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Departamento Matemáticas Colegio Ágora

TEMA 9. Derivada y aplicaciones Nombre _________________________ CURSO: 1°BACH CCNN

Cálculo de derivadas

1. Idea de derivada. Tasa de variación media e instantánea

Nota: observad que la tasa de variación media de una función en un intervalo, coincide con la pendiente de la recta secante a la gráfica en los puntos correspondientes

2. Interpretación geométrica de la derivada

Analicemos desde un punto de vista gráfico la definición de derivada de una función en un punto:Parece claro que, a medida que x se acerca al punto a, las rectas secantes se acercan a la recta tangente en el punto a. Es además evidente, que las distintas tasas de variación media, correspondientes a los sucesivoscocientes incrementales, tienden a un número, en caso de existir a la derivada. Podemos establecer, por tanto la siguiente interpretación geométrica de la derivada:

Así pues, la ecuación punto-pendiente de las rectas tangente y normal serían:

1

𝑓′ሺ𝑎ሻ= lim𝑥→𝑎 𝑓ሺ𝑥ሻ−𝑓(𝑎)𝑥−𝑎

O equivalentemente



3. Definición formal de derivada

Sea f una función definida en un entorno de un punto x = a de su dominio. Decimos que f es derivable en dicho punto

si existe y es finito: f ' (a )=limx→a

f ( x )−f (a)x−a

.

Para eso se estudia este límite por la izquierda y por la derecha, es decir, se estudian las derivadas laterales y se comprueba que existan y que coincidan. En ese caso, se dice que la función f es derivable en x = a.

4. Derivabilidad y continuidad

Si f esderivable enx=a⇒ f escontinuaen x=aO equivalentemente

Si f NO escontinuaen x=a⇒ f NOes derivableen x=a

Nota: 1. Esto supone que ANTES de estudiar la derivabilidad, habría que estudiar la continuidad. Si la función NO es continua, ya no seguimos estudiando la derivabilidad. 2. El recíproco NO es cierto

Si f escontinua en x=a⇏ f esderivable en x=a

Puede ocurrir que la función sea continua, pero NO derivable. En ese caso, hablamos de puntos angulosos.

Gráficamente, un punto anguloso es aquel en el que las tangentes “saltan” de la izquierda a la derecha del punto.Por el contrario, las funciones derivables son “redondeadas” y sus tangentes no dan “saltos”

f es continua y derivable, f es continua y NO derivable, f es continua y NO derivable,

2



punto suave punto anguloso punto anguloso5. Cálculo de derivadas

En la práctica, no se calculan estos límites, si no que se tienen en cuenta las propiedades de la derivada y se mecanizan una serie de fórmulas que vamos a mostrar a continuación.

Propiedades de las derivadas

Fórmulas de las derivadas de las funciones elementales

3



6. Aplicaciones de la derivada. Monotonía y extremos relativos

Aplicadas a la representación de funciones, las derivadas son muy útiles porque nos ayudan a decidir cuándo la función es creciente o decreciente y a encontrar los extremos relativos.

Crecimiento y decrecimiento

• Si f’(a) > 0 la función es creciente en el punto (a, f(a))• Si f’(a) < 0 la función es decreciente en el punto (a, f(a))

Nota: el recíproco NO ES CIERTO. Lo único que se puede asegurar es que si una función es derivable y creciente (decreciente), entonces su derivada es positiva O CERO (o negativa o CERO).Por ejemplo f ( x )=x3es creciente en todo su dominio y, sin embargo, f ' (0 )=0

Si una función f(x) tiene un extremo relativo (máximo o mínimo)en x = a y existe f’(a), entonces f’(a) = 0.

Nota: los puntos donde la derivada se anula son CANDIDATOS extremos, pero no extremos necesariamente.Por ejemplo, f ( x )=x3 tiene derivada nula en x = 0, y no encontramos ni un máximo ni un mínimo, si no un punto de inflexión.

Criterio de la derivada segundaSi f es dos veces derivable en x = a y se da que f ' (a )=0 y f ' ' (a)≠0,Entonces,

a) Si f ' ' (a )>0⇒ f tieneunMÍNIMO relativoen (a , f (a ))b) Si f ' ' (a )<0⇒ f tieneunMÁXIMO relativoen(a , f (a ))

Nota: este resultado se explica porque la f’’ permite estudiar la curvaturaa) Si f ' ' (a )>0⇒ f esCÓNCAVAb) Si f ' ' (a )<0⇒ f esCONVEXA

1. Ejercicios resueltos

Ejemplo 1. Uso de las tablas anteriores, es decir, de las propiedades y las fórmulas de las derivadas

4



Ejemplo 2. Recta tangente y normal

Ejemplo 3. Estudio de la derivabilidad en un punto

Ejemplo 4. Estudio de la monotonía de una función

5



Con el criterio de la derivada segunda es más rápido:

Actividades de aplicación

Actividad 0: Calcular, aplicando la interpretación geométrica de derivada, la Tasa de variación instantánea de la siguiente función, en los puntos señalados:

6



Cálculo de derivadas (1)

1. Calcular la función derivada de las siguientes funciones:

(1) f ( x )=6x3+5x2+23 (2) f ( x )=7x4−5x3+8x2−12

(3) f ( x )=3

5x5+ 7

3x3−13

4x2+3

(4) f ( x )=5x−3+6x−2−17

(5) f ( x )= 3

x3+3x3

(6) f ( x )= 7

x5− 3x4

+ 5x2

−12x+8

(7) f ( x )=(x2+3 x+2 )3 (8) f ( x )=√5 x

(9)

f ( x )= 1(x2−3 x )2 (10) f ( x )=

3√3 x+2 ___________________________________________________________________________________

2. Calcular la función derivada de las siguientes funciones elementales:

(1) f ( x )= ln ( x ) (2) f ( x )=5 ln( x )

(3) f ( x )=3

5ln( x )

(4) f ( x )=−7

4ln( x )

(5) f ( x )=log2 x (6) f ( x )= log5 x3

(7) f ( x )=8x (8) f ( x )=(3

2 )x

7



(9) f ( x )=3 ·2x (10) f ( x )=5 · π x

(11) f ( x )=ex

(12) f ( x )=3e x

(13) f ( x )=√5

2ex

(14) f ( x )=sen( x )

(15) f ( x )=−5 sen( x ) (16) f ( x )= 2 sen( x )

7

(17) f ( x )=−cos ( x ) (18) f ( x )=7

6cos( x )

(21) f ( x )= tg ( x )

3 (22) f ( x )=−3·arccos( x )

8



Cálculo de derivadas (2)

1. Calcular la función derivada de las siguientes funciones utilizando las reglas básicas de derivación:

a) f ( x )=x ( x2+5x−8 )

b) f ( x )=(2x2+2)(3x2−5x+1)

c) f ( x )=(8x2−5x )√6x+3

d) f ( x )=x2 Lx

e)f ( x )= x+1

x−1

f)f ( x )= 8

x+2

g)f ( x )= x2−1

x2+1

h)f ( x )= x

3√x

i)f ( x )= (5x+2 )2

(2x−3 )3

j)f ( x )= ( x−3 ) ( x+5 )

2x2−1

k)f ( x )=√5x+8

x2−3

l)f ( x )=√3x5−2x

( x+1 )2

___________________________________________________________________________________

2. Calcular la función derivada de las siguientes funciones compuestas:

_____________________________3. Calcular la función derivada segunda y tercera en cada caso:

(1) f ( x )=e2 x

(2) g( x )= 3

x-1 (3) h( x )=ln x9



Sean f y g dos funciones derivables en x = a ,entonces:a) REGLA DE LA SUMA: f ± g es derivable en x=a y se da queb) REGLAS DEL PRODUCTO:

k·f es derivable en x=a y se cumple quef·g es derivable en x=a y se cumple que

c) REGLA DEL COCIENTE: Si g(a)≠0, f /g es derivable en x=a y se cumple que

Si g es derivable en x=a y f es derivable en x=g(a), entonces:d) REGLA DE LA CADENA: f ∘ g es derivable en x=a y se da que

( f ± g )' (a )=f ' (a)±g ' (a)

(kf )' (a )=k·f '(a)( f·g )' (a )=f ' (a ) · g (a )+ f (a ) · g ' (a)

( fg )'

(a )= f ' (a ) · g (a )−f (a ) · g ' (a)g(a)2

( f ∘ g )' (a )= f ' (g (a ) )· g '(a)

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