Análisis Numérico

Universidad Fermín Toro

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Análisis Numérico

Finalmente, otro concepto paralelo al análisis numérico es el de la representación, tanto de los números como de otros conceptos matemáticos como los vectores, polinomios, etc. Por ejemplo, para la representación en ordenadores de números reales, se emplea el concepto de coma flotante que dista mucho del empleado por la matemática convencional.En general, estos métodos se aplican cuando se necesita un valor numérico como solución a un problema matemático, y los procedimientos "exactos" o "analíticos" (manipulaciones algebraicas, teoría de ecuaciones diferenciales, métodos de integración, etc.) son incapaces de dar una respuesta. Debido a ello, son procedimientos de uso frecuente por físicos e ingenieros, y cuyo desarrollo se ha visto favorecido por la necesidad de éstos de obtener soluciones, aunque la precisión no sea completa. Debe recordarse que la física experimental, por ejemplo, nunca arroja valores exactos sino intervalos que engloban la gran mayoría de resultados experimentales obtenidos, ya que no es habitual que dos medidas del mismo fenómeno arrojen valores exactamente iguales.

El análisis numérico o cálculo numérico es la rama de las matemáticas que se encarga de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real.

El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores. Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamente complejos, pero en última instancia operan con números binarios y operaciones matemáticas simples.

Desde este punto de vista, el análisis numérico

proporcionará todo el andamiaje necesario para llevar a cabo todos aquellos procedimientos matemáticos susceptibles de expresarse algorítmicamente, basándose en algoritmos que permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando números.

Definido el error, junto con el error admisible, pasamos al concepto de estabilidad de los algoritmos. Muchas de las operaciones matemáticas pueden llevarse adelante a través de la generación de una serie de números que a su vez alimentan de nuevo el algoritmo (feedback). Esto proporciona un poder de cálculo y refinamiento importantísimo a la máquina que a medida que va completando un ciclo va llegando a la solución. El problema ocurre en determinar hasta cuándo deberá continuar con el ciclo, o si nos estamos alejando de la solución del problema.

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INTERPOLACION

Interpolación lineal

En el subcampo matemático del análisis numérico, se denomina interpolación a la obtención de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos.

En ingeniería y algunas ciencias es frecuente disponer de un cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento y pretender construir una función que los ajuste.

Otro problema estrechamente ligado con el de la interpolación es la aproximación de una función complicada por una más simple. Si tenemos una función cuyo cálculo resulta costoso, podemos partir de un cierto número de sus valores e interpolar dichos datos construyendo una función más simple. En general, por supuesto, no obtendremos los mismos valores evaluando la función obtenida que si evaluamos la función original, si bien dependiendo de las características del problema y del método de interpolación usado la ganancia en eficiencia puede compensar el error cometido.

En todo caso, se trata de, a partir de n parejas de puntos (xk,yk), obtener una función f que verifiquea la que se denomina función interpolante de dichos puntos. A los puntos xk se les llama nodos. Algunas formas de interpolación que se utilizan con frecuencia son la interpolación lineAl, la interpolación polinómica (de la cual la anterior es un caso particular), la interpolación por medio de spline o la interpolación polinómica de Hermite.

Uno de los métodos de interpolación más sencillos es el lineal. En general, en la interpolación lineal se utilizan dos puntos, (xa,ya) y (xb,yb), para obtener un tercer punto interpolado (x,y) a partir de la siguiente fórmula:

La interpolación lineal es rápida y sencilla, pero no muy precisa.

La interpolación cuadrática

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Ejercicios

METODO DE LA DIFERENCIAS DIVIDIDAS

EJEMPLO DE EJERCICO RESUELTOwww.youtube.com/watch?v=JXegiEZ-Qn8