act 4. leccion

Conjuntos

En esta lección aprenderemos a obtener un área sombreada por medio de un ejemplo desarrollado paso a paso:

Proceso paso a paso para determinar la siguiente área:

Conjuntos Página 2

1)Determinemos independientemente las áreas de las intersecciones entre A y B, entre A y C y ente B y C

Área entre A y B:

Área entre B y C:

Área entre A y C:

Luego la parte central corresponde a la unión de las tres áreas que ya hallamos:

Conjuntos Página 3

Por otro lado, al unir los conjuntos A, B y C obtenemos lo siguiente:

Pero, se requiere es la parte externa, es decir, el complemento, lo que corresponderá a:

Conjuntos Página 4

Finalmente la parte sombreada corresponderá a la unión de la parte externa con la interna:

Es importante tener en cuenta que AC representa el complemento de A, es decir, todo lo que le falta a A para ser el conjunto universal.

AC también puede ser representada como A* ó como A' entre otras.

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Indique la operación que señala el área sombreada:

B – A


Señala cuál de las operaciones corresponde al área sombreada en el diagrama de venn:

A U B

(A-B)U(B-A)

B'

A'


A-B

A'

A' n B

B'



(A-B)U(B-A)

B'

A'

A U B


A U B

A'

(A-B)U(B-A)

B'


A U B'

(A U B)'

(A-B)U(B-A)

B'

Señala cuál de las opciones corresponde al área sombreada en el diagrama de venn:

B n A

A'

A - B

U - (A U B)

Conectivos lógicos

En el capítulo dos aprendimos que los conectivos lógicos: conjunción, disyunción, condicional y bicondiconal, son usados de manera cotidiana en el lenguaje natural.

En esta lección estudiaremos la relación que estos conectivos lógicos tienen con el lenguaje y desde esta perspectiva le daremos sentido y pertinencia a la lección con nuestros diferentes programas académicos.

La conjunción corresponde en el lenguaje natural con la y, analicemos su sentido desde la perspectiva del lenguaje natural:

Cuando Juan afirma que estudia y trabaja, podemos concluir que Juan hace las dos actividades, no necesariamente en el mismo espacio y tiempo, pero es estudiante trabajador.

¿Cuando podemos afirmar que la proposiciónJuan estudia y trabaja es

falsa?

Cuando Juan estudie y no trabaje o cuando Juan trabaje pero no estudie o cuando Juan ni trabaje ni estudie.

Si denominamos las proposiciones simples p y q de la siguiente manera:

p = Juan estudiaq = Juan trabaja

La proposición compuesta "Juan estudia y trabaja" tendrá el siguiente equivalente en lenguaje simbólico: p^q

Luego, si Juan estudia es una proposición falsa, la proposición compuesta p^q será falsa. y si Juan trabaja es una proposición falsa, la proposición compuesta p^q también será falsa. Es decir que las dos proposiciones simples deben ser verdaderas para que la proposición compuesta sea verdadera.

Podemos representar todos estos casos posibles mediante una tabla que denominaremos tabla de verdad:pq p^qFF FFV FVF FVV V

Disyunción

El conectivo lógico de la disyunción tiene su equivalente en el lenguaje natural en la o:

Partamos de suponer que para llegar a San Andrés, hay dos caminos, uno por el aire y el otro por el mar. Luego podemos construir la proposición compuesta "a San Andres se llega por aire o por mar", luego, las proposiciones simples serán:

p = a San Andrés se llega por aireq = a San Andrés se llega por mar

¿Cuando será falsa la proposición compuesta p v q? esta proposición lógica será falsa únicamente cuando a San Andrés no se pueda llegar ni por aire ni por mar, es decir, siempre que cualquiera los dos caminos sea válido la frase será verdadera.

La representación mediante la tabla de verdad será la siguiente:

pq pvqVF VVV VFF F

FV V

Condicional

El conectivo lógico condicional tiene su equivalente en el lenguaje natural en el Si... entonces:

Partamos de un ejemplo:

"Cuando llueve en la mañana hace frío en la tarde", para identificar el conectivo lógico presente en esta proposición compuesta, conviene reescribir la proposición como sigue:

"Si llueve en la mañana entonces hace frío en la tarde"

¿Cuando será falsa esta proposición lógica?

Las proposiciones simples serán:

p = llueve en la mañanaq = hace frío en la tarde

¿Cuando será falsa la proposición compuesta p --> q? esta proposición lógica será falsa cuando llueva en la mañana y no haga frío en la tarde:

Es interesante resaltar que hacer frío en la tarde no es condición necesaria para que llueva en la mañana, es decir, que si no llueve, igualmente puede hacer frío, ya que la frase no expresa nada en este sentido.


pq p-->qVV VVF FFV VFF V

Bicondicional

El conectivo lógico bicondicional tiene su equivalente en el lenguaje natural en el Si y sólo si:

Partamos de un ejemplo inspirado en el artículo 17 de la Ley 434 de 1998:

"El único camino posible para la paz es la inversión social", para identificar el conectivo lógico presente en esta proposición compuesta, conviene reescribir la proposición como sigue:

"hay paz, Si y sólo si hay inversión social"

¿Cuando será falsa esta proposición lógica?

Las proposiciones simples serán:

p = hay pazq = hay inversión social

¿Cuando será falsa la proposición compuesta p <--> q? esta proposición lógica será falsa cuando una proposición lógica se cumpla sin que se de la otra:

Es decir, si encontramos que hay paz sin inversión social, entonces la frase será falsa.

Y si encontramos que hay inversión social y tampoco hay paz, la frase también será falsa.


pq p<-->qVV VVF FFV FFF V

Resumen de Conectivos

Como te habrás dado cuenta, el orden de la tabla de verdad no afecta los resultados que de ésta se obtienen, lo importante es que en la tabla se encuentren presentes todas las combinaciones posibles de los diferentes valores de verdad.

Construyamos la tabla de verdad para la siguiente proposición compuesta:

"La voluntad que obra por deber es buena, es virtuosa y, por tanto, digna de ser feliz" Adaptación de Kant.

Esta proposición compuesta debe ser transformada para encontrar los conectivos lógicos como:

"Si la voluntad obra por deber, entonces es buena y es virtuosa, y si la voluntad es buena y es virtuosa, entonces es digna de ser feliz"

Ahora declaremos las proposiciones simples:

p = La voluntad obra por deberq = La voluntad es buenar = La voluntad es virtuosa

s = La voluntad es digna de ser feliz

La representación en lenguaje simbólico de la proposición compuesta será:

[p --> (q ^ r)]^[(q ^ r) --> s ]

Esta es una proposición compuesta de cuatro variables, luego, la tabla de verdad tendrá 24 (16) combinaciones posibles entre los diferentes valores de verdad de las proposiciones:

Act. 4: Profundización de la Unidad 1


La proposición compuesta: "Si Dian estudia y practica aprende" es equivalente en lenguaje simbólico a:

(p ^ q) --> r


Analiza con atención la siguiente tabla de verdad e identifica el número de errores, si los hay, en la columna señalada por la flecha:

En la columna señalada hay dos errores

Leyes de inferencia

En el capítulo cuatro conociste sobre las leyes de inferencia. Nueve leyes que continuamente usamos para al elaborar nuestros razonamientos.

MPPPor ejemplo: "Si Juan estudia, aprende", encontramos que Juan estudia, ¿Que podemos concluir? ....lógico... "que Juan aprende".

Ahora bien, este razonamiento que encontramos tan evidente, corresponde a la primera ley, la cual es conocida como Modus Ponendo Ponenes, y puede ser representada como sigue:

p = Juan estudiaq = Juan aprendep --> q = Si juan estudia, entonces aprende

(p --> q)^p = Si juan estudia, entonces aprende. y ocurre que estudia

[(p --> q)^p]--> q = Si juan estudia, entonces aprende. y ocurre que estudia luego aprende

En conclusión, esta es la representación del MPP: [(p --> q)^p]--> q

Recordemos la segunda representación aprendida en el módulo:

p --> q se lee Si Juan estudia, entonces aprendep se da que Juan estudia_________ esta línea se lee: en conclusiónq se lee Juan aprende

En conclusión, la otra representación del MPP es:p --> qp_____q

MTT

MTTPor ejemplo: "Si Juan estudia, aprende", encontramos que Juan no estudia, ¿Que podemos concluir? ....lógico... "que Juan no aprende".

Ahora bien, este razonamiento que encontramos tan evidente, corresponde a la segunda ley, la cual es conocida como Modus Tollendo Tollens, y puede ser representada como sigue:

p = Juan estudiaq = Juan aprende

[(p --> q)^¬p]--> ¬q


p --> q se lee Si Juan estudia, entonces aprende¬p se da que Juan no estudia_________ esta línea se lee: en conclusión¬q se lee Juan no aprende

En conclusión, la otra representación del MTT es:p --> q¬q_____¬p

SD o Silogismo Disyuntivo

Veamos el ejemplo: "Si Juan lanza una moneda, esta puede caer cara o sello", encontramos que la moneda no cae cara. ¿Que podemos concluir? ....lógico... "que la moneda cae sello".

Esta forma de razonar se conoce como Silogismo Disyuntivo o Modus Tollendo Ponens, veamos la representación simbólica:

p = La moneda cae caraq = La moneda cae sellop v q = La moneda cae cara o sello

(p v q)^¬p = La moneda cae cara o sello. y ocurre que no cae cara

[(p v q)^¬p]--> q = La moneda cae cara o sello. y ocurre que no cae cara, en conclusión cae sello.

En conclusión, esta es la representación del MTP ó SD es:[(p v q)^¬p]--> q


p v q¬p_____q

SH

SH ó Silogismo Hipotético

El silogismo hipotético es otra ley de inferencia lógica muy usada en la construcción de nuestros argumentos, veamos:

Por ejemplo: " Si juan estudia, aprende y si Juan aprende amplía sus opciones de empleo", en conclusión, "Si Juan estudia, amplía sus opciones de empleo". Como puedes apreciar, ésta es otra forma cotidiana de elaborar nuestros argumentos, y es conocida como SH o silogismo hipotético.

Representemos la ley en el lenguaje simbólico:

p= Juan estudiaq= Juan aprender = Juan amplía sus posibilidades de empleo

Luego la ley será:[(p -->q) ^ (q -->r) ]---> (p-->r)

En la segunda representación:p -->qq -->r_____p-->r

Dilema Constructivo

El dilema constructivo es otra ley de inferencia lógica muy usada en la construcción de nuestros argumentos, veamos:

Por ejemplo: " Si juan estudia, aprende y si Juan trabaja recibe dinero", sabemos que, "Juan estudia ó trabaja". ¿Qué podemos concluir? ....claro, que Juan o aprende o recibe dinero.

Como puedes apreciar, ésta es otra forma cotidiana de elaborar nuestros argumentos, y es conocida como DC o dilema constructivo.

Representemos la ley en el lenguaje simbólico:

p= Juan estudiaq= Juan trabajar = Juan aprendes = Juan recibe dinero

Luego la ley será: [(p -->r) ^(q -->s)] ^(p v q)] -->(r v s) ]

En la segunda representación:

p -->rq -->sp v q____

r v s

Sim, Ad, Conj, Abs

Las siguientes cuatro leyes, son mucho más simples y evidentes en nuestro diario razonar, veamos:

Simplificación SimEjemplo: "María le comunica a Juan que estudia y trabaja", posteriormente, Juan se encuentra con Diego y le comenta que María estudia. En este momento, Juan a realizado un razonamiento lógico válido, denominado simplificación, veamos su representación:

p ^ q = se lee, María estudia y trabaja____p = se lee, en conclusión maría estudia

Adición Ad.Ejemplo: "María le comunica a Juan que estudia", posteriormente, Juan se encuentra con Diego y le comenta que María estudia ó trabaja. En este momento, Juan a realizado un razonamiento lógico válido, denominado adición, ya que como no recordó las palabras de maría,

adicionó la actividad trabaja pero mediante una disyunción, la cual será válida si María hace cualquiera de las dos cosas.

veamos su representación:

p = se lee, María estudia____p v q = se lee, en conclusión maría estudia ó trabaja

Conjunción Conj.Ejemplo: "María le comunica a Juan que Diego estudia", Pedro le comunica a Juan que Diego trabaja" ¿Que puede concluir Juan?.... por supuesto, que "Diego estudia y trabaja". En este momento, Juan a realizado un razonamiento lógico válido, denominado conjunción.


p = se lee, Diego estudiaq = se lee, Diego trabaja____p ^ q= se lee, Diego estudia y trabaja

Absorción Abs

Ejemplo: "Si llueve hace frío", encontramos que llueve, luego es válido concluir que llueve y hace frío. Es decir, que se están dando las dos cosas.


p --> q = se lee, Si llueve, entonces hace fríop =se lee, llueve____p ^ q = se lee, en conclusión llueve y hace frío


Se dan las premisas:

1) p --> (q v r) 2) q

De estas dos premisas es correcto afirmar:

No es posible concluir p

act 4. leccion

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