1

Unidad 6: Funciones algebraicas.

6.1 Función, regla de correspondencia, valor, dominio, contradominio y rango.

6.1.1 Función.

Es el conjunto de pares ordenados de números reales (𝑥, 𝑦) en los que el primer elemento es

diferente en todos y cada uno de los pares ordenados.

Ejemplos:

1) 𝐴 = {(2,5), (3,6), (4,7), (5,8)} representa una función, ya que el primer elemento de

cada ordenado es diferente a los otros.

2) 𝐵 = {(1,1), (1, −1), (4,2), (4, −2)} no representa una función, ya que se repite el

primer elemento en ciertos pares ordenados.

6.1.2 Regla de correspondencia.

Es la expresión que relaciona la variable dependiente con la variable independiente y se denota

por:

𝑦 = 𝑓(𝑥), se lee (𝑦 es igual a 𝑓 de 𝑥)

Donde:

𝑥: variable independiente

𝑦: variable dependiente

𝑓(𝑥): regla de correspondencia

Ejemplos:

1) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 2) 𝑓(𝑥) =1

𝑥 3) 𝑦 = 1 − 𝑥

2 4) 𝑦 = √𝑥 + 1

6.1.3 Valor de una función.

Se obtiene al sustituir un cierto valor de 𝑥 en la función 𝑓(𝑥).

Ejemplos:

2

1.- Si 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3, el valor de f(3) es igual a:

a) 3 b) 0 c) 9 d) 6

Solución:

𝑓(3) = (3)2 − 3 = 9 − 3 = 6

2.- Si 𝑓(𝑥) =𝑥+1

𝑥−1 , el valor de 𝑓(−2) es:

a) −3 b) 1

3 c) 3 d) −

1

3

Solución:

𝑓(−2) =−2 + 1

−2 − 1=

−1

−3=

1

3

6.1.4 Dominio de una función.

Es el conjunto de todos los valores de 𝑥 admisibles para una función.

6.1.5 Contradominio.

Es el conjunto de todos los valores de 𝑦 admisibles para una función.

6.1.6 Rango o imagen.

Es el conjunto de todos los valores resultantes de 𝑦 al sustituir cada uno de los elementos del

dominio en la función.

Ejemplo:

1.- Si 𝑓: 𝐷 → 𝐶 𝑐𝑜𝑛 𝐷 = {1,3} 𝑦 𝐶 = {2, 4, 6}, 𝑠𝑖 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1. ¿Qué conjunto representa el

rango de la función?

a) 𝑅 = {2,4} b) 𝑅 = {2} c) 𝑅 = {2, 4, 6} d) 𝑅 = {4}

3

Solución:

▪ El dominio de la función es el conjunto 𝐷 y el contradominio es el conjunto 𝐶.

▪ El rango se conforma de los elementos del contradominio, que se obtienen al sustituir

los elementos del dominio en la función: 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1

𝑓(1) = 1 + 1 = 2 ; 𝑓(3) = 3 + 1 = 4

6.2 Función algebraica.

Es aquella función formada por operaciones algebraicas sobre la variable 𝑥. Estas operaciones

son adición, sustracción, producto, cociente, potenciación y radiación.

6.2.1 Clasificación de las funciones algebraicas.

6.2.1.1 Función constante.

Es de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑐, y representa todos los puntos (𝑥, 𝑐), su dominio son los reales y su

rango es {𝑐}.

Gráfica:

6.2.1.2 Función lineal.

Es de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, su gráfica es una línea recta inclinada, el exponente de 𝑥 es la

unidad.

Y

X

f(x) = c

Dominio = (- ∞, ∞)

Rango = {c}

4

Gráfica:

6.2.1.3 Función cuadrática.

▪ Para obtener los valores de (ℎ, 𝑘) se aplican las siguientes fórmulas:

ℎ = −𝑏

2𝑎 , 𝑘 =

4𝑎𝑐 − 𝑏2

4𝑎

6.2.1.3 Función cuadrática.

Es de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑

Y

X

f(x) = ax + b Dominio = (- ∞, ∞)

Rango = {- ∞, ∞}

Si a > 0

Dominio = R

Rango = {k, ∞}

Y

X

V (h, k) k

h

Dominio = R

Rango = {- ∞, k}

Si a < 0 Y

X

V (h, k) k

h

5

Gráfica:

Ejemplos:

1.- Los puntos que pertenecen a la función 𝑓(𝑥) = 3, son:

a) {(3, 2), (3, 3), (3, 4)} b) {(1, 2), (2, 3), (3, 4)}

c) {(1, 3), (2, 3), (3, 3)} d) {(−3, 1), (−2, 3), (−1, 4)}

Solución:

▪ Los puntos que pertenecen a la función 𝑓(𝑥) = 3, son todos aquellos cuya ordenada es

3, significa que son la forma (𝑥, 3) para cualquier valor de 𝑥, entonces, el conjunto es:

{(1, 3), (2, 3), (3, 3)}

2.- Representa una función constante:

a) 𝑓(𝑥) = 𝜋 b) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 c) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 d) 𝑓(𝑥) =1

𝑥

Solución:

▪ Una función constante es aquella regla de correspondencia que a cualquier valor de 𝑥 le

asigna el mismo valor:

𝑓(𝑥) = 𝜋

2.- Representa una función lineal:

a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 b) 𝑓(𝑥) = 4 c) 𝑓(𝑥) =𝑥+1

𝑥 d) 𝑓(𝑥) = 3

𝑥

Y

X

Dominio = (- ∞, ∞) = R

Rango = {- ∞, ∞} = R

6

Solución:

▪ Una función lineal es de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, donde el exponente de 𝑥 es la unidad

y sólo se encuentra como numerador:

𝑓(𝑥) = 𝑥

4.- El vértice de una parábola 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 + 8 es:

a) 𝑉(2, −4) b) 𝑉(−2, 4) c) 𝑉(4, −2) d) 𝑉(4, 2)

Solución:

▪ El vértice de la parábola se define 𝑉 (−𝑏

2𝑎,

4𝑎𝑐−𝑏2

4𝑎) y los valores son: 𝑎 = 1, 𝑏 = 4 𝑦 𝑐 =

8.

▪ Por tanto:

𝑉 (−𝑏

2𝑎,4𝑎𝑐 − 𝑏2

4𝑎) = 𝑉 (−

4

2(1),4(1)(8) − (4)2

4(1)) = 𝑉 (−

4

2,32 − 16

4) = 𝑉 = (−2, 4)

5.- El rango de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 6 es:

a) [−23

4, −∞) b) (−∞, ∞) c) (−∞, −

23

4) d) (−∞, −

23

4]

Solución:

▪ El coeficiente de 𝑥2 es negativo, la parábola abre hacia abajo y su rango está dado por:

(−∞, 𝑘] con 𝑘 =4𝑎𝑐 − 𝑏2

4𝑎

▪ Se obtiene el valor de 𝑘:

𝑘 =4𝑎𝑐 − 𝑏2

4𝑎=

4(−1)(−6) − (1)2

4(−1)=

24 − 1

−4=

23

−4= −

23

4

▪ Por consiguiente, el rango es el intervalo:

(−∞, 𝑘] = (−∞, −23

4]

7

6.2.1.4 Función racional.

Es de la forma 𝑓(𝑥) =ℎ(𝑥)

𝑔(𝑥) con 𝑔(𝑥) ≠ 0, si 𝑥1, 𝑥2, … 𝑥𝑛 son los valores para los cuales

𝑔(𝑥1) = 𝑔(𝑥2) =. . . 𝑔(𝑥𝑛) = 0, entonces el dominio de 𝑓(𝑥) se define como:

𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 ≠ 𝑥1, 𝑥2 … , 𝑥𝑛}

Donde a 𝑥1, 𝑥2 … , 𝑥n se les denomina asíntotas verticales.

Asíntota:

Es una recta o curva cuya distancia a la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) se aproxima a cero, esto es, la asíntota

se acerca a la función, pero nunca la toca.

Gráfica:

Ejemplos:

1.- La asíntota vertical de la función 𝑓(𝑥) =𝑥+2

𝑥−1 es:

a) 𝑥 = −2 b) 𝑥 = 1 c) 𝑥 = −1 d) 𝑥 = 2

Solución:

▪ Se iguala el denominador con cero y se despeja a la variable 𝑥 para obtener las

ecuaciones de las asíntotas verticales:

𝑥 − 1 = 0 → 𝑥 = 1

▪ La función sólo tiene una asíntota vertical en 𝑥 = 1.

y = f(x)

As. vertical Y

X

y = b

x = a

Q = (x, y)

L

d As. horizontal

8

2.- El dominio de la función 𝑓(𝑥) =1

𝑥2+5𝑥+6 es:

a) 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 ≠ −3, −2} b) 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 ≠ −6, −1}

c) 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 ≠ −3, 2} d) 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 ≠ −1, 6}

Solución:

▪ El dominio de la función se obtiene a partir de sus asíntotas verticales, entonces:

𝑥2 + 5𝑥 + 6 = 0 → (𝑥 + 3)(𝑥 + 2) = 0

𝑥 + 3 = 0, 𝑥 + 2 = 0

𝑥 = −3, 𝑥 = −2

▪ Por consiguiente, el dominio es:

𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 ≠ −3, −2}

6.2.1.5 Función raíz cuadrada.

Es de la forma 𝑓(𝑥) = √𝑔(𝑥) , y su dominio es 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑔(𝑥) ≥ 0}.

▪ Nota: la resolución de una desigualdad se desarrolla en la unidad 4.

Ejemplos:

1.- El dominio de la función 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 2 es:

a) 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑔(𝑥) < 2} b) 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑔(𝑥) ≥ 2}

c) 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑔(𝑥) > 2} d) 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑔(𝑥) ≤ 2}

Solución:

▪ Para obtener el dominio se resuelve la desigualdad 𝑥 − 2 ≥ 0

𝑥 − 2 ≥ 0 → 𝑥 ≥ 2

▪ Por consiguiente:

𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑔(𝑥) ≥ 2}

9

2.- El dominio de la función 𝑓(𝑥) = √𝑥2 + 3𝑥 − 10 es:

a) [−5, 2] b) (−∞, −2] ∪ [5, ∞) c) (−5, 2) d) (−∞, −5] ∪ [2, ∞)

Solución:

▪ Se resuelve la desigualdad 𝑥2 + 3𝑥 − 10 ≥ 0, obteniendo las soluciones de la ecuación

𝑥2 + 3𝑥 − 10 = 0:

𝑥2 + 3𝑥 − 10 = 0 → (𝑥 + 5)(𝑥 − 2) = 0 → 𝑥 = −5, 𝑥 = 2

La solución es:

𝑥 ≤ 5 o 𝑥 ≥ 2 es equivalente a (−∞, −5] ∪ [2, ∞)

3.- El dominio de la función 𝑓(𝑥) = √9 − 4𝑥2 es:

a) 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑅 / −3

2 ≥ 𝑥 o 𝑥 ≤

3

2} b) 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑅 / −

3

2 ≤ 𝑥}

c) 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 ≤3

2 } d) 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑅 / −

3

2≤ 𝑥 ≤

3

2 }

Solución:

▪ Se resuelve la desigualdad 9 − 4𝑥2 ≥ 0, la cual se multiplica por (−1) para convertir en

positivo el término cuadrático:

9 − 4𝑥2 ≤ 0

▪ Se obtienen las raíces de 9 − 4𝑥2 = 0

4𝑥29−= 0 → 4𝑥2 = 9 → 𝑥2 =

9

4

→ 𝑥 = ±

3

2

▪ Que son 𝑥 =3

2 𝑦 𝑥 = −

3

2 , por consiguiente, el dominio es:

−3

2≤ 𝑥 ≤

3

2 o [−

3

2,3

2]

10

6.2.1.5 Funciones implícitas y explícitas.

▪ En una función explícita una variable se escribe en términos de la otra.

Ejemplos:

1) 𝑦 = −3𝑥 + 5 2) 𝑦 =𝑥+1

𝑥−1 3) 𝑥 = 𝑦

2 + 3𝑦

▪ En una función implícita la relación se expresa en términos de 𝑥 y 𝑦.

Ejemplos:

1) 𝑥2 + 𝑦2 = 1 2) 𝑥𝑦 = 4 3) 𝑥2 + 𝑥𝑦 − 2𝑦2 = 0

6.2.1.6 Función creciente.

▪ Una función definida en un intervalo es creciente en ese intervalo, si y sólo si para todo

𝑥2 > 𝑥1 se cumple que 𝑓(𝑥2) > 𝑓(𝑥1); esto es, una función es creciente si al aumentar

𝑥 también 𝑓(𝑥) aumenta.

Ejemplo:

Determinar si la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 5 es creciente.

Solución:

▪ Se eligen 2 valores para 𝑥, en este caso 𝑥 = 2 y 𝑥 = 4:

Si 𝑥 = 2, 𝑓(2) = 2(2) + 5 = 9

Si 𝑥 = 4, 𝑓(4) = 2(4) + 5 = 13

11

▪ Se observa que al aumentar los valores de 𝑥 también aumentan los valores de 𝑓(𝑥), por

tanto, la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 5 es creciente.

6.2.1.7 Función decreciente.

▪ Una función definida en un intervalo es decreciente en ese intervalo, si y sólo si, para

todo 𝑥1 < 𝑥2 se cumple que 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2); esto es, una función es decreciente si al

aumentar 𝑥 𝑓(𝑥) disminuye.

Ejemplo:

Determinar si la función 𝑓(𝑥) =1

𝑥 es decreciente.

Solución:

▪ Se eligen 2 valores para 𝑥, en este caso 𝑥 = 1 y 𝑥 = 2, entonces:

Si 𝑥 = 1, 𝑓(1) =1

1= 1

Si 𝑥 = 2, 𝑓(2) =1

2

▪ Se observa que mientras los valores de 𝑥 aumentan, los valores de 𝑓(𝑥) disminuyen, por consiguiente, la función es decreciente.

6.2.1.8 Funciones continuas y discontinuas.

▪ Una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) es continua en 𝑥 = 𝑥0, si 𝑓(𝑥0) está definida.

12

▪ Una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) es discontinua en 𝑥 = 𝑥0, si 𝑓(𝑥0) no está definida; esto es, se

obtiene una expresión de la forma 𝑐

0 o

0

0.

Ejemplos:

1.- ¿Para qué valor de 𝑥 es discontinua la función 𝑓(𝑥) =4

𝑥+3?

a) 𝑥 = 3 b) 𝑥 = −2 c) 𝑥 = −3 d) 𝑥 = 2

Solución:

▪ La función es discontinua en un valor de 𝑥 si al sustituirlo en la función se obtienen

expresiones como: 𝑐

0 o

0

0.

Si 𝑥 = 3, 𝑓(3) =4

3 + 3=

4

6=

2

3, en este punto es continua 𝑓(𝑥).

Si 𝑥 = −2, 𝑓(−2) =4

−2 + 3=

4

1= 4, en este punto es continua 𝑓(𝑥).

Si 𝑥 = −3, 𝑓(−3) =4

−3 + 3=

4

0, en este punto es discontinua 𝑓(𝑥).

Si 𝑥 = 2, 𝑓(2) =4

2 + 3=

4

2= 2, en este punto es continua 𝑓(𝑥).

y = f(x)

Y

X x0

Y

X x0

y = f(x)

13

2.- La función 𝑓(𝑥) =𝑥−2

𝑥2−4 es discontinua en:

a) 𝑥 = 4 b) 𝑥 = 2 c) 𝑥 = −1 d) 𝑥 = 3

Solución:

Si 𝑥 = 4, 𝑓(2) =4 − 2

(4)2 − 4=

2

16 − 4=

2

12=

1

6, en este punto es continua 𝑓(𝑥).

Si 𝑥 = 2, 𝑓(2) =2 − 2

(2)2 − 4=

0

4 − 4=

0

0, en este punto es discontinua 𝑓(𝑥).

Si 𝑥 = −1, 𝑓(−1) =−1 − 2

(−1)2 − 4=

−3

1 − 4=

−3

−3= −1, en este punto es continua 𝑓(𝑥).

Si 𝑥 = 3, 𝑓(3) =3 − 2

(3)2 − 4=

1

9 − 4=

1

5, en este punto es continua 𝑓(𝑥).

3.- ¿Cuál de las siguientes funciones es continua en 𝑥 = −1?

a) 𝑓(𝑥) =1

𝑥2−1 b) 𝑔(𝑥) =

1

𝑥2+5𝑥+4 c) ℎ(𝑥) =

𝑥−1

𝑥+1 d) 𝑤(𝑥) =

1

𝑥2−4

Solución:

▪ Se sustituye 𝑥 = −1 en cada una de las funciones:

𝑓(−1) =1

(−1)2 − 1=

1

1= 0, la función es discontinua en 𝑥 = −1.

𝑔(−1) =1

(−1)2 + 5(−1) + 4=

1

1 − 5 + 4=

1

0, la función es discontinua en 𝑥 = −1.

ℎ(−1) =−1 − 1

−1 + 1= −

2

0, la función es discontinua en 𝑥 = −1.

𝑤(−1) =1

(−1)2 − 4=

1

−3, la función es continua en 𝑥 = −1.

6.2.1.9 Identificación de una función mediante su gráfica.

Para identificar gráficamente a una función de una relación, se traza una recta vertical sobre la

gráfica.

▪ Si interseca en un punto a la gráfica, entonces representa una función.

14

Ejemplo:

La siguiente gráfica no es una función, representa una relación, ya que la línea vertical toca 2

puntos a la curva.

▪ Si interseca en más de un punto a la gráfica, entonces representa una relación.

Ejemplo:

La siguiente gráfica no es una función, representa una relación, ya que la línea vertical toca en 2

puntos a la curva.

6.2 Álgebra de funciones.

Sean las funciones 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥), entonces:

Suma de funciones:

▪ Se denota 𝑓 + 𝑔 y se define por:

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)

15

Resta de funciones:

▪ Se denota 𝑓 − 𝑔 y se define por:

(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)

Multiplicación de funciones:

▪ Se denota 𝑓 ∗ 𝑔 y se define por:

(𝑓 ∗ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥)

División de funciones:

▪ Se denota 𝑓

𝑔 y se define por:

(𝑓

𝑔) (𝑥) =

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)

Función composición:

▪ Se denota por 𝑓°𝑔 y se define por:

(𝑓°𝑔)(𝑥) = 𝑓{𝑔(𝑥)}

Ejemplos:

1.- Si 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 y 𝑔(𝑥) = −5𝑥 + 7, entonces 𝑓 + 𝑔 es:

a) 𝑥2 − 7𝑥 + 7 b) 𝑥2 − 2𝑥 + 7 c) 𝑥2 + 8𝑥 + 7 d) 𝑥2 − 8𝑥 + 7

Solución:

𝑓 + 𝑔 = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 + (−5𝑥 + 7) = 𝑥2 + 3𝑥 − 5𝑥 + 7 = 𝑥2 − 2𝑥 + 7

2.- Si 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4 y 𝑔(𝑥) =1

𝑥+2, entonces 𝑓 ∗ 𝑔 es:

a) 𝑥 − 2 b) 𝑥 + 2 c) 𝑥 + 4 d) 𝑥 − 4

16

Solución:

(𝑓 ∗ 𝑔)(𝑥) = (𝑥2 − 4 ) (1

𝑥 + 2) =

𝑥2 − 4

𝑥 + 2=

(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)

𝑥 + 2= 𝑥 − 2

3.- Si 𝑓(𝑥) =𝑥+1

𝑥−1 y 𝑔(𝑥) =

1

𝑥, entonces la función composición 𝑓°𝑔 es:

a) 𝑥+1

𝑥−1 b)

𝑥−1

1−𝑥 c)

1+𝑥

1−𝑥 d)

1+𝑥

1+𝑥

Solución:

(𝑓°𝑔)(𝑥) = 𝑓{𝑔(𝑥)} = 𝑓 (1

𝑥) =

1𝑥

+ 1

1𝑥 − 1

=

1 + 𝑥𝑥

1 − 𝑥𝑥

=𝑥(1 + 𝑥)

𝑥(1 − 𝑥)=

1 + 𝑥

1 − 𝑥