuaderno o en hojas sueltas y entregarlos DE FORMA
VOLUNTARIA el día del examen como parte del mismo)
Si un alumno entrega los ejercicios propuestos resolverá en
el examen un máximo de siete ejercicios (elegidos libremente). La
nota del examen será la suma de la nota de la prueba escrita más
la nota de los ejercicios.
LA ENTREGA DE LOS EJERCICIOS ES TOTALMENTE
VOLUNTARIA.
El alumno que entregue los ejercicios, resuelve un máximo
de siete ejercicios del examen.
El alumno que no entregue los ejercicios, resuelve en el
examen los diez ejercicios.
Dispones de unos apuntes de la asignatura en este enlace MAREA VERDE
Bienvenido a la asignatura. Te tengo que dar ánimos porque los vas a
necesitar. La asignatura se ha complicado desde la aplicación de la nueva ley de
educación, porque además de ser obligatoria, han introducido tres unidades
temáticas más.
Debes estudiar catorce unidades didácticas en diez quincenas.
No es fácil, ¿verdad?
Mi trabajo, en primer lugar, es ayudarte a que lo consigas.
¿Cómo lo vamos a hacer?
Este curso he preparado para cada unidad una colección de ejercicios que
te ayuden a conseguir los denominados “estándares de aprendizaje”
En los exámenes aparecerán exclusivamente problemas y ejercicios
similares a los que figuran en estos documentos.
Curso 2021-2022 MATEMATICAS II Unidad 1: Álgebra de matrices.
Unidad 1 Página 3
1.1. Realiza operaciones combinadas con matrices elementales.
Las matrices son objetos matemáticos de gran aplicación práctica,y se utilizan
sobre todo para guardar información. Abre tu libro de texto por este tema.
Aquí tienes un video muy simple para
que veas cómo se guarda la información en
tablas, o lo que es lo mismo, en matrices.
Video 1 – 1 – 1 : https://www.youtube.com/watch?v=IwdHftE8RJI
En el video anterior has comprobado
cómo la información se puede guardar en una
matriz que no es sino una tabla, con filas y
columnas, encerrada entre paréntesis, pero hay también otro tipo de información que no
proviene de una tabla y son los denominados
grafos.
Ejercicio 1 – 1: (este es el primero de
los ejercicios propuestos)
Te pido que construyas la matriz
asociada al grafo que figura en el video.
.
Video 1 – 1 – 2 : https://www.youtube.com/watch?v=k1mtRVeqNvA
Te voy a dar otro video de ayuda. A partir
del minuto 3:00 encontrarás ejemplos.
Video 1 – 1 – a : https://www.youtube.com/watch?v=cNAkUZaiDo4
El siguiente video te explica la nomenclatura
que se utiliza cuando trabajamos con matrices. Es
importante que no te resulte extraña. Te recomiendo
encarecidamente que prestes atención a este video.
Video 1 – 1 - 3 :
https://www.youtube.com/watch?v=T1_NBluhp9o
Curso 2021-2022 MATEMATICAS II Unidad 1: Álgebra de matrices.
Unidad 1 Página 4
Vamos a estudiar los tipos de matrices que hay.
Video 1 – 1 – 4 : https://www.youtube.com/watch?v=Fq1IfWlr9gs
Video 1 – 1 – 5 : https://www.youtube.com/watch?v=tvsc82KnyH8
Video 1 – 1- 6 : https://www.youtube.com/watch?v=8GQALYeQgGc
Ejercicio 1 – 2 :
Escribe un ejemplo de cada uno de los tipos de matrices que existen (localiza por
lo menos diez). Los videos anteriores te ayudarán (EN TU LIBRO DE TEXTO O
APUNTES TAMBIÉN LAS ENCONTRARÁS).
Ejercicio 1 – 3 :
Una operación con matrices muy sencilla es
calcular la matriz traspuesta. Este video te ayudará
resolver el ejercicio.
Video 1 – 1 - c: https://www.youtube.com/watch?v=YBmPsTeH2wA
Empezamos a sumar y restar matrices.
Échale un vistazo a los dos minutos y medio
primeros de este video.
Video 1 – 1 – d : https://www.youtube.com/watch?v=aE2Tn52RYMs
Ejercicio 1 – 4 : Realiza el siguiente ejercicio:
Has comprobado que sumar y restar matrices es sencillo. Multiplicar un número
por una matriz también es fácil. Pero multiplicar dos matrices entre sí es algo muy
laborioso. De hecho debes tener presente la siguiente idea: muy pocas matrices se
pueden multiplicar entre sí.
Curso 2021-2022 MATEMATICAS II Unidad 1: Álgebra de matrices.
Unidad 1 Página 5
Para que dos matrices se puedan multiplicar debe verificarse una condición que
veremos más adelante.
Primero vamos a estudiar cómo se multiplica una fila por una columna.
Empezamos a multiplicar filas por columnas. Ya verás en el video que
multiplicar columnas por filas es más complicado. De momento quiero que aprendas a
multiplicar una fila por una columna.
Video 1 – 1 – e : https://www.youtube.com/watch?v=I4LAyLG4Yg8
Ahora te toca a ti.
Ejercicio 1 – 5 :
Calcula el producto ( ) (
)
En tu libro de texto encontrarás al menos un ejemplo de cómo se multiplican dos
matrices. Búscalo y mantén el libro abierto por esa hoja.
Pasamos ya a multiplicar dos matrices. Te doy varios videos de ayuda para que
tú después resuelvas el ejercicio.
Video 1 – 1- f – 1 : https://www.youtube.com/watch?v=S2FeN2drD-o
Video 1 – 1- f – 2 : https://www.youtube.com/watch?v=eRBuGozq6Us
Video 1 – 1- f – 3 : https://www.youtube.com/watch?v=8CFrHkvy-5E
Ejercicio 1 – 6 :
i) Efectúa el producto de las dos matrices que aparecen en alguno de los
videos anteriores.
Curso 2021-2022 MATEMATICAS II Unidad 1: Álgebra de matrices.
Unidad 1 Página 6
ii)
(SON DEMASIADOS PERO HAY ALGUNOS PRODUCTOS QUE NO SE PUEDEN EFECTURAR COMO A·B) Ejercicio 1 – 7 :
Es importante que domines bien las operaciones con matrices por eso te pido que
sigas practicando con este ejercicio.
Ahora un ejercicio más complicado para que tengas que pensar. ¿Cómo
multiplicarías tres matrices? Te doy una pista: ¿Cómo multiplicas tres números?
Ejercicio 1 – 8 :
Ejercicio 1 – 9 :
Ahora un ejercicio de repaso.
Calcular la potencia de una matriz es lo mismo
que multiplicarla por sí misma un cierto número de
veces. En este video te lo explican.
Video 2 – 1- 7 :
https://www.youtube.com/watch?v=mGgv2QkAcVE
Curso 2021-2022 MATEMATICAS II Unidad 1: Álgebra de matrices.
Unidad 1 Página 7
1.2. Resuelve ecuaciones matriciales
En la asignatura de matemáticas I estudiaste cómo se resolvían las ecuaciones y
los sistemas de ecuaciones con números reales. Esas mismas ecuaciones se pueden
plantear cuando las incógnitas sean matrices. A estas ecuaciones se les denominan
ecuaciones matriciales. Las resolveremos en la siguiente unidad utilizando la matriz
inversa.
Pero hay ecuaciones que se pueden resolver sin la matriz inversa. Más adelante
te voy a mostrar varios ejercicios resueltos y quiero que los copies en tu cuaderno de
ejercicios para entregar. Si no entiendes algún paso de la resolución solicítame ayuda
por email.
Ejercicio 1 – 10.-
Quiero que resuelvas en tu cuaderno el siguiente ejercicio, pero que sustituyas en
las matrices los dos doses por dos treses. Adelante, es tu turno.
Solución:
Ejercicio 1 – 11.-
Quiero que resuelvas en tu cuaderno el siguiente ejercicio, pero que sustituyas en
las matrices los dos ceros por dos cuatros.
Solución:
Curso 2021-2022 MATEMATICAS II Unidad 1: Álgebra de matrices.
Unidad 1 Página 8
Los sistemas de ecuaciones lineales con matrices sí podemos resolverlos ahora.
Ejercicio 1 - 12.- En el siguiente video te explican cómo resolver un
sistema de dos ecuaciones lineales con dos matrices
incógnitas. Luego inténtalo tú con el que yo te propongo.
Video 1 – 2 – d :
https://www.youtube.com/watch?v=ljZ3p_QEG3A
2.1. Calcula el rango de una matriz numérica
Las filas y las columnas de una matriz son consideradas en geometría como
vectores y se habla de independencia o dependencia lineal.
La definición de rango de una matriz (cuadrada o rectangular) hace referencia a
la dependencia lineal de sus vectores fila (o columna).
Te presento un video donde te explican
la dependencia lineal de vectores de dos
componentes.
Video 1 – 3 – 1 : https://www.youtube.com/watch?v=JRPxZMOr-NI
Según el video anterior dos vectores de
dos componentes, son linealmente dependientes
cuando son múltiplos o proporcionales.
En unidades posteriores estudiaremos vectores de tres componentes. Veremos
que tres vectores son linealmente independientes cuando no se puede obtener ninguno
de ellos como combinación lineal de los otros dos.
Por lo tanto serán linealmente dependientes cuando
uno de ellos sea proporcional a otro o bien cuando
uno de ellos sea combinación lineal de los otros dos.
En el siguiente video se determina si tres vectores
son o no linealmente independientes.
Video 1 – 3 – 2 : https://www.youtube.com/watch?v=vwR00PnCCrY
Curso 2021-2022 MATEMATICAS II Unidad 1: Álgebra de matrices.
Unidad 1 Página 9
Más adelante estudiaremos los vectores y volveremos a este asunto. De
momento quédate con la idea siguiente: el rango de una matriz es el número de vectores
fila (o columna) que son linealmente independientes entre sí. El rango de una matriz
es un número.
En la unidad 2 calcularemos el rango utilizando determinantes. Por eso en el
examen dispondrás de dos métodos distintos, y no te voy a obligar a utilizar uno u otro:
tu elegirás el método que te resulte más sencillo o cómodo o rápido.
En los siguientes videos te explican cómo calcular el rango de una matriz por el
método de Gauss.
Video 1 – 3 – 1 : https://www.youtube.com/watch?v=A5bpIV1BfPM
Video 1 – 3 – 2 : https://www.youtube.com/watch?v=l0OhlQmm6Rk
A veces podemos tachar filas o columnas para calcular el rango de forma más
fácil. Presta atención al siguiente video.
Video 1 – 3 – 2 : https://www.youtube.com/watch?v=0ORgg-n-ReU
Esto me parece muy interesante y deberías aprenderlo ahora por esto te
propongo el siguiente ejercicio.
Ejercicio 1 - 13.- Calcula el rango de la matriz que aparece
en el video anterior Video 1 – 3 – 2: https://www.youtube.com/watch?v=0ORgg-n-ReU
2.2. Calcula el rango de una matriz que depende de un
parámetro
En el siguiente video se resuelve un ejercicio muy complicado que hace
referencia al rango de una matriz que contiene números y una letra que se denomina
parámetro.
Video 1 – 4 – 1 : https://www.youtube.com/watch?v=w24IjhkRhKE
Creo que este método te va a resultar más complicado que el que veremos en la
unidad 2. Te aconsejo que esperes hasta entonces.
Curso 2021-2022 MATEMATICAS II Unidad 1: Álgebra de matrices.
Unidad 1 Página 10
3.1. Expresa un enunciado mediante una relación matricial y,
en ese caso, lo resuelve e interpreta la solución dentro del
contexto del enunciado.
Te voy a mostrar dos ejemplos de problemas que se plantean con matrices y se
utiliza como operación el producto de dos matrices.
Ejercicio 1 - 14.- Quiero que copies el enunciado y la resolución de este ejercicio en tu cuaderno.
Solución:
Ejercicio 1 - 15.- Quiero que copies el enunciado y la resolución de este ejercicio en tu cuaderno.
Solución:
Curso 2021-2022 MATEMATICAS II Unidad 1: Álgebra de matrices.
Unidad 1 Página 11
Si quieres practicar un poco más, te ofrezco otro ejercicio en el siguiente
video:
Video 1 – 5 – c : https://www.youtube.com/watch?v=ikB8QrDWwdg
Ya hemos acabado la unidad . ¿Qué te ha parecido?
Te pregunto y me respondo: Ejercicios muy fáciles y otros más
complicados. Esta será la tónica general de todo el curso.
Lo importante es que los tengas todos resueltos en el cuaderno que me vas a
entregar en el examen.
Si no te han quedado claros los métodos de resolución contacta conmigo y
en una tutoría individual trataré de aclarártelos o te resolveré los ejercicios por
otros procedimientos. No dudes en recurrir a mi ayuda, para eso soy el profesor y
tú el alumno.