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Matemáticas II 2007 Centro de Desarrollo Educativo [CDE] [Acuerdo No. MSB120051404 de Fecha 15 de Marzo 2005] [C.T. 14PBJ0076Z]

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SECRETARÍA DE EDUCACIÓN JALISCO

COORDINACIÓN DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR, SUPERIOR Y TECNOLÓGICA

DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR

DIRECCIÓN DEL BACHILLERATO EN LA MODALIDAD INTENSIVA

SEMIESCOLARIZADA

Guadalajara, Jalisco Junio de 2007

MATEMÁTICAS II


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SECRETARÍA DE EDUCACIÓN JALISCO

MATEMÁTICAS II

DRECTORIO

SECRETARIO DE EDUCACIÓN JALISCO LIC. MIGUEL ÁNGEL MARTÍNEZ ESPINOSA

COORDINADOR DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR,

SUPERIOR Y TECNOLÓGICA LIC. EDUARDO DÍAZ BECERRA

DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR

ING. ANTONIO MAGAÑA ZÚÑIGA

DIRECCIÓN DEL BACHILLERATO EN LA MODALIDAD INTENSIVA SEMIESCOLARIZADA

MTRA. DIMNA SILVIA GONZÁLEZ HERNÁNDEZ

PROYECTOS ACADÉMICOS DE LA DIRECCIÓN GENERAL

DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR

PROFR. JUAN ANTONIO JIMÉNEZ GONZÁLEZ

Academia:

Reyes Zamora Fabiola.

Navarro Fierros Laura Esmeralda

Vizcarra Alanís Heriberto

Aguilar Martínez Jacobo

Pérez Cisneros Porfirio

Saldaña Coronado Noemí

Solano Pajarito Julián

Salcedo Palomera Gustavo de J.

Andrade Jiménez Ricardo


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1.1- ANGULOS EN EL PLANO 1.1.1- Definiciones: PUNTO.- En Matemáticas se puede considerar como un concepto no definido, pero todos tenemos una idea de él, es común referirse al punto diciendo que ocupa un lugar preciso que ocupa un lugar en el espacio y carece de dimensiones También se puede decir que es el límite de una línea y carece de longitud, anchura y espesor. • A y se lee como ―Punto A‖ LINEA.- Es una sucesión de puntos, tiene una sola dimensión, que es la longitud. CUERPO.- Es una porción limitada de materia. La geometría sólo se ocupa de estudiar su forma y tamaño, olvidándose de la sustancia que los compone. Estos a su vez reciben el nombre de cuerpos geométricos ó sólidos geométricos. SÓLIDO GEOMETRICO,- Es el conjunto de puntos del espacio. Tienen tres dimensiones: longitud, anchura y altura o profundidad, aunque en algunos casos como en una esfera no puede decirse con propiedad que tienen longitud, anchura y profundidad. SUPERFICIE.- Se da el nombre de superficie al límite de los sólidos; se dice que tienen sólo dos dimensiones. ANGULO.- Es la abertura comprendida entre dos líneas, unidas en un punto llamado vértice. VÉRTICE.- Punto donde se intersecan dos lados consecutivos o rectas. RECTAS PARALELAS.- Se afirma que dos rectas son paralelas cuando al prolongarlas no tienen ningún punto común lo cual significa que nunca llegan a juntarse o intersecan, o que siempre se hallan a la misma distancia una de otra. SECANTE.-Línea que interseca a dos rectas paralelas en un punto. 1.1.2- Clasificación: Ángulos Se denomina ángulo a la abertura existente entre dos segmentos de rectas y unidas en un punto llamado vértice.

Para designar un ángulo es necesario seguir las siguientes reglas.

a) Se pueden utilizar tres letras mayúsculas y su orden nos indicará el sentido del ángulo.


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B C O A O D A O B C O D ― ángulo A O B‖ ―ángulo C O D‖

b) También se pude designar un ángulo con una sola letra mayúscula colocada fuera de la figura y cerca de su vértice.

N M M ―Ángulo M‖ N ―Ángulo N‖

c) También se puede nombrar un ángulo con una letra minúscula colocada dentro del ángulo y cerca del vértice; esta letra puede ser del alfabeto latino o del alfabeto griego.

a a

a ―ángulo a‖ a ―ángulo alfa‖ Este instrumento consiste en un semicírculo graduado con 180 divisiones iguales, cada una las cuales representa 1º (un grado).


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Observa que un transportador, la trayectoria de las veces utiliza una graduación dextrógira. Para obtener el valor de un ángulo positivo vamos a tomar como 0º el valor de 180º. 33º 135º 175º 90º CLASIFICACION DE ANGULOS Los ángulos se clasifican según su amplitud, es decir de acuerdo a su abertura.

a) NULO. Es el que carece de amplitud. Ángulo nulo= 0º

b) AGUDO.-Es el que mide menos de 90º A < 90º A

c) RECTO.-Es el que mide exactamente 90º. A A = 90º


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d) OBTUSO.- Es el que mide más de 90º A A > 90º < 180º

e) COLINEAL O LLANO.- Es el que mide exactamente 180º A A= 180º

f) ENTRANTE.- Es el que mide más de 180º y menos de 360º A 180º + A < 360º

g) PERÍGONO.- Es el que mide 360º exactamente. A A = 360º. CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS UNIDOS O COLOCADOS POR PAREJAS.

a) ÁNGULOS ADYACENTES.- Son aquellos que tienen un vértice y un lado común R Q Los ángulos < POQ Y < QOR son adyacentes. O P

b) ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE,-Son aquellos que teniendo un mismo vértice, sus lados son tales que los del uno son respectivamente prolongación de los del otro.

<a es opuesto al < b a < a = < b b


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c) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS.- Son aquellos cuya suma es igual a 180º < a + < b = 180º < a y < b son ángulos suplementarios

a B

d) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS.- Son aquellos ángulos adyacentes cuya suma es igual a 90º.

b < a + < b = 90º <a y < b son ángulos complementarios a Q Utilizando otra nomenclatura < POR + < ROQ = 90º R < POR Y < ROQ son ángulos Adyacentes complementarios. O P 1.1.3 UNIDADES PARA MEDIR ÁNGULOS. El valor de un ángulo se mide en grados, radianes o mílits La magnitud de un ángulo depende únicamente de su amplitud (abertura) siendo independiente de la longitud de sus lados. a) Grados sexagesimales. Están basados en la división de la circunferencia en 360 partes; cada parte de esa división recibe el nombre de grado por lo que: 1º = 1/360 da vuelta .Observa el símbolo (º) el cual significa grado.


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Un grado puede ser dividido en 60 partes, cada parte recibe el nombre de minuto, y cada minuto a su vez es igual a sesenta segundos. 1º= 60‖ ―Un grado es igual a 60 minutos‖. 1’ = 60‖ ―Un minuto es igual a 60 segundos‖. b) RADIÁN: Un radián es la medida de un ángulo con vértice en el centro de un círculo y cuyos lados señalan un arco de circunferencia de igual longitud de radio. Q r r R 1radian P O r Para obtener una relación entre grados v radianes se toma el postulado que establece que los ángulos en el centro de una circunferencia son proporcionales a los arcos que interceptan. Por lo que observando la figura se obtiene la siguiente relación <_POQ = PQ < POR PR. Ahora bien como < PQR = 180º , PQ = 1 r , < POQ = 1 radián y PR = πr por ser una semicircun –ferencia, tenemos: 1radián = 1 r 180 º πr 1radián (π)= r (180º) Realizando una multiplicación cruzada y simplificando, r tenemos: 1π radián = 180º 3.1416 radián = 180º Tomando un valor de 3.1416 para π y despejando el radián, tenemos: 1 radián = 180º 3.1416 1 radián = 57º 17´

d) El mílit: El mílit es una unidad de medida angular utilizada por el ejercito en el tiro de artillería y será definido en el capitulo dedicado a trigonometría.

1.1.4.- ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE. a) PAREJA DE ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS: Son ángulos internos no adyacentes colocados en distintos lados de la transversal; tanto < 4 y < 6, como < 3 y <5 son ángulos alternos internos.


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1 2 4 3 5 6 8 7 b) PAREJA DE ÁNGULOS CORRESPÒNDIENTES.- Son dos ángulos no adyacentes situados del mismo lado de la transversal, uno interno y otro externo. Hay cuatro parejas de ángulos correspondientes: <1 con <5, <4 con < 8, <2 con < 6 y <3 con <7. POSTULADO 1.- ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS ENTRE PARALELAS. Si dos rectas cortadas por una transversal son paralelas, entonces los ángulos alternos internos son congruentes. De manera simbólica: Si t es una transversal y m ll l, entonces: < 4 = < 6. m 4 6 l t


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TEOREMA 1.- ÁNGULOS CORRESPONDIENTES ENTRE PARALELAS Si dos rectas cortadas por una secante son paralelas, entonces los ángulos correspondientes son congruentes De manera simbólica: L 2 Si t es una secante y m ll l, entonces: < 2 = < 6. 6 m t DEMOSTRACIÓN: 2 m 4 6 1.- < 6 = < 4, por el postulado 1 l 2.- <4 = < 2, por el teorema 1. 3.- < 2 = < 6, por transitividad t El enunciado recíproco del postulado 1 también es verdadero. POSTULADO 2.- ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS CONGRUENTES. Si un par de ángulos alternos internos formados por dos rectas y una secante son congruentes, entonces las rectas son paralelas. De manera simbólica: S i t es una recta secante y < 4 = < 6 entonces, m ll l. m 4 6 l


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t Encontrar los valores de los ángulos determinados por las incógnitas. Escribe el procedimiento que seguiste para hallarlos y las justificaciones y

a) x b) 117º 92º y 128º x z c) d) y x 24º

z 134º 153º y 51º x Encontrar el valor de los ángulos que se piden empleando álgebra.

a) b) 2x+21 E G F B 4x-17 H 3x-40 A D 5x+12 C X= X = < ABC = < EFG = < CBD = < EFH =


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1.2.- TRIÁNGULO 1.2.1.- DEFINICIÓN.- Un triángulo es una figura geométrica que se compone de tres lados y tres ángulos.

a) CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS POR LA LONGITUD DE SUS LADOS. 1.- TRIÁNGULO EQUILÁTERO.- Son aquellos que tienen sus tres lados iguales. . A B A = B = C C 2.- TRIÁNGULO ISOSCÉLES.- Son aquellos que tienen dos lados iguales y un tercero desigual en cuanto a su magnitud. A = B ≠ C A B C 3.- TRIÁNGULO ESCALENO.- Son aquellos que tienen magnitudes distintas y cuyos lados son diferentes. B A ≠ B ≠ C A C

b) CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS POR LA AMPLITUD DE LOS ÁNGULOS.


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1.- TRIÁNGULO ACUTÁNGULO.- Son los que tienen sus tres ángulos agudos b < a < 90º <b < 90º < c < 90º

a c 2.- TRIÁNGULO RECTÁNGULO.- Son los que tienen un ángulo recto de 90º.

a = 90º

a 3.- TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO.- Son los que tienen un ángulo obtuso.

a

a < 90º A los triángulos acutángulos y obtusángulos se les da el nombre genérico de triángulos oblicuángulos

c) RECTAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO. Estas son las bases, las alturas, las bisectrices, las medianas y las mediatrices. Base: Se denomina base en un triángulo a cualquiera de los lados sobre el que se supone descansa la figura.


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Altura: Se da el nombre de altura en un triángulo al segmento de recta perpendicular a uno de los lados del triángulo o a su prolongación, trazado desde el vértice opuesto a dicho lado. h h h h Ortocentro: Se le da este nombre al punto donde se cruzan las alturas de un triángulo. h h

o h Ortocentro BISECTRIZ EN UN TRIÁNGULO: Se denomina bisectriz en un triángulo a cada uno de los segmentos de recta que divide en dos partes iguales a cada uno de los ángulos INCENTRO: Es el punto donde se cruzan las bisectrices. El incentro es también el centro del circulo inscrito en un triángulo; además en el triangulo equilátero es también el centro del triangulo circunscrito.


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MEDIANA EN EL TRIÁNGULO: Se denomina mediana en un triángulo a cada segmento de recta que une el vértice con el punto medio del lado opuesto.

GRAVICENTRO O BARICENTRO.- Se da este nombre al punto de intersección de las tres medianas de un triángulo. Las medianas de un triángulo se cortan en un punto situado a los dos tercios de cada una de ellas a partir de los vértices correspondientes. MEDIATRICES EN EL TRIÁNGULO. – Se denomina mediatriz en un triángulo a cada una de las rectas que pasan perpendicularmente por los puntos medios de los lados.

CIRCUNCENTRO.- Es el punto donde se cruzan las mediatrices. Además es el centro del círculo circunscrito al triángulo Las mediatrices del triángulo se cortan en un punto que equidista de los tres vértices. PERÍMETROS Y ÁREAS.- PERÍMETRO.- De una figura es la longitud de su contorno; en este caso el triángulo es la suma de cada uno de sus lados ÁREA.- De una figura es el número de unidades cuadradas que caben dentro de ella; en este caso sería A = B X h 2 TEOREMA ÁREA DEL TRIÁNGULO.- El área del triángulo de base b y altura a es: a x b 2 un mismo triángulo tiene tres alturas. Si CD es altura, su base correspondiente es AB.


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También AE es altura y su base correspondiente es BC . L o mismo sucede con BF y AC . Como el área no depende de la altura que se considere, puede obtenerse de tres formas Área del triángulo ABC = ( AB X CD) = ( BC X AE ) = ( AC X BF ) 2 2 2 En los triángulos rectángulos, dos de las alturas coinciden con los catetos. Las alturas son; AC, CB y CD Área del triángulo ABC = ( AC ) ( CB ) = ( AB ) ( CD ) E n los triángulos obtusángulos, dos de las alturas quedan fuera del triángulo Área del triángulo ABC = ( AB ) ( CF ) = ( CB) (AD) = (AC) ( BE ). ÄNGULOS.- 1.- La suma de los ángulos interiores de un triángulo. TEOREMA 2.- Suma de los ángulos interiores de todo triángulo. Si tenemos un triángulo cualquiera, entonces la suma de sus tres ángulos interiores es igual a 180º De manera simbólica Si ABC es un triángulo, entonces < CAB + < ABC + < BCA = 180º. DEMOSTRACIÓN: Tenemos una recta paralela a AC que pase por B.


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1.- <CAB = < DBA, por el postulado 1. 2.- < BCA = < CBE, por el postulado 1. 3.- < DBA + < ABC + < CBE = 180 º por el postulado 1. 4.- < CAB + < ABC + < BCA = 180º. 2.- La suma de los ángulos exteriores, de un triángulo. TEOREMA 3.- Teorema del ángulo exterior en el triángulo. Si tenemos un ángulo exterior en cualquier triángulo este será igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a él De manera simbólica. Si ABC es un triángulo y el < BCD un ángulo exterior, entonces < BCD = < A + < B 1.2.2- CONGRUENCIA. Para que una figura sea congruente se requiere que tengan la misma proporción y el mismo tamaño Para que un triángulo sea congruente es necesario que sus lados y sus ángulos midan exactamente lo mismo El símbolo que nos representa congruencia es CRITERIOS DE CONGRUENCIA PARA UN TRIÁNGULO.

a) Si dos lados y el ángulo comprendido entre ellos en un triángulo son iguales a los correspondientes de otro, entonces los dos triángulos son congruentes.

b) Si dos ángulos y un lado común a ambos en un triángulo son iguales a los correspondientes de otro, entonces los triángulos son congruentes.

c) Si los tres lados del triángulo son iguales a los correspondientes de otro, entonces los triángulos son congruentes.


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Para los triángulos rectángulos se aplican los siguientes criterios: Hay que partir de que todos los triángulos rectángulos tienen un elemento igual que es el ángulo recto , por lo que sólo es necesario que se cumplan únicamente dos condiciones para obtener la congruencia de los mismos. Para que dos triángulos rectángulos sean congruentes se requiere: a) Que tenga la hipotenusa y un ángulo agudo iguales. b) Que tenga un cateto y un ángulo agudo iguales. c) Que tenga los catetos iguales. d) Que tenga la hipotenusa y un cateto iguales.

Sobre la base de lo anterior, se puede obtener los siguientes teoremas para los triángulos:

a) La suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a dos rectos. b) En triángulos congruentes, a ángulos iguales se oponen lados iguales y

viceversa. c) En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos lados y mayor

que la diferencia. d) Si dos lados de un triángulo son desiguales, el mayor lado se opone al mayor

ángulo. e) Si dos lados de un triángulo son respectivamente iguales a dos lados de otro, y

el ángulo comprendido por los dos primeros es mayor que el comprendido por los segundos, el tercer lado del primer triángulo es mayor que el tercer lado del segundo.


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2. POLIGONOS

2.1.1. Definición Un polígono es una figura geométrica plana limitada por segmentos rectos consecutivos no alineados, llamados lados. La palabra "polígono" procede del griego poly, "muchos", y gonos, "ángulos". Por ejemplo, el pentágono es un polígono de cinco lados.

Pentágono

2.1.2. Clasificación Los polígonos se pueden clasificar en regulares e irregulares:

Regulares.- Se caracterizan porque son polígonos que tienen la misma longitud

y todos sus ángulos son iguales.

Irregulares.- Se caracterizan por tener longitudes y ángulos diferentes.

Los elementos de un polígono regular son el radio, apotema y diagonales

El radio (R).- Es el radio de la circunferencia circunscrita al polígono.

Apotema (a).- Es el segmento que une el centro (radio) de la circunferencia circunscrita al polígono con el punto medio de un lado.

Diagonal.- Es una línea que divide al polígono, formando comúnmente un triangulo.

1

2

3 4

5

R a

O


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2.1.3. Suma de ángulos

En un polígono se contemplan dos tipos de ángulos: los interiores y los exteriores.

Los interiores son los formados por cada dos lados contiguos y los exteriores

son sus suplementarios.

Conocemos la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo, que es 180º. Como cualquier polígono se puede dividir en triángulos se podrá calcular cuál es la suma total en cada caso.

A + B + C = 180

Por lo tanto;

El ángulo interno del pentágono será la suma del total de cada triangulo dividido entre el número total de triángulos.

Angulo interno será =

1085

)3180(

Un cuadrilátero se puede dividir en 2 triángulos, un pentágono en 3, un hexágono en 4, etc.; siempre dos menos que el número de lados. En definitiva, un polígono de n lados se puede descomponer en n-2 triángulos y, por tanto, la suma de los ángulos interiores será: 180ºx(n-2).

Es decir, si el polígono es regular el valor de uno de los ángulos interiores es:

Ángulo interno = n

n )º180)(2(

Realizando la misma operación para el pentágono, tenemos;

Angulo

Interno

Angulo

Externo

1 2

3 A

B C


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Angulo interno = º1085

)º180)(25(

La suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es 360º. Teniendo en cuenta que el ángulo interior y el exterior suman 180º, en un polígono de n lados los interiores y los exteriores sumaran, en total, n·180º, como los interiores suman 180º·(n-2) los exteriores suman 360º.

Angulo externo =n

n )º180)(2(180

2.1.4. Triangulación de polígonos

La triangulación consiste en dividir un figura, en este caso polígono, en una forma mas reducida y con formulas conocidas. Es decir, permite la deducción directa de las fórmulas conocidas para triángulos y cuadriláteros; permite la deducción de otras, hasta ahora no utilizadas y, en forma indirecta, la de los polígonos regulares. Mediante la triangulación podemos dividir al polígono regular de n-lados, por lo menos, en n-2 triángulos:

Triangulación de un polígono regular

En un polígono irregular se trazan líneas del vértice, a otra esquina saliente del polígono, hasta obtener, una triangulación completa del polígono.

Triangulación de un polígono irregular

2.1.5. Cálculo de perímetros y áreas


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Un procedimiento conocido para el cálculo de las áreas de cualquier polígono, regular o irregular, es descomponiéndolo en triángulos, principalmente por las diagonales y enseguida calcular sus áreas.

En un polígono regular tenemos; El área total será:

22

21

bhbhAAAT

También es posible calcularse el área con la ecuación conocida;

2

alnA

Donde;

Donde A= Es el área

n= Es el numero de lados

l= Es la longitud de uno de sus lados

En un poligono irregular, será;

El área total será;

321 AAAAT

h

b

A1 A2

a

l

A2

A1

A3


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2.2 Circunferencia y círculo. 2.2.1 Definición y elementos. 2.2.2 Rectas tangentes a un círculo. Circunferencia: Es una curva plana y cerrada cuyos puntos están a igual distancia de otro punto interior llamado centro. P Círculo: Es el conjunto de los puntos interiores de la circunferencia.

Círculo

Radio: Es cualquier segmento que une al centro con un punto de la circunferencia (OA) A G H B C D E F Diámetro: Es el segmento cuyos extremos están en la circunferencia y contiene al centro. (BC)

Circunferencia

I

r

O

. O

O


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Puesto que el diámetro contiene al centro, su longitud es el doble de la del radio. Cuerda: Es el segmento cuyos extremos están en la circunferencia. (DE) El diámetro es el mayor de las cuerdas Secante: Es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos (FG) Tangente: Es cualquier recta que toca a la circunferencia en uno y sólo un punto. Arco: Es una parte de la circunferencia. Para representarlo se utiliza el símbolo 2.2.3 Ángulos Ángulo central: Es un ángulo cuyo vértice coincide con el centro del círculo y sus lados son los radios. Ángulo inscrito: Es el ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son dos cuerdas. E A C B O D Circunferencia circunscrita: Es una circunferencia que pasa por todos los vértices de un polígono. Circunferencia inscrita: Es una circunferencia que es tangente a todos los lados del polígono. 1.- Un ángulo central de un triángulo tiene por medida el arco que lo determina o subtiende. A AB ≈ < AOB B

O

O


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2.- Un ángulo inscrito en un círculo tiene por medida la mitad del arco que lo subtiende. B < BAC ≈ ½ BC A C 3.- Los ángulos inscritos subtendidos por el mismo arco son iguales. B C < CBD = < CAD ≈ ½ CD A D 4.- Todo ángulo inscrito subtendido por una semicircunferencia es recto. B

C ABC ≈ ½ AC ≈ ½ (180°) = 90° A 5.- Los ángulos opuestos de un triángulo inscrito en la circunferencia son suplementarios. B

A C ABC + ADC = 180° D

O


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6.- Los ángulos opuestos por el vértice que determinan dos cuerdas que se cortan, tienen por medida la semisuma de los arcos limitados por sus lados. B

α = ½ (BD + AC) C A D 7.- El ángulo formado por dos secantes se cortan fuera del círculo tiene por medida la semidiferencia de los arcos que lo subtienden. C B α D

A α = ½ (AE – BD) E Teorema: Si trazamos las tangentes desde un punto P exterior a una circunstancia con puntos de tangencia A y B, entonces tendremos que los segmentos PA y PB son iguales. A P B Demostración:

α

α

O


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Tracemos OA, OB y OP. OA y OB son iguales por ser radios.

A = B = 90° (rectos) porque la tangente es ┴ al radio en el punto de tangencia. OP = OP por ser una entidad. Entonces ∆ PAO ≈ ∆ PBO, ya que dos ∆ rectángulos son iguales, si la hipotenusa y un cateto son respectivamente iguales. Por lo tanto, PA = PB Circunferencias tangentes exteriormente C A D E F B 1.- Las circunferencias con centros en O y O´ son tangentes en P. 2.- Las recetas AB, CD y EF son tangentes a ambas circunferencias. 3.- O O´ pasar por P. 4.- La receta AB es ┴ a O O´ y bisecta a los segmentos CD y EF. Tangentes a circunstancias que se cortan. D C P E F

O

P

O

O´

A

O’

B


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1.- Las circunstancias con centros en O y O’ se cortan. 2.- AB es una cuerda común. 3.- Si los radios son distintos, las tangentes CD y EF comunes se cortan en un punto P. 4.- OO’ es mediatriz de AB y si se prolonga, pasa por P. 5.- CD = EF Circunferencias tangentes interiormente A P B 1.- Las circunferencias con centros en O y O’ son tangentes en P. 2.- La recta AB es tangente a ambas circunferencias. 3.- Si O O’ se prolonga, pasa por P y es ┴ a AB. Tangentes a circunferencia que no se cortan. F D E A P O’ P O C B H E 1.- Las circunferencias con centros en O y O’ no se cortan. 2.- Si los radios son distintos, las tangentes comunes EF y GH se cortan en un punto P y las tangentes AB y CD en un punto P’. 3.- O O’ pasan por P’ y si se prolonga, pasa por P. 4.- EF=GH y AB = CD

O O’


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2.2.4 Perímetros y áreas.

Perímetros de Polígonos.

Como regla general, el perímetro de un polígono puede calcularse siempre sumando todas las longitudes de sus lados. Así pues, la fórmula para los triángulos es P = a + b + c, donde a, b y c son las longitudes de cada lado. Para los cuadriláteros la ecuación es P = a + b + c + d. Para los polígonos equiláteros, P = na , donde n es el número de lados y a es la longitud del lado.

Área de polígonos. El área de una figura plana, en este caso un polígono, es el número de veces que una unidad cuadrada queda contenida en su superficie. 1u 1u Unidad cuadrada Área = número de unidades cuadradas contenidas en el polígono. Por ejemplo. 4u 5u A= 5 x 4 = 20 unidades cuadradas

http://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono

http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo


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Como observarás en la figura, la unidad cuadrada está contenida 20 veces en el rectángulo ABCD, es decir, su área es de 20 unidades cuadradas. De aquí, concluimos que el área de un rectángulo es igual a la base por su altura. En un cuadrado, la base y la altura son iguales, entonces su área es igual a lado al cuadrado.


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Figura Fórmula

Elementos P=Perímetro A= Área

Triángulo

h

b b

A= bh / 2

P= a+b+c

h= altura b= base

a= lado b= lado c=lado

Cuadrado

l

l

A= l 2

P= 4*l

l = lado

Rectángulo

h

b

A= bh

P=2(b+h)

h= altura b= base

Paralelogramo

h

b

A = bh

P=2(a+b)

h= altura b= base

a= lado

a b

a


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Trapecio b1 a

d h b

b2 c

A= h (b1 + b2) / 2

P= a+b+c+d

b1= base mayor b2= base menor

h= altura

a= lado b=lado c= lado d= lado

Rombo

a

d1

a

d2

A= (d1 d2)/ 2

P= 4a

d1= diagonal mayor d2= diagonal menor

a= lado

Polígono regular

A= pa/2

P= nl

p= perímetro n= No. De lados l= lado p= nl a= apotema

Círculo

A= π r2

P= π D P= 2π r

π = 3.14159 r = radio D= Diámetro

r

O

D


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Unidad III

Trigonometría

La trigonometría (del griego, la medición de los triángulos) es una rama de las matemáticas que estudia los ángulos y los lados de un Triángulo cualquiera y las relaciones entre ellos.

Posee muchas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.

Unidades angulares

En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próximo al sistema decimal, pero su uso prácticamente es inexistente.

Radián: unidad angular natural en trigonometría, será la que aquí utilicemos, en una circunferencia completa hay 2π radianes. Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360º. Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales.

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo

http://es.wikipedia.org/wiki/Astronom%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Estrella

http://es.wikipedia.org/wiki/Geograf%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Sat%C3%A9lite_artificial


http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_decimal


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Funciones trigonométricas

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las funciones seno, coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.

El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sine" en inglés) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa,

El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa,

La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto y el adyacente,

Es el cociente del seno entre el coseno.

http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulo

http://es.wikipedia.org/wiki/Cateto

http://es.wikipedia.org/wiki/Hipotenusa


36

Otras razones trigonométricas

Se definen la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones inversas al seno, coseno y tangente, del siguiente modo:

cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la inversa de seno:

secante: (abreviado como sec) es la inversa de coseno:

cotangente: (abreviado como cot o cta) es la inversa de la tangente:

Normalmente se emplean las funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente, y salvo que haya un interés especifico en hablar de ellos o las expresiones matemáticas se simplifiquen muchísimo, los términos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse.

Funciones trigonométricas inversas

En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco, así si:

y es igual al seno de x, la función inversa:

x es el arco cuyo seno vale y, o también x es el arcoseno de y.

si:

http://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia

http://es.wikipedia.org/wiki/Radio_%28geometr%C3%ADa%29


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y es igual al coseno de x, la función inversa:

x es el arco cuyo coseno vale y, que se dice: x es el arco coseno de y.

si:

y es igual al tangente de x, la función inversa:

x es el arco cuyo tangente vale y, ó x es igual al arco tangente de y.

Valor de las funciones trigonométricas

A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar:

Radián Ángulo sen cos tan csc sec ctg

http://es.wikipedia.org/wiki/Arcocoseno


38

Sentido de las funciones trigonométricas

CIRCULO UNITARIO

Dados los ejes de coordenadas cartesianas xy, de centro O, y un círculo con centro en O y radio 1; el punto de corte de la circunferencia con el lado positivo de las x, lo señalamos como punto B.

La recta r, que pasa por O y forma un ángulo a sobre el eje de las x, corta a la circunferencia en el punto C, la vertical que pasa por C, corta al eje x en A, la vertical que pasa por B corta a la recta r en el punto D.

Por semejanza de triángulos:

La distancia , es el radio de la circunferencia, en este caso al ser una circunferencia de radio = 1, y dadas las definiciones de las funciones trigonométricas:

http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Semejanza&action=edit


http://es.wikipedia.org/wiki/Distancia


39

Tenemos:

La tangente es la relación del seno entre el coseno, según la definición ya expuesta.

Primer cuadrante

Partiendo de esta representación geométrica de las funciones trigonométricas, podemos ver las variaciones de las funciones a medida que aumenta el ángulo a.

Para a = 0, tenemos que A, C, y D coinciden en B, por tanto:

Si aumentamos progresivamente el valor de a, las distancias AC y BD aumentaran progresivamente, mientras que OA disminuirá, percatarse que OA y AC están limitados por la circunferencia y por tanto su máximo valor absoluto será 1, pero BD no está limitado, dado que D es el punto de corte de la recta r que pasa por O, y la vertical que pasa por B, en el momento en el que el ángulo a sea 0,5 π rad, la recta r será la vertical

http://es.wikipedia.org/wiki/Radi%C3%A1n


40

que pasa por O. Dos rectas verticales no se cortan, o lo que es lo mismo la distancia BD será infinita, la tangente toma valor infinito cuando a= 0,5 π rad, el seno vale 1 y el coseno 0.

Segundo cuadrante

Cuando el ángulo a supera el ángulo recto, el valor del seno empieza a disminuir según el segmento AC, el coseno aumenta según el segmento OA, pero en el sentido negativo de las x, el valor del coseno toma sentido negativo, si bien su valor absoluto aumenta cuando el ángulo sigue creciendo.

La tangente para un ángulo a inferior a 0,5 π rad se hace infinita en el sentido positivo de las y, para el ángulo recto la recta vertical r que pasa por O y la vertical que pasa por B no se cortan, por lo tanto la tangente no toma ningún valor real, cuando el ángulo supera los 0,5 π rad y pasa al segundo cuadrante la prolongación de r corta a la vertical que pasa por B en un punto B real, en el lado negativo de las y, la tangente por tanto toma valor negativo, y su valor absoluto disminuye a medida que el ángulo a aumenta progresivamente hasta los π rad.

Resumiendo: en el segundo cuadrante el seno de a, disminuye progresivamente su valor desde 1, que toma para a= 0,5 π rad, hasta que valga 0, para a= π rad, el coseno, toma valor negativo y su valor varia desde 0 para a= 0,5 π rad, hasta –1, para a= π rad.

La tangente conserva la relación:


http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo_recto









41

incluyendo el signo de estos valores.

Tercer cuadrante

En el tercer cuadrante, comprendido entre los valores del ángulo a de π rad a 1,5 π rad, se produce un cambio de los valores del seno el coseno y la tangente, desde los que toman para π rad:

Cuando el ángulo a aumenta progresivamente, el seno aumenta en valor absoluto en el sentido negativo de las y, el coseno disminuye en valor absoluto en el lado negativo de las x, y la tangente aumenta del mismo modo que lo hacia en el primer cuadrante.

A medida que el ángulo crece el punto A se acera a O, y el segmento OA, el coseno se hace más pequeño en el lado negativo de las x, el punto C, intersección de la circunferencia y la vertical que pasa por A, se aleja del eje de las x, en el sentido





42

negativo de las y, el seno, y el punto D, intersección de la prolongación de la recta r y la vertical que pasa por B, se aleja del eje las x en el sentido positivo de las y, la tangente.

Cuando el ángulo a alcance 1,5 π rad, el punto A coincide con O y el coseno valdrá cero, el segmento OC será igual al radio de la circunferencia, en el lado negativo de las y, y el seno valdrá –1, la recta r del ángulo y la vertical que pasa por B serán paralelas y la tangente tomara valor infinito por el lado positivo de las y.

El seno el coseno y la tangente siguen conservando la misma relación, tanto en valores como en signo, notese que cuando el coseno vale cero, la tangente se hace infinito.

Cuarto cuadrante

En el cuarto cuadrante, que comprende los valores del ángulo a entre 1,5 π rad y 2 π rad, las variables trigonométricas varían desde los valores que toman para 1,5 π rad:

hasta los que toman para 2 π rad pasando al primer cuadrante, completando una rotación:







43

como puede verse a medida que el ángulo a, también aumenta el coseno en el lado positivo de las x, el seno disminuye en el lado negativo de las y, y la tangente también disminuye en el lado negativo de las y.

Cuando a, vale 2 π o 0 π al completar una rotación completa los puntos A, B y C, coinciden en D, haciendo que el seno y la tangente valga cero, y el coseno uno, del mismo modo que al comenzarse el primer cuadrante.

Representación gráfica de las funciones Seno, Coseno y Tangente

Representación de las funciones trigonométricas en el plano xy, los valores en el eje x multiplicados por π Radián.



44

Identidades trigonométricas

Son expresiones que se cumplen para todo valor de la variable independiente

Como en el triángulo rectángulo se cumple que a2 + b2 = c2, de la figura anterior se tiene que sen α = a, cos α = b, c = 1; entonces para todo ángulo α.

IDENTIDAD PITAGORICA FUNDAMENTAL

Algunas identidades trigonométricas importantes son las siguientes:

sen (90 + α) = cos α cos (90 – α) = sen α sen (180 – α) = sen α cos (180 – α) = –cos α sen 2α = 2 sen α cos α cos 2α = cos2α - sen2α sen (α + β) = sen α cos β + cos α sen β cos (α + β) = cos α cos β – sen α sen β sen (α – β) = sen α cos β – cos α sen β cos (α – β) = cos α cos β + sen α sen β sen2(α) = 1/2 × (1 – cos(2 × α)); cos2(α) = 1/2 × (1 + cos(2 × α)); 2sen(α) × Cos(β)=sen(α + β)Cos(α - β)

Función tangente

En un triángulo rectángulo, la tangente (abreviada como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

El valor de la tangente para algunos ángulos importantes es:

tan = AC / OA = BD / OB = sen / cos tan (π/2) = tan (90°) = +∞ tan (-π/2) = tan (-90°) = -∞ tan (0) = 0 tan (π/4) = tan (45°) = 1

tan (π/3) = tan (60°)=

tan (π/6) = tan (30°) =

http://es.wikipedia.org/wiki/Identidades_trigonom%C3%A9tricas


http://es.wikipedia.org/wiki/Tangente


45

Una identidad de importancia con la tangente es:

Cateto

En un triángulo rectángulo se llaman catetos a los dos lados del triángulo que forman el ángulo recto.

En la figura los lados Ca y Cb son los catetos y h es la hipotenusa.

Con respecto a cualquiera de los ángulos agudos del triángulo rectángulo el cateto puede ser:

Cateto opuesto: aquel que no forma el ángulo Cateto adyacente: aquel que forma el ángulo junto con la hipotenusa.

Utilizando razones trigonométricas se puede conocer un ángulo no recto:

sen α = cateto opuesto / hipotenusa cos α = cateto adyacente / hipotenusa tan α = cateto opuesto / cateto adyacente

Angulo de referencia

Para saber cual és el cateto opuesto y cual és el adyacente se debe considerar :

1. Cuál és el ángulo que se desea obtener. 2. Una vez decidido esto, se debe considerar como cateto adyacente aquel que

hace esquina con la hipotenusa, es decir el lado más largo del tríángulo. 3. Por lo tanto el cateto opuesto es aquél que se encuentra enfrente al ángulo que

deseamos determinar.


http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Lado_%28geometr%C3%ADa%29&action=edit



http://es.wikipedia.org/wiki/Hipotenusa



http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa


46

Concepto

Se denomina ángulo en el plano a la porción de plano comprendida entre dos semirrectas con un origen común denominado vértice. Otra concepción de ángulo dice que éste es la figura formada por dos rayos con origen común.

Con cualquiera de estas dos conceptos, un ángulo determina una superficie abierta (subconjunto abierto de puntos del plano), al estar definido por dos semirrectas, la medida de ángulos es la medida de la abertura de estas semirrectas, que se denomina medida del ángulo.

Grado sexagesimal

Un grado sexagesimal

El grado sexagesimal es la nonagésima(1/90) parte de un ángulo recto.

Definición

El grado sexagesimal, como unidad del sistema de medida de ángulos sexagesimal, esta definido partiendo de que un ángulo recto tiene 90º (90 grados sexagesimales), y sus divisores el minuto sexagesimal, y el segundo sexagesimal, están definidos del siguiente modo:

1 ángulo recto = 90° (grados sexagesimales). 1 grado sexagesimal = 60′ (minutos sexagesimales). 1 minuto sexagesimal = 60″ (segundos sexagesimales).

http://es.wikipedia.org/wiki/Plano

http://es.wikipedia.org/wiki/Semirrecta

http://es.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9rtice_%28Geometr%C3%ADa%29


http://es.wikipedia.org/wiki/Minuto_sexagesimal

http://es.wikipedia.org/wiki/Segundo_sexagesimal


47

Notación decimal

Una cantidad en grados se puede expresar en forma decimal, separando la parte entera de la decimal con la coma decimal, en la forma normal de expresar cantidades decimales, por ejemplo.

23,2345° 12,32° -50,265° 123,696°

Notación sexagesimal

Podemos expresar una cantidad en grados minutos y segundos, las partes de grado inferiores al segundo se expresan como parte decimal de segundo, ejemplo:

12°34′34,2″ 13°3′23,8″ 124°45′34,70″ -2°34′10″

Teniendo cuidado como norma de notación, no dejar espacio entre las cifras, es decir:

escribir 12°34′34,2″ y no 12° 34′ 34,2″

Podemos también representar en forma decimal la medida de un ángulo en representación sexagesimal teniendo en cuenta que:

1’ = (1/60)° = 0.01666667° (redondeando a ocho dígitos)

1‖ = (1/60)′ = (1/3600)° = 0.00027778°

Así 12°15′23″ = 12° + 15(1/60)° + 23(1/3600)° ≈ 12,25639°

Relación radia grados sexagesimal

se parte de la base de que una circunferencia completa tiene 2π radianes, y que una circunferencia tiene 360º sexagesimales, luego tenemos:

luego tenemos que:



48

Grado centesimal

El grado centesimal o gradián (plural: gradianes), originalmente denominado gon, grade o centígrado —nombres aún en uso en otros idiomas, por ejemplo en portugués se escribe grado— resulta de dividir un ángulo recto en cien unidades. La circunferencia se divide, así, en 400 grados centesimales. Un grado centesimal equivale a nueve décimos de grado sexagesimal. En las calculadoras suele usarse la abreviatura grad. Se representa como una "g" minúscula en superíndice colocada tras la cifra. Por ejemplo: 12,4574g

Sus divisores son:

1 grado centesimal = 100 minutos centesimales 1 minuto centesimal = 100 segundos centesimales

Radián

El radián es la unidad del ángulo plano en el Sistema Internacional de Unidades conocido por SI. Pese a que inicialmente fue clasificado, junto al estereorradián, como unidad suplementaria, dicha clasificación se considera obsoleta, atribuyéndose a ambas la categoría de unidad derivada.


http://es.wikipedia.org/wiki/Grado_sexagesimal

http://es.wikipedia.org/wiki/Segundo_centesimal


http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidades

http://es.wikipedia.org/wiki/SI

http://es.wikipedia.org/wiki/Estereorradi%C3%A1n

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Unidad_suplementaria&action=edit

http://es.wikipedia.org/wiki/Unidad_derivada_del_SI


49

Definición

El radián se define como el ángulo que limita un arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. Por tanto, el ángulo, α, completo en radianes de una circunferencia de radio, r, es:

Su símbolo es rad.

Algunos ángulos comunes que se miden en radianes

http://es.wikipedia.org/wiki/Longitud

http://es.wikipedia.org/wiki/Radio_%28geometr%C3%ADa%29

http://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia


50

La tabla muestra la conversión de los ángulos más comunes.

Grados 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°

Radianes 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2 2π

Otras unidades de medida de ángulos convencionales son el grado sexagesimal, el grado centesimal y, en astronomía, la hora.

Las unidades de medida de ángulos

Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son:

Grado centesimal Grado sexagesimal Radián

Clasificación de ángulos planos

Ángulo agudo

Es el ángulo de abertura menor a 90º, se denomina a esto un ángulo agudo.

Ángulo recto

Un ángulo recto es igual a 90º, o Rad.).

http://es.wikipedia.org/wiki/Grado_sexagesimal

http://es.wikipedia.org/wiki/Grado_centesimal

http://es.wikipedia.org/wiki/Hora_%28%C3%A1ngulo%29


http://es.wikipedia.org/wiki/Radian


51

Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí, la proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con su punto de intersección.

Ángulo obtuso

Un ángulo obtuso es superior a 90º e inferior a 180º, esto es entre y Rad.).

Ángulo llano

Un ángulo llano o plano es igual a 180º, o Rad.).

Un ángulo de 180º.

En un ángulo llano los dos lados están alineados uno a continuación de otro dividiendo el plano en dos semiplanos.

Ángulo Cóncavo

Es el ángulo que mide más de 180º y menos de 360º

http://es.wikipedia.org/wiki/Perpendicularidad




52

Ángulo completo

Un ángulo completo es igual a 360º, esto es Rad.).

Un ángulo completo abarca una circunferencia completa, la totalidad del plano, coincidiendo superpuestos sus dos lados.

Onda senoidal

Se trata de una señal análoga, puesto que sus valores oscilan en una rama de opciones prácticamente infinita, así pues, podemos ver en la imagen que la onda describe una curva continua. De hecho, esta onda es la gráfica de la función matemática seno, que posee los siguientes atributos característicos:

En un triángulo rectángulo, el seno de un ángulo agudo a, que se designa por sen a, es igual a la longitud del cateto opuesto al ángulo dividida por la longitud de la hipotenusa.

El seno de un ángulo cualquiera se asigna mediante la circunferencia goniométrica. Es la ordenada del punto en que el segundo lado del ángulo la corta:


http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa#Funciones_seno_y_coseno


53

La función y = sen x describe la variación del seno de ángulos medidos en radianes. Es continua y periódica de periodo 2π (Recuérdese que en radianes, π representa 180°). Se denomina función sinusoidal.

El teorema del seno se aplica a los lados y ángulos de un triángulo cualquiera y relaciona cada dos lados con sus ángulos opuestos:

Este tipo de ondas son vistas en la Corriente Alterna, puesto que en ésta, la dirección del flujo eléctrico cambia constantemente en el tiempo, y cada uno de estos cambios es representado en la gráfica por un ciclo, puesto que se considera que la carga va aumentando hasta llegar a su máximo, luego disminuye hasta cero y da paso al siguiente sentido.

Características

Una onda senosoidal lo caracteriza:

Amplitud: máximo voltaje que puede haber, teniendo en cuenta que la onda no tenga Corriente continua. Es decir desde 0 hasta el máximo q alcanza.

http://es.wikipedia.org/wiki/Corriente_Alterna

http://es.wikipedia.org/wiki/Corriente_continua


54

Frecuencia: Es el número de veces que alcanza el máximo en un segundo. (Hz)

f = 1 / t

Fase: el ángulo de fase inicial en radianes. (ßRd)

Tangente

En matemáticas, la palabra tangente tiene dos significados diferentes, pero etimológicamente relacionados: uno en geometría y otro en trigonometría

Significado en Geometría

Sea C una curva, y A un punto de esta. Se supone que A es un punto regular de la curva, es decir que no es un punto anguloso: La curva no cambia repentinamente de dirección en G.

La tangente a C en A es la recta FA que pasa por A y que tiene la misma dirección que C alrededor de A.

La tangente es la posición límite de la recta (M) (llamada cuerda de la curva), cuando A es un punto de C que se aproxima indefinidamente al punto M (A se desplaza sucesivamente por C1, M2, M3, M4 ...)


http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa



55

Si C representa una función f (no es el caso en el gráfico precedente), entonces la recta (AM) tendrá como coeficiente director (o pendiente)

, donde a es la abscisa de A y x la de M.

Por lo tanto, la pendiente de la tangente TA será:

Es, por definición, f '(a), el número derivado de f en a.

La ecuación de la tangente es Ta: y = f '(a)·(x - a) + f(a)

La recta ortogonal a la tangente TA que pasa por el punto (a, f(a)) se denomina recta normal y su pendiente, en un sistema de coordenadas ortonormales, es dada por

. Su ecuación es : y = - (x - a)/f '(a) + f(a) suponiendo claro está que f'(a) ≠ 0. Esta recta no interviene en el estudio general de las funciones pero sí en problemas geométricos relacionados con las cónicas, como por ejemplo para determinar el punto focal de una parábola.

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_derivada

http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%B3nica

http://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_%28matem%C3%A1tica%29


56

Definición en Trigonometría

Gráfico de la función tangente.

En trigonometría y matemáticas la tangente es una función definida como:

Es llamada así porque puede ser definida como la longitud de cierto segmento de una tangente (en sentido geométrico) trazada en un círculo de radio unitario. Es más fácil de definir en el contexto de un plano Cartesiano. Si se construye un de radio unitario centrado en el origen, la línea tangente al círculo en el punto P = (1,0), y el rayo proveniente del origen a un ángulo θ con respecto del eje x, entonces el rayo intersecta la recta en un punto Q. La tangente en sentido trigonométrico es la longitud de la línea entre los puntos P y Q. Si el rayo no intersecta la línea, la tangente (función) de θ es infinito.

Coseno

En trigonometría el coseno (abreviado cos) se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa. O también como la abscisa correspondiente a un punto que pertenece a una circunferencia unitaria centrada en el origen.

En matemáticas el coseno es la función obtenida al hacer variar la razón mencionada, siendo una de las funciones trascendentes.



http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Longitud

http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas



http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica


57

Identidades

Coseno de una suma o resta

Sean φ y Entonces:

Como el coseno es par, el signo no importa y como el seno es impar, el signo sale.

Coseno de un ángulo doble

Tenemos que

Hagamos θ = φ Entonces

Coseno del ángulo medio

Nótese que con un simple manejo algebraico podemos obtener la fórmula del coseno

del ángulo medio. Sea

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_par

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_impar


58

Como

la podemos escribir como

Sea

Entonces obtenemos

y analizando los signos de la expresión para cada cuadrante, concluimos que:

Transformación de una suma y una diferencia de cosenos en producto

Triángulos rectángulos: son aquellos triángulos que se constituyen a partir de un ángulo recto.

Triángulo rectángulo: tiene un ángulo de 90º, o sea uno de sus ángulos interiores es un ángulo recto.

ABCateto ACCateto BCHipotenusa

C

┐

A B


59

Las razones trigonométricas se emplean en la resolución de triángulos rectángulos, esto es, en el cálculo de uno o más de sus lados o ángulos, con un mínimo de datos.

H

COSenA

H

CaCosA

Ca

COTanA

El teorema de Pitágoras ha sido una herramienta muy importante en el conocimiento y cálculo de grandes distancias.

Este teorema dice que en un triángulo rectángulo la suma del área de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual al cuadrado construido sobre la hipotenusa.

222BCABCB

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (lado mayor del triángulo opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (lados menores del triángulo, que forman el ángulo de 90º).

a c

b


60

222 bac

TRIANGULOS OBLICUÁNGULOS

Un Obtusángulo, también llamado triángulo Oblicuángulo

CAB = obtuso. ABC y BCA = agudos.

Se denomina triángulo oblicuángulo a cualquier tipo de triángulo, siendo el triángulo rectángulo un caso particular de esta denominación.

Para construir un triángulo es necesario conocer estas dos importantes propiedades:

1ª.- En todo triángulo, la suma de los tres ángulos vale 180º.

2ª.- En todo triángulo, la suma de las longitudes de dos de sus lados es mayor que la longitud del tercero.

Triángulos oblicuángulos. Casos de resolución

Existen cuatro casos de resolución de triángulos oblicuángulos según los datos que conozcamos:

Caso I.- Conocidos los tres lados.


61

Caso II.- Conocidos dos lados y el ángulo comprendido.

Caso III.- Conocidos un lado y dos ángulos.

La determinación de los elementos restantes se logra a través de dos teoremas que deduciremos a continuación, tomaremos como referencia las figuras que a continuación presentamos.

B

c a

A b C


62

B

c a

A C

X b – x

H

h

b

Teorema Ley de los cosenos, considera el triángulo de la figura y verifica que:

Abccba cos2222

Demostración: Sea h la altura que va de B al segmento AC. De esta manera, se construyen dos triángulos rectángulos, en la figura anterior. Observa que los catetos son: Para el triángulo ABH: x y h Para el triángulo: CBH: h, b – h De manera que AC = b = x + (b – x) De esta manera, el teorema de Pitágoras aplicado a cada triángulo rectángulo de la figura anterior nos lleva a las siguientes igualdades Δ ABH: c2 = h2 + x2 o bien h2 = c2 – x2 Δ CBH: a2 = (b – x )2 + h2 o bien h2 = a2 – (b – x )2 Como se puede observar los dos triángulos tiene un cateto en común BH el cual es la altura de cada triángulo, en base a esto se pueden relacionar las dos igualdades anteriores

c2 – x2 = a2 – (b – x)2 Que al desarrollar el binomio al cuadrado se transforma en: c2 – x2 = a2 – (b2 – 2bx + x2)


63

O bien c2 – x2 = a2 – b2 + 2bx – x2 de donde los términos - x2 se eliminan por encontrarse en cada miembro de la igualdad con el mismo signo, por lo que tenemos. c2 = a2 – b2 + 2bx

Despejando a2 tenemos:

a2 = b2 + c2 – 2bx Además, del triangulo ABH de la figura anterior calculamos el coseno de A y tenemos:

c

xA cos

o bien despejando x tenemos:

Acx cos Así, al cambiar esta relación en la igualdad a2 = b2 + c2 – 2bx nos da como resultado:

Abccba cos2222

Con lo que se demuestra el teorema de la ley de cósenos, del mismo modo se deducen para los lados c y b quedado de la siguiente forma:

Abccba cos2222

Baccab cos2222

Cabbac cos2222 Para deducir la ley de los senos utilizaremos la siguiente figura:

Leyes de cosenos


64

En donde se busca el seno del Angulo A y el seno del Angulo C y se tiene:

c

hsenoA

a

hsenoC

Despejando h de cada una de las relaciones tenemos:

senAch senoCah En la figura podemos observar que la altura es común a cada triangulo si igualamos las relaciones anteriores tendremos:

senCasenAc

De donde se obtiene:

senA

a

senC

c

Del mismo modo si relacionamos el Angulo B con el Angulo A obtenemos:

senB

b

senA

a

B

c h a

A b C


65

Por lo que se demuestra el teorema de ley de senos que finalmente se expresa:

senC

c

senB

b

senA

a

Ley de senos


66

Unidad IV Ley de senos y ley de Cosenos

Un triángulo oblicuángulo es aquel en el que no es recto ninguno de sus ángulos. Puede tener los tres ángulos agudos, o dos agudos y uno obtuso

Ley de los senos

La ley de los senos establece que en cualquier triángulo oblicuo (es aquel que no tiene ningún ángulo recto) se cumplen las siguientes condiciones:

senC

c

senB

b

senA

a o también:

c

senC

b

senB

a

senA

B

A C

c a

b

B

A C

c a b

Un triángulo queda determinado cuando se conocen:

a) Un lado y dos ángulos

b) Dos lados y él ángulo opuesto a uno de ellos.

c) Dos lados y el ángulo comprendido

d) Los tres lados.


67

Ley de cosenos

La ley establece que el cuadrado un lado cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido

abCosCbac

acCosBcab

bcCosAcba

2

2

2

222

222

222

Para encontrar los ángulos, se despejan las fórmulas y quedarán:

ab

cbaCosC

ac

bcaCosB

bc

acbCosA

2

2

2

222

222

222

. Además, recuerda que la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180º º180 CBA

Resolución de triángulos oblicuángulos

a) Dados un lado y dos ángulos:

88º

65º

A

120

a

c


68

Solución Datos Fórmulas Sustitución

27º180º-153º65ºC

180ºº153º88

180ºº65º88º180?

A

AB

ACBAA

Datos Formula Sustitución

83.1089993.0

)9063.0)(120(

88

)65)(120(?

518.549993.0

)454.0)(120(

88

)27)(120(?

6588

120

27120

sen

sencc

sen

senaa

sen

c

sensen

a

senC

c

senB

b

senA

ab

Ejercicio Obtén los valores que se piden

b) Dados dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos, los resultados

obtenidos se pueden enunciar así:

Cuando el ángulo dado es agudo, sucede que

1) Existe una solución si el lado opuesto al ángulo dado es igual o mayor al

otro ángulo dado.

88º

20º

c

15 a

b


69

2) No hay solución, existe una solución (triángulo rectángulo) o existen dos

soluciones si el lado opuesto al ángulo dado es menor que el otro ángulo

dado.

Cuando el ángulo dado es obtuso, se tiene que:

1) No hay solución si el lado opuesto al ángulo es igual o menor que el otro

lado

2) Existe una solución si el lado opuesto al ángulo dado es mayor que el otro

lado dado.

Ejemplo

1) Cuando b = 40, c = 30 y B = 50º, existe una solución puesto que B es

agudo y b > c.

2) Cuando b = 30, c = 40 y B = 50º, puede suceder de que no haya solución

o que haya una o dos soluciones.

3) Cuando b = 40, c = 30 y B = 130º, existe una solución.

4) Cuando b = 30, c = 40 y B = 130º, no existe solución.

c) Dados dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

Solución Datos Formula Sustitución

40º

120

50 c B

A


70

06106179180

237882101180

18082101

180408261180?

8261

792.87

40)120(

?

120

792.8750

476.770740

40)120)(50(2120502?

1

1

2222

yNota

A

A

ACBAA

B

SenSenB

c

bSenCSenB

c

SenC

b

SenB

a

SenAB

b

ca

cC

CoscabCosCbacc


40º

94 85

B C

a


71

d) Dados los tres lados


?

64555625.05625.0?

120802

10012080

2?

9482125.080

125.0100

80¨1002

12080100

2120

1

222222

1

222222

C

CosBCosBB

CosBac

bacCosBA

CosAc

CosAb

CosAbc

acbCosAa


424175.0

75.01001202

80100120

2

1

222222

CosC

CosCab

cbaCosC


A

80 100

B C

120


72

B

74 80

A C

40

2007 - e-books / d. b. - matematicas ii.pdf · clasificacion de angulos ... Ángulos formados por...

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