¿qué tienes que saber? · formados por dos rectas paralelas y una recta que las ... si están...

7 Geometría del plano. Movimientos

216Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO

Sugerencias didácticas

En esta sección se destacan los conceptos y procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:

❚❚ Reconocer los ángulos que se obtienen cuando se cortan dos rectas.

❚❚ Relacionar los ángulos definidos por dos rectas paralelas cortadas por una secante.

❚❚ Reconocer las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo mediante el teorema de Pitágoras.

❚❚ Aplicar el teorema de Pitágoras para resolver problemas.

❚❚ Describir los elementos necesarios que intervienen en cada uno de los movimientos estudiados. Calcular gráfica y numéri-camente las coordenadas de un punto P´ obtenido al aplicarle un movimiento a un punto P.

Actividades finalesSoluciones de las actividades75 Dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos del plano que distan:

a) 3 cm del origen de coordenadas.

b) 1 cm del punto P(1, 1).

a) El lugar geométrico es una circunferencia de centro el origen de coordenadas y radio 3 cm. Comprobar que los alum-nos dibujan esta circunferencia correctamente.

b) El lugar geométrico es una circunferencia de centro P(1, 1) y radio 1 cm. Comprobar que los alumnos dibujan esta circunferencia correctamente.

¿Qué tienes que saber?

136

¿QUÉ7 tienes que saber?

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Teorema de Pitágoras. Aplicaciones

Comprueba si los triángulos cuyos lados tienen las siguientes medidas son rectángulos.

a) 4 cm, 6 cm y 7 cm

b) 5 m, 12 m y 13 m

Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 9 cm y 40 cm, respectivamente, calcula la longitud de la hipotenusa.

Calcula la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 37 m si el otro cateto tiene 35 m.

Los dos lados iguales de un triángulo isósceles miden 12 cm, y el otro lado, 6 cm. Calcula la longitud de la altura sobre el lado desigual.

Determina la longitud de la base de un triángulo isósceles de 11 m de altura cuyos lados iguales miden 61 m.

Calcula cuánto miden los lados iguales de un triángulo isósceles si las longitudes del lado desigual y de la altura son 32 dm y 63 dm, respectivamente.

Halla las medidas de los lados y de los ángulos desconocidos de este triángulo. ¿Cuánto mide su altura?

60º

10 cm

x x

Una barca navega 8 km hacia el este y, tras cambiar de rumbo, navega 15 km hacia el sur. ¿A qué distancia del punto inicial se encuentra?

¿Cuál es la distancia máxima que puede recorrer un jugador de fútbol sala en una pista de 40 m de largo y 20 m de ancho?

Pedro y Quique salen de una plaza con sus bicis al mismo tiempo por dos calles perpendiculares entre sí. Si Pedro circula a 9 m/s y Quique lo hace a 12 m/s, calcula qué distancia les separa a los 2 min.

Determina a qué piso de un edificio puede acceder un grupo de bomberos que dispone de una escalera que mide 20 m si tiene que apoyarla en la calle a 8 m del edificio y cada piso tiene una altura de 3 m.

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Lugares geométricos

Dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos del plano que distan:

a) 3 cm del origen de coordenadas.

b) 1 cm del punto P(1, 1).

Representa en el plano cartesiano los puntos A(1, 1) y B(3, 1) y dibuja el lugar geométrico de los puntos que equidistan de ellos. ¿Cómo se llama?

Dos rectas paralelas distan entre sí 4 cm; dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos que equidistan de ellas.

Dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos rectas secantes que forman un ángulo de 60º.

Relaciones entre ángulos

La amplitud de uno de los ángulos determinados por dos rectas secantes es de 40º. ¿Cuál es la amplitud de los demás?

Indica la relación existente entre todos los ángulos formados por dos rectas paralelas y una recta que las corta. Si uno de estos ángulos abarca un arco de 55º, determina la amplitud de los demás ángulos.

Halla la amplitud de los ángulos interiores de la figura si los segmentos AC y BD son perpendiculares.

60ºA

B C

D

¿Cuál es la amplitud del ángulo B si las rectas que pasan por A y por C son paralelas?

a) c)

A

B

C

35º

40º

A

C

30º

20ºB

b) d)

A

C50º

50º

B

A

C

30º

15º

B

75

76

77

78

79

80

81

82

Determina la amplitud de los ángulos desconocidos, si A = 120º.

120º

B C

D

E

F G

H

Como A y B son adyacentes: A + B = 180º → B = 60º

Al ser ángulos opuestos por el vértice, sabemos que:

A = C = 120º B = D = 60º

Los ángulos E , F , G y H son correspondientes a los anteriores. Luego:

A = E = 120º B = F = 60º C = G = 120º D = H = 60º

Relaciones entre ángulosTen en cuenta ❚ Dos rectas secantes forman dos ángulos adyacentes si son consecutivos y suplementarios.

❚ Dos rectas secantes forman dos ángulos opuestos por el vértice si los lados de uno son prolongación de los del otro. Estos ángulos tienen la misma amplitud.

❚ Dos ángulos son correspondientes si están formados por una recta secante que corta a dos rectas paralelas y se encuentran situados en el mismo lado con respecto a estas. Estos ángulos tienen la misma amplitud.

Calcula el área y el perímetro de un rombo cuyas diagonales mayor y menor miden 10 cm y 6 cm, respectivamente.

Hallamos la longitud de los lados del rombo aplicando el teorema de Pitágoras en uno de los cuatro triángulos que forman sus diagonales.

a = 52 + 32 = 34 = 5,83 cm

El perímetro es: P = 4 ⋅ 5,83 = 23,32 cm El área es: A =10 ⋅6

2= 30 cm2

Teorema de Pitágoras. AplicacionesTen en cuentaTeorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

a2 = b2 + c2

5 cm

3 cm

Halla las coordenadas del punto transformado de P(4, 2) al aplicar cada uno de los siguientes movimientos.

a) Traslación de vector v = (1, 2). d) Simetría respecto al eje X.

b) Giro de centro O y ángulo de 90º. e) Simetría respecto a O(0, 0).

c) Simetría respecto al eje Y. f) Simetría respecto a C(2, 0).

a) P1(5, 4)

b) P2(−2, 4)

c) P3(−4, 2)

d) P4(4, −2)

e) P5(−4, −2)

f) P6(0, −2)

MovimientosTen en cuenta

❚ En una traslación de vector v

transformamos un punto, P, en

otro, P’, de forma que: PP ’ = v .

❚ Un giro de centro C y ángulo α transforma un punto, P, en otro, P’, de forma que: d(C, P) = d(C, P’)

y PCP = α

❚ En una simetría axial de eje r transformamos un punto, P, en otro, P’, de forma que r es la mediatriz de PP’.

❚ En una simetría central de centro C transformamos un punto, P, en otro, P’, de forma que C es el punto medio de PP’.

P

P1P2

P3

P4P5 P6

O X

Y

1

1

Actividades Finales 7

217

7Geometría del plano. Movimientos

Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO

76 Representa en el plano cartesiano los puntos A(1, 1) y B(3, 1) y dibuja el lugar geométrico de los puntos que equidistan de ellos. ¿Cómo se llama?

Comprobar que los alumnos dibujan en un plano el segmento de extremos A(1, 1) y B(3, 1) y trazan su mediatriz que es la recta x = 2.

El lugar geométrico de los puntos que equidistan de los puntos A y B es la recta mediatriz del segmento AB.77 Dos rectas paralelas distan entre sí 4 cm; dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos que equidistan de ellas.

Comprobar que los alumnos dibujan dos rectas paralelas r y s que distan 4 cm, y una recta t paralela a ellas que dista 2 cm de cada una.

Los puntos que equidistan de las rectas r y s son los que pertenecen a la recta t que es paralela a ambas y dista 2 cm de cada una.

78 Dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos rectas secantes que forman un ángulo de 60º.

Comprobar que los alumnos dibujan dos rectas secantes r y s que forman un ángulo de 60º y trazan la bisectriz de este ángulo, la recta t, y de su adyacente de 120º, la recta p.

Los puntos que equidistan de las rectas secantes r y s son los de las rectas t y p, bisectrices los ángulos de 60º y 120º. respectivamente.

79 La amplitud de uno de los ángulos determinados por dos rectas secantes es 40º. ¿Cuál es la amplitud de los demás?

El opuesto por el vértice al de 40º debe medir también 40º, y los otros, 180º − 40º = 140º cada uno.80 Indica la relación entre todos los ángulos formados por dos rectas paralelas y una recta que las corta. Si uno de estos

ángulos abarca un arco de 55º, determina la amplitud de los demás ángulos.

AB

C DE F

G

H = 55º

A = F y C = H por ser opuestos por el vértice.

G y H son adyacentes, por tanto, G = 180º − 55º = 125º.

Por tanto, A = C = F = H = 55º y B = E = D = G = 125º.

81 Halla la amplitud de los ángulos interiores de la figura si los segmentos AC y BD son perpendiculares.

60º

A

B C

D

Al ser los segmentos AC y BD perpendiculares, la figura está formada por dos trián-gulos rectángulos.

D = B = 180º − (90º + 60º) = 180º − 150º = 30º

A = C = 60º

82 ¿Cuál es la amplitud del ángulo B si las rectas que pasan por A y por C son paralelas?

a) b) c) d)

A

B

C

35º

40º

A

C50º

50º

B

A

C

30º

20ºB

A

C

30º

15º

B

Para hallar la amplitud del ángulo B , alargamos los lados de los ángulos hasta que corten las rectas paralelas.

a) 180º − (40º + 35º) = 105º; B = 180º − 105º = 75º c) 180º − (30º + 20º) = 130º; B = 180º − 130º = 50º

b) 180º − (50º + 50º) = 80º; B = 180º − 80º = 100º d) 180º − (30º + 15º) = 135º; B = 180º − 135º = 45º83 Comprueba si los triángulos cuyos lados tienen las siguientes medidas son rectángulos.

a) 4 cm, 6 cm y 7 cm b) 5 m, 12 m y 13 m

a) 72 ≠ 62 + 42 → No es un triángulo rectángulo. b) 132 = 122 + 52 → Es un triángulo rectángulo.



84 Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 9 cm y 40 cm, respectivamente, calcula la longitud de la hipotenusa.

a2 = b2 + c2 → a2 = 92 + 402 = 81+ 1600 = 1681→ a = 1681 = 41 cm

85 Calcula la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 37 m si el otro cateto tiene 35 m.

a2 = b2 + c2 → 372 = 352 + c2 → c2 = 372 − 352 = 1369−1225 = 144 → c = 144 = 12 m

86 Los dos lados iguales de un triángulo isósceles miden 12 cm, y el otro lado, 6 cm. Calcula la longitud de la altura sobre el lado desigual.

Consideramos el triángulo formado por la altura, la mitad del lado desigual y uno de los lados iguales.

a2 = b2 + c2 → 122 = 32 + c2 → c2 = 122 − 32 = 144− 9 = 135 → c = 135 = 11,62 cm87 Determina la longitud de la base de un triángulo isósceles de 11 m de altura cuyos lados iguales miden 61 m.


a2 = b2 + c2 → 612 = 112 + c2 → c2 = 612 −112 = 3 721−121 = 3 600 → c = 3 600 = 60 m

La mitad de la base mide 60 cm. Entonces, la base mide. 60 ⋅ 2 = 120 m.88 Calcula cuánto miden los lados iguales de un triángulo isósceles si las longitudes del lado desigual y de la altura son 32 dm

y 63 dm, respectivamente.


a2 = b2 + c2 → a2 = 322 + 31,52 = 1024 + 992,25 = 2016,25 → a = 2016,25 = 44,9 dm

Cada lado igual del triángulo mide 44,9 dm.89 Halla las medidas de los lados y de los ángulos desconocidos de este triángulo. ¿Cuánto mide su altura?

60º

10 cm

x x

Es un triángulo equilátero, por tanto, todos los lados miden 10 cm y los ángulos 60º.

Consideramos el triángulo formado por la altura, la mitad de un lado y cuya hipotenusa es otro de los lados.

a2 = b2 + c2 → 102 = 52 + c2

→ c2 = 102 −52 = 100− 25 = 75 → c = 75 = 8,66 cm

Su altura mide 8,66 cm.

90 Una barca navega 8 km hacia el este y, tras cambiar de rumbo, navega 15 km hacia el sur. ¿A qué distancia del punto inicial se encuentra?

Hallamos la hipotenusa del triángulo de catetos 8 km y 15 km.

a2 = b2 + c2 → a2 = 82 + 152 = 64 + 225 = 289 → a = 289 = 17 kmSe encuentra a 17 km.

91 ¿Cuál es la distancia máxima que puede recorrer un jugador de fútbol sala en una pista de 40 m de largo y 20 m de ancho?

La distancia máxima que puede recorrer es la medida de la diagonal de la pista.

a2 = b2 + c2 → a2 = 402 + 202 = 1600 + 400 = 2000 → a = 2000 = 44,72 m

La distancia máxima es 44,72 m.92 Pedro y Quique salen de una plaza con sus bicis al mismo tiempo por dos calles perpendiculares entre sí. Si Pedro circula

a 9 m/s y Quique lo hace a 12 m/s, calcula qué distancia les separa a los 2 min.

En 2 min, Pedro habrá recorrido 9 ⋅ 120 = 1 080 m y Quique 12 ⋅ 120 = 1 440 m.

Consideramos el triángulo rectángulo que tiene por catetos la distancia que han recorrido Pedro y Quique por las calles perpendiculares.

a2 = b2 + c2 → a2 = 10802 + 14402 = 1166 400 + 2073600 = 3240000 → a = 3240000 = 1800

La distancia que les separa son 1 800 m = 1,8 km.93 Determina a qué piso de un edificio pueden acceder un grupo de bomberos que dispone de una escalera que mide 20 m

si tiene que apoyarla en la calle a 8 m del edificio y cada piso tiene una altura de 3 m.

a2 = b2 + c2 → 202 = 82 + c2 → c2 = 202 − 82 = 400− 64 = 336 → c = 336 = 18,33 m

Cada piso tiene una altura de 3 m → 18,33 : 3 = 6,11 Podrán acceder al sexto piso.

219



94 Halla el perímetro y el área de un cuadrado cuya diagonal mide 10 cm.

Llamamos a a la medida del lado del cuadrado y aplicamos el teorema Pitágoras.

a2 + a2 = 102 → 2a2 = 102 → a2 = 100 : 2 → a = 50 = 7,07 cm

P = 4a = 4 ⋅ 7,07 = 28,28 cm

A = a2 = 7,072 = 49,9849 cm2

95 Calcula el perímetro y el área del cuadrado interior de la figura.

6 cm8 cm

8 cm

6 cm

Llamamos a a la medida del lado del cuadrado y aplicamos el teorema de Pitágoras.

a2 = b2 + c2 → a2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 100 → a = 100 = 10 cmP = 4a = 4 ⋅ 10 = 40 cm

A = a2 = 10 ⋅ 10 = 100 cm2

96 En un triángulo rectángulo, uno de los catetos mide la mitad que la hipotenusa, y el otro, 15 cm. ¿Cuál es su área?

Llamamos a a la medida de la hipotenusa y aplicamos el teorema de Pitágoras.

a2 = b2 + c2 → a2 =a

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

+ 152 =a2

4+ 225 → 4a2 = a2 + 900 → 3a2 = 900 → a2 = 300 → a = 300 = 17,32 cm

La hipotenusa mide 17,32 cm y el otro cateto, 17,32 : 2 = 8,66 cm.

A =b ⋅h

2=

15 ⋅8,66

2=

129,9

2= 64,95 cm2

El área del triángulo es 64,95 cm2.

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7 Geometría del plano. Movimientos Actividades Finales 7

Halla las coordenadas de los vectores que transforman el triángulo 1 en los demás.

1

2

31

O X

Y

1

A partir del trapecio 1 se han obtenido las demás figuras mediante determinados movimientos. Indica de qué movimiento se trata en cada caso.

1 2

34

1

O X

Y

1

Indica el centro y la amplitud de los giros que dejan invariantes cada una de estas figuras.

a) Un rectángulo.

b) Un rombo.

c) Una estrella regular de seis puntas.

Representa en unos ejes de coordenadas el punto P(3, −4) y halla sus transformados al aplicarle una simetría:

a) Respecto al eje de abscisas.

b) Respecto al origen de coordenadas.

c) Respecto al eje de ordenadas.

¿Qué figura obtienes al unir los cuatro puntos?

Dibuja el triángulo cuyos vértices son A(1, 2), B(3, 2) y C(3, 5) y halla las coordenadas de la figura que se obtiene al aplicarle una simetría:


b) Respecto al eje de ordenadas.

c) Respecto al origen de coordenadas.

Indica cuáles de las siguientes figuras tienen uno o más ejes de simetría.

a) Un trapecio isósceles.

b) Un rectángulo.

c) Una semicircunferencia.

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121

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Movimientos

Determina si la transformación utilizada para obtener las siguientes figuras es un movimiento.

a)

b)

c)

d)

Representa y calcula las coordenadas del vector AB

en cada caso.

a) A(2, 1), B(5, 2) c) A(−1, 2), B(−4, 2)

b) A(0, 2), B(1, −4) d) A(−3, −1), B(2, −3)

¿Cuál es el vector de la traslación que, aplicada al punto P(−2, −4), lo transforma en P’(0, 5)?

Halla las coordenadas del punto P si, al trasladarlo mediante el vector

v = (1, −2), se transforma en el

punto P’(2, 1).

Un triángulo tiene por vértices los puntos A(3, 1), B(6, 4) y C(7, 2). Determina el triángulo que se obtiene al trasladarlo mediante el vector

v = (−2, 1)

y dibuja la traslación.

Traslada un círculo con centro en C(3, −2) y con 3 unidades de radio mediante el vector

v = (5, 3).

a) ¿Cuánto mide el radio del círculo trasladado?

b) ¿Cuáles son las coordenadas del centro trasladado?

113

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117

118

La longitud de una circunferencia es 8 cm. ¿Cuánto mide su radio?

La rueda de una bicicleta tiene 40 cm de diámetro. ¿Cuántos metros habrá recorrido después de dar 35 vueltas?

Halla el área de una pista de patinaje circular rodeada por una valla de 120 m.

Calcula el área de una corona circular formada por dos círculos concéntricos cuyos radios miden 3 cm y 6 cm, respectivamente.

Halla el área de la zona sombreada en cada una de estas figuras.

a) b)

4 cm 4 cm

Calcula la longitud de un arco de 120º en una circunferencia cuyo radio mide 8 cm. ¿Cuál es el área del sector circular correspondiente?

Determina el área de las regiones sombreadas en las siguientes figuras.

a) b)

30º2 cm

20º3 cm

Una pista de atletismo está formada por dos calles de 1 m de ancho cada una.

150 m80 m1º

2º

a) Halla la longitud de una vuelta en cada calle.

b) Determina la distancia a la que debe situarse un corredor en la calle 2 para disputar una carrera.

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Perímetros y áreas de figuras planas

Halla el perímetro y el área de un cuadrado cuya diagonal mide 10 cm.

Calcula el perímetro y el área del cuadrado interior de la figura.

6 cm8 cm

8 cm

6 cm

En un triángulo rectángulo, uno de los catetos mide la mitad que la hipotenusa, y el otro, 15 cm. ¿Cuál es su área?

Dibuja un rombo cuyas diagonales miden 10 cm y 16 cm, respectivamente. Halla su perímetro y su área.

Determina el área y el perímetro de estas figuras.

a)

5 cm

8 cm

5 cm

b)

4 cm4 cm

6 cm

Calcula la longitud de la altura de un trapecio cuyas bases miden 20 cm y 12 cm si tiene la misma área que un rombo cuyas diagonales miden 14 cm y 30 cm.

Determina la longitud de los lados de un triángulo equilátero cuya área mide 4 cm2.

¿Cuál es el área de un hexágono regular de 4 cm de lado?

Halla el área de un parque infantil con forma de hexágono regular, sabiendo que sus lados miden 8 m.

¿Cuánto mide la superficie de un octógono regular inscrito en un cuadrado de 4 m de lado?

Calcula el área de un octógono regular cuyos lados miden 2 cm.

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97 Dibuja un rombo cuyas diagonales miden 10 cm y 16 cm, respectivamente. Halla su perímetro y su área.

Comprobar que los alumnos dibujan el rombo de diagonales 10 cm y 16 cm.

Consideramos el triángulo rectángulo cuyos catetos miden la mitad de las diagonales y cuya hipotenusa es el lado del rombo, y aplicamos el teorema de Pitágoras.

a2 = b2 + c2 → a2 = 52 + 82 = 25 + 64 = 89 → a = 89 = 9,43 cm

P = 4a = 4 ⋅ 9,43 = 37,72 cm

A =D ⋅d

2=

10 ⋅16

2=

160

2= 80 cm2

98 Determina el área y el perímetro de estas figuras.

a) b)

5 cm

8 cm

5 cm

4 cm4 cm

6 cm

a) Calculamos el lado desconocido del trapecio, que es igual a su altura, aplicando el teorema de Pitágoras:

a2 = b2 + c2 → 52 = 32 + c2 → c2 = 52 − 32 = 25− 9 = 16 → c = 16 = 4 cm P = 5 + 5 + 8 + 4 = 22 cm

A =(B + b ) ⋅h

2=

(8 + 5) ⋅ 4

2=

13 ⋅ 4

2= 26 cm2

b) P = 4 ⋅ 3 + 6 ⋅ 6 + 4 ⋅ 3 = 12 + 36 + 12 = 60 cm

Calculamos la altura del triángulo equilátero:

a2 = b2 + c2 → 42 = 22 + c2 → c2 = 42 − 22 = 16− 4 = 12 → a = 12 = 3,46 cm

Calculamos la apotema del hexágono regular:

b2 = c2 + a2 → 62 = 32 + a2 → a2 = 62 − 32 = 36− 9 = 27 → a = 27 = 5,2 cm

AT = 2 ⋅ Atriángulo + Ahexágono = 2 ⋅b ⋅h

2+P ⋅ a

2= 2 ⋅

4 ⋅3,46

2+

6 ⋅6 ⋅5,2

2= 13,84 + 93,6 = 107,44 cm2

99 Calcula la longitud de la altura de un trapecio cuyas bases miden 20 cm y 12 cm si tiene la misma área que un rombo cuyas diagonales que miden 14 cm y 30 cm.

Calculamos el área del rombo: Arombo =D ⋅d

2=

30 ⋅14

2= 210 cm2

Atrapecio =(B + b ) ⋅h

2→ 210 =

(20 + 12) ⋅h

2→ 420 = 32h → h = 13,125 cm

La altura del trapecio mide 13,125 cm.100 Determina la longitud de los lados de un triángulo equilátero cuya área mide 4 cm2.

Llamamos a al lado del triángulo equilátero. Expresamos la altura h en función del lado.

a2 =a

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

+ h2 → a2 =a2

4+ h2 → h2 =

3a2

4→ h =

3a2

4=a

23

A =b ⋅h

2→ 4 =

a

2⋅a

23 → 4 =

a2

43 → a2 =

16

3= 9,24 → a = 9,24 = 3,04 cm

El lado del triángulo mide 3,04 cm.

221



101 ¿Cuál es el área de un hexágono regular de 4 cm de lado?

Calculamos la apotema del hexágono regular.

b2 = c2 + a2 → 42 = 22 + a2 → a2 = 42 − 22 = 16− 4 = 12 → a = 12 = 3,46 cm

A =P ⋅ a

2=

6 ⋅ 4 ⋅3,46

2= 41,52 cm2

El área es 41,52 cm2.102 Halla el área de un parque infantil con forma de hexágono regular, sabiendo que sus lados miden 8 m.

Calculamos la apotema del hexágono regular.

b2 = c2 + a2 → 82 = 42 + a2 → a2 = 82 − 42 = 64−16 = 48 → a = 48 = 6,93 cm

A =P ⋅ a

2=

6 ⋅8 ⋅6,93

2= 166,32 cm2

El área es 166,32 cm2.103 ¿Cuánto mide la superficie de un octógono regular inscrito en un cuadrado de 4 m de lado?

Si inscribimos un octógono regular en un cuadrado, obtenemos 4 triángulos rectángulos isósceles en las esquinas cuyos catetos miden x y cuya hipotenusa b es el lado del octógono.

b2 = x2 + x2 → b2 = 2x2 → b = x 2

4 = 2x + b → 4 = 2x + x 2 → 4 = x 2 + 2( )→ x =4

2 + 2= 1,17

b = 1,17 2 = 1,65 cm

La apotema del octógono mide 2 cm.

A =P ⋅ a

2=

8 ⋅1,65 ⋅2

2= 13,2 cm2

La superficie del octógono mide 13,2 cm2.104 Calcula el área de un octógono regular cuyos lados miden 2 cm.

El área del octógono la obtendremos restando al área del cuadrado circunscrito el área de los cuatro triángulos isósceles de las esquinas.

Los lados iguales de los triángulos cumplen x2 + x2 = 22 → 2x2 = 4 → x2 = 2 → x = 2 cm

El área de cada triángulo es: A =b ⋅h

2=

2 ⋅ 2

2= 1 cm2

Aoctógono = Acuadrado − 4 ⋅ Atriángulo = 2 + 2 2( )2 − 4 = 4 + 8 2 + 8− 4 = 8 + 8 2 = 19,31 cm2

105 La longitud de una circunferencia es 8 cm. ¿Cuánto mide su radio?

L = 2πr → 8 = 2 ⋅ 3,14 ⋅ r → 8 = 6,28r → r = 1,27 cm106 La rueda de una bicicleta tiene 40 cm de diámetro. ¿Cuántos metros habrá recorrido después de dar 35 vueltas?

Calculamos la longitud de la rueda: L = 2πr = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 20 = 125,6 cm

125,6 ⋅ 35 = 4 396 cm = 43,96 m

Habrá recorrido 43,96 m.107 Halla el área de una pista de patinaje circular rodeada por una valla de 120 m.

Calculamos el radio de la pista.

L = 2πr → 120 = 2 ⋅ 3,14 ⋅ r → 120 = 6,28r → r = 19,11 m

A = πr2 = 3,14 ⋅ 19,112 = 1 146,7031 m2

108 Calcula el área de una corona circular formada por dos círculos concéntricos cuyos radios miden 3 cm y 6 cm, respectiva-mente.

A = π R2 − r2( ) = 3,14 ⋅ 62 − 32( ) = 3,14 ⋅ 36− 9( ) = 3,14 ⋅27 = 84,78 cm2



109 Halla el área de la zona sombreada en cada una de estas figuras.

a) b)

4 cm 4 cm

a) Acírculo = π ⋅ 22 = 3,14 ⋅ 4 = 12,56 cm2

b) A = 1

4Acírculo −

1

2Acuadrado =

1

4 ⋅ π ⋅ 42 −

1

2 ⋅ 42 = 3,14 ⋅ 4 − 8 = 4,56 cm2

110 Calcula la longitud de un arco de 120º en una circunferencia cuyo radio mide 8 cm. ¿Cuál es el área del sector circular correspondiente?

L = 2πr ⋅α

360º= 2 ⋅3,14 ⋅8 ⋅

120

360= 16,75 cm A = πr2 ⋅

α360º

= 3,14 ⋅82 ⋅120

360= 66,99 cm2

111 Determina el área de las regiones sombreadas en las siguientes figuras.

a) b)

30º2 cm

20º3 cm

a) A = 4πr2 ⋅α

360º= 4 ⋅3,14 ⋅22 ⋅

30

360= 4,19 cm2 b) A = πr2 ⋅

α360º

= 3,14 ⋅32 ⋅340

360= 26,69 cm2

112 Una pista de atletismo está formada por dos calles de 1 m de ancho cada una.

a) Halla la longitud de una vuelta en cada calle.

b) Determina la distancia a la que debe situarse un corredor en la calle 2 para disputar una carrera.

150 m80 m1º

2º

a) Calculamos la longitud de la calle 1.

LC1 = 150 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3,14 ⋅ 40,5 = 300 + 254,34 = 554,34 m

Calculamos la longitud de la calle 2.

LC2 = 150 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3,14 ⋅ 41,5 = 300 + 260,62 = 560,62 m

b) Un corredor de la calle 2 debe situarse a 560,62 − 554,34 = 6,28 m del corredor de la calle 1.

113 Determina si la transformación utilizada para obtener las siguientes figuras es un movimiento.

a) c)

b) d)

223



a) Giro c) No es un movimiento, la figura no mantiene el mismo tamaño.

b) Traslación d) Giro114 Representa y calcula las coordenadas del vector AB

en cada caso.

a) A(2, 1), B(5, 2) b) A(0, 2), B(1, −4) c) A(−1, 2), B(−4, 2) d) A(−3, −1), B(2, −3)

Comprobar que los alumnos representan los puntos y trazan el vector correctamente en cada caso.

a) AB

= b1 − a1 , b2 − a2( ) = 5− 2, 2−1( ) = 3, 1( )b) AB

= b1 − a1 , b2 − a2( ) = 1− 0,−4− 2( ) = 1,−6( )c) AB

= b1 − a1 , b2 − a2( ) = −4− −1( ), 2− 2( ) = −3, 0( )d) AB

= b1 − a1 , b2 − a2( ) = 2− −3( ),−3− −1( )( ) = 5,−2( )115 ¿Cuál es el vector de la traslación que, aplicada al punto P(−2, −4), lo transforma en P’(0, 5)?

P ’ p1 + v1 , p2 + v2( )→ P ’ −2 + v1 ,−4 + v2( )→ −2 + v1 = 0;−4 + v2 = 5 → v1 = 2, v2 = 0

Por tanto el vector traslación es v = (2, 9).

116 Halla las coordenadas del punto P si, al trasladarlo mediante el vector v = (1, −2), se transforma en el punto P’(2, 1).

P ’ p1 + v1 , p2 + v2( )→ P ’ p1 + 11 , p2 + −2( )( )→ p1 + 1 = 2; p2 + −2( ) = 1→ p1 = 1, p2 = 3

Por tanto el punto P es (1, 3).117 Un triángulo tiene por vértices los puntos A(3, 1), B(6, 4) y C(7, 2). Determina el triángulo que se obtiene al trasladarlo

mediante el vector v = (−2, 1) y dibuja la traslación.

A’ a1 + v1 , a2 + v2( )→ A’ 3 + −2( ), 1+ 1( )→ A’(1, 2)

B’ b1 + v1 , b2 + v2( )→ B’ 6 + −2( ), 4 + 1( )→ B’(4, 5)

C ’ c1 + v1 , c2 + v2( )→ C ’ 7 + −2( ), 2 + 1( )→ C ’(5, 3)

Comprobar que los alumnos dibujan el triángulo de vértices ABC, el triangulo de vértices A’B’C’ y el vector de la traslación.118 Traslada un círculo con centro C(3, −2) y con 3 unidades de radio mediante el vector

v = (5, 3).

a) ¿Cuánto mide el radio del círculo trasladado?

b) ¿Cuáles son las coordenadas del centro trasladado?

a) El radio del círculo trasladado mide lo mismo que el círculo original, 3 unidades.

b) C ’ c1 + v1 , c2 + v2( )→ C ’ 3 + 5,−2 + 3( )→ C ’(8, 1)

119 Halla las coordenadas de los vectores que transforman el triángulo 1 en los demás.

1

2

31

O X

Y

1

❚❚ Triángulo 1 en 2: v = (3, −2)

❚❚ Triángulo 1 en 3: u = (5, 0)



120 A partir del trapecio 1 se han obtenido las demás figuras mediante determinados movimientos. Indica de qué movimiento se trata cada caso.

1 2

34

1

O X

Y

1

❚❚ Trapecio 2: Se ha obtenido mediante una simetría respecto al eje de ordenadas.

❚❚ Trapecio 3: Se ha obtenido mediante un giro.

❚❚ Trapecio 4: Se ha obtenido mediante una traslación.

121 Indica el centro y la amplitud de los giros que dejan invariantes cada una de estas figuras.

a) Un rectángulo.

b) Un rombo.

c) Una estrella regular de seis puntas.

a) El centro de giro es el punto donde se cortan las diagonales y la amplitud es de 180º.

b) El centro de giro es el punto donde se cortan las diagonales y la amplitud es de 180º.

c) El centro de giro es el punto donde se cortan las rectas que pasan por los vértices opuestos y la amplitud es de 60º.122 Representa en unos ejes de coordenadas el punto P(3, −4) y halla sus transformados al aplicarle una simetría:


b) Respecto al origen de coordenadas.

c) Respecto al eje de ordenadas.

¿Qué figura obtienes al unir los cuatro puntos?

Comprobar que los alumnos representan el punto P(3, −4).

a) Comprobar que los alumnos representan el punto P’(3, 4).

b) Comprobar que los alumnos representan el punto P’’(−3, 4).

c) Comprobar que los alumnos representan el punto P’’’(−3, −4).

Se obtiene un cuadrado.123 Dibuja el triángulo cuyos vértices son A(1, 2), B(3, 2) y C(3, 5) y halla las coordenadas de la figura que se obtiene al apli-

carle una simetría:

a) Respecto al eje de abscisas. b) Respecto al eje de ordenadas. c) Respecto al origen de coordenadas.

Comprobar que los alumnos dibujan el triángulo ABC.

a) Comprobar que los alumnos dibujan el triángulo de vértices A’(1, −2), B’(3, −2) y C’(3, −5).

b) Comprobar que los alumnos dibujan el triángulo de vértices A’’(−1, 2), B’’(−3, 2) y C’’ (−3, 5).

c) Comprobar que los alumnos dibujan el triángulo de vértices A’’’(−1, −2), B’’’(−3, −2) y C’’’(−3, −5).124 Indica cuáles de las siguientes figuras tienen uno o más ejes de simetría.

a) Un trapecio isósceles.

b) Un rectángulo.

c) Una semicircunferencia.

a) Tiene un solo eje de simetría.

b) Tiene dos ejes de simetría.

c) Tiene un solo eje de simetría.

¿qué tienes que saber? · formados por dos rectas paralelas y una recta que las ... si están...

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