2.9 ANALISIS DE SECCIONES T

La sección T aparece muy frecuentemente en vigas de hormigón armado; constructivamente se genera al fundir solidariamente losas y vigas soportantes. Puede darse también en forma aisladas.

El análisis de vigas T comienza con la verificación de la geometría de la sección. Para esto es necesario distinguir dos tipos de vigas T: Las T aisladas y las T inducidas.

T aisladas: son aquellas construidas independientemente con tal forma. Para este caso; la sección debe ser modelada de tal manera que:

t ≥b '2

b≤4 b '

T inducida: son aquellas que provienen de la construcción monolítica de losa y viga. En este caso es necesario definir el ancho del ala b que tiene un valor máximo limitado por el menor de lo siguientes valores:

b '+16 tB2

B=distanciaentre vigas

L4

L=luz de laviga

La viga de borde forma L se tratara como viga T. el ancho del ala en este caso tiene un valor máximo limitado por el menor de los siguientes

valores:

b=b'+ L12

Ó

b=b'+6 t

B+b '2

El análisis de vigas T se divide en dos casos dependiendo de la altura del bloque de compresión a$

a≤ t a> t

Por el caso

a≤ t

el comportamiento de

la viga es claramente identificable con el de una sección rectangular de ancho b$ : por lo tanto, toda la teoría de análisis descrita anteriormente, para vigas sección rectangular, es aplicable sin modificación alguna. El caso que reviste interés es el segundo, cuando a> t, que corresponde a una viga en la cual el área comprimida bajo el diagrama equivalente de esfuerzos no es rectangular

FIG. 2-11 ANALISIS DE SECCION T

Para definir a qué caso corresponde el análisis de una sección determinada, se puede calcular un valor aproximado, C’, asociado con la fuerza de compresión generada exclusivamente en el ala, y comprar dicho valor con el de T , se tratará del caso a> t y procederá el método que se describe a continuación.

∑FH=0 T ≡C

As fy=0.85 f 'c ab'+t (b−b')

De donde:

a=As fy−0.85 f ' c t (b−b' )

0.85 f 'c b '

La fuerza C está aplicada en el centro de gravedad del área comprimida. La ubicación del c.d.g. se obtiene mediante la Estática tomando como eje referencial la base superior de la sección.

Mu=∅ As fy (d− y)

También en este caso resulta más conveniente controlar ductilidad indirectamente a través del cálculo y comparación de la fuerza de compresión generada, C con un valor de C max, establecido a través de un valor de CB , asociado con una situación balanceada. De esta manera, para los dos criterios sísmico y normal se tendrá.

Cmax ¿0.5CB

¿0.75CB

Ejemplo 2-4

2.25

2.26

Analizar la sección de viga inducida que se detalla en la figura la misma que estará sujete a un momento ultimo de 7600kg−m. La sección tiene una armadura de 2∅ 24 y los materiales tienen valores de

f 'c=210 kgcm2

y fy=4200kg

cm2

Solución:

a)Posición del bloque de compresión

C '=0.85 f ' c ab❑

C '=0.85 (210 ) (40 ) (5 )=35700 kgT=As fy

T=9.05 (4200 )=38010kg ;C '<T ; por lo tanto, se trata de a> t . Procede el análisis de viga sección T.

b) Altura del bloque compresión equivalente

a=As fy−0.85 f ' c t (b−b' )

0.85 f 'c b '

a=9.05 (4200 )−0.85 (210 ) (5 )(30)

0.85 (210 )(10)=6.29cm

c) Punto de aplicación de C

y=5 (30 ) (2.5 )+10 (6.29 ) (0.5 )(6.29)

5 (30 )+10(6.29)=2.69cm

d)Momento últimoMu=∅ As fy (d− y)

Mu=9.05100

(4200) (25−2.69 )=8480kgm

Mu=0.9 (8480 )=7632kgm>7600 kgme) Verificación de ductilidad

C=T=9.05 (4200 )=38010kg

cB=60006000+fy

d

cB=0.6 (25 )=15cm

β1=1.05− f c1400

≤0.85

Pero ¿0.65

aB=[1.05− f ' c1400 ] . 6000

6000+ fy. d

aB=0.85 (15 )=12.75cm

CB=0.85 (210 ) (10 ) (12.75 )+30 (5 )=49533kg

Cmax ¿0.5 (49533 )=24766kg<38010 kg

¿0.75 (49533 )=37150kg<38010kgf) Conclusiones

1. La sección no cumple con exigencias de ductilidad2. La capacidad de momento último de la sección es mayor que

la solicitación; por lo tanto, la sección resiste.3. La sección no es aceptable por no satisfacer criterios de

ductilidad.

2.10 PROCEDIMIENTO GENERAL DE ANALISIS DE VIGAS DE SECCION CUALQUIERA

Identificamos como sección cualquiera aquella sección diferente a la rectangular simple o doblemente armada o la T con simple armadura. Sección cualquiera será entonces toda sección irregular en forma y con armaduras de tracción y comprensión distribuidas de manera diferente a lo hasta ahora tratado. Un elemente a flexión de sección circular con armadura en la periferia entra dentro de esta clasificación.

El procedimiento general asume todas las hipótesis del comportamiento del hormigón armado sujeto a flexión. También asume un comportamiento elasto-plástico para el acero y sustituye el verdadero diagrama parabólico de esfuerzos de compresión del hormigón por el diagrama equivalente rectangular de Whitney. Estas dos últimas

condiciones hacen que el método general de análisis que se describe sea del tipo simplificado.

El procedimiento es del tipo iterativo, de manera general, aunque para casos simples se puede formularlo algebraicamente y encontrar una solución directa.

Se recurre a las leyes generales del equilibrio estático para establecer estabilidad bajo la acción de fuerzas horizontales y momentos. El cumplimiento del equilibrio de fuerzas interiores hace que siempre C≡T. Para lograr esta identidad es necesario definir la altura del bloque comprimido de la sección a$ y la posición del eje neutro C. Definidos estos calores por tanteos (o algébricamente si es del caso) se calcula el momento de fuerzas interiores, que corresponde al momento resistente interno de la sección.

El proceso iterativo sigue los siguientes pasos:

1. Asumir un valor para C y, a través de un estado plano de deformación, establecer las deformaciones unitarias εi producidas en cada una de las posiciones de la armadura.

2. Asumiendo un comportamiento elasto-plástico del hierro calcular las fuerzas generales en la armadura F i=Asi fsi. el esfuerzo fsi puede ser ≤ fy

3. Asumiendo el diagrama rectangular equivalente de esfuerzos calculara la magnitud de la fuerza total de compresión en el hormigón C.

4. Verificar si la suma de fuerzas horizontales (compresión en hormigón, tracciones y compresiones en hierro) es nula. En caso de serlo, el valor de C asumido es el verdadero; de lo contrario, se tendrá que estimar un nuevo valor de C.

5. Establecido el equilibrio de fuerzas horizontales, se procede a calcular el momento resistente interno de la sección. Tomando un eje de referencia cualquiera (generalmente uno que abrevie operaciones), se establece distancias entre las líneas de acción de las fuerzas y tal eje referencial. La suma de los momentos estáticos de la fuerzas (considerando el sentido del giro) es el momento resistente ideal buscado. La capacidad real de momento será el anterior afectado por∅ .

Ejemplo 2-5Determinar la capacidad del momento último resistente de la sección de

la figura armada con dos tipos de hierro y con un hormigón de 210kg

cm2

A' s=2∅ 12 ( fy=2800 )=2.26cm2

As=4∅ 24 (fy=4200 )=18.10cm2

Solución 1

Se busca una solución a través del método general que supone asumir valores de C hasta encontrar uno que produzca equilibrio de fuerzas horizontales.

Luego de varios tanteos se asume c=8.32cm

a=0.85 (8.32 )=7.072cm

ε ' s=0.0038.32

(8.32−3 )=0.00192>εy=0.00133

Por lo tanto el hierro A’s está en fluencia

Sección Área (c m2 f i¿ F i(kg) y i(cm) M i(kgm)1 hormigón

100 178.5 -17850 2.5 -446.25

2 hormigón

290.08 178.5 -51779 6.036 -3125.38

3 A’s 2.26 2800 -6328 3.0 -189.844 As 18.10 4200 +76020 57.0 +43331..40 - ΣF +63 ΣM i 39.568.93

M 39.569.93kgm ;Mu=0.9 (395619.93 )=35612.9kgm

Solución 2.Durante el proceso de tanteos se pudo comprobar que las fuerzas F3 y F4 producidas por las armaduras eran constantes por cuanto el esfuerzo al que trabajan es igual a fy. Aprovechando de esta situación se puede plantear una ecuación directa de equilibrio de fuerzas horizontales.

F1+F2+F3=F4

F1=178.5 (100 )=17850kg (Constante)

F2=178.5 (140 )=(a−5) (Variable)

F3=2.26 (2300 )=6328kg (Constante)

F4=18.10 (4200 )=76020kg (Constante)

17850+178.5+(140 ) (a−5 )+6328=76020

De donde a=7.0754cm

c= aβ1

=7.07450.85

=3.32cm

Una vez que se define a$, se procede de acuerdo con la solución anterior a calcular F2, los valores de y i y los momentos M i.

2.11 PROCEDIMIENTO GENERAL PARA DETERMINAR LA CANTIDAD BALANCEADA DE REFUERZO

En los artículos anteriores de este capítulo se ha hecho un uso exhaustivo de los tres conceptos fundamentales que siempre se aplican en el diseño estructural, esto es compatibilidad de deformaciones, equilibrio y relación esfuerzo deformación. En el caso del análisis y diseño de secciones de hormigón armado sometidas a flexión, compatibilidad se establece a través de la hipótesis de Navier, por simple relación de triángulo en el diagrama de distribución de deformaciones unitarias equilibrio aplicando las ecuaciones de Estática y la relación esfuerzo deformación a través de los diagramad de los materiales o sus simplificación es que concuerdan con los resultados experimentales.

Precisamente la condición balanceada de refuerzo, articulo 2.5, se ha establecido para un caso particular de la distribución de las deformación unitarias, esto es la deformación unitaria en la fibra de hormigón en compresión más alejada del eje neutro es la máxima aceptada, εs=εy, lo

cual se traduce inmediatamente en la correspondiente distribución de esfuerzos definida a través de las relaciones esfuerzo-deformación.

Cualquiera que sea la distribución de los esfuerzos de compresión en el hormigón, para una sección de forma arbitraria, Fig. 2-11, la expresión 2.5 que define cB, la altura de la sección comprimida, es aplicable pues en ella intervienen exclusivamente conceptos de compatibilidad de deformaciones, en consecuencia en este artículo es conveniente trabajar exclusivamente con las ecuaciones de equilibrio interno T ≡C para determinar las expresiones para las cantidades y/o cuantías balanceadas de refuerzo, para secciones de hormigón diferentes a la sección rectangular simplemente armada.

cB=63006300+fy

d ϵ ' s=cB−d 'cB

0.003

FIG. 2-12 SECCION DE FORMA CUALQUIERA CON CONDICION BALANCEADA DE REFUERZO

Asumiendo, con en los articulo anteriores, la distribución de esfuerzos de compresión en el hormigón dada por el rectángulo de Wicthney se van a deducir a continuación expresiones para la cantidad balanceada del refuerzo para otras secciones comunes.

1. SECCION RECTANGULAR CON DOBLE ARMADURAAnalizando la Fig. 2-12 es evidente que las fuerzas horizontales se determinan así:

2.5 2.17

C c=0.85 f ' c¿

C s=A' s f ' s

T=A sB fy

FIG.2-13 SECCION RECTANGULAR – DOBLE ARMADURAAplicando la ecuación de equilibrio de fuerzas horizontales C=T

AsB fy=0.85 f' cba+A ' s−( f ' s−0.85 f 'c )

Con las ecuaciones (2.1) y (2.5) la ecuación anterior queda

AsB fy=0.85β1 f' cb d

63006300+ fy

+A ' s( f ' s−0.85 f 'c )

Dividiendo los dos miembros de la ecuación para b d fy, despreciando el área de hormigón desalojada pro el acero de compresión y definiendo las cuantías de acero con respecto al área efectiva b d, se obtiene la expresión para la cuantía balanceada de refuerzo.

ρB=0.85 β1 f ' c

fy.63006300+ fy

ρ'f ' sfy

En la cual f’s se determinara usando la ecuación 2.17 y la relación esfuerzo deformación del acero.

2.27

FIG. 2-14 SECCION 7

A sf fy=0.85 f' c .a . b'+0.85 . f ' cc .t .(b−b' )

Multiplicando el segundo término del miembro de la derecha por fy/fy y definiendo el refuerzo ficticio de compresión Asf como

Asf=0.85 f ' ct (b−b' )

fy

La ecuación de equilibrio queda

Asb fy=0.85 f 'c .a .b '+Asf fy

Con las ecuaciones 2.1 y 2.5, definiendo las cuantías ρwB=A sBb ' d

y ρw I=Asb ' d

, aplicando la ecuación 2.5 y dividiendo los dos miembros para b’ d fy se tiene

ρwB=0.85 β1 f ' c

fy63006300+fy

+ρ wf

3, OTRAS SECCIONES

Para otros tipos de secciones transversales se plantea el problema de definir las cuantías de refuerzo, es decir en la expresión a tomarse para el área efectiva, por esta razón es conveniente de terminar la cantidad balanceada de refuerzo haciendo uso de la ecuación 2.5 y los conceptos de equilibrio.

En el artículo 2.9, la ecuación de equilibrio interno para secciones T fue planteada llegándose a la ecuación previa a la 2.25, la cual particularizada para el presente caso es:

2.28

2.28

Ejercicio 2-6

Determinar A sB y las máximas cantidades de armadura que se podrían colocar en la sección trapezoidal de la figura para un diseño que asegure su comportamiento dúctil. El hormigón es de f 'c=280 kg/cm2 y fy=2800kg/cm2.

Por geometría el área de una sección trapezoidal puede ser fácilmente determinada.

En este caso b2=b1−25h

Aplicando la ecuación 2.5 se calcula cB-

cB=( 63006300+2800 ) .70=48.46 cm

aB=0.85 (43.46 )=41.19cm

En función de aB se puede determinar el área de hormigón comprimida ficticiamente por el esfuerzo promedio 0.85 f’ c y la correspondiente fuerza CB

CB−0.85 (220 ) 12 (60+60−25 41.19)41.19=507434kgm

Por equilibrio interno

T B≡CB

y T B=AsB fyEn consecuencia

AsB fy=507434 kgm

AsB=181.23cm2

Las máximas cantidades de acero para diseño según el código serán:

Caso normal Asmax ¿0.75 AsB=135.92cm2

Caso sísmico Asmax ¿0.50 AsB=90.61cm2

Se debe notar que las áreas de refuerzo máximas que aseguran el comportamiento dúctil de la sección para los dos casos tienen valores altos. Dada la forma de la sección las fuerzas de compresión se desarrollaran sobre un área comprimida de hormigón bastante grande lo que a través de la ecuación de equilibrio justifica este hecho. Este resultado permite pensar el verdadero significado del esfuerzo promedio de 0.85 (f’c), asumido para el bloque de compresión rectangular, con relación a la forma de la sección. Desde el punto de vista de comportamiento de miembros de hormigón deferente es el significado del esfuerzo promedio para secciones con dimensiones grandes en la zona comprimida, ejemplo, sección triangular con vértice en compresión, sección trapezoidal con base menor comprimida, etc.