act 10 trabajo colaborativo no. 2 - metodo numerico.docx

UNAD – UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAEscuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería

ACT 10: TRABAJO COLABORATIVO UNIDAD 2METODOS NUMERICOS CODIGO 100401

Ingeniería de Sistema

Preparado porCRISTIAM ALBERTO CELIS

KAREN ANDREA JARDIM CASTRONURY SHIRLEY MURILLO

VANESSA CRISTINA MIRANDAYESICA NATALIA BARRIENTOS

GRUPO: 100401_45

TutorJOSE HECTOR MAESTRE

NOVIEMBRE DE 2012

1

INTRODUCCIÓN

Por medio de la realización de este trabajo se adquirió conocimiento de igual manera se identificaron sus propósitos y temáticas de cada unidad de estudio, Permitiendo que se evidencie el contenido del módulo, orientando a estudiar la aplicación de los conceptos y normatividad de los diferentes tipos de ecuaciones como lo son las lineales, no lineales, y considero que la finalidad de este curso es que se puedan identificar las diferentes herramientas que se usan en los métodos numéricos para fortalecer nuestros conocimientos en este nuevo proceso de formación.

2

OBJETIVO GENERAL

Comprender la estructura del módulo y entenderla, para fundamentar el estudio de los métodos numéricos como son las diferencias entre los sistemas lineales y no lineales. Para dar la solución a problemas reales y adquirir conocimiento sobre las temáticas y los objetivos del curso, para así llevar a buen término la materia y lograr cumplir las metas propuestas durante el semestre.

3

ACT 10: TRABAJO COLABORATIVO NO. 2

El trabajo se compone de dos partes:

Actividades a Resolver:

Primera Parte: La construcción de un mapa conceptual por capítulo de la Unidad “Sistema de Ecuaciones Lineales, no Lineales e Interpolación”” con base a la lectura y análisis los estudiantes del curso realicen del contenido de la Unidad 2.

4

METODOS NUMERICOS

CAPITULO 4. INTERPOLACIONES

Presenta

Lección 9. METODOS DE GAUSS- SEDIEL

Presenta 5 pasos

1. Asignar un valor a cada incognita que aparezca en el conjunto Consiste Se divide en

INTERPOLACIÓN LINEAL

...

UNIDAD 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, NO LINEALES E INTERPOLACIÓN

LECCIÓN 10. POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE

LECCIÓN 11. POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN CON DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON LECCIÓN 12. INTER. POLINOMIAL DE

LAS DIFERENCIAS FINITAS DE NEWTON

Es una reformulación del polinomio de Newton que evita los calculos de las diferencias divididas, se puede representar como:

INTERPOLACIÓN CUADRATICA

Las diferencias finitas se usan para evaluar los coeficientes de la ecuación (1) , los cuales se sustituyen en la ecuación (2) para obtener el polinomio de la interpolación

2. Partiendo de la primera ecuación, determinar un nuevo valor para la incognita que tiene el coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando para La fórmula más simple de

interpolación es la de conectar dos puntos con una linea recta.

Si se dispone de 3 puntos lo anterior se puede llevar a cabo con un polinomio de segundo orden (llamado tambien polinomio cuadratico o parábola):

3. pasar a lasegunda ecuación y determinar en ella el valor de la incognita del coeficiente más grande en esa ecuación.

B0 = f (X0)

4. continuar con las ecuaciones restantes, determinando siempre el valor calculado de la incognita que tiene el coeficiente más grande

B1 = f [X1, X0]B2 = f [X2, X1, X0]

5

Segunda Parte: Se resolverán una lista de 4 (CUATRO) ejercicios enfocados a poner en práctica los procesos desarrollados en la Unidad. Los ejercicios son los siguientes:

1. Encuentre las matrices L y U, además halle la solución del Siguiente sistema:

2 x1−x2+x3=5

3 x1+3 x2−9 x3=6

3 x1−3 x2+5 x3=8

a. Proceso para encontrar la matriz upper:

Sacamos los coeficientes con los respectivos signos en una matriz esto es:

(2 −1 13 3 −93 −3 5 |568)

Buscamos el valor que encere los primeros valores de la fila 2 y 3 de la matriz

2?=−3≈?=−32

Ahora operamos con respecto al valor anterior realizamos el siguiente cálculo básico

(−32

∗n)+m, siendo n el valor de la primera fila y m el valor de la segunda fila:

(2 −1 1

092

−212

3 −3 5| 5−328

) (−32

∗n)+m=(−32

∗2)+3=0

(−32

∗n)+m=(−32

∗−1)+3=92

(−32

∗n)+m=(−32

∗1)+ (−9 )=−212

(−32

∗n)+m=(−32

∗5)+6=−32


(−32

∗n)+m, siendo n el valor de la primera fila y m el valor de la tercera fila:

6

(2 −1 1

092

−212

0−32

72

| 5−3212

) (−32

∗n)+m=(−32

∗2)+3=0

(−32

∗n)+m=(−32

∗−1)+(−3 )=−32

(−32

∗n)+m=(−32

∗1)+5=72

(−32

∗n)+m=(−32

∗5)+8=12

Buscamos el valor que encere el segundo valor de la fila 3 de la matriz con respecto al coeficiente pivote de la fila 2:

92?=

32≈?=

32∗2

9=

618

=39=

13


( 13∗n)+m, siendo n el valor de la segunda fila y m el valor de la tercera fila:

(2 −1 1

092

−212

0 0 0| 5−3

20

) ( 13∗n)+m=( 1

3∗9

2 )+(−32 )=0

( 13∗n)+m=( 1

3∗(−21

2 ))+ 72=0

( 13∗n)+m=( 1

3∗(−3

2 ))+ 12=0

En conclusión esta es nuestra matriz U (Upper)

(2 −1 1

092

−212

0 0 0| 5−3

20

)7

De aquí podemos hallar una solución al sistema, esto es:

2 x1−x2+x3=5

92x

2

+(−212 ) x

3

=−32

0=0

2 x1−(−618 )+0=5≈2 x1=5− 6

18

≈ x1=

143

∗1

2≈ x1=

73

92x

2

+(−212

∗0)=−32≈

92x

2

+ (0 )=−32

≈ x2=

−32

∗2

9≈ x2=

−618

Comprobación:

(2( 73 ))−(−6

18 )+0=5

(3( 73 ))+(3(−6

18 ))−(9∗0 )=6

(3( 73 ))−(3 (−6

18 ))+(5∗0 )=8

b. Proceso para encontrar la matriz lower:

Sacamos los coeficientes con los respectivos signos en una matriz esto es:

(2 −1 13 3 −93 −3 5 |568)

Buscamos el valor que encere los primeros valores de la fila 2 de la matriz

5?=9≈?=95

8


( 95∗n)+m, siendo n el valor de la primera fila y m el valor de la segunda fila:

(2 −1 1

425

−125

0

3 −3 5| 5102

58

) ( 95∗n)+m=( 9

5∗5)+(−9)=0

( 95∗n)+m=( 9

5(−3))+ (3 )=−12

5

( 95∗n)+m=( 9

5∗3)+3=42

5

( 95∗n)+m=( 9

5∗8)+6=102

5

Buscamos el valor que encere los primeros valores de la fila 1 de la matriz

5?=−1≈?=−15


(−15

∗n)+m, siendo n el valor de la primera fila y m el valor de la primera fila:

(75

−25

0

425

−125

0

3 −3 5| 17

5102

58

) (−15

∗n)+m=(−15

∗5)+1=0

(−15

∗n)+m=(−15

(−3))+(−1 )=−25

(−15

∗n)+m=(−15

∗3)+2=75

(−15

∗n)+m=(−15

∗8)+5=175

Buscamos el valor que encere el segundo valor de la fila 1 de la matriz con respecto al coeficiente pivote de la fila 2:

9

−125?=

25≈?=

25∗−5

12=

−1060

=−530


(−530

∗n)+m, siendo n el valor de la segunda fila y m el valor de la primera fila:

(0 0 0

425

−125

0

3 −3 5| 0102

58

) (−530 (−12

5 ))+(−25 )=0

(−530

∗42

5 )+ 75=0

(−530

∗102

5 )+175

=0

En conclusión esta es nuestra matriz L (Lower)

(0 0 0

425

−125

0

3 −3 5| 0102

58

)Solución:

Matriz L (Lower): (0 0 0

425

−125

0

3 −3 5| 0102

58

)

Matriz U (Upper): (2 −1 1

092

−212

0 0 0| 5−3

20

)10

Solución del sistema: x1=73

, x2=−618

y x3=0

2. Dado el sistema lineal:

x1−x2+a x3=−2

−x1+2x2−ax3=3

ax1+x2+ x3=2

[ 1 −1 a−1 2 −aa 1 1 |−2

32 ]

Para hallar el valor o los para que el sistema no tenga solución, procedemos de la siguiente manera:

[ 1 −1 a−1 2 −aa 1 1 |−2

32 ] F1=F1

F2=F 1+F2F3=F3−aF1

[1 −1 a0 1 00 1+a 1−a2| −2

12+2a ] F1=F 1+F 2

F2=F 2F3=F 3− (1+a )F 2

[1 0 a0 1 00 0 1−a2|−1

11+a ] F 1=F1

F 2=F2F3=F3/ (1−a2)

Para que nuestro sistema presente inconsistencia se debe cumplir que el último coeficiente debe ser igual a cero, independiente del resultado que dé.

1−a2=0

1=a2

±√1=a

11

±1=a

Si evaluamos a en -1 encontramos que el resultado es cero por lo cual nuestra opción es a es 1.

Para que nuestro sistema posea infinitos soluciones.

[1 0 a0 1 00 0 1−a2|−1

11+a ]

El último coeficiente y su resultado deben de ser igual a cero, sistema se implicara a tres incógnitas con dos ecuaciones teniendo infinitas soluciones.

1−a2=0 y 1+a=0

a=±√1a=−1

a=±1a=1

Por lo que el número común es -1 y es el que viene a serla respuesta buscada a es -1.

Para que tenga una única solución el

[ 1 −1 a−1 2 −aa 1 1 |−2

32 ] F1=F1

F2=F 1+F2F3=F3−aF1

[1 −1 a0 1 00 1+a 1−a2| −2

12+2a ] F1=F 1+F 2

F2=F 2F3=F 3− (1+a )F 2

[1 0 a0 1 00 0 1−a2|−1

11+a ] F 1=F1

F 2=F2F3=F3/ (1−a2)

[1 0 a0 1 00 0 1|

−11

1/(1−a)]F1=F1−aF3F2=F2F3=F3

12

[1 0 00 1 00 0 1|

1 /(a−1)1

1 /(1−a) ]F1=F 1−F3

[1 0 00 1 00 0 1|

(−2+a)/ (1−a)1

1/(1−a) ]a=R−(−1,1)

3. Obtenga las cuatro primeras iteraciones empleando el método de Gauss-Seide para el siguiente sistema lineal. Según los resultados concluya la posible solución del sistema, es decir, concrete cual es la solución

10 x1−x2+0=9

−x1+10x2−2 x3=7

0−2x2+10 x3=6

1. Asignamos valores iniciales a las incógnitas:

x1=0 x2=1 x3=2

2. En segundo paso despejamos las variables de las ecuaciones para obtener x1, x2 y x3:

x1=9+x2

10

x2=7+ x1+2 x3

10

x3=6+2 x2

10

3. Comenzamos las iteraciones:

Iteración 1:

x1=9+x2

10≈

9+110

≈1010≈1

13

R1+R

x2=7+ x1+2 x3

10≈

7+1+ (2∗2 )10

≈1210

x3=6+2 x2

10≈

6+( 2∗1210 )

10≈

6+2410

10≈

42510≈

425

∗1

10≈

2125

Comprobación:

10 x1−x2+0=9≈ (10∗1 )−(1210 )+0=9≈

8810≠9

−x1+10x2−2 x3=7≈−1+( 10∗1210 )−( 2∗21

25 )=7

≈−1+12−4225

=7≈11−4225

=7≈23325≠7

0−(2 x2 )+10 x3=6≈−( 2∗1210 )+( 10∗21

25 )=6≈−24+ 425

=6≈−785≠6

Iteración 2:

x1=1x2=

1210

x3=2125

x1=9+x2

10≈

9+1210

10≈

5150

x2=7+ x1+2 x3

10≈

7+ 5150

+( 2∗2125 )

10≈

40150

+ 4225

10≈

9710

∗1

10≈

97100

x3=6+2 x2

10≈

6+( 2∗97100 )

10≈

6+ 9750

10≈

3975010

≈397500

Comprobación:

10 x1−x2+0=9≈( 10∗5150 )−( 97

100 )+0≠9

14

R1+R

−x1+10x2−2 x3=7≈−5150

+(10∗97100 )−( 2∗397

500 )≠7

0−(2 x2 )+10 x3=6≈−( 2∗97100 )+( 10∗397

500 )=6

Iteración 3:

x1=5150

x2=97

100x3=

397500

x1=9+x2

10≈

9+ 97100

10≈

99710010

≈997

1000

x2=7+ x1+2 x3

10≈

7+ 997100

+( 2∗397500 )

10≈

79971000

+ 397250

10≈

1917200

∗1

10≈

19172000

x3=6+2 x2

10≈

6+( 2∗19172000 )10

≈6+ 1917

100010

≈

79171000

10≈

791710000

Comprobación:

10 x1−x2+0=9≈( 10∗9971000 )−(1917

2000 )+0≠9

−x1+10x2−2 x3=7≈− 9971000

+(10∗19172000 )−( 2∗7917

10000 )≠7

0−(2 x2 )+10 x3=6≈−( 2∗19172000 )+( 10∗7917

10000 )=6

Iteración 4:

x1=997

1000x2=

19172000

x3=7917

10000

x1=9+x2

10≈

9+1917200010

≈

19917200010

≈1991720000

15

x2=7+ x1+2 x3

10≈

7+ 1991720000

+(2∗791710000 )

10≈

15991720000

+79175000

10≈

383174000

10≈

3831740000

x3=6+2 x2

10≈

6+( 2∗3831740000 )10

≈6+ 38317

2000010

≈

15831720000

10≈

158317200000

Comprobación:

10 x1−x2+0=9≈( 10∗1991720000 )−( 38317

40000 )+0≠9

−x1+10x2−2 x3=7≈−1991720000

+( 10∗3831740000 )−(2∗158317

200000 )≠7

0−(2 x2 )+10 x3=6≈−( 2∗3831740000 )+( 10∗158317

200000 )=6

Solución: Podemos concluir que la solución al ejercicio está muy cerca aproximadamente 8 iteraciones más dado que los valores obtenidos se acercan a la igualdad.

Los valores obtenidos en 4 iteraciones dan como solución, si redondeamos o truncamiento en el decimal, los siguientes valores:

x1=997

1000=0,997 x2=

19172000

=0,9585 x3=7917

10000=0,7917

Si realizamos 8 iteraciones más obtendríamos valores aproximados a (use la hoja de Excel para ver esta posible solución):

x1=497894737500000000

=0,995789474

x2=957894737

1000000000=0,957894737

x3=17590643282222222222

=0,791578948

4. Se tienen los siguientes datos para que halle un polinomio P(x) de grado desconocido, con el método de Diferencias divididas de Newton:

x 0 1 2 3

16

F(x) 6 8 12 18

El polinomio de tercer orden con n = 3 es:

f 3 ( x )=b0+b1 (x−x0 )+b2 (x−x0 ) (x−x1 )+b3 (x−x0 ) (x−x1 )(x−x2)

Las primeras diferencias divididas son:

f (X ¿¿1 , X0)=8−61−0

=21=2¿

f (X ¿¿2 , X1)=12−82−1

=41=4¿

f (X ¿¿3 , X2)=18−12

3−2=6

1=6¿

Las segundas diferencias divididas son:

f (X2 , X ¿¿1 , X0)=f (X ¿¿2 , X1)−f (X ¿¿1 , X0)X1−X0

=4−22−0

=22=1¿¿¿

f (X3 , X ¿¿2 , X1)=f (X ¿¿3 , X2)−f (X ¿¿2, X1)X 3−X1

=6−43−1

=22=1¿¿¿

La tercera diferencia dividida es:

f (X3 , X ¿¿2 , X1 , X0)=f (X ¿¿3 , X2 ,X 1)−f (X ¿¿2 , X1 , X0)

X3−X0

=1−13−0

=03=0¿¿¿

los resultados para : f (X ¿¿1 , X0) , f (X ¿¿2 , X1 ,X 0) y f (X3 , X ¿¿2 , X1 , X0)¿¿¿

representan los coeficientes : b1 , b2 y b3 Juntoab0=f ( x0)

La ecuación da:

f 3 ( x )=6+2 (x−0 )+( x−0 ) ( x−1 )+0 (x−0)(x−1)(x−2)

f ( x )=6+2 x+x (x−1)

¿6+2 x+x2−x

f ( x )=6+x+ x2

17

f (0,5 )=6+0,5+(0,5)2

¿6+0,5+0,25

¿6,7 5

18

CONCLUSIÓN

Podemos concluir que los estudiantes involucrados en el presente trabajo colaborativo comprendieron los conceptos de la unidad II del curso Método Numérico. Algunos de los conceptos estudiados se relacionan con los métodos de iterativos de eliminación y las interpolaciones de polinomios, por este motivo los estudiantes tienen el conocimiento necesario para utilizarlos en casos reales de la vida profesional.

19

BIBLIOGRAFIA

Carlos Iván Buchelli; 2012, Modulo Métodos Numéricos Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD.

Protocolo Académico.

Campus virtual Métodos Numéricos UNAD

http://campus07.unadvirtual.org/moodle/course/view.php?id=77

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