Prof. Lic. Javier Velásquez Espinoza

CONCEPTO DE FUNCIONEl esquema nos muestra una máquina llamada «función», que recibe como insumo llamado dato «x» y lo convierte en un producto o resultado «y». Para cada valor «x» que se suministra a la máquina, ésta lo emplea para obtener un resultado «y» determinado, aplicando una regla específica, que en el caso dado, es la fórmula:

En este ejemplo, los valores de «x» pertenecen al conjunto:

A = {0; 1; 3; 4}

3y=x - 2

OBSERVACIONESLa máquina, llamada función, no puede procesar

cualquier valor que se le asigne a la variable independiente. Por ejemplo: x = 2.

Llamamos dominio al conjunto formado por todos los valores que puede asumir la variable independiente “x”.

Df = {0; 1; 3; 4}Llamamos rango al conjunto formado por todos los

valores que puede asumir la variable dependiente “y”.Rf = {-3/2; 3/2; 3}

Los pares ordenados formados por las variables independiente y dependiente son elementos que le pertenecen a un conjunto llamado función:

f = {(0;-3/2), (1; 3), (3;3), (4; 3/2)}

FUNCIONESDefinición Dados dos conjuntos no nulos A y B, se dice que f es una función

de A en B si para cada x A, existe un único y B tal que (x, y) f, es decir que dos pares ordenados distintos no pueden tener la misma primera componente.

A B

f

2

1

5

-1

3

1

0

2

5

3

f : A B compuesta por: f = {(2; 1), (5; 0), (1; 0), (3; 2), (1; 2)}

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN (Df): Es el conjunto de las primeras componentes de los pares ordenados de la función, son llamados también preimágenes

RANGO DE UNA FUNCIÓN (Rf) : Es el conjunto de las segundas componentes de los pares ordenados de la función, son llamados también imágenes.

A B

f

2

1

5

-1

3

1

0

2

5

3Df = {1; 1; 2; 3; 5}

Rf = {0; 1; 2}

f = {(2; 1), (5; 0), (1; 0), (3; 2), (1; 2)}

VARIABLES Y VALOR FUNCIONAL

Una función frecuentemente se expresa por medio de una regla de correspondencia

y = f(x), se lee: “y es igual a f de x”

donde “x” se llama variable independiente e “y” variable dependiente

132xf(x) y 2 xEjemplo:

Valor funcional: es el que se obtiene al reemplazar un valor de x en f siempre que x Df

Ejemplo: Si ; Df = 5; + 5x)x(f

El valor funcional para x = 9 es: 259)9(f

Ejemplos: Determine los valores funcionales en cada caso:

En el ultimo ejemplo,¿existirá algún valor para f(x) cuando x = 3

Rpta: NO porque no existe raíz cuadrada de un numero negativo

a. f(x) = 2x2 + 3x – 1, para x = -1 Rpta: f(-1) = -2

c. , para x = 62f(x) = x -4x - 5

b. , para x = -323xf(x) =

x -4Rpta: f(-3) = -9/5

Rpta: f(6) = 7

DETERMINACIÓN DE DOMINIOS

Es el proceso mediante el cual se establecen los valores admisibles para la variable independiente.

Si una función es racional, los valores que hacen cero al denominador no forman parte del Df. Asimismo si la función tiene raíz cuadrada, el radicando o cantidad subradical debe ser siempre positivo.

1x32xg(x) 3) 2

52xf(x) )1

;2

5Df :Rpta

2xx

5xh(x) )2

2

21 ; 5; D :Rpta h

RD :Rpta g

Ejemplos:

FUNCIONES ESPECIALES

1) Función constante.- Es una función de la forma: f(x) = c ; donde c es una constante.

Una función constante tiene el mismo valor funcional para todo valor que asuma su variable independiente.

Df = R , Rf = R

Ejemplo: f(x) = 5

2) Función polinomial.- Es una función de la forma:

f(x) = cnxn + cn-1xn-1 + ……+ c1x + c0 | ci n

Donde: “cn” se llama coeficiente principal

Si cn 0, entonces “n” se llama grado del polinomio.

Ejemplo: f(x) = 3x4 – 2x3 + 1 Grado = 4

Coeficiente principal = 3

Las funciones polinomiales de grado 1 y 2 son llamadas funciones lineales o cuadráticas respectivamente

Ejemplo: f(x) = 5x 3 es una función lineal

h(x) = 5x2 + 3x 7 es una función cuadrática

3) Función racional.- Es una función que se obtiene de la división de dos funciones polinomiales, de la forma: f(x) = g(x)/h(x) | h(x) 0.

Df = R – {xi / h(xi) dif 0 }

632x

f(x) : 2

3

xxx

Ejemplo Determinar el dominio de “f”

4) Función definida por intervalos.- Es una función que determina sus valores funcionales por mas de una regla de correspondencia, la cual se aplica según la variable independiente se ubique en el intervalo de definición de alguna de estas.

10 xsi 7,

10x3 si ,3x

3 xsi 1,2x

f(x) :Ejemplo 2 5

Determinar los valores funcionales de:a) f(2)b) f(5)c) f(15)

5) Función valor absoluto.- Es una función que se define por intervalos que se denota así: f(x) = |x|, tal que:

f(x) = x, six 0- x, six < 0

6) Función irracional.- Es una función que se define mediante una regla de correspondencia que aplica una radicación, tal que:

f(x) = x

Ejemplo.- f(2) = |2| = 2, f(-2) = |-2| = 2, f(0) = |0| = 0, f(5) = |5| = 5

Df = R , Rf = R+{0}

Df = R+{0} , Rf = R+{0}