Matemtica AplicadaProfesor Jess Muoz Tema I. Caracas , 15 de Abril de 2009.

Variables y FuncionesEn este tema se trata los conceptos relacionados con variable, funcin, valor de una funcin, domino y rango de una funcin, representacin y estudio grafico de una funcin y la administracin de todos estos conceptos con el software matemtico Wolfram Mathematica.

Funciones MatemticasUna funcin, en matemticas es el trmino usado para indicar la relacin o correspondencia entre dos o ms cantidades, es decir una funcin la conforman una variable y, llamada variable dependiente, cuyos valores son fijados o determinados de una forma definida segn los valores que se asignen a la variable independiente x, o a varias variables independientes x1, x2, ..., xk.

Funciones MatemticasLos valores, tanto de la variable dependiente, como de las variables independientes, son nmeros reales o complejos. La expresin y = f(x), leda y es funcin de x indica la interdependencia entre las variables x e y.La funcin f(x) se da normalmente en forma explcita, como f(x) = x2 - 3x + 5, Si a es un nmero, entonces f(a) es el valor de la funcin para el valor x = a. As, en la funcin anterior, f(3) = 32 - 3 3 + 5 = 5, f(-4) = (-4)2 - 3(-4) + 5 = 33

Funciones Matemticas Software matemtico.El software matemtico a emplear en el curso es Wolfram Mathematica.En este entorno informtico la definicin de una funcin se hace de la misma forma en que usted la escribe matemticamente, en el ejemplo anterior:f[x_ ]= x^2 -3*x +5f[3] luego presione shift + enter Lo anterior define y evala la funcin matemtica en un punto .

Funciones Matemticas Software matemtico.Para evaluar la funcin anterior en el intervalo real [0,4] escribimos la siguiente sentencia Do[Print[f[x]],{x,0,4}]

Ejercicios.Defina y evale las siguientes funciones en el entorno informtico Mathematica.y= (x-x)/(x-1) Df= (1,4]y= cos[x] Df= [/4,]y= e(x +2) Df= [1,4]

Funciones Matemticas Imagen y Dominio.Una funcin numrica es una relacin que le asocia a cada valor de la variable x, tomada del conjunto D (una parte o subconjunto de los nmeros reales), un nico valor y, al que llamamos imagen.Si f es una funcin, entonces escribimos y=f(x).Ejemplo:Si un coche gasta 10litros de gasolina cada 100km y en su depsito caben 50 litros, el nmero de litros (y) que quedan en el tanque ser funcin del nmero de kilmetros recorridos (x) segn la frmula y = 50 0,1x. Si f es una funcin que relaciona x con y, podemos escribir: f(x) = 50 0,1x.Puesto que el conductor no puede viajar ms de 500kilmetros, decimos que el conjunto de valores para los que la funcin est definida es el intervalo [0,500] y usamos la notacin Df = [0,500].

Funciones Matemticas Imagen y Dominio.Una funcin no est definida para valores que:hacen cero su denominador;hacen que una expresin dentro de una raz cuadrada tome signo negativo.Ejemplos:La funcin inversa o recproca (y = 1/x) est definida para todos los nmeros reales, excepto para el cero. As, el conjunto de nmeros para los que s est definida es: D=(- ,0 )U (0,+)La funcin raz cuadrada ( y= x) est definida para cualquier nmero real positivo y para el cero: D=[0,+)

Definicin de funciones por medio de mediciones de campoEn ocasiones se disponen de una series de mediciones de campo y se desea la obtencin de una funcin (modelo matemtico) que nos permita predecir el valor de una propiedad.Ejemplo:Un servicio telefnico tiene las siguientes tarifas: 0,02 Bf por conexin y 0,20 Bf por cada minuto hablado.Cmo se expresara el coste de una llamada en funcin del tiempo que dura, es decir, en funcin del nmero de minutos que estamos conectados?

Definicin de funciones por medio de mediciones de campoEn la tabla siguiente, aparece la cantidad que se debe pagar segn el nmero de minutos que dure la llamada.

Min. conexinCant.pagada00.0210.2220.4230.6240.8251.0261.22

Definicin de funciones por medio de mediciones de campoPara calcular la cantidad que debemos pagar (en Bsf), tenemos que multiplicar el nmero de minutos de conexin por 0,20 y sumarle al resultado 0,02.Si llamamos x al nmero de minutos de conexin, el coste de la llamada (en Bsf) ser: 0,20x+0,02.Por tanto, la funcin que relaciona el nmero de minutos x con el coste es: f(x) = 0,20x + 0,02.

Definicin de funciones por medio de mediciones de campoEl software mathematica al usar comando Fit obtiene el modelo matemtico:Como primer paso debemos graficar la data para determinar si la tendencia es lineal no linealdata={{0,0.02},{1,0.22},{2,.42},{3,.62},{4,.82},{5,1.02},{6,1.22}}ListPlot[data] f[x_] = Fit[data, {1,x},x]

Otra forma de resolver el problema es mediante un SISTEMA LINEAL de ecuaciones:Tomando dos puntos cualesquiera de la tabla y el modelo lineal y= a x +b a x + b - y = 0 obtenemos lo siguiente,

Definicin de funciones por medio de mediciones de campoPara x= 1 ; y=0.22 a + b =0.22Para x= 5 ; y=1,02 5 a + b =1.02

Mathematica Wolfram resuelve el sistema lineal con el comando: Solve[{ a+b==0.22,5 a+b==1.02},{a,b}] a=0.2 ; b=0.02

El modelo lineal es y(x)=.2 x + 0.02

Definicin de funciones por medio de mediciones de campoEjercicios.Obtenga la funcin matemtica de la siguiente medicin de campo.Sugerencia: emplee el modelo no lineal y=ax ^2 + bx + c

xF(x)-521-49-31-2-3-1-30119221

Polinomios.

Se denomina polinomio real a toda expresin algebraica de la forma P(x) = a0xn + a1x n -1 + a2x n -2 ++ an -1x + an, donde los coeficientes ao,a1,..,an, son nmeros reales(a IR), y los exponentes de la variable x pertenecen a los nmeros naturales es decir n N . La indeterminacin x recibe el nombre de variable.Ejemplos:P(y)=1 1/5 y2 -4 y3 +yP[y_]= 1 + 1/5 * y^2 4 * y^3 + yP(y) es un polinomio de variable y donde y IR.

Polinomios.Operaciones con polinomios.

Adicin y diferencia de polinomios Dospolinomiossesuman se diferencian agrupando los trminos de uno y otro y simplificando los trminos semejantes (del mismo grado). Para realizar en la prctica la suma resta de dos polinomios se sitan uno sobre otro haciendo coincidir en la misma columna los trminos de igual grado, con lo que la simplificacin de trminos semejantes es automtica.

Polinomios.Operaciones con polinomios.

ParasumarP(x)=3x4 5x2 +7x con Q(x)= x3 + 2x2 11x +3 se procede as:

La suma s(x) la diferencia d(x) de polinomios en el computador se realiza de la siguiente forma:p[x_]=3 x4-5 x2+7 xQ[x_]= x3 +2 x2 - 11 x +3s[x_]= p[x] + Q[x]d[x_]= p[x] - Q[x]

Polinomios.Operaciones con polinomios.

Multiplicacin de polinomios.Paramultiplicardospolinomios se multiplica cada uno de los trminos de un polinomio p(x) por cada trmino del otro polinomio Q(x) y, posteriormente, se simplifican los trminos semejantes.Acontinuacin,conun ejemplo, se ve cmo se procede en la prctica para efectuar el producto de dos polinomios. Para los polinomios P(x)= 3x4 - 5x2 +11 y Q(x)= x3 + 2x2 +4:

Polinomios.Operaciones con polinomios.

La multiplicacin m(x) de dos polinomios en el computador se realiza de la siguiente forma:p[x_]=3 x4-5 x2+11Q[x_]= x3 +2 x2 + 4m[x_]= p[x] * Q[x]Expand[m[x]]

Divisin de polinomios.Para dividir dos polinomios p(x) (dividendo) entre Q(x) (divisor) se utiliza un procedimiento parecido al que se utiliza para divisin de enteros. En este caso, queremos encontrar a los polinomios c(x) (cociente) y r(x) resto (resto), tales que p(x)= Q(x) . c(x) + r(x)

Polinomios.Operaciones con polinomios.

Paraobtenerlospolinomios cociente y resto a partir de los polinomios dividendo y divisor se procede como en el ejemplo siguiente, con P(x)= 5x3 + 7x2 -3 y Q(x)= x2 + 2x -1:

Elcocienteesc(x)=5x3, y el resto, r(x)=11x6.

Polinomios.Operaciones con polinomios.

Ladescripcindelproceso en Wolfram mathematica es la siguiente:El dividendo:p[x_]=5 x3+ 7 x2-3 El divisor:Q[x_]= x2 +2 x -1El cociente:c[x_]=PolynomialQuotient[p[x],Q[x],x] El resto: r[x_]= PolynomialRemainder[p[x],Q[x],x]

Grfico de FuncionesLa representacin grfica de una funcin del tipo y=f(x) es una representacin lineal no lineal de cantidades numricas provenientes de mediciones de campos o modelos matemticos que pueden interceptar los ejes de coordenadas.Mtodos de construccinLas funciones z=f(x,y) se representan grficamente mediante lneas rectas curvas; por este motivo necesitamos encontrar las cantidades necesarias de coordenadas de puntos de la funcin para poder trazarla.Es importante determinar los puntos de cortes con los ejes, mximos y mnimos de la funcin ya que esto facilita su construccin.

Grfico de FuncionesEjemplo: grafique la funciones:a) y= Tan(x) en el dominio [0 , 2] Use el comando: Plot[Tan[x],{x,0,2 Pi}] b) y= Log10(x) en el dominio (0 , 10] Plot[Log[10,x],{x,0,10}] c) z= x2 + y2 en el dominio x [-5 , 5], y [-5 , 5] Plot3D[z[x,y],{x,-5,5},{y,-5,5}]

Grfico de FuncionesEstudio grfico de una funcin.Si conocemos la expresin algebraica de una funcin, podemos determinar su dominio de definicin y su sentido de variacin. Para representarla grficamente, construimos una tabla de valores. Recprocamente, a partir de la representacin grfica de una funcin podemos deducir su dominio de definicin y su tabla de variacin. Tambin podemos utilizar las representaciones grficas de funciones para resolver ecuaciones o inecuaciones.

Grfico de FuncionesEjemplo:Estudio de la funcin f(x)= 1/(x)La funcin inversa y = 1/x no est definida para x=0: est definida para todos los valores reales menos el cero, {IR 0}

Construimos la siguiente tabla de valores:

f[x_ ]= 1/x Do[Print[x=x,,f[x]],{x,-4,4}]

Grfico de FuncionesNota: las imgenes de dos nmeros con signos opuestos tambin son opuestas; la curva es, por tanto, simtrica con respecto al origen de coordenadas.

x1/x-4-1/4-3-1/3-2-1/2-1-10Ind.1121/231/341/4

Grfico de FuncionesPodemos ahora representar las dos ramas de la hiprbola que representa a dicha funcin:

Plot[f[x],{x,-4,4}]

La funcin decrece en el intervalo(0, - ) y (0, + )

Grfico de FuncionesDeduccin las soluciones de una ecuacin a partir de la representacin grfica de una funcin.Dado el sistema de ecuaciones : 1) x^2 -3 x -5 y = 0 2) 2 x 2 y =0Las soluciones del sistema de ecuaciones son las coordenadas x e y de los puntos en los que la grfica que representa a la ecuacin 1 corta a la grfica que representa a la ecuacin 2.Graficando Plot [{x^2 3 x -5 ,2 x -2 },{x, -6, 6} ]

Grfico de FuncionesTambin podemos obtener la coordenadas de los puntos de intercepcin mediante el comando : Solve[{x^2 3x -5 y == 0, 2 x - 2 y ==0}, {x , y}]P1(- 0.54 , - 3.1 )P2 (5.54 , 9.1 )

Fuentes de informacinSitios Web de utilidad.www.wolfram.comBibliografa consultada.Anlisis Numrico con Aplicaciones. Gerald Wheatley .Prentice HallThomas: Clculo de una variable. Prentice Hall.

*****