Act 4: Lección Evaluativa 1

Question1Puntos: 1

El numero x= -7/5 es la solución de:Seleccione una respuesta.

a. 2X+5(1-3X) = 1-3(1-4X)

b. 2X-5(1-3X) = 1-3(1-4X)

c. 2X + 5(1+3X) = 1-3(1-4X)

d. 2X-5(1-3X) = 1-3(1+4X)

Question2Puntos: 1

Al medir el error aplicando la formula que tipo de error se esta calculandoSeleccione una respuesta.

a. Son errores absolutos

b. Son errores relativos

c. Son errores sistemáticos relativos

d. Son errores en los valores numéricos

Question3Puntos: 1

Dígitos Significativos:

Son aquellos números diferentes de cero, en una cifra o guarismo, leyendo de izquierda a derecha; empiezan con el primer dígito diferente de cero y terminan con el tamaño que permitan las celdas que guardan la mantisa.

Exactitud:

Se refiere a la cercanía de un número o de una medida al valor verdadero que se supone representa.

Precisión:

Se refiere al número de cifras significativas que representan una cantidad, a esto se refiere cuando se habla de doble precisión, dependiendo de la máquina que estemos utilizando.

Errores Inherentes o Heredados:

Son errores en los valores numéricos con que se va a operar, pueden deberse a dos causas: sistemáticos o accidentales.

Errores Sistemáticos:

Debidos a la imprecisión de los aparatos de medición.

Errores Accidentales:

Debidos a la apreciación del observador y otras causas.

Errores de Truncamiento:

Se debe a la interrupción de un proceso matemático antes de su terminación. Sucede cuando se toman sólo algunos términos de una serie infinita o cuando se toma sólo un número finito de intervalos. Un caso adicional de error de truncamiento ocurre cuando una calculadora poco sofisticada sólo toma en cuenta los dígitos que caben en la pantalla y no analiza el primer dígito perdido.

Error de Redondeo:

Se ocasiona debido a las limitaciones propias de la máquina para representar cantidades que requieren un gran número de dígitos.

Dependiendo de cómo se redondea puede ser de dos formas.

Error de Redondeo Inferior:

Se desprecian los dígitos que no pueden conservarse dentro de la localización de memoria correspondiente (pensando de una manera estricta, este caso puede considerarse como un error de truncamiento).

Error de Redondeo Superior:

Este caso tiene dos alternativas, según el signo del número en particular.

a) Para números positivos, el último que puede conservarse en la localización de memoria se incrementa en una unidad si el primer dígito despreciado es > 5.

b) Para números negativos, el último dígito que puede conservarse en la localización de memoria se reduce en una unidad si el primer dígito despreciado es < 5.

PREGUNTA:

1. Las definiciones:

A. “ Son aquellos números diferentes de cero, en una cifra o guarismo, leyendo de izquierda a derecha; empiezan con el primer dígito diferente de cero y terminan con el tamaño que permitan las celdas que guardan la mantisa”

B. “ Se debe a la interrupción de un proceso matemático antes de su terminación. Sucede cuando se toman sólo algunos términos de una serie infinita o cuando se toma sólo un número finito de intervalos. Un caso adicional de error de truncamiento ocurre cuando una calculadora poco sofisticada sólo toma en cuenta los dígitos que caben en la pantalla y no analiza el primer dígito perdido.”

Son definiciones de:

1. Error de Redondeo

2. Error de Truncamiento

3. Dígitos Significativos

4. Error relativo

La respuesta correcta es

Seleccione una respuesta.a. Los items 2 y 4

b. Los items 1 y 3

c. Los items 1 y 4

d. Los items 2 y 3

Question4Puntos: 1

Un valor de una variable que haga que la ecuación sea una proposición verdadera se denomina raíz o solución de la ecuación dada. Decimos que tal valor de la variable satisface la ecuación.

Así por ejemplo x=5 es una raíz de la ecuación 2x – 3 = x + 2

De manera similar y = -2 es la solución de la ecuación y2 + 3y=6 + 4y

En álgebra elemental se enseña a resolver este tipo de ecuaciones en especial las ecuaciones lineales y cuadráticas.

La solución de la siguiente ecuación 3(x -2)2 = 4(x - 5) +11 es:

Seleccione una respuesta.a. x = 1

b. x = 0

c. x = 3

d. x = - 3

Question5Puntos: 1

De los siguientes conceptos cual se refiere al termino Errores Inherentes o HeredadosSeleccione una respuesta.

a. Son errores en los valores numéricos con que se va a operar, pueden deberse a dos causas: sistemáticos o accidentales

b. Se refiere a la cercanía de un número o de una medida al valor verdadero que se supone representa

c. Errores debidos a la imprecisión de los aparatos de medición.

d. Errores debidos a la apreciación del observador y otras causas

Question6Puntos: 1

MÉTODO DE ITERACIÓN DEL PUNTO FIJO

Este método se aplica para resolver ecuaciones de la forma

x= g(x)

Si la ecuación es f(x) = 0, entonces puede despejarse x ó bien sumar x en ambos lados de la ecuación para ponerla en la forma adecuada.

Ejemplos :1) La ecuación cos x - x = 0 se puede transformar en cos x = x.2) La ecuación tan x – e-x = 0 se puede transformar en x - tan x – e-x = x.

Dada la aproximación xi, la siguiente iteración se calcula con la fórmula:

xi+1 = g(xi)

Supongamos que la raíz verdadera es xr, es decir,

xr = g(xr)

Restando las últimas ecuaciones obtenemos:

xr - xi+1 = g(xr) - g(xi)

Por el Teorema del Valor Medio para derivadas, sabemos que si g(x) es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b) entonces existe ? Î (a, b) tal que .

En nuestro caso, existe € en el intervalo determinado por xi y xr tal que:

De aquí tenemos que:

g(xr) – g(xi) = g’ (€) . ( xr – xi)

O bien,

xr – xi+1 = g’ (€) . ( xr – xi)

Tomando valor absoluto en ambos lados,

|xr – xi+1|=|g’(€) ||xr – xi|

Observe que el término |xr – xi+1| es precisamente el error absoluto en la (i +1)-ésima iteración, mientras que el término |xr – xi|corresponde al error absoluto en la i- ésima iteración.

Por lo tanto, solamente si |g’ (€) |< 1, entonces se disminuirá el error en la siguiente iteración. En caso contrario, el error irá en aumento.

En resumen, el método de iteración del punto fijo converge a la raíz si |g’(x)|<1 para x en un intervalo [a, b] que contiene a la raíz y dondeg(x) es continua y diferenciable, pero diverge si |g’(x)| >1 en dicho intervalo.

Analicemos nuestros ejemplos anteriores :

· En el ejemplo 1, g(x) = cos x y claramente se cumple la condición de que

|g’ (x)|<1 . Por lo tanto el método sí converge a la raíz.

· En el ejemplo 2, g(x)=x+tanx–e-x y en este caso, |g’(x)|=|1+sec2x + e-x| > 1. Por lo tanto, el método no converge a la raíz.

Para aclarar el uso de la fórmula veamos dos ejemplos:

Ejemplo Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de f(x) = cosx - x, comenzando con x0=0 y hasta que |€a|< 1%.

Solución Como ya aclaramos anteriormente, el método sí converge a la raíz.

Aplicando la fórmula iterativa tenemos,

x1 = g(x0) = cos 0 = 1

Con un error aproximado de 100%

Aplicando nuevamente la fórmula iterativa tenemos,

x2 = g(x1) = cos 1 = 0,540302305

Y un error aproximado de 85,08%.

Intuimos que el error aproximado se irá reduciendo muy lentamente. En efecto, se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1%. El resultado final que se obtiene es:

x13 = 0,7414250866

Con un error aproximado igual al 0,78%.

Ejemplo Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de f(x) = x2 – 5x - ex, comenzando con x0 = 0 y hasta que |€a|< 1%.

Solución Si despejamos la x del término lineal, vemos que la ecuación equivale a

de donde,

En este caso, tenemos que . Un vistazo a la gráfica,

<>nos convence que |g’(x)|<1, para x Î [-1; 1], lo que es suficiente para deducir que el método sí converge a la raíz buscada.

Aplicando la fórmula iterativa, tenemos:

x1 = g(x0) = -0,2

Con un error aproximado del 100%.

Aplicando nuevamente la fórmula iterativa, tenemos:

x2 = g(x1) = -0,1557461506

Con un error aproximado igual al 28.41%.

En este ejemplo, el método solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1%. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

<>Aprox. a la raíz Error aprox.

0

-0.2 100%

-0.1557461506 28.41%

-0.1663039075 6.34%

-0.163826372 1.51%

-0.164410064 0.35%

De donde vemos que la aproximación buscada es:

x5 = -0,164410064

PREGUNTA:

Al usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de f(x) = x2 – 5x - ex, comenzando con x0 = 0 y hasta que |a|< 1%. , se encontró que el valor de la iteración x1 = g(x0) es igual a:

Seleccione una respuesta.a. -0,2

b. 0,2

c. 0,1557461506

d. -0,1557461506

Question7Puntos: 1

El error absoluto entre p=0,253 y p*=0,532 esSeleccione una respuesta.

a. 0,279

b. 0,729

c. 0,785

d. 0,524

Question8Puntos: 1

Cuando se almacena la cota de error de redondeo cometido Se procede de la siguiente manera, los números reales se almacenan en coma flotante. Por ejemplo, los números ±23,487 se guardan como ±0,23487x102 .

El ultimo numero escrito simbólicamente se puede representar por

±m x10b

Donde 0 < m < 1 y representa la mantisa y b es un numero entero que indica el exponente. Por ejemplo si tenemos un número t de digitas destinados a la representación de la mantisa (se supone que t no incluye la posición del signo). Por consiguiente, si una persona realiza unos cálculos trabajando en base diez, coma flotante y utilizando cinco dígitos para la mantisa (t=5), puede representar los siguientes números: 0,23754x102 , 0,10000x105 , 0,19875x10-3 , etc.

PREGUNTA:

El numero 0,4267x10-3 tiene como mantisa a:

Seleccione una respuesta.a. 426

b. 0,4

c. 0,4267

d. 0,426

Question9Puntos: 1

"Una ecuación es una proposición que expresa la igualdad de dos expresiones algebraicas. Por lo regular involucra una o más variables y el símbolo de igualdad “=”. Las siguientes proposiciones son ejemplos de ecuaciones"

De las siguientes cuales No se consideran ecuaciones.Seleccione una respuesta.

a. – 5y = 6 – 4y

b. 3K/(1- T) = S

c. sen(2x-3)

d. x –100 = x

Question10Puntos: 1

De los siguientes conceptos cual se refiere al termino exactitudSeleccione una respuesta.

a. Errores debidos a la imprecisión de los aparatos de medición.

b. Se refiere a la cercanía de un número o de una medida al valor verdadero que se supone representa

c. Errores debidos a la apreciación del observador y otras causas

d. Son errores en los valores numéricos