act 6 trabajo colaborativo no. 1 - metodo numerico

UNAD – UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería

ACT 6: TRABAJO COLABORATIVO NO. 1

METODOS NUMERICOS CODIGO 100401

GRUPO: 100401_45

Preparado por

CRISTIAM ALBERTO CELIS

KAREN ANDREA JARDIM CASTRO

NURY SHIRLEY MURILLO

VANESSA CRISTINA MIRANDA

YESICA NATALIA BARRIENTOS

Tutor

JOSE HECTOR MAESTRE

San José de Cúcuta, Colombia

OCTUBRE DE 2012

2


UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA


INDICE

INDICE ............................................................................................................................ 2

INTRODUCCIÓN ........................................................................................................... 3

OBJETIVOS .................................................................................................................... 4

ACT 6: TRABAJO COLABORATIVO NO. 1 ............................................................... 5

ACTIVIDAD No. 1 ..................................................................................................... 5

CONCLUSIONES ......................................................................................................... 18

REFERENCIAS ............................................................................................................ 19

3




INTRODUCCIÓN

Al momento de aplicar las Matemáticas a situaciones del mundo real nos encontramos a menudo con problemas que no pueden ser resueltos analíticamente o de manera exacta y cuya solución debe ser abordada con ayuda de algún procedimiento numérico.

Los métodos numéricos constituyen procedimientos alternativos provechosos para resolver problemas matemáticos para los cuales se dificulta la utilización de métodos analíticos tradicionales y, ocasionalmente, son la única opción posible de solución.

Son técnicas mediante las cuales un modelo matemático es resuelto usando solamente operaciones aritméticas, tediosos cálculos aritméticos.

Son técnicas sistemáticas cuyos resultados son aproximaciones del verdadero valor que asume la variable de interés; la repetición consistente de la técnica, a lo cual se le denomina iteraciones, es lo que permite acercarse cada vez más al valor buscado.

Es por ende que por medio del presente trabajo se pretende aplicar las temáticas del curso correspondientes a la Unidad 1 y acercarnos un poco más a los métodos propuestos para solucionar problemas.

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OBJETIVOS

Estudiar y comprender muy bien los conceptos de cada capítulo de la unidad.

Evaluar e implementar los procesos de aplicación de los diversos casos de

errores y raíces de ecuaciones.

Desarrollar competencias comunicativas con sus compañeros de grupo al

realizar un procedimiento matemático.

Desarrollar la competencia argumentativa al exponer la resolución de un

problema utilizando los conceptos del módulo.

5





ACTIVIDAD No. 1

El trabajo se compone de dos partes:

Primera Parte: La construcción de un mapa conceptual por capítulo de la Unidad “Introducción a los Métodos Numéricos y

Raíces de ecuaciones” con base a la lectura y análisis los estudiantes del curso realicen del contenido de la Unidad 1.

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7




Segunda Parte: Se resolverán una lista de 5 ejercicios enfocados a poner en práctica

los procesos desarrollados en la Unidad 1. Los ejercicios son los siguientes:

1. Considere los siguientes valores de p y p* y calcule el error relativo y el error

absoluto:

a) p = 1/3 – p* = 0,333

i) Error relativo:

ii) Error absoluto

Solución: El error relativo es de 9,999*10-4

y el error absoluto es de 3,333*10-4

.

b) p = pi – p* = 3,14

i) Error relativo:

ii) Error absoluto

Solución: El error relativo es de 5,07*10-4

en cuanto el error absoluto es de 1,59*10-3

.

P* = valor aproximado – p = valor real


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2. Determine las raíces reales de f(x)= -0,3x

2 + 3,2x 5,7.

a) Usando la formula cuadrática:

a = -0,3; b = 3,2 y c = -5,7

√

√

√

√

b) Usando el método de bisección hasta tres iteraciones para determinar la raíz

más grande. Emplee como valores iníciales x=5 y x=10:

x f(x)= -0,3x2 + 3,2x 5,7

5 ((-0,3)(52)) + (3,2*5) – 5,7 = 2,8

7.5 ((-0,3)(7,52)) + (3,2*7,5) – 5,7 = 1,425

8,125 ((-0,3)( 8,1252)) + (3,2*8,125) – 5,7 = 0,4953125

8,4375 ((-0,3)( 8,43752)) + (3,2*8,4375) – 5,7 = -0,057421875

8,75 ((-0,3)(8,752)) + (3,2*8,75) – 5,7 = -0,66875

10 ((-0,3)(102)) + (3,2*10) – 5,7 = -3,7

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Iteración 0:

xa = 5 y xb = 10

Iteración 1:

xa = 7,5 y xb = 10

Iteración 2:

xa = 7,5 y xb = 8,75

Iteración 3:

xa = 8,125 y xb = 8,75

Iteración xa xb xr f(xa ) f(xr ) f(xa )*f(xr ) Ep

0 5 10 7,5 2,8 1,425 3,99 –

1 7,5 10 8,75 1,425 -0,66875 -0,95296875 14,29%

2 7,5 8,75 8,125 1,425 0,4953125 0,7058203125 7,69%

3 8,125 8,75 8,4375 0,495 -0,0574 -2,8413e-2

3,7%

10




c) Debe concluir con que exactitud se encuentra el valor real del valor aproximado

p* = 8,4375 – p = 8,125

Error absoluto

Error relativo porcentual

*100

Solución: La raíz en la tercera iteración es 8,4375 con un error aproximado de 3,7%.

3. Determine las raíces reales de f(x)= 2x3 – 21x

2 + 37x + 24 y use el algoritmo de

bisección para encontrar una solución en el intervalo [7,9]. (Use tres iteraciones). Y

concluya la exactitud del último resultado.

x f(x)= 2x3 – 21x

2 + 37x + 24

7 ((2)(73)) – ((21)(7

2)) + ((37)(7)) + 24 = -60

7,5 ((2)(7,53)) – ((21)(7,5

2)) + ((37)(7,5)) + 24 = -36

7,75 ((2)(7,753)) – ((21)(7,75

2)) + ((37)(7,75)) + 24 = -19,59375

7,875 ((2)(7,8753)) – ((21)(7,875

2)) + ((37)(7,875)) + 24 = -10,20703125

8 ((2)(83)) – ((21)(8

2)) + ((37)(8)) + 24 = 0

9 ((2)(93)) – ((21)(9

2)) + ((37)(9)) + 24 = 114

Iteración 0:

xa =7 y xb = 9

Iteración 1:

xa = 7 y xb = 8


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Iteración 2:

xa = 7,5 y xb = 8

Iteración 3:

xa = 7,75 y xb = 8

|

| |

| |

|


0 7 9 8 -60 0 0 –

1 7 8 7, 5 -60 -36 2160 6,7%

2 7,5 8 7,75 -36 -19,59375 705,375 3,2%

3 7,75 8 7,875 -19,59375 -10,207 199,993 1,6%

Solución: La raíz en la tercera iteración es 7,875 con un error aproximado de 1,6%.

4. Determine la raíz real de f(x)= -0,2 + 6x - 4x2

+ 0,5x3. Usando el método de

Newton – Raphson (tres iteraciones usando x = 4.2).

Iteración 0:

13




Iteración 4:

|

| |

|

Iteración 5:

|

| |

|

Iteración xi xn Ep

0 4,2 -3,27 –

1 -3,27 -1,61 1,66%

2 -1,61 -0,63 0,98%

3 -0,63 -0,14 0,49%

4 -0,14 0,02 0,16%

5 0,02 0,03 0,02%

Solución: La raíz en la quinta iteración es 0,03 con un error aproximado de 0,02%.

5. Determine un cero aproximado de la función f(x) = (0,9 – 0,4x)/x usando el método

de la regla falsa o falsa posición en el intervalo [1,3] (realice 4 o 5 iteraciones).

x f(x) = (0,9 – 0,4x)/x

1 (0,9 – (0,4*1))/1 = 0,5

2,007 (0,9 – (0,4*2,007))/2,007 = 0,048430493 ó 4,84e-2

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2,085 (0,9 – (0,4*2,085))/2,085 = 0,031654676 ó 3,17e

-2

2,129 (0,9 – (0,4*2,129))/2,129 = 0,022733678 ó 2,27e-2

2,157 (0,9 – (0,4*2,157))/2,157 = 0,017246175 ó 1,72e-2

2,176 (0,9 – (0,4*2,176))/2,176 = 0,013602941 ó 1,36e-2

2,190 (0,9 – (0,4*2,190))/2,190 = 0,010958904 ó 1,1e-2

2,4 (0,9 – (0,4*2,4))/2,4 = -0,195454545 ó -0,195

2,5 (0,9 – (0,4*2,5))/2,5 = -0,04

2,7 (0,9 – (0,4*2,7))/2,7 = -0,066666667 ó -6,67e-2

3 (0,9 – (0,4*3))/3 = -0,1

Iteración 0:

xa = 1 y xb = 3

Iteración 1:

xa = 1 y xb = 2,7

Iteración 2:

xa = 1 y xb = 2,5

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Iteración 3:

xa = 1 y xb = 2,4

Iteración 4:

xa = 2,007 y xb = 2,4

16




Iteración 5:

xa = 2,085 y xb = 2,4

Iteración 6:

xa = 2,129 y xb = 2,4

Iteración 7:

xa = y xb = 2,4

17




Iteración 8:

xa = y xb = 2,4


0 1 3 2,7 0,5 -6,67e-2

-3,35e-2

–

1 1 2,7 2,5 0,5 -0,04 -0,02 8%

2 1 2,5 2,4 0,5 -0,195 -9,75e-2

4,2%

3 1 2,4 2,007 0,5 4,84e-2

2,42e-2

19,6%

4 2,007 2,4 2,085 4,84e-2

3,17e-2

1,53e-3

3,74%

5 2,085 2,4 2,129 3,17e-2

2,27e-2

7,1959e-4

2,02%

6 2,129 2,4 2,157 2,27e-2

1,72e-2

3,9044e-4

1,3%

7 2,157 2,4 2,176 1,72e-2

1,36e-2

2,3392e-4

0,9%

8 2,176 2,4 2,190 1,36e-2

1,1e-2

1,469e-4

0,6%

Solución: La raíz en la octava iteración es 2,190 con un error aproximado de 0,6%.

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CONCLUSIONES

Es importante antes de iniciar un trabajo colaborativo, conocer e identificar

la temática planteada, los objetivos esperados y las actividades a desarrollar;

esto con el fin de profundizar e indagar en el contenido y establecer un

cronograma de trabajo que asegure el cumplimiento de las metas estipuladas.

Conocer nuestros compañeros de curso e interactuar con ellos, asegura una

buena dinámica para el desarrollo y construcción de los trabajos

colaborativos, ya que logra romper los paradigmas iniciales y propicia un

reconocimiento de los roles del equipo.

El curso consta de tres unidades didácticas, correlacionadas con el número

de créditos académicos asignados. La primera que se aplica en el presente

trabajo, se relaciona con los Conceptos Básicos y Raíces de Ecuaciones.

Realizar ejercicios y practicar con problemas planteados, permite aplicar los

conocimientos adquiridos en el desarrollo del tema de la Unidad 1, tales

como: error relativo, error absoluto, formula cuadrática, y método de

bisección.

Se sustenta por medio de ejercicios, habilidades para encontrar el valor real

del valor aproximado.

Se usa de manera asertiva el método de Newton – Raphson en tres

iteraciones.

Se aplica de manera correcta en una función el método de la regla falsa,

realzándolo en 4 o 5 iteraciones.

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REFERENCIAS

Abalos, C. C. (2005). Revisión acerca de las normas para la presentación de

referencias bibliográficas según el estilo de la American Psychological Association (APA).

Extraído el 13 de Marzo de 2011 desde la base de datos E-Libro en la World Wide Web:

http://site.ebrary.com/lib/unadsp/.

Bucheli, C. (s.f.). – Módulo del Curso Métodos numéricos. Recuperado el 20 de

Agosto de 2012, del Aula virtual: 100401 Curso Métodos numéricos de la Universidad

Nacional Abierta y a Distancia: http://campus.unadvirtual.org/campus/.

Canales, T. (2002, 14 de Mayo). Formato APA – Quinta Edición. Extraído el 13 de

Marzo de 2011 desde http://www.mistareas.com.ve/las-normas-apa.php.

Guía Trabajo Colaborativo 1 (2012). - Extraído el 1 de Octubre de 2012 desde el

foro suministrado por el tutor.

Rocha, S. (2005). Métodos Numéricos. Recuperado el 13 de Septiembre de 2012

desde: http://dcb.fi-c.unam.mx/users/.../1.2%20Aproximacion%20numerica.pps.

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act 6 trabajo colaborativo no. 1 - metodo numerico

Documents

races de ecuaciones

error absoluto

error relativo

trabajo colaborativo

valor real

5 iteraciones

xa

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