1.1 frecuencia compleja

UES-FIA-EIE-AEL215 Ciclo II-2007

1.1 Frecuencia Compleja:

Una forma elegante y compacta paradefinir funciones de excitaciónconocidas tales como señalesconstantes, exponenciales, senoidales y senoidales con envolventesexponenciales, es utilizando el conceptode una “fuente exponencial compleja”en términos de la “frecuencia compleja”.


Definición: ( )

s tSv t ke

s jw

donde: vs(t): voltaje exponencialcompleja.

s: frecuencia compleja.k: constante compleja,

(independientes del tiempo).

Para cada valor de “s” tenemos 4 casoso tipos particulares de señales de excitación, las cuales se enumeran:


Caso 1: señales constantes o DC

0

0

( ) (constante)S

s

v t ke k


Caso 2: Exponenciales crecientes y decrecientes

tS ketv

s )(

100

2

2 exp t( )

40 t0 1 2 3 4

0

25

50

75

100

trace 1

2

0.036631

2 exp t( )

40 t0 1 2 3 4

0

0.5

1

1.5

2

trace 1


Caso 3: Corriente Alterna: AC/CA

)cos()(

wtkketv

jwsjwt

S

2

2

1.8 cos t 1( )( )

200 t0 5 10 15 20

2

1

0

1

2

trace 1


Caso 4: senoides con envolventes exponenciales (crecientes o decrecientes)

( )

( )

( ) cos( )

jw t t jwtS

tS

s jw

v t ke ke e

v t ke wt

100

100

sin 10t( ) exp 0.4t( )( )

120 t0 3 6 9 12

100

50

0

50

100

trace 1

15

15

15sin 10t( ) exp 0.4t( )( )

120 t0 3 6 9 12

15

7.5

0

7.5

15

trace 1


Resistor en frecuencia compleja:

R

sus fasores respectivos son:

sea: ( )

de Ohm: ( ) ( )R R e

k , R

RZ

( ) R [ ]

( ) R [ ]

stS

stS S

S S

S

S

R

R

i t ke

v t i t k

I V k

V kR

I k

Z s

Z jw


Inductor en frecuencia compleja:

sea: ( )

( )de "L": ( ) L L

sus fasores son:

, L

LZ

( ) L [ ]

( ) L [ ]

stS

stSS

S S

SL

S

L

L

i t ke

di tv t k Se

dt

I k V k S

V kSSL

I k

Z s S

Z jw jw


Capacitor en frecuencia compleja:sea: ( )

( )de "C": i( )

sus fasores son:

,

1Z

1( ) [ ]

( ) [ ]

st

st

C

C

C

v t ke

dv tt C CkSe

dt

V k I kSC

V k

I kSC SC

Z sSC

jZ jw

wC


1.2 Función de Transferencia (Red):

Es un modelo matemático que describe el comportamiento (respuesta) de cualquier sistema cuando a la entrada se le aplica una variable física en particular (excitación).


Los sistemas mecánicos, eléctricos, etc. se pueden traducir a una serie de valores matemáticos a través de los cuales se conoce el comportamiento frente a condiciones de operación particulares.Uno de los primeros matemáticos en describir estos modelos fue Pierre SimonLaplace, a través de su transformación matemática.


Pierre Simon Laplace (1749-1827)

Astrónomo y matemático francés, aplicó con éxito la teoría de la gravitación de Newton a los movimientos planetarios en el Sistema Solar. Intentó explicar el origen de este sistema en su hipótesis nebular de la evolución estelar.Los procedimientos matemáticos desarrollados por Laplace para realizar cálculos sentaron las bases de las posteriores investigaciones científicas sobre calor, magnetismo y electricidad.


La “función de red o función de transferencia” se define como la relación de la Transformada de Laplace de una variable de salida respecto a una variable de entrada, identificada por “H”o “M” en el dominio de la frecuencia compleja “s”:

£variable salida

£variable entrada( )H s


En el dominio de la frecuencia complejaoperamos en algebra simbólica en función de “s”, de lo cual la función de red se denota como el cociente de dos polinomios en “s”:

)p-)...(sp-)(sp-(s)z-)...(sz-)(sz-(s

......

)()(

)(

m21

n21

011

1

011

1

bsbsbsbasasasa

sinsout

sM mm

mm

nn

nn


La función de transferencia proporciona la información siguiente:

• Las raíces del polinomio del numerador se conocen como los “ceros” del sistema.

Un cero hace “cero” a la función de red.

En el plano complejo se denotan por ceros “o”.


• Las raíces del denominador se conocen como los “polos” del sistema.

Un polo hace infinita a la función de red.

En el plano complejo se denotan por equis “x”

• El orden del sistema queda determinado por los polos de la función de transferencia, o sea depende del grado del polinomio del denominador.


• Los polos de la función de transferencia caracterizan la naturaleza de la respuesta natural del sistema.

• El fasor de la respuesta forzada de la señal de salida, se determina evaluando la función de transferencia en la respectiva frecuencia compleja de la excitación, multiplicada por el fasorde entrada.


1.3 El Plano de la frecuencia compleja:

Para especificar la frecuencia compleja “s”se requiere de dos variables: sigma (σ) y omega (jω) resultando en una funcióncompleja. Por lo que las respuestas de los sistemas también son funciones complejaspudiendose descomponer en parte real e imaginaria o en magnitud y fase para unamejor comprensión.


Como la función de red depende de la frecuenciacompleja, la respuesta del sistema genera gráficos tridimensionales, sin embargo los gráficos suelen simplificarse a dos dimensionespara mayor facilidad de comprensión de los mismos, por un lado se analiza la magnitud y por separado la fase.


Ejemplo:

Analicemos el comportamiento en frecuencia de una red sencilla: el circuito RL serie:


1

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( ) 1( ) ( )

( )

s

s

s

V s RI s sLI s R sL I s

V sH s R sL Z s

I s

I sH s Y s

V s R sL

En la red RL podemos definir diferentes funciones de transferencia: ganacia de voltaje, ganancia de corriente, impedancia, admitancia, etc.

Aplicando un LVK en lazo de I, se tiene:


1( )

1( )

3

Y sR sL

Y ss

Analizando para la admitancia de la red, con valores particulares de L=1H y R=3Ω, se tiene:

Notar que hay un polo en s=-3, o sea, una raíz del denominador de Y(s), por lo cual la función de red se hace infinita en ese valor particular de frecuencia compleja: s=-3+j0.


1( ) ; para: :

31 1

( )( ) 3 ( 3)

Y s s jws

Y sjw jw

En términos de la frecuencia compleja,conocemos que:

Notar que Y(s) es una función complejade 2 variables, un poco complicado su representación gráfica en 3 dimensiones!


2 2

1( )

( 3)

1( )

( 3)

Y sjw

Y sw

Para facilitar el análisis de la función de red (Y), la cual es una función compleja ésta se descompone en magnitud y fase. analizando para la magnitud, se tiene:


Aún la magnitud de Y (|Y|) es una función de 2 variables, un poco menos complicada su representación gráfica en el plano complejo!. Una vista en corte muestra la respuesta en frecuencia de la red:


Ejo: Polos y Zeros de una red serie RC:


Ejo: Polos y Zeros de una red serie RLC:

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