UNAD – UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ACT 14: TRABAJO COLABORATIVO UNIDAD 3METODOS NUMERICOS CODIGO 100401

Preparado porCRISTIAM ALBERTO CELIS

KAREN ANDREA JARDIM CASTRONURY SHIRLEY MURILLO

VANESSA CRISTINA MIRANDA GRUPO: 100401_45

TutorJOSE HECTOR MAESTRE

ColombiaNoviembre de 2012

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INTRODUCCIÓN

Mediante la realización de este trabajo se adquirió conocimiento de igual manera se identificaron sus propósitos y temáticas de cada unidad de estudio, Permitiendo que se evidencie el contenido del módulo, orientando a estudiar la aplicación de los conceptos y normatividad de los diferentes tipos de ecuaciones como lo son las lineales, no lineales, y considero que la finalidad de este curso es que se puedan identificar las diferentes herramientas que se usan en los métodos numéricos para fortalecer nuestros conocimientos en este nuevo proceso de formación.

También hay que tener en cuenta que los problemas reales de la ingeniería y las ciencias, rara vez tienen soluciones analíticas exactas, por tanto es indispensable conocer y aplicar los métodos numéricos, especialmente ahora que contamos con los computadores y con una gran variedad de programas para ello, desde los lenguajes de programación, programas para matemáticas, hojas de cálculo y los paquetes especializados.

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OBJETIVO GENERAL

Comprender la estructura del módulo y entenderla, para fundamentar el estudio de los métodos numéricos como son las diferencias entre los sistemas lineales y no lineales. Para dar la solución a problemas reales y adquirir conocimiento sobre las temáticas y los objetivos del curso, para así llevar a buen término la materia y lograr cumplir las metas propuestas durante el semestre.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Analizar en grupo la importancia de los métodos numéricos en la ingeniería y en las ciencias.

Identificar las herramientas que nos ayudan a llevar a cabo el desarrollo del curso.

Conocer Analizar y entender los conceptos de cada capítulo de la unidad.

Reconocer las diferencias entre los sistemas lineales y no lineales.

Entender paso a paso la metodología usada en el curso, para así dar solución a las actividades que se desarrollaran en el transcurso del módulo.

3

ACT 14: TRABAJO COLABORATIVO NO. 3

El trabajo se compone de dos partes:

Actividades a Resolver:

Primera Parte: La construcción de un mapa conceptual por capítulo de la Unidad “Diferenciación e Integración Numérica, y Solución de Ecuaciones Diferenciales”, y los siguientes ejercicios: con base a la lectura y análisis los estudiantes del curso realicen del contenido de la Unidad 3.

4

Constituye una amplia gama de algoritmos para

calcular el valor numérico de una integral definida

UNIDAD 3

PRESENTA

CAPITULO 5 DIFERENCIACIÓN NUMERCIA E INTEGRACIÓN

NUMERICA

Lección 15: Diferenciación Numérica

Es una técnica de análisis numérico para calcular una

aproximación a la derivada de una función en un punto utilizando los valores y

propiedades de la misma

Formulación

Lección 16: Integración Numérica

Lección 17: Regla del Trapecio

Lección 18: Regla de Simpson

Lección 19: Integración de Romberg

Es una de las formulas cerradas de Newton – Cotes

La función interpoladora puede ser un polinomio de grado 2 que

pasa a través de los puntos

Se define como:

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CAPITULO 6 SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones

desconocidas

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Lección 20: métodos de integración de Euler

Formulación

Lección 21: Método de Runge- Kutta

Formulación

Lección 22: Métodos Multipasos

Ecuaciones en derivadas parciales

Es un conjunto de métodos iterativos, para

la aproximación de soluciones de

ecuaciones diferenciales ordinarias

Los métodos de Euler y de RungeKutta descritos en las

seccionas anteriores son ejemplos de los métodos de un paso. En ellos, se

calcula cada valor sucesivo yn+1 sólo con base en información acerca del valor inmediato anterior yn Por

otra parte, un método en varios pasos o continuo utiliza los valores

de varios pasos calculados con anterioridad para obtener el valor de

yn+1

Es un procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de

un valor inicial

Formulación

6

Segunda Parte: Se resolverán una lista de 2 (DOS) ejercicios enfocados a poner en práctica los procesos desarrollados en la Unidad. Los ejercicios son los siguientes:

1. Usar la regla de Simpson de 1/3 para aproximar la siguiente integral: (Recuerde que debe hallar f(-2), f(1) y f(4)).

a) Solución 1 con n=2:

∫−2

4

(1−x−4 x3+x5 )dx ∆ x=b−an

=4−(−2)

2=6

2=3

n x f(x) = (1 – x – 4x3 + x5)0 –2 f(–2) = (1 – (–2) – 4(–2)3 + (–2)5) = 31 1 f(1) = (1 – (1) – 4(x)3 + 15) = -32 4 f(4) = (1 – (4) – 4(4)3 + (4)5) = 765

I ≅ 33

[3+4 (−3 )+765 ]=1 [ 756 ]=756

b) Solución 2 con n=6:

∫−2

4

(1−x−4 x3+x5 )dx ∆ x=b−an

=4−(−2)

6=6

6=1

n x f(x) = (1 – x – 4x3 + x5)0 –2 f(–2) = (1 – (–2) – 4(–2)3 + (–2)5) = 31 -1 f(–1) = (1 – (–1) – 4(–1)3 + (–1)5) = 52 0 f(0) = (1 – (0) – 4(0)3 + (0)5) = 13 1 f(1) = (1 – (1) – 4(x)3 + 15) = -34 2 f(2) = (1 – (2) – 4(2)3 + (2)5) = -15 3 f(3) = (1 – (3) – 4(3)3 + (3)5) = 1336 4 f(4) = (1 – (4) – 4(4)3 + (4)5) = 765

I ≅ 13

[3+4 (5+(−3 )+133 )+2 (1+(−1 ))+765 ]=¿

13

[3+4 (135 )+2 (0 )+765 ]=13

[3+4 (135 )+2 ( 0 )+765 ]=13

[ 1308 ]=436

er=|436−756436 |∗100=|320

436|∗100=|0,734|∗100=73,4 %

7

8

2. Aplicar el método de Runge-Kutta de orden cuatro para obtener la aproximación y(0,8) a la solución del siguiente problema de valor inicial, con h=0,2.

y '= y−x2+1

y (0)'=0,52

{f (x i , y i )= y−x2+1

x0=0˄x i=0,8

y0=(0,5 )2=0,25h=0,2

a) Primera iteración i = 1:

Primero vamos a encontrar los valores para k 1 , k2 , k3 y k4:

x1=0 y1=0,25 h=0,2

k 1=f (x i , y i )=0,25− (0 )2+1=54

k 2=f ( xi+ h2 , y i+ (h ) (k1 )2 )=(0+

0,22;0,25+

(0,2 )( 54 )

2 )=( 110;

38 )=¿

38−( 1

10 )2

+1= 73200

+1=1,365

k 3=f ( xi+ h2 , y i+ (h ) (k 2)2 )=(0+ 0,2

2;0,25+

(0,2 ) (1,365 )2 )=( 1

10;

7732000 )=¿

7732000

−( 110 )

2

+1= 7532000

+1=1,3765

k 4= f (x i+h , yi+(h ) (k3 ))=(0+0,2 ;0,25+ (0,2 ) (1,3765 ))=(0,2;5253

10000 )=¿

525310000

−(0,2 )2+1= 485310000

+1=1,4853

9

y2= y1+16

(k1+2k2+2k3+k 4 )h

0,25+( 16 )( 5

4+2 (1,365 )+2 (1,3765 )+1,4853)( 1

5 )=0,523943333=0,524

x2=x1+h=0+0,2=0,2

b) Segunda iteración i = 2:

Primero vamos a encontrar los valores para k 1 , k2 , k3 y k4:

x2=0,2 y2=0,524 h=0,2

k 1=f (x i , y i )=0,524−(0,2 )2+1=1,484

k 2=f ( xi+ h2 , y i+ (h ) (k1 )2 )=(0,2+ 0,2

2;0,524+

(0,2 ) (1,484 )2 )=( 3

10;

16812500 )

¿ 16812500

−( 310 )

2

+1=1,5824

k 3=f ( xi+ h2 , y i+ (h ) (k 2)2 )=(0,2+ 0,2

2;0,524+

(0,2 ) (1,5824 )2 )=¿

( 310;

21323125 )=2132

3125−( 3

10 )2

+1=1,59224

k 4=f (x i+h , yi+(h ) (k3 ))=(0,2+0,2 ;0,524+ (0,2 ) (1,59224 ) )=¿

(0,4 ; 0,842448 )=0,842448−(0,4 )2+1=1,682448

y3= y2+16

(k1+2k2+2k3+k 4 )h

0,524+( 16 )(1,484+2 (1,5824 )+2 (1,59224 )+1,682448 ) (0,2 )=0,841190933

¿0,841

x3=x2+h=0,2+0,2=0,4

c) Tercera iteración i = 3:

10

Primero vamos a encontrar los valores para k 1 , k2 , k3 y k4:

x3=0,4 y3=0,841 h=0,2

k 1=f (x i , y i )=0,841−(0,4 )2+1=1,681

k 2=f ( xi+ h2 , y i+ (h ) (k1 )2 )=(0,4+ 0,2

2;0,841+

(0,2 ) (1,681 )2 )=¿

( 12;1,0091)=1,0091−( 1

2 )2

+1=1,7591

k 3=f ( xi+ h2 , y i+ (h ) (k 2)2 )=(0,4+ 0,2

2; 0,841+

(0,2 ) (1,7591 )2 )=¿

( 12;1,01691)=1,01691−( 1

2 )2

+1=1,76691

k 4=f (x i+h , yi+(h ) (k3 ))=(0,4+0,2 ;0,841+ (0,2 ) (1,76691 ))=¿

(0,6 ;1,194382 )=1,194382−(0,6 )2+1=1,834382

y4= y3+16

(k1+2k 2+2k 3+k4 )h

0,841+( 16 ) (1,364+2 (1,7591 )+2 (1,76691 )+1,834382 ) (0,2 )=1,193246733

¿1,193

x4=x3+h=0,4+0,2=0,6

d) Cuarta iteración i = 4:

Primero vamos a encontrar los valores para k 1 , k2 , k3 y k4:

x4=0,6 y4=1,193 h=0,2

k 1=f (x i , y i )=1,193−(0,6 )2+1=1,833

k 2=f ( xi+ h2 , y i+ (h ) (k1 )2 )=(0,6+ 0,2

2;1,193+

(0,2 ) (1,833 )2 )=¿

11

( 710;1,3763)=1,3763−( 7

10 )2

+1=1,8863

k 3=f ( xi+ h2 , y i+ (h ) (k 2)2 )=(0,6+ 0,2

2;1,193+

(0,2 ) (1,8863 )2 )=¿

( 710;1,38163)=1,38163−( 7

10 )2

+1=1,89163

k 4=f (x i+h , yi+(h ) (k3 ))=(0,6+0,2;1,193+ (0,2 ) (1,89163 ))=¿

( 45;1,571326)=1,571326−( 4

5 )2

+1=1,931326

y5= y4+16

(k1+2k 2+2k 3+k4 )h

1,193+( 16 ) (1,833+2 (1,8863 )+2 (1,89163 )+1,931326 ) (0,2 )=1,570339533

¿1,570

x5=x4+h=0,6+0,2=0,8

e) Quinta iteración i = 5:

Primero vamos a encontrar los valores para k 1 , k2 , k3 y k4:

x5=0,8 y5=1,570 h=0,2

k 1=f (x i , y i )=1,570−(0,8 )2+1=1,93

k 2=f ( xi+ h2 , y i+ (h ) (k1 )2 )=(0,8+ 0,2

2;1,570+

(0,2 ) (1,93 )2 )=¿

( 910;1,763)=1,763−( 9

10 )2

+1=1,953

k 3=f ( xi+ h2 , y i+ (h ) (k 2)2 )=(0,8+ 0,2

2;1,570+

(0,2 ) (1,953 )2 )=¿

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( 910;1,7653)=1,7653−( 9

10 )2

+1=1,9553

k 4=f (x i+h , yi+(h ) (k3 ))=(0,8+0,2 ;1,570+(0,2 ) (1,9553 ) )=¿

(1 ;1,96106 )=1,96106−(1 )2+1=1,96106

y (0,8 )≈1,570

i x y k1 k2 k3 k41 0,0 0,250 1,25 1,365 1,3765 1,48532 0,2 0,524 1,484 1,5824 1,59224 1,6824483 0,4 0,841 1,681 1,7591 1,76691 1,8343824 0,6 1,193 1,833 1,8863 1,89163 1,9313265 0,8 1,570 1,93 1,953 1,9553 1,96106

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CONCLUSIONES

Es importante antes de iniciar un trabajo colaborativo, conocer e identificar la temática planteada, los objetivos esperados y las actividades a desarrollar; esto con el fin de profundizar e indagar en el contenido y establecer un cronograma de trabajo que asegure el cumplimiento de las metas estipuladas.

Conocer nuestros compañeros de curso e interactuar con ellos, asegura una buena dinámica para el desarrollo y construcción de los trabajos colaborativos, ya que logra romper los paradigmas iniciales y propicia un reconocimiento de los roles del equipo.

El curso consta de tres unidades didácticas, correlacionadas con el número de créditos académicos asignados. La tercera que se aplica en el presente trabajo, se relaciona con la regla de Simpson y el método de Runge-Kutta.

Realizar ejercicios y practicar con problemas planteados, permite aplicar los conocimientos adquiridos en el desarrollo del tema de la Unidad 3, tales como: la regla de Simpson y el método de Runge-Kutta.

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BIBLIOGRAFIA

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