ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

SECCIONES CÓNICAS, SUMATORIAS Y PRODUCTORIAS

POR:

DEWIS DUAR MORENO COTTA (1047425765)

ADALUZ VILLAMIZAR (1065996185)

Número de grupo 301301_912

PRESENTADO A:

CARLOS EMEL RUIZ

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA. UNAD

14/11/2015 Cartagena, Bolívar

INTRODUCCION

Con el actual trabajo profundizamos en la unidad 3 “GEOMETRIA ANALITICA,

SUMATORIAS Y PRODUCTORIAS”, por medio de ejercicios prácticos y utilizando los

medios proporcionados por la plataforma virtual, como soporte y ayuda para la solución de

estos, se logra interiorizar todos los conocimientos.

Con la realización de los ejercicios propuestos se evidencia el nivel conocimiento adquirido y

la forma adecuada como los estudiantes a interiorizado los temas de la unidad, y se logra

una adecuada comunicación con los miembros del grupo en el foro, fortaleciendo así el grupo

colaborativo y preparándose para la terminación satisfactoria del semestre, y más aun

obteniendo herramientas para encarar la vida profesional.

OBJETIVOS.

Realizar un aprendizaje significativo de todos los temas que abracan la unidad 3 del módulo de algebra trigonometría y geometría analítica-Utilizar de manera adecuada los

recursos que ofrece la plataforma con el estudio individual y el trabajo en el grupo colaborativo aprovechando al máximo la plataforma virtual.

Realizar el aprendizaje a través de la estrategia de resolución de problemas planteando soluciones con las respectivas sustentaciones.

Identificar como los temas de la unidad 3 son de aplicación en la vida diaria.

Desarrollo del trabajo.

1. De la siguiente elipse: 𝑋2 + 4𝑌2 − 4𝑋 − 8𝑌 − 92 = 0. Determine:

a) Centro

b) Focos

c) Vértices

Solución:

𝑋2 + 4𝑌2 − 4𝑋 − 8𝑌 − 92 = 0.

Agrupamos los términos en 𝑋2 con los términos en 𝑋. Lo mismo hacemos para los

términos en 𝑌2 con los términos en 𝑌.

(𝑋2 − 4𝑋) + (4𝑌2 − 8𝑌) − 92 = 0

Sacamos factor común, en cada paréntesis, el coeficiente del término del segundo

grado.

(𝑋2 − 4𝑋) + 4(𝑌2 − 2𝑌) − 92 = 0

Operamos en cada paréntesis hasta obtener un cuadrado perfecto.

(𝑋2 − 4𝑋) = 𝑋2 − 2 ∗ 2𝑋 + 22 − 22 = (𝑋 − 2)2 − 4

(𝑌2 − 2𝑌) = 𝑌2 − 2 ∗ 1𝑌 + 12 − 12 = (𝑌 − 1)2 − 1

Sustituyendo, tenemos:

[(𝑋 − 2)2 − 4] + 4[(𝑌 − 1)2 − 1] − 92 = 0

(𝑋 − 2)2 − 4 + 4(𝑌 − 1)2 − 4 − 92 = 0

Agrupando términos, operando y despejando, obtenemos:

(𝑋 − 2)2 + 4(𝑌 − 1)2 = 92 + 4 + 4

(𝑋 − 2)2 + 4(𝑌 − 1)2 = 100

Ahora dividimos la ecuación entre 100

(𝑋 − 2)2

100+

4(𝑌 − 1)2

100=

100

100

(𝑋 − 2)2

100+

(𝑌 − 1)2

25= 1

Como ya tenemos la ecuación canónica, procedemos a identificar los parámetros.

𝑎2 = 100 → 𝑎 = √100 = 10 → 𝑎 = 10

𝑏2 = 25 → 𝑏 = √25 = 5 → 𝑏 = 5

El centro de la elipse es:

𝐶(2,1)

Para hallar los focos debemos sumar y restar c a la abscisa del centro; esto lo hacemos

por medio de la expresión:

𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2 . Reemplazando valores tenemos:

𝑐2 = 100 − 25 = 75 → 𝐶 = ±√75.

Entonces:

Los focos son:

𝑓(2 + √75 , 1) → 𝑓(10.66 , 1) Y 𝑓′(2 − √75 , 1) → 𝑓(−6.66 , 1)

Los vértices son:

𝑉(2 + 10 ,1 ) → 𝑉(12 ,1) Y 𝑉′(2 − 10 ,1 ) → 𝑉′(−8 ,1)

𝑢(2 ,1 + 5) → 𝑢 (2 ,6) Y 𝑢′(2 ,1 − 5) → 𝑢′ (2 ,4)

Para comprobarlo en Geogebra, se usa en vista algebraica y vista gráfica.

Ejercicio 2.

De la siguiente ecuación canónica de la elipse, transformar la ecuación:

√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 + √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 = 2𝑎

En la ecuación: 𝑥2

𝑎2 +𝑦2

𝑏2 = 1

Desarrollo:

√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 + √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 = 2𝑎

Primero, pasamos el radical que está sumando al otro en el lado izquierdo de la igualdad y lo

pasamos al lado derecho a restar.

√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 = 2𝑎 − √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2

Ahora, elevamos ambos lados de la igualdad al cuadrado para eliminar las raíces:

[√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2]2

= [2𝑎 − √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2]2

(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 + (𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2

Desarrollamos los cuadrados.

𝑥 2 − 2𝑥𝑐 + 𝑐2 + 𝑦2 = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 + 𝑥 2 + 2𝑥𝑐 + 𝑐2 + 𝑦2

Organizamos términos semejantes y operamos:

(𝑥 2 − 2𝑥𝑐 + 𝑐2 + 𝑦2) − (𝑥 2 + 2𝑥𝑐 + 𝑐2 + 𝑦2) = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2

−4𝑥𝑐 = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2

Reorganizamos términos:

4𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 = 4𝑎2 + 4𝑥𝑐

Ahora dividimos la igualdad por 4.

𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 = 𝑎2 + 𝑥𝑐

La elevamos al cuadrado.

[𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2]2

= (𝑎2 + 𝑥𝑐)2

𝑎2 ((𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2) = (𝑎2 + 𝑥𝑐)2

Operamos los cuadrados:

𝑎2 (𝑥2 + 2𝑥𝑐 + 𝑐2 + 𝑦2) = 𝑎4 + 2𝑎2 𝑥𝑐 + 𝑥 2𝑐2

Multiplicamos el primer término y simplificando:

𝑎2 𝑥 2 + 2𝑎2 𝑥𝑐 + 𝑎2 𝑐2 + 𝑎2 𝑦2 = 𝑎4 + 2𝑎2𝑥𝑐 + 𝑥 2𝑐2

𝑎2 𝑥 2 + 2𝑎2 𝑥𝑐 − 2𝑎2𝑥𝑐 + 𝑎2𝑐2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎4 + 𝑥 2𝑐2

𝑎2 𝑥 2 + 𝑎2 𝑐2 + 𝑎2 𝑦2 = 𝑎4 + 𝑥 2𝑐2

Reorganizamos para obtener trinomios cuadrados perfectos.

𝑎2 𝑥 2 − 𝑥2𝑐2 + 𝑎2 𝑦2 = 𝑎4 − 𝑎2 𝑐2

𝑥 2(𝑎2 − 𝑐2) + 𝑎2𝑦2 = 𝑎2 (𝑎2 − 𝑐2)

Ahora vamos a dividir toda la ecuación anterior por 𝑎2 (𝑎2 − 𝑐2 ).

𝑥 2(𝑎2 − 𝑐2)

𝑎2 (𝑎2 − 𝑐2)+

𝑎2𝑦2

𝑎2(𝑎2 − 𝑐2)=

𝑎2(𝑎2 − 𝑐2 )

𝑎2(𝑎2 − 𝑐2 )

Operando, queda:

𝑥 2

𝑎2+

𝑦2

(𝑎2 − 𝑐2)= 1

Por la definición se sabe que 𝑎 > 𝑐, ya que la distancia el eje mayor es mayor que la

distancia focal, entonces 𝑎2 > 𝑐2 así, 𝑎2 > 𝑐2 > 0. Esto nos lleva a que: 𝑎2 − 𝑐2 = 𝑏2.

Reemplazando en la ecuación anterior se obtiene:

𝑥 2

𝑎2+

𝑦2

𝑏2= 1

Ejercicio 3.

De la siguiente hipérbola: −𝑥 2 + 4𝑦2 − 2𝑥 − 16𝑦 + 11 = 0 Determine.

a) Centro

b) Focos

c) Vértices

Solución:

−𝑥 2 + 4𝑦2 − 2𝑥 − 16𝑦 + 11 = 0

Agrupamos los términos en 𝑥 2 con los términos en 𝑥. Lo mismo hacemos para los términos

en 𝑦2 con los términos en 𝑦.

(−𝑥 2 − 2𝑥) + (4𝑦2 − 16𝑦) + 11 = 0

Sacamos factor común, en cada paréntesis, el coeficiente del término del segundo grado.

−(𝑥 2 + 2𝑥) + 4(𝑦2 − 4𝑦) + 11 = 0

Operamos en cada paréntesis hasta obtener un cuadrado perfecto.

(𝑥 2 + 2𝑥) = 𝑥 2 + 2 ∗ 1𝑥 + 12 − 12 = (𝑥 + 1)2 − 1

(𝑦2 − 4𝑦) = 𝑦2 − 4 ∗ 1𝑦 + 22 − 22 = (𝑦 − 2)2 − 4

Sustituyendo, tenemos:

−[(𝑥 + 1)2 − 1] + 4[(𝑦 − 2)2 − 4] + 11 = 0

−(𝑥 + 1)2 + 1 + 4(𝑦 − 2)2 − 16 + 11 = 0

Agrupando términos, operando y despejando, obtenemos:

−(𝑥 + 1)2 + 4(𝑦 − 2)2 = −11 + 16 − 1

−(𝑥 + 1)2 + 4(𝑌 − 2)2 = 4

Ahora dividimos la ecuación entre 4

−(𝑥 + 1)2

4+

4(𝑦 − 2)2

4=

4

4

−(𝑥 + 1)2

4+ 4(𝑦 − 2)2 = 1

Como ya tenemos la ecuación canónica, procedemos a identificar los parámetros.

𝑎2 = 1 → 𝑎 = √1 = 1 → 𝑎 = 1

𝑏2 = 4 → 𝑏 = √4 = 2 → 𝑏 = 2

El centro de la hipérbola es:

𝐶(−1,2)

Para hallar los focos debemos sumar y restar c a la abscisa del centro; esto lo hacemos por

medio de la expresión:

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 . Reemplazando valores tenemos:

𝑐2 = 1 + 4 = 5 → 𝑐 = ±√5

Entonces:

Los focos son:

𝑓(−1 , 2 + √5) → 𝑓(−1 , 4,24) Y 𝑓′(−1, 2 − √5) → 𝑓´(−1,−0,24)

Los vértices son:

𝑉( −1,2 + 1 ) → 𝑉(−1 ,3) Y 𝑉′(−1 ,2 − 1 ) → 𝑉′(−1 ,1)

Comprobación con Geogebra:

Ejercicio 5.

Demostrar que la ecuación 𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 − 2𝑦 + 6 = 0 es una circunferencia.

Determinar:

a. Centro

b. Radio

Solución:

𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 − 2𝑦 + 6 = 0

Agrupamos los términos en 𝑥 2 con los términos en 𝑥. Lo mismo hacemos para los términos

en 𝑦2 con los términos en 𝑦.

(𝑥 2 + 6𝑥) + (𝑦2 − 2𝑦) + 6 = 0

Operamos en cada paréntesis hasta obtener un cuadrado perfecto.

(𝑥 2 + 6𝑥) = 𝑥 2 + 2 ∗ 3𝑥 + 32 − 32 = (𝑥 + 3)2 − 9

(𝑦2 − 2𝑦) = 𝑦2 − 2 ∗ 1𝑦 + 12 − 12 = (𝑦 − 1)2 − 1

Sustituyendo, tenemos:

[(𝑥 + 3)2 − 9] + [(𝑦 − 1)2 − 1] + 6 = 0

(𝑥 + 3)2 − 9 + (𝑦 − 1)2 − 1 + 6 = 0

Agrupando términos, operando y despejando, obtenemos:

(𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 1)2 = 9 + 1 − 6

(𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 1)2 = 4

Así, se demuestra que la ecuación 𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 − 2𝑦 + 6 = 0 es una circunferencia,

pues al resultar (𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 1)2 = 4 que es de la forma 𝑥 2 + 𝑦2 = 𝑅2, la cual

es la ecuación canónica de la circunferencia.

El centro de la circunferencia es.

𝐶(−3,1).

Para hallar el radio usamos la siguiente ecuación: 𝑥 2 + 𝑦2 = 𝑅2

Reemplazamos:

(𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 1)2 = 4 → (𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 1)2 = 22

Entonces 𝑅 = 2. Radio de la circunferencia es 2.

Comprobación en Geogebra.

Ejercicio 6.

De la siguiente parábola 𝑦 = 2𝑥2 + 4𝑥 − 6. Determine:

a. Vértice

b. Foco

c. Directriz

Solución:

𝑦 = 2𝑥 2 + 4𝑥 − 6

Reorganizamos

2𝑥 2 + 4𝑥 = 𝑦 + 6

Dividimos la ecuación por el coeficiente de la variable cuadrática, que es2, nos queda:

𝑥 2 + 2𝑥 =1

2𝑦 + 3

Factorizamos y simplificamos

𝑥 2 + 2𝑥 + 1 =1

2𝑦 + 3 + 1

(𝑥 + 1)2 =1

2𝑦 + 4

(𝑥 + 1)2 =1

2 (𝑦 + 8)

Ya tenemos la ecuación en su forma canónica. Entonces:

4𝑝 =1

2 𝑜 0,5

𝑘 = −8

ℎ = −1

𝑝 =1

8 𝑜 0,13

𝑉 (−1,−8)

𝑓 (−1,−8 + 0,13) → 𝑓(−1, −7,87)

𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧: 𝑦 = −8 − 0,13 = −8,13 → 𝑦 = −8,13

Comprobación con Geogebra y vista gráfica.

Ejercicio 7.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, −3) y es paralela a la recta que une

los puntos (4,1) y (−2,2). Escribir la ecuación de la recta de la forma general.

Solución:

Primero identificamos las variables.

Llamaremos (𝑎) a la recta que pasa por el punto 𝑃 y a la cual le vamos a hallar la ecuación

general.

𝑃(2, −3) Donde P es el punto que intercepta la recta (𝑎)

Llamaremos (𝑏) a la recta que pasa por los puntos 𝐴 𝑦𝐵 y que es paralela a la recta (𝑎)

𝐴(4,1) Y 𝐵(−2,2).

Sabiendo que:

Las rectas 𝑎 𝑦 𝑏 son paralelas, entonces la pendiente de la recta 𝑎 es igual a la pendiente de

la recta 𝑏. 𝑎ǁ𝑏 → 𝑚 = 𝑚1

Primero hallamos la pendiente de la recta (𝑏) ya que conocemos dos de sus puntos. Para

ello, usamos la ecuación “punto pendiente” y despejamos 𝑚. Quedando la ecuación así:

𝑚 =(𝑦2 − 𝑦1)

(𝑥2 − 𝑥1)

Reemplazando valores y operando:

𝑚 =(2 − 1)

(−2 − 4)= −

1

6

𝑚 = −1

6 𝑜 𝑚 = −0,17

Ya tenemos la pendiente y como 𝑚 = 𝑚1 entonces usamos la ecuación canónica para le

recta 𝑎.

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

Reemplazamos valores de 𝑥, 𝑦 y 𝑚. Donde 𝑥 𝑦 𝑦 son los valores del punto 𝑃.

−3 = −1

6(2) + 𝑏 → −3 = −

2

6+ 𝑏 → −3 = −

1

3+ 𝑏

Despejando 𝑏 y desarrollando tenemos:

𝑏 = −3 +1

3= −

8

3

𝑏 = −8

3

Reemplazando el valor de 𝑏 hallado anteriormente y el valor de 𝑚 en la ecuación canónica,

tenemos:

𝑦 = −1

6𝑥 −

8

3

Como lo que nos piden es la ecuación general, lo único debemos hacer es igualar a cero la

ecuación canónica.

𝑦 = −1

6𝑥 −

8

3 →

1

6𝑥 + 𝑦 +

8

3= 0

Entonces la ecuación general de la recta quedaría así:

1

6𝑥 + 𝑦 +

8

3= 0 O 0,17𝑥 + 𝑦 + 2,67 = 0

Comprobación en Geogebra y vista gráfica:

Ejercicio 8

Calcular las siguientes sumatorias.

a.

∑(−1)𝑘+1(2𝑘 − 1)2

5

𝑘=1

b.

∑(−2)𝑘+1

𝑘

4

𝑘=1

Solución:

a.

∑(−1)𝑘+1(2𝑘 − 1)2

5

𝑘=1

Primero, hacemos la expansión:

∑(−1)𝑘+1(2𝑘 − 1)2

5

𝑘=1

=

= [(−𝟏)𝟏+𝟏(𝟐(𝟏) − 𝟏)𝟐] + [(−𝟏)𝟐+𝟏((𝟐(𝟐) − 𝟏))𝟐] + [(−𝟏)𝟑+𝟏(𝟐(𝟑) − 𝟏)𝟐]

+ [(−𝟏)𝟒+𝟏(𝟐(𝟒) − 𝟏)𝟐] + [(−𝟏)𝟓+𝟏(𝟐(𝟓) − 𝟏)𝟐]

Resolvemos los paréntesis:

∑(−1)𝑘+1(2𝑘 − 1)2

5

𝑘=1

= [(1)(1)] + [(−1)(9)] + [(1)(25)] + [(−1)(49)] + [(1)(81)]

Desarrollamos las llaves:

∑(−1)𝑘+1(2𝑘 − 1)2

5

𝑘=1

= [(1)] + [(−9)] + [(25)] + [(−49)] + [(81)]

∑(−1)𝑘+1(2𝑘 − 1)2

5

𝑘=1

= 1 − 9 + 25 − 49 + 81

∑(−1)𝑘+1(2𝑘 − 1)2

5

𝑘=1

= 49

b.

∑(−2)𝑘+1

𝑘

4

𝑘=1

Primero, hacemos la expansión:

∑(−2)𝑘+1

𝑘

4

𝑘=1

= [(−2)1+1

1] + [

(−2)2+1

2] + [

(−2)3+1

3] + [

(−2)4+1

4]

Resolvemos los paréntesis:

∑(−2)𝑘+1

𝑘

4

𝑘=1

= [4

1] + [

−8

2] + [

16

3] + [

−32

4]

Resolvemos las llaves:

∑(−2)𝑘+1

𝑘

4

𝑘=1

= [4] + [−4] + [16

3] + [−8]

∑(−2)𝑘+1

𝑘

4

𝑘=1

= 16

3− 8

∑(−2)𝑘+1

𝑘

4

𝑘=1

= −8

3 𝑂 ∑

(−2)𝑘+1

𝑘

4

𝑘 =1

= −2,66

Comprobación de los ejercicios en Geogebra.

Ejercicio 9.

Calcular las siguientes productorias.

a)

∏ 2𝑖 + 5

4

𝑖=−2

b)

∏ 𝑖

𝑖 + 1+ 5

3

𝑖=1

Solución.

a)

∏ 2𝑖 + 5

4

𝑖=−2

Haciendo la expansión.

∏ 2𝑖 + 5

4

𝑖=−2

= [2(−2) + 5][2(−1) + 5][2(0) + 5][2(1) + 5][2(2) + 5][2(3) + 5][2(4) + 5]

Resolvemos lo que está dentro de las llaves.

∏ 2𝑖 + 5

4

𝑖=−2

= [−4 + 5][−2 + 5][0 + 5][2 + 5][4 + 5][6 + 5][8 + 5]

∏ 2𝑖 + 5

4

𝑖=−2

= 1 ∗ 3 ∗ 5 ∗ 7 ∗ 9 ∗ 11 ∗ 13 = 135135

∏ 2𝑖 + 5

4

𝑖=−2

= 135135

Solución:

b)

∏ 𝑖

𝑖 + 1+ 2

4

𝑖=−2

Haciendo la expansión.

∏ 𝑖

𝑖 + 1+ 2

4

𝑖=−2

= (1

1 + 1+ 2) (

2

2 + 1+ 2 ) (

3

3 + 1+ 2)

Resolvemos los paréntesis:

∏ 𝑖

𝑖 + 1+ 2

4

𝑖=−2

= (1

2+ 2) (

2

3+ 2 ) (

3

4+ 2)

∏ 𝑖

𝑖 + 1+ 2

4

𝑖=−2

= (5

2) (

8

3 ) (

3

4)

∏ 𝑖

𝑖 + 1+ 2

4

𝑖=−2

=5 ∗ 8 ∗ 11

2 ∗ 3 ∗ 4=

440

24=

55

3

∏ 𝑖

𝑖 + 1+ 2

4

𝑖=−2

= 55

3

Comprobación con Geogebra.

CONCLUSIÓN

Con este trabajo hemos aprendido a realizar ejercicios de secciones cónicas, sumatorias y

productorias y como comprobarlas de una manera sencilla y práctica, también hemos

comprendido que estos temas son muy importante en nuestra vida sobre todo en nuestra

carreara de ingeniería.

Realizando esta unidad, nos permitió reforzar nuestras habilidades para analizar y desarrollar

elementos de la geometría como lo son la recta, la hipérbola, la elipse, la parábola y la

circunferencia, encontrando los parámetros que la definen de forma clara.

Para terminar, desarrollar la actividad de cónicas, sumatorias y productorias, nos permitió

aplicar los conocimientos adquiridos en las anteriores unidades, ya que tuvimos que tomar

una expresión de forma canónica y transformarla en una ecuación general de segundo

grado; y mejorar nuestra capacidad de interacción con la herramienta Geogebra,

comprendiendo la importancia en el desarrollo de las actividades.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

- Mesa, Jesús. (2012). Propiedades de la sumatoria. Recuperado de: http://www.monografias.com/trabajos13/sumato/sumato.shtml

- Hincapie, C. (2014). Verificación en Geogebra momento 3. Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=jf-DBlnw0NY&feature=youtu.be

- Ditutor (2015). Ecuación de la elipse. Recuperado de:

http://www.ditutor.com/geometria_analitica/ecuacion_elipse.html

- MasTutoriales. (2012). Geogebra Elipse. Recuperado de:

https://www.youtube.com/watch?v=_KufORmC34w