ecuaciones d act 12 leccion evaluativa unidad 3

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA

Código del Curso- Ecuaciones Diferenciales

Act 12: Lección Evaluativa Unidad 3

1

Base teórica sobre serie de potencias

Recordemos que una sucesión Sn converge a un número p o que es convergente

con el limite p, si para cada número positivo dado Є, se puede encontrar un

numero N tal que

│Sn - p│< Є para todo n>N

Geométricamente hablando, la expresión anterior significa que Sn se encuentra

entre (Sn – Є) y (Sn – Є) cuando n>N. Se debe tener en cuenta que N depende del

valor que se elija para Є.

Ahora para el caso que tratamos p=Sn – Rn. Por lo tanto, │Sn - p│= │Rn│ luego la

convergencia en x=x0 significa que podemos hacer │Rn(x0)│tan pequeño como

queramos.

Podemos resumir que una sucesión converge en un punto x=a si se cumple que

│x - a│< R y diverge si │x - a│> R, donde R se llama radio de convergencia.

El radio de convergencia puede determinarse a partir de los coeficientes de la

serie, por medio de las siguientes formulas:

11 1) lim ) lim nn

nn n

n

CA c B

R R c

Siempre y cuando existan los limites.

Ejemplo

1) Para el caso de la serie

1

1

11 ( 1)3 1 13lim lim lim

( )(3 ) 3 33

nn

nn n nn

mm m

mR m m

, el radio de

convergencia es: 1/R= 1 dado que C=1

2) Si tenemos la serie , el radio de convergencia será:

1

1

11 ( 1)3 1 13lim lim lim

( )(3 ) 3 33

nn

nn n nn

mm m

mR m m




2

Luego el radio de convergencia es R=3, entonces el intervalo de convergencia

│X│< 3, luego se tiene que [-3≤ x ≤3].

Soluciones mediante series de potencias1

Se ha visto en temas anteriores cómo resolver algunas ecuaciones lineales de 2º orden:

las de coeficientes constantes y algunas de coeficientes variables, como las de Euler o

aquellas de las que se conoce una solución particular de la correspondiente homogénea.

Pero, en general, no se ha visto cómo resolver las ecuaciones lineales con coeficientes

variables, algunas de las cuales aparecen ligadas a importantes problemas de la Física,

como las ecuaciones de Legendre, Hermite, Airy, Bessel, etc. que son de coeficientes

polinómicos.

Además, las ecuaciones hasta ahora vistas, generalmente tienen soluciones expresables

en términos de un nº finito de funciones elementales (polinomios, exponenciales,

trigonométricas, etc., o inversas de éstas). Otras veces, aun sabiendo resolver la

ecuación, había que expresar la solución por medio de una integral. Pero en general, las

soluciones no pueden expresarse tan fácilmente.

Es necesario por tanto, buscar otros modos de expresar las soluciones de ecuaciones

lineales de 2º orden, que propicien a su vez nuevos métodos de resolución de las mismas.

En este tema se estudiará un método de resolución basado en la representación de

soluciones mediante series de potencias. Y en los dos siguientes, mediante series de

Frobenius.

1. SOLUCIÓN MEDIANTE SERIES DE POTENCIAS EN EL ENTORNO DE UN PUNTO

ORDINARIO

Se va a considerar el caso de la ecuación diferencial lineal homogénea de 2º orden:

1 Tomado de la pagina web: www1.ceit.es/Asignaturas/EcDif1/ApuntesED/edtema11.doc




3

0y)xR(y)xQ(y)xP( 1

ó en forma canónica :

0y)xq(y)xp(y 1´

Definiciones.

Un punto x0 se llama punto ordinario de 1 o 1´ si las funciones p( )Q( )

P( )x

x

x y

q( )R( )

P( )x

x

x son analíticas en x0 (es decir, si p(x) y q(x) tienen desarrollos en serie de

Taylor en torno a x0 con radios respectivos de convergencia R1 y R2 no nulos)

Si P(x), Q(x), R(x) son polinomios, entonces x0 es punto ordinario de 1 si y sólo si P(x0)

0 (siendo 1 no simplificable).

Si x0 no es punto ordinario, se llama punto singular de la ecuación 1 ó 1´.

Según el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas, la simple

continuidad de p(x) y q(x) en un entorno I de un x0, es suficiente para garantizar la

existencia de dos soluciones linealmente independientes de la ecuación 1´ en dicho

entorno, así como para garantizar la existencia y unicidad de solución del problema de

valor inicial definido por 1´ y las condiciones: y(x0) = y0, y´(x0) = b0 con x0 I

Pero si además es x0 un punto ordinario de 1 ó 1´, las p(x) y q(x) no sólo son

continuas en I, sino analíticas. Y cabe preguntarse entonces si las soluciones de tal

ecuación heredarán dicha propiedad. Por tanto, si x0 es un punto ordinario de 1 , surgen

las preguntas siguientes:




4

¿Existen soluciones analíticas de 1 en un entorno de x0 , es decir, soluciones de la

forma :

...)xx(a...)xx(a)xx(aayn

0n2

02010 2

En caso afirmativo:

¿Cómo se obtienen los coeficientes an?

¿Dónde converge la serie 2 ?

Es importante poder responder a estas preguntas, pues sería absurdo intentar buscar

soluciones de la forma 2, si no existen. Si existen en I, pueden además derivarse

término a término en I.

Las respuestas a estas preguntas las da el siguiente teorema, que será enunciado, pero

no demostrado.

Teorema:

Si x0 es un punto ordinario de 1 (ó 1’ ) entonces la solución general de 1 en un cierto

entorno de x0 puede escribirse en la forma 2 y a su vez:

)x(ya)x(ya)xx(ay 2110

0n

n0n

Siendo a0, a1 ctes arbitrarias e y1(x), y2(x) analíticas en un entorno I de x0, y linealmente

independientes en I.




5

El radio de convergencia de las series y1(x) e y2(x) es al menos tan grande como el

mínimo de los radios de convergencia de los desarrollos en serie de p(x) y q(x) en torno a

x0 (es decir, al menos igual a la distancia de x0 al punto singular más próximo de la

ecuación 1, sea dicho punto real o complejo)

Los coeficientes an de la serie 2 se obtienen en términos de a0 y a1 , sustituyendo la

serie genérica

0n

n0n )xx(ay en 1, (así como los desarrollos de p(x) y q(x) si

P(x), Q(x), R(x) no son polinomios) y procediendo por coeficientes indeterminados.

Observaciones:

a) La serie solución puede converger con radio mayor que el indicado en el teorema.

b) Si el punto ordinario es x0 0, pueden simplificarse las notaciones trasladando x0 al

origen, mediante el cambio x - x0 = t.

c) Según el teorema de existencia y unicidad, cada solución está determinada de manera

única por los valores y(x0) e y’(x0), es decir por a0 y a1 . Por eso, todos los coeficientes se

obtienen en términos de a0 y a1.

d) El método para resolver una ecuación completa : y x y x y xp( ) q( ) h( ) , siendo

x0 punto ordinario y h(x) analítica en x0, es análogo. En este caso, también hay que

desarrollar h(x) en serie de potencias en torno a x0, antes de proceder por coeficientes

indeterminados. También podría resolverse en primer lugar la ecuación homogénea y

actuar luego por variación de constantes, o por reducción de orden.

e) Es claro que podría usarse un método semejante para ecuaciones diferenciales

lineales, de primer orden.




6

2. EJEMPLOS

Ejemplo 1

Hallar la solución general de la ecuación diferencial 0yyxy , determinando dos

soluciones linealmente independientes en serie de potencias de x. Campo de validez de

las mismas. En particular obtener la solución tal que y (0) = 1 y´(0) = 0.

_____________

Es p( )

q( )

x x

x

1

. Ambas analíticas en x0 = 0, con radios de convergencia de sus

respectivos desarrollos R

R

1

2

, es decir x0 = 0 es punto ordinario..

Luego, según el teorema anterior, existe solución de la ecuación en serie de potencias de

x, válida para todo x R.

Sea y a xnn

n

0

. Por tanto :

y n a xnn

n

1

1

,

y n n a xnn

n

( )1 2

2

En la ecuación diferencial:

n n a xnn

n

( )

1 2

2

- n a xnn

n

1

- a xnn

n

0

0 en

Término independiente: 2 1 02 0 a a aa

20

2

Coeficiente de x: 3 2 03 1 1 a a a aa

31

3

............................ ................................. .................




7

Coeficiente de xn: n n a n an n 2 1 1 02

aa

nn

n2

2

Ley de recurrencia : aa

nnn

n 2 2

Luego a0 y a1 son libres y

aa

n

aa

n

n

n

20

2 11

2

2 1

( )!!

( )!!

Por tanto :

y x a

x x x

na x

x x x

n

a y x a y x x

n n

( )!! !!

...( )!!

...!! !!

...( )!!

...

( ) ( )

0

2 4 2

1

3 5 2 1

0 1 1 2

12 4 2 3 5 2 1

Solución particular: y

y

a

a

( )

( )

0 1

0 0

1

0

0

1

Luego y xx

n

n

( )( )!!

2

0 2

y xx

n

x

n

n

n

n

( )! !

2

0

2

02

2 2

x2

e)x(y

Ejemplo 2




8

Hallar, por el método de series de potencias en torno a x0 = 0, la solución general de la

ecuación diferencial: 0y2yx2y)x1( 2

_____________

Es

p( )

q( )

xx

x

xx

2

1

2

1

2

2

Ambas analíticas en x0 = 0 con R1 = R2 = 1

Luego existe solución analítica en x0 = 0, válida al menos para x 1.

Sustituyendo y a xn

n

n

0

en la ecuación diferencial:

n n a xnn

n

( )

1 2

2

+ n n a xnn

n

( )

12

+2 n a xnn

n

1

- 2 a xnn

n

0

0

Término independiente: 2 2 02 0a a a a2 0

Coeficiente de x: 6 2 2 03 1 1a a a a3 0

............................ ................................. .................

Coeficiente de xn : n n a n n a n a an n n n 2 1 1 2 2 02

Luego a0 y a1 libres, a2 = a0 , a3 = 0,




9

an n n

n na

n n

n nan n n

2

1 2 2

1 2

1 2

1 2

( )

( )( )

( )( )

( )( )a

n

nan n

3

12 n 2

Como a3 = 0 a5 = a7 = ... = a2n+1 = ... = 0

a n2 =

2 3

2 11

2 3

2 1

2 5

2 3

3

5

1

3

1

12 2 0

n

na

n

n

n

nan

n... ( ) ...( )

1

2 1

1

0

n

na

Por tanto :

y = ax x x

nx a x x

nn

0

2 4 6 12

111 3 5

1

2 11

...( )

...

En este caso puede sumarse la serie :

y = a xx x x x

a x0

3 5 7

111 3 5 7

... xaxarctgx1ay 10

Nota

En los dos primeros ejemplos, la relación de recurrencia ha consistido únicamente en dos

términos y además podía deducirse fácilmente de ella, la forma general de an . Pero,

pueden aparecer relaciones con dos o más términos (Con 3 en el Ejemplo 3), que sean

más complicadas, tales que no pueda determinarse la forma general de los coeficientes

an. Entonces sólo podrán obtenerse algunos términos.

Ejemplo 3




10

Hallar por el método de series de potencias en torno a x0 = 1 los términos hasta la

potencia de grado 4, correspondientes a la solución general de la ecuación diferencial:

0yyxy2

Se efectúa el cambio de variable: x - 1 = t ó x = t + 1.

Entonces yy,yxd

td

td

yd

xd

ydy 2 1 0 ( ) y t y y , t0 = 0

p( )

q( )

tt

t

1

2

1

2

Ambas analíticas en t = 0 con R1 = R2 =

Luego existe solución analítica en t = 0, válida para todo t.

Sustituyendo y a tnn

n

0


2 1 2

2

n n a tnn

n

( )

+ n a tnn

n

1

+ n a tnn

n

1

1

+ a tnn

n

0

0

Término independiente: 2 2 1 02 1 0 a a a

aa a

20 1

4

Coeficiente de t: 2 3 2 2 03 1 2 1 a a a a

aa a

31 2

6

............................ ................................. ..........................

Coeficiente de tn : 2 2 1 1 02 1n n a n a n a an n n n ( )




11

an a n a

n n

a a

na

a a

nn

n n n nn

n n

2

1 1 2 11 1

2 1 2 2 2 2

( ) ( )

( )( ) ( )

Luego: aa a

20 1

4

; a

aa a

a a3

10 1

1 04

6

3

24

aa a

a a a a

a a a a a a4

2 3

0 1 1 0

0 1 1 0 0 1

8

4

3

24

8

6 6 3

192

5 9

192

x...)1x(192

9

8

)1x(

4

)1x()1x(a

...)1x(192

5

24

)1x(

4

)1x(1a)x(y

432

1

432

0

Ejemplo 4

Hallar, por el método de series, la solución del problema de valor inicial:

y’’ – 2xy’ + 8y = 0 ; y(0) = 3 , y’(0) = 0.

Son p(x) = -2x y q(x) = 8 , ambas analíticas en xo = 0 , con R1 = R2 =

Por tanto, existe solución y = y(x), analítica en xo = 0, válida para todo x.




12

Sustituyendo y a xn

n

n

0


n n a xnn

n

( )

1 2

2

- 2 n a xnn

n

1

+ 8 a xnn

n

0

0

Término independiente : 0a8a2 02 02 a4a

Coeficiente de x : 0a8a2a6 113 13 aa

............................ ................................. .................

Coeficiente de xn : 0a8an2a1n2n nn2n

Luego : n2n a)2n)(1n(

)4n(2a

. De donde: 2nn a

)1n(n

)6n(2a

n 2

Se pide la solución tal que: y(0) = 3 e y’(0) = 0, es decir, tal que ao = 3 y a1 = 0.

Luego:

0.....aa0a

412

a4a

0......aa

12a

0a

3a

1086

24

53

2

1

0

Por tanto: y = 3 – 12 x2 + 4 x4

Ejemplo 5: Ecuación y polinomios de Legendre (1752-1833)

La ecuación de Legendre de parámetro m 0 es:




13

0y)1m(myx2y)x1(2 3

Se trata de hallar soluciones en serie de potencias de x, es decir en torno a x0= 0.

Es

2

2

x1

)1m(m)x(q

x1

x2)x(p

Ambas analíticas en x0 = 0 con radio de convergencia de los

respectivos desarrollos: R1 = R2 = 1

Luego x0 = 0 es punto ordinario, existiendo solución en serie de potencias de x, válida, al

menos para x 1.

Sea

0n

nn xay . Sustituyendo en la ecuación :

2n

2nn xa)1n(n -

2n

nnxa)1n(n -2

1n

nn xan +

0n

nn xa)1m(m 0

Habrán de ser nulos los coeficientes de todas las potencias de x.

x0 : 0a)1m(ma12 02 02 a12

)1m(ma

x1 : 0a)1m(ma2a23 113 113 a!3

)2m)(1m(a

23

2)1m(ma

..... ............................................................................................

xn : 0a)1m(man2a1nna1n2n nnn2n




14

n2n a

)1n)(2n(

)1nm)(nm(a 2n a

)1n(n

)1nm)(2nm(a 2nn

Luego:

1x...x!5

)4m)(2m)(1m)(3m(x

!3

)2m)(1m(xa

...x!4

)3m)(1m(m)2m(x

!2

)1m(m1ay

531

420

Es decir : )x(ya)x(yay 2110

Si m = 0, 1, 2, ... una de las dos series es un polinomio de grado m. Dichos polinomios

pn(x) son respectivamente :

p0 = 1 p1(x) = x p2(x) = 1 - 3 x2 p3(x) = x - 3

5x3 ......

Se llama polinomio de Legendre de orden m y se designa con Pm(x), a la solución

polinómica de la ecuación de Legendre de parámetro m (o sea, el múltiplo de pn(x), tal que

Pm(1) = 1.

Será:

P0(x) = 1 P1(x) = x 2

1x

2

3)x(P 2

2 x2

3x

2

5)x(P 3

3

.........

Algunas propiedades: (Sin demostraciones)

Los polinomios de Legendre pueden darse mediante la fórmula de Rodríguez :




15

n2

n

n

n )1x(xd

d

!)!n2(

1)x(P

O mediante una función generadora, debida a Legendre :

...t)x(Pt)x(P)x(Ptxt212

2102 2

1

También mediante fórmulas de recurrencia:

n1n1n

1nn1n

P)1n(2PP

)x(P1n

n)x(Px

1n

1n2)x(P

Cumplen la relación de ortogonalidad :

nm1n2

2

nm0

xd)x(P)x(P1

1nm 4

La ecuación de Legendre aparece en varios problemas de la Física dotados de simetría

esférica.

Ejemplo 6: Ecuación y polinomios de Hermite (1822 -1901)

La ecuación de Hermite es:

0y2yx2y 5




16

Aparece esta ecuación, por ejemplo en la mecánica cuántica, a partir de la ecuación de

Schrödinger para un oscilador armónico.

Se trata ahora de obtener su solución por el método de series, en torno a x0= 0.

El x0 = 0 es un punto ordinario de la ecuación 5, pues p(x) = -2x y q(x) = 2 son

analíticas en x = 0. Además los radios de convergencia de los respectivos desarrollos, son

ambos infinitos. Luego existe solución de 5 , de la forma

0n

nnxay , válida para todo x

real.

Sustituyendo en la 5 :

x 0xa2xna2xa)1n(n

2n

nn

2n

nn

2n

2nn

Luego:

Coeficiente de 1 : 0a2a2 02 02 aa

--------------------------------------------------------------------------------------

Coeficiente de xn-2 : n(n-1)an-2(n-2)an-2+2an= 0

Relación de recurrencia: )1n(n

a)n2(2a

2nn

n 2

Luego:




17

x ...x!7

)5)(3)(1(2x

!5

)3)(1(2x

!3

)1(2xa

...x!6

)4)(2(2x

!4

)2(2x

!2

21a)x(y

73

52

31

63

42

20

Para = 0, 1,2,... una de las dos series es un polinomio. Dichos polinomios hn(x),

para = n = 0, 1,2,... son respectivamente:

... ,x3

2-x=)x(h ,x2-1=)x(h ,x)x(h ,1)x(h 3

32

210

Se llama polinomio de Hermite de grado n, y se designa Hn(x), a la solución polinómica de

la ecuación de Hermite de parámetro = n ( o sea el múltiplo de hn(x)), cuyo coeficiente

de xn es 2n. Será por tanto:

... ,x12-x8=)x(H 2,-x4=)x(H ,x2)x(H ,1)x(H 33

2210

Algunas propiedades: (sin demostración)

Los polinomios de Hermite pueden darse mediante la fórmula de Rodrigues :

22

x

n

nxn

n eexd

d)1()x(H

También por medio de la función generadora :




18

0n

nnttx2t

!n

)x(H2

e

O mediante las fórmulas de recurrencia :

)x(Hn2)x(H

)x(Hn2)x(Hx2)x(H

1n'n

1nn1n

Cumplen la relación de ortogonalidad:

nm!n2

nm 0xd)x(H)x(H

nnmx

2

e




19

Solución de ecuaciones diferenciales mediante Series de Taylor




20

Ejemplos de Series de Potencias

La forma de resolver las ecuaciones diferenciales aplicando el método de las

series de potencias es el siguiente:

Primero se tiene que una serie de potencias es una serie infinita (en potencia de x-

a) de la forma:

donde c0, c1, … son constantes, llamadas coeficientes de la serie, la a es una

constante, llamada centro y x es una variable.

Si en particular a=0, se obtiene una serie de potencias de x

Las series de potencias muy familiares son:

La series de Maclaurin:

Para resolver una ecuación diferencial por medio de series de potencia, primero se

representan las funciones dadas en la ecuación por medios de series de potencias

de x (o en potencias de x-a).




21

Por lo tanto debemos saber cómo derivar una serie:

Suponga que tenemos la serie

Entonces la primera derivada es:

La segunda derivada es:

Y así sucesivamente.

Ejemplo

Resolver la ecuación diferencial y’ – y = 0

Sustituimos la primera derivada y’ y la función y, se tiene:

Se agrupan las potencias iguales de x y se encuentra:

Igualando a cero los coeficientes de cada potencia de x, se tiene

Resolviendo estas ecuaciones, se pueden expresar c1, c2,… en términos de c0,

entonces:

, , ; …




22

Con estos valores la ecuación , se transforma en:

Si despejamos c0 y tenemos como solución:

Bibliografia

Edwards J, P. D. (1986). Ecuaciones Diferenciales elementales con aplicaciones.

Mexico: Calypso S.A.

SHEPLEY, R. (1979). Ecuaciones Diferenciales. Barcelona: Reverté S.A.

Simmons, G. F. (1993). ECUACIONES DIFERENCIALES, Con aplicaciones y

notas historicas. Mexico: McGrawHill.

ZILL, D. G. (1997). Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado.

Mexico: Thomson Editores.

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