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Página Web:

Ing. Luis Alberto Benites

Gutiérrez

El profesor Benites, es Ingeniero Industrial,

Máster en Business Administration (MBA) por la

Universidad Autónoma de Madrid-España, Doctor

en Administración de Empresas. Ha realizado

estudios de Economía en la Universidad

Complutense de Madrid a nivel doctoral y

estudios de especialización en finanzas por la

Universidad ESAN – Lima. Obtuvo el premio

Nacional en Ingeniería Económica. Es profesor

invitado en cátedras de Maestría y Doctorado por

Universidades nacionales e internacionales.

Fundador de la Maestría en Ingeniería Industrial

de la Universidad Nacional de Trujillo, durante los

primeros tres años se ha desempeñado como

Director de Postgrado en la Sección de

Ingeniería y actualmente es Jefe de

Departamento Académico y profesor principal de

Ingeniería Industrial en las cátedras de Proyectos

de Inversión e Ingeniería Económica y Gestión

Financiera, en la misma Universidad.

Los términos de la ecuación quedan definidos como sigue:

CAPITALIZACIÓN F= Valor Futuro

equivalente(se

calcula)

P = Valor Presente

equivalente (se conoce)

i = Tasa de interés por periodo

0 1 2 3 N-2 N-1 N

Periodo

CAPITALIZACIÓN

F= US$ 1316,80

(Valor Futuro)

P = US$1000

(Valor Presente)

i = 3,50%

0 1 2 3 4 7 8

CAPITALIZACIÓN

Ecuación Financiera

F = P(1+0,035)8

N

niF

iFP

)1(

)1(

1

Los términos de la ecuación quedan definidos como sigue:

ACTUALIZACIÓN

F= US$ 10000

(Valor Futuro)

P = US$8535

(Valor Presente)

i = 2%

0 1 2 3 4 7 8

ACTUALIZACIÓN

80.02)(1

1US$10000 P

FinancieraEcuación

Tipo nominal:

Donde:

m

m

ji

11

i = tasa efectiva anual

j = tasa nominal anual

m = Número de periodo de capitalización

j/m = Tasa proporcional o tasa efectiva periódica

Reglas Básicas para el manejo de

tasa de interés nominal y efectiva

1. Si el mercado financiero fija una tasa nominal anual de

30% y necesitamos una tasa mensual para calcular los

intereses, se debe realizar lo siguiente:

Para el caso de tasa , se procede a para

calcular la tasa mensual.

025.030360

30.0

2. Ahora, supongamos que la tasa de

mercado está fijada en 4% efectiva anual

y necesita una tasa trimestral para

calcular su interés.

Para proceder con la tasa

se tiene que radicar:

La tasa trimestral periódica sería de :

009853.01)040.01( 90360

I= P.(i)

nj

i 360

1)1(360 n

anualii

Exprese (j), “en tanto por uno”

Exprese (i anual) “en tanto por uno”

SERIES UNIFORMES ORDINARIAS

• Se trata de una suma económicamente al final del

horizonte temporal

0 1 2 3 4 5 n

Periodo

6

A A A A A A A A A A A

A

A(1+i)1

A(1+i)2

A(1+i)3

Hacemos la suma económica en el punto(n); sacando (A)

como factor común:

1321 )1(....)1()1()1(1 niiiiAF

1)1(

1)1(1

i

iAF

n

Simplificando:

i

iAF

n 1)1(1

Abreviando:

F = A(F/A,i%,n)

• Transportes Mercosur S.A desea calcular el valor

futuro(F) después de cuatro años de un depósito anual

de US$3000 ocurrido cada fin de año en una cuenta a

plazos que paga 4% de interés anual.

• El valor presente P de una serie uniforme se calcula de

manera similar a la actualización de un flujo de efectivo

proyectado en el tiempo.

0 1 2 3 4 5 n 6

A A A A A A A A A A A

1)1(

1

iA

2)1(

1

iA

3)1(

1

iA

• Hacemos la suma económica en el punto(n),

sacando (R) como factor común:

niiiAP

)1(

1.....

)1(

1

)1(

121

Simplificando:

n

n

ii

iAP

)1(

1)1(

Abreviando:

P = A(P/A,i%,n)

Ejemplo

• La gerencia de una pyme desea calcular el valor

presente (P) de sus ahorros obtenido por el

mejoramiento en un sistema de corte, en un periodo de 5

años los ahorros que se dan al final del año por

US$5000 con un rendimiento de 30%.

• La ecuación que permite calcular el valor de (A) serie

uniforme, o pago para acumular una suma futura, se

obtiene despejando el valor de A.

1)1( ni

iFA

Abreviando:

A = F(A/F,i%,n)

Ejemplo

• Ud desea adquirir un departamento del

programa MI VIVIENDA dentro de cuatro

años y la inmobiliaria le pide un pago

inicial(enganche) de US$3300 en esa fecha.

Desea efectuar depósitos iguales al final de

cada año en una cuenta de ahorros que

paga una tasa de interés anual de 4%. ¿

Cuánto será el valor del depósito para

acumular un total de US$3300?

Solución:

0 1 2 3 4

A A A A

F = US$ 3300

i = 4%

Final de año

1)04.01(

04.03300$

4USA

• Partiendo de la ecuación de valor present de la serie:

• Despejando el valor de A en la ecuación:

n

n

ii

iAP

)1(

1)1(

1)1(

)1(n

n

i

iiPA

Abreviando:

A = P(A/P,i%,n)

Ejemplo

• El gerente de una pyme desea determinar la

cantidad equitativa de los pagos que deberá

efectuar al final de cada año para amortizar

por completo un préstamo por US$20000 a

una tasa de interés del 15% durante 5 años

Solución:

0 1 2 3 4

A A A A

P = US$ 20000

i = 15%

5

A

1)15.01(

)15.01(15.020000$

5

5

USA

1 2 3 N-1 N-2

G 2G

(N-3)G

(N-2)G

(N-1)G

A=Valor de cada pago de la serie

uniforme P=Valor presente

Nota: No hay pago al final

del primer periodo

Pasos gradientes

(Típicos)

Es un diagrama de flujo de efectivo de una serie hechos al

final de cada periodo y que en cada uno de estos aumentan

en una cantidad constante(G). La G se conoce como

cantidad gradiente.

Final del año Pago

1 0

2 G

3 2G

.. ..

… …

(N-1) (N-2)G

N (N-1)G

El programa de

pagos en el cual se

basan las fórmulas

derivadas y los

valores tabulados,

s como sigue:

Encontrar P, dado G

Encontrar A, dado G

P = G(P/G, i%, N)

A = G(A/G, i%, N)

Factor de conversión de

gradiente a valor presente

NN

N

i

N

ii

i

iGP

)1()1(

1)1(1

Factor de conversión de

gradiente a serie uniforme

1)1(1

1Ni

N

iGA

Ejemplo

• El departamento de Ingeniería Industrial de una

empresa prepara el presupuesto de inversión de

mantenimiento para la línea de producción en los

próximos seis meses.

Final de mes Egresos

1 US$2000

2 US$3000

3 US$4000

4 US$5000

5 US$6000

6 US$7000

Tenemos que calcular el valor presente

del presupuesto actual.

i=2%

VPA

A=$2000

Meses 0 2 1 5 4 3 0 2 1 5 4 3 6

G=$1000

Ecuación Financiera:

VT = VPA + VPG

Operaciones:

VPA = US$ 2000(P/A, 2%, 6)

VPA = US$ 2000(5.6014)

VPA = US$ 11202.80

VPG = US$ 1000 (P/G, 2%, 6)

VPG = US$ 1000 (13.6801)

VPG = US$13680.10

1

2

El valor actual de la inversión del

presupuesto de mantenimiento será:

VT = US$ 11202.80 + US$13680.10

VT = US$ 24882.90

3

igig

i

gd

Pn

n

E

,)1(

1)1(

1 2 3 n 4

d d(1+g)

d(1+g)2

d(1+g)3

d(1+g)n-1

Si g =1, la ecuación queda como …..........

Donde:

Pg= Valor presente de la serie escalonada que empieza en el año 1 en dólares

d = Representa la cantidad de dólares en el año 1

g = Representa la tasa de crecimiento geométrico

g

ndPg

1

Ejemplo

• La Empresa Transportes Perú S.A., ha decidido valorar

su presupuesto de inversión en llantas, para esto toma

como muestra una unidad de transporte y contabiliza las

siguientes proyecciones de costos: cuatro llantas

cuestan US$8000 y espera duren 4 años con un valor

de recuperación de US$800. Se espera el costo de

mantenimiento sea US$1500 el primer año,

aumentando en 5% anualmente. Determine el valor

presente equivalente del costo total, si la tasa de interés

es de 3% anual.

Solución:

1 2 3 4

1500

1500(1.05)

1500(1.05)2

1500(1.05)3

PT R=$800

i=3%

0

US$8000

ECUACIÓN FINANCIERA

PR = US$ 8000 + PG – 800 (P/F, 3%, 4)

03.005.0

1)03.01/()05.01(1500$

44

USPG

PG = US$1500 x (3.998078)

PG = US$ 5997.12

PG = US$ 8000 + 5997.12 – 8000(P/F, 3%,4)

El factor de actualización lo encontramos en tablas:

PT = US$8000+5997.12-800(0.8885)

PT = US$8000+5997.12-710.80

PT = US$13286.32