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Matemáticas7º Primaria1º E.S

proyectomás que uno

propuesta docente

Autores

M.ª Amor Carrasco PrietoRaquel Martín CrespoJosé Manuel Ocaña FernándezJuana M.ª Sánchez Marín

Revisión técnica

Vidal Quiralte Fuentes

Adaptación

Liliana Villena

Matemáticas

ES7º / 1º

E D E LV I V E S

proyectomás que uno

PROPUESTA DIDÁCTICA

Este libro corresponde a la Educación Secundaria y forma parte de los materiales curriculares del Proyecto +q’1

Corrección: Laura Giussani - Florencia Carrizo · Diseño y maquetación: Cristina Morales

Fotografía: Archivo GELV

© Editorial Edelvives, 2008 · Impreso en Argentina

Reservados todos los derechos de la presente edición por la Editorial Edelvives. Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las sanciones

establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de los

ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos.

3

MATEMÁTICAS

CONTRIBUCIÓN DE ESTA UNIDAD AL DESARROLLO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICASINTRODUCCIÓN

Para elaborar este proyecto hemos tenido en cuen-ta tanto los intereses y las necesidades de los profe-sores como las características propias de los alum-nos de este curso.

Por este motivo hemos querido ofrecer un enfoqueútil y práctico de la materia que permita a todos losalumnos adquirir las capacidades cognitivas abs-tractas y formales básicas necesarias para resolverproblemas en distintos campos y desenvolverse enla vida cotidiana.

Para conseguir lo anteriormente expuesto hemosdesarrollado este proyecto a partir de tres objetivosbásicos:

1. Acercar las Matemáticas al alumno, con ejemplosy actividades de la vida diaria.

2. Retroceder a las épocas más remotas de la Histo-ria, donde conoceremos los instrumentos rudi-mentarios que se utilizaban para las mediciones,las costumbres de las sociedades, etc. y, de estaforma, comprobar cómo este conjunto de conoci-mientos y procedimientos matemáticos han idoevolucionando con el paso del tiempo.

3. Plantear distintos tipos de actividades, tanto deingenio como de refuerzo, atendiendo a la diversi-dad del alumnado sin olvidar que las Matemáticasdeben cumplir un papel formativo básico e instru-mental.

La estructura que se ha establecido en el Libro delalumno pretende dar respuesta a todas estas in-quietudes, e intentar que el alumno sienta la necesi-dad y el gusto por aprender Matemáticas.

En cada unidad cabe destacar las siguientes sec-ciones:

Presentación de la unidad

Se trata de una doble página donde se presenta elíndice de contenidos de la unidad, así como una se-rie de ilustraciones alusivas a los contenidos, untexto introductorio y una actividad para que el alum-no la resuelva.

Cabe destacar que no hay definiciones, sino que setrata de un acercamiento a la teoría que se va a de-sarrollar luego en la unidad.

El apartado reservado para Una vista atrás ofrece alalumno la posibilidad de recordar los conceptos decursos anteriores que le van a ser necesarios parauna mejor comprensión de la unidad.

Teoría

Las páginas de teoría tienen fórmulas, propiedadesy definiciones que están destacadas entre “puntitos”celestes. Además, en el marginal aparecen propie-dades o fórmulas de años anteriores, uso de la cal-culadora y reseñas de historia de la matemática.

Resolución de problemas

Con esta sección se pretende que, mediante una se-rie de estrategias, el alumno solucione un problemapropuesto y adquiera un conjunto de destrezas quele permita resolver otros más complejos.

Actividades

Las actividades finales se inician con un Mapa con-

ceptual que el alumno tendrá que completar y, conla respuesta a una serie de cuestiones planteadas,ampliar. A continuación se proponen unas activida-des de Cálculos para continuar con actividadesagrupadas según los epígrafes de la unidad.

Desafíos

Esta última sección pretende que el alumno re-suelva una serie de actividades sin necesidad de uti-lizar los algoritmos o procedimientos habituales,sino que ponga en práctica el razonamiento y la pro-pia lógica. De esta forma, se consigue que el apren-dizaje de las Matemáticas no se convierta en unamera mecánica o en la aplicación de un conjunto defórmulas.

Anexo

Se encuentra al final del libro y contiene actividadespara aplicar la matemática en la vida real, fórmulasy propiedades. Por último, 2 cuerpos para recortar yarmar.

4

La estructura del libro del docente está dividida en:

• Título de cada unidad con objetivos y criterios de evaluación.

• Contenidos: conceptuales, procedimentales y actitudinales.

• Contribución de cada unidad al desarrollo de las competencias básicas.

• Sugerencias metodológicas.

• Nuevas tecnologías.

• Direcciones de Internet.

Al final se encuentra el Solucionario con las respuestas a todos los ejercicios del libro.

ESTRUCTURA

5

Números enteros

1

OBJETIVOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN

1. Construir el conjunto de los números enteros.2. Ordenar y representar números enteros en la recta numé-

rica.3. Operar correctamente con números enteros.4. Interpretar, resolver y estimar problemas con números

enteros.5. Identificar algunos detalles históricos de las Matemáticas

relacionados con los contenidos y procesos sobre los queel alumno está trabajando.

1. Utilizar los números enteros para representar situacionesreales.

2. Representar números enteros en la recta numérica.3. Ordenar y comparar números.4. Aplicar la jerarquía de las operaciones con números ente-

ros.5. Emplear las propiedades de las operaciones como simpli-

ficación de los cálculos.

CONTENIDOS

Conceptuales

1. El conjunto de los números enteros.2. Representación de los números en-

teros. Valor absoluto.3. Ordenación de los números enteros.4. Operaciones con números enteros.

Propiedades.4.1. Adición de números enteros.4.2. Sustracción de números ente-

ros.4.3. Multiplicación de números en-

teros.4.4. División de números enteros.4.5. Potencias de números enteros.4.6. Raíces de números enteros.

5. Operaciones combinadas.

Procedimentales

1. Resolución de problemas de la vidacotidiana que no se pueden deter-minar con solo la utilización de losnúmeros naturales.

2. Uso correcto del valor absoluto parautilizar el opuesto y el simétrico deun número.

3. Aplicación de los números enterosen ejemplos reales para su ordena-ción.

4. Realización de operaciones con lacorrecta aplicación de la jerarquíade las operaciones.

5. Resolución de operaciones combi-nadas (con o sin calculadora), utili-zando con corrección el paréntesis.

Actitudinales

1. Rigor y precisión en el cálculo deoperaciones.

2. Curiosidad e interés por resolverproblemas numéricos.

3. Cuidado y respeto por el materialque se utiliza.

4. Valoración y crítica del uso de la cal-culadora.

5. Cooperación y equilibrio en el traba-jo grupal y en la tarea individual.

6. Crítica de la información recibida através de los medios de comunica-ción.

7. Análisis y valoración del procesoevolutivo matemático.

8. Confianza y tolerancia en las pro-pias capacidades sin discriminaciónninguna para afrontar problemas yresolverlos.

9. Curiosidad por la relación existenteentre la historia y el avance mate-mático.

10. Reconocimiento, valoración y críticade la presencia de las Matemáticasen otras ciencias.

6

01 NÚMEROS ENTEROS

CONTRIBUCIÓN DE ESTA UNIDAD AL DESARROLLO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS

Competencia en comunicación lingüística:

• Adquisición de la terminología específica referente a los números enteros.

• Utilización del lenguaje, tanto escrito como oral, para interpretar y comprender la realidad.

• Análisis de las situaciones presentadas y extracción de conclusiones.

Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico:

• Aplicar los conocimientos de naturaleza numérica, y su utilidad para expresar situacionesdistintas.

Tratamiento de la información y competencia digital:

• Empleo de Internet para obtener información de carácter científico y búsqueda en el origen yutilización de los números enteros.

• Utilización de diversos programas informáticos (Derive, Word...)

Competencia social y ciudadana:

• Fomentar el trabajo en equipo mediante la cooperación en la búsqueda de información y suposterior análisis para, finalmente, su exposición.

Competencia para aprender a aprender:

• Precisión y exactitud en la realización de operaciones con números enteros.

• Autonomía, perseverancia, reflexión crítica y habilidad para resolver y comunicar con eficacialos resultados de los problemas numéricos.

Autonomía e iniciativa personal:

• Planificación de estrategias para la resolución de problemas de números, controlando a la vezlos procesos de toma de decisiones a la hora de resolverlos.

7

01MATEMÁTICAS

En esta unidad se trabajan los números enteros,tema del que los alumnos tienen nociones básicasde cursos anteriores.

Trabajaremos el aprendizaje de estos números, demanera que el alumno, poco a poco, lo vaya cons-truyendo, obligándolo a verse en la necesidad deutilizar dichos números a través de situaciones pre-sentes en la vida cotidiana.

Nuestra misión en esta unidad es formar al alumnopara que llegue a la abstracción no del objeto, sino

del concepto de entero por la acción, introduciendolos números enteros en situaciones que se dan en lavida cotidiana y sus operaciones para resolver infini-dades de situaciones mercantiles, sanitarias, detransporte, de deporte, etc.

Además, se intenta que esta adquisición de conoci-mientos sea un trabajo de investigación, de formaque en los márgenes del libro del alumno se les ini-cia en la historia o en curiosidades matemáticas quepermitan crear ese interés por hacer matemáticas.

En este epígrafe, como se ha dicho en la introduc-ción, lo más importante no es el concepto de nú-mero entero, sino hacer ver al alumno la imperiosanecesidad de utilizar estos números y que con losconocidos hasta ahora, los naturales, es imposibleresolver situaciones que a diario se producen a sualrededor.

Se intenta familiarizar al alumno con ellos, utilizan-do al principio situaciones sencillas y cercanas a él(como es el caso de las temperaturas, el nacimientode personajes partiendo del año cero, nacimiento deCristo, etc.) para que, poco a poco, puedan llegar asituaciones un poco más abstractas desprovistas desituaciones perceptivas.

Se indicará a los alumnos la nueva forma de expre-sar los números naturales: los positivos, provistos desu signo +, y los números negativos, de su signo –; in-cluso remarcaremos la diferencia del signo que an-tecede al número, para ello, al número en cuestión lopondremos entre paréntesis con su signo y el signoque indica operación aritmética.

La representación de los números enteros sobre larecta resulta sencillo para el alumno tras la repre-sentación de temperaturas en un termómetro, o delos niveles que recorre un ascensor; es decir, por ca-sos perceptibles. Una vez asimilada esta aplicaciónde los enteros será fácil su representación sobre larecta, primero representando los números naturalesy a la izquierda de ellos los enteros negativos.

Se debe insistir en la precisión y exactitud de larepresentación geométrica sobre la recta de losnúmeros enteros para introducir y aprender co-rrectamente el concepto de valor absoluto y simé-trico de un número; haciendo ver a los alumnosque los enteros negativos son simétricos de losenteros positivos, donde su punto simetría es el 0.

1 Los números enteros. Representación y valor absoluto

SUGERENCIAS METODOLÓGICAS

A partir de situaciones que se representan, comopor ejemplo posiciones en la recta, el alumno llega-rá con facilidad a ordenar enteros, comprobando,así, que los números situados a la derecha de otrodado son mayores que este.

Familiaricemos al alumno con la utilización de lossímbolos >, < e = para la ordenación de estos núme-ros sin necesidad de una previa representación grá-fica de ellos.

2 Ordenación de los números enteros

8

01 NÚMEROS ENTEROS

Se plantean contextos donde hay números con elmismo signo, así el alumno se da fácilmente cuentade que la operación suma con números enteros esigual que con naturales.

Asimismo, se realizan sumas con números de dis-tinto signo, en las cuales el alumno apreciará que elresultado de una suma de enteros puede ser mayor,menor o igual a cero, pero siempre números ente-ros. Estas sumas sobre la recta toman significadocuando damos valor numérico a las posiciones y alos desplazamientos, actuando estos últimos comooperadores.

La utilización de las propiedades potenciará elmanejo del cálculo en la suma de los enteros quesurjan de una manera natural en las diferentes si-tuaciones planteadas.

Al efectuar las operaciones con números enterosaparecerán, por un lado, el paréntesis y el corchete,donde el alumno, una vez asimiladas las propieda-des de la suma, aprenderá a que en primer lugartiene que realizar lo que ellos encierran y, por otrolado, el signo negativo delante de un paréntesis.

3 Operaciones con números enteros. Propiedades

Las actividades de este epígrafe van encaminadas aejercitar la habilidad y el cálculo mental en el alum-no. Se utilizan, para ello, todas las operaciones y seremarcan, sobre todo, el uso correcto del paréntesisy la prioridad de las operaciones.

Se intenta dejar a un lado la forma de operar con losnúmeros enteros; es decir, operar según el orden enel que aparecen, y se refuerza con ejercicios prácti-

cos la importancia de la jerarquía de las operacio-nes.

Es de vital importancia dedicarle a este punto mástiempo que a cualquier otro, ya que del manejo y usocorrecto de estas operaciones, dependerá el fracasoo el éxito del alumno en otros campos de las Mate-máticas.

4 Operaciones combinadas

NÚMEROS ENTEROS CON DERIVE

El programa de cálculo con Derive permite realizaroperaciones simples y operaciones combinadas connúmeros enteros.

Así, por ejemplo, si queremos calcular el resultadode la siguiente expresión: (–25) + (–25) + (–25)

Debemos seguir los pasos que se indican a conti-nuación:

1º Seleccionar primero Editar (autor)/Expresión.

2º Escribir la expresión, es decir: (–25) + (–25) + (–25)

3º Hacer clic sobre el botón de la barra de herra-mientas o bien, simplemente pulsar Enter y en lapantalla aparecerá la expresión a calcular.

4º Finalmente, con el botón , obtendremos el re-sultado de la operación.

NUEVAS TECNOLOGÍAS

9

01MATEMÁTICAS

OPERACIONES COMBINADAS

En este caso, para calcular 12 – (–5) · [(–17) + (–30)],debemos realizar los siguientes pasos:

1º Introducimos la operación combinada que quere-mos resolver.

2º A continuación, pulsamos Intro para que la ope-ración quede reflejada en la pantalla.

3º Pulsamos la tecla y aparecerá (–235) +12, esdecir, comprobaremos que el programa resuelveen primer lugar (–5) · [(–17) + (–30)] = (–235). Paraobtener el resultado final, –243, debemos intro-ducir esta vez (–235) + 12 y presionar de nuevo latecla .

POTENCIAS CON NÚMEROS ENTEROS

Si queremos averiguar el resultado de (–3)3 · (–3)2,tendremos que hacer lo siguiente:

1º Primero escribimos (–3)^3*(–3)^2.

2º A continuación, pulsamos Intro para introducir laexpresión en la pantalla: (–3)3 · (–3)2.

3º Y, por último, con la tecla , obtenemos el re-sultado final, (–243).

De igual forma, si queremos calcular (–3)5 · (–3)4,habrá que seguir los mismos pasos.

1.º Escribimos (–3)^5/(–3)^4.

2.º Pulsamos Intro a continuación y aparecerá en la

pantalla .

3.º Hacemos clic en la tecla y así obtenemos el re-sultado, –3.

( – 3 ) 5

( – 3 ) 4

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01 NÚMEROS ENTEROS

http://interactiva.matem.unam.mx/index_flash.html

Página donde se puede encontrar todo lo referente a sumas y restas de númerosenteros, cuadrados mágicos...

http://interactiva.matem.unam.mx/juegos/i_d.html

Juegos matemáticos con números enteros.

http://interactiva.matem.unam.mx/matechavos/html/ind2.html

Página donde se puede encontrar la historia de las cifras, el origen del 0 y muchascosas más referentes a la historia de los números.

http://www.gratisweb.com/numeros_enteros/numeros/numeros/htm

Aplicaciones a juegos con números enteros, problemas con soluciones de enteros,documentos matemáticos (historia de los números, matemáticos famosos, mujeresmatemáticas, etc.).

http://www.cnice.mecd.es/Desvartes/1y2_eso/Representación_numeros_en_recta/Representación_de_

numeros.html

Sitio en el cual aparece todo lo referente a representación de números enteros ytambién un diccionario matemático.

http://es.wikipedia.org/wiki/N%FAmeros_enteros

Enciclopedia en la que podremos operar con números enteros.

http://enciclopedia.us.es./wiki.phtml?title=n%FAmeros+enteros

Página en la que se construye el conjunto de los números enteros.

http://ciencias.bc-inter.edu/ntoro/mate0010/bases/arit/tsld022.html 7

http://ciencias.bc-inter.edu/ntoro/mate0010/bases/arit/tsld023.html

Páginas en las que hace referencia al opuesto de un número entero y el valor absoluto;con ejercicios resueltos para practicar.

http://www.sectormatematica.cl/pruebas/8%BA%20numeros%20enteros.doc

Sitio en el cual aparecen exámenes de números enteros.

DIRECCIONES DE INTERNET

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1. Asimilar el concepto de fracción.2. Reconocer el conjunto de las fraccio-

nes.3. Utilizar el concepto de fracciones

equivalentes para obtener fraccionesampliadas y simplificadas.

4. Reducir a común denominador paracomparar fracciones.

5. Ordenar y representar gráficamentelas fracciones.

6. Realizar correctamente operacionescon fracciones.

1. Simplificar una fracción hasta quedar irreducible. 2. Obtener una fracción equivalente ampliada a una dada.3. Ordenar fracciones utilizando la reducción a común denominador y represen-

tarlas en la recta numérica.4. Realizar correctamente cálculos con fracciones, aplicando las reglas de prio-

ridad en operaciones que intervengan las seis operaciones y el empleo deparéntesis.

5. Utilizar las fracciones y los decimales de forma adecuada en las actividades dela vida cotidiana.

6. Elegir las operaciones adecuadas en la resolución de los problemas y analizarrazonadamente la solución obtenida y su significado.

CONTENIDOS

Conceptuales

1. Fracciones.2. Fracciones equivalentes.3. Simplificación y ampliación de frac-

ciones.4. Comparación y ordenación.5. Adición y sustracción de fracciones.6. Multiplicación de fracciones.7. División de fracciones.8. Potencias y raíces de fracciones.9. Operaciones combinadas.

Procedimentales

1. Identificación entre decimales exac-tos y fracciones.

2. Interpretación y representación delas fracciones utilizando figuraspara expresar el significado del nu-merador y del denominador.

3. Distinción entre fracciones propiase impropias.

4. Uso de las propiedades de las frac-ciones equivalentes para simplificary ampliar una fracción dada.

5. Comparación de fracciones por lareducción a común denominador.

6. Ordenación de las fracciones en larecta numérica.

7. Aplicación de los algoritmos para laadición, sustracción, multiplicación,división, potenciación y radicación defracciones.

8. Simplificación de operaciones conpotencias de fracciones, utilizandolas propiedades de dichas potencias.

9. Utilización de la jerarquía de lasoperaciones para realizar aquellasque contengan paréntesis.

10. Identificación de problemas en losque intervengan fracciones, y apli-cación de diversas estrategias, tan-to para diferenciar los datos de lasincógnitas como para su posteriorresolución.

11. Reconocimiento en la vida cotidianade la presencia y empleo de lasfracciones en medidas, cuentas oexpresión de magnitudes.

Actitudinales

1. Valoración positiva del nuevo con-junto de las fracciones y de las ne-cesidades que resuelve.

2. Utilización de las fracciones en lavida cotidiana y su incorporación anuestro lenguaje numérico.

3. Perseverancia e interés por alcanzarexpresiones más simplificadas y porel uso de fracciones equivalentes.

4. Reconocimiento y valoración delempleo de la estrategia adecuadaen la resolución de problemas.

5. Valoración del uso de las fraccionespara la realización de cálculos y suaplicación a la vida cotidiana.

6. Confianza en las propias capacida-des para realizar operaciones confracciones y resolver problemas.

7. Sensibilidad y cuidado en la presen-tación ordenada y concisa, tanto enlos pasos seguidos en la resoluciónde problemas como en la elabora-ción de trabajos.

Números fraccionarios

2



• Adquisición de la terminología específica referente a los números fraccionarios.


• Uso funcional del lenguaje matemático tanto escrito como oral para interpretar y comprenderla realidad.

Competencia matemática:

• Utilización de los números fraccionarios para medir y comparar.

• Uso de los contenidos relativos a números fraccionarios para resolver problemas presentes enla vida real.

• Interpretación y expresión de aquellos datos y gráficos en los que intervengan númerosfraccionarios.

• Interés y seguridad para resolver problemas en los que aparezcan números fraccionarios.


• Mejor conocimiento de los fenómenos naturales a través de conceptos matemáticos quepermitan desenvolverse con soltura y confianza en la vida.

• Adquisición de unos hábitos de consumo saludables y ecológicos a través del análisismatemático de los medios de información.


• Recolección, selección, procesamiento y presentación de información con números fraccionarios.

• Empleo de esquemas y mapas conceptuales para organizar los contenidos de esta unidad.


• Conocimiento del avance científico que permite comprender la evolución de la sociedad y analizar la actual.

• Aceptar y poner en práctica las normas de convivencia en los trabajos en grupo.

Competencia cultural y artística:

• Gusto e interés por las diferentes expresiones artísticas en general y en especial las que tengan contenidos matemáticos.


• Motivación para desarrollar y perfeccionar las propias capacidades matemáticas.

• Desarrollo del interés por conocer diferentes vías de resolución de un mismo problema y por laprecisión y claridad en su exposición.


• Planificación de experiencias, toma de decisiones y comparación de los objetivos buscados ylos resultados obtenidos utilizando métodos matemáticos.

• Aceptación de diferentes ideas a las propias para enriquecer nuestro aprendizaje.

12

NÚMEROS FRACCIONARIOS02

13

MATEMÁTICAS

Los alumnos ya tienen unos conocimientos previosde las fracciones, pero en esta unidad se reforzaráel concepto de fracciones equivalentes y se consoli-darán las pautas para operar con las fracciones, engeneral.

Durante el desarrollo de la unidad es convenientehacer uso de representaciones gráficas para mejo-rar el entendimiento de los diferentes conceptos porparte de los alumos.

Como materiales auxiliares se pueden utilizar jue-gos de dominó con fracciones para afianzar los cál-culos con estas; y juegos de piezas, como el Tan-gram, con los que se puedan realizar diferentesactividades para comprender los conceptos de frac-ción y de fracción equivalente.

Generalmente, el concepto de fracción lo asimilanfácilmente los alumnos, tan solo realizando un rápi-do repaso.

Para favorecer su comprensión, suele ser de bas-tante ayuda plasmar el concepto de fracción a travésde dibujos.

El concepto de fracción equivalente puede que seanuevo para algunos alumnos o que, sencillamente,no lo recuerden; además, conviene insistir bastanteen él por la gran importancia que supone para eldesarrollo de toda la unidad, así como de cursos su-cesivos.

1 Fracciones. Fracciones equivalentes

Este epígrafe permitirá al alumnado consolidar elconcepto de fracción equivalente, y dará pie a intro-ducir el importantísimo concepto de fracción irre-

ducible, que tanto reparo tienen los alumnos enaplicar; por lo tanto, debemos, desde el primer mo-mento, hacerles ver su importancia y eficacia.

2 Simplificación y ampliación de fracciones

Se introduce el concepto de reducir fracciones acomún denominador para poder, en el siguienteepígrafe, resolver las operaciones de adición y sus-tracción de fracciones.

Es muy importante, y en este punto todavía muchosalumnos sufren graves lagunas, dominar el cálculodel mínimo común múltiplo.

3 Comparación y ordenación


02

14

02 NÚMEROS FRACCIONARIOS

Una de las prioridades de este epígrafe consiste enconseguir que los alumnos sepan sumar y restarfracciones con destreza y rapidez.

Para ello, es necesario hacerles ver la necesidadde reducir a común denominador aplicando el con-cepto del m.c.m. y evitar que efectúen las sumas yrestas con otro múltiplo común.

Mediante un ejemplo, debido a la simplificación enlos cálculos, pueden apreciar la diferencia entreaplicar un criterio u otro.

Para su mejor comprensión, también resulta prácti-co la representación gráfica de la adición y sustrac-ción de fracciones con el mínimo común múltiplo delos denominadores.

4 Adición y sustracción de fracciones

Debido a que la multiplicación de fracciones no esintuitiva, resulta muy práctico comparar el resulta-do gráfico con el del cálculo numérico.

Conviene insistir en que para la multiplicación defracciones no se necesita reducir a común denomi-nador.

5 Multiplicación de fracciones

Igual que la multiplicación, la división de fraccionestampoco es intuitiva, por lo que resulta también muypráctico comparar el resultado gráfico con el delcálculo numérico.

Asimismo, conviene insistir en que para dividirfracciones no se necesita reducir a común denomi-nador.

6 División de fracciones

Para que los alumnos efectúen correctamente la po-tencia de una fracción es necesario indicarles que,según la definición de potencia, tienen que repetir labase tantas veces como indique el exponente. Cuan-do tengan bien asimilado este concepto, podrán rea-lizar el cálculo sin esta repetición.

De igual manera se trabajará con raíces, teniendoen cuenta que la raíz de una fracción se calcula ha-llando la raíz del numerador y la raíz del denomina-dor. Insistir en la importancia de utilizar la regla designos vista en números enteros.

7 Potencias y raíces de fracciones

Cuando se realizan operaciones combinadas con fracciones, cobra gran importancia indicara los alumnos que la prioridad de las operaciones es la misma que la que se aplica con otrosnúmeros.

8 Operaciones combinadas

15

02MATEMÁTICAS

NUEVAS TECNOLOGÍAS

LAS FRACCIONES CON LA CALCULADORA

OPERACIONES CON FRACCIONES

La calculadora permite también realizar operacio-nes con fracciones; únicamente es necesario usar latecla y tener en cuenta que, para expresar en laab/c

pantalla una fracción, utiliza el símbolo , el cualequivale al trazo horizontal que normal-mente separa el numerador y el denominador.Por ejemplo, para escribir la fracción debemospulsar las teclas:

2 5 En la pantalla aparece: 2 _|5=ab/c

25

_|

Para operar con fracciones en la calculadora, sim-plemente se debe utilizar la notación anterior.

Ejemplos:

+ = ⇒ 1 3 1 2 ⇒ 5_|6=ab/c+ab/c56

12

13

– = ⇒ 3 4 2 3 ⇒ 1 _|12=ab/c–ab/c112

23

34

· = = ⇒ 1 6 2 5 ⇒

1 _|15

=ab/c·ab/c115

230

25

16

: = ⇒1 3 1 2 ⇒

El resultado siempre viene expresado como unafracción irreducible.

2 _|3=ab/c�ab/c23

12

13

NÚMEROS DECIMALES

Para convertir una fracción en su número decimalcorrespondiente, por ejemplo, debemos teclear:

1 2 ⇒ y volver a pulsar ⇒ 0.5ab/c1 _|2=ab/c

12

NÚMEROS MIXTOS

La calculadora expresa las fracciones impropiasmediante un número mixto, el cual está formado poruna parte entera y otra fraccionaria.

Por ejemplo, la fracción no aparecerá en la pantalla32

de la calculadora como , sino como el núme-

ro mixto .

Por tanto, cuando realicemos alguna operación cuyoresultado sea una fracción impropia, el resultado fi-nal que aparecerá en la pantalla será su númeromixto correspondiente.

+ = =1

2 5 3 2 ⇒

En las calculadoras las funciones que tiene cada te-cla son dos: la función normal y la función .

Si queremos transformar el número mixto en lafracción impropia de la que procede, debemos em-plear la función inversa .

Así, la función inversa de la tecla es la funciónd/c, que aparece escrita, en otro color, encima de latecla . Para poder usarla debemos teclear:

En la suma anterior el resultado ha sido, si quisiéramos mostrarlo como frac-

ción, pulsaríamos las siguientes teclas:

⇒

Y, para volver a representarlo como número mixto,utilizaríamos la misma secuencia de teclas:

⇒ 1 _| 9 _|10ab/cSHIFT

19_|10ab/cSHIFT

1 _| 9 _|10

ab/cSHIFT

ab/c

ab/c

SHIFT

SHIFT

1 _| 9 _|10=ab/c+ab/c

910

1910

32

25

1 _|1 _|2

3_|2

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02 NÚMEROS FRACCIONARIOS

http://www.cnice.mecd.es/Descartes/4b_eso/Representacion_en_la_recta/Numeros2.htm

Dirección en la que se practica la representación de fracciones en la recta numérica.

http://www.conevyt.org.mx/biblioteca/secab_mat1/secab_mat1/u1_leccion11.pdf

Página en la que se recoge una buena información sobre fracciones equivalentes.


Dirección para practicar las sumas y las restas de fracciones.

http://www.nalejandria.com/archivos-curriculares/matematicas/nota-019.htm

En esta página se plantean problemas sobre fracciones.

http://education.ti.com/downloads/guidebooks/es/7303esp.pdf

http://education.ti.com/downloads/guidebooks/es/15tg_08-esp.pdf

Se trata de unas páginas para realizar operaciones con fracciones usando lacalculadora.

POTENCIAS Y RAÍCES DE FRACCIONES

Para poder calcular potencias cuadradas y raíces cuadradas en la calculadora es muy impor-tante el uso de los paréntesis al ingresar la fracción.

Por ejemplo, para calcular � �2

debemos escribir:

y luego pulsar las teclas

En la pantalla aparecerá:

Por ejemplo, para calcular �� debemos escribir:

�� y pulsar la tecla

En la pantalla aparecerá: 4.5

Presionando las teclas aparecerá el resultado en fracción:

En la actualidad hay muchos modelos de calculadoras científicas y no todas son iguales. Varí-an en las teclas y en la forma de ingresar datos y operar con ellos. Por eso es conveniente pe-dirles a los alumnos que traigan el manual de uso.

x227

449

=

SHIFT ab/c 92

814

814

=

27


17


1. Usar los expresiones decimales para cuantificar y repre-sentar la realidad.

2. Comparar expresiones decimales.3. Comprobar la relación entre expresión decimal y fracción;

saber pasar de una forma a otra. 4. Operar con expresiones decimales. 5. Utilizar estrategias personales de cálculo mental.6. Emplear las expresiones decimales en la resolución de

problemas de la vida cotidiana, realizando redondeos y es-timaciones cuando proceda.

1. Identificar el significado de expresión decimal.2. Ordenar y representar expresiones decimales.3. Ordenar y representar expresiones decimales.4. Pasar correctamente de fracción a decimal y viceversa.5. Operar correctamente con expresiones decimales.6. Resolver problemas utilizando las operaciones con expre-

siones decimales y realizando redondeos o estimacionescuando proceda.

CONTENIDOS

Conceptuales

1. Escritura y lectura de expresionesdecimales.

2. Ordenación y representación.3. Conversión de decimal a fracción.4. Operaciones con expresiones deci-

males.5. Redondeo y estimación.

Procedimentales

1. Descomposición polinómica de unaexpresión decimal.

2. Ordenación y representación de ex-presiones decimales.

3. Obtención de la fracción asociada auna expresión decimal.

4. Operaciones con expresiones de-cimales, utilizando distintos pro-cedimientos de cálculo (mental,algoritmos, uso de la calculadora).

5. Empleo de las técnicas de redondeode expresiones decimales.

6. Resolución de problemas de la vidacotidiana donde aparecen expresio-nes decimales.

Actitudinales

1. Aprecio por la precisión en el cálculo.2. Estimación de la utilidad de las ex-

presiones decimales para la repre-sentación de situaciones reales y enla resolución de problemas.

3. Valoración crítica del uso de lacalculadora para operaciones conexpresiones decimales e investi-gaciones numéricas.

4. Sensibilidad y gusto en la presen-tación ordenada y clara, tanto delproceso seguido en la resoluciónde problemas y cálculos numéricoscomo de los resultados obtenidos.

5. Curiosidad e interés por enfrentarsea problemas numéricos.

6. Confianza en las propias capacida-des para operar con expresionesdecimales, resolver problemas y re-alizar estimaciones numéricas.

Expresiones decimales

3



• Adquisición de la terminología específica referente a las expresiones decimales.


• Uso funcional del lenguaje matemático tanto escrito como oral para interpretar y comprender la realidad.


• Utilización de las expresiones decimales para medir y comparar.

• Uso de los contenidos relativos a expresiones decimales para resolver problemas presentes en la vida real.

• Interpretación y expresión de aquellos datos y gráficos en los que intervengan expresionesdecimales.

• Interés y seguridad para resolver problemas en los que aparezcan expresiones decimales.


• Mejor conocimiento de los fenómenos naturales a través de conceptos matemáticos que permitan desenvolverse con soltura y confianza en la vida.

• Adquisición de hábitos de consumo saludables y ecológicos a través del análisis matemáticode los medios de información.


• Recolección, selección, procesamiento y presentación de información con expresionesdecimales.




• Aceptación y puesta en práctica de las normas de convivencia en los trabajos en grupo.


• Gusto e interés por las diferentes expresiones artísticas en general y en especial las que tengan contenidos matemáticos.



• Desarrollo del interés por conocer diferentes vías de resolución de un mismo problema y por la precisión y claridad en su exposición.



• Aceptación de diferentes ideas a las propias para enriquecer nuestro aprendizaje.18

EXPRESIONES DECIMALES03

19

MATEMÁTICAS

Las actividades planteadas en este epígrafe preten-den que el alumno sea capaz de identificar el valorde las cifras de una expresión decimal según la po-sición de estas.

Es necesario que el alumno conozca bien el valorposicional de las cifras para no cometer errores enla ordenación y representación de expresiones de-cimales.

Realizar actividades en grupo puede resultarles in-teresante, como: medidas y trabajos con calculado-ra (números entre dos números).

1 Expresiones decimales. Ordenación y representación

Es conveniente recordar primero cómo se pasa defracción a decimal, observando que hay divisionesque no son exactas y pueden aparecer expresionesdecimales periódicas.

Los alumnos se pueden poner sus propias divisio-nes y, después, observarán en la puesta en comúnque los resultados son los diferentes tipos de núme-ros que van a poder expresar en forma de fracción.

No se demuestra en este nivel la conversión dedecimal periódico en fracción, pero lo que sí esconveniente es que comprueben sus resultadosrealizando la división. Además deben pasar dedecimal a fracción, teniendo en cuenta la impor-tancia de simplificar hasta la fracción irreducible.Esto traerá sus ventajas en los cálculos combina-dos.

2 Conversión de decimal a fracción

Los alumnos tienen que poner mucho cuidado en lacolocación de las cifras, sobre todo en la suma y, es-pecialmente, en la resta de un número menor me-nos otro mayor. Asimismo, deben prestar atención ala prioridad de operaciones y signos.

Han de tener en cuenta que la división de númerosdecimales se puede transformar en una división de

números enteros, multiplicando el dividendo y el di-visor por la unidad seguida de ceros.

En la potenciación y en la radicación pueden elegiroperar con fracciones o con expresiones decimales,teniendo en cuenta las reglas de signos correspon-dientes.

3 Operaciones con expresiones decimales

Las actividades que se proponen en este epígrafe están encaminadas aque los estudiantes entiendan los conceptos de redondeo y estimación.

4 Redondeo y estimación


03

20

03 EXPRESIONES DECIMALES

LOS NÚMEROS DECIMALES EN LA CALCULADORA

Introducción de números decimales

• Ya se sabe que para introducir la coma de un número decimal se tiene que pulsar la tecla .

• Si la parte entera del número decimal que se quiere introducir es cero, no es necesario teclearlo, se pue-de empezar directamente por la coma.

0,325 Æ

• Si el número decimal que se quiere introducir es negativo, teclear el número y después pulsar la tecla .

– 25 ⇒

Operaciones con decimales y paréntesis utilizando las teclas de memoria

Vamos a realizar la siguiente operación: 62,34 – (8,45 – 4,06)

• Para ello, tecleamos 62 34 y el número queda guardado en la memoria.

• A continuación, introducimos la expresión del interior del paréntesis,

8 45 4 06 y obtenemos el resultado, 4.39.

• Por último, pulsamos la tecla y en la pantalla aparece el resultado final del ejercicio, .

La siguiente operación es un poco más complicada que la anterior: 3,45 · 2,47 – 3,2 · (– 2,3 + 5,3)

• Introducimos primero la multiplicación, 3 45 2 47 seguida de la tecla para guardar el re-sultado obtenido, 8.5215, en la memoria.

• A continuación, insertamos la expresión que está dentro del paréntesis,

2 3 5 3, pulsamos la tecla y después 3 2 seguido de la tecla para restar esteresultado del que teníamos guardado en la memoria. En la pantalla aparece , que es el resultado de

3,2 · (– 2,3 + 5,3).

• Por último, con la tecla , comprobamos el resultado final del ejercicio, .

Si tienen una calculadora científica no es necesario que se usen las teclas de memoria, observarán que tie-ne unas adicionales que permiten abrir y cerrar paréntesis, con las que se pueden realizar este tipo de ope-raciones combinadas con mayor sencillez.

Escribir la operación de la siguiente manera:

3 45 2 47 3 2 3 5 3 y en pantalla aparecerá di-rectamente el resultado, .

Cálculo de raíces cuadradas

Para calcular, por ejemplo, la raíz cuadrada del número 0,01, se inserta en primer lugar dicho número, des-pués se pulsan las teclas y y se obtiene el resultado en la pantalla,

En algunas calculadoras se pulsa primero la tecla de la raíz cuadrada y luego se introduce el número. De-bes leer atentamente el manual de uso de la calculadora o preguntar a tu docente.

0.1=

–1.0785=–––)]•±•2[(–––3•–•3•

– 1.0785MR

9.6M–•3=•++/–•

M+•3•

57.95MR

M–•–•

M+•

+/–52

+/–

523•

•

NUEVAS TECNOLOGÍAS

21

03MATEMÁTICAS

http://www.escolar.com/matem/11opdec1.htm

Página para realizar operaciones con decimales.

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Decimales.htm

Dirección de resolución de ejercicios con decimales desarrollados paso a paso.

http://www20.brinkster.com/fmartinez/aritmetica5.htm

En esta página se desarrolla el tema de decimales con mayor profundidad, con diferentes ejercicios.

http://www.mineduc.cl/media/lpt/zonas/doc/1/D200212231246501872.pdf

Página con muchos ejercicios para practicar con las expresiones decimales.


22


1. Expresar en lenguaje algebraico enunciados verbales y,recíprocamente, leer expresiones algebraicas.

2. Utilizar la jerarquía y las propiedades de las operacionespara simplificar expresiones algebraicas sencillas.

3. Emplear estrategias para resolver ecuaciones de primergrado.

4. Resolver problemas, utilizando el lenguaje algebraico,para expresar relaciones entre los datos y la incógnita.

5. Comprobar si las soluciones de las ecuaciones plantea-das en la resolución de problemas tienen sentido en elcontexto.

1. Utilizar el lenguaje algebraico para expresar situacionesde la vida cotidiana.

2. Simplificar una expresión algebraica haciendo uso de lajerarquía y de las propiedades de las operaciones.

3. Identificar problemas de la vida cotidiana que puedan re-solverse con el planteamiento de ecuaciones.

4. Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita.5. Solventar problemas de la vida cotidiana mediante el

planteo y la resolución de ecuaciones de primer grado, va-lorando la adecuación al contexto.

CONTENIDOS

Conceptuales

1. Lenguaje algebraico.2. Expresiones algebraicas.3. Igualdades, identidades y ecuacio-

nes.4. Soluciones de una ecuación.5. Resolución de ecuaciones de pri-

mer grado. 6. Resolución algebraica de proble-

mas.

Procedimentales

1. Expresión, en lenguaje algebraico,de diversas situaciones de la vidacotidiana.

2. Lectura de expresiones algebraicas.3. Cálculo del valor numérico de una

expresión algebraica. 4. Interpretación y utilización del signo

= en distintas expresiones numéri-cas y algebraicas.

5. Solución de ecuaciones sencillas,mentalmente o por tanteo.

6. Resolución de ecuaciones de pri-mer grado con una incógnita.

7. Uso del lenguaje algebraico paraplantear y resolver problemas sen-cillos.

Actitudinales

1. Valoración de la utilidad del lengua-je algebraico para describir situa-ciones de la vida cotidiana.

2. Valoración de la utilidad del lengua-je algebraico para plantear y resol-ver problemas.

3. Confianza en las propias capacida-des para afrontar problemas y re-solverlos.

4. Sensibilidad y gusto en la presenta-ción ordenada y clara, tanto del pro-ceso seguido en la resolución deproblemas como de los resultadosobtenidos.

5. Perseverancia y flexibilidad en labúsqueda de soluciones a los pro-blemas.

Lenguaje algebraico

4

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MATEMÁTICAS



• Adquisición de la terminología específica referente a expresiones algebraicas.


• El uso funcional del lenguaje algebraico tanto escrito como oral para interpretar y comprenderla realidad.


• Uso de las expresiones algebraicas para resolver problemas presentes en la vida real.

• Interpretación y expresión de aquellos datos y gráficos en los que intervenga el lenguajealgebraico.

• Interés y seguridad para resolver problemas utilizando el lenguaje algebraico.



• Obtención, análisis y representación de información relativa a problemas medioambientalesen los que aparezcan expresiones algebraicas.

• Cuidado del medio ambiente y de la propia salud mediante el análisis y la resoluciónalgebraica de problemas relacionados con el mundo físico.


• Recolección, selección, procesamiento y presentación de información con expresionesalgebraicas.



• Expresión de nuestras ideas en cualquier contexto utilizando conceptos matemáticos y, en concreto, el lenguaje algebraico.

• Aceptación y puesta en práctica de las normas de convivencia en los trabajos en grupo.


• Gusto e interés por las diferentes expresiones artísticas en general y en especial las quetengan contenidos matemáticos.

• Uso del lenguaje algebraico para analizar y valorar críticamente diferentes aspectos del mundo de la cultura.



• Desarrollo del interés por conocer diferentes vías de resolución de un mismo problema y por la precisión y claridad en su exposición.


• Planificación de experiencias, toma de decisiones y comparación de los objetivos buscados y los resultados obtenidos utilizando métodos matemáticos.

• Aceptación de diferentes ideas a las propias para enriquecer nuestro aprendizaje.

04

24

04 LENGUAJE ALGEBRAICO

Esta unidad introduce al alumno por primera vez en una nueva forma de ver las Matemáticas.El uso de las letras para designar a las incógnitas desde la página motivadora se presentacomo mágico.

Con estas actividades se pretende que el alumnovea lo preciso, claro y breve que resulta el lenguajealgebraico, y que, sin aprender este lenguaje, ellosson capaces de utilizarlo en situaciones sencillas.

El uso adecuado de las expresiones algebraicas re-sultará de gran utilidad para el trabajo con fórmulasmatemáticas y con funciones.

Los alumnos comenzarán su estudio identificandola composición de una expresión algebraica y decada uno de sus términos, así como con el conceptode valor numérico de una expresión algebraica.

1 Lenguaje y expresión algebraica

Explicar al alumnado que hay distintos significadosdel símbolo =. Se utiliza cuando hacemos operacio-nes y, también, para separar dos miembros quepueden ser equivalentes o no.

Deben saber que el símbolo = en una ecuación obli-ga a la letra a tomar un determinado valor. En unaidentidad no, pues la letra puede tomar cualquiervalor.

También, se les ha de indicar que hay igualdadesque no son ciertas nunca; son las igualdades falsasentre expresiones numéricas y las ecuaciones in-compatibles con letras.

2 Igualdades, identidades y ecuaciones

Conviene que el alumno se dé cuenta desde el prin-cipio de que las ecuaciones pueden tener solucionesnegativas o fraccionarias, e incluso, pueden tenerinfinitas soluciones o no.

Las actividades están planteadas en este epígrafecon dicho propósito y, por supuesto, para que losalumnos fijen los nuevos conceptos adquiridos.

3 Soluciones de una ecuación


25

04MATEMÁTICAS

Hay que hacer hincapié en que las operacionesque se realicen en un miembro deben efectuarsetambién en el otro para mantener la ecuación (ba-lanza) equilibrada. Es conveniente que los alum-nos lean las ecuaciones y, mediante el cálculomental, encuentren las soluciones; de esta forma

se darán cuenta de que el proceso que han segui-do mentalmente es similar al de la resolución deecuaciones.

En estas ocasiones, el trabajo en grupo suele darbuenos resultados.

4 Resolución de ecuaciones de primer grado

La labor en equipo y la puesta en común permitentrabajar de una manera más eficaz en la compren-sión de enunciados, propician el respeto por los di-ferentes planteamientos de un problema, y facilitan

la comprobación de soluciones. Si los grupos de tra-bajo formados son heterogéneos (sexo, raza, cono-cimientos...) fomentaremos la educación en la tole-rancia y otros valores.

5 Resolución algebraica de problemas

NUEVAS TECNOLOGÍAS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS CON DERIVE

El programa Derive permite realizar con gran rapidez operaciones algebraicas, reducir términos semejan-tes, multiplicar y dividir, extraer factor común, calcular valores numéricos, utilizar fracciones y paréntesis,resolver ecuaciones, etcétera.

En la barra de entrada de expresiones, situada debajo de la pantalla principal, escribir la expresión que que-remos introducir, pero teniendo en cuenta lo siguiente:

– Los exponentes de las potencias se escriben usando el circunflejo ^.

– Para indicar la división se emplea la raya de fracción inclinada /.

Por ejemplo, si queremos trabajar con la expresión: 2x2 +

En la barra de entrada escribimos: 2x^2+6(x+8)/2

6 · (x + 8)2

y, pulsando la tecla Enter de la computadora o con elmouse en el botón izquierdo de la barra, , apare-cerá la expresión en la pantalla principal.

26

04 LENGUAJE ALGEBRAICO

Pulsando en , obtendremos la expresiónnumérica y, a continuación, utilizando la tecla desimplificar, , situada en la barra de herramientas,tendremos el resultado de la expresión, es decir, suvalor numérico, que en este caso es 38.

Se puede obtener directamente el valor numérico si elegimos en el cuadro de diálogo la opción de .

También es posible introducir expresiones con más variables, en el cuadro de diálogo aparecerán todas ellasy, únicamente, habrá que emplear las flechas de movimiento del teclado, que nos permitirán seleccionar-las de una en una para asignarles su valor correspondiente.

Una vez obtenida la expresión en la pantalla, selec-cionar en la barra de herramientas simplificar Æsustituir variable, de modo que se nos muestre uncuadro de diálogo en el que podremos señalar el va-lor que queremos para la letra (en este caso 2).

VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

OPERACIONES RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

Para reducir términos semejantes, multiplicar y di-vidir monomios, se debe escribir las expresiones al-gebraicas y sus operaciones en la barra de entraday, a continuación, pulsar el botón de Introducir ySimplificar, de modo que en la pantalla principal senos mostrarán las operaciones y los resultados.

Desde la barra de herramientas, la siguiente selec-ción:

Simplificar Æ Expandir Æ Expandir

nos permite realizar operaciones más complicadas,como productos de binomios o de polinomios.

Y la siguiente selección:

Simplificar Æ Factorizar Æ Factorizar

nos permite sacar factor común.

Introducir la ecuación en la barra de entrada, pulsarEnter para que aparezca en la pantalla principal se-leccionada y después hacer un clic en el botón deResolver o Despejar, , de la barra de herramien-tas. A continuación elegir Resolver en su cuadro dediálogo y, en la pantalla principal, aparecerá la solu-ción.

27

04MATEMÁTICAS

http://www.automind.cl/ECUA.HTM

Página en la que, a través de un juego con balanzas, se resuelven ecuaciones de primer y segundo grado.

http://www.terra.es/personal/jftjft/Algebra/Ecuaciones/Problemas/Ppecuac1.htm

http://www.terra.es/personal/jftjft/Algebra/Ecuaciones/Problemas/Precuac1.htm

La primera de estas páginas plantea una serie de actividades relacionadas con lasecuaciones de primer grado, y la segunda está dedicada a la resolución de ecuaciones.


En esta página se analizan las ecuaciones con números naturales.


Página dedicada a las ecuaciones con números decimales.

http://www.terra.es/personal/jftjft/Algebra/Ecuaciones/Problemas/Prinecu.htm

Esta página está dedicada a la resolución de inecuaciones

http://www.ma.usb.ve/cursos/basicas/ma1111/guias/Cap2.pdf

Página de inecuaciones con ejercicios.


28


1. Reconocer, diferenciar y representar el segmento, la se-mirrecta y la recta.

2. Dibujar con escuadra, regla y compás rectas perpendi-culares, paralelas, bisectriz de un ángulo, mediatrices yángulos.

3. Diferenciar y clasificar ángulos: rectos, agudos, obtusos,llanos, complementarios y suplementarios.

4. Medir ángulos con el transportador.5. Operar con ángulos utilizando medidas sexagesimales.

1. Identificar las distintas posiciones de dos rectas en elplano.

2. Distinguir y construir distintos tipos de ángulos.3. Relacionar distintos tipos de ángulos (consecutivos, adya-

centes, conjugados, alternos).4. Sumar y restar ángulos en grados sexagesimales.5. Multiplicar y dividir ángulos por un número natural.6. Calcular ángulos complementarios y suplementarios a

partir de uno dado.7. Transformar de forma compleja a incompleja, y viceversa,

distintos ángulos.8. Expresar ángulos dados de forma decimal en forma sexa-

gesimal, y viceversa.9. Trazar la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un

ángulo.10. Resolver problemas aplicando las distintas construccio-

nes geométricas (mediatriz, bisectriz, punto simétrico).

CONTENIDOS

Conceptuales

1. Punto, segmento, semirrecta yrecta en el plano.

2. Ángulos.3. Medida de ángulos.4. Conversión de medidas angulares.5. Operaciones con medidas angulares.6. Construcciones geométricas.

Procedimentales

1. Utilización de los instrumentos dedibujo.

2. Identificación de puntos, rectas, se-mirrectas, segmentos y ángulos enel plano.

3. Reconocimiento de la posición rela-tiva de las rectas.

4. Identificación y trazado de ánguloscomplementarios, suplementarios,llanos, obtusos, agudos, etcétera.

5. Conversión de ángulos de formacompleja a incompleja.

6. Transformación de ángulos dadosen forma decimal a forma sexagesi-mal.

7. Realización de operaciones con me-didas angulares.

8. Representación y aplicación de lamediatriz para resolver situacionesde nuestro entorno.

9. Trazado y utilización de la bisectrizen problemas geométricos.

10. Obtención del punto simétrico a otrodado y su aplicación a la resoluciónde problemas.

Actitudinales

1. Reconocimiento y valoración de lautilidad de la geometría para cono-cer y cambiar diferentes situacionesrelativas al entorno físico.

2. Perseverancia en la búsqueda desoluciones a los problemas geomé-tricos, y en la mejora de las ya en-contradas.

3. Sensibilidad y gusto por la presen-tación ordenada y prolija en lostrabajos.

Rectas y ángulos

5

29

MATEMÁTICAS



• Adquisición de la terminología específica referente a los elementos básicos de la geometría.

• Comprensión y razonamiento de todas las actividades propuestas.


• Desarrollo de una visión espacial y de la capacidad para transferir formas y representacionesentre el plano y el espacio.


• Empleo de Internet para la búsqueda de la vida e historia de personajes matemáticos quecontribuyeron al desarrollo de la geometría.

• Empleo de programas informáticos, como el Cabri, para el estudio y la construcción deelementos geométricos.


• Planteo de actividades en equipo que fomenten los valores de solidaridad, tolerancia y respetohacia los demás.


• Precisión y exactitud en la construcción de rectas, semirrectas, mediatrices, bisectrices, etc.

• Autonomía, perseverancia, reflexión crítica y habilidad para comunicar con eficacia losresultados de los distintos problemas de geometría.


• Planificación de estrategias para la resolución de problemas de geometría, elaborando losdibujos y situando los datos del problema sobre el dibujo.

05

30

05 RECTAS Y ÁNGULOS

Los alumnos se iniciarán en el conocimiento, ma-nejo y utilidad de los elementos básicos de la geo-metría. Este es un tema muy fácil de relacionarcon otras ciencias, como la física, las ciencias dela naturaleza, el arte, etc., y para hacer ver alalumno las múltiples aplicaciones de las matemá-ticas al mundo real.

Es el momento adecuado para que el alumno ad-quiera, con cierto rigor, el lenguaje básico de la ge-ometría (recta, punto, segmento…) para ir forman-do buenos cimientos en la construcción de unanueva casa, la geometría, que aseguren su solidezy longevidad.

A la vez, es importante construir con perfección loscompartimentos de dicha casa para su relación ymanejo en cursos posteriores.

Con la sección ¨Una vista atrás¨ se recuerda alalumno el correcto manejo de los útiles de geome-tría para, posteriormente, trazar los elementos bá-sicos como la recta y sus posiciones relativas, losdistintos tipos de ángulos y las diferentes construc-ciones geométricas como la mediatriz, bisectriz,punto simétrico a una recta, etcétera.

Esta sección intenta enseñar a los alumnos el con-cepto de ángulo, el cual intuitivamente conocen,aunque les cuesta construir el concepto formal;para subsanarlo y para que se familiaricen con éltrataremos ejemplos muy cercanos al alumno.

Se recomienda hacer una puesta en común, antesde llegar al concepto en sí, de ángulos que tienen asu alrededor, en su propia clase, e intentar que seael alumno el que construya su propio concepto.

2 Ángulos

La serie se inicia con el lenguaje básico de la geo-metría; sería conveniente que los alumnos puedanbuscar puntos, segmentos, semirrectas y rectas enel aula para llegar a un concepto más preciso de es-tos elementos básicos de la geometría.

En el texto se intentan introducir estos elementoscon el cielo sideral, algo que puede ser atractivopara alumnos de estas edades, además de ser unareferencia para recordar, si no en el lenguaje co-

rrecto, al menos la idea o intuición de cada uno deellos. Para que el alumno tome soltura en la utili-zación del lenguaje preciso geométrico se repeti-rán muchas actividades en las que deben realizarla construcción de estos elementos, pero a la horade corregirlos sería conveniente hacerlo en voz altapara que el alumno se suelte y utilice, poco a poco,con precisión y rigor los conceptos básicos de lageometría.

1 Punto, segmento, semirrecta y recta en el plano

En esta sección los alumnos trabajarán con distintos tipos de ángulos según su amplitud y larelación entre ellos. Sería conveniente que ciertas propiedades de ángulos pudieran verificar-las con material concreto (papel de calcar y papel glacé).

3 Relación entre ángulos


31

05MATEMÁTICAS

Conviene que los alumnos recuerden las expresio-nes complejas e incomplejas de la medida deltiempo, ya que los ángulos, igual que el tiempo, semiden en el sistema sexagesimal.

Se hará hincapié en que al convertir unas unidadesen otras habrá que multiplicar o dividir entre 60, enlugar de 10 como sucede en el Sistema Métrico De-cimal.

También se indicará al alumno que, al medir losángulos con el transportador, solo podremos darlas unidades en grados, ya que el minuto y el se-gundo son unidades demasiado pequeñas; estoprovocará la pregunta: «¿Por qué hay ejercicios enlos que aparecen minutos y segundos?» Cuandosurja esta cuestión será el momento de contar alalumno que estas mediciones más precisas de án-gulos son muy necesarias y útiles para los topógra-fos, arquitectos, etcétera.

Hay que trabajar la conversión de estas medidaspara que el alumno tenga soltura y destreza. Paraello, se harán varios ejercicios donde convertiránde forma compleja a incompleja, y viceversa.

También se trabajará el uso de la calculadora cien-tífica y la aplicarán en los ejercicios para comprobarresultados y operar con medidas angulares.

4 Medida de ángulos

En esta sección los alumnos utilizarán los instru-mentos de geometría para el trazado de rectas pa-ralelas, perpendiculares, mediatrices, bisectrices,etcétera.

También se aplican estas construcciones para resol-ver problemas y situaciones que se plantean muy amenudo en la vida cotidiana.

Hay que insistir en la importancia y aplicación de es-tas construcciones geométricas en la pintura. Sepueden presentar algunos cuadros (La Gioconda, de

Leonardo da Vinci, o Las hilanderas, de Diego de Ve-lázquez, etc.) y estudiar cómo algunos grandes pin-tores utilizaron las construcciones geométricaspara el desarrollo del cuadro.

5 Construcciones geométricas

32

05 RECTAS Y ÁNGULOS

Dibujar una recta r que pase por un punto O

• Al hacer clic en el botón , se despliega un menú dondehay que seleccionar la función Punto, y haciendo clic en lahoja de trabajo, nos aparecerá un punto.

• Para nombrar este punto, hacer clic en el botón , quedespliega un menú donde hay que seleccionar Texto.A continuación, situar el puntero sobre el punto dibujadoy, cuando aparezca Este punto, pulsar el botón izquierdodel mouse y se abrirá un cuadro de texto; con el tecladoescribir O.

• Para dibujar la recta hacer clic en el botón y seleccio-nar Recta.

• Después acercar el puntero al punto O y cuando aparezca Por

este punto arrastrar el mouse en la dirección que se deseeque la recta se prolongue. Al hacer clic, aparecerá inmedia-tamente dibujada la recta sobre el punto O. Se llamará rectar, de la misma forma que hicimos con el punto O.

Dibujar una recta paralela a otra r por un punto P

• Marcar en primer lugar un punto P que sea exterior a larecta r. Seleccionar el botón , y escoger a continuaciónla función Paralelas.

• A continuación, situar el cursor sobre la recta r y se mos-trará el texto Paralela a esta recta, hacer clic sobre ella y,seguidamente, acercar el cursor al punto P marcado ini-cialmente, cuando aparezca Por este punto, hacer clic ypor último se obtendrá la recta paralela deseada.

Trazar un segmento �AB sobre la recta r

• Con la recta dibujada, pulsar en el botón y seleccionarSegmento. Después acercar el puntero a la recta r, cuandoaparezca Sobre esta recta, hacer clic y se dibujará un punto,A; sin soltar el mouse deslizarlo hasta la longitud desea-da. Hacer clic de nuevo con el mouse y se dibujará el otropunto, B, o extremo del segmento.

Trazar la mediatriz del segmento �AB

• Para ello utilizar el botón , al desplegarse el menú apa-rece la función Mediatriz, seleccionarla. Al situar el punte-ro sobre el segmento �AB dirá Mediatriz de este segmento y,al hacer clic sobre él, dibujará inmediatamente la media-triz del segmento �AB .

NUEVAS TECNOLOGÍAS

33

05MATEMÁTICAS

http://polya.dme.umich.mx/Carlos/geom/T15.htm

En esta página se definen los conceptos básicos referentes a los elementos de lageometría.

http://www.itcr.ac.cr/revistamate/GeometriaInteractiva/IIICiclo/NivelVII/AngulosentredosRectas/

AngulosentredosRectas.htm

Ejercicios interactivos de rectas secantes y formación de ángulos.

http://www.itcr.ac.cr/revistamate/GeometriaInteractiva/IIICiclo/NivelVII/AdiciondeAngulos/

AdiciondeAngulos.htm

Ejercicios de suma de ángulos, clasificación de estos según su amplitud.

http://www.itcr.ac.cr/revistamate/GeometriaInteractiva/IIICiclo/NivelVII/NotaciondelosElementos/

NotaciondelosElementos.htm

En esta página se pueden realizar ejercicios interactivos de rectas, semirrectas,segmentos...


34


1. Diferenciar los distintos tipos de triángulos, así como co-nocer las principales propiedades de sus ángulos y lados.

2. Aplicar el teorema de Pitágoras para reconocer triángulosrectángulos.

3. Aplicar el teorema de Pitágoras para hallar el lado desco-nocido de un triángulo rectángulo.

4. Calcular el perímetro y el área del triángulo.5. Confiar en las propias capacidades para resolver proble-

mas geométricos.

1. Clasificar triángulos atendiendo a diversos criterios.2. Comprobar el teorema de Pitágoras.3. Aplicar el teorema de Pitágoras para reconocer triángulos

rectángulos, y para hallar el lado desconocido de un trián-gulo rectángulo conociendo los otros dos lados.

4. Calcular el perímetro y el área de un triángulo. 5. Resolver problemas de la vida cotidiana mediante la uti-

lización del dibujo y las relaciones geométricas en eltriángulo.

CONTENIDOS

Conceptuales

1. Relaciones y clasificación de trián-gulos.

2. Construcción de triángulos. 3. Teorema de Pitágoras. Aplicacio-

nes.4. Perímetro y área del triángulo.

Procedimentales

1. Uso de la terminología adecuadapara describir un triángulo.

2. Clasificación de triángulos aten-diendo a diversos criterios.

3. Comprobación del teorema de Pitá-goras.

4. Reconocimiento de triángulos rec-tángulos utilizando el teorema dePitágoras.

5. Aplicación del teorema de Pitágoraspara calcular un lado de un triángu-lo rectángulo, conociendo los otrosdos lados.

6. Resolución de problemas utilizandoel teorema de Pitágoras.

10. Cálculo del perímetro y del área deltriángulo, y su aplicación a proble-mas de la vida cotidiana.

Actitudinales

1. Cuidado y precisión en la utilizaciónde los instrumentos de geometría.

2. Valoración de la utilidad del dibujo yla geometría como instrumentospara resolver problemas de la vidacotidiana.

3. Perseverancia en la búsqueda desoluciones a los problemas geo-métricos, y en la mejora de las yaencontradas.

4. Esmero y gusto por la presentaciónordenada y limpieza en los trabajos.

5. Sensibilidad ante las cualidades es-téticas del triángulo, reconociendosu presencia en la naturaleza, en elarte y en la técnica.

Triángulos

6

35

MATEMÁTICAS



• Adquisición de la terminología específica referente a los triángulos y en general a la geometría.

• Uso funcional del lenguaje matemático tanto escrito como oral para interpretar y comprenderla realidad.


• Utilización de la geometría para medir y comparar.

• Uso de los contenidos relativos a triángulos para resolver problemas presentes en la vida real.

• Interpretación y expresión de aquellos datos y dibujos en los que intervengan triángulos ocualquier aspecto geométrico.

• Interés y seguridad para resolver problemas relacionados con la geometría.


• Cuidado del medio ambiente y de la propia salud mediante el análisis y resolución deproblemas relacionados con el mundo físico en los que intervengan triángulos.



• Recolección, selección, procesamiento y presentación de información de forma geométrica.



• Conocimiento de la información relativa a nuestro sistema democrático y elecciones denuestros representantes en los que se usen representaciones geométricas.

• Puesta en práctica de las normas de convivencia en los trabajos en grupo.


• Creación de manifestaciones artísticas usando la geometría.

• Gusto e interés por las diferentes expresiones artísticas en general y en especial lasmanifestaciones geométricas.



• Puesta en práctica de procesos y métodos matemáticos en la vida real que nos permitanperfeccionar nuestro aprendizaje.



06

36

06 TRIÁNGULOS

Con este epígrafe, se pretende que los alumnos desarollen la capacidad de representación detriángulos y, a partir de su construcción, aborden el estudio de los mismos.

1 Construcción de triángulos

Con las actividades planteadas en esta sección sepretende que los alumnos comprueben el teoremade Pitágoras, y que lo apliquen a problemas senci-llos. Conviene que planteen situaciones proble-máticas donde tengan que graficar triángulos

rectángulos ubicando correctamente los datos. Esnecesario que recuerden ciertas estrategias deresolución de ecuaciones.

2 Teorema de Pitágoras. Aplicaciones

Es importante hacer hincapié en que perímetro yárea son conceptos diferentes, pues los alumnossuelen confundirlos.

Para resolver problemas de perímetro y área nece-sitarán, a veces, utilizar el teorema de Pitágoras.

3 Perímetro y área del triángulo


37

06MATEMÁTICAS

• Dibujar un triángulo cualquiera seleccionando laopción Triángulo en el botón de la barra deherramientas; aparece .

Después, activar la opción Etiqueta y escribirel nombre de los vértices, A, B, C, seleccionandouno a uno.

• Para dibujar dos medianas y su punto de inter-sección, G, en el botón activar la opción Punto

medio y, al señalar cada lado, el programamarcará sus puntos medios. Escribir sus nom-bres, A’, B’, C’, de la misma manera que en elcaso anterior. A continuación, activar en el mis-mo botón la opción Segmento y seleccionarun vértice y el punto medio del lado opuesto. Unavez dibujadas las dos medianas; activar Punto de

intersección y señalar las dos medianas; deeste modo, se obtendrá el punto G. Escribir sunombre seleccionando de nuevo la opción Eti-

queta.

• Se puede comprobar que el punto G es el bari-centro del triángulo dibujando la tercera medianay activando la opción Pertenece en el botón

de la barra de herramientas.

• El triángulo original puede cambiarse, si se acti-va el puntero, hacer click en un vértice y, sindejar de pulsar el botón del mouse, arrastrar elpunto al lugar deseado.

• Se puede comprobar que:

– Las tres medianas se siguen cortando en elbaricentro.

– El baricentro está siempre dentro del triángulo.

• El programa Cabri también permite medir longi-tudes, superficies, etcétera.

• Mediana: segmento que une el punto medio deun lado con el vértice opuesto. La intersección delas 3 medianas en un triángulo se denominabaricentro.

NUEVAS TECNOLOGÍAS

38

06 TRIÁNGULOS

http://www.cnice.mecd.es/Descartes/1y2_eso/Triangulos/Triangu0.htm

En esta página se pueden realizar construcciones de triángulos y de sus elementos notables.

http://nogal.mentor.mec.es/~lbag0000/html/triangulos_rectangulos.htm

Página o unidad didáctica referente a triángulos rectángulos, donde se expone todo lo relativo a ellos: teorema de Pitágoras, elementos, etc.

http://personal5.iddeo.es/ztt/For/F7_Triangulos.htm

En ella figura la clasificación de triángulos, elementos notables, áreas y perímetros de triángulos.

http://www.pipoclub.com/espanol/juegos/logica/triadi99.htm

Página para entretenerse con numerosas actividades de lógica sobre triángulos, números, etc.

http://www.math.nmsu.edu/breakingaway/Lecciones/nautilus/chnautilus.html

Juegos con triángulos.


1. Diferenciar la razón de una fracción.2. Utilizar las proporciones para identificar las magnitudes

proporcionales de las que no lo son.3. Reconocer y diferenciar magnitudes directamente pro-

porcionales de las inversamente proporcionales.4. Aplicar la regla de tres directa e inversa a la resolución de

problemas de la vida cotidiana.5. Emplear el tanto por ciento en situaciones reales, como

IVA, descuentos, etcétera.6. Interpretar mapas y planos, usando correctamente las di-

ferentes escalas.

39

Proporcionalidad

7


1. Interpretar la razón y la proporción entre magnitudes ho-mogéneas.

2. Discriminar magnitudes directamente proporcionales deotras que no lo son.

3. Utilizar las reglas de tres para el cálculo de proporcionali-dades.

4. Construir y asociar tablas y gráficos proporcionales.5. Aprender y aplicar el porcentaje de una cantidad.6. Manejar las escalas numérica y gráfica en planos y mapas.7. Reconocer la curiosidad e interés por enfrentarse a pro-

blemas numéricos, y confiar en las propias capacidadespara afrontar problemas.

8. Realizar problemas, empezando con un caso más sencillohasta llegar al planteo.

CONTENIDOS

Conceptuales

1. Razón y proporción.2. Magnitudes proporcionales.3. Magnitudes directamente propor-

cionales. Regla de tres directa.4. Magnitudes inversamente propor-

cionales. Regla de tres inversa.5. Porcentajes.6. Escalas, mapas y planos.

Procedimentales

1. Obtención de la razón entre doscantidades.

2. Utilización de las proporciones paraaveriguar cuándo dos magnitudesson proporcionales.

3. Realización de tablas y gráficos pro-porcionales.

4. Empleo de la proporcionalidad parala resolución de problemas de reglade tres simple, directa e inversa.

5. Aplicación y obtención del tanto porciento para la resolución de proble-mas donde aparezcan el IVA u otrosimpuestos.

6. Interpretación de mapas y planos, aescala, utilizando la proporcionali-dad.

7. Reducción de problemas complejosa otros más sencillos para facilitarsu comprensión y resolución.

Actitudinales

1. Valoración de la utilidad de la reglade tres para la resolución de proble-mas cotidianos.

2. Confianza en las propias capacida-des para resolver problemas y cál-culos numéricos.

3. Curiosidad e interés por enfrentarsea problemas numéricos.

4. Sentido crítico ante las representa-ciones a escala utilizadas paratransmitir mensajes de diferentenaturaleza.

5. Sensibilidad y gusto por la realiza-ción sistemática y la presentaciónordenada de los trabajos.

6. Disposición favorable a la revisión ymejora del resultado de cualquierproblema numérico.



• Adquisición de la terminología específica relativa a la proporcionalidad.

• Formalización del pensamiento al razonar en la resolución de problemas.


• Elaboración de modelos de proporcionalidad (trabajando en actividades de rebajas ydescuentos) para identificar y seleccionar las características relevantes de una situación real(abuso y consumo sin responsabilidad).


• Empleo de Internet para obtener información de carácter científico.

• Empleo de diversos programas informáticos, como EXCEL, Derive... para representar yanalizar gráficos de proporcionalidad.


• Resolución de actividades en equipo que fomentan los valores de solidaridad, tolerancia yrespeto hacia los demás.

• Empleo, con soltura y destreza, tanto de las escalas numéricas como de los gráficos, mapas yplanos.


• Precisión y exactitud en la realización y aplicación de la regla de tres en los problemas deproporcionalidad.

• Autonomía, perseverancia, reflexión crítica y habilidad para comunicar con eficacia losresultados de los problemas de proporcionalidad.


• Planificación de estrategias para la resolución de problemas de proporcionalidad como lautilización de la regla de tres, controlando a la vez los procesos de toma de decisiones a lahora de resolver un problema.

40

PROPORCIONALIDAD07

41

MATEMÁTICAS

Esta unidad, referente a la proporcionalidad numé-rica, es de gran importancia para 7º de EducaciónSecundaria, debido a que está presente en numero-sas situaciones de índole variada.

Los alumnos de este nivel pueden encontrar dificul-tad en la comprensión del concepto de proporción,por ser un tanto abstracto; esto puede ser suficien-te para que la proporcionalidad quede sin sentido,convirtiéndose en un puro mecanismo para resolver

problemas (regla de tres) e induciendo a posibleserrores en la resolución de los mismos. Para queesto no suceda y haya un aprendizaje significativo dela proporcionalidad, los alumnos deberán dominarlas magnitudes y las fracciones.

El profesor debe intentar que no se abuse de la apli-cación de la regla de tres a todo tipo de problemas,si no hay necesidad de utilizarla.

Se pretende conseguir que los alumnos diferenciencon claridad una magnitud y su medida, y se vean enla necesidad de aplicar el concepto de unidad para

expresar correctamente una magnitud. También sepersigue que el alumno sea capaz de estimar mag-nitudes.

1 Magnitud y medida

Se pretende que los alumnos comprendan y asimi-len el concepto de razón y proporción con un apren-dizaje significativo y no de forma autómata; para

ello, en esta sección, se plantean una variedad deactividades relacionando distintas magnitudes.

2 Razón y proporción

Aquí, se pretende que el alumnado comprenda y asi-mile con precisión y rapidez las relaciones entremagnitudes, y más concretamente la proporcionali-dad entre ellas; eso sí, siempre utilizando ejemplos

existentes en la vida cotidiana y próximos al alumno,para que, de esta forma, pueda apreciar la aplica-ción de este concepto a situaciones reales.

3 Magnitudes proporcionales

Se trabajará siempre con ejemplos reales y muypróximos al alumno, construyendo una tabla con va-lores distintos de ambas magnitudes para estudiarsu proporcionalidad y su correspondiente gráfico; deeste modo, el alumno se acostumbra a ver repre-

sentaciones gráficas para el estudio de funciones eneste curso y en los próximos.Se utilizará la regla de tres, pero con las indicacionesdadas en la introducción de la unidad; es decir, ha-ciendo un buen uso y aplicación de este algoritmo.

4 Magnitudes directamente proporcionales. Regla de tres directa

07


42

07 PROPORCIONALIDAD

Se trabajará de igual modo que en la anterior sec-ción, insistiendo en magnitudes inversamenteproporcionales, donde el alumno vea la diferencia

con las directamente proporcionales y su forma deresolverlas.

5 Magnitudes inversamente proporcionales. Regla de tres inversa

Se intenta que los alumnos asemejen el tanto porciento a una proporción, y lo apliquen, como tal, demanera precisa y correcta en las situaciones realesque se les presenten, como el IVA, las rebajas, etc.

Se darán varios métodos de resolución del tanto porciento para que el alumno utilice el más adecuadoen cada caso.

6 Porcentajes

En esta sección se pretende que utilicen correcta-mente las escalas gráfica y numérica de un mapa oplano, y sepan interpretarlas para llegar a las longi-tudes reales de lo representado en dichos mapas oplanos.

Se utilizan problemas de la vida cotidiana y situacio-nes específicas de otras materias, como en lasCiencias Sociales. De esta forma, el alumno aplicalas Matemáticas a otras ciencias, y comprueba quetoda ciencia está relacionada con las Matemáticas.

7 Escalas, mapas y planos

43

07MATEMÁTICAS

CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS DE LADOS PROPORCIONALES CON CABRI-GÉOMÈTRE

• Primero dibujar un rectángulo del tamaño quese desee, haciendo clic en el botón de labarra de herramientas; aparecerán variasopciones, seleccionar la de Polígono.

A continuación, activando la opción Etiqueta, sepodrán escribir los vértices del polígono.

• A continuación construir otro rectángulo conmedidas distintas y posteriormente hallar larazón que existe entre los lados de ambos rec-tángulos. Para hallar la razón tomar uno delos lados, por ejemplo el mayor, y dividirloentre el lado mayor del otro rectángulo; paraesto elegir la opción Calcular y aparecerá en lapantalla una calculadora que permitirá reali-zar dicha división. Finalmente, se obtiene quela razón que existe entre estas dos magnitu-des es de 1,78.

• Para saber la medida que tiene un patio imagi-nario habrá que seleccionar la opción Longitud

en la barra de herramientas:

• Comprobar, siguiendo los mismos pasos queen el ejemplo anterior, que para el lado menordel rectángulo existe la misma razón de pro-porcionalidad.

NUEVAS TECNOLOGÍAS

44

07

http://www.escolar.com/geometr/01punrec.htm

Página con ejercicios de proporcionalidad directa e inversa para resolver, con soluciones.

http://www.escolar.com/juegos/Rocks/index.html

Dirección de juegos matemáticos de estrategia.

http://www.ince.mec.es/timss/propor.htm

Página con problemas de proporcionalidad directa e inversa.

http://www.pntic.mec.es/Descartes/1y2_eso/Porcentajes_e_indices/Porcentaje.htm

En esta página se desarrollan ejercicios sobre porcentajes.

http://www.oma.org.ar/programa/blan31.htm

Página dedicada a la proporcionalidad inversa

PROPORCIONALIDAD


45


1. Obtener información y sacar conclusiones de distintos ti-pos de gráficos.

2. Representar gráficos a partir de una tabla de datos.3. Comparar fenómenos según sus gráficos.4. Adoptar un sentido crítico ante los gráficos difundidos por

distintos medios de comunicación.

1. Dibujar gráficos a partir de expresiones verbales y tablas.2. Interpretar tablas y gráficos.3. Elaborar informes sobre gráficos.4. Leer e interpretar aspectos de los gráficos, como máximos

y mínimos, intervalos de crecimiento y decrecimiento...5. Intercambiar información entre tablas de valores y grá-

ficos, y obtener información práctica de gráficos carte-sianos sencillos (de trazo continuo) en un contexto deresolución de problemas relacionados con fenómenosnaturales y cotidianos.

CONTENIDOS

Conceptuales

1. Coordenadas cartesianas.2. Gráficos. Características generales.3. Lectura e interpretación de los grá-

ficos.3.1. Relación entre magnitudes.3.2. Otros tipos de gráficos.

4. Relaciones dadas por tablas y gráfi-cos.

5. Estudio y comparación de fenóme-nos.

Procedimentales

1. Lectura e interpretación de gráfi-cos.

2. Identificación de las magnitudes de-pendiente e independiente.

3. Construcción de tablas de valores.4. Descripción verbal de un fenómeno

representado en un gráfico.5. Detección de errores en los gráfi-

cos.6. Trazado de gráficos a partir de una

experiencia, un enunciado o una ta-bla.

7. Elaboración de tablas a partir de unenunciado, una experiencia o ungráfico.

8. Elección de la escala convenientepara representar gráficamente unfenómeno.

9. Estudio y comparación de fenóme-nos mediante el análisis de lospuntos de corte entre las represen-taciones gráficas de las funciones.

Actitudinales

1. Actitud positiva y crítica hacia la in-formación expresada mediantegráficos.

2. Valoración de la utilidad del lengua-je gráfico para representar y resol-ver problemas de la vida cotidiana.

3. Reconocimiento y valoración deltrabajo en equipo.

4. Sensibilidad y gusto por la preci-sión, el orden, la claridad tanto en eltratamiento como en la presenta-ción de datos y resultados.

5. Valoración de la potencia comunica-tiva del lenguaje gráfico.

Funciones y gráficos

8



• Adquisición de la terminología específica referente a los conceptos de funciones, tablas ygráficos.

• Utilización del lenguaje tanto escrito como oral para interpretar y comprender situaciones de larealidad que se pueden expresar en términos de funciones, tablas y/o gráficos.

• Análisis de las situaciones presentadas y la extracción de conclusiones.


• Mejor conocimiento de los fenómenos naturales y su relación con el mundo de las matemáticas(climogramas).



• Empleo del programa informático EXCEL para representaciones gráficas de tablas de valores yfunciones.


• Conocimiento de comportamientos sociales (por ejemplo, el consumo), cuya interpretaciónpermite comprender la evolución de la sociedad y analizar la actual.


• Desarrollo de modelos generales de razonamiento y consolidación en la adquisición de diversasdestrezas.

• Valoración de la perseverancia, sistematización y reflexión crítica de su propio trabajo ysoluciones.

• Empleo de técnicas heurísticas en la resolución de problemas.


• Planificación de experiencias, toma de decisiones y comparación de los objetivos buscados y losresultados obtenidos.

46

FUNCIONES Y GRÁFICOS08

47

MATEMÁTICAS

Esta unidad es muy importante por su aplicabilidaden la vida cotidiana. Nos guiamos con mapas, infor-maciones de distinta índole nos vienen dadas en ta-blas y gráficos, etcétera.

Es aquí donde se debe fomentar el espíritu críticoante toda información presentada en forma de gráfi-co; sobre todo, en los medios de comunicación. Unsimple corte en los ejes o un cambio de escala puedeinducir a error a la hora de obtener conclusiones so-bre un conjunto de datos.

En esta sección es muy necesario hacer hincapié enla importancia que tiene el orden al establecer lascoordenadas cartesianas de un punto en el plano.

Cuando un punto está situado en algunos de losejes, tendrá una coordenada nula (en el eje X, la co-ordenada en y es cero; en el eje Y, la coordenada enx es cero).

Es muy importante que quede clara la situación co-rrecta de puntos en un plano, sobre todo, de cara alestudio de las características generales de los grá-ficos.

1 Coordenadas cartesianas

Es importante que los alumnos entiendan que trasun gráfico siempre hay una relación entre dos mag-nitudes. Según sean estas, se trabajará con puntoso curvas.

Es fácil ver cuándo una función es creciente o decre-ciente; sin embargo, tienden a dar los valores de y,en vez de los valores de x, al referirse a intervalos decrecimiento y decrecimiento de la función.

Conviene que trabajen en hojas milimetradas y queel/la docente presente tablas con fracciones y ex-presiones decimales (positivas y negativas) para queaprendan a elegir escalas adecuadas en los ejes.

2 Gráficos. Características generales


08

48

08 FUNCIONES Y GRÁFICOS

Aquí es necesario subrayar que, para interpretar ungráfico, siempre se ha de recorrer el eje de abscisasde izquierda a derecha. Asimismo, sería convenien-te realizar un ejemplo de una función creciente y verque, si se recorre de derecha a izquierda, pareceríaque es decreciente.

Respecto a los diagramas de sectores y de barras,sería oportuno hacer una pequeña introducción so-bre este tipo de representaciones gráficas e indicara los alumnos que las verán más detalladamente enla unidad de Estadística.

3 Lectura e interpretación de gráficos

Los alumnos deben saber que los datos recopiladosen una tabla se pueden representar en ejes de coor-denadas y obtener un gráfico. Dicha representaciónnos permitirá, de forma rápida y sencilla, deduciruna serie de conclusiones.

Asimismo, de la interpretación de un gráfico pode-mos conseguir los datos necesarios para transfe-rirlos a una tabla. Los alumnos han de empezar ainterpretar en qué ocasiones es aconsejable utilizarcada una de ellas.

4 Relaciones dadas por tablas y gráficos

Hacer hincapié, de nuevo, en que se ha de recorrer el eje de abscisas de izquierda a derecha y,además, tener en cuenta los puntos de corte entre las curvas para establecer las compara-ciones oportunas.

5 Estudio y comparación de fenómenos

49

08MATEMÁTICAS

REPRESENTACIONES GRÁFICAS CON EXCEL

• Abrir una hoja nueva de Excel y escribir en lacelda A1, X, y en la celda B1, Y. A continuación,introducir los valores de X en la columna A ylos valores de Y en la columna B, tal como apa-rece en la figura:

• Una vez introducidos los datos, su representa-ción gráfica se realiza utilizando el asistentepara gráficos ; para ello deben seguirse loscuatro pasos siguientes:

1. Elegir primero, en tipo de gráfico, Líneas y, ensubtipo de gráfico, Línea con marcadores en

cada valor. A continuación, señalar Siguiente.

2. Después seleccionar los datos: en la ficha Ran-

go de datos introducir B2:B11 (o seleccionar enel gráfico dicho rango utilizando insertar el íco-no de los puntitos donde se hace clic para queaparezca el gráfico) y marcar Columnas. Entraren la ficha Serie y, en Rótulos del eje de catego-

rías (X), introducir A2:A11 (o seleccionar el ran-go desde el gráfico) y pulsar Siguiente.

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Y 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

NUEVAS TECNOLOGÍAS

3. En Opciones de gráfico rellenar la ficha Títulos.En Título del Gráfico, escribir Representación

gráfica; en Eje de categorías (X), Valores de X y,en Eje de categorías (Y), Valores de Y. Entrar enla ficha Leyenda, desactivar la opción Mostrar

leyenda y pulsar Siguiente.

4. En Ubicación del gráfico marcar: como objeto

en: hoja 1 y pulsar Finalizar. Por último, arras-trar el diagrama de barras hasta donde sedesee que aparezca el gráfico y se obtendrá lasiguiente pantalla:

Con una hoja de cálculo Excel podemos representar gráficamente tablas de valores.

Representación gráfica de una tabla de valores

Vamos a realizar la representación gráfica de la siguiente tabla:

50

08 FUNCIONES Y GRÁFICOS

http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/ Interpretacion_de_graficas/Graficas.htm#2

Ejemplos de gráficos sencillos en los que se estudian sus características y suinterpretación. Incluye el perfil de una etapa del Tour de Francia.

http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Autoformacion/Archivos_comunes/Coordenadas_cartesianas.htm

Actividades interactivas con coordenadas cartesianas.


51


1. Diferenciar los distintos tipos de cuadriláteros y conocersus principales propiedades.

2. Calcular el perímetro y el área de los cuadriláteros enten-diendo las fórmulas utilizadas para su cálculo.

3. Identificar los distintos polígonos y reconocer sus ele-mentos.

4. Hallar el perímetro y el área de cualquier polígono regu-lar.

5. Diferenciar entre circunferencia y círculo, identificando losprincipales elementos de cada uno.

6. Calcular la longitud de la circunferencia.7. Distinguir las diversas figuras circulares: círculo, sector

circular, segmento circular y trapecio circular.8. Hallar las áreas de figuras circulares.

1. Distinguir y catalogar los cuadriláteros atendiendo a di-versos criterios.

2. Diferenciar y clasificar los polígonos según diferentesaspectos.

3. Calcular perímetros y áreas de cuadriláteros, polígonosregulares y figuras compuestas sencillas.

4. Resolver problemas de la vida cotidiana mediante la utili-zación del dibujo y las estrategias geométricas.

5. Reconocer, dibujar y describir los términos geométricosrelativos a la circunferencia y al círculo: centro, radio, diá-metro, cuerda, arco, ángulos, sector, corona, segmento ytrapecio circular.

6. Utilizar las fórmulas adecuadas para obtener longitu-des y arcos de circunferencia, áreas del círculo y figurascirculares.

CONTENIDOS

Conceptuales

1. Clasificación de los cuadriláteros.2. Perímetros y áreas de los cuadrilá-

teros.3. Polígonos regulares.

3.1. Elementos y ángulos de un po-lígono regular.

3.2. Clasificación de los polígonos.4. Perímetros y áreas de los polígonos

regulares.5. Longitud de una circunferencia.6. El círculo y las figuras circulares.7. Área del círculo y de las figuras cir-

culares.

Procedimentales

1. Utilización de la terminología ade-cuada para describir cuadriláteros yotros polígonos.

2. Clasificación de cuadriláteros ypolígonos atendiendo a diversoscriterios.

3. Cálculo de ángulos en un polígono.4. Construcción de cuadriláteros y

otros polígonos.5. Cálculo de perímetros, áreas de

cuadriláteros y polígonos emplean-do las fórmulas adecuadas.

6. Resolución de problemas relaciona-dos con formas geométricas, medi-ciones y estimaciones.

7. Trazado de circunferencias con elcompás.

8. Cálculo de la longitud de una cir-cunferencia.

9. Distinción entre las figuras circularesque pueden aparecer en un círculo.

10. Cálculo del área del círculo y de lasfiguras circulares una vez conocidael área de este.

11. Cálculo del área de una figura planacualquiera, descomponiéndola enotras de área conocida.

Actitudinales

1. Cuidado y precisión en el empleo delos instrumentos de geometría ymedida.

2. Valoración de la utilidad del dibujo yde la geometría como instrumentospara resolver problemas de la vidacotidiana.

3. Perseverancia en la búsqueda desoluciones a los problemas geomé-tricos, y en la mejora de las ya en-contradas.

4. Esmero y gusto por la presentaciónordenada y prolija de los trabajos.

5. Sensibilidad ante las cualidades es-téticas del cuadrilátero, reconocien-do su presencia en la naturaleza, enel arte y en la técnica.

6. Curiosidad e interés por conocer eldesarrollo y la utilidad de las figurascirculares, tanto en la actualidadcomo a lo largo de la historia.

Figuras planas

9



• Adquisición de la terminología específica referente a los cuadriláteros y otros polígonos y en general a lageometría.

• Uso funcional del lenguaje matemático (oral y escrito) para interpretar la realidad.


• Utilización de la geometría para medir y comparar.

• Uso de los contenidos relativos a cuadriláteros, otros polígonos y círculos para resolver problemas presentesen la vida real.

• Interpretación y expresión de aquellos datos y dibujos en los que intervengan cuadriláteros, otros polígonos yfiguras circulares o de cualquier aspecto geométrico.

• Interés y seguridad para resolver problemas relacionados con la geometría.


• Cuidado del medio ambiente y de la propia salud mediante el análisis y resolución de problemas relacionadoscon el mundo físico en los que intervengan cuadriláteros y otros polígonos.

• Adquisición de unos hábitos de consumo saludables y ecológicos a través del análisis matemático de losmedios de información.


• Recolección, selección, procesamiento y presentación de información de forma geométrica.


• Empleo del programa informático CABRI para representar relaciones entre circunferencias y rectas, asícomo para cálculos de áreas de círculos.



• Puesta en práctica de las normas de convivencia en los trabajos en grupo.


• Creación de manifestaciones artísticas usando la geometría.

• Gusto e interés por las diferentes expresiones artísticas en general y en especial las manifestacionesgeométricas.



• Desarrollo del interés por conocer diferentes vías de resolución de un mismo problema y por la precisión yclaridad en su exposición.


• Planificación y comparación de resultados utilizando métodos matemáticos.

• Aceptación de diferentes ideas a las propias para enriquecer nuestro aprendizaje.52

FIGURAS PLANAS09

53

MATEMÁTICAS

Se presenta el juego del tangram, también conocidocomo la tabla de la sabiduría o el juego de los sieteelementos, muy útil para explicar la geometría, es-pecialmente el cálculo de áreas.

El juego consiste en construir, a partir de los ele-mentos del tangram (un cuadrado, un paralelogra-mo y cinco triángulos de diferente tamaño), figurasque ocupen la misma superficie.

Para afianzar el concepto de área y la comprensiónde las fórmulas utilizadas para su cálculo, los alum-nos deberían construir figuras con cartulinas; reali-zar cortes en ellas, según las ilustraciones de la uni-dad, y transformarlas en rectángulos de igualsuperficie (similar al tangram).

Conviene destacar la importancia del teorema de Pi-tágoras en la resolución de problemas, así comoque las soluciones, al tratarse de medidas, sonsiempre positivas y pueden dar valores decimales.

1 Perímetros y áreas de los cuadriláteros

Para dibujar un polígono regular, o bien se puedecomenzar por un lado y, con un transportador de án-gulos poner en el extremo el ángulo interior corres-pondiente para dibujar otro lado, y así sucesivamen-te; o bien, partiendo de una circunferencia, hacer enella tantos ángulos centrales como lados tenga elpolígono.

La apotema es perpendicular al lado, se traza un

triángulo rectángulo de lados a, r, = en el que se

podrá utilizar el teorema de Pitágoras.

l2

2 Polígonos regulares

Se puede proponer a los alumnos que utilizando elteorema de Pitágoras, hallen las magnitudes quefalten para calcular perímetros y áreas de distintospolígonos regulares, por ejemplo:

a) En el pentágono, la apotema mide 2,5 cm y el ra-dio 3,1 cm. Su solución es: P = 18,33 cm yS = 22,91 cm2

b) En el eneágono, la apotema mide 4,7 cm y el radio5 cm. La solución es: P = 30,6 cm y S = 71,91 cm2

c) En el octógono, el lado mide 8,26 cm y la apotema10 cm. La solución es: P = 66,08 cm y S = 330,4 cm2

d) En el hexágono, el radio mide 6 cm. La soluciónes: P = 36 cm y S = 93,5 cm2

3 Perímetros y áreas de los polígonos regulares


09

54

09 FIGURAS PLANAS

En este epígrafe se llega, de una forma experimen-tal, a la fórmula de la longitud de una circunferencia.Mediante una sencilla proporción se obtiene la lon-

gitud de un arco de circunferencia. Es importanteque el alumno entienda que ambas medidas (radio ylongitud) son lineales.

4 Longitud de la circunferencia

Es importante que los alumnos diferencien bien entre circunferencia y círculo y conozcan lasdiferentes formas circulares.

5 El círculo y las figuras circulares

En esta sección se llega, de una forma experimentalsencilla, a la fórmula del área del círculo, utilizandoel número pi (π).

Es importante que los alumnos entiendan que, alser una superficie, el resultado estará medido enunidades al cuadrado.

6 Área del círculo

A partir de la fórmula del área del círculo y la lógica,y mediante sencillas proporciones se van obtenien-do las áreas de las distintas figuras circulares. Sería

interesante que fueran los propios alumnos quienesdedujeran algunas de estas fórmulas.

7 Área de las figuras circulares

Dibujar polígonos regulares

• En la barra de herramientas activar el botón, donde se desplegará un menú, del que

seleccionaremos Polígono regular.

• Pulsar el botón izquierdo del mouse donde sedesee el centro del polígono y volver a pulsar-lo donde se desee un vértice.

• A continuación, girar en el sentido de las agu-jas del reloj y, cuando aparezca en la pantallael número de lados deseados para la figura,pulsar nuevamente el botón, con lo que queda-rá dibujado el polígono.

NUEVAS TECNOLOGÍAS

55

09MATEMÁTICAS

Posiciones relativas de una recta y una circun-

ferencia

1º Seleccionar la función Círculo en el botón .Con el cursor, marcar el punto en el que sequiera situar el centro. El tamaño del radiovariará al alejar el mouse desde ese punto;una vez alcanzado el tamaño deseado, pulsael botón izquierdo.

2º Seleccionar la función Punto en el ícono .Situar con el cursor un punto en un lugar fue-ra de la circunferencia. Pulsar el botón ,elegir Nombrar, y hacer clic de nuevo cuandose muestre el rótulo Este punto. Escribir P

para dar nombre al punto.

3º Seleccionar la función Recta en el botón .Acercar el cursor al punto P hasta que semuestre Por este punto y pulsar el botónizquierdo. Mover el mouse para dar a la rectala orientación y longitud deseadas y marcarese punto. Repetir este paso varias veces.

Se pueden dibujar varias rectas exteriores ysecantes a una circunferencia dada por unpunto exterior, pero solo dos rectas tangen-tes.

• Mejorar su apariencia activando Espesor oactivando Relleno en el botón .

Posiciones relativas de dos circunferencias

1º Determinar, para cada posición relativa, lospuntos que han de tener en común, y dibujarlas circunferencias siguiendo los pasos delejercicio anterior. Ponerle una etiqueta a cadauna con su nombre.

2º Seleccionar la función Distancia o longitud pul-sando en el ícono . Acercar el cursor a una delas circunferencias y pulsar el botón izquierdocuando aparezca Perímetro de este círculo. Lalongitud de la circunferencia se muestra en unrectángulo en el que se puede escribir; inser-tar en él el texto Longitud =.

El resultado depende del radio elegido paracada circunferencia. En la siguiente figura semuestra una posible solución.

Área del círculo

1º Hacer clic en el ícono y seleccionar lafunción Segmento. Desde el punto en que sedesee situar uno de los extremos, trazar unsegmento cualquiera y fíjarlo pulsando elbotón izquierdo. Desplazando el cursor conel mouse, se determina la longitud y orienta-ción adecuadas. Una vez definidas, pulsar denuevo el botón izquierdo para fijar el otroextremo.

2º Para medir la longitud del segmento,seleccionar de nuevo la función Distancia o

longitud y al hacer clic sobre el segmento,aparecerá un cuadro con la longitud. Des-plaza el mouse aumentando o disminuyendola longitud del segmento hasta que mida 4cm, por ejemplo.

56

09 FIGURAS PLANAS

http://www.escolar.com/geometr/06cuadrila.htm

Página en la que aparecen definiciones de cuadrilátero, elementos, etcétera.

http://www.cnice.mecd.es/Descartes/1y2_eso/Los_cuadrilateros/Cuadrilateros.htm

Se estudian los distintos cuadriláteros, su construcción, su área y su perímetro.

http://www.pntic.mec.es/Descartes/1y2_eso/Poligonos_regulares_y_circulos/Policir1.htm

En esta página se pueden construir polígonos regulares variando el número de lados.También se trabajan los ángulos y las áreas.

http://platea.pntic.mec.es/%7Eaperez4/index.html

En esta página se encuentra, entre otros, el conocido problema de la cabra pastando;además, se recogen interesantes problemas en el apartado Taller de Matemáticas.

http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Poligonos_regulares_y_circulos/index_Policir.htm

Interesante página con teoría y dinámicos ejemplos sobre la circunferencia y el círculo.

3º Para dibujar la circunferencia con ese radio,marcar el punto donde se desee colocar sucentro.

4º Seleccionar la función Compás en el botón y acercar el cursor al punto elegido comocentro de la circunferencia. Cuando aparezcaEste punto, hacer clic y el punto empezará aparpadear. A continuación, si se hace clicsobre el segmento que determina el radio, sedibujará la circunferencia.

5º En el ícono seleccionar la función Área.Acercar el cursor a la circunferencia hasta queaparezca Esta circunferencia y pulsar el botónizquierdo. En un cuadro se indica que el áreabuscada es 50,27 cm2. Al igual que en el ejerci-cio anterior, se puede escribir en este recua-dro.


57


1. Clasificar los distintos cuerpos geométricos e identificarsus elementos.

2. Reconocer los cinco poliedros regulares y sus propieda-des.

3. Calcular área lateral, total y volumen.4. Utilizar correctamente las unidades de medida.5. Confiar en las propias capacidades para resolver proble-

mas geométricos.

1. Diferenciar y clasificar los cuerpos geométricos.2. Utilizar las fórmulas adecuadas para obtener área lateral,

total y volumen.3. Distinguir los poliedros regulares y aplicar sus propieda-

des.4. Manejar correctamente el uso de unidades de superficie y

de volumen.5. Resolver problemas de la vida cotidiana mediante gráficos

y estrategias geométricas.

CONTENIDOS

Conceptuales

1. Clasificación de cuerpos poliedros:prismas y pirámides.

2. Área lateral y total de prismas ypirámides.

3. Poliedros regulares.4. Cuerpos redondos: esfera, cilindro y

cono.5. Área lateral y total de cilindros y co-

nos.6. Volumen.

Procedimentales

1. Utilización de la terminología ade-cuada para cuerpos geométricos.

2. Clasificación de los cuerpos geomé-tricos e identificación de sus ele-mentos.

3. Aplicación de la fórmula de Euler enpoliedros regulares.

4. Cálculo de área lateral, total y volu-men.

5. Utilización correcta de las unidadesde volumen.

6. Resolución de situaciones proble-máticas utilizando las equivalenciasentre capacidad y volumen.

Actitudinales

1. Curiosidad e interés por descubrirformas y relaciones geométricas.

2. Interés y respeto por las estrategiasdistintas de las propias.

3. Participación activa en el diseño yconstrucción de cuerpos geométri-cos.

4. Valoración de la utilidad del dibujo yde la geometría como instrumentospara resolver problemas de la vidacotidiana.

Cuerpos geométricos

10



• Adquisición de la terminología específica referente a cuerpos geométricos.

• Utilización del lenguaje tanto escrito como oral para interpretar y comprender situaciones dela realidad que se pueden modelizar en términos de cuerpos geométricos.


• Uso de los contenidos relativos a cuerpos geométricos para resolver problemas de la vida real.

• Interpretación y expresión de aquellos datos y gráficos en los que intervengan cuerposgeométricos y sus desarrollos.


• Mejor conocimiento de los fenómenos naturales y su relación con el mundo de lasmatemáticas, discriminando formas y relaciones geométricas.




• Aplicación de la cultura de los alumnos al ofrecer medios, como los conocimientos que sederivan del estudio de la geometría, para describir y comprender el mundo que nos rodea yapreciar la belleza de las estructuras que ha creado.


• Desarrollo de modelos generales de razonamiento y consolidación en la adquisición dediversas destrezas.

• Valoración de la perseverancia, sistematización y reflexión crítica de su propio trabajo y de sussoluciones.


• Planificación de experiencias, toma de decisiones y comparación de los objetivos buscados y los resultados obtenidos.

58

CUERPOS GEOMÉTRICOS10

59

MATEMÁTICAS

Se presentan distintos elementos de la vida cotidiana que tienen relación con los cuerposgeométricos. Se hace una primera clasificación de cuerpos convexos y cóncavos.

Sería importante que los alumnos diferencien figuras de cuerpos e insistir en su importancia.

Es muy importante que puedan identificar los pris-mas y sus elementos. Para esto conviene trabajarcon material concreto, como por ejemplo cuerposgeométricos de madera o de plástico transparente.

Se podría preguntar antes de iniciar el tema qué di-ferencias hay entre prismas y pirámides.

1 Prismas

Convendría seguir los mismos pasos que con los prismas, identificando las pirámides y suselementos. Además, hacer hincapié en cómo se nombran las pirámides, teniendo en cuenta elpolígono de su base.

2 Pirámides

Para abordar este tema sería conveniente que pue-dan dibujar los desarrollos de algunos prismas y pi-rámides para luego entender las fórmulas de árealateral y total.

No será necesario que memoricen dichas fórmulassi pueden comprender el concepto de lo que estáncalculando, ya que saben calcular áreas de polígo-nos.

3 Área lateral y total de prismas y pirámides

10


Aquí, además de presentar los cinco poliedros regu-lares, sería conveniente que busquen informaciónsobre Euler o Platón y puedan en clase discutir so-bre el tema.

Pueden verificar la fórmula de Euler o resolver ejer-cicios donde quede planteada una ecuación.

4 Poliedros regulares

60

10 CUERPOS GEOMÉTRICOS

Es importante llevar el material concreto al aulapara que los alumnos puedan ver las diferencias en-tre poliedros y cuerpos redondos.

También hay que hacer hincapié para que no con-fundan círculos con esferas, o triángulos con conos.

5 Esfera, cilindro y cono

Al igual que lo realizado con prismas y pirámides,conviene hacerlo con estos dos cuerpos redondos.Se pueden hacer varios desarrollos de cilindros yconos para llegar a las fórmulas del área lateral ytotal.

Es conveniente que vean la relación entre lo estudia-do en circuferencia y círculo con los desarrollos deestos dos cuerpos redondos.

6 Área lateral y total del cilindro y del cono

Se deberán realizar muchos ejercicios para quepuedan comprender el concepto de volumen. Con-viene empezar con cálculos simples (de prismas)donde puedan multiplicar largo, ancho y alto men-talmente. Por ejemplo: cajas de arroz, cajas de lápi-ces, aula, etcétera.

Luego, se podrá trabajar con los demás cuerpos in-corporando las fórmulas de cada uno.

También es importante que puedan deducir lógica-mente las fórmulas para no recurrir a la memoria.El manejo de unidades también requerirá su tiempo,ya que los alumnos deberán prestar atención cuan-do reduzcan unidades de volumen.

7 Volumen

http://descartes.cnice.mec.es

Página para ver pirámides y sus elementos. También se puede observar la formaciónde los cuerpos redondos.

http://www.bbo.arrakis.es/geom/pris1.htm

Se muestran los prismas con sus desarrollos y las fórmulas de área lateral y total.

http://concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material098/geometria/geoweb/espa1.htm

Teoría y ejercitación sobre geometría del plano y del espacio.

http://geometriadescriptiva.com/teoria/aperez

Se muestran los poliedros y su clasificación.


1. Organizar datos en tablas estadísticas, así como saber cuál es el gráfico esta-dístico más adecuado al tipo de datos que se están estudiando.

2. Interpretar y manejar gráficos estadísticos de situaciones reales.3. Adoptar una actitud crítica ante datos y gráficos estadísticos difundidos en me-

dios de comunicación, teniendo en cuenta el sesgo que se puede producir.4. Familiarizarse con las fuentes de información estadística.5. Utilizar los parámetros de centralización: media, moda y mediana, en conjun-

tos pequeños de datos. Reconocer su significado.6. Identificar experimentos aleatorios.7. Distinguir los diferentes tipos de sucesos.8. Emplear correctamente el lenguaje del azar, y asignar probabilidades a resul-

tados en experimentos aleatorios.9. Utilizar métodos y procedimientos, tanto estadísticos como probabilísticos,

para obtener conclusiones a partir de datos recogidos en el mundo de la infor-mación.

10. Mantener una actitud crítica ante errores populares en situaciones relaciona-das con el azar.

61


1. Distinguir entre población y muestra.2. Diferenciar variables cualitativas y

cuantitativas.3. Formar las tablas de frecuencias y

porcentajes de un conjunto de datos.4. Dibujar correctamente diagramas

de barras y de sectores.5. Obtener e interpretar los parámetros

de centralización de un conjunto pe-queño de datos.

6. Distinguir entre experimentos alea-torios y deterministas.

7. Calcular el espacio muestral de unexperimento aleatorio, así como dis-tinguir entre los distintos tipos desucesos.

8. Hallar probabilidades de experimen-tos simples.

CONTENIDOS

Conceptuales

1. Población y muestra. Variables es-tadísticas.

2. Recuento de datos. Frecuencias.3. Tablas y gráficos estadísticos.4. Parámetros estadísticos.5. Experimentos aleatorios. Sucesos.6. Probabilidad. Regla de Laplace.

Procedimentales

1. Distinción entre población y mues-tra. Reconocimiento de una variablecualitativa o cuantitativa.

2. Obtención e interpretación de lastablas de frecuencias en un conjun-to de datos.

3. Explicación y representación degráficos estadísticos.

4. Cálculo e interpretación de los pa-rámetros de centralización de unconjunto de datos.

5. Uso de la calculadora para el cálcu-lo de la media aritmética de un con-junto de datos.

6. Diferenciación entre experimentosaleatorios y deterministas.

7. Determinación del espacio mues-tral, de los sucesos elementales, delsuceso seguro y del suceso imposi-ble de un experimento aleatorio.

8. Distinción de la compatibilidad o in-compatibilidad de dos sucesos.

9. Determinación del suceso contrarioa uno dado.

10. Cálculo de la probabilidad de suce-sos sencillos utilizando las leyes delos grandes números.

11. Empleo de la regla de Laplace.

Actitudinales

1. Valoración de la importancia de laestadística en nuestra sociedad parael estudio de distintas variables.

2. Reconocimiento de la necesidad deun uso correcto de la estadística, asícomo la necesidad de tener actitudcrítica frente a los estudios estadís-ticos que aparecen en los medios decomunicación.

3. Apreciación de la importancia delcálculo de probabilidades en distin-tas situaciones de la vida diaria.

4. Análisis crítico de las informacionesque se reciben sobre fenómenosaleatorios.

Estadística y probabilidad

11



• Adquisición de la terminología específica referente a los conceptos de estadística y probabilidad.

• Utilización del lenguaje tanto escrito como oral para interpretar y comprender situaciones de la realidad que se pueden expresar en términos estadísticos o probabilísticos.

• Análisis de las situaciones presentadas y la extracción de conclusiones.


• Mejor conocimiento de los fenómenos naturales y su relación con el mundo de la estadística o del azar.


• Empleo de tablas como estrategia de resolución de problemas para organizar la informaciónen problemas específicos.

• Empleo del programa informático EXCEL para el cálculo de medidas de centralización y representaciones de diagramas de barras.


• Conocimiento de comportamientos o fenómenos sociales (como por ejemplo, la natalidad) y suinterpretación para comprender la evolución de la sociedad y analizar la actual, así como parapredecir y tomar decisiones.

• Enfoque de los errores cometidos con espíritu constructivo, lo que permite valorar los puntosde vista ajenos en plano de igualdad con los propios.


• Desarrollo de modelos generales de razonamiento y consolidación en la adquisición dediversas destrezas.

• Valoración de la perseverancia, sistematización y reflexión crítica de su propio trabajo y soluciones.


• Realización de experimentos (lanzar monedas, dados), toma de decisiones y comparación de los objetivos buscados y los resultados obtenidos.

62

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD11

63

MATEMÁTICAS

Esta unidad tiene como objetivo afianzar y ampliaralgunos conceptos estadísticos que los alumnos yaconocen, como el de la media aritmética de un con-junto de datos y la introducción de conceptos rela-cionados con la probabilidad.

Es un tema de gran importancia pues la estadísticaes una de las ramas de las matemáticas más prácti-ca y con más aplicaciones en nuestra vida cotidiana.Aparecen estadísticas sobre datos tan distintoscomo economía, deportes o educación.

Es importante hacer ver la utilidad de trabajar conmuestras en vez de hacerlo con todos los individuosde una población. También, es necesario que sepanque dicha muestra ha de ser representativa de la

población, es decir, tomada aleatoriamente; de noser así, al inferir los datos daría lugar a conclusio-nes erróneas.

1 Población y muestra. Variables estadísticas

Al confeccionar tablas, en el caso de variables cuan-titativas, los alumnos, a veces, dudan y confundenlos valores de la variable con la frecuencia absoluta;por lo tanto, sería conveniente que, mediante ejem-plos, lleguen a diferenciarlos.

Es importante que vean el concepto de frecuenciarelativa como un valor para comparar un dato con latotalidad de ellos, y que es un tanto por uno; a dife-rencia del tanto por cien, valor que están acostum-brados a oír.

2 Recuento de datos. Frecuencias

Es importante que los alumnos aprendan a analizarde forma crítica los gráficos que aparecen en todoslos medios de comunicación, y no se dejen engañarcon bonitos y coloridos dibujos.

Asimismo, conviene indicarles que, en los diagra-mas de barras, las alturas corresponden a las fre-cuencias absolutas de los valores y que tambiénpueden hacerse diagramas de barras de frecuen-cias relativas y de porcentajes. Además, si los valo-res de las frecuencias son muy elevados, las alturas se pueden tomar proporcionales a las fre-cuencias.

Sería interesante proponerles que traigan gráficosestadísticos de diarios o revistas y puedan ser anali-zados en clase (qué se representó en cada eje, quéescala se utilizó, qué variable, etc).

3 Tablas y gráficos estadísticos


11

64

11 ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Hay que indicar a los alumnos que los parámetrosque van a estudiar: media, moda y mediana, se lla-man «de centralización»; pero existen otros pará-metros, que sirven para medir el grado de represen-tatividad de estos, llamados «de dispersión», que seexplicarán en cursos sucesivos.

La media es un parámetro ya conocido de cursosanteriores; sobre todo, para hallar la nota media deun conjunto de exámenes. Es importante que la se-pan calcular utilizando su fórmula o mediante eluso de la calculadora. También, es importante quesepan hacer una correcta interpretación de las me-didas.

Los parámetros que se estudian son medidas decentralización porque se obtienen valores centrales,aspecto muy importante para entender el conceptode la mediana.

4 Parámetros estadísticos

Es importante hacer muchos ejercicios de lan-zamiento de monedas o dados para que los alumnoscomprueben empíricamente los resultados.

También hay que insistir en la idea de que la proba-bilidad es un valor que varía entre 0 y 1, pues suelencontestar que la probabilidad de obtener cara al lan-zar una moneda es del 50 %.

5 Probabilidad

Para evitar tener que repetir un número elevado deveces un experimento para calcular la probabilidadde un suceso, algo que puede ser tedioso y aburridohacer, es más práctico que los alumnos vean cuáles

son los casos favorables y cuáles los casos posiblesde que el suceso ocurra, para posteriormente apli-car la regla de Laplace.

6 Regla de Laplace

65

11MATEMÁTICAS

ESTADÍSTICA CON EXCEL

Ordenar en una tabla de frecuencias los datos de laprueba de creatividad del ejemplo de la página 163.Calcular las medidas de centralización y represen-tar los datos en un diagrama de barras.

• Abrir una hoja nueva de Excel y escribir unareferencia al problema con el que estamos tra-bajando: «Análisis de los resultados obtenidosen la Prueba de Creatividad». Introducir en lacolumna A los valores de los resultados y en laB, sus frecuencias absolutas correspondientes,tal como aparece en la figura:

• Comprobar que la suma de las frecuenciasabsolutas es igual al número de alumnos.

Escribir «Total» en la celda A10 y situarse en lacelda B10. Para hacer la suma, seleccionar en labarra de herramientas Insertar → Función →Matemáticas y trigonométricas → Suma →Aceptar.

Observar que en la celda aparece la fórmulay además se muestra una pan-

talla en la que se lee Número 1: B4:B9, pulsar elbotón de aceptar y aparecerá el resultado 20 enesa celda.

=SUMA(B4;B9)

Medidas de centralización

• Para hallar la media aritmética se necesita el pro-ducto de cada valor por su frecuencia absoluta.

Escribir «resultados x frecuencias» en la celda C3.Situarse en la celda C4, introducir la fórmula

y arrastrar el controlador de relleno +,que aparece al situar el puntero sobre la esquinainferior derecha de esa celda, hasta la celda C9. Deesta forma, se obtienen todos los productos.

En la celda C10 sumar esos valores de la maneravista anteriormente. En la casilla A12 escribir eltexto «Media» e introducir en la celda B12 la fór-mula . Pulsar el botón de aceptar, asíse obtendrá el valor de la media: 2,7

La moda es 2, ya que es el valor de la variableresultados que tiene mayor frecuencia.

Representación gráfica

• Para representar estos datos en un diagrama debarras, utilizar el asistente para gráficos

1. Eligir el tipo de gráfico: Columnas y en subti-po de gráfico: Columna agrupada./Siguiente.

2. Seleccionar los datos: en la ficha Rango de

datos introducir el rango B4:B9 desde el grá-fico, y marcar Columnas. Entrar en la fichaSerie, y en Rótulos del eje de categorías (X)

seleccionar el rango A4:A9 desde el gráfi-co/Siguiente.

=C10/B10

=A4*B4

NUEVAS TECNOLOGÍAS

66

11 ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

http://www.chistemania.com/ familia.php?fam=4800&grp=N

Página de chistes relacionados con malas interpretaciones de datos estadísticos y probabilidades.

http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/ Azar_y_probabilidad/azar_probabilidad_2.htm

Interesante página en la que se muestran ejemplos para llegar, empíricamente, a la definición de probabilidad y en la que se aplica también la regla de Laplace.

3. En Opciones de gráfico rellenar la ficha Títu-

los. En Título del gráfico, escribir: «Prueba deCreatividad»; en Eje de categorías (X): «Resul-tados obtenidos» y en Eje de categorías (Y):

«Número de alumnos». Entrar en la fichaLeyenda y desactivar la opción Mostrar leyen-

da. Aceptar en Siguiente.

4. En Ubicación del gráfico, marcar Como obje-

to en: hoja 1 → Finalizar. Así se obtiene lasiguiente pantalla:


67

Solucionario

1. (–4), (–3), (–2), (–1), 0 y 1

4 y 3

2. a) Falso, los números naturales son números enteros positivos y no negativos.

b) Falso, porque para ser entero obligatoriamente ha de ser natural.

c) Falso. Está a la izquierda.

d) Verdadero. |4| = 4 y |–4| = 4

e) Falso, solo los enteros positivos son números naturales.

3. Sí, por definición.

|2| = |–2| = 2; |5| = |–5| = 5; |7| = |–7| = 7

4. Falso, no son números opuestos ya que no tienen el mismo valor absoluto.

2 5–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 3 4 6

SOLUCIONES DE LA PÁGINA 8

5. 10 ºC > 5 ºC > 3 ºC > 0 ºC > –20 ºC

6. –10 < –5 < –4 << –3 << –2 < –1 < 0 < 1 < 2

7. a) –7 << –5

b) Op (–4) = (+4)

c) |–2| >> (–2)

d) +8 << +9

e) |+2| >> (–11)

f) Op (–3) < |–6|

8. Para que fuera cierta tendría que decir: «Todos los números enteros positivos son mayores que cero».


8

9

��

��


��

��

9. a)

b)

UNIDAD 01

10

68

SOLUCIONARIO

c)

d)

10. a) 0 b) –13 c) –17 d) –120

11. a) (–15) + 20 = (+5) b) (–8) + 15 + (+12) + (–10) = (+9)

12. 035; 053; 350; 530; 305; 503; -035; -053; -350; -530; -305; -503

13. En la primera parada: (–11) + 8 = (–3); en la segunda: (–25)

45 + (–3) + (–25) = 45 + (–28) = 17 alumnos quedan en el autobús.

��

��

��

��

14. a) (+4) + (–12) = (–8) (–4) + (–4) = (–8)

b) (–3) + (–9) = (–12) (+5) + (–17) = (–12)

15. a) (–4) + 0 = (–4) c) (–14) + (+21) = (+7)

b) (–10) + (–5) = (–15) d) (–16) + (+8) = (–8)

16. (–5)

17. a) (–8) b) (+5) c) (+8) d) (–30)

18. Op (2 + 3) = op 5 = (–5) y op 2 + op 3 = (–2) + (–3) = (–5)

Op [2 + (–3)] = op (–1) = 1 y op 2 + op (–3) = (–2) + 3 = 1

Es cierto.


19. a) 15 + (–68) = (–53)

b) (–57) + 34 = (–23)

c) 67 + 89 = 156

d) 130 + (–230) = (–100)

20. a) (–24) – (0) = (–24)

b) (–120) – (+4) = (–124)

c) (+20) – (+38) = (–18)

d) (–15) – (+5) – (+10) = (–30)

21. Respuesta libre.

22. a) +3 + 35 – 16 = 22

b) –120 + 20 – 60 = 100 – 60 = –160

c) 113 + 235 + 16 = 364

d) (–22) + 10 – 50 – 35 = –97

23. Verdadera. Op (5 – 3) = op 2 = (–2) y

op 5 – op 3 = (–5) – (–3) = (–5) + 3 = (–2)

24. –106 + 63 = –43 o 43 a. C.


11

12

69

MATEMÁTICAS

25.

26. a) 3 · 7 = 21 c) 756

b) 20 · (–1) = –20 d) (–2) · 23 = (–46)

27. Por (–1).

28. Falso. Op (3 · 2) = op 6 = (–6) y op 3 · op 2 = (–3) · (–2) = 6


a b Signo a · b |a · b| a · b

5 – 5 – 25 – 25

– 6 4 – 24 – 24

– 8 – 7 + 56 56

– 2 2 – 4 – 4

5 3 + 15 15

5 -4 – 20 -20

29. a) (–10) b) 5 c) (–4) – 2 = (–6) d) 5 + 4 = 9

30.

31. Por (–11).

32. D = (–12) · (–6) + 0 = 72

33. 192 = d · (– 6) → d = – 32

34. (– 504) : (– 12) → d = 42

35. Falso. Op [6 : (–3)] = op (–2) = 2 y op 6 : op (–3) = (–6) : 3 = –2


a b Signo a : b |a : b| a : b

5 – 5 – 1 – 1

– 16 – 4 + 4 4

– 8 2 – 4 – 4

– 12 – 6 + 2 2

36. a) Falsa, porque es igual a –23 d) Verdadera g) Falsa, porque 3 ≠ -3

b) Falsa, porque (–1) ≠ 1 e) Verdadera h) Verdadera

c) Falsa, porque 8 ≠ 9 f) Falsa, porque 10 = 1 i) Falsa, no tiene solución en enteros.

37. a) (–2)7 f) [35 : 32 · (–2)1]4 = 312 · (–2)4 = 312 · 24

b) (–52)3 = –56 g) 4 · 24 = 26

c) 66 h) 6 + 9 · 34 = 6 + 36

d) [– (24)]6 = –246 i) -4 + 2 = -2

e) 212 · (–2)12 = 224


13

14

15

70

SOLUCIONARIO

38. a) (–7) – 25 + (–40) = –72

b) –3 – 4 – (–1) · (–6) = –7 – 6 = –13

c) (–2) · 9 – 125 = –18 – 125 = –143

d) (–1) – 3 = –4

e) –5 + 12 – 2 = 5

f) (–1) – (–15 – 24) = –1 – (–39) = –1 + 39 = 38

39. a) –5 · (6 + 7) = –5 · 13 = –65

b) (–3) · (2 – 7) = (–3) · (–5) = 15

c) (–4) · (2 – 10 + 12) = (–4) · 4 = (–16)

d) a · [(–b) + c]

40. a) – (6 – 16) – 3 + [(–4) · (13)] = – (–10) – 3 + (–52) = –45

b) – 8 + (– 8) + 31 = – 16 + 31 = 15

c) (– 2) · (– 7) – 10 = 14 – 10 = 4

d) (– 8) · (– 2) + (– 2) · (– 9) = 16 + 18 = 34

e) (– 6) : 6 – (– 6) : 2 = – 1 + 3 = 2

f) -1 + 6 : 2 = -1 + 3 = 2

g) [-12 : 3] + (-2)4 = -4 + 16 = 12



1.

2.

3.

4.

4 9 2

3 5 7

8 1 6

0 7 –1

1 2 3

5 –3 4

3 –4 4

2 1 0

–2 6 –1

22 47 16 41 10 35 4

5 23 48 17 42 11 29

30 6 24 49 18 36 62

13 31 7 25 43 19 37

38 14 32 1 26 44 20

21 39 8 33 2 27 45

46 15 40 9 34 3 28

16

17

71

MATEMÁTICAS

ACTIVIDADES

MAPA CONCEPTUAL

a) Respuesta libre.

b) Sí. 4 > 2 y |+ 4| > |+ 2|

c) No. – 2 > – 4 y |– 2| < |– 4|

d) Conmutativa, asociativa, distributiva y elementoneutro.Conmutativa, asociativa y elemento neutro.

están

que siguen una

se pueden

realizar con ellos

tales como

se rige por la

si los factores

son iguales

se rige por la

Ordenados

Adición DivisiónSustracción

Potencias

Raíz cuadrada

Operaciones Jerarquía

NÚMEROS ENTEROS

Multiplicación

Regla de

los signos

2. a) – 100 g) 2 000

b) 50 h) – 960

c) 4 i) – 1

d) – 1 j) – 1100

e) 260 k) – 1111100

f) – 720 l) 20

3. a) 0 e) 10

b) 100 f) 3

c) – 48 g) -4

d) – 30 h) 0

4. a) 64 e) 10

b) – 27 f) 3

c) – 125 g) -4

d) 25 h) 1

CÁLCULOS

1.

18

14.

15. a) 4 · (–3) = –12 d) 3 · 4 = 12

b) 5 · (–1) = –5 e) (–3) · (–4) = 12

c) 2 · 4 = 8

16. A las 8 de la mañana.

17. a) (–2) · 11 = –22 b) 2 · 1 = 2

c) –2 · (–11) = 22 d) –10

18. (–2)2 = 4 22 = 4

(–2)3 = –8 23 = 8

(–1)2 = 1 32 = 9

(–1)3 = –1 33 = 27

02 = 0 42 = 16

03 = 0 43 = 64

12 = 1 52 = 25

13 = 1 53 = 125

19. (–4)0 = 1 (–4)2 = 16

(–4)4 = 256 (–4)6 = 4 096

(–4)1 = –4 (–4)3 = –64

(–4)5 = –1024

72

SOLUCIONARIO

5. a) 0 m de altitud.

b) +1 064 m

c) –395 m

6.

7. a) 1492 c) 1789

b) 500 a. C. d) 0

8. Valores absolutos: 0, 3, 5, 10, 8, 9 y 70

Opuestos: 0, 3, (–5), 10, 8, (–9) y 70

9. –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4 y 5

10. María > Fede > Ana = Carmen = José Luis

LOS NÚMEROS ENTEROS. REPRESENTACIÓN, ORDEN Y VALOR ABSOLUTO

Temperatura por la Temperatura por la Variación o descenso

mañana, en °C tarde, en °C de temperatura

0 3 +3

4 1 –3

8 0 –8

12 6 –6

16 13 –3

20 9 –11

24 5 –19

11. a) 14 – 8 + 9 = 14 + 1 = 15

b) 12 + 6 – 4 – 8 = 6

c) –21 + 8 = –13

d) –5 + 3 – 10 = –12

12. a) 350 g) -60

b) –24 h) -324

c) –630 i) 35

d) –4 j) -60

e) 30 k) 60

f) -30 l) -70

13.

a b |a| |b| a – b |a| – op (b)

(+3) (–2) 3 2 5 1

(–3) 2 3 2 –5 5

4 (–3) 4 3 7 1

(–8) (–1) 8 1 –7 7

–1 · 2 · –2 · 1 = 4

· –1 · –1 : –1 : –1 –1

0 · –1 · –2 : –1 = 0

= –1 = –1 = –1 = –1 –1

0 –1 –2 –1 1 –1 –1 –1 –1

19

73

20. a) -5 f) 5

b) -2 g) 3 – 4 = –1

c) 5 h) No es exacta, no perte-

d) 4 nece a enteros.

21. a) x = –8 d) x = 2

b) x = 4 e) x = –1

c) x = -3 f) x = 2

22. Para recorrer los 30 km hasta el refugio tardare-

mos = = 1 hora y media.

Como se consumen dos litros en una hora, en horay media habrán consumido: 1,5 : 2 = 0,75 litros porpersona.

0,75 · 20 = 15 litros consumirán hasta llegar alrefugio; por lo tanto, tendrán agua suficiente eincluso les sobrará.

23. x · (op x)2 = –27; solo puede ser (–3).

32

3020

MATEMÁTICAS

DESAFÍOS

24. a) –50 b) 0 c) –68

d) –6 e) –2 f) 0 g) –18

25. a) Falsa. Cuando se multiplica un número de vecespar un número negativo, el resultado será siem-pre positivo.

b) Falsa. Es la resta de exponentes.

c) Falsa. Para que fuera cierta correspondería conel producto.

26. a) 2 + 1 – 27 = –24 e) –8 : 4 + 1 = –1

b) 9 – 1 – 4 = 4 f) (–3)5 + 1 = –242

c) –18 – 125 = –143 g) –3 – 9 = –12

d) 4 – 9 = –5

27. Actividad resuelta.

28. –5 = –3 + (–2)

–9 = –4 + (–3) + (–2)

12 = 3 + 4 + 5

29. 50 m + 20 m – 35 m = 35 m

1000 m – 35 m = 965 m

30. Primera letra: 65 – 64 = 1 ⎯⎯→ A

Segunda letra: 4 · 13 – 45 = 7 ⎯⎯→ Z

Tercera letra: 4 : 2 = 2 ⎯⎯→ U

Cuarta letra: 7 · 2 + 2 = 16 ⎯⎯→ L

31. Es -5.

32. El doble ha de estar entre –5 y –11; solo puede serel –3, el –4 o el –5. Pero si, además, su cuadrado hade ser menor que 16:

(–3)2 = 9 (–4)2 = 16 (–5)2 = 25

De aquí deducimos que el número que buscamossolo puede ser el (–3).

33. a) Falsa. b) Verdadera. c) Falsa.

34. Cada minuto salen del depósito: 43 – 30 = 12 litros.

Tardará en vaciarse el depósito 420 : 12 = 35 minu-tos.

A los 15 minutos habrán salido del depósito un totalde 12 · 15 = 180 litros de agua. Por lo tanto, queda-rán todavía 420 – 180 = 240 litros en el depósito.

35. Todas las carretillas vacías pesan:

258 · 300 = 77 400 kg.

Se han extraído en total:

1088 000 – 77 400 = 1010 600 kg de carbón.

Cada minero ha extraído, por término medio, al día:1010 600 : 815 = 1240 kg de carbón.


SEGUÍ LA FLECHA

–16 : 2 –8 : 2 –4· (–1) : (–2) · (–1) · (–2) · (–1)

16 : 2 8 : 2 4· (–1) : (–2) · (–1) : (–2) · (–1)–16 : 2 –8 : 2 (–4)

20

21

74

SOLUCIONARIO

BUSCAR EL SÍMBOLO

a) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 · 9 = 100 b) 1 · 2 + 3 · 4 + 5 · 6 + 7 · 8 = 100

c) 2 · 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 · 9 = 100

EL NÚMERO ESCONDIDO

Es el 15. El número del centro resulta de sumar todos los demás números y el resultado dividirloentre tres.

= 13 = 152 + 7 + 3 + 6 + 21 + 6

37 + 6 + 9 + 8 + 5 + 4

3

NÚMEROS Y NÚMEROS

CIFRAS Y LETRAS

9 8 0 1 01 0 1 5 9 6 0____

1 0 3 9 7 0

ACERTIJO

Puede haber muchas formas de obtener estos números, por ejemplo:

a) = 10 b) = 100010 · (10 + 10) · 10 – 10 · 10 · 10

1010– 10

5 · 5 + 5 · 55

1

28

4 9

5

7

6 3

15 2921

22

El primer día sube: 4 – 3 = 1 metro.

El segundo día: 1 + 4 = 5 → 5 – 3 = 2 metros.

El tercer día: 2 + 4 = 6 → 6 – 3 = 3 metros.

El cuarto día: 3 + 4 = 7 → 7 – 3 = 4 metros.

El quinto día: 4 + 4 = 8 → 8 - 3 = 5 metros.

El sexto día: 5 + 4 = 9 → 9 - 3 = 6 metros.

El séptimo día: 6 + 4 = 10 metros (ya llegó).

Por lo tanto, necesitará 7 días para alcanzar la salida.

EL CARACOL Y EL POZO

Pedro habló con Nuria, pues Lucía no podría decir de sí misma que miente ya que está diciendo la verdad.

NURIA O LUCÍA

75

MATEMÁTICAS

UNIDAD 02

1. a) b) c)

2. Respuesta libre. Por ejemplo:


4. a) b)

5. = Impropia

= Propia

= Propia

= Propia

6. a) 15

b) Respuesta libre. Por ejemplo: los númerosdeben multiplicar 24.

c) Respuesta libre. Por ejemplo: 3; 4 y –6.

1015

46

410

615

810

1215

96

64

69

1421

14

316

116



a) Ampliadas: , ; simplificadas: ,

b) Ampliadas: , ; simplificadas: ,

c) Ampliadas: – , – ; simplificadas: – , – 23

69

72108

5481

53

106

10060

4024

34

68

90120

6080


9. a) , , c) – , , –

b) , , d) , ,

10. , , , = , , ,

Por tanto, = > �4572

4872

5472

5472

5472

5472

4872

4572

34

912

1218

58

72432

27432

16432

52144

66144

45144

40154

33154

56154

3530

1830

930


d) Ampliadas: – , – ; simplificadas: – , – 3

8. a) b) –

c) d) – 59

23

117

53

93

18060

3612

(de más efectividad a menos)

22

24

26

25

a) Nicolás: = Hugo: =

b) Total de fotos: 62 + 48 = 110

Nicolás: = Hugo: =

Nicolás ha fotografiado más veces el río Nilo.

655

12110

955

18110

14

1248

931

1862

SOLUCIONES DE LA PÁGINA MOTIVADORA

a) c) 28

46

b) d) 66

144

52

36

110

38

b) , , → < < → < <

76

SOLUCIONARIO

11. – > – > – > –

12. El número correcto es el d) :

13. a) , , → < < → < <

c) – , – , – → – < – < – → – < – < –

d) – , – , – → – < – = – → – < – = –


a) , , , , → , , , ,

b) , , , , → , , , ,

c) , , , , → , , , ,

d) , → , → , , , , → , , , ,

15. , → > → >

, , → , ,

Otro ejemplo: , , → , , 198264

192264

176264

68

811

23

80120

90120

96120

45

68

23

23

45

1015

1215

1215

1015

1225

71150

69150

67150

1330

72150

71150

69150

67150

65150

72150

65150

1225

1330

57

1928

1828

1728

47

2028

1928

1828

1728

1628

76

8372

8272

8172

109

8472

8372

8272

8172

8072

13

1548

1448

1348

14

1648

1548

1448

1348

1248

39

26

35

3090

3090

5490

3090

5490

3090

35

79

1215

2745

3545

3645

3645

3545

2745

89

78

34

6472

5672

5472

6472

5672

5472

19

43

1210

76

89


4260

4560

3660

3660

4260

4560

35

710

912

16. a) – b) c) d) –

17. Labró los de la tierra y le resta por labrar .1

727172

218

12

18

4145


27

28

77

MATEMÁTICAS

18. Da igual.

19. a) b) c) d) –

20. Durmiendo, de día u 8 horas; en el colegio, de día ó 6 horas; en casa y ocio,

de día ó 10 horas.5

12

14

13

516

512

85

15


21. a) c) 4

b) – d) –

22. –

23.

24. a) � b) –

25.

26.3

2032

33

481

27

13

14

1615


: –16

23

37

1 –187

914

37

– – 1 –4149

23

– 114

718

16

27. a) c) No da exacta.

b) – d)12

132

6 56165 536 28. a) � �9

b)

c) �– � d) 17

32

23

13


32

. = 1

52

. = 514

29. a) b) – c) d) – e) – f)

30. a) b) c) 32

10360

85

4390

217144

511

209

32360


378

1. La pista mide 1000 m.

2. La entrada del adulto cuesta $22 y la infantil $11.

3. Había 25 368 kilogramos antes de que se estro-peara.


29

30

31

32

33

78

SOLUCIONARIO

ACTIVIDADES

MAPA CONCEPTUAL

1.

a) Significa que se tomaron dos partes de una tartaque se ha dividido en siete partes iguales.

b) Las que representan la misma cantidad.

Por ejemplo:

=

c) Amplificar una fracción consiste en multiplicar elnumerador y el denominador de la fracción por unmismo número natural mayor que uno.Simplificar una fracción consiste en dividir elnumerador y el denominador de la fracción entreun divisor común.

d) Verdadera.Falsa.Falsa.

24

12

con las que

se pueden realizar

como se obtienen por

se utilizan para

si representan

la misma cantidad son

si los factores

son iguales

FRACCIONES

Operaciones Fracciones

equivalentes

Adición Sustracción División Simplificación Ampliación

Comparar y ordenar

Multiplicación

Potenciación y Radicación

2. a) 25 cm b) 12 cm c) 6 cm d) 1,5 cm

3. a) b) 2 c) d)

4. a) d) 3 g)

b) e) h)

c) f) i) 12

52

56

23

158

32

94

43

18

316

34

CÁLCULOS

34

5. a) d)

b) e) –

c) f)

53

54<

25

>

45

<

103

> −

< −

86

>

34

12

23

83

34

5353

5353

79

MATEMÁTICAS

6. Las regiones de color amarillo representan lassiguientes fracciones:

a) , fracción impropia. c) , fracción impropia.

b) , fracción impropia. d) , fracción impropia.


a)

b)

c)

d)

8. a) m = m c) L

b) min = min d) kg1

4830

1440

1100

320

15100

94

53

39

45

19

14

316

14

FRACCIONES

9. a) 27

b) 20 y 6. Hay más posibilidades.10. y ; y

156

104

69

1015

FRACCIONES EQUIVALENTES


a) Amplificación: , ;

simplificación: ,

b) Amplificación: – , – ;

simplificación: – , –

c) Amplificación: , ;

simplificación: ,

d) Amplificación: – , – ;

simplificación: – ; –

12. a) b)

c) – d) – 7

13. – < – < – < <4

125

1616

29

415

13

53

23

1210

1815

360300

7260

520

14

100400

50200

64

96

5436

3624

24

12

3060

2040

SIMPLIFICACIÓN Y COMPARACIÓN DE FRACCIONES

14. a) – c) –

b) d)

15. a) 10 b) 2 y 6. Hay más posibilidades.

c) 3 d) 6

16. a) b) – c) d)

17. Para la primera prueba emplea de hora y para

la segunda de hora.1

10

320

715

94

35

715

1160

203120

2360

23

OPERACIONES CON FRACCIONES

35

54

80

SOLUCIONARIO

18. a)

b) En junio 20 alumnos y en septiembre 6.

c) 4 alumnos

19. Pasearemos 7,5 km.215

20.

21. a) – c)

b) d) –

59

78

5612

DIVISIÓN DE FRACCIONES

1516

349

22. a) � �13

c) �– �–3

b)�

� �–514

52

34

15

POTENCIAS Y RAÍCES DE FRACCIONES

32

27. a) : � · � + – = 2

b) · : � + � + = 1

c) �

d) : �� + � · � = 2

28.4345

14

14

14

14

13

23

23

23

23

23

12

12

12

12

12

24. a) d)

b) – e)

c) f) 0

25. Costó $1,845

26. Debe durar el examen 50 minutos.

200147

38

10318

532

5116


LA RUEDA DE LOS NÚMEROS

DESAFÍOS

36

37

81

MATEMÁTICAS

TRIÁNGULO DE FRACCIONES

a) Realizar un dibujo compuesto por cuatro partesiguales a la figura del enunciado. Como es evidentehay muchas posibilidades, una de ellas puede ser:

b) Como la figura del enunciado es partes de la origi-

nal quiere decir que la mitad de esta es parte de

la original. Por lo tanto, la figura debe aparecer

cinco veces en la original.

Por ejemplo:

c) La figura original es:

d) La figura original es:

LA FIGURA COMPLETA

a)b) ⇔ ; ⇔ ⇔ ; ⇔

116

116

18

18

18

14

14

EL TANGRAM

25 1

5

116

14

18

14 1

1618

18

Dos de las parcelas cuestan $30 000 cada una � �.

Tres de las parcelas cuestan $15 000 cada una

� �.

Dos de las parcelas cuestan $7 500 cada una � �.116

18

14

VALOR DE LAS PARCELAS

82

SOLUCIONARIO

UNIDAD 03


1. a) 4,42 c) 0,003495

b) 171,3 d) 0,0000004

2. a) 3,4 < 3,44 < 3,442 < 3,45 < 3,454 < 3,5 b) –5,2 < –3,1 < –1,3 < –0,4 < 4,7 < 6,8

3.

4. Se pueden encontrar infinitas expresiones decimales, una solución, por ejemplo, puede ser:

a) 2,3 y 2,57 d) –0,01 y 0

b) –1,153 y –1,159 e) 24,423 y 24,43

c) 32,25 y 32,3 f) 121,502 y 121,504

-5,2 -3,1 -1,3 -0,4 4,7

76543210-1-2-3-4-5-6

6,8

5. Deben hacer una recta, pero pueden elegir la esca-la, un ejemplo:

6. a) < c) <

b) < d) >

7. a) c)

b) d)7

1 000 000

123100


1251000

8. $0,70 + $6,14 + $3,16 = 10

9. $20 - $10 = $10 de vuelto.

10. a) (3,24 + 23,78) – 12,5 = 27,02 – 12,5 = 14,52

b) (24,3 – 1,88) – (3,25 + 100) = 22,42 – 103,25 =–80,83

c) 35,04 + (–11,3) + (–52,22) = –28,48


234361000

40

38

41

42

1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6

1. Bacteria Escherichia Coli → 3 μm = 0,000003 m = m

Glóbulo rojo → 7 μm = 0,000007 m = m

Virus de la gripe → 80 μm = 0,000080 m = m = m

2. 5 000 000 · = 35

Ocuparían una longitud de 35 metros.

71 000 000

8100 000

801 000 000

71 000 000

31 000 000


83

MATEMÁTICAS

15. $248 : 3 = $82,66 por mes.

$82,66 : 30 = $2,75 por día.

$2,75 · 10 = $275 por 10 días.

16. a) 38 : 6 = 6,333... c) 572,34 : 4 = 143,085

b) 2 : 500 = 0,004 d) 4,2816 : 1,2 = 3,568

17. a) 3,8 : 1 000 = 0,0038 c) 1 084 : 1 000 = 1,084

b) 0,02 : 100 = 0,0002 d) 10,84 : 10 = 1,084

18. a) 24 : 0,5 = 48 b) 24 : 1 = 24 c) 24 : 1,5 = 16

Si dividimos entre números positivos más peque-ños que 1, el resultado es un número mayor.


19. a) 0,09 c) 0,9

b) -1,331 d) -0,2

20. �5 40��2,25� = 73,5 metros mide el lado.

21. a) �27� = 5,19

Podrá formar 5 filas.

b) No podrán participar en la tabla dos alumnos.


22.

23. a) 29,98 · 3,01; estimando en las unidades es: 30 · 3 = 90 c) 480,43 : 12; estimando: 480 : 12 = 40

b) �99� , la raíz cuadrada de 100 es: 10 d) 990,675 – 90,32; estimamos: 990 – 90 = 900


Número Décimos Centésimos Milésimos Diezmilésimos

= 1,42857142... 1,4 1,43 1,429 1,4286

2,7123 2,7 2,71 2,712 2,7123

22,1657 22,2 22,17 22,166 22,1657

9,356284 9,4 9,36 9,356 9,3563

107

1. 117,45

2. 5,68

3. 19,28

4. 18,5

5. 2,375


43

44

45

47

46


11. $11,10075

12. a) 65,2 · 3,47 = 226,244 c) 0,2 · 0,05 = 0,01

b) 3,6 · 3,7 · 3,8 = 50,616 d) 0,00023 · 106 = 230

13. a) 3,7 · (–2,25) = –8,325

b) –0,32 · (–8,2) = 2,624

c) –24,78 · 1 000 = –24 780

d) 0,04 · (–100) = –4

14. a) 24 · 0,5 = 12 b) 24 · 1 = 24 c) 24 · 1,5 = 36

Si multiplicamos por números positivos más pe-queños que 1 el resultado es un número menor.

84

SOLUCIONARIO

ACTIVIDADES

1.

MAPA CONCEPTUAL

EXPRESIONES DECIMALES

pueden tener se pueden se pueden

realizar

como

Infinitas

cifras decimales

Número finito de

cifras decimales

Decimales

exactos

son

Representar

y ordenar

Operaciones

Adición Sustracción

Multiplicación

División

Potenciación

Radicación

a) Una expresión decimal con un número finito dedecimales.

Por ejemplo: 6,57

b) Respuesta libre.

c) Hay infinitas posibilidades.

Por ejemplo: 2,49 > 2,45 > 2,37 > 2,25 > 2,18

d) 5,119 < 5,12 < 5,121 < 5,123 < 5,13

e) Respuesta libre. Por ejemplo:

Adición: 3,25 + 4,33 = 7,58

Sustracción: 4,68 – 3,27 = 1,41

Multiplicación: 3,25 · 2,71 = 8,8075

División: 7,92 : 2,2 = 3,6

Raíz cuadrada: �10,24�� = 3,2

Potenciación: (1,9)2 = 3,61

2. a) 0,05 b) 0,8 c) 0,2 d) 0,01

3. a) 0,3 b) 0,42 c) 0,327 d) 4,24

4. a) 2,5 b) 36 c) 1,8 d) 2,1

5. a) 3 b) 42 c) 32,7 d) 424

6. a) 10 b) 144 c) 7,2 d) 8,4

7. a) 8,04 b) 0,4 c) 0,092 d) 0,2002

CÁLCULOS

8. a) 0,000050 c) 34,5

b) 500,0300 d) 0,00005

9. 0,000050 = 5 · ; 500,0300 = 5 · 100 + 3 ·

34,5 = 3 · 10 + 4 · 1 + 5 · ; 0,00005 = 5 · 1

100 0001

10

1100

11 000 000

EXPRESIONES DECIMALES. ORDENACIÓN Y REPRESENTACIÓN

48

49

85

MATEMÁTICAS

10. a) 8,042 < 8,044 < 8,404 < 8,42 < 8,440 < 8,442

b) –33,06 < –32,66 < –32,6 < –32,06

c) –44,22 < –42,24 < 22,44 < 24,42

d) –0,02 < –0,002 < 0,0002 < 0,02

11. a) 22,7 b) 2,63

c) –3,73 d) –2,6

12. 1,2 > 0,9 > 0,3 > -0,3 > -0,7 > -2,1

13. Todas.

14. a) 0,207 d) 0,83 (aprox.)

b) 14,8 e) 0,36

c) 0,85 f) 0,063

15. a) c)

b) d)

16. a) 7,5894 · 105 = 758 940

b) 4 978,22 : 1 000 = 4,97822

c) 94,5 : 104 = 0,00945

17. a) 0,252 = 0,0625

b) (–1,2)3 = –1,728

c) 0,12 · 0,14 = 0,000001

d) 0,14 : 0,12 = 0,01

18. a) 75,98 · 9,4 = 714,212

b) 12,96 · 1,23 · 4,07 = 64,879056

c) –0,9 · 0,9 = –0,81

d) 100,8 : 56 = 18

e) 4 237,2 : 0,32 = 13 241,25

f) 25,11 : (–3,6) = –6,975

g) 368,65 + 8,009 = 376,659

h) 853,21 + 4 532,9795 = 5 386,1895

i) 74,3 + 947,54 + 745,925 = 1 767,765

j) 465,43 – 438,8 = 26,63

k) 854,45 – 976,835 = –122,385

l) –398,59 – 43,985 = –442,575

2110

3325

2001500

11500

OPERACIONES CON EXPRESIONES DECIMALES

19. 1er día: $60,20

2° día: $30,10

3er día: $1/5 (120,40 – 90,30) = $1/5 · 30,10 = $6,02

60,20 +$ 30,10 + $6,02 = $96,32

Le quedan por recoger: $120,40 – $96,32 = $24,08

20. $5,37 cuesta todo, me devuelven $ 4,63.

21. 20 000 leguas · 5,52 km/legua = 110 400 km

22. (1 libra · 1 kg) : (0,461 kg) = 2,17 libras

23. (1 milla · 1 000 m) : (1 609,34 m) = 0,62 millas

24. �30� = 5,47; aproximación por defecto a las centési-mas, redondeando: 5,48 cm de lado.

25. a) 0,1 c) 0,3

b) 0,3 d) No tiene solución en Q.

26. a) 456,34 – (34,57 – 2 · 32,4) = 456,34 – (–30,23) == 486,57

b) 3,4 – 2,6 · 4,2 + 3,02 · 10 = 3,4 – 10,92 + 30,2 = = 22,68

c) 35,72 – 4,2 · (5,3 + 84,96 : 47,2) = 35,72 – 4,2 · 7,1 == 35,72 – 29,82 = 5,9

d) 65,3 – (23,2 – 46,2 : 100) · 0,25 =

= 65,3 – 22,738 · 0,25 = = 59,615527. a) 362,41 – (–22,56 + 3 · 41,2) = 261,37

b) 0,4 – 7,7 : 2,2 + 0,1 : 10 = –3,09

c) 3,7 – 12,4 · (6,32 – 68,779 : 5,45) = 81,82

d) 7 – [2 – 4,3 · (2,7 – 3,1 · 4,2)] = –39,376

28. a) 3 837,68 b) 0,54 c) 539,95 d) 0,3

29. a) Multiplicación y resta.

b) Suma y multiplicación.

c) Suma y multiplicación.

d) Suma y división.

30. Respuesta libre. Por ejemplo, un enunciado puedeser este: «Por la compra de cuatro objetos quevalían $172,75, al ir a pagar le descontaron $12,25.¿Cuánto costó cada objeto?».

31. En las del primer tipo un litro cuesta $2,185, y enlas del segundo tipo un litro cuesta $2,20; por lotanto, es más barata la del primer tipo.

32. El libro tiene 640 páginas, que son 320 hojas con ungrosor total de 4 cm – 0,5 cm = 3,5 cm. El grosor deuna hoja es: 3,5 : 320 = 0,0109375 cm

49

86

SOLUCIONARIO

33. a) 3 kg b) 2 kg c) kg d) 1 kg

34. La b), 19,5

35. La d), 0,04

36. a) 0,25 c) 2

b) 105,75 (aprox.) d) 1,86 (aprox.)

37. a) 5 paquetes.

b) En 27,6 kg.

38. a) d) 1,49

b) 1 e) 0,905

c) -3,4375 f) 4,13 (aprox.)

39. 0,36 cm.

12

458

INVESTIGAR CON LA CALCULADORA

DESAFÍOS

a) Para visualizar en la pantalla una expresión decimalsin utilizar la tecla del punto decimal, podemoshacer cualquier operación que dé como resultado unnúmero decimal, por ejemplo: 3 : 5

b) Si las dos expresiones decimales que multiplicamosson menores que 1, el resultado es menor que losdos números, por lo tanto, menor que 1; y si sonmayores que 1, el resultado será mayor que 1. Siuna de las expresiones decimales que multiplica-mos está comprendida entre 0 y 1, el resultado esta-

rá entre las expresiones multiplicadas; en este casoserá igual a 1. Cuando multiplicamos expresionesdecimales inversas, por ejemplo: 12,5 y 0,08 serámayor que 1 si una de las expresiones multiplicadases mayor que la inversa de la otra, y será menor que1 si es menor que la inversa de la otra.

c) Si los denominadores son potencias de 2, potenciasde 5 y potencias de 2 por potencias de 5, el resulta-do de las divisiones son decimales exactos, en losdemás casos obtenemos decimales periódicos.

Para que la tira sea bastante larga, basta que sea muy estrecha. Repitiendo el proceso que se indica

en el dibujo, tendríamos 4 metros de largo por de ancho y, así, sucesivamente, se puede obtener

una longitud tan grande como se desee, por lo menos, teóricamente.

TIRAS DE PAPEL

La botella solo cuesta $1,05. Es decir, 1 peso y 5 centavos. El corcho cuesta 5 centavos.

VALOR DE LA BOTELLA Y EL CORCHO

14

51

87

MATEMÁTICAS

52

Pensar un número: x

Multiplicarlo por dos: 2 · x = 2x

Sumarle seis: 2x + 6

Multiplicarlo por tres: (2x + 6) · 3 = 6x + 18

Dividirlo entre seis: = + = x + 3

Quitarle el número pensado: x + 3 – x = 3

186

6x

66x + 18

6

1. a) Un número multiplicado por menos siete.

b) Seis más el doble de un número.

c) La mitad de, un número aumentado en tres uni-dades.

d) El triple de, un número disminuido en dos uni-dades, más siete unidades.

2. a) 5x 2 c) (2x )2

b) 3x – 2x d) x + x + 1

3. El cubo de la suma de dos números es (x + y)3.

La suma de un número y su cuadrado es x + x 2.

La suma de dos números consecutivos es (x + 1) + + (x + 2).

El doble de un número menos el triple de otro es 2x – 3y.

Un cuarto del doble de un número menos siete es:

· (2x – 7).

4. 3 · 23 + 4 · 22 – 5 · 2 + 7 = 24 + 16 – 10 + 7 = 37

14

UNIDAD 04

5. Es verdadera.

6. Es falsa.

7. a) Identidad

b) Se cumple solo para a = –3.

c) Falsa, no se cumple para ningún valor.

d) Identidad



10. a) Cierta c) Cierta

b) Cierta d) Cierta

11. Es compatible determinada, las soluciones son4 y –3.

12. a) Falso c) Cierto

b) Cierto d) Cierto

13. a) Falso c) Falso

b) Falso d) Cierto



8. a) x = 60 c) x = 16 e) x = –1 g) x = 1 i) x = 35

b) x = 5 y – 5 d) x = 0 y 1 f) x = – h) x = 2

9. a) Una incógnita. b) 3x + 2 c) 2x + 3 d) Una incógnita.

12

54

55

56

57


88

SOLUCIONARIO

14. a) x = 6 d) x = –3 g) x = 13

b) x = 4 e) x = 11 h) x = –4

c) x = 6 f) x = –1

15. a) x = 9 b) x = 3 c) x = 4 d) x = –2

16. a) x = 0,3 b) x = –8,6 c) x = –6,2 d) x = 9,5

17. a) x = d) x =

b) x = e) x =

c) x = f) x = 1120

1915

143

–152

74

52


18. a) x = 2 d) x = 3

b) x = –2 e) x = 5

c) x = 2 f) x = 12


20. Tienen 10, 15 y 20 años.

21. El número es el 33.

22. El número es el 90.

23. La base mide 24 cm y la altura 12 cm.


1. Tiene dos soluciones válidas:

• La cara posterior de 5 es 13 y la de 7 es 11.

• Las caras posteriores de 5 y 7 son, respectiva-mente, 9 y 15.

2. Tiene dos soluciones: 1 y 3 es una solución, y la

otra es y 2.32


ACTIVIDADES

MAPA CONCEPTUAL

1.

Lenguaje simbólico y coloquial

LENGUAJE ALGEBRAICO

El doble de un número →2 · n

La cuarta parte de x →

x : 4 ó x14

El triple del quíntuplo de

una cantidad →

3,5 c ó 15c

La mitad del cuadrado de

nueve →

92 : 2 ó · 9212

58

59

60

61

62

19. a) x = 3 d) x =

b) x = -7 e) x =

c) x = -2 f) x = 3

5454

1113

89

MATEMÁTICAS

a) • 2x

• s : 3 ó s

• x : 2 ó ó x• x - 1

• x + 1

• 2 (x + 1)

• (x - 1)

b) • El triple de un número.

• El cuadrado del anterior de un número.

• La mitad de un número.

• El triple del siguiente de un número.

• Un número por su consecutivo.

• El cubo de un número.

• La raíz cuadrada de un número.

13

x

212

14

2. a) 18 b) 6 c) 100 d) 18

3. a) 62 b) 6 c) d) 4

4. a) x = 5 b) x = 4 c) x = 1 d) x = 0

5. a) Sí b) Sí c) Sí d) Sí

6. a) 19x b) – y c) x2 + x d) 1 – 11x

7. 10

42

CÁLCULOS

8. a) 2n, 2n + 2 c)

b) 2x + x2 d) x2 – y 2

9.


x

5

LENGUAJE Y EXPRESIÓN ALGEBRAICA

María tiene cien más que José. x = y + 100

Tengo el doble de años que vos. y = 2x

El precio de x yogures a $1,82 la unidad. p = 1,82 x

La suma de dos números naturales consecutivos es 45. n + (n + 1) = 45

La edad de Ana dentro de tres años será la mitad de la que tenía María hace dos años.

Me quedan diez caramelos después de haberme comido la mitad y haberle dado a mi hermano la tercera parte.

x + 3 = y – 2

2

10 = x – – x

3x

2

11. a) Ecuación

b) Identidad

c) Identidad

d) Ecuación

12. No

13. a) 6

b) 10

c) 5 – 10x

d) x2

IGUALDADES, IDENTIDADES Y ECUACIONES

63

90

SOLUCIONARIO

14.

15.



18. a) x = 7 y 0 b) x = 8 c) x = 30 d) x = 22

Ecuación Valores para la letra ¿Es solución?

0 No

4x – 2 = 2x + 12 7 Sí

1 No

–2 No

+ 7 = x + 4 6 Sí

–3 No

IgualdadesIdentidad Compatible o Determinada

o ecuación incompatible o indeterminada

3 · (x + 2) = 3x Ecuación Incompatible —

x + x + x = 3x Identidad — —

+ 7 = x + 4 Ecuación Compatible Determinada

x 2 – 15 = 2x Ecuación Compatible Determinada

x

2

19. a) x = –5 c) x = –4 e) x = g) x = –1

b) y = 7 d) y = 14 f) z = –2 h) y =

20. a) x = –3 c) x = –17 e) x = –112 g) x = 5

b) x = d) x = – f) x = 8 h) x = 125

21.

22. a) x = 4 d) x = – 5 g) x = – 2

b) x = – 4 e) x = 5 h) x = 1

c) x = 5 f) x = –

23. a) x = 2 b) x = 10 c) x = 6 d) x = –3

52

13

12

–14

15

¿Qué número sumado a 18 da 44? x + 18 = 44 26

La suma de dos números pares consecutivos es 6. ¿Cuanto vale el primero? x + (x + 2) = 6 2

Calcular el número que cumple que sus partes sumadas a 6 x + 6 = 9 3

nos da 9.

El triple de un número, menos cuatro, es igual a 11. 3x – 4 = 11 5¿Cuál es el número?

34

34

x

2

91

MATEMÁTICAS

24. a) x = 4 c) x = 2

b) x = – 5 d) x =

25. a) y = b) v = 3

c) m = d) x = 1


27. a) x = 4 c) x = e) y =

b) y = d) z = 42 f) x = –25

28. a) x = 6 c) x =

b) x = d) x = 14

1112

394

–32

53

58

92

–52

14

29. El número es 2.



32. El forro $0,15 y el libro $18,15

33. $65, 55 y $80 respectivamente.

34. Deben pasar 6 años.

35. Tiene 18 años.

36. 150 metros.

37. 3 monedas de 5 centavos y 6 monedas de 20 centa-vos.

38. La base mide 7 cm y cada uno de los lados igualesmide 27 cm.

39. P = 7,20 mx + x + 2x + 2x = 7,2 → 6x = 7,2 → x = 1,2Sus dimensiones son 1,2 y 2,4 metros.

40. Supongamos que en clase hay x alumnos.

x + x + 10 = x → 4x + 3x +120 = 12 x → 5x =

= 120 → x = 24

En clase hay 24 alumnos en total.

41. Los ángulos son: x, y .

x + + = 180 → 8x + 4x + 3x = 1 440 → 15x =

= 1440 → x = 96

Los ángulos son de 96°, 48° y 36°.

3x

8x

2

3x

8x

2

14

13

RESOLUCIÓN ALGEBRAICA DE PROBLEMAS

CONCURSO DE FUERZA. TIRANDO DE LOS EXTREMOS DE LA CUERDA

DESAFÍOS

Ganarán las tres chicas y el profesor.

64

65

92

SOLUCIONARIO

Equilibramos la balanza con 90 kg de café en cada platillo, retiramos el café de la balanza y volve-mos a equilibrarla con 45 kg. Tendremos así 90 kg + 45 kg = 135 kg por un lado y 45 kg por otro; aestos 45 kg le quitamos 5 kg, poniendo pesas de uno y cuatro kilos en el otro plato de la balanza,con lo que, finalmente, tendríamos 40 kg por un lado y 135 kg + 5 kg = 140 kg por otro.

EL REPARTO

SUMAN 20

a) El cuadrado vale 4, el triángulo 5 y el corazón 6.

b) El cuadrado vale 8, el triángulo 7 y el corazón 5.

DESCUBRIR LOS CRIPTOGRAMAS

La hija del mecánico era la mujer del carpintero.

¿CÓMO ES POSIBLE?

5

7

6

2 9 1 8

4

3

93

MATEMÁTICAS

UNIDAD 05

Las rectas son secantes entre sí. Por ejemplo:


60°

45°

75°



3. a) Cuatro segmentos.

b) Cinco segmentos.

c) Siete segmentos.

4. a) Secantes.

b) Paralelas.

c) Secantes y perpendiculares.

5.

En esta pista de básquet hay rectas paralelas, porejemplo: 1 y 2; rectas secantes, por ejemplo: 8 y 9;y rectas perpendiculares, por ejemplo: 5 y 4.

� � � �

P

5 cm

Q


9

8

3

45

1

6. A�

y B�

, agudos; C�

recto; D�

y E�

, obtusos.

7. Respuesta libre. Hay muchas posibilidades.


8. Agudo; obtuso; otro recto.

9.

No todos los ángulos consecutivos sonadyacentes, porque pueden o no sumar 180º.

Todos los ángulos adyacentes son consecutivos,porque tienen un lado común y el vértice.


11. Porque son conjugados internos entre paralelas.

CB

AD

C'B'

A'D'

45º

30º


66

68

69

70

3

2

94

SOLUCIONARIO

12. Llano: 180° · 60 = 10 800’; recto: 90° · 60 = 5400’

13. 2 700’ : 60 = 45°.

Como el complementario debe sumar 90°, el com-plementario de 45° es: 45° = 2 700’

14. a) 35° = 2 100’ = 126 000’’

b) 0,58° = 35’ = 2 100’’

c) 1° = 60’ = 3 600’’

d) 2,5° = 150’ = 9 000’’

15. 270 000’’ : 60 = 4 500’; 4 500’ : 60 = 75°; 180° – 75° =115°


16. Actividad para que el alumno practique el trazadode la mediatriz.

17. Se traza la mediatriz de los lados paralelos delpatio, en total cuatro mediatrices, y donde estas secorten, será el punto exacto para colocar el pozo.

18. Las farolas estarán situadas sobre las mediatrices,a una distancia de 30 m del pozo.

19. Trazamos la mediatriz de la diagonal que pasa porel punto medio de la diagonal. A continuación, conescuadra y regla, trazamos la perpendicular yobservamos que esta recta coincide con la media-triz y con la otra diagonal del cuadrado.

20. Cuando el triángulo sea equilátero. Las alturas sonlas perpendiculares en el punto medio de los lados.


21. Una. Porque por dos puntos solo puede pasar unarecta, y como tenemos el punto dado y el punto endonde se corta la perpendicular con la recta dada,con estos dos puntos podemos construir la recta.

22. Se obtienen ángulos rectos, es decir, ángulos de90°.

23. Respuesta libre. Se trata de practicar rectas per-pendiculares y paralelas.

24. En un plano a escala del terreno, deberían dibujarsurcos paralelos utilizando escuadra y regla.


25. La b). Los puntos simétricos estarían a la mismadistancia de la recta r que sus puntos iniciales.

26. Se trata de que tracen la bisectriz empleando com-pás y regla. Sería conveniente que lo plegasen paracomprobar que los ángulos formados son iguales.

27. Su proyección puede medir desde 0 hasta 3 cm,dependerá de la inclinación del segmento respectode la recta.Su segmento simétrico medirá tres centímetros.

28. A�

= 135°; B�

= 45°;�

C = 180°


71

72

73

74

95

MATEMÁTICAS

1. Colocamos los tres puntos correspondientes a lostres pueblos formando un triángulo, sobre cadalado construimos un triángulo equilátero y, unien-do cada vértice del triángulo inicial con el vérticelibre del triángulo opuesto, obtenemos tres seg-mentos que se cortan en un punto, el cual será ellugar exacto donde debemos situar el hospital.

2. Colocamos los 4 puntos formando un paralelogra-mo y trazamos sus diagonales; se forman 4 trián-gulos. A continuación procedemos de igual mane-ra que en el ejercicio anterior, y hallamos el puntode Fermat de cada uno de los triángulos. Al unirestos puntos obtendremos un punto que será ellugar donde estará situado el hospital.

Aldea 3

Aldea 1

Aldea 2 F

2

34

F

G

OF’

G’

1


ACTIVIDADES

1.

MAPA CONCEPTUAL

RECTAS Y ÁNGULOS

Elementos básicos

de GeometríaRectas Ángulos

pueden ser pueden ser

y a su vez

según su

relación

Secantes Paralelas Nulo ConvexosCóncavos

Rectos Agudos Obtusos

Consecutivos Complementarios CorrespondientesAlternos

internos

y externos

Conjugados

internos

y externos

Opuestos

por el

vértice

SuplementariosAdyacentes

Llanos

75

76

96

SOLUCIONARIO

a) Paralelas: Rectas que no tienen ningún punto encomún. Ejemplo: vías del tren.Secantes: Rectas que tienen un punto en común.Ejemplo: dos calles que se cruzan.

Rectas coplanares

b) Ángulos complementarios: La suma de amboses 90°. Ejemplo: a

�

= 20° y b�

= 70°.

c) Ángulos suplementarios: La suma de ambos es180°. Ejemplo: a

�

= 120° y b�

= 60°.

d) Los ángulos adyacentes suman 180º y son con-secutivos. Los consecutivos pueden o no sumar180º.

e) Ángulos opuestos por el vértice: Los lados deuno son prolongación de los lados del otro.

f) Son ángulos opuestos por el vértice.

2. a) 125° c) 550’ e) 80° g) 300° 23’ i) 0°

b) 155° 15’ d) 128° f) 20° 5’ 3’’ h) 8°

3. a) 180° c) 90° e) 120° g) 180° i) 90°

b) 45° d) 225° f) 45° h) 270°

CÁLCULOS

4. a)

b) A�

, C�

, a�

y c�

, ángulos agudos; y B�

, D�

, b�

y d�

, obtusos.

c) A�

y c�

, D�

y b�

, alternos internos; B�

y d�

, C�

y a�

, alter-nos externos.

d) D�

y c�

, A�

y b�

, conjugados internos; B�

y a�

, C�

y d�

,conjugados externos.

5. a) A�

y B�

, B�

y C�

, C�

y D�

, D�

y E�

, E�

y A�

son consecutivos.

b) A�

y E�

, D�

y E�

son adyacentes.

c) A�

y D�

, son opuestos por el vértice.

d) A�

y B�

son complementarios.

e) D�

y E�

, A�

y E�

son suplementarios.

6. a) 35° 13’ 45’’60° 33’ 22’’

+ 120°215° 46’ 67’’ = 215° 47’ 7’’

b) 119° 59’ 60’’– 35° 13’ 45’’

84° 46’ 15’’

c) 60° 33’ 22’’ ⇒ 60° 32’ 82’’– 35° 13’ 45’’

d) 35° 13’ 45’’ 65 · 60 = 300’ 5° 52’ 17,5’’

313’13

1 · 60 = 60105’’45300

e) 3 · 35° 13’ 45’’ = 105° 39’ 135’’ + 60° 33’ 22’’165° 72’ 157’’ ⇒

165° 74’ 37’’ ⇒ 166° 14’ 37’’

f) 2 · 60° 33’ 22’’ = 120° 66’ 44’’ ⇒ 120° 65’ 104’’– 70° 26’ 90’’

50° 39 14’’

7. a) x = 5º b) C�

= 145º

A�

= 35º

B�

= 35º

8. 95º 13’ 45’’

9. D�

= 47º 30’ B�

= 47º 30’ E�

= 132º 30’

D�

+ B�

+ E�

= 227º 30’

c >

C

>

A

>

B

>

b

>

a

>

d

>

D

>

C/ Enebro

C/ Pinar

C/ En

cinar

MEDIDA DE ÁNGULOS Y OPERACIONES

25° 19’ 37’’

77

97

MATEMÁTICAS

10. B�

= 63º 32’

C�

= 116º 28’

D�

= 116º 28’

11. B�

= 63º

C�

= 117º

D�

= 117º

12. x = 5º

D�

= 55º por ser opuesto por el vértice con B�

.

a�

= 125º por ser adyacente con b�

.

d�

= 55º por ser opuesto por el vértice con b�

.

13. x = 10º

A�

= 105º

B�

= no se puede calcular.

E�

= 105º

Si observamos A�

+ C�

> 180º, por lo tanto, no esposible que A

�

y E�

tengan esos valores.

14. 220° 45’ 59’’+ 46° 55’ 6’’

266° 100’ 65’ ⇒ 266° 101’ 5’’ ⇒ 267° 41’ 5’’

Como la circunferencia tiene 360° ⇒ 359° 59’60’’

– 267° 41’ 5’’92° 18’ 55’’

amplitud para el roble.

15. Como una pista de aterrizaje de helicópteros escircular, la suma de todas las zonas ha de ser iguala: 360°.

45° 57’+ 189° 56’ 34’’

234° 113’ 34’’ ⇒ 235° 53’ 34’’

360° ⇒ 359° 59’ 60’’ – 235° 53’ 34’’

124° 6’ 26’’ 204 62° 3’ 13’’0 6’

0 206

016. Respuesta gráfica en la carpeta.



19. Respuesta gráfica.

20. Puntos simétricos. (Si P’ está sobre la mediatriz)




24. El ángulo, al trazar la bisectriz, se divide en dosángulos iguales y, en este caso, serán dos ángulosrectos.


26. Son paralelas.


28. Debemos unir los pueblos con una recta y trazar sumediatriz. Prolongamos esta mediatriz y, sobreella, quedará situada la torreta del alumbradoequidistante de los dos pueblos.

29. 180° – 67° = 113°; 113° : 2 = 56,5° para otras fuer-zas políticas.

30. Si suponemos que los árboles estaban a 90° conrespecto al suelo y se han inclinado 20°, la distan-cia que los separa del suelo será 90° – 20° = 70°.Para hallar la distancia al suelo hay que trazar laperpendicular desde la copa del árbol al suelo.

31. Para medir la distancia debemos dibujar la rectaperpendicular que va desde el pupitre de Juan a lapared.

El ángulo que forma la pared con la línea trazadaes de 90°; por lo tanto, podemos decir que la paredy la línea trazada para medir la distancia son rectasperpendiculares.


56,5º

56,5º

67º

98

SOLUCIONARIO

BUSCAR EL CAMINO

DESAFÍOS

El recorrido AEDB es de 11 km. El camino AEB es más corto, pero solo se puede arreglar un puen-te. El camino ACB no necesita arreglo pero mide 12 km; por lo tanto, es más corto el AEDB.

En 7 regiones.

Cuatro rectas lo dividen en 11 regiones.

Seis rectas lo dividen en 22 regiones.

Para llegar a este resultado recurrimos al método deinducción como muestra la tabla.

Si seguimos, nos vamos dando cuenta de que cadacorte suma un número de partes igual al número delcorte.

LA CIRCUNFERENCIA DIVISIBLE

Número de cortes Número de partes

0 1

1 2

2 4

3 7

4 11

5 16

6 22

Son parelelas en los dos casos.

ILUSIONES ÓPTICAS

EL COLLAR DE PERLAS

79

99

MATEMÁTICAS

UNIDAD 06


Construcción libre a realizar por el alumno.El triángulo es el único que tiene una estructura rígida, los demás polígonos se deforman.

1. Se trata de dibujar, en los tres items, triángulosde los que se conocen las medidas de sus treslados. El único triángulo que no se puede dibujares el c), porque 5 + 7 es menor que 15.


3. Para su trazado, seguir los pasos que se indicanen: Si conocemos dos lados y el ángulo comprendidoentre ellos.

4. Se trata de construir triángulos conociendo un ladoy sus dos ángulos adyacentes. El único triánguloque no se puede dibujar es el b), porque B

�

+ C�

=180º.



5. a) En un triángulo obtusángulo, el cuadrado dellado mayor es mayor que la suma de los cuadra-dos de los otros dos lados.

b) En un triángulo acutángulo, el cuadrado del ladomayor es menor que la suma de los cuadradosde los otros dos lados.

6. Respuesta libre.

7. Se calca el dibujo y se recortan las piezas paracomprobarlo.

8. 12 cm

9. 10,9 cm

10. 10 cm

11. Un lado de la ventana cumple que: 152 + 82 = 172; esdecir, forma ángulo recto, pero el otro lado no, por-que 102 + 222 es menor que 302; por lo tanto, nocerrará bien.


12. 13. El a) y el c).


ab bc ac

13 cm 1,2 dm 5 cm

175 cm 1,05 m 140 cm

0,25 dm 2 cm 1,5 cm

14. Su perímetro es 32 cm y la superficie es 48 cm2.

15. a) Perímetro: 56 cm b) Área: 84 cm2

16. La superficie es 24 cm2, los lados los hallamos conel teorema de Pitágoras y los utilizamos para cal-cular el perímetro: �40� cm + �72� cm + 8 cm, apro-ximadamente: 22,8 cm.

Aclaración: cada cuadradito tiene 1cm de lado, o sea, 1cm2 de superficie.


80

82

83

84

85

86

100

SOLUCIONARIO

1. S = 500 m · 500 m = 250 000 m2 = 25 km2 = 25 ha

Equivale a 25 hectáreas.

2. 0,5 ha = 0,5 hm2 = 5000 m2

Hemos sembrado: 1000 m2 de acelga,

20 a = 20 dam2 = 2 000 m2 de papas

y 300 ca = 300 m2 de tomates.

En total: 1000 m2 + 2 000 m2 + 300 m2 = 3 300 m2

Se sembrarán 5 000 m2 – 3 300 m2 = 1 700 m2 decebada.

3. NOTA: la actividad 4 es la información que hay quebuscar para resolver esta actividad.

Perímetro = P = 300 m + 400 m + 500 m = 1 200 m

Fórmula de Herón: S = �p · (p – a) · (p – b) · (p – c) ,donde p es el semiperímetro.

Superficie =

S = �600 · (600 – 300) · (600 – 400) · (600 – 500)

S = �600 · 300 · 200 · 100 = �36 · 108 = 6 · 104 =

= 60 000 m2


ACTIVIDADES

MAPA CONCEPTUAL

en los

se aplica

se puede

calcular

el Teorema

de Pitágoras

Perímetro

Rectángulos

Área

Equilátero

Isósceles

1.

Escaleno

a) Ninguna.

b) No. En el triángulo equilátero todos los ángulosmiden 60° y en el triángulo rectángulo uno midesiempre 90°.

c) Tres segmentos forman un triángulo cuandocada uno de ellos es menor que la suma de losotros dos y mayor que su diferencia.

d) 90°, 45° y 45°.e) 90°, 40° y 50°.f) No.

g) El cuadrado de la hipotenusa es igual a la sumade los cuadrados de los catetos.

a2 = b2 + c2

La hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyoscatetos miden 4 y 3 cm será:

a2 = b2 + c2 → a2 = 42 + 32 → a2 = 25 → a = 5 cm

TRIÁNGULOS

Lados

Acutángulo

Rectángulo

Obtusángulo

Ángulos

se clasifican

según sus

87

88

101

MATEMÁTICAS

2. a) 300 hm = 30 000 m

b) 0,35 dam = 350 cm

c) 250 dm = 25 000 mm

d) 450 m = 0,450 km

3. a) 30 hm2 = 30 ha

b) 6,35 dam2 = 635 m2

c) 25 dm2 = 2 500 cm2

d) 45 000 m2 = 450 a

4. a) 52 = 32 + 42 → 25 = 9 + 16 Sí

b) 62 = 22 + 42 → 36 ≠ 4 + 16 No

c) 32 = 12 + 22 → 9 ≠ 1 + 4 No

d) 102 = 62 + 82 → 100 = 36 + 64 Sí

5. A = = 12 cm2

6. b = 3 cm c = 4 cm

a2 = b2 + c2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 → a = 5 cm

P = 5 + 3 + 4 = 12 cm

7. h2 = 52 – 42 = 25 – 16 = 9 → h = 3 cm

3 · 82

CÁLCULOS

8. a) Polígonos de tres lados iguales.

b) Polígonos de tres lados desiguales.

c) 180º (los ángulos interiores).

d) Agudos.

e) Triángulos con un ángulo obtuso.

9. En el geoplano cuadrangular no se pueden dibujartriángulos equiláteros.

10. Medirá 23º.

11. No, solo los dos ángulos suman más de 180º.

12. No se pueden dibujar triángulos que sean equilá-teros y obtusángulos a la vez; tampoco se puedendibujar equiláteros que sean, a la vez, rectán-gulos.

13. Según sus lados, los triángulos A, B y C son escale-nos, y el triángulo D isósceles.

Según sus ángulos, el triángulo A es rectángulo, el D es acutángulo y los triángulos B y C son obtu-sángulos.


El ítem b) no se puede dibujar.

15. No se ha podido dibujar porque 5 + 3 es menor que 9.

16. Está incompleto el enunciado. Falta aclarar dóndese quiera ubicar la estación de servicio.

CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS

TEOREMA DE PITÁGORAS. APLICACIONES

17. �32�+ 42�� = �52� → �9 + 16�� = �25� → 5 = 5. Es un triángulo rectángulo.


19. a) 16,81 cm2 + 38,44 cm2 = 55,24 cm2

b) 13,45 cm2 – 2,56 cm2 = 10,89 cm2

20.a 6 5 18 �13�

b 5 4 15 2

c 4 2 13 3

Tipo Acutángulo Obtusángulo Acutángulo Rectángulo

89

21.


23. �(50 m)2 + (30 m)2 = 58,31 m

24. La suma de las dos pequeñas da la grande.

25. La escalera está colocada a �(20 m)2 – (12 m)2 = 16 m del edificio que tiene de altura 12 metros, y a �(20 m)2 – (16 m)2 = 12 m del edificio que tiene de altura 16 metros. Por lo tanto, el ancho dela calle es: 12 m + 16 m = 28 m

102

SOLUCIONARIO

Hipotenusa a 25 13 15 �5�

Cateto b 24 12 12 2

Cateto c 7 5 9 1

26. El área coincide, pues tienen la misma base y lamisma altura; es 4 unidades cuadradas.

Para calcular el perímetro utilizamos el teoremade Pitágoras.

PA = 2 + 4 + �20� = 10,47 unidades

PB = 2 + �20� + �32� = 12,13 unidades

PC = 2 + �32� + �52� = 14,87 unidades

PD = 2 + 2 · �17� = 10,24 unidades


28. P = 3 · 8 cm = 24 cm

La altura la hallamos mediante el teorema de Pitá-goras: h = �48� cm = 6,9 cm

Y el área es A = 27,7 cm2

29. P = 6 cm + 6 cm + 8 cm = 20 cm

La altura h = �20� = 4,47 cm

Y el área A = 17,88 cm2

30. El otro cateto mide �144� cm = 12 cm

P = 15 cm + 9 cm + 12 cm = 36 cm

A = cm2 = 54 cm2

31. P = 5 cm + 7 cm + 8 cm = 20 cm

La altura correspondiente a la base de 8 cm mideaproximadamente 4,3 cm.

A = cm2 = 17,2 cm2

Si se toma otra altura el resultado es el mismo.

32. P = 30 cm + 40 cm + 50 cm = 120 cm

El triángulo es rectángulo, la altura es un cateto yla base el otro cateto.

A = cm2 = 600 m2

33. En todo triángulo equilátero de lado b y altura h se

cumple que � � 2

+ h2 = b2.

Despejando se tiene h = · b = 0,87 · b.

Sustituyendo esta expresión en la fórmula del áreahallamos el lado b que mide 15,24 cm.

Perímetro = P = 15,24 cm · 3 = 45,72 cm

34. Lado = l = �33,33�� = 5,77 cm

A = = 14,43 cm2

35. El que tiene de base el lado del cuadrado es untriángulo equilátero y los otros dos son triángulosrectángulos.

36. Hallamos la altura aplicando el teorema de Pitágo-ras: 22 + h2 = 42

Y despejando: h = 3,46 cm

Luego: A = = 6,92 cm2

37. Como es un triángulo equilátero se cumple que:

h = · b = 0,87 · b → 4 = 0,87 · b → b = 4,62 cm

A = = 9,24 cm2

Tiene 4,62 cm de lado y un área de 9,24 cm2.

4 · 3,962

5,77 · 52

b

2

30 · 402

8 · 4,32

9 · 122

PERÍMETRO Y ÁREA DE UN TRIÁNGULO

4 · 4,622

�3�

90

�3�

103

MATEMÁTICAS

1 2 1 2 1 1

1 1 2 2 1 2

2 2 2 1 2 1

1 2 1 1 2 1

2 2 1 2 1 2

1 1 2 2 1 2

UNA DE CHAPAS

a) Para construir el sexto triángulo hacen falta:

7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28 chapitas

b) Para construir el triángulo que tiene catorce chapitas en la base, hacen falta:

14 + 13 + 12 + 11+ 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 · 7 = 105 chapitas

¡OJO, QUE LA VISTA ENGAÑA!

Es imposible construir, con las piezas que tiene el cuadrado de área 64, el rectángulo de área 65; asimple vista parece que sí, pero la diagonal del rectángulo no sería una línea recta, ya que el ladodel triángulo y el lado del trapecio que la forman no tienen la misma inclinación. La diagonal quevemos, en realidad, sería un cuadrilátero de área 1.

LA ESCUELA PITAGÓRICA

En total hay 35 triángulos.

TRIÁNGULOS DISTINTOS, TRIÁNGULOS IGUALES

Los dos tienen la misma superficie.

TRIÁNGULOS INTERIORES

El triángulo verde más grande ocupa la cuarta parte de toda la superficie; por lo tanto, tiene una superficie de 2 m2.

El triángulo verde pequeño es la cuarta parte del triángulo anterior; por lo tanto, su superficie es de 0,5 m2.

La superficie de la zona coloreada de verde es: 2 m2 + 0,5 m2 = 2,5 m2

EN DOS MITADES

DESAFÍOS 91

104

SOLUCIONARIO

En cada paso Gulliver avanza 2 · 25 cm = 50 cm.

De una parte a otra de la isla hay 2 · 100 000 cm = 200 000 cm.

Por lo tanto, tendría que dar 200 000 : 50 = 4 000 pasos.


1. a), d), e).

2. Directas: a), b), d), f); e indirectas: c), e).

3. Actividad libre.


UNIDAD 07

4. = =

5. a) 2 · 35 = 5x ; x = ; x = 14

b) 24x = 8 · 9; x = = 3

c) 6 · 42 = 36x ; x = = 7

d) 7x = 11 · 91; x = = 143

6. a) =

b) =

Hay otras posibilidades.

7. a) a < b

b) En una proporción , si K > 1, a > b.

c) a = b

a

b

110

550

46

23

1 0017

25236

7224

705

3331

0,330,31

1,651,55


Azúcar (kg) 0,75 1,5 3 3,75 6

Frutillas (kg) 1 2 4 5 8

8. a) Sí, son magnitudes proporcionales porque alaumentar la cantidad de manzanas, el preciotambién lo hará.

b) No son magnitudes proporcionales.

c) Magnitudes proporcionales.

d) No son magnitudes proporcionales, porque nohay ninguna relación entre ambas.

e) No son magnitudes proporcionales, porque nohay ninguna relación entre ambas.

f) Magnitudes proporcionales.

9.

10. = ; x = = 8 lápices podremos

comprar.

11. a) Verdadera

b) Verdadera

c) Falsa

d) Verdadera

3 · 5,62,10

x

5,63

2,10


92

94

95

96

105

MATEMÁTICAS


• Los metros cuadrados de una habitación a pintar y el tiempo empleado.

• El consumo de gas y el precio del mismo.

• El tiempo de una llamada de teléfono y el número de pulsos consumidos.

13. No, porque al multiplicar por 10 el número de libros, el precio no queda multiplicado por esamisma cantidad.

14.

15. Si 1 kg = 1 000 g, tres cuartos de kilogramo son 750 g; por tanto: = ; x = $8,25750 g

x

1 000 g$11


16. = ; x = = 3,750 kg

17. = ; x = 4 · $120 = $480 ha

costado la compra.

18. a) $4200 · 4 = $16 800

b) $4200 · 2 = $8 400

19. } = ; x = $750 $300

x6 días

15 días6 días ⎯⎯→$30015 días ⎯⎯→$x

4 semanasx

1 semana$120

154

x

1 kg15 comensales4 comensales


N.º de baldosas 1 2 3 4 5 6

Longitud (cm) 15,5 31 46,5 62 77,5 93


• La velocidad de un móvil y el tiempo que tarda en recorrer un espacio.

• El número de obreros trabajando y el tiempo empleado en hacer una obra.

21.

22. a) Sí, la constante es k = x · y

b) Sí, porque es una igualdad entre razones.


2 4 6 10 12 30 1

60 30 20 12 10 4 120

23. } = ; x = 12 min

24. } = ; x = 12 horas

25. a) $36 : 5 amigos = $7,2 cada uno.

b) $36 : 3 = $12 cada uno.

x

621

2 sastres ⎯⎯⎯→ 6 h1 sastre ⎯⎯⎯→ x

x

302050

20 L/min ⎯⎯⎯→ 30 min50 L/min ⎯⎯⎯→ x


97

98

99

100

106

SOLUCIONARIO

26. = 0,35 = 35 %

27. El 50 % significa que la mitad son chicas. El 75 % significa que las tres cuartas partes de la cla-se juegan al básquet.

28. } x = = 238,09 litros de aire

29.

30.

Por lo tanto, comprobamos que da el mismo resultado.

50 · 10021

100 aire ⎯⎯⎯→ 21 oxígenox aire ⎯⎯⎯→ 50 oxígeno

1440


$ 2 000 · 30100

= $ 600 ⎯⎯⎯→ $ 2 000 - $ 600 = $ 1 400

$ 2 700 · 10100

= $ 270 ⎯⎯⎯→ $ 2 700 - $ 270 = $ 2 430 ⎯⎯→ = $ 510,3$ 2 430 · 21100

$ 2 430 + $ 510,3 = $ 2 940,3

$ 2 700 · 21100

= $ 567 ⎯⎯⎯→ $ 2 700 + $ 567 = $ 3 267 ⎯⎯→ = $ 326,7$ 3 267 · 10100

$ 3 267 - $ 326,7 = $ 2 940,3

31. Deben tener en cuenta que 1 cm del plano son 10 cm de la realidad. Por lo tanto, todas lasmedidas tomadas por el alumno deberán dividirse entre 10 para reflejarlas y elaborar el planocorrectamente a la escala dada.

32. = , al simplificar obtenemos una proporción equivalente a la dada y, de esta

manera más sencilla, llegar a la escala utilizada en este caso, que sería 1:200.

1200

2 cm400 cm



1. Se les pedirá a los alumnos que tomen cuerpos redondos que haya a su alrededor, midan elperímetro y el diámetro, y anoten los resultados en una tabla; a continuación, damos un ejem-plo de los muchos que nos podemos encontrar:

A partir de estos resultados se puede decir que existe una proporcionalidad, ya que la razón deproporcionalidad se acerca a un número muy conocido que es 3,14... Para un objeto de 10 cmde diámetro el perímetro sería:

3,14 ⇒ perímetro = 10 cm · 3,14 = 31,4 cmperímetro

10 cm

Diámetro (d) Perímetro (p) p/d

5 15,5 3,1

8 26,5 3,3

3,5 11 3,14

9 28,2 3,13

101

102

103

107

MATEMÁTICAS

2. Para realizar este ejercicio se aconseja a los alum-nos que dibujen 4 triángulos equiláteros cuyoslados midan: 4 cm, 8 cm, 12 cm y 16 cm, respecti-vamente, y que construyan una tabla:

A la vista de los datos se puede afirmar que existeuna proporcionalidad entre la altura y el lado de untriángulo equilátero.

3. Existe proporcionalidad en las graficas a y b,concretamente la a es de proporcionalidadinversa, ya que, a medida que recorre másespacio, el tiempo disminuye de forma propor-cional; y en el caso b es una proporcionalidaddirecta, ya que aumentan o disminuyen las dosmagnitudes en la misma proporción.

Lado (cm) Altura (cm) Lado/Altura

4 3,5 1,14

8 6,9 1,15

12 10,39 1,15

16 13,85 1,15

ACTIVIDADES

MAPA CONCEPTUAL

1.

que pueden ser que se aplican a

donde se trata de

Magnitudes

proporcionales

Mapas y

planos

Razón y proporción

se utilizan en

que pueden ser

PROPORCIONALIDAD

PorcentajesDirectamente

proporcionales

Inversamente

proporcionales

Numéricas Gráficas

Escalas

a) Razón es el cociente entre dos magnitudeshomogéneas.

Proporción es la igualdad entre dos razones.

= ; x = 10 = ; x = 8

b) Una magnitud es aquella cualidad o propiedadque se puede medir.

Respuesta libre.

c) El porcentaje o tanto por ciento, %, es una razónde denominador 100.

El 5 % de 100 es 5.

El 10 % de 20 000 es 2 000.

El 10 % de 1 000 es 1 00.

d) Que 1 cm del mapa equivale a 10 000 cm en larealidad.

23

x

122x

15

104

108

SOLUCIONARIO

CÁLCULOS

2. a) 10 b) 50 c) 25 d) 100

3. a) x = 8 b) x = 8 c) x = 9 d) x = 2

4. a) 50 % d) 10 % g) 50 % j) 80 000

b) 50 % e) 1 % h) 20 000 k) 1 600 000

c) 25 % f) 50 % i) 70 000

5.

El error está en los números señalados con negrita.

6. } x = 32 regalos

7. } x = $ 42

8. Los 4 l de pomelo: $ 2,70 /l · 4 l = $10,80

Los 2 l de naranja: $ 15 – $ 10,80 = $ 4,20

2 l de jugo de naranja ⎯⎯→ $ 4,20

3 l de jugo de naranja ⎯⎯→ $ x }x = $ 6,30

Por tanto, 3 l de naranja y 6 l de pomelo cuestan:

$ 6,30 + $ 2,70 /l · 6 l = $ 22,50

9. La proporción es: =

Por lo tanto, en una clase de 30 alumnos, 4 pade-cieron la gripe.

10. }x = 35 platos hondos

}x = 105 platos llanos

11. } x = 300 cm de altura180 cm ⎯⎯→ 120 cm

x cm ⎯⎯→ 2 m = 200 cm

2 copas ⎯⎯→ 3 platos llanos70 copas ⎯⎯→ x platos llanos

2 copas ⎯⎯→ 1 plato hondo70 copas ⎯⎯→ x platos hondos

430

8 00060 000

3 libretas ⎯⎯→ $ 6,3020 libretas ⎯⎯→ $ x

20 regalos ⎯⎯⎯→ 150 minutosx regalos ⎯⎯⎯→ 240 minutos

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES. REGLA DE TRES DIRECTA

15 5 22 6 10

6 2 8 2,4 4

12. a) Directamente proporcional.

b) Inversamente proporcional.

c) Inversamente proporcional.

d) Directamente proporcional.

e) No proporcional.

f) No proporcional.

g) Directamente proporcional.

13. } x = 250 páginas


15. } = ;

x = 24 personas

Por lo tanto, se necesitarán más de 24 personas.

16. } = ; x = 9 días

17. a) = ; x = 37,5 minutos

b) Si el segundo sastre tarda el doble, quiere decirque rinde la mitad del trabajo; por lo tanto, equi-vale a medio sastre. Al unirse los dos sastres escomo si hubiera sastre y medio en lugar de dos:

= ;

x = 75 : 1,5 = 50 minutos

x minutos75 minutos

1 sastre1,5 sastres

x

75 minutos1 sastre2 sastres

x

101820

18 personas ⎯⎯→ 10 días20 personas ⎯⎯→ x días

12030

x

66 personas → 120 minutosx personas → 30 minutos

300 páginas ⎯⎯→ 30 líneasx páginas ⎯⎯→ 36 líneas

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES. REGLA DE TRES

105

109

MATEMÁTICAS

18. a) · 120 = 0,2 · 120 = 24

b) 0,4 · 1 200 = 480

c) 0,153 · 30 320 = 4 638,96

d) 0,37 · 1 575 = 582,75


20. a) } x = 0,99 %

b) } x = 1,62 %

c) } x = 5,86 %

21. Sí, es lo mismo. Veamos por qué:

10 % = 0,1 ⇒ 0,1 · 5 000 = 500

5 % = 0,05 ⇒ 0,05 · 10 000 = 500


23. a) 2 % = 0,02; 0,02 de x = 4; x = 4 : 0,02 = 200

b) 22,5 de x = 115; x = 511,11

c) } x = 948,6

24. Asociación de «alumnautas», 500: = 0,25 ⇒

⇒ 25 %

Los Uves, 332: = 0,166 ⇒ 16,6 %

De todo, 1 000: = 0,5 ⇒ 50%

Votos nulos: el resto

25. x = 8; x = = 10 alumnos en total.

26. $ 19,73

27. 96 kg = 1,2 · x ; x = = 80 kg

28. Es indiferente, da lo mismo aplicar primero un des-cuento y luego un recargo, que a la inversa.

29. El precio será menor, pero muy poco. Comprobar-lo numéricamente dando un valor al pantalón.

30. $ 1 500 · 0,03 = $ 45 de aumento mensual.

1er año: $1 500 + $ 45 = $1 545

2º año: $1 545 · 0,03 = $ 46,35

$1 545 + $ 46,35 = $1 591,35

3er año: $1 591,35 · 0,03 = $ 47,74

$1 591,35 + $ 47,74 = $ 1 639,09

} x = 109,27 %

Es decir, se ha incrementado:

109,27 % – 100 % = 9,27 %

$1 500 ⎯⎯→ 100 %$1 639 ⎯⎯→ x

971,2

80080

80100

1 0002 000

322 000

5002 000

100 ⎯⎯→ 3,5x ⎯⎯→ 33,2

21 007 ⎯⎯→ 100 %1 230 ⎯⎯→ x

1 233 ⎯⎯→ 100 %20 ⎯⎯→ x

945 ⎯⎯→ 100 %9,4 ⎯⎯→ x

20100

PORCENTAJES

31. } x = 0,25 cm

32. } x = 200 m

33. 20 cm · 100 000 = 2 000 000 cm = 20 km

34. Actividad libre.


36. = 2 500 000

Escala 1: 2 500 000

37. Si nos hacen una reducción del 25 % quiere de-cir que la fotocopia queda al 75 %, entonces tene-mos la escala 0,75:1 000, que es la misma que 1:1 333,33.

50 000 000 cm20 cm

1 cm ⎯⎯→ 40 m5 cm ⎯⎯→ x m

1 cm ⎯⎯→ 40 mx cm ⎯⎯→ 10 m

ESCALAS, MAPAS Y PLANOS 106

110

SOLUCIONARIO

DESAFÍOS

Cada bicicleta marcha a 10 km por hora, por lo que se reunirán en la mitad de la distancia en unahora, es decir, a 10 km del punto de partida.

La mosca vuela a 15 km la hora, de forma que al cabo de una hora ha recorrido 15 km, justo a lahora del recorrido en el que se encuentran los amigos.

LA MOSCA SALTARINA

Al ser tres socios, está claro que cada uno debe llevarse 7 vasijas, pero ¿con qué cantidad cada una?

Si lo hacemos con un dibujo lo veremos más claro:

EL TRUEQUE

1er socio 3er socio2do socio

= → x = = 45°

El ángulo mide 45°

$150 · 360°$1 200

x

360°

GASTOS ANUALES

• Para él, la mitad más $ 0,50: + $ 0,50

• Para el primer conserje la mitad de lo que quedaramás $ 0,50. Como quedaba la mitad menos 0,50,entonces tendrá la mitad de la mitad del primero, es

decir: + $ 0,25

• Para el segundo conserje, la mitad de lo que quedara

más $ 0,50. Como quedaba – $ 0,75, la mitad de

esto sería: $ +

• Para el camarero $ 1.

Dejé de propina $15 (la suma de todo lo anterior),repartida de la siguiente forma:.

Para él: $ 8

Para el primer conserje: $ 4

Para el segundo conserje: $ 2

Para el camarero: $ 1

0,252

x

8

x

4

x

4

x

2

LA PROPINA

$150$1 200

107

111

MATEMÁTICAS

Empleados que llevan trabajando 1 año: 15

Empleados que llevan trabajando 2 años: 25









Total de empleados: 200

Total de empleados que llevan trabajando 5 o más años: 80

Porcentaje = = 40 %80 · 100

200

ANTIGÜEDAD EN LA EMPRESA

• Llenamos la vasija de 4 l y la vertemos en la de 9 l.

• Volvemos a realizar la misma operación, quedando la vasija de 9 l con 8 l de agua.

• Llenamos otra vez de agua la de 4 l echando el agua en la de 9 l, de manera que en la vasijapequeña quedarán 3 l que vaciamos en el recipiente del perro.

• Si repetimos de nuevo el anterior proceso conseguiremos otros 3 l que junto con los tres ante-riores suman 6 l.

MEDIDAS DIFÍCILES

112

SOLUCIONARIO


UNIDAD 08

Torrre(A, 8)8

7

6

5

4

3

2

1

Caballo(B, 8)

Peón(B, 7)

Peón(A, 7)

Peón(D, 7)

Peón(C, 7)

Peón(F, 7)

Peón(E, 7)

Peón(H, 7)

Peón(G, 7)

Alfil(C, 8)

Reina(D, 8)

Rey(E, 8)

Negras

Blancas

Alfil(F, 8)

Caballo(G, 8)

Torre(H, 8)

Peón(A, 2)

Peón(B, 2)

Caballo(B, 1)

Torrre(A, 1)

Reina(D, 1)

Alfil(C, 1)

Alfil(F, 1)

Rey(E, 1)

Torre(H, 1)

Caballo(G, 1)

Peón(C, 2)

Peón(D, 2)

Peón(E, 2)

Peón(F, 2)

Peón(G, 2)

Peón(H, 2)

A B C D E F G H

1. a) Perpendiculares. Ejes de coordenadas.

b) Lo dividen en cuatro partes iguales denominadascuadrantes.

c) Origen de coordenadas.

2. a) El valor cero. b) El valor cero.

3. a) (+ , +) b) (– , +) c) (– , –) d) (+ , –)


(5 , 3) ; (– 1 , 4) ; (– 2 , – 3) ; (5 , – 1)


5. A (1, 3), B (0, 5), C (– 2, 0), D (6, 1), E (4, – 3), F (– 7, – 2),G (– 5, 2)

6.

7.

Se obtiene un cuadrado.

Y

B (-2 , 2) A (2 , 2)

C (-2 , -2) D (2 , -2)

X

5Y

X

4321

-1-2-3-4-5

1 2 3 4 5 6

-6 -5 -4 -3 -2 -1

AB

C

D

E


108

110

111

113

MATEMÁTICAS

8. Abuela: 60 años y 1,50 m; Luna: 43 años y 1,60 m;Antonio: 46 años y 1,80 m; David: 5 años y 1 m;Ruth: 20 años y 1,70 m; Nicolás: 12 años y 1,50 m.

9. a) El eje horizontal mide la temperatura en gradosCelsius. A la izquierda, son temperaturas nega-tivas (bajo cero) y, a la derecha, por encima decero.

b) Brighton. Nothingham.

c) Glasgow. Brighton.

10. Actividad a realizar por cada alumno.


11. a) Mínimo / decreciente / creciente.

b) Máximo / creciente / decreciente.

c) Mínimo / decreciente / creciente.

d) (M , 10)


a) Creciente

a) Decreciente


13. a) Para valores de x de 0 a 15 y de 20 a 22 (aproxi-madamente).

b) Para valores de x de 15 a 20.

c) 15 años.

d) A los 20 años.

14. a) 10 km/h, 20 min.

b) 60 min.

c) 10 min.

d) A los 50 minutos.


15. NOTA: El tanto por ciento de ausentismo escolar encada país lo indican los valores de la primeracolumna de números: España 34%, Canadá 26%,México 21%, etc.

Los de la segunda columna no son reales.

a) España. 34 %. Uno.

b) Japón y Alemania.

c) En posiciones centrales, con tasas de ausentis-mo del 20 % de los alumnos. De cada 10 alum-nos faltan 2.

d) Canadá.

16. a) Los puntos se aproximarían a una recta, puesexiste relación directa entre las magnitudes dis-tancia y tiempo.

b) Creciente. Aumenta el tiempo al aumentar ladistancia.

c) En este caso, los puntos estarían distribuidosaleatoriamente, pues no existe ninguna relaciónentre la distancia y el número de hermanos.


112

113

114

115

114

SOLUCIONARIO

17.

18.

a)

b) En el gráfico de la actividad 1 los puntos se pueden unir, porque se pueden comprar 3,5 kg ó9,800 kg. Sin embargo, en el gráfico de esta actividad no, pues solo se pueden tomar valoresnaturales.

$

latas dejugo

1

0,50

1,501

22,50

33,50

44,50

5

2 3 4 5 6 7 8 9 10

naranjas (kg) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

$

3,60

7,2010,8014,4

1821,625,228,8

32,436


19. a) No pasa por el origen.

b) Es decreciente.

c)

d) Aproximadamente, 52,5 mg/100 mL.

20. a)

Sí, porque la altura puede tomar valores interme-dios.

b) Ocho minutos.

c) 22,5 cm.

tiempo (min)

5

5 10 15 20 25 altura (cm)

4

3

2

1

15

30

45

60

75

90

01 tiempo (h)

alcohol en sangre(mg/100 mL)

3,5

52,5

2 3 4 5 6 7


Latas de jugo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Precio ($) 0,50 1 1,50 2 2,50 3 3,50 4 4,50 5

116

117

115

MATEMÁTICAS

21. a) El color celeste.

b) Aproximadamente, a los 15 años.

c) Porque se empieza a realizar el gráfico una vezque han nacido, y miden al nacer, aproximada-mente, medio metro.

22. Actividad a realizar por cada alumno.

23. La velocidad ha aumentado mucho más en lasmujeres, pues partían de 4,2 m/s y llegan a alcan-zar los 6,5 m/s; mientras que los hombres partende 6,4 y aumentan hasta 7,1 m/s.

velocidad(m/s)

7

6(1923 , 6,4)

(1962 , 6,5)

(1980 , 7,1)

1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 años

hombresmujeres

(1980 , 6,5)(1960 , 6,9)

(1941 , 6,6)

(1950 , 5,4)

(1922 , 4,2)

5

4



1. a) b)

2. a) El equipo X. b) El equipo Y.

10

50

X Y Equipo

Puntos

20

30

40

35

2 O

Partido

1 er

Partido

1 er

Partido

2 O

Partido

$

15

30

A B empresa

45

15

A B empresa

35

45

$

118

119

116

SOLUCIONARIO

3. a) , b) y c) .

d) Porque se han tomado distintas escalas, en cada caso, los ejes tienen una graduación dis-tinta. La recta del ítem c) es la que tiene mayor inclinación. La recta del ítem b) es la que tie-ne menor inclinación.

ACTIVIDADES

MAPA CONCEPTUAL

1.

en los que

cada punto

viene definido

por dos

y su representación

en el plano es un

que puede ser

si en un punto

pasa a creciente

es un

se puede

obtener una

Gráfico

Coordenadas Gráfico Tabla

de

valores

Decreciente

Creciente Constante

Máximo Mínimo

Ejes

de coordenadasFunción GráficoTablas

puede

representarse

como un

c)

Y

X

a)b)

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

si en un punto

pasa a decreciente

es un

FUNCIONES Y GRÁFICOS

la relación entre dos

magnitudes es una

para situar

puntos en el plano

se utilizan los

la información

recogida en

a partir

de un

120

117

MATEMÁTICAS

a) El punto donde se cortan los ejes de coordena-das.

b) Las coordenadas de un punto son:

Coordenada x: es la distancia del punto al origen,medida en el eje horizontal, y recibe el nombrede abscisa.

Coordenada y: es la distancia del punto al origen,medida en el eje vertical, y recibe el nombre deordenada.

d) Pueden ser crecientes, decrecientes, constanteso, a tramos, combinaciones de las anteriores.

e) Un máximo es aquel punto en el que la funciónpasa de ser creciente a decreciente y un mínimoaquel punto en que la función pasa de ser decre-ciente a creciente.

Ejemplo libre.

f) Siempre de izquierda a derecha.

2. Creciente en los casos primero y tercero, y decreciente en el segundo.

3. a) Realiza dos paradas, la primera de media hora y la segunda, de una hora y media.

b) Recorre en total 300 km. Tarda 5 horas en recorrerlos. Su velocidad media, contando con lasparadas, sería de 60 km/h y, sin contar con las paradas, de 100 km/h.

CÁLCULOS

4. Enrique el punto 3, Laura el punto 2 y Alfonso elpunto 4. El punto 1 correspondería a una personaque ha hecho un gran esfuerzo, pero no ha conse-guido buenos resultados.

5. a) Es creciente entre – 1 y 0 y entre 3 y + ∞.

b) Es decreciente entre – ∞ y – 1 y entre 0 y 3.

c) (– 1 , 2) y (3 , 0).

d) (0 , 3)

6. Respuesta libre. Cada alumno puede elegir distin-tas escalas para cada eje.

GRÁFICOS. CARACTERÍSTICAS GENERALES

7. a) Que el vagón está subiendo. De los segundos: 0 a 20, 30 a 40 y 45 a 55.

b) Que el vagón está bajando. De los segundos: 40 a45 y 55 a 60.

c) 10 segundos, del segundo 20 al 30.

d) En el segundo 40, que estaba a 30 m de altura, yen el segundo 55, que estaba a 40 m de altura.

e) De 10 en 10.

f) 1 minuto.

g) Máximos: (40; 30) y (55; 40)

Mínimos: (45; 10)

8. El primer gráfico corresponde al lanzamiento deuna pelota de golf. El segundo corresponde al lan-zamiento de una pelota de básquet hacia el cesto.Una vez que llega a esta, la pelota baja en pocossegundos al suelo.

9. a) Temperatura. Grados Celsius.

b) Precipitaciones. Milímetros.

c) Climogramas. Es un clima ecuatorial.

d) Las barras indican la lluvia.

e) La línea roja, las temperaturas.

f) En mayo y abril.

g) En septiembre.

h) Constante.

10. Sí, existirá relación entre las magnitudes altura delos padres y altura de los hijos. Los puntos estaránpróximos a una función creciente, pues, normal-mente, cuanto más altos son los padres, más altosson los hijos.

11. No, no existe relación entre las magnitudes alturade los padres y número de hijos que tiene cada uno.

LECTURA E INTERPRETACIÓN DE GRÁFICOS

121

118

SOLUCIONARIO

12. No se obtiene una recta única al unirlos, sino tramos derecta, porque a medida que el número de kilómetros vaaumentando el precio del billete no va aumentando pro-porcionalmente. Al principio, cuesta 2 pesos cada 10 km,luego baja a 1,5 pesos y por último a 1,25 pesos.

RELACIONES DADAS POR TABLAS Y GRÁFICOS

10 km20 30 40 50 60 70 80

18

16

14

12

10

8

6

4

2

precio ($)

13. a) La línea de los beneficios empieza en (1975 , 0),porque al comenzar no hay beneficios. La líneade gastos empieza en (1975 , 200); significa quehan pedido un préstamo de 200 000 pesos.

b) En los años 1985, 1995 y 2000.

c) De 1980 a 1990.

d) De 1995 a 2000.

e) De 1985 a 1995, y a partir de 2000.

f) De 1975 a 1985 y de 1995 a 2000.

14. a)

b) Se encuentran en tres ocasiones.

distancia(km)

tiempo (min)

liebre

tortuga1,5

1,4

1

0,5

5 10 15 20 25 29 30

ESTUDIO Y COMPARACIÓN DE FENÓMENOS

Se propone esta actividad porque jugando, aprenden a dominar las coordenadas de un punto,dadas por una letra y un número, ya que son las que aparecen en cualquier mapa o guía de calles.

ADIVINANDO EL FUTURO

Alfonso ha recorrido durante la última hora: 380 km – 250 km = 130 km

Una hora más tarde Alfonso habrá recorrido en total: 380 km + 130 km = 510 km

Raúl ha recorrido durante la última hora: 400 km – 300 km = 100 km

Una hora más tarde Raúl habrá recorrido en total: 400 km + 100 km = 500 km

Por lo tanto, aunque se encontrarán por el camino, Alfonso estará por delante una hora más tarde.

DESAFÍOS

122

123

JUGUEMOS A ‹‹LOS BARQUITOS››

119

MATEMÁTICAS

UNIDAD 09

Para llenar el tangram necesitamos 16 triángulos pequeños.


1. a) 30 cm

b) 36 cm2

c) Doble altura que el rectángulo, 6 cm.

2. 6 m

3. El lado mide = 47,5 cm

El área mide 47,52 cm2 = 2 256,25 cm2.

1904


4. El lado que falta mide �(38�m)2� + (2� 0 m� )2� = 42,94 m.El perímetro es 160,94 m. El área 1 520 m2.

5. El perímetro no es posible calcularlo, falta 1 dato.

El área es 20 m · 38 m = 760 m2.

6. El lado mide �(4 m� )2 + (� 3�m)2� = 5 m. El perímetro es20 m. El área es 24 m2.

7. Trazamos una diagonal y lo convertimos en dostriángulos; después sumamos sus áreas.


8. Respuesta libre. Por ejemplo: 9. El ángulo interior 108° y el central 72°.

10. El ángulo interior 150° y el central 30°.

11. Respuesta libre.centro

apot

ema radio


12. a) Octógono convexo irregular.

b) Hexágono convexo irregular.

c) Cuadrilátero convexo (rombo).

d) Decágono cóncavo.

e) Cuadrilátero convexo irregular (paralelogramo).

f) Cuadrilátero convexo (rectángulo).

g) Cuadrilátero cóncavo irregular.

h) Cuadrilátero convexo irregular (trapecio).

i) Decágono convexo regular.

j) Heptágono convexo regular.

k) Eneágono convexo regular.

l) Octógono convexo regular.


124

126

127

128

129

120

SOLUCIONARIO

13. a) 11,7 cm

b) 10,53 cm2

c) El radio 1,9 cm, el ángulo central 40° y el ángulo interior 140°.

14. Este ejercicio lo pueden hacer tomando medidas, que, aproximadas, pueden ser:

a) Apotema: 0,9 cm, lado: 1,2 cm, radio: 0,95 cm, perímetro: 6 cm y superficie: 2,7 cm2

b) Apotema: 0,9 cm, lado: 0,6 cm, radio: 0,95 cm, perímetro: 5,4 cm y superficie: 2,43 cm2

c) Apotema: 0,9 cm, lado: 0,75 cm, perímetro: 6 cm y superficie: 2,7 cm2

d) Radio: 1 cm, el lado tiene la misma longitud, el perímetro: 6 cm, y superficie: 2,6 cm2


15. a) 47,12 m c) 15,71 cm

b) 25,13 km d) 232,48 mm

16. a) 4,36 m

b) 104,72 mm

17. El primer aro tiene de radio 0,5 m y el segundo 0,4 m.


18. La c).


20. a) La corona circular es la región comprendida entre dos circunferencias concéntricas de distintoradio.

El trapecio circular es solo la parte de una corona circular comprendida entre dos radios.

b) El segmento circular está limitado por una cuerda y el arco correspondiente y la zona circu-lar está limitada por dos cuerdas.


21. a) 706,86 m2 c) 28,27 km2

b) 49 087,38 mm2 d) 3 848,45 cm2

22. Radio = 4 m

23. Radio = 5 m

24. a) 4,15 cm2

b) 4,52 cm2

c) 2,54 cm2

d) Dependerá de la tapita elegida.


130

131

132

133

121

MATEMÁTICAS

25. a) 6,98 m2 b) 9,08 m2 c) 1,18 m2 d) 71,99 u2

26. a) A = π(5)2 – π(3)2 = 78,54 – 28,27 = 50,27 cm2

b) A = π (52 – 32) = 50,27 cm2

c) Sí.

d) π (5 – 3)2 = π 22 = 12,57. No se obtiene lo mismo porque: R2 – r2 ≠ (R – r)2.



1. Descomponemos la figura en dos triángulos y enun rectángulo. Área del triángulo pequeño: A1 = = 50 m2

Área del triángulo grande: A2 = = 250 m2

Área del rectángulo: A3 = 25 · 20 = 500 m2

El área total del campo sería:

Atotal = 50 m2 + 250 m2 + 500 m2 = 800 m2

20 · 252

10 · 102

15 m

20 m

10 m30 m

50 m

ACTIVIDADES

MAPA CONCEPTUAL

1.

se miden por su

se clasifican

según

FIGURAS PLANAS

Perímetro Área

Cuadriláteros

Otros

polígonos

Sus ángulos Su forma

en enen

Su número

de lados

• Triángulos

• Cuadriláteros

• Pentágonos

• Hexágonos

• …

• Convexos

• Cóncavos

se distinguen

distintas

Área Figuras circulares

tales como

Corona

circular

Trapecio

circular

Sector

circular

• Regulares

• Irregulares

Zona

circular

Segmento

circular

Círculo

se puede

medir su

134

135

136

122

SOLUCIONARIO

a) El perímetro es la suma de las longitudes de loslados del polígono. El área es la superficie limitadapor los lados.

b) El sector está limitado por 2 radios y el arco corres-pondiente.

La corona está limitada por 2 circunferencias con-céntricas distintas.

c) Respuesta libre.

d) A 100 m2

e) Respuesta libre.f) Sí.

g) 5 diagonales.

h) 1 área (a ) = 1 dam2

1 ca = 1 m2

1 ha = 1 hm2

2. El perímetro del rectángulo es 32 cm.

3. La medida del lado del rombo es de 20 cm.

4. La altura del triángulo mide 2 cm.

5. El área del rectángulo es de 480 cm2.

6. El área del rombo es de 240 cm2.

7. El área del trapecio es de 15 m2.

CÁLCULOS

PERÍMETROS Y ÁREAS DE LOS CUADRILÁTEROS

8. 90°, 90° y 150°.

9. Hay dos ángulos que miden 45° y otros dos quemiden 135°.

10. Es un paralelogramo.

11. a) Falsa c) Verdadera

b) Verdadera d) Verdadera

12. Trapecio isósceles o un trapezoide.

13. a) No c) No

b) No d) Sí





18. 20 cm

19. Los lados del rectángulo miden 8 cm y 4 cm, elárea es 32 cm2.


21. La superficie de la baldosa es 230 cm2, la superfi-cie de la terraza es 75 900 cm2; por tanto, se nece-sitan 75 900 : 230 = 330 baldosas.

22. a) La base mide 10 cm + 6 cm + 6 cm = 22 cm, don-de 6 cm se ha calculado con el teorema de Pitá-goras. El perímetro del trapecio es:10 cm + 10 cm + 10 cm + 22 cm = 52 cm

b) Dos triángulos rectángulos de lados 6, 8 y 10 cm,y un rectángulo de base 10 cm y altura 8 cm. Elárea del trapecio es: 2 · 24 cm2 + 80 cm2 = 128 cm2

c) Triángulo de base 12 cm y altura 8 cm, y paralelo-

gramo de base 10 cm y altura 8 cm. El área del tra-

pecio es: + 10 cm · 8 cm = 128 cm2

d) = 128 cm2

23. a) Se forma un trapecio de base mayor igual a 3 cm + 3 cm + 2 cm = 8 cm, base menor 2 cm yaltura 4 cm.

b) Perímetro del rectángulo: 18 cm, y superficie delrectángulo: 20 cm2

c) P = 20 cm y S = 20 cm2

24. Se descompone en un rectángulo de área: 6 · 3 = 18cuadraditos, y tres triángulos rectángulos de áreas:6, 3 y 1,5 cuadraditos. El área de la figura es 28,5cuadraditos.

25. 40 cm2 + 48 cm2 – 2 cm · 2 cm = 84 cm2

26. Al dibujar el trapecio, se descompone en un rec-tángulo y dos triángulos rectángulos de hipotenusa5 dm y un cateto de 3 dm; por lo tanto, el otro, quees la altura, mide 4 dm.

El área del trapecio es: = 44 dm2

27. 48 cm

28. 28 · 2 = 56 cm

29. 0,62 m2

(14 + 8) dm · 4 dm2

(22 + 10) cm · 8 cm2

12 cm · 8 cm2

137

123

MATEMÁTICAS

30. a) Interior 60° y central 120°.

b) Interior 90° y central 90°.

c) Interior 120° y central 60°.

d) Interior 150° y central 30°.

e) Interior 156° y central 24°.

f) Interior 162° y central 18°.

31. 5 dm

32. 4 cm


34. 4,98 cm


36. 4,33 dm

37. La apotema es un tercio de la altura y el radio esdos tercios de la altura, como la altura mide 9 cm,la apotema mide 3 cm y el radio 6 cm.


POLÍGONOS REGULARES

39. Perímetro 30 dm y área 60 dm2.

40. El lado del pentágono mide 2 · �27� cm, aproximadamente: 10,4 cm. El perímetro es 10 �27� cm,aproximadamente: 52 cm. El área es 30 �27� cm2, que, aproximadamente, es 78 cm2.

41. La apotema es 2,52 cm; el perímetro, 17,2 cm; y el área, 21,67 cm2.

42. La apotema es 4,33 dm; el perímetro, 30 dm; y el área, 64,95 dm2.


44. A = + + = 160,5 cm2(12 + 10) cm · 6 cm2

12 cm · 9 cm2

9 cm · 9 cm2

PERÍMETROS Y ÁREAS DE POLÍGONOS REGULARES

45. 150,8 m.

46. La longitud es 31,42 m.


48. La longitud es 32,99 m.

49. a) Pintaremos de verde 16,76 m (corresponden a unángulo central de 60°).

b) Pintaremos de rojo 12,57 m (corresponden a unángulo central de 45°).

LONGITUD DE UNA CIRCUNFERENCIA

50. a) R1 = zona circular, R2 = segmento circular.

b) R1 = sector circular, R2 = trapecio circular.

51. Corona circular.


53. a) 10,46 dm2 c) 14,65 dm2

b) 6,98 dm2 b) Cada sector: 8,37 dm2

54. 9 cm

55. a) 4,27 cm2

b) 2 arcos y 2 segmentos

c) Habría que calcular la longitud de los 2 arcos y delos 2 segmentos (R - r ) y luego sumar todo.

56. El diámetro es: 9 cm

57. Área = 47,52 m2

58. a) Seis círculos, porque se hacen enteros, ver lafigura adjunta.

b) 600 cm2 – 6 · π · (5 cm)2 = 129 cm2

EL CÍRCULO Y LAS FIGURAS CIRCULARES

30 cm

20 cm

139

138

124

SOLUCIONARIO

59. a)

b) Área formada por el objetivo de 28 mm: = 2,55 m2

Área formada por el objetivo de 50 mm: = 1,57 m2

Área formada por el objetivo de 20 mm: = 0,70 m2

60. a) 106,03 cm2 c) 9,42 m2

b) 157,08 m2 d) 18,84 m2

61. S = 22 m2 – π · 12 m2 = 0,86 m2


63. a) 100,53 cm2 b) 37,70 cm2 c) 62,83 cm2

π · (2m)2 · 20°360°

π · (2m)2 · 45°360°

π · (2m)2 · 73°360°

2 m

2 m

2 m

73º45º 20º

UN METRO DE TELA

Se pueden formar dos cuadrados.

DESAFÍOS

1 m 1 m 1 m

CUADRADOS ENCAJADOS

2 2 m

2 m

2 m 4 m1 m

141

125

MATEMÁTICAS

EN EL GEOPLANO

En un geoplano de 16 puntos se pueden formar 5 (3 + 2) cuadrados distintos.

En un geoplano de 25 puntos se pueden formar 8 (4 + 3 + 1) cuadrados distintos.

Los pliegues en la hoja equivalen a los ejes de simetría.

Con un solo pliegue se puede obtener un triángulo.

Con dos pliegues se pueden obtener: un cuadrado, un rectángulo, un rombo, un hexágono, unoctógono y un polígono estrellado.

FIGURAS SIMÉTRICAS EN PAPEL

Cuadrado Rectángulo Rombo Hexágono Octógono Polígono estrellado

Se pueden ver:

• Una estrella dentro de un hexágono.

• Doce rombos.

• Seis hexágonos en el interior.

• Tres cubos colgados.

• Tres cubos apilados sobre el suelo en un rincón.

OBSERVAR LA FIGURA

126

SOLUCIONARIO

a) Cada número se obtiene sumando los dos anteriores. Para construirla, se toman los radios queindican la sucesión de Fibonacci, y los centros como indica la figura.

b)

c) El arco de circunferencia creado tiene radio 8, y es una cuarta parte de la circunferencia total. Lalongitud es 12,57 unidades.

LA CURVA QUE NUNCA TIENE FIN

La contestación intuitiva habría sido 25 cm; pero, en realidad, habrá avanzado 50 cm.

Si intentamos calcular el área, a través de los sectores circulares que se forman al dividir el círcu-lo en triángulos, se puede observar que al ser cada vez más pequeños, estos se pueden considerarcomo triángulos de altura igual al radio. Si intentamos calcular el área de todos los triángulos, setiene que la suma de todas sus bases es el perímetro del círculo, y por lo tanto:

A = = π · r22 · π · r · r

2

OTRA FORMA DE CALCULAR EL ÁREA DE UN CÍRCULO

Limpia aproximadamente 550 cm2.

MATEMÁTICAS EN LA LIMPIEZA

Ha dormido una hora, de las nueve a las diez de la noche, que es cuando suena el despertador.

SUENA EL DESPERTADOR

8

5 11

3

2

C6

C , C1 2

C5

C3C4

¿TAN SIMPLE COMO PARECE?¿TAN SIMPLE COMO PARECE?

127

MATEMÁTICAS

UNIDAD 10

Respuesta libre.



1. 2. Sí, porque sus bases y sus caras laterales sonparalelogramos.

3.

La altura no coincide con la arista en un prismaoblicuo. Solo coincide en los prismas rectos.Base

Base

Cara lateral

Altura

Arista básica

Arista lateral

Vértice

4. No, la apotema está en la base.

5.

6.

7. No, solo en el caso que tenga todas sus carasiguales.


altura vértice

caralateral

baseapotema

de la base

alturade la cara

8. A total = 10 · 10 · 6 = 600 cm2

El desarrollo del cubo es respuesta gráfica y libre. Hay más de una posibilidad.

9. A base = 5 · 5 = 25 cm2

A lateral = 4 · 89 · 5 = 1 780 cm2

A total = A lateral + 2 · A base = 1 780 + 2 · 25 = 1 830 cm2

10. Habría que calcular el área lateral del prisma (se supone que se empapelan solo las paredeslaterales).

A lateral = 2 · 2,5 · 2 + 2 · 3 · 2,5 = 25 m2

Necesitaremos 25 m2 de papel.

11. 25 cm2 + 4 · 25 cm2 = 125 cm2 de cartulina.


142

144

145

146

128

SOLUCIONARIO





15. A realizar por el alumno.

16.

17. a) Máxima. c) Menor.

b) Máxima. d) Menor.


18.


h h h h

a) b) c) d)

eje de rotación eje de rotación eje de rotación eje de rotación

gene

ratri

z

gene

ratri

z

gene

ratri

z

gene

ratri

z

base base base base

basebasebasebase

19.

20. a) g2 = (7 cm)2 + (2 cm)2 → g2 = 49 cm2 + 4 cm2 = 53 cm2 → g = 7,28 cm

b) h2 = (6 cm)2 – (2 cm)2 → h2 = 36 cm2 – 4 cm2 = 32 cm2 → h = 5,65 cm


vértice

altura

generatriz radio

eje

radio mayor

radio menor

alturageneratriz

base mayor

base menor

ejebase

a) b)

147

148

149

150

129

MATEMÁTICAS

21. 131,95 cm2

22. a) 207,35 cm2

b) 326,73 cm2

23. a) h = 3 cm r = 5 cm

g = �9 +�16� = �34� = 5,8 cm

A lateral = π · r · g = π · 5 · 5,8 = 91,1 cm2

A base = π · r2 = 25 · π = 78,5 cm2

A total = A lateral + A base = 91,1 + 78,5 = 169,6 cm2

b) h = 8 cm r = 4 cm

g = �64 +� 16� = �80� = 8,9 cm

A lateral = π · r · g = π · 4 · 8,9 = 111,8 cm2

A base = π · r2 = 16 · π = 50,2 cm2

A total = A lateral + A base = 111,8 + 50,2 = 162 cm2

c) h = 6 cm r = 6,5 cm

g = �36 +� 42,� 25� = �78,� 25� = 8,8 cm

A lateral = π · r · g = π · 6,5 · 8,8 = 179,6 cm2

A base = π · r2 = 42,25 · π = 132,7 cm2


d) h = 7 cm r = 1,43 cm

g = � 49 + 2,045 = � 51,045 = 7,14 cm

A lateral = π · r · g = π · 1,43 · 7,14 = 32,08 cm2

A base = π · r2 = π · (1,43 cm)2 = 6,42 cm2




24. a) 15,625 cm3

b) 35 cm3

c) 68,921 dm3

25. a) 500 dm3 d) 34000 dl

b) 800 ml e) 900 km3

c) 0,079 m3 f) 0,000006 dal


26. a) 17,32 cm3

b) 24 cm3

c) 152,32 dm3


27. a) 445,06 mm3

b) 0,002 m3

c) Con los datos del dibujo: h = 9,37 cm V = 551,94 cm3

Con los otros datos: h = 5,65 cm V = 23,67 cm3


1. Sí, ocurre lo mismo.

151

152

153

154

155

6. Cubo Prisma pentagonal Pirámide pentagonal Cilindro

130

SOLUCIONARIO

ACTIVIDADES

MAPA CONCEPTUAL

1.

se puede calcular

Área totalÁrea lateral Volumen

CUERPOS

se clasifican

pueden ser

PirámidesPrismas ConosCilindros Esferas

pueden ser

Poliedros Redondos

a) Los poliedros tienen todas sus caras planas, loscuerpos redondos no.

b) En el cilindro.

c) El m3

d) Respuesta libre.

2. Área lateral = 7650 mm2

3. 12 caras. Es un dodecaedro.

a) Pentágono

b) 324º

c) 3 caras.

d) 72 dm2

4. Área total = 1 815,84 cm2

5. 156 : 6 = 26 cm2

a) V = (5,10 cm)3 = 132,651 cm3

b) Con estos datos no es posible calcular el áreatotal.

CÁLCULOS

ELEMENTOS DE LOS CUERPOS

156

157

caracara

arista

carapentagonal

arista

base

altu

ra

base

vértice

caracircular

superficiecurva

vértice

131

MATEMÁTICAS

7. 81 cm2

8. 306,31 cm2 = 3,0631 dm2


10. 58,31 cm2

11. 251,33 cm2

ÁREA LATERAL Y TOTAL

12. Para 45 días.

a) 2 frascos.

13. 502,66 m3 = 502 660 dm3 = 502 660 litros

14. a) 21 300 000

b) 9 800 000

c) 7 000

d) 160 000

e) 0,045

15. 93 = 729 cubitos. Porque tiene 9 cubos de largo, 9 de ancho y 9 de alto.

16. V = 249,90 litros

de V = 187,425 litros

187,425 : 1,5 = 124,95 jarras.

Por lo tanto, casi 125 jarras.

17. V = 968,188 cm3

18. r = 968,188 cm3

h = 7 cm

g = 7,83 cm

19. arista = 2,6 cm

20. Sí, poniendo 9 cubitos de base y completando dospisos más (9 + 9 + 9 = 27).

El cubo tendrá 3 cubitos de arista.

21. r = 0,38 dm h = 0,76 dm

22. 2 613,81 cm3

23. La c)

24. 1 500 m3 = 1 500 000 dm3 = 1 500 000 litros

25. Es un cono. V = 301,60 cm3

VOLUMEN

DESAFÍOS

POLICUBOS

a) Necesitará colocar nueve baldosas en cada lado más una en cada esquina.

En total necesitará colocar: (9 · 4) + 4 = 36 + 4 = 40 baldosas.

b) número de baldosas = (4 · longitud del lado en metros) + 4

EL CUBO SOMA

a) Ocho unidades (dos piezas de cuatro cubos cada una).

b) Quince unidades (tres piezas de cuatro cubos y una pieza de tres cubos).

34

158

159

132

SOLUCIONARIO

No sabemos exactamente cuántos alumnos eligieron Taller de Matemáticas ni Francés, ya quedesconocemos el número total de alumnos. Sin embargo, sabemos que la mitad eligió Taller deMatemáticas, la cuarta parte Francés y la otra cuarta parte Procesos de Comunicación.


UNIDAD 11

1. a) La población serían todas las pilas fabricadas enun día, y cada una de las pilas sería un individuo.

b) Sí, porque una forma de saber cuál es la dura-ción de una pila es utilizándola hasta que se gas-te; si esto se hace con todas supondría un impor-tante gasto para la empresa.

2. a) La población la comprenderían todos los indivi-duos de la provincia y la encuesta iría dirigida atodos los alumnos de 7º de la ESO de dichaComunidad.

b) Sí, sería conveniente tomar una muestra porqueel número de alumnos de 7º de la ESO de laComunidad posiblemente fuera muy grande.

3. a) Cualitativa.

b) Cuantitativa.

c) Cuantitativa.

d) Cuantitativa.

e) Cualitativa.

f) Cuantitativa.

g) Cualitativa.

h) Cualitativa.


4. La frecuencia absoluta de los valores 0, 1, 2, 3, 4 es 1, 2, 4, 2, 1, respectivamente.

5. La frecuencia absoluta de los valores 0, 1, 2, 3 es 5, 8, 6, 1, respectivamente.


6. a)

b) 40 %

c) 10 %

7. a)

b) 40 %

c) 1 alumno.

d) El número total de alumnos: 20. Las frecuencias relativas tienen que sumar 1.


Número de Frecuencia Frecuencia Porcentajes

hermanos absoluta (ni) relativa (hi) (pi)

0 1 0,1 10 %

1 2 0,2 20 %

2 4 0,4 40 %

3 2 0,2 20 %

4 1 0,1 10 %

Número deFrecuencia Frecuencia Porcentajes

asignaturasabsoluta (ni) relativa (hi) (pi)reprobadas

0 5 0,25 25 %

1 8 0,4 40 %

2 6 0,3 30 %

3 1 0,05 5 %

160

162

163

164

133

MATEMÁTICAS

8. 9.

Básquet

Básquet

Fútbol

Hockey

2

4

6

8

10 Hockey

5

8

6

1

0 1 2 3 nº de sobresalientes

nº dealumnos


10. x = 3,8

11. x = 3,8

12. La altura media de los muebles es 173 cm.


13. a) Mo = 10 b) Mo = 7

14. a) Me = = 6,5 b) Me = 6

15. La moda es 0 y la mediana es 2.

16. La moda es 3 y la mediana es 2,5.6 + 72


17. a) Aleatorio. c) Determinista.

b) Determinista. d) Aleatorio.

18. El espacio muestral son todas y cada una de las cartas de espadas y bastos.

E = {1E, 2E, 3E, 4E, 5E, 6E, 7E, 10E, 11E, 12E, 1B, 2B, 3B, 4B, 5B, 6B, 7B, 10B, 11B, 12B}

a) {Obtener el cinco de oros} d) {Obtener una espada o un basto}

b) {Obtener un rey} e) {Obtener un rey} y {obtener un as}

c) {Obtener un oro} f) {Obtener un rey} y {obtener una espada}


19. Deben realizar los alumnos el experimento.

a) Las frecuencias relativas se aproximan a 0,5.

b) P (A) = 0,5

20. En cada caso se obtendrá un número distinto deveces que ocurre el suceso A. La frecuencia relati-va será el cociente entre el valor de la frecuenciaabsoluta y 50. Después de realizar 50 veces elexperimento, asignaríamos al suceso A una proba-bilidad de 0,25.


165

166

167

168

169SOLUCIONES DE LA PÁGINA 169

134

SOLUCIONARIO

21. a) P (5) =

b) P (6) =

c) P (2, 4, 6) = =

d) Es cero, puesto que es un suceso imposible.

22. a) P (6) = =

b) P (oros) = =

c) P (rey) = =

d) P (rey de oros) = 1

40

110

440

14

1040

110

440

12

36

16

16



1. Para poder resolver el problema la única posibilidad es que sean dos chicos y dos chicas por-que:

• Si fueran tres chicas y un chico, no se podría resolver porque faltaría información (quién plan-cha y quién lee).

• Si fueran tres chicos y una chica, no leería ninguno.

Por tanto, si organizamos la información en una tabla se tiene que:

Maribel estudia, Alfonso limpia, la otra chica lee y el otro chico plancha.

2. Si Laura está despierta no tiene solución única. Por tanto, hay que suponer que está dormida,y así se tiene que si Laura duerme, Raúl manda mensajes, el padre come y la madre conduce.

Leer

Estudiar

Planchar

Limpiar

Sí

No

No

No

No No No

Sí No No

No Sí No

No No Sí

Chica 1 Maribel Chico 1 Alfonso

170

171 SOLUCIONES DE LA PÁGINA 171

135

MATEMÁTICAS

ACTIVIDADES

MAPA CONCEPTUAL

1.

organización

representación

de datos en

Frecuencias Parámetros

estadísticos

Tablas Gráficos

pueden ser

agrupación

de datos en

resumen de la

información en

los más

importantes

tales como

Diagramas

de barras

Diagramas

de sectores

Media

artimética

Absoluta Moda Mediana

PROBABILIDAD

la posibilidad de

que ocurra unSuceso

Regla

de LaplaceProbabilidad

ESTADÍSTICA

mediante lalo estudia la

multiplicadas

por cien

Porcentajes

Relativa

a) Cuando hablamos de población nos referimos atodos los elementos sobre los que se hace el estu-dio estadístico y, cuando hablamos de muestra,estamos refiriéndonos a un subconjunto de lapoblación.

b) Los caracteres cualitativos son aquellos que no sepueden medir o expresar numéricamente, porejemplo, el color de un coche y los cuantitativosson aquellos que sí se pueden expresar numéri-camente, por ejemplo, el número de hermanos.

c) La frecuencia absoluta de un valor es el númerode veces que se repite dicho valor.

La frecuencia relativa es el cociente entre la fre-cuencia absoluta y el número total de datos.

d) Los diagramas de barras son representacionesgráficas de los datos mediante rectángulos, cuyasbases son los valores y las alturas las frecuenciascorrespondientes a cada valor. Los diagramas desectores son representaciones gráficas de losdatos mediante círculos divididos en sectorescuyas amplitudes son proporcionales a las fre-cuencias de los datos.

e) Media aritmética, moda y mediana.

f) El determinista es aquel en el que podemos saberel resultado final antes de realizar el experimento,mientras que en el aleatorio no se puede predecirel resultado con anterioridad.

g) La probabilidad de un suceso es el valor al que seaproxima la frecuencia relativa cuando el experi-mento se realiza en muchas ocasiones. Para cal-cular la probabilidad de un suceso mediante laregla de Laplace, hay que dividir el número decasos favorables entre el número de casos posi-bles.

172

136

SOLUCIONARIO

2. a) El número total de datos: N, pues estamos con-tando todos los datos.

b) Han de sumar 1, pues al sumar todas las frac-ciones se obtiene que estamos dividiendo Nentre N.

3. La mediana es 7 y hay dos modas, 7 y 8.

4. a) 5 b) 5 c) 2 d) 3

5. La probabilidad es = 0,5.12

CÁLCULOS

6. a)

b) Tres teléfonos.

c) El 12,5 % de las familias tienen un teléfono.

d)

7.

nº de teléfonos

nº defamilias

1

5

10

15

20

2 3 4

TABLAS Y GRÁFICOS ESTADÍSTICOS

Número de Frecuencia Frecuencia Porcentajes

teléfonos absoluta (ni) relativa (hi) (pi)

1 5 0,125 12,5 %

2 10 0,25 25 %

3 15 0,375 37,5 %

4 10 0,25 25 %8. a) 50

b) 11

c) 19

d) 4%

9. a) La media es 4,89. La moda es 10. La mediana es5.

b) La media es 7. La moda es 5. La mediana es 6,5.

10. a) Valor medio temporada 2002-2003 = 2,02

Valor medio temporada 2003-2004 = 2,01583

b) Valor mediano temporada 2002-2003 = 2,03

Valor mediano temporada 2002-2003 = 2,01

11.

La media aritmética es x = 7,15 y la moda es elvalor 6.

PARÁMETROS ESTADÍSTICOS

Valores Frecuencia Productos

(x i) absoluta (ni) (x i · ni)

5 2 10

6 6 36

7 3 21

8 5 40

9 4 36

n = 20 ∑ x i · ni = 143

173

137

MATEMÁTICAS

12. a) Se puede añadir cualquier valor menor o igualque 6.

Se puede añadir cualquier valor mayor o igualque 7.

13. Carmen debe sacar un 7,5.

14. Es determinista, pues sabemos el resultado que se

va a obtener sin necesidad de medirlo. El otro lado

será: = 12 m

15. No, se trata de un experimento aleatorio. Si seextrae una bola, es más probable que sea roja quenegra, pero no podemos asegurar que será negra.

a) Sacar una pelota negra.

b) Respuesta libre.


17. a) El espacio muestral son todas y cada una de lascartas de oros, copas y bastos.

b) A = {obtener una espada}

c) B = {obtener una copa} y C = {obtener un oro}

d) B = {obtener una copa} y D = {obtener un caballo}

18. a) B = {obtener una bola azul}

b) Ac = {obtener una bola negra o una bola azul}. Esun suceso compuesto, está formado por dossucesos elementales, {obtener una bola negra} y{obtener una bola azul}.

19. a) A = {obtener 1, 2, 3 o 5}

b) B = {obtener 3}

c) C = {obtener 4}

d) Ac = {obtener 4 o 6}


420 m2

35 m

EXPERIMENTOS ALEATORIOS. SUCESOS

21. a) Igualmente posible.

b) Muy posible.

c) Igualmente posible.

d) Poco posible.


23. a) P (obtener un oro) = =

b) P (obtener un rey) = =

24. a) P (2, 4, 6) = = b) P (5, 6) = =

25. P (0) = P (2) = P (4) =

P (1) = = P (3) =

26. a) P (sea con sabor a frutilla) = =

27. a) P (no ser de acción ni de humor) = 1225

16

318

18

14

28

18

38

18

13

26

12

36

110

440

14

1040

PROBABILIDAD 174174

138

SOLUCIONARIO

El error está en que se superponen las categorías de tiempo, de forma que se cuentan más de unavez. Por ejemplo, cuenta por un lado el tiempo de dormir y comer, y por otro lado los meses devacaciones, en los cuales se supone que también come y duerme. Este tipo de falacias ocurre confrecuencia en informes estadísticos.

DESAFÍOS

Si se lo quiere regalar a uno de sus hermanos → monedas

Si son cuatro hermanos → cartas

Si tiene seis primos → dados

INTENTANDO SER EQUITATIVO

a) 0,5

b) Siempre la probabilidad será 0,5 porque los sucesos no tienen memoria.

¿QUIÉN GANARÁ LA APUESTA?

El número mínimo de medias que asegura una pareja del mismo color es 3. Es fácil verlo con undiagrama de árbol.

UN ASUNTO DE MEDIAS

Es más probable que salga blanca porque hay 4 casos favorables, frente a los 3, 2 y 1 de las pelotasnegras, azules y roja, respectivamente.

UNA SEGUNDA EXTRACCIÓN

a) P (salga 1) = = 0,33

b) P (salga 1) = = = 0,5

c) P (salga 1) = = 0,25

d) P (salga 1) = = 0,375

Es más fácil que salga un 1 en la ruleta b).

38

14

12

36

13

GIRAMOS LAS RULETAS

175175

“NO TENGO TIEMPO PARA IR AL COLEGIO, NI SIQUIERA PARA ENFERMAERME...”

139

MATEMÁTICAS

1.

2. Respuesta libre.

3. a) -1 -3 -5 -7

b) -22 -17 -13 -10 -8 -7

c) 9 18 36 72 144 288

4. a) No

b) El número de Skewes es: ((1010)10)34

ANEXO


-12-8000

-235

-700-3

100-40

Expresión numérica Expresión numérica

100-153

-2 / -5

-40

-107



1. maíz = = 0,25

cebada = = 0,125

trigo = = 0,375

2. a) Representa el 37,5% del total.

b) Representa el 12,5% del total.

c) Representa el 25% del total.

3. Por ejemplo:

Fig. 1 Perímetro = 2 · b + 2 · h

Área = b · h

Fig. 2 Perímetro = 30cm · 2 + 500cm · 2 + b

Área = b · 30 + b · h : 2

Hay más posibilidades.

4. Perímetro = 30 + 707,1 + 500 · 2 = 17,671 cm

Área = 707,14 · 30 = 21 213 cm2 = 0,0000021213 km2

5. Aprobados: = 12%

Reprobados: = 88%

6. = 12,5%

7. Respuesta libre.

8. Respuesta libre.

1414

1818

3838

2621726

217

191217

2171727

178178

179179

140

SOLUCIONARIO


1. Hidratos de carbono: 165º = 45,83%

Frutas y verduras: 125º = 34,72%

Proteínas: 55º = 15,27%

Grasas y azúcares: 15º = 4,16%

2. Respuesta libre.

3. Respuesta libre.

4. Se utilizan rectángulo para las barras y sectorescirculares para el gráfico circular. La altura signifi-ca las cantidades que consumió de cada grupo dealimentos.


1. Respuesta libre. Cada alumno puede elegir quéescala utilizar para ubicar esos números.

2. Izamiento de la Bandera Nacional por primera vezen la ciudad el 23 de agosto de 1812.

Designación de Buenos Aires como Capital Federalen 1820.

Primera Fundación de Buenos Aires en 1536.

Segunda fundación de Buenos Aires en 1580.

3. Para protegerlo de los graffiti y las pintadas.

4. Respuesta libre.

5. De Córdoba.


1. El C, porque las piezas de ajedrez tendrían que verse al revés.

2. Las caras opuestas suman 7.

3. Respuesta libre.

4. Respuesta libre.

181181

180

181182


1. El de 5 piezas tiene menos figuras que el chino. No tiene un cuadrado y hay 3 piezas iguales queson los triángulos rectángulos de mayor área.

2. El huevo y el Cardiotangram.

En el huevo, cada sector tiene un ángulo central de 45º porque forma un ángulo recto entre losdos.

En el Cardiotangram hay dos sectores con ángulos de 45º y 3 sectores con ángulos de 90º por-que forman un cuarto de círculo cada uno.

3. No, porque no están formados por 2 arcos de circunferencias.

4. 100 : 8 = 12,5 cm2

5. La del pentágono.

6. Respuesta libre.

181183

141

MATEMÁTICAS


1. Respuesta libre.

184


1. 4650 gs de chocolate

62 huevos

31 tazas de azúcar

31 panes de manteca

31 tazas de harina

6200 gs de frutilla

2. 3375 gs de chocolate

45 huevos

22,5 tazas de azúcar

22,5 panes de manteca

31 tazas de harina

4500 gs de frutilla

3. Deberá pedir como mínimo la suma de las cantidades de lunes a viernes más las de sábados ydomingos.

4. Respuesta libre.

5. a) $ 45

b) $ 21,6 + $ 45 = $ 66,6

c) Cada mousse cuesta $ 1,875 + $ 0,9 = $ 2,775

Con el 25% de ganancia = $ 3,46875

6. Respuesta libre.

184

185

001 011 u1 - edelvives.com.ar · al final se encuentra el solucionario con las respuestas a todos...

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