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IES “Los Colegiales” Matemáticas 1º ESO Tema 6 Lenguaje Algebraico. Ecuaciones

Tema 6 Lenguaje Algebraico. Ecuaciones

1. El álgebra El álgebra es una rama de las matemáticas que emplea números y letras con las operaciones aritméticas de sumar, restar, multiplicar, dividir, potencias y raíces.Cuando no conocemos uno o varios números utilizamos las letras a las que vamos a llamar incógnitas: x, y, z, ...

2. Expresión algebraica. Cuando traducimos lenguaje ordinario a lenguaje matemático situaciones en las que aparecen datos o números desconocidos que se representan por letras, surgen las expresiones algebraicas:

Lenguaje ordinario Expresión AlgebraicaEl doble de un número 2 · xLa mitad de un número más tres y + 3

2El cuadrado de un número menos seis z2 – 6Si un número es “n” ¿cuál es el anterior? n – 1El triple del resultado de sumar x más cinco 3 · ( x + 5 )

Fco. Javier Sánchez García Pág. 1/11


2.1 Algunas reglas para escribir expresiones algebraicas. • Entre número y letra y entre letra y letra no se pone el signo de multiplicar:

3 · x Se escribe 3x se lee “tres x”

a2 · b · c5 Se escribe a2 b c5

• Entre un número y un paréntesis no se pone el signo de multiplicar:

6 · ( 3x + 2 ) Se escribe 6 ( 3x + 2 )

• Si un número y una letra están multiplicando, el número se escribe delante de la letra:

x · ( - 5 ) Se escribe - 5x

• Si multiplicamos 1 por una letra, solo ponemos la letra:

1 · x2 Se escribe x2

• Si el exponente de una letra es 1, no se pone:

a5 b1 c1 Se escribe a5 b c

3. Valor Numérico de una expresión algebraica Es el resultado que se obtiene al sustituir las letras por números y hacer las operaciones indicadas.

Ejemplos:Calcula el valor numérico de estas expresiones algebraicas:a) 2 x + 5 para x = 4

Sustituimos la x por el número 4 y realizamos las operaciones2 · 4 + 5 = 8 + 5 = 13

b) 3 x2 + 2y para x = 2 y = – 5 Sustituimos la x por el número 2 y sustituimos la y por el número – 5 3 · 22 + 2 · (– 5 ) =3 · 4 – 10 = 12 – 10 = 2



4. Monomios Los monomios son las expresiones algebraicas mas simples, están formadas unicamente por productos (multiplicaciones) de números y letras:

5x, 8x2y, – 2a, x, 75abc3, – a,

4.1 Partes de un monomio Los monomios tienen dos partes: El Coeficiente y la Parte LiteralEl Coeficiente es el número conocido.

La Parte Literal es la letra o letras que están multiplicando con el coeficiente.

– 8 x2 y Coeficiente – 8 Parte Literal x2 y

4.2 Grado de un monomio El grado de un monomio es el exponente de la letra. Si hay varias letras se suman todos sus exponentes.

• Monomios de 1º grado: 3x, – 5a, 8y, z • Monomios de 2º grado: 5xy, 6x2, – 2ab, y2

• Monomios de 3º grado: 4x3, – xyz, 7a2b, v3

• ...

4.3 Monomios Semejantes Son monomios semejantes los monomios que tienen la misma parte literal (las mismas letras y los mismos exponentes).

Ejemplos:Escribe 5 monomios semejantes a los dados:a) 2 x 5x, – 2x, x, 6x, – x b) – 5 x2y – 8 x2y, 3 x2y, x2y, – 15 x2y, 7 x2yc) x3 – x3, 23x3, – 6 x3, 8 x3, 3 x3



5 Operaciones con Monomios 5.1 Suma y resta de monomios Los monomios sólo se pueden sumar y restar cuando son monomios semejantes.Se suman o restan sus coeficientes y se deja la misma parte literal.Ejemplos:Opera o reduce los siguientes monomios:a) 5x + 3x = 8xb) 4 a2b + 5 a2b – 2 a2b = 7 a2bc) 3x – 6x + x – 8x + 4x = – 6xd) 4x2 + 5x – 6 – x2 + 7x + 4 = 3x2 + 12x – 2

Cuando los monomios no son semejantes no se pueden sumar ni restar y dan lugar a las siguientes expresiones algebraicas:

• 5x + 6y Binomio (Dos monomios)

• 4x2 – 2z + 5 Trinomio (Tres monomios)

• 2x + 7y2 – 5z + k Polinomio (Más de tres monomios)

5.2 Multiplicación de un número por un monomio Se multiplica el número por el coeficiente del monomio y se deja la misma parte literal.Ejemplos:a) 3 · (5x) = 15xb) – 6 · (4x2y) = – 24 x2yc) – 5 · ( – x6) = + 5x6

5.3 Multiplicación de dos monomios Se multiplican los dos coeficientes y se multiplican las dos partes literales, de manera que si alguna letra está en los dos monomios, sólo se pone una vez y con el exponente que sale de sumar sus exponentes.Ejemplos:a) ( 3y2 ) · (5x) = 15y2xb) ( – 6x3 ) · (8x2y) = – 48 x5yc) (– 4x3yz5 ) · ( – x6y4w2) = + 4x9y5z5w2

d) ( x ) · ( x ) = x2



5.4 Multiplicación de un número por un binomio Se aplica la propiedad distributiva.Ejemplos:a) 3 ( 5x + 9 ) = 15x + 27b) – 4 ( 8x – 6 ) = – 32x + 24c) 7 ( – 4x – 3y2 ) = – 28x – 21y2

5.5 División de dos monomios Escribimos la división como una fracción de dos monomios. Descomponemos en factores los dos monomios y simplificamos. Empezamos dividiendo los signos de los dos monomios y lo colocamos delante de la fracción.Ejemplo:

( – 18 x4 y2 z3 ) : ( 12 x y5 v2 ) Lo escribimos en forma de fracción: – 18 x 4 y 2 z 3

+ 12 x y5 v2

Dividimos los signos y lo ponemos delante de la fracción (- : + = - )__ 18 x 4 y 2 z 3 12 x y5 v2

Descomponemos los números y las letras y simplificamos:__ 18 x 4 y 2 z 3 = __ 2 · 3 · 3 · x · x · x · x · y · y · z · z · z = __ 2x 3 z 3 12 x y5 v2 2 · 2 · 3 · x · y · y · y · y · y · v · v 3y3v2

Viendo el ejemplo anterior podemos sacar la siguiente regla:Si la letra está repetida en el numerador y en el denominador, aparece sólo donde el exponente es mayor y tendrá de exponente la resta de los exponentes correspondientes.Ejemplo:

( 24 x4y5z6 ) : ( 6xy10v2 )

24 x 4 y 5 z 6 = 4 x 3 z 6 6 x y10 v2 y5 v2



6. Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita Una ecuación es una igualdad ( = ) que sólo se verifica para unos valores concretos de una variable, generalmente llamada x. Cuando sólo aparece una letra que siempre está elevada a uno, tenemos una ecuación de primer grado con una incógnita.

6.1 Partes de una ecuación

El signo = divide a la ecuación en dos partes llamadas “miembros”

Primer miembro Segundo miembro

7x – 10 + x – 2 = 6x – 3 + 3x – 1

términos términos

En cada miembro y separados por los signos de + y – están los términos.

Hay dos clases de términos:

Términos con “x”: 7x, x, 6x, 3x

Términos sin “x” (términos independientes): – 10, – 2, – 3, – 1,

6.2 Resolver una ecuación

Resolver una ecuación consiste en hallar los valores de la incógnita “x”que hacen cierta la igualdad.

Hay dos formas de resolver una ecuación: por tanteo y por un método.

Por tanteo consiste en ir probando números hasta que encontremos uno que cumpla la igualdad.

Ejemplo:3x + 2 = 2x + 8Le vamos dando valores a la “x” para que se cumpla la igualdad: 0, 1, 2, 3,...,– 1 ,– 2, – 3, – 4,... Cuando x = 6, se cumple la igualdad

3 · 6 + 2 = 2 · 6 + 8

20 = 20



6.3 Método para resolver una ecuación

Para resolver ecuaciones de primer grado es conveniente seguir siempre una misma estrategia que facilite su resolución.

1º Quitar denominadores.

2º Quitar paréntesis.

3º Transponer términos semejantes.

4º Reducir términos semejantes.

5º Despejar “x”

6º Comprobar la solución.

1º Quitar denominadores.

Calculamos el m.c.m. de los denominadores. Dividimos el m.c.m. entre cada denominador y el resultado lo multiplicamos por el numerador. Recuerda que si algún término no tiene denominador, es 1.

2º Quitar paréntesis.

Podemos encontrarnos con los siguientes casos:

• Delante del paréntesis hay un número multiplicando: aplicamos la propiedad distributiva.

• Delante del paréntesis no hay nada o hay un signo +: quitamos el paréntesis y dejamos igual lo que hay dentro.

• Delante del paréntesis hay un signo – : quitamos el paréntesis y cambiamos de signo todo lo que hay dentro.

3º Transponer términos semejantes.

Consiste en tener en el 1º miembro todos los términos con “x”, y en el 2º miembro todos los términos independientes ( sin “x” ). Para ello debemos saber la siguiente regla: “Cuando un término cambia de miembro, cambia de signo.”

4º Reducir términos semejantes.

Consiste en sumar y restar los términos semejantes en cada miembro para que sólo nos quede un único término con “x” y un único término independiente.



5º Despejar “x”

Consiste en dejar la “x” sola. Para ello el número que está con la “x” nos lo llevamos al 2º miembro, teniendo en cuenta la siguiente regla: “Si está multiplicando, nos lo llevamos dividiendo, y viceversa”. Ya tendremos la solución de “x”.

6º Comprobar la solución.

Consiste en sustituir el valor de “x” en la ecuación y comprobar que se cumple la igualdad.

Ejemplo:Resuelve esta ecuación y comprueba la solución

4x _ 2x + 7 = 5 2 5

1º Quitamos denominadores calculando el m.c.m. de los denominadores.

m.c.m.( 2 y 5) = 2 · 5 = 10

Dividimos 10 entre cada denominador y el resultado se multiplica por el numerador

5 · (4x) – 2 · ( 2x + 7 ) = 10 · 5

2º Quitamos paréntesis multiplicando y aplicando propiedad distributiva:

20x – 4x – 14 = 50

3º Transponer términos semejantes. Nos llevamos – 14 al 2º miembro cambiado de signo:

20x – 4x = 50 + 14

4º Reducir términos semejantes. Sumamos y restamos en cada miembro:

16x = 64

5º Despejar “x”. Nos llevamos 16, que está multiplicando, al 2º miembro dividiendo:

x = 64 Dividimos 64 : 16 = 4 16

6º Comprobar la solución. Sustituimos la x por 4 en la ecuación:

4 · 4 _ 2 · 4 + 7 = 5 2 5

16 _ 15 = 5 2 5

8 – 3 = 5 5 = 5


x = 4


6.4 Soluciones de una ecuación

Las Ecuaciones de Primer grado con una incógnita tienen una solución única, como en el ejemplo anterior, sólo hay un valor que hace que la igualdad se cumpla:

Pero pueden ocurrir los dos siguientes casos:

1º 2x + 5 – x = x + 3 + 2 Resolvemos la ecuación

2x – x – x = 3 + 2 – 5

0x = 0

Cuando ocurre esto se llama una identidad y, para cualquier valor que probemos de x se cumple siempre. Los dos miembros son iguales:

2x + 5 – x = x + 3 + 2

x + 5 = x + 5

2º 4x + 10 – x = 3x + 15 Resolvemos la ecuación

4x – x – 3x = 15 – 10

0x = 5

Cuando esto ocurre, la ecuación no tiene solución, porque no hay ningún número que multiplicado por 0 dé 5.


x = 4


7. Problemas de Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita

Son problemas que se resuelven “planteando” y resolviendo una ecuación de 1º grado con una incógnita.

Es aconsejable seguir los siguientes pasos en el problema:

• Comprender el enunciado: Se debe leer el problema las veces que sean necesarias para distinguir los datos conocidos y el dato desconocido que se quiere encontrar, es decir, la incógnita “x”. Escribimos los datos del problema. Pensamos a que dato le vamos a llamar “x” y los demás datos los ponemos en función de “x”.

• Plantear la ecuación: Con los datos y traduciendo el lenguaje ordinario a lenguaje algebraico planteamos (escribimos) la ecuación.

• Resolver la ecuación: Mediante el método de resolución de ecuaciones, obtenemos la solución.

• Comprobar la solución: En los datos sustituimos “x” por el valor obtenido y comprobamos que se cumplen las condiciones del problema.

Ejemplos:1. Si al doble de un número le sumamos 15 obtenemos 51. ¿Qué número es?

Datos: (Al número le vamos a llamar “x”)

Número : x

Planteamos la ecuación: (Traducimos a lenguaje algebraico)

2 x + 15 = 51

Resolvemos la ecuación: (Método de resolución de ecuaciones)

2 x = 51 – 15

2 x = 36

x = 36 2

Comprobamos el resultado: (Comprobamos si 18 cumple las condiciones del problema)

2 · 18 + 15 = 51 36 + 15 = 51 51 = 51 Solución: El número es 18


x = 18


2. En una ferretería se venden tornillos en cajas de tres tamaños: pequeña, mediana y grande. La caja grande contiene el doble que la mediana y la mediana 25 tornillos más que la pequeña. He comprado una caja de cada tamaño y en total hay 375 tornillos, ¿cuántos tornillos hay en cada caja?

Datos: (Hay que llamarle “x” a una de las tres cajas. Como la grande nos la dan en función de la mediana y la mediana en función de la pequeña, llamaremos “x” a la caja pequeña)

Caja pequeña : x Caja mediana: x + 25 Caja grande: 2 ( x + 25 )

Planteamos la ecuación: (Traducimos a lenguaje algebraico: la suma de los tornillos de las tres cajas es igual a 375)

x + ( x + 25 ) + 2 ( x + 25 ) = 375

Resolvemos la ecuación: (Método de resolución de ecuaciones)

x + x + 25 + 2x + 50 = 375

x + x + 2x = 375 – 25 – 50

4x = 300

x = 300 4

Comprobamos el resultado: (Sustituimos x por 75 en los datos y sumamos)

Solución

Caja pequeña : x = 75 …............................................................ 75 Caja mediana: x + 25 = 75 + 25 = 100 …................................. 100 Caja grande: 2 ( x + 25 ) = 2 ( 75 + 25 ) = 2 · 100 = 200 …........ 200 +

375


x = 75

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