Act 9: Lección evaluativa Unidad 2

ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN

Ecuaciones diferenciales de segundo orden reducibles a primer orden

se les conose a las Ecuación de Bernoulli que son de la forma

Solución general de ecuaciones diferenciales de segundo orden

Se llama una ecuación diferencial lineal de orden n. si f(x) = 0, dice que la ecuación es homogénea en caso contrario, se llama inhomogénea. Empezaremos definiendo la noción de independencia lineal. Decimos que las funciones y1, y2,….,yn son linealmente independientes si la única solución de la ecuación.  

Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes Constantes

La ecuación característica en términos de ecuaciones homogéneas de acuerdo a la solución del discriminante. Ecuaciones caracteristica con raices

reales distintas y´´ - 4y = 0 Solución: En este caso la ecuación característica es m2- 4 = 0Ecuación característica así quem2 = 4 o sea m = -+ 2luego y1= em1x = e2x ey2 = em2x = e -2x son soluciones particulares de la ecuación diferencial dada. Además, como estas dossoluciones son linealmente independientes, podemos aplicar el teorema 18.5 para concluir que la solución general es.

Y = C1e2x + C2e-2x

Ecuaciones diferenciales lineales no - homogéneas con Coeficientes constantes

Ejemplo que nos deja continuar con el tema y describir dos métodos para hallar la solución general de una ecuación diferencial lineal in homogénea. En ambos método el primer paso consiste en hallar la solución general, denotada poryh de la correspondiente ecuación homogénea. Una vez hecho eso, intentamos hallar una solución particular Ypde la in homogénea. Combinando esos dos resultados parciales obtenemos que la solución general de la ecuación in homogénea es y = yh+ Yppor tanto: solución general de una ecuación lineal no homogéneas. Sea y" + ay' + by = F(x) una ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden. Siypes una solución particular de esta ecuación e yhes la solución general de la ecuación correspondiente, entonces

y = yh+ Yp

METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOSPuesto que ya tenemos las herramientas para hallar yh

,enfocamos nuestro estudio a la forma de hallar la solución particular yp'Si F(x) en y" + ay' + by = F(x)

Entonces podemos hallar una solución particular yppor él, método de los coeficientesindeterminados. La clave del método estriba en conjeturar que la solución ypes una forma generalizada de F(x). Por ejemplo:

1. Si F(x) = 3x2, escogemos yp = A x2+ Bx + C.

2- Si F(x) = 4xex, escogemos yp= A xex+ Bex.

3- Si F(x) = x + sen 2x, escogemos yp = (Ax+ B) + C sen 2x + D cos 2x

Operador para la solución de ecuaciones de segundo orden.

Aunque es inmediato el reconocimiento de la dependencia o independencia lineal de dos soluciones de una ecuación lineal de 2º orden, se van a introducir unos criterios de independencia basados en el wronskiano , pensando en su generalización al caso de n soluciones de las ecuaciones lineales de orden n. Dadas n funciones f1(x), ..., fn(x) Cn(I), se llama wronskiano ( o determinante de Wronski) de las mismas, y se designa por Wf1, ... ,fn a:

Es también una función real: W(x); xI

Complemente la siguiente expresión:

Aunque es inmediato el reconocimiento de la dependencia o independencia lineal de dos soluciones de una ecuación lineal de 2º orden, se van a introducir unos criterios de independencia basados en ________________, pensando en su generalización al caso de n soluciones de las ecuaciones lineales de orden n.

Su respuesta :

wronskiano

PREGUNTAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA

Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información:

Marque A si 1 y 2 son correctas.

Marque B si 1 y 3 son correctas.

Marque C si 2 y 4 son correctas.

Marque D si 3 y 4 son correctas.

Para la solución de ecuaciones diferenciales de orden superior no homogéneas con coeficientes constantes existen dos métodos de solución adecuados donde se observa: si la función esta formada por polinomios o funciones cuyas derivadas siguen o no un modelo cíclico.

Encuentre estos dos métodos que permiten argumentar lo anterior.

1. Solución por variación de parámetros

2. Solución general como combinación lineal de soluciones linealmente dependientes.

3. Solución de una ecuación mediante coeficientes indeterminados

4. Solución general como combinación lineal de soluciones linealmente independientes

Su respuesta :

B

PREGUNTAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA

Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información:

Marque A si 1 y 2 son correctas.

Marque B si 1 y 3 son correctas.

Marque C si 2 y 4 son correctas.

Marque D si 3 y 4 son correctas.

Para la solución de ecuaciones diferenciales de orden superior homogéneas y no homogéneas con coeficientes constantes existen dos métodos de solución adecuados donde se observa: la independencia de las soluciones por una parte y además siguen un modelo cíclico.

Encuentre estos dos métodos que permiten argumentar lo anterior.

1. Solución por variación de parámetros

2. Solución general como combinación lineal de soluciones linealmente dependientes.

3. Solución de una ecuación mediante coeficientes indeterminados

4. Solución general como combinación lineal de soluciones linealmente independientes

Su respuesta :

B

Ecuaciones diferenciales lineales de orden n

una ecuación diferencial lineal de orden n , es una ecuación de la forma:

Ecuación diferencial lineal homogénea o incompleta

La teoría asociada a estas ecuaciones es análoga al caso en que n=2. Se supondrá en lo sucesivo que las ecuaciones lineales utilizadas cumplen las condiciones del teorema de existencia y unicidad en un intervalo I= (a,b).

Se verifica: el operador l es una aplicación lineal del espacio vectorial cn (i) en el espacio vectorial c(i) Para ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de orden superior, hallamos la solución general de forma similar a como la hemos hecho para la ecuación de segundo orden. Esto es, comenzamos hallando las n raíces de la ecuación característica y, a continuación, basados en estas n raíces, formamos un conjunto linealmente independiente de las n soluciones. La mayor diferencia consiste en que con ecuaciones de tercer orden o mayor, la raíces de la ecuación característica puede repartirse más de dos veces. Cuando sucede esto, las soluciones linealmente independientes se forman multiplicando por potencias crecientes de x.

Las ecuaciones diferenciales de orden superior necesitan de un criterio de independencia basados en el wronskiano , pensando en su generalización al caso ___________________de las ecuaciones lineales de orden n.

Su respuesta :

N soluciones

Respuesta

B

PREGUNTAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA

Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información:

Marque A si 1 y 2 son correctas.

Marque B si 1 y 3 son correctas.

Marque C si 2 y 4 son correctas.

Marque D si 3 y 4 son correctas.

 

Su respuesta :

C

PREGUNTAS DE ANÁLISIS DE POSTULADOS

Las preguntas que encontrará a continuación constan de una afirmación VERDADERA (tesis) y dos postulados también VERDADEROS, identificados con POSTULADO I y POSTULADO II. Usted debe analizar si los postulados se deducen lógicamente de la afirmación y selecciona la respuesta en su hoja de cotejo, conforme a la siguiente instrucción:

Marque A si de la tesis se deducen los postulados I y II.

Marque B si de la tesis se deduce el postulado I.

Marque C si de la tesis sólo se deduce el postulado II.

Marque D si ninguno de los postulados se deduce de la tesis.

En las ecuaciones diferenciales de segundo orden y orden superior, es importante determinar si las ecuaciones son o no homogéneas. En función a esta determinación, se utiliza el método adecuado de solución.

TESIS: Los métodos de solución de las ecuaciones diferenciales anteriores se pueden categorizar como: combinación lineal de soluciones linealmente independientes, solución de una ecuación mediante coeficientes indeterminados y solución por variación de parámetros

Su respuesta :

B

CAMPO DE APLICACIONES DE ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN Y DE ORDEN SUPÈRIOR

Campos de Aplicación de las ecuaciones diferenciales de orden superior

De acuerdo con la ley de Hooke, un muelle que se extiende (o se comprime) y unidades de su longitud natural 1 tiende a volver por sí mismo a su longitud natural, mediante una fuerza F que es proporcional a y. Esto es, F = -ky, donde k es la constante del muelle que indica la rigidez de un muelle dado. Supóngase que se ata al extremo de un muelle un objeto rígido de masa m y que causa un desplazamiento. Se considera que la masa del muelle es despreciable frente a m. Ahora tiramos del objeto hacia abajo, soltándolo a continuación. Las oscilaciones resultantes son consecuencia de dos fuerzas opuestas –la fuerza del muelle F = -ky y el peso MG del objeto-. Bajo tales condiciones, podemos usar una ecuación diferencial para hallar la posición y del objeto como función del tiempo t. De acuerdo con la segunda ley del movimiento de Newton, la fuerza que actúa sobre el peso es F = ma, donde a = d2 y/dt2 es la aceleración. Suponiendo que el movimiento no es amortiguado esto es, no hay otras fuerzas externas que actúen sobre el objeto- se sigue quem(d2 y/dt2) = -ky, y tenemos

Aplicaciones: La Ecuaciones lineal de orden N

Su respuesta :

D