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Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo

Facultad de Contaduría y Ciencias Administrativas

Cuaderno de trabajo de la materia de

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA

FEBRERO 2009

INDICE

I. Interés Simple

1.1 Concepto

1.2 Monto, Capital, Tasa de interés y tiempo

1.3 Tipos de interés

1.4 Descuento bancario

1.5 Ecuaciones de valor equivalentes

II. Interés Compuesto

2.1 Concepto

2.2 Monto

2.3 Tasa nominal y tasa efectiva

2.4 Ecuaciones de valor equivalente

III. Anualidades

3.1 Concepto

3.2 Anualidades vencidas

3.3 Anualidades anticipadas

3.4 Anualidades diferidas

IV. Amortización

4.1 Amortización de una deuda

4.2 Tablas de amortización

4.3 Fondos de amortización

4.4 Tablas de fondos de amortización

V. Depreciación

5.1 Concepto

5.2 Método de línea recta

5.3 Método de unidades de producción o de servicio

5.4 Método de suma de dígitos

JUSTIFICACIÓN

Los presentes apuntes son el resultado de un esfuerzo que pretende integralmente apuntalar los

objetivos de aprendizaje de la materia logrando este fin con el apoyo de la bibliografía oficial

contemplada en el programa de esta materia por lo que se espera sea una herramienta útil para el

alumno para poder resolver cualquier problema de carácter técnico que la materia presente.

Se logra presentar la solución de problemas de esta materia con un enfoque contable administrativo del

cual frecuentemente adolecen los textos que abordan estos temas con ello se facilita la comprensión de

cada uno de los temas que están integrados en el programa oficial de la materia, esperamos la

colaboración tanto de alumnos como profesores para enriquecer este texto y se asume la posibilidad de

cualquier equivocación que pudiera aparecer en el mismo.

M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS

U.M.S.N.H.

F.C.C.A. 1

CAPÍTULO I.

INTERÉS SIMPLE

1.1 Introducción

El interés tiene una importancia fundamental en la administración de los recursos financieros de una

empresa y de la sociedad. Toda la vasta maquinaria financiera y crediticia descansa sobre este concepto

básico de pagar por el dinero tomado en préstamo, lo cual nos lleva al concepto central de las

finanzas de que el capital aumenta su valor en el tiempo, producto del interés que tiene derecho a

percibir:

1.2 Interés

Capital

Interés

Tiempo

Interés: El dinero, como cualquier bien, tiene un precio, que es el interés y éste es el pago por el uso del dinero ajeno o el rendimiento que obtiene un capital y se expresa con “I”.


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1.3 Interés simple

Se solicita un préstamo por $10,000 que se acuerda en pagar en tres meses, y al término del

período se entregan. $ 10,900. Así los $900 son la ganancia para quien prestó el dinero, o el costo para

quien recibió el préstamo.

$ 10,000 Capital C

3 meses tiempo n

$ 900 interés I

$ 10,900 monto M = capital + interés

0.09 tasa de int. i

Trimestral

900 = 0.09 tasa trimestral

10,000

0.09 X 4= 0.36 tasa anual

0.36 / 12 = 0.03 tasa mensual

La tasa de interés refleja la relación que existe entre el interés y el capital. La tasa y el tipo de

interés son dos expresiones distintas del mismo concepto.

Interés simple: es aquel que se calcula siempre sobre el capital original, es decir, siempre sobre el mismo capital.

Ejemplo de comprensión inicial:


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Tasa 0.36; tipo 36%

Así tenemos que los elementos que intervienen en una operación de interés simple son, de acuerdo

con el ejemplo anterior:

1.4 Diferencia entre interés simple y compuesto.

En algunos casos, el interés no sólo se paga sobre el capital, sino sobre el capital más los

intereses vencidos no pagados o sea el monto. A este procedimiento se le llama interés compuesto.

El interés simple se calcula sobre el capital primitivo que permanece invariable, en

consecuencia, el interés de cada período de tiempo simple es el mismo.

Capital: es la suma prestada o invertida, también se le denomina principal y en otros contextos conocido como valor presente o valor actual

Tiempo: es la duración del lapso para el que se calcula el interés y que se mide de la fecha inicial de recepción del préstamo ( o inversión), y hasta la fecha de pago final y puede estar expresada en días o distintas unidades de tiempo

Tasa: sea el número de unidades pagadas, por cada 100 unidades de la suma prestada, en la unidad de tiempo, cuando se expresa en decimales se le denomina tasa y cuando se expresa en porcentaje se le llama tipo.

Monto: es la suma del capital más los intereses, también se le denomina valor futuro o valor acumulado.

Relación tiempo- tasa: es aquella vinculación de correspondencia que existe entre la unidad de tiempo utilizada años, meses, días, etc., y la tasa expresada precisamente en la unidad de tiempo utilizada en el problema matemático, es decir, para una plazo en años, corresponde tasa en años, para plazo en meses corresponde tasa en meses y así sucesivamente.


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F.C.C.A. 4

Es común expresar la tasa de interés en períodos que no son anuales. Cuando se trata de interés simple,

sencillamente divida éste entre el número de períodos por año.

Por Ejemplo:

Para obtener la tasa de interés mensual, sólo divida entre 12. Se puede encontrar la tasa, quincenal,

diaria, semanal, etc.

1.3.1. Fórmula para calcular el interés simple

I= Cni

Donde:

I= interés

C= capital

N= tiempo

i= tasa de interés

de la fórmula del interés se extraen las que ayudan a encontrar el capital (C), el tiempo (n) y la tasa de

interés (i).

C = I n = I i = I

ni Ci Cn

1.3.1.1. Aplicación fórmula de interés simple para determinar interés en base a tiempo anual

Ejemplo 1.3.1.1

El señor López deposita en un banco que paga el 13% de interés simple anual sobre los depósitos a

plazo. ¿Cuál es el pago anual por interés sobre un depósito de $ 350,000?

Datos: Formula: I = Cni

C = 350,000

n = 1 I =(350,000)(1)(0.13)

i = 0.13

I = ? I = $ 45,500

Diferencia entre el Interés compuesto el interés simple: el interés en el interés compuesto se calcula sobre el monto y en el interés simple se calcula sobre el capital original


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F.C.C.A. 5

1.3.1.2. Aplicación fórmula de interés simple para determinar interés en base a tiempo mensual

Ejemplo 1.3.1.1

Caso a) Se adquiere un lote con valor de $ 23,500 que acuerda liquidar realizando un pago de

inmediato por $ 3,500 y un pago final 7 meses después. Acepta pagar el 36% de interés simple anual.

¿A cuánto ascenderá la cantidad a pagar por concepto de interés, resuélvalo expresando la relación tasa

y tiempo en forma anual?

Datos: Fórmula: I = Cni

C= 23,500 – 3,500= 20,000 I = 20,000 (7/12) (0.36)

n= 7/12 I = $ 4, 199.99

i = 0.36

I = incógnita

Caso b) Para resolverlo en relación tasa y tiempo en forma mensual

C= 23,500 – 3,500= 20,000 I = 20,000 (7) (0.36/12)

n= 7 I = $ 4, 199.99

i = 0.36/12

I = incógnita

1.3.1.3. Aplicación fórmula de interés simple para determinar capital

3.-Un banquero toma dinero prestado al 5% de interés simple anual y lo presta a unos panaderos al

10%. Si su utilidad anual neta ascendió a $ 3,600 ¿cuánto dinero prestó?

Datos: Fórmula: C = I

n = 1 ni

i = 0.10 – 0.05 = 0.05 C= 3,600

I = 3,600 (1) (0.05)

C = $72,000


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1.3.1.4. Aplicación fórmula de interés simple para determinar tiempo

4.-Una Asociación Civil, invirtió $ 80,000 al 7 1/2% en un depósito a plazos y obtuvo por intereses

$3,000 ¿Durante cuánto tiempo estuvo invertido el dinero?


C= 80,000 n= I

n= incógnita C i

i = 0.075

I = 3000 n= 3000

(80,000) (0.075)

n= 0.50

1.3.1.4. Aplicación fórmula de interés simple para determinar tasa de interés

5.- El gobierno municipal tiene invertidos $ 200,000 durante 3 1/2 años a interés simple y obtiene en

total $ 25,000 de intereses, ¿cuál es el tipo y tasa de de interés ?


n = 3.5

i = Incógnita i = I

C= 200,000 Cn

I= 25,000

i = 25,000

(200,000) (3.5)

i = 0.0357

Ejercicios de reforzamiento

6.- Una persona deposita $ 15,000 en un banco y lo retira 8 meses después, recibiendo $6,000 de

interés. ¿Cuál es la tasa de rendimiento que le dieron?


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7.- Por un crédito de $ 50,000 pactado al 15 % de interés simple anual y a plazo de 10 meses

¿Cuál será la cantidad a pagar por concepto de interés?

8.- Por un depósito a plazo por $ 36,000 pagan $ 750 de interés mensual. ¿Cuál será la tasa de interés

simple anual?

9.- Al comprar en una tienda de departamentos varios artículos, se pagaron $ 1,125 por concepto de

interés por un mes, que corresponden al 1.5 % de interés mensual.¿ A cuánto asciende la deuda?

10.- Se obtiene un crédito por $ 60,000 y se pagaron $ 7,200 de interés. Si la hipotecaria cobra el 24%

de int. Simple anual.¿ dicha cantidad a cuántos meses corresponden?


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1.3.2 Fórmula para calcular el monto a interés simple

Monto: El monto es la suma obtenida de interés más capital.

Capital

Capital

Interés

Con tiempo

y tasa se

convierte

en:

e

+

MONTO


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M = C (1+ ni) Fórmula del monto a Interés simple

1.3.2.1 El contador Pérez deposita en un banco a plazos $10,000 y recibe 1 año después un total de

$15,000 (incluyendo capital más interés), encuentre monto, capital, intereses y tipo de interés:

a) Intereses si: M = C+ I entonces: 15,000 = 10,000 + I ; 15,000 - 10,000 = I , por lo tanto es

5000 = I

b) Capital ya que la inversión inicial es de $10,000 por lo tanto este es el importe del capital

c) Monto ya que es igual a la suma del capital más los intereses su importe es $15,000

d) Tipo de interés

M = 15,000 M = C (1+ ni) sustituyendo:

C = 10,000 M = (1+ ni) i = (15,000/10,000) - 1

n = 1 C

1

M - 1 = ni i = .5 es decir 50 %

C

M - 1 = i

C

n

11.- Una persona toma prestados $ 500 a interés simple, durante 3 años, al 10% ( se conviene en pagar

el interés cada año) ¿ Cuánto recibirá en total el acreedor?

Datos:

C = 400 M = C(1+ ni)

n = 2 M = (500) [ 1+(3) (0.10) ]

i = 0.05

M = ? M = $ 650

Ejemplo de comprensión inicial:


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12.- Se obtiene un crédito por $ 18,000 a 6 años con el 24% de int. Simple anual. ¿Qué cantidad debe

pagar al vencerse su deuda?

13.- Si se desea adquirir un inmueble dentro de 2 años, y suponemos que el enganche que habrá que

pagar en esa fecha será de $ 35,000 ¿Qué cantidad debe invertir ahora en su depósito que rinde 2.9%

de interés simple mensual?

13 - a.- ¿Cuál es la tasa de interés simple mensual equivalente a una tasa del 0.34 anual?

14.-¿Cuánto tiempo tardarán $ 5,000 en convertirse en $ 8,750 al 25% de interés simple anual?


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15.-Se depositan en una cuenta de inversión $ 17,000 al cobro en 1 1/2 años nos entregan $21,590 al

realizar el retiro.¿Cuál fue el tipo de interés que otorgó el Banco?

16.- Un comerciante adquiere un lote de mcía. Con valor de $ 3,500 que acuerda en liquidar, haciendo

un pago inmediato por $ 1,500 y un pago final 4 meses después, Acepta pagar 5% de interés simple

mensual sobre su saldo ¿Cuánto deberá pagar ?

17.- ¿Cuál es el tipo de interés mensual equivalente a una tasa del 0.165 semestral?

18.- Una persona deposita $ 15,000 en un fondo de inversiones bursátiles, que garantiza un rendimiento

del 2.8% de int. Simple mensual. Si la persona retira su depósito 24 días después. ¿Cuánto recibe?

19) Un banquero desea saber el capital cuyo monto ascenderá a $ 84,000 en 4 años, al 5% de int.

simple anual.


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20.-¿ Cuánto tiempo tardarán $ 8,048 en convertirse en $ 10,462.40 al 5% de int. simple anual?

21.- Un señor pasa 2 años en Europa, y deja en bonos $ 96,000. A su vuelta vende los bonos y recibe

por ellos $ 104,160. Si la diferencia representa el valor de los cupones acumulados

¿Cuál fue el tipo de interés?

1.3 Interés simple por menos de un año: En la práctica, casi todos los problemas de interés, implican

alguna fracción de año.

El interés es un pago que se hace por el uso de dinero tomado en préstamo; para que el deudor

pueda usar el préstamo, es preciso que trascurra tiempo.

Para determinar la duración del período de un préstamo, excluye el primer día y se incluye el

último

Así para un préstamo hecho el 6 de enero y que vence el 29 del mismo mes, se cargaría interés

por 23 días.

Fijación de la fecha del vencimiento

La fecha en que vence un préstamo se fija basándose en la forma en que esté redactada la

obligación


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Por ejemplo; si en una transacción de fecha 5 de septiembre, un deudor se compromete a

devolver el préstamo a los 4 meses, había que entregar el dinero el 5 de enero.

Por otro lado, si otro préstamo contratado el 5 de septiembre ha de durar por acuerdo mutuo 120

días, la devolución habla de hacerse el 3 de enero. En este segundo ejemplo se cuenta el número exacto

de días, porque el tiempo se ha expresado en días.

Tiempo real y tiempo aproximado

Existen situaciones en las que el plazo de una operación se especifica mediante fechas, en lugar de

mencionar un número de días, meses o años. El tiempo se puede calcular de dos maneras:

Tiempo real: contando los días transcurridos (días naturales) 365 o 366 días si es bisiesto, es también

llamado exacto.

Días inicial y terminal: para llevar las cuentas de los días se recomienda excluir el primer día e incluir

el último. Así para un préstamo contraído el 10 de enero y pagado el 25 del mismo mes, el tiempo

comercial transcurrido es de 15 días.

Ejemplo:

Calcule los días transcurridos entre el 3 de septiembre de un año y el 15 de enero del siguiente año.

30 – 3 = 27 días de septiembre

+ 31 “ “ octubre

30 “ “ noviembre

31 “ “ diciembre

15 “ “ enero

Total: 134 días

Tiempo aproximado: Se considera un año teórico de 360 días, con 12 meses de 30 días cada uno. Este

tiempo es el utilizado generalmente por los bancos (año comercial).

Ejemplo:


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Calcule los días transcurridos entre el 20 de junio y el 24 de agosto del 2006.

24 de agosto de 2006 24 08 2006

20 de junio de 2006 20 06 2006

4 2 0

días meses años

Así el tiempo transcurrido aproximado es de 2 meses 4 días, es decir 64 días ya que hemos supuesto

cada mes de 30 días.

Ejercicios de reforzamiento:

Hallar el número real y aproximado de días:

Real Aproximado

1.- el 4 de enero al 4 de septiembre ........................

2.- el 9 de marzo al 19 de agosto ............................

3.- el 17 de febrero al 13 de mayo ...........................

4.- el 11 de noviembre al 13 de marzo ....................

5 .- el 5 de octubre al 29 de diciembre ....................

*

13 de marzo 13 15 2006

11 de noviembre 11 11 2005

2 4

días meses Años

* Esta es la solución del ejercicio No. 4 son 4 meses X 30 días = 120 + 2 días = 122 días

En meses, al mes de marzo se le considera como 15 porque el mes de diciembre es el mes 12 más 3 porque el mes de

marzo es el tercero del año, y es del año siguiente.

22. Se obtiene un crédito por $180 000 a 160 días, con 30% de interés anual. ¿Qué cantidad debe pagar

al vencerse su deuda?

23. ¿Qué cantidad por concepto de interés simple mensual produce un capital de $ 4 000 al 33% anual?


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24. Una persona adquiere en esta fecha un automóvil que cuesta $220 000 si suponemos que el

vehículo aumenta su valor en forma constante y a razón del 2% mensual. ¿Cuál será su valor después

de 2 meses?

25. A una persona que es despedida por problemas financieros de la empresa, se le entrega una

indemnización que incluye 3 meses de sueldo, días de antigüedad y descuentos por impuestos, arroja

un saldo neto de $45 000 ¿Qué ingreso fijo mensual le representaría al ahora desempleado depositar su

liquidación en una inversión que paga el 18% de interés simple anual?

26. Una joven tiene 2 deudas:

1. le debe $80 000 a un banco que cobra 3.5% mensual

2. compró a crédito un auto en $125 000 que comenzará a pagar dentro de 8 meses;

mientras tanto debe pagar 24% anual durante ese lapso.

¿Cuánto pagará en los próximos 6 meses por concepto de intereses?

27. Una compañía de seguros compra $1’000 000 de obligaciones de teléfonos el día 15 de junio y las

vende el 3 de agosto del mismo año. Si cobra un interés simple del 6% anual. ¿Qué cantidad recibirá

por concepto de interés al momento de la venta? (tiempo real).


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28. El día 12 de septiembre se toman prestados $715 al 6% de interés anual y vencen el 12 de enero

del siguiente año. ¿Cuánto pagará al vencimiento? (tiempo aproximado).

29.- Una sociedad compró el 17 de junio $1,000 en bonos con interés del 4 1/4 % y los vendió el 26 de

Septiembre del mismo año. ¿Qué interés obtuvo? (tiempo real)

30. ¿Cuál será el monto al 24 de diciembre de un capital de $10 000 depositado el 15 de mayo del

mismo año, en una cuenta de ahorros que paga el 19% anual? (calcular el monto con el tiempo real y el

tiempo aproximado).

31. Una Cía. de maderas tiene en su poder, el pagaré de un cliente por $ 3,470 a 90 días. Si el pago

hecho al vencimiento del mismo para su liquidación asciende a $ 3,522.05 ¿Cuál es la tasa del interés?

(año comercial o aproximado)


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32.- Un señor entrega al Bco. el día 27 de junio un cheque por $ 14,158.28 para liquidar un préstamo de

$ 14,000.00 que obtuvo el 14 de mayo. ¿Cuál fue el tipo de interés anual? (tiempo real )

33.- Una empresa tiene un pagaré de fecha 21 de agosto, que vence el 12 de marzo. Si el interés,

calculado a razón del 6% de int. simple anual, asciende a $ 2,182.80 ¿ Cuál es el valor nominal del

pagaré? (tiempo real).

34.- Una Sociedad pagó $ 2,500.20 al liquidar totalmente su pagaré a la vista por $ 2,400 al 4 1/2%

¿Cuánto tiempo habrá estado en circulación el pagaré?

35.- El Bco. prestó $1,400 al 5% de interés simple anual, el día 14 de mayo. Si no se quiere pagar más

de $ 50 de intereses ¿ Cuándo tendrá que liquidar el préstamo? ( tiempo real ).


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Valor actual o valor presente.

El capital y el valor actual, representa lo mismo, sólo que en contextos diferentes; el capital es una

cantidad que se invierte ahora, para obtener después un monto superior, y el valor actual es,

precisamente el que tiene en este momento, una cantidad cuyo valor se ha planteado en una fecha

futura. Se puede usar indistintamente “C” o “A” para designar un valor presente o valor actual.

C = M Fórmula para el valor

1 + ni actual a interés simple

Ejemplo:

Se desea adquirir un auto dentro de 8 meses. El enganche que se supone debe entregar es de $ 7,000

qué cantidad se debe invertir ahora en un depósito de renta fija que rinde el 3.1 % de interés mensual?

DATOS:

i = 0.031

M =7,000

C = ? C = ? ___________________________ M = $ 7,000

n =8 8 Meses

i =0.031

C = M__

1 + ni

C = 7,000___

1 + (8)(.031)

C = $ 5,608.97

36.- Encontrar el valor actual de $12 000 a pagar dentro de un año, si la tasa es del 14% de interés

simple anual.

37.- Una persona participa en una "tanda" y le toca el décimo octavo mes para cobrar. Si dentro de 18

meses recibirá $ 3,000. ¿Cual es el valor actual de la tanda, con un interés simple del 19 % anual?


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38.- ¿Cuál de las siguientes opciones de gratificación conviene más a los intereses de un empleado?

a) Recibir ahora $3 850

b) Recibir $2 000 ahora y otros $2 000 en 2 meses

c) Recibir 3 pagos de $1 400 cada uno a 30, 60 y 90 días.

Suponga que al invertir el dinero se gana un interés simple del 31.4% anual

39. Una persona compró un automóvil el 1 de enero del 2004 en $90 000 Lo vende el 1 de junio del

mismo año, por la cantidad de $96 500.

Considerando exclusivamente los valores de compra y venta, y si la tasa de inflación promedio durante

el año pasado fue de 24.5% determine si fue conveniente para esta persona comprar o vender dicho

automóvil.

40. El señor Díaz planea llevar a cabo la fiesta de XV años de su hija. Para lo cual requiere la cantidad

de $150 000 dentro de 18 meses. ¿Cuánto deberá depositar en una cuenta de valores que rinde el 18%

de interés para garantizar los gastos de la fiesta?


U.M.S.N.H.

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Valor actual de una deuda que devenga interés

Si lo que se busca es el valor actual de una deuda que devenga interés, en ese caso, el monto

total a pagar, es igual al valor nominal de la deuda más el interés acumulado.

Ejemplo:

Una Cía. Tiene un pagaré de $ 600 que vence a los 3 meses, que devenga un interés del 1% mensual.

Hállese su valor actual a la tasa del 8.5 de int. Simple anual.

DATOS:

C =600 M = C ( 1 + ni )

n =3

i =0.01 M= 600 ( 1+3(.01))

M =? M = $ 618.00

DATOS:

M =618 C = 618____

n =3/12 (1+(3/12)(.085)

i =0.085

C =? C = $ 605.14

41.-¿ Cuál será el valor el valor actual de $ 29,000 a pagar dentro de 6 meses, si devenga un interés del

1% mensual, y el banco cobra el 18% de int. simple anual?

42.- Una empresa tiene la suma de $ 10,000 en cupones de obligaciones que vencen dentro de 39 días.

Ganan un interés del 13% anual simple. ¿Cuál es su valor actual al 14 1/2%? (tiempo real)


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1.4 Descuento bancario

El descuento es una operación de crédito que se lleva a cabo principalmente en instituciones bancarias

y consiste en que éstas adquieren letras de cambio o pagarés de cuyo valor nominal descuentan una

suma equivalente a los intereses que devengaría el documento entre la fecha en que se recibe y la fecha

del vencimiento. Con esto se anticipa el valor actual del documento.

Existen básicamente dos formas de calcular el descuento:

a) el descuento comercial y

b) el descuento real o justo

para estas operaciones, se usan ciertas expresiones que es necesario conocer:

Valor nominal de un pagaré: es el que está inscrito en el documento, para el comercio, se trata del

capital. Si el pagaré no gana intereses, el valor nominal indica la cantidad que debe pagarse en la fecha

de vencimiento especificada.

Descontar un pagaré: es la acción de recibir o pagar un dinero, a cambio de una suma mayor

comprometida para la fecha a futuro, bajo las condiciones convenidas en el pagaré. Al referirse a la

operación, el término descontar lo usan tanto el prestatario como el prestamista.

Descuento: es la diferencia establecida entre el valor nominal y el valor que se recibe, al momento de

descontar el pagaré.

Valor efectivo o líquido de un pagaré: es el valor nominal menos el descuento. Es el valor en dinero

que se recibe en el momento de descontar la obligación o, en otras palabras, el valor actual o presente

con descuento bancario.

Tipo o tasa de descuento: es el tanto por ciento de descuento, o sea, un porcentaje del valor nominal

que deduce el prestamista, al descontar el pagaré.

Plazo: es el término que se utiliza para expresar el período de duración del préstamo. Los pagarés son

obligaciones a corto plazo y el descuento bancario simple nunca se efectúa para períodos mayores a un

año.

Fórmula para el descuento comercial D = Mnd

Fórmula para calcular el valor líquido

de un pagaré con descuento comercial C = M(1-nd)

Fórmula para calcular la tasa de d = 1 - C/M

descuento n

Fórmula para calcular el tiempo o n = 1 – C/M

plazo de descuento d


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Ejemplo:

Encontrar el descuento comercial de un documento con valor nominal de $6 500 tres meses antes de su

vencimiento, con un tipo de descuento del 22.4% anual.

Datos:

C = ?

M = 6 500 D = Mnd D = (6 500)(.25)(0.224) = $ 364.00

n = 3/12

i = 0.224

43. ¿Cuál es el valor comercial de un pagaré con valor nominal de $7 500 si se descuenta con el 33.5%

anual, 3 meses antes del vencimiento? (encontrar el descuento comercial ).

44. Una persona tiene a su favor un documento suscrito el 1 de enero de este año con un valor nominal

de $185 000 con fecha de vencimiento a 10 meses después. Esta persona quiere descontar el

documento en una institución bancaria que aplica una tasa de descuento del 23% de interés el cual

quiere descontar 4 meses antes de su vencimiento. ¿Cuánto recibiría esta persona si se le aplica el

descuento bancario?

45.- Una empresa descontó en una institución bancaria un pagaré con un valor nominal de $50 000

aplicándole una tasa de descuento comercial 3 meses antes de su vencimiento, recibiendo la cantidad de

$46 935 Determine el importe del descuento comercial.

46.- En qué fecha se descontó un documento con valor nominal de $30 000 si su fecha de vencimiento

era el día 29 de noviembre de este año, el tipo de descuento fue del 41% y el descuento comercial fue

de $ 2 125


U.M.S.N.H.

F.C.C.A. 23

47.- Una empresa descontó en un banco un documento por el cual recibió $167 000 Si el tipo de

descuento comercial fue del 30% anual y el vencimiento de este era 4 meses después de su descuento.

¿Cuál era el valor nominal del documento en la fecha de vencimiento?

48.- ¿En cuánto se negocia el 15 de marzo un documento con valor nominal de $350 000 vencimiento

al 15 de agosto y descuento del 37% anual?

49- ¿Cuántos días antes de su vencimiento se comercializa un pagaré en $4 750 si su valor nominal es

de $ 5 200 y el descuento es del 26.4% simple anual?

50.- Obtenga la tasa de descuento simple anual de un documento cuyo valor nominal es de $2 240 tres

meses antes de vencer.

51.- A qué tasa de descuento se aplicó un documento con valor nominal de $60,000, si se descontó

faltando 5 meses para su vencimiento, y por el cual se obtuvo un valor descontado de $53,500


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F.C.C.A. 24

Descuento de una deuda que devenga interés

Cuando hay que descontar un pagaré que devenga interés, es preciso hallar primero el monto total a

pagar y aplicar después el descuento.

Ejemplo:

El banco descontó el 3 abril, un pagaré de $ 6,300 que tenía esta misma fecha, devengaba el 5% de

interés y vencía el día 3 de mayo: puesto que el tipo del descuento es del 15% anual. ¿Cuál fue el

descuento retenido por el Bco.? (año comercial)

DATOS:

C = 6,300 M = C ( 1 + ni )

n = 30/360

i = 0.05 M = 6,300 ( 1+(30/360) (.05))

M =?

M = $6 326.25

S = 6,326.25 D = S n d

n = 30/360

d = 0.15 D = ( 6,300 )(30/360)(0.015)

D = ¿

D = $79.07

51.- ¿Cuál es el valor comercial el 12 de mayo de un documento que ampara un préstamo de $6 500

recibido el 25 de enero pasado con intereses del 2% mensual y cuyo vencimiento es el 30 de julio?

Suponga que la tasa de descuento anual es del 25% (utilizar descuento comercial y tiempo aproximado)

52.- Una compañía tiene un pagaré de $6 000 que vence a los 4 meses, que devenga un interés del 2.1%

mensual. Hallar su valor líquido si se descuenta en el banco 3 meses antes de su vencimiento y el banco

cobra el 25% de descuento anual.


U.M.S.N.H.

F.C.C.A. 25

Descuento por pronto pago

El descuento por pronto pago es una rebaja concedida sobre el precio de una mercancía como un

incentivo para pagarla inmediatamente, o dentro de un plazo especificado. Entre los más frecuentes se

expresan en la forma de los siguientes ejem: al contado: 5%; neto 60 días, 3/10 significa 3% en 10 días.

Ejemplo:

Una Cía. Compra el 18 de mayo enseres de oficina por valor de $ 28,000 y la factura lleva el siguiente

encabezado: Condiciones de pagar 3 meses neto, 2/60, 3/30, 4/10, 5 al contado. Si la Cía. Paga el 18 de

junio,¿ Cuál será la cantidad pagada? ( 360 )

28,000 X 0.03 = 840

28,000 – 840 = $ 27,160.00

53.- Se compran mercancías por $17 900 el día 1º de Julio, con las siguientes condiciones de pago:

15% al contado, 12/15, 10/30 5/60 y neto en 90 días. Si la factura se liquida el día 8 de agosto,

¿cuál será la cantidad a pagar?

53(A).- Al comprar mercancías el día 2 de febrero, por $9 750 nos ofrecen las siguientes condiciones

de pago: neto, 60 días, 5/30 8/10 10% al contado. Si se liquida la factura el día 25 de febrero, ¿qué

cantidad se pagará?

Descuentos en serie o en cadena

A veces se dan varios descuentos sobre un mismo precio. En cada caso se realiza un descuento después

de haber deducido el descuento anterior. El orden en que se deduzcan los descuentos no afecta el

resultado. Así un precio de venta anunciado como precio de lista " menos el 10%, 20% y 5% es

idéntico al precio presentado como precio de lista menos: 5%, 10% y 20%.

Ejemplo:

10,000 x 0.10 = 1, 000 10,000 x 0.05 = 500

10, 000 – 1, 000 = 9, 000 10,000 – 500 = 9,500

9,000 x 0.20 = 1,800 9,500 x 0.10 = 950

9,000 – 1,800 = 7,200 9,500 – 950 = 8,550

7,200 x 0.05 = 360 8,550 x 0.20 = 1,710

7,200 – 360 = $ 6,840 8,550 – 1,710 = $ 6,840


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F.C.C.A. 26

Descuento único equivalente a una serie de descuentos

¿Cuál es el descuento único equivalente a la serie 5%, 10% y 20%

1.00 1.00 1.00 0.95 X 0.90 X 0.80= 0.684

-0.05 -0.10 -0.20

0.95 0.90 0.80 1.00 - 0.684= 0.316

10,000 X 0.684= $ 6,840 Precio neto

10,000 X 0.316= $ 3,160 Descuento único

Porcentaje neto a pagar 0.684 X 100 = 68.4%

Porcentaje único equivalente a los tres descuentos: 0.316 X 100 = 31.6%

54.- ¿Cuál será el precio neto de una máquina cuyo precio de lista es $ 35,000 si se ofrecen los

descuentos comerciales 20%, 12 1/2, 5% y 2%? ¿ y cuál será el tipo de descuento único?

55.- Encontrar el precio neto de una mercancía si su precio de lista es de $ 51,000, y se ofrecen los

descuentos del 8%, 3% ¿Cuál es el porcentaje de descuento que corresponde a los dos descuentos?

56.- Encontrar el descuento que se obtendrá por una mercancía cuyo precio de lista el de $34,500 si se

ofrecen los descuentos del 20%, 10% y 5% y qué porcentaje neto de descuento corresponde?


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F.C.C.A. 27

Unos almacenes compran el 2 de enero mercancías por valor de $ 10,000 en las siguientes condiciones:

3 meses neto, 3/60,5/30,8/10,10 al contado. Hállese cuál de las a ofertas de descuento pago es la más

ventajosa para el comprador.

Fecha Precio Razón del periodo Tipo de int.

de pago pagado Desc. descuento de Desc simp.anual equiv.

2 de abril 10,000 ---- ---- ---- ---- ----

2 de marzo 9,700 300 300/9700=.030927 30 días (.03092)(360/30)= 0.371124=37.11%

2 de febrero 9,500 500 500/9500=.052631 60 días (0.052631)(360/60)= 0.315786=31.57%

12 de enero 9,200 800 800/9200=.086956 80 días (0.086956)(360/80)= 0.391302=39.13%

2 de enero 9,000 1,000 1,000/9000=.111111 90 días (0.111111)(360/90)= 0.4444=44.44%

Conviene pagar al contado, porque corresponde al tipo de interés anual más alto

57 .- Una empresa compro el 1° de septiembre una máquina con valor de $ 70,000 y le ofrecen los

siguientes descuentos: 2 meses neto, 5/45, 6/30, 7/15, si la empresa paga el 17 de septiembre ¿ Qué

cantidad paga la empresa y en cuál fecha le hubiera convenido pagar?


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F.C.C.A. 28

1.5 Ecuaciones de valor equivalentes

Un problema básico y muy frecuente en las operaciones financieras es que existan operaciones

diferentes que deban replantearse para expresarlas en una operación única.

Un mismo valor situado en fechas diferentes es, desde el punto de vista financiero, un valor distinto.

No se debe olvidar que sólo se pueden sumar, restar o igualar dineros ubicados en una misma fecha.

La fecha que se escoge para la equivalencia se denomina fecha focal. La fijación de la fecha focal debe

corresponder a lo pactado en los pagarés. Los cambios de fecha focal producen variaciones en la

determinación de las cantidades.

Ejemplo:

Se firma un pagaré por $10 000 a 90 días al 6% anual; 30 días después se firma otro pagaré por $25

000 a 60 días sin interés. Dos meses después de la primera fecha, acordó con el acreedor pagar $20

000 en ese momento y recoger los dos pagarés firmados reemplazándolos por uno solo a 3 meses, con

un rendimiento del 8% anual. Determinar el pago único convenido.

Para plantear la ecuación, se dibuja primero el diagrama de tiempo - valor.

A $10 000 X

0 30 60 90 120 150 180 B $25 000 I $20 000

Se escoge como fecha focal a 150 días. Y se calculan los distintos valores y se plantea la ecuación de

valores equivalentes entre los nuevos valores y los antiguos.

Solución:

Son 4 las operaciones implicadas: 2 de contratación de deuda y 2 de pago

Contratación de deuda:

Primero encontramos el monto de este capital de $10 000 con el interés pactado de la deuda

A. Datos:

C= 10 000 M = C(1+ni)

n = 90/360 = 3/12

i = 0.06 M = 10 000(1+ (0.25)(0.06)

M = ? M = $10 150 Valor al vencimiento

Para este valor encontrado se calcula el monto al final del nuevo plazo considerando el nuevo interés

pactado

A. Datos:

C = 10 150

n = 60/360 = 2/12 M = 10 150 (1+ (0.1666) (0.08) )

i = 0.08 M = $10 285.33 Valor al final del nuevo plazo


U.M.S.N.H.

F.C.C.A. 29

Ahora, se calcula el monto para el segundo adeudo, de la fecha de vencimiento al final del nuevo plazo

pactado.

B. Datos:

C = 25 000

n = 60/360 = 2/12 M = 25 000 ( 1 + (0.1666)(0.08) )

i = 0.08 M = $25 333.33 Valor al final del nuevo plazo

Pago:

Enseguida se toma el valor del pago de $20 000 que se realizará a cuenta, a los dos meses de pactada la

primera deuda y se encuentra su monto al final del nuevo plazo pactado.

Datos:

I. C = 20 000 M = 20 000 ( 1 + (3) (0.08/12) )

n = 3

i = 0.08/12 M = $20 400

Ecuaciones equivalentes:

A + B = I + X

10 285.33 + 25 333.33 = 20 400 + X

35 618.66 = 20 400 + X

35 618 .66 - 20 400 = X

15 218.66 = X

Por lo tanto el valor del pago al final del nuevo plazo será de $ 15 218.66

58. Una persona contrajo una deuda hace 5 meses por $25 000 con 1% mensual de interés y que vence

en 5 meses. Además, debe pagar otra deuda de $100 000 contraída hace 2 meses con un interés del

18% anual y que vence dentro de 3 meses. Considerando un interés del 20% anual, ¿qué pago deberá

hacer hoy para saldar sus deudas, si se compromete a pagar $100 000 dentro de 8 meses?

A I I I IB I I I I I I I I I I -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

X I

$100 000


U.M.S.N.H.

F.C.C.A. 30

59. Se tiene una deuda contratada hace 4 meses, con vencimiento dentro de 8 meses, por un valor de

$50 000 que devenga un interés del 1% mensual. Además se firma el día de hoy otro documento con

vencimiento a 10 meses, por un valor de $25 000

Si dentro de 2 meses se pueden pagar $10 000 y se decide firmar un único documento que sustituya los

2 anteriores, con vencimiento a 1 año a partir de hoy y que incluya un interés del 2% mensual. ¿Cuál

será el valor de dicho documento?


60.- Un niño de 5 años recibirá $120,000 al cumplir 21 años. ¿Cuál es el valor actual de este fondo, si

el precio del dinero es del 5%? anual

61.- Una persona debía recibir el 15 de Dic. $ 100,000. Necesitando fondos 10 meses antes de dicha

fecha, tomó prestado una suma de dinero tal, que la cantidad que recibiría el 15 de diciembre bastaría

para pagar la deuda; con el interés del 5% ¿Cuánto dinero tomó prestado?


U.M.S.N.H.

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62.- Se obtiene un crédito por $ 1,800 a 160 días con 50% de int. Simple.¿Qué cantidad debe pagar al

vencerse su deuda? (360)

63.- Que cantidad por concepto de interés mensual produce un capital de $ 4,000 al 33% anual simple?

64.- El día que una compañía se declaró en quiebra, tenía una hipoteca que vencía poco después. El

monto total, a pagar al vencimiento, ascendía a $ 15,450. Si el precio del dinero es el 6 % y el valor de

la hipoteca en el momento de la quiebra es $ 15,380.79 ¿Cuántos días han transcurrido desde la quiebra

hasta el vencimiento de la quiebra? ( considerar año de 360 días)

65.- Se tiene un pagaré de $ 24,000, sin interés, que vence el 19 de junio. El 14 de abril vende dicho

pagaré y recibe a cambio $ 23,760.42 ¿ A qué tasa de interés se calculó este valor actual?( 360 )


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66.- ¿Cuál es el valor actual al 4% de un pagaré de $ 321 que vence dentro de seis meses con interés

simple del 6% anual?

67.- Dos meses antes de su vencimiento, se pagó $ 10,115.70 por un pagaré a 120 días, de $ 10,000

valor nominal, que devengaba el 6% de interés.¿Cuál fue la tasa de descuento usada para llegar a este

valor actual?

68.- Hállese el descuento al 5% del un pagaré que no devenga interés, de $ 1,725, pagadero a los 4

meses.

69.- Qué cantidad se debe invertir hoy al 2.8% de int. Simple mensual para tener $ 2,000 dentro de dos

meses?


U.M.S.N.H.

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70.- Si la tasa de descuento es el 0.05 y $ 432.00 es el importe del descuento sobre una deuda de

$35,000. ¿Cuál es el número de días hasta el vencimiento de la deuda? (Considerar año comercial.)

71.- ¿Qué cantidad de dinero colocado en una inversión de renta fija que paga 40% de interés simple

anual produce interés mensual por $ 450?

72.- Un señor recibió dos ofertas de $ 8,000 por una propiedad. El primero le ofrece $ 3,000 al contado

y $ 5,000 a los seis meses, y el segundo le ofrece $ 5,000 al contado y $ 3,000 al cabo de un año.¿Cuál

de las dos ofertas es mas ventajosa desde el punto de vista del valor actual? Considere un interés del

8% anual.

73.-¿ Qué cantidad se recibió por un documento con valor de $ 1,150, que no devengaba interés, vencía

a los 30 días, si el tipo de descuento era del 5% simple anual?


U.M.S.N.H.

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74.- Una persona desea descontar en el Bco. un pagaré a 4 meses. El tipo de descuento del Bco. es el

6%. ¿Por qué importe deberá extender el pagaré si desea recibir $ 5,000 como valor líquido?

75.- ¿Cuál es la fecha más temprana en que se puede descontar un pagaré de $ 450, que vence el 1° de

junio, si desea recibir $ 441 como valor líquido? El tipo de Desc. Es el 6 %.

76.- A qué tasa de interés simple anual, $ 2,500 acumulan intereses por $ 500 en seis meses?

77.- Se tiene un pagaré de $ 320 pagadero a los 6 meses, y con un interés del 1.5% mensuales, líquido,

si el tipo de descuento fue del 6% anual simple?

78.-Un señor recibió $ 1,235.42 como valor liquido de un pagaré a 60 días que descontó en el Bco. El

valor nominal de dicha pagaré ascendía a $ 1,250.¿Cuál fue el tipo de descuento del Bco.?


U.M.S.N.H.

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79.- Cierta compañía vende mercancías por valor de $ 5,882.40 siendo los condiciones de pago 3/10

n/60. Hállese el descuento si la factura es pagada dentro del período de descuento.

80.- Una mueblería envía mercancía por valor de $ 6,270. Las condiciones de pago indicadas en la

factura son: contado 15%, 10/30, 5/60, n/90 ¿Cuáles son los tipos de interés anual equivalentes a esos

descuentos? ¿Qué es lo que más le conviene hacer al comprador?

81.- Para cambiar piso a un almacén, se ofrece un piso en un precio de catálogo de $ 985, con los

descuentos en cadena de 10%, 8% y 15%. Si se aprovechan todos estos descuentos, ¿Cuál es el precio

pagado y cuál es el descuento único equivalente?

82.- ¿Cuánto debe por concepto de intereses una persona que tiene una deuda por $ 1,200 si la liquida

6 meses después y le cobran interés a razón del 60% anual simple?


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83.- Una persona compro un radio que cuesta $ 1,500. Pago un enganche de $ 800 acuerda en pagar

otros $ 800 tres meses después. ¿Qué tipo de interés simple pagó?

84. Una persona contrajo una deuda el día de hoy por $20 000 para pagarse dentro de 10 meses, con la

tasa de interés del 9.5% anual. Esta persona acuerda con su acreedor pagar 4 meses antes de la fecha de

vencimiento para lo cual estipulan una nueva tasa de interés del 6.5% anual.

Determine el pago equivalente a la deuda originalmente pactada a 10 meses que deberá cubrir 4 meses

antes del vencimiento.

Datos:


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F.C.C.A. 37

CAPÍTULO II

INTERÉS COMPUESTO

2.1 Concepto En el interés simple, el capital original sobre el cual se calculan los intereses permanece

sin variación alguna durante todo el tiempo que dura la operación. En el interés compuesto, en cambio,

los intereses que se van generando, se van incrementando al capital original en períodos establecidos, y

a su vez, van a generar un nuevo interés adicional.

En el ámbito de los deudores de la banca esto se ha calificado como: “anatocismo”, que se caracteriza

por el cobro de intereses sobre intereses, de manera que los abonos que se hacen a la deuda, en algunos

casos, son insuficientes para cubrir dichos intereses y parte del capital que se debe, lo que da como

resultado que la deuda se incremente en lugar de disminuir a lo largo del tiempo.

2.2 Monto Se llama monto de un capital a interés compuesto, a la suma del capital inicial más sus

intereses.

Ejemplo:

Encontrar el monto de un capital de $350 colocado a interés compuesto del 4% al cabo de 3 años.

Capital inicial 350

Tasa de interés X 0.04 14 + 350.00 = 364.00

Capital al inicio 2º año 364

Tasa de interés X 0.04 14.56 + 364.00 = 378.56

Capital al inicio 3er año 378.56

Tasa de interés X 0.04 15.14 + 378.56 = $ 393.70

Utilizando la fórmula del monto donde:

C = 350

i = 0.04

n = 3

M = C ( 1 + i ) n

M = 350 ( 1.04 ) 3

M = $393.70

Para el interés compuesto utilizaremos las siguientes fórmulas:

Fórmula para calcular el

Interés compuesto I = C (1 + i)n -1 I = C (1 + j/m)

mn -1

Fórmula para calcular el

Monto a Interés compuesto M = C ( 1 + i ) n

ó

M = C ( 1 + j/m )m n


U.M.S.N.H.

F.C.C.A. 38

Fórmula para el valor

Valor actual ó capital C = M ó C = M( 1 + i )- n

( 1 + i ) n

C = M ó C = M( 1 + j/m )-m n

( 1 + j/m) mn

Fórmula para encontrar

la tasa de interés i = n

M - 1

C


el tiempo n = log M/C ó n = Log M – Log C

log 1 + i Log (1 + j/m)m

85.- Un señor deposita $25 000 a interés compuesto del 14% anual, al cabo de 6 años lo retira y quiere

comprar un terreno que le cuesta $80 000 ¿Cuánto le falta para completar dicha cantidad?

86.- Si se depositan $1 200 en un banco que paga el 4% anual, ¿Cuántos años deben transcurrir para

poder obtener un monto de $1 459.98?

87.- ¿Qué capital se debe invertir ahora, para obtener $5 000 dentro de 3 años, invertidos a interés

compuesto del 6% anual?

88.- ¿A qué tipo de interés debo invertir $300 para que al final del 5º año me entreguen $1,113.88?


U.M.S.N.H.

F.C.C.A. 39

2.3 Tasa nominal, tasa efectiva Cuando el interés se capitaliza más de una vez por año, el tipo de

interés anual declarado recibe el nombre de tasa o tipo nominal. Por ejemplo, si el banco dice que paga

el 4% sobre los depósitos, capitalizable trimestralmente, en realidad, recibe un poco más del 4% ya que

cada tres meses, el capital aumenta con los intereses.

Tasa efectiva: se puede definir como aquella que efectivamente se recibe y es mayor a la tasa nominal.

Símbolos: i = tasa efectiva

j = tasa nominal

m = número de capitalizaciones al año

Fórmula para calcular

la tasa efectiva de i = ( 1 + i ) n – 1

interés

i = ( 1 + j/m ) mn

– 1


la tasa nominal jm = m (1 + i)1/m

– 1

jm = mn

M/C - 1 m

El tiempo entre dos fechas sucesivas en las que los intereses se agregan al capital se llama

“período de capitalización” y el número de veces por año en las que los intereses se capitalizan, se

llama: frecuencia de conversión y se denota con m.

Si el período de capitalización es mensual entonces las siguientes expresiones son equivalentes:

“el interés es compuesto por meses”, “capitalizable por meses”, “convertible mensualmente” o “interés

nominal mensual”.

Los valores más usuales de m son:

m = 2 para períodos semestrales

m = 3 para períodos cuatrimestrales

m = 4 para períodos trimestrales

m = 6 para períodos bimestrales

m = 12 para períodos mensuales

m = 13 para períodos de 28 días

m = 24 para períodos quincenales

m = 52 para períodos semanales

m = 360 ó 365 para períodos diarios


U.M.S.N.H.

F.C.C.A. 40

89.- El banco paga a sus depositantes, interés a la tasa del 4 ½ % con capitalización semestral. Si se

deja en depósito por un año $500 ¿Qué cantidad se le deberá al depositante al final del plazo?

90.- Una empresa obtiene un préstamo de habilitación por $150 000, el cual documenta con un pagaré

con vencimiento a 3 años y que estipula intereses trimestrales del 6% liquidables al momento de la

firma del documento ¿cuál será la cantidad líquida que reciba la empresa?

91.- ¿Qué capital total se habrá reunido después de tres y medio años, si se depositan $1,000 a interés

compuesto del 16% convertible trimestralmente?

92.- Una persona depositó $6 000 en un banco que paga a sus depositantes el 3% anual, capitalizable

mensualmente. ¿Cuántos años tardará dicho depósito en llegar a $7 500?

93.- ¿Cuál será el interés compuesto de $3 000 al 7% de interés anual durante 6 años; y cuál el de $3

000 también al 7% en 6 años, pero con capitalización quincenal?


U.M.S.N.H.

F.C.C.A. 41

94.- Se desea formar un fondo de $25 000 al cabo de 2 años. ¿Qué cantidad debe depositarse hoy si el

banco paga un interés del 11% capitalizable bimestralmente?

95.- ¿Qué tasa de interés nominal capitalizable trimestralmente, tendría que recibirse para que un

depósito inicial de $1 650 llegue a la suma de $2 340 al final del 10º año?

96.- ¿Cuánto tiempo tardarán $12 000 en llegar a $15 220 si se depositan en una cuenta que rinde el

13% anual con capitalización bimestral?

97.- Un banco paga a sus depositantes el 15% capitalizable cada 28 días, en tanto que otro banco paga

el mismo interés pero capitalizable por semestres. Hallar el tipo anual efectivo en cada caso.

98.- Si la inflación mensual promedio durante 6 meses ha sido del 1.2% ¿De cuánto será la acumulada

en el semestre?


U.M.S.N.H.

F.C.C.A. 42

99.- ¿Cuál será el porcentaje de la inflación en el primer cuatrimestre del año, si en los meses de enero,

febrero, marzo y abril fue del 1.2, 0.9, 1.3 y 1.5% respectivamente?

100.- ¿Cuál será la tasa nominal anual con capitalización mensual a la que se capitalizaron $50 000

durante tres meses para que nos entregaran $50 753.75 al final del plazo?

101.- ¿Cuántos puntos porcentuales varió el Indice de Precios y Cotizaciones (IPC) de la Bolsa

Mexicana de Valores, en 5 días de la semana, si el lunes aumentó 2.17%, el martes cerró a la baja en

1.92%, el miércoles creció 1.78 puntos, el jueves creció 1.51 y el viernes bajó 0.23%?

2.4 Ecuaciones de valor equivalente

Para plantear y resolver problemas financieros, ya estudiamos apoyándonos con diagramas de tiempo,

que nos facilitan para ubicar los desplazamientos simbólicos de capitales en el tiempo. Estos

desplazamientos nos permiten llevar todas las cantidades de dinero que intervienen en un problema,

hasta una fecha común, que se conoce como fecha focal o fecha de referencia; teniendo todas las

cantidades en esa fecha, separamos los que correspondan a las deudas y los que correspondan a los

pagos.

Así agrupamos por una parte las deudas en el “debe” y por otro lado los pagos en el “haber”,

estableciendo una igualdad que conocemos como ecuaciones de valor equivalente o simplemente

ecuaciones de valor.

Después esta ecuación se resuelve despejando la incógnita que en ella aparezca para lograr la solución

del problema.


U.M.S.N.H.

F.C.C.A. 43

Esta solución varía un poco de acuerdo con la localización de la fecha focal tratándose de interés

simple, pero cuando el interés es compuesto, la solución es la misma para cualquier ubicación de la

fecha focal.

Ejemplo:

Se deben $10 000 a un plazo de dos años y otros $20 000 a cinco años. Con el acreedor se acuerda en

efectuar un pago único al final del plazo, conviniendo en un interés del 8% anual capitalizable

semestralmente. Calcular el pago único.

Elaboramos el diagrama de tiempo:

$10 000 $20 000

I I I I I I

0 1 2 3 4 5

Pago X

La deuda de $10 000 se llevaría a un valor futuro al 5º año, por lo tanto encontraremos el monto. Los

$20 000 únicamente se suman puesto que en esa fecha sería el pago.

Datos:

C = 10 000

n = 3 x 2 = 6 semestres

i = 0.08/ 2 = 0.04

M = ¿

Deudas Pago

10,000(1.04) 6

+ 20 000 = X

12 653.19 + 20 000 = X

32 653.19 = X

Por lo tanto el pago único sería de $32 653.19

Como mencionamos que puede tomarse cualquier otra fecha focal y que el resultado sería el mismo,

tomemos ahora como fecha focal el 0 es decir la fecha de contratación de la deuda:

$10 000 $20 000

I I I I I I

0 1 2 3 4 5 Pago X

Ahora llevaremos a un valor actual las cantidades, es decir le restaremos los intereses y las igualaremos

al pago a realizar:

Datos:

M = 10 000

i = 0.08/2 = 0.04 (capitalización semestral)


C = ?


U.M.S.N.H.

F.C.C.A. 44

M = 20 000

i = 0.08/2 = 0.04 (capitalización semestral)


C = ¿

10 000(1.04)-4

+ 20 000 (1.04)-10

= X ( 1.04)-10

8 548.04 + 13 511.28 = X (0.675564)

22 059.32 = X

0.675564

$32 653.18 = X

Encontramos que es la misma cantidad, $32 653.18

102.- Se tiene una deuda contratada de $500 000 pagadera en dos abonos de $250 000 cada uno, a 3 y

6 meses. Si se desea liquidar en 3 pagos bimestrales; si el primero es de $100 000 el segundo de $200

000 ¿cuánto importará el tercero considerando una tasa del 36% anual convertible mensualmente?

b) Y suponiendo que el pago se realice en el mes 0 ?

$250 000 $250 000

I I I I I I I 0 1 2 3 4 5 6

$100 000 $200 000 X


U.M.S.N.H.

F.C.C.A. 45

103.- Una persona contrae una deuda que debe liquidar mediante un pago de $30 000 a 6 meses y otro

de $50 000 en un año y medio. ¿Qué cantidad debería pagar para liquidar la deuda en un solo pago?

a) en este momento

b) en un año

La tasa de interés es de 20% convertible mensualmente.


U.M.S.N.H.

F.C.C.A. 46

104.- Una persona debe $25 000 a pagar en un año. Abona $5 000 a los a los 4 meses y $7,000 a los 6

meses. ¿qué cantidad debe entregar a los 10 meses para liquidar la deuda si se considera un interés del

18% anual?


U.M.S.N.H.

F.C.C.A. 47


105.- ¿Cuánto dinero debe pagarse a un banco que hizo un préstamo de $300,000 si se reembolsa al año

capital e interés a una tasa aplicada de 0.24 anual convertible trimestralmente?

106.- ¿Qué cantidad debería liquidarse en el préstamo del problema anterior, si se pagara al cabo de 10

meses?

107.- Se adquirió un sitio de construcción para una nueva gasolinera hace 10 años en $50,000. El sitio

fue vendido hace poco en $120,000. Haciendo a un lado cualquier impuesto, determine la lasa de

interés obtenida sobre la inversión, con capitalización mensual.

108.- Una persona deposita su dinero en el banco a un plazo de 2 años y a un interés del 0.15

convertible semestralmente. Debido a una emergencia, debe retirar su dinero al cabo de 15 meses.

¿Cuál será el monto acumulado que se le entregue si se depositó $12,000?

109.- ¿Por qué cantidad es un pago a los 5 meses de la compra de un televisor, si se dio un enganche de

de $5,800 que corresponden al 40% del precio y se tienen cargos del 24% anual capitalizable

mensualmente?


U.M.S.N.H.

F.C.C.A. 48

110.- El 6 de enero, cierta compañía compra materiales para la construcción de un edificio de

departamentos, suscribiendo dos documentos con valor nominal de $135,000 y $82,000 y cuyo

vencimiento respectivamente es el 19 de marzo y el 12 de mayo siguientes, cuyos intereses son del

23% anual capitalizable mensualmente. Determine:

a) el precio de contado de los materiales

b) el cargo por concepto de intereses

c) el valor líquido de los dos documentos el 15 de febrero con un descuento del 24% simple anual.

111.- Para disponer de $7,250 el 2 de ju1io, el 15 de enero anterior cuánto debe invertirse al 25% de

interés efectivo. (Considerar año comercial).

112.- El 10 de agosto se consigue un crédito suscribiendo dos pagarés uno de $7,200 y otro de $6,500

que vencen el 25 de septiembre y el 15 de octubre respectivamente. Poco antes de hacer el primer

abono se conviene en reemplazarlos por dos iguales al 1º de octubre y al 10 de noviembre.

a) ¿por cuánto fue el crédito?

b) ¿por qué cantidad es cada uno de los nuevos pagos?

Suponga intereses del 27.72% compuesto por días.


U.M.S.N.H.

F.C.C.A. 49

114.- ¿Cuánto tiempo tardarán $18,000 en ascender a $22,000 con una tasa nominal del 8%

capitalizable trimestralmente?

115.- Una persona tiene 4 adeudos de $7,000 $15,000 $12,000 y $13,500 que vencen respectivamente

el 15 de abril, el 7 de mayo, el 18 de julio y el 30 de octubre; todos devengan intereses del 34.20%,

capitalizable por días. En una reunión acuerda con sus acreedores hacerles 3 pagos iguales el

quinceavo día de los meses de abril, junio y agosto en sustitución de los primeros. ¿De cuánto es cada

uno?


U.M.S.N.H.

F.C.C.A. 50

CAPITULO III

ANUALIDADES

3.1 Concepto Una anualidad es una serie de pagos iguales que se perciben a intervalos fijos de tiempo,

aún para períodos inferiores a un año. Son ejemplo de anualidades:

Los pagos mensuales por renta

El cobro quincenal o semanal de sueldos o salarios

Los abonos mensuales a una cuenta de crédito.

Los pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida, etc.

Se conoce como intervalo o período de pago al tiempo que transcurre entre un pago y otro, y se

denomina plazo de una anualidad al tiempo que pasa entre el inicio del primer período de pago y el

final del último. Renta es el nombre que se da al pago periódico que se hace. También hay ocasiones en

las que se habla de anualidades que, o no tienen pagos iguales, o no se realizan todos los pagos en

intervalos iguales.

Tipos de anualidades

La variación de los elementos que intervienen en las anualidades hace que existan diferentes tipos de

ellas. La clasificación que se hace corresponde a los siguientes criterios:

Criterio Tipos de anualidades

a) Tiempo Ciertas (sus fechas son fijas y se estipulan de antemano. Ejem.

Las letras de pago de la compra de un auto.)

Contingentes (la fecha del primer pago o del último no se fijan de

antemano. Porque dependen de un hecho que no se sabe

cuándo ocurrirá. Ejem. Renta vitalicia a un cónyuge al

morir el otro)

b) Intereses Simples (cuando el período de pago coincide con el de capitalización

de intereses.Ejem. pago de renta mensual y capitalización

mensual de intereses.

Generales (el período de pago no coincide con el período de capitalizac.

Ejem. Pago de renta semestral y capitalización mensual.)

c) Pagos Vencidos (se trata de casos en los que los pagos se efectúan a su

vencimiento. Ejem. Pago de Luz, tel, sueldos.)

Anticipados (los pagos se realizan al principio de cada período.

Ejem. El pago de la renta.)

d) Iniciación Inmediatos (la realización de los cobros o pagos tiene lugar en el

período que sigue inmediatamente a la formalización

del trato. )

Diferidos (se acuerda que al adquirir algún artículo a crédito, la

primera de las mensualidades se hará por ejemplo,

3 meses después.)


U.M.S.N.H.

F.C.C.A. 51

De acuerdo con la anterior clasificación se puede distinguir diversos tipos de anualidades:

inmediatas

vencidas diferidas

ciertas

anticipadas inmediatas

diferidas

simples inmediatas

vencidas diferidas

contingentes inmediatas

anticipadas diferidas

Anualidades inmediatas

vencidas diferidas

ciertas


generales diferidas

inmediatas

vencidas diferidas

contingentes


diferidas

2.2 Anualidades vencidas De estos 16 tipos de anualidades, analizaremos algunas de ellas, de las más

comunes, y comenzaremos con las simples, ciertas, vencidas e inmediatas.

Los elementos que intervienen en este tipo de anualidades son:

R la renta o pago por período

A el valor actual o capital de una anualidad. Es el valor total de los pagos en el momento

presente

M el valor en el momento de su vencimiento, o monto. Es el valor de todos los pagos al

final de la operación

n tiempo

i tasa de interés


U.M.S.N.H.

F.C.C.A. 52

Ejemplo:

Se tiene derecho a percibir $500 mensuales durante 5 meses, en anualidad vencida. Determinar qué

cantidad se acumularía en una cuenta de inversiones que rinde el 24% anual convertible mensualmente.

I 0 1 2 3 4 5

$500 $500 $500 $500 $500

Datos:

R = 500

n = 5

i = 0.24/12= 0.02

Puesto que consideramos interés compuesto, utilizamos la fórmula: M = C ( 1 + i ) n

para cada uno

de los depósitos, que gana interés por el tiempo que dura la anualidad.

Primer mes 500(1.02)4

= 541.21 está depositado durante 4 meses

segundo mes 500(1.02)3


tercer mes 500(1.02)2


cuarto mes 500(1.02)1

= 510.00 está depositado durante 1 mes

quinto mes 500 = 500.00 únicamente se suma, en ese momento se deposita

total = $2 602.01

Fórmula para obtener el monto

de una anualidad simple, cierta M = R (1 + i) n – 1

vencida e inmediata i

Si aplicamos la fórmula al ejercicio anterior:

Datos:

R = 500

n = 5

i = 0.24/12= 0.02

M = 500 (1.02)5 – 1

0.02

M = $ 2 602.02

Encontramos el mismo resultado.


U.M.S.N.H.

F.C.C.A. 53

Si queremos encontrar el valor de la anualidad al principio, aplicamos el valor presente.

0 1 2 3 4 5

$500 $500 $500 $500 $500

Datos:

R = 500

n = 5

i = 0.24/12= 0.02

Puesto que consideramos interés compuesto, utilizamos la fórmula: C = M ( 1 + i )-n

para cada uno

de los depósitos, restando el interés por el tiempo que dura la anualidad.

Primer mes 500(1.02)-1

= 490.19 se resta el interés de 1 mes

segundo mes 500(1.02)-2

= 480.58 se resta el interés de 2 meses

tercer mes 500(1.02)-3


cuarto mes 500(1.02)-4


quinto mes 500(1.02)-5


total = $2 356.71

Fórmula para encontrar 1 1

el valor actual de una anualidad A = R 1 - ( 1 + i )n A = R 1 - ( 1 + j/m )

m n

vencida i ( j/m)

Si aplicamos la fórmula al ejercicio anterior:

Datos:

R = 500

n = 5

i = 0.24/12= 0.02 1

1 - (1.02 ) 5

A = 500 0.02

A = $ 2 356.72

Así encontramos la misma respuesta.

Ejercicios:


U.M.S.N.H.

F.C.C.A. 54

1. Se obtiene un contrato de arrendamiento de un solar por 9 años, comprometiéndose a pagar $42 000

al final de cada año. ¿Cuál será la cantidad reunida al final del contrato, si la cuenta rinde un interés

del 11.5 % anual?

2. Una persona depositó $1 000 al final de cada semestre, durante 12 años. Si no retiró ninguna

cantidad durante este tiempo y el banco le abonó el 14% anual capitalizable semestralmente ¿Con

qué cantidad contó al final?

3. Se depositaron $400 al final de cada mes durante 2 años. El banco otorga un interés del 14% anual

con capitalización mensual. ¿Cuál será el monto y el valor actual de dichos depósitos?

4. Un señor desea asegurar una renta de $20 000 semestrales durante 5 años a su hija que estudiará en

otra ciudad. Encontrar a la tasa del 6% capitalizable semestralmente la cantidad que deberá

depositar ahora en el banco.


U.M.S.N.H.

F.C.C.A. 55

Ahora obtendremos el valor de la renta, cuando conocemos el monto y el valor actual

Fórmula para obtener la renta i ( j/m

de una anualidad vencida cuando R = M ( 1 + i ) n

- 1 R = M ( 1+ j/m ) m

n

- 1

se conoce el monto de la

anualidad.

Fórmula para obtener la renta i (j/m)

de una anualidad vencida, cuando R = A 1 - ( 1 + i )- n

R = A 1 - ( 1 + j/m )-mn

se conoce el valor actual de la

anualidad.

5. Una compañía desea establecer un fondo de amortización para pagar unas obligaciones, con valor

de $300 000 que vencen dentro de 8 años. ¿Cuál será el valor de los pagos que tienen que ponerse

aparte cada año, e invertirse al 10% capitalizable anualmente?

6. Para comenzar un negocio al final de su carrera, una joven debe contar con $100 000 ¿Cuánto

tendrá que ahorrar cada bimestre en una cuenta que le reditúa el 7.9% anual capitalizable

bimestralmente, ahora que apenas ingresa? (5 años)

7. Una compañía inmobiliaria compra terrenos que le cuestan $1 200 000. Paga $200,000 al contado

y se compromete a pagar el resto, con el interés del 14% anual con capitalización mensual, en 12

pagos mensuales. ¿Cuál será el importe de cada pago?

8. Una empresa contrata una deuda de $100 000 con un banco. Si éste carga a esta tipo de préstamos

el 40% anual convertible bimestralmente cuánto tendrá que pagar la empresa bimestralmente para

saldar su deuda en un año y medio?


U.M.S.N.H.

F.C.C.A. 56

Fórmula que da el tiempo Log (M i + R) – Log R Log (M j/m + R) – Log R

en una anualidad vencida n = Log ( 1 + i ) n = Log ( 1 + j/m )

cuando se conoce el monto

Fórmula que da el tiempo 1 1

en una anualidad vencida n = Log 1 – A i n = Log 1– A(j/m)

cuando se conoce el R R

valor actual Log ( 1 + i ) Log (1 + j/m )

9. El presidente de una compañía persuade a los consejeros que debe crearse un fondo de pensiones de

$ 1 000 000. Autorizan el pago de $15 000 al fondo a final de cada año. Si el fondo gana el 5% de

interés anual ¿Cuánto tiempo se necesitará para reunir el total? R= 30.05 años

10. ¿En cuánto tiempo se acumulan $20 000 mediante depósitos bimestrales vencidos de $1 615 si se

invierten a una tasa del 15% anual convertible bimestralmente?

11. ¿Cuántos pagos de $94.76 al final de cada mes, tendría que hacer el comprador de una lavadora que

cuesta $850 si da un enganche de $350 y acuerda pagar 45.6% de interés capitalizable

mensualmente sobre el saldo?

12. ¿Cuántos pagos bimestrales vencidos de $145 se tendrían que hacer para saldar una deuda,

pagadera hoy de $800 si el primer pago se realiza dentro de dos meses y el interés es de 11%

bimestral?


U.M.S.N.H.

F.C.C.A. 57

En las anualidades vencidas estudiadas, los pagos o rentas de la anualidad coincidían con las

capitalizaciones de intereses es decir eran simples ahora tendremos ejemplos de anualidades generales

cuando no coinciden el período de pago de la renta con el pago de intereses. Así que serán anualidades

generales, ciertas, vencidas e inmediatas.

Es conveniente que hagamos una lista de los símbolos que utilizaremos:

R la renta o pago por período

A el valor actual o capital de una anualidad. Es el valor total de los pagos en el momento

presente

M el valor en el momento de su vencimiento, o monto. Es el valor de todos los pagos al

final de la operación

n tiempo

i tasa de interés efectiva

j tasa nominal anual de interés

m número de capitalizaciones del interés al año

p número de veces que se realiza el pago de una anualidad por año

Para la solución de estos problemas debemos considerar la tasa, el tiempo, las capitalizaciones de

intereses y los pagos que se realizarán, todos anuales.

Fórmula para el monto de una

anualidad, pagadera p veces ( 1 + j/m ) mn

– 1

por año y con un interés M = R

capitalizable m veces por año p (1 + j/m ) m/p

– 1

Fórmula para encontrar el valor 1 – (1 + j/m )-mn

actual de una anualidad pagadera A = R

p veces por año y con un interés p (1 + j/m ) m/p

– 1

capitalizable m veces por año

Ejemplo:

Se depositan al final de cada semestre, $400 en un banco que abona el 4% de interés capitalizable

mensualmente. ¿Cuál será el monto de esta cuenta al final del 10º año?

Datos:

R = 400 X 2 = 800 ( 1 + j/m ) mn

– 1 1 + (0.04/12)12x10

- 1

j = 0.04 M = 800

m = 12 M = R p (1 + j/m ) m/p

– 1 2 (1+ 0.04/12) 12/2

– 1

n = 10

p = 2

M = ¿ M = $ 9 735.16


U.M.S.N.H.

F.C.C.A. 58

13. Una persona decide acumular un fondo para su retiro. Si invierte $250 quincenales durante 8 años y

el fondo le produce el 16% de interés anual capitalizable cada 28 días ¿Cuál será la cantidad que

logre reunir?

14. ¿Cuánto acumularía una renta de $332 pagaderos durante 10 bimestres vencidos, si el interés es del

5.4% trimestral?

15. Un banco abona a sus depositantes el 10% de interés, capitalizable trimestralmente. ¿Qué cantidad

deberá depositarse en ese banco ahora, para que se asegure una renta de $125 mensuales durante 3

años?

16. Para crear un fondo para contingencias futuras, se ha calculado depositar $1 250 al final de cada

trimestre durante 10 años. Se toma la decisión de realizar un depósito de una cantidad tal, que

depositada en una cuenta que otorga el 14% anual capitalizable por cuatrimestres, en el mismo

tiempo se llegará a la cantidad fijada.


U.M.S.N.H.

F.C.C.A. 59

3.3 Anualidades anticipadas

Analizando sus características podríamos decir que son:

Simples, porque el período de pago corresponde al de capitalización

Ciertas, porque las fechas y los plazos son fijos y se conocen

Anticipadas, porque el inicio de pagos y la capitalización de intereses se hacen al

principio del período

Inmediatas, porque los pagos o depósitos se inician en el mismo período en el que se

formaliza la operación

R R R R

I I I I . . . . . . 1 2 3 4

Fórmula para obtener el ( 1 + i ) n + 1

– 1

Monto en una anualidad M = R i - 1 anticipada

Ejemplo:

Un obrero deposita en una cuenta de ahorros $50 al principio de cada mes. Si la cuenta paga el 2.3% mensual de

interés. ¿Cuánto habrá ahorrado durante el primer año?

Datos:

R = 50

i = 0.023

n = 12 ( 1.023 ) 12 + 1

– 1

M = M = 50 0.023 - 1 M = $697.72

17. Una compañía deposita al principio de cada año $20 000 en una cuenta de ahorros que abona el 7%

¿A cuánto ascenderán los depósitos al cabo de 5 años?

18. Se hace una inversión de $200 al principio de cada mes durante 10 meses. Si el interés es del 6%

mensual ¿Cuál será el valor acumulativo de esta cuenta al final del período?


U.M.S.N.H.

F.C.C.A. 60

Fórmula para obtener el 1 - ( 1 + i ) – (

n – 1)

Valor actual en una anualidad A = R i + 1 anticipada

Ejemplo:

Una empresa alquila un edificio por un año, conviniendo en pagar $4 000 mensuales, pagando por

mensualidad anticipada, con una tasa del 12% con capitalización mensual. Hallar el valor actual del

alquiler.

Datos:

R = 4 000 1 - ( 1.01 ) – (

12 – 1)

i = 0.12/12 = 0.01 A = 4 000 0.01 + 1 n = 12

A = $ 45 470.51

19. La prima de una póliza de seguro de vida, es de $60 por trimestre, pagadera por anticipado.

Encontrar el equivalente de contado de primas anuales si la compañía de seguros cobra el 6% anual,

capitalizable trimestralmente, por el privilegio de pagar de esta forma en lugar de pagar de

inmediato todo el año.

20. Calcúlese el valor actual de 9 pagos bimestrales anticipados de $500 con interés anual del 63.36%

con capitalización bimestral. También si se hacen vencidos, determínese y explique la diferencia.


U.M.S.N.H.

F.C.C.A. 61

3.3 Anualidades diferidas

Estas anualidades se caracterizan porque la primera renta no se ejecuta en el primer período o la última

no se hace en el último.

El procedimiento para evaluar sus elementos es muy simple, ya que se resuelven como inmediatas

utilizando las fórmulas anteriores, para después trasladar en el tiempo el monto o el capital, utilizando

la fórmula del interés compuesto, tal como se aprecia en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1:

Aeromexicana ofrece la promoción “Viaje ahora y pague después”, que consiste en liquidar el precio

del pasaje en 10 quincenas vencidas, empezando 3 meses después de haber viajado, ¿cuánto pagará el

licenciado José Luis si el precio de sus boletos fue de $8,320 y le cargan el 28.32% de interés anual

compuesto anticipado por quincenas? $ 8,320

. . . .

1 . . . 5 6 7 . . . . 15

Se calcula el monto de los $8,320 transcurridas 5 quincenas y es:

M = C ( 1 + i ) n

M = 8,320 ( 1 + 0.2832/24)5

= $ 8,822.60

Ahora se encuentra el valor de las 10 rentas quincenales:

i

R = A 1 - ( 1 + i )- n

0. 0118

R = 8,822.60 = $ 940.53

1 – ( 1.0118) - 10

21. El testamento del Sr. Reyes estipula, que el Asilo de Ancianos recibirá, después de transcurridos

10 años, una renta trimestral de $2,200 durante 20 años, a pagar al final de cada trimestre. Si el interés

es del 4% capitalizable semestralmente, hállese el valor actual de este legado.


U.M.S.N.H.

F.C.C.A. 62

22. Una escuela adquiere un equipo de cómputo con un pago inicial de $30 000 y 7 mensualidades de

$15 000 cada una, pagando la primera 4 meses después de la compra, ¿Cuál es el precio del equipo, si

se están cobrando intereses del 29.04% anual compuesto por meses?

23. Calcular el valor actual de una renta semestral de $6,000 durante 7 años, si el primer pago se

realiza dentro de 3 años y el interés es del 17% semestral.

24. ¿Cuál es el valor actual de la anualidad anterior?

25. En agosto un almacén ofrece al público un plan de “compre ahora y pague después”. Con este plan

una persona compra una computadora que recibe el 1º de septiembre y debe pagar en 12 mensualidades

de $250 a partir del 1º de enero del año siguiente. Si se considera un interés del 36% anual convertible

mensualmente. ¿Cuál es el valor de contado de la computadora?


U.M.S.N.H.

F.C.C.A. 63


26. Una persona deposita $1 500 cada fin de mes en una cuenta de ahorros que abona el 18% de interés

anual capitalizable mensualmente. ¿Cuánto habrá ahorrado al hacer el 8º depósito?

27. Un señor queda incapacitado a consecuencia de un accidente, la empresa lo indemniza con $200

000 Si el banco otorga el 14.5% de interés capitalizable mensualmente, ¿Qué renta mensual podría

obtener para los próximos 40 años?

28.¿Qué cantidad deberá invertir una persona que desea obtener una mensualidad de $2,500 durante 15

meses si el banco paga el 11/2 % mensual?

29. Una persona debe pagar $3 000 al final de cada año, durante varios años. ¿Cuánto deberá pagar al

final de cada mes para sustituir el pago anual, si se consideran intereses a razón del 25% convertible

mensualmente? R= $222.63 mensual

30. ¿Qué es más conveniente para comprar un automóvil:

a) pagar $26 000 de contado ó

b) $13 000 de enganche y

$1 300 al final de cada uno de los 12 meses siguientes si el interés se calcula a razón del

42% convertible mensualmente?


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31. Una compañía ha venido colocando durante los últimos 7 años al principio de cada semestre $40

000 en un fondo, por la depreciación de su maquinaria. ¿Cuál será el monto de este fondo, si ha estado

produciendo el 5% capitalizando semestralmente?

32. ¿Cuántos pagos mensuales de $600 deberán hacerse para cancelar una deuda cuyo monto será de

$4,500 si se considera incluido el 7% de interés capitalizable mensualmente?

33. ¿Cuál es el valor actual de un conjunto de 25 pagos semestrales anticipados de $250 si el interés es

del 42% capitalizable semestralmente?

34. ¿Cuántos pagos de $112 615.21 serían necesarios para liquidar una deuda de $1’000,000 contraída

hoy con intereses de 45% anual convertible mensualmente?

35. Calcular el valor actual de un terreno, utilizando un interés del 40% con capitalización mensual, si

se vendió con las siguientes condiciones:

$4 000 de enganche

Mensualidades vencidas por $350 durante 4.25 años

Un pago final de $2 500 un mes después de la última mensualidad


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36. ¿De cuánto es cada una de las rentas semanales vencidas que se hacen en las primeras 15 semanas

del año para disponer de $30 000 al final de ese año, considerando intereses del 26% anual

capitalizable por semanas? (52 semanas al año).

37. ¿Cuál es el precio de contado, de un refrigerador que se paga con 10 abonos mensuales de $450 si

el primero se hace 2 meses después de la compra y la tasa de interés es del 25% nominal mensual?

38. Supongamos que una persona desea invertir $50 000 el 1º de enero de 2001, para que pueda retirar

10 flujos de efectivo anuales de cantidades iguales, comenzando el 1º de enero del 2007. Si el fondo

genera el 12% de interés anual durante su vigencia. ¿Cuál será el valor de cada uno de estos 10 retiros?

39. Si se depositan hoy $8,000 en una cuenta de inversiones que paga el 26% capitalizable

mensualmente ¿Cuántos retiros mensuales de $500 se podrán hacer comenzando dentro de 6 meses?


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40.- Encontrar la cantidad pagada por una recámara por la cual se dan 60 abonos semanales de $125 e

intereses del 36% nominal mensual.

41.- Obtenga el precio de contado de un automóvil que se paga con 15 abonos mensuales anticipados

de $12,500 cada uno e interés del 28.5% anual capitalizable por meses.

42.- Un crédito automotriz de $150,000 se amortiza con 48 rentas mensuales e interés del 34.8%

compuesto por meses. Se conviene que a partir del décimotercero, estos pagos serán trimestrales, al

igual que el interés. ¿De cuánto será cada uno, suponiendo que todos son vencidos?

43.- ¿Cuál es el precio de contado de un comedor que se paga con un enganche de $1,500 el día de la

compra, 24 abonos semanales de $325 e intereses del 26% nominal mensual?


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44.- En agosto, un almacén ofrece al público un plan de “compre ahora y pague después”. Con este

plan una persona compra una computadora que recibe en septiembre y debe pagar en 12 mensualidades

de $250 a partir de enero del año siguiente. Si se considera un interés del 36% anual capitalizable

mensualmente. ¿Cuál es el valor de contado de la computadora?

45.- ¿Cuál es el monto de la anualidad anterior?

46.- Calcular el valor actual de una renta semestral de $6,000 durante 7 años, si el primer pago se

realiza dentro de 3 años y el interés es del 17% semestral.

47.- ¿Cuál es el monto de la anualidad anterior?

48.- Supongamos que una persona desea invertir $50,000 en enero de un año, para que pueda retirar 10

flujos de efectivo anuales de cantidades iguales comenzando 6 años más tarde. Si el fondo genera el

12% de interés anual durante su vigencia. ¿Cuál será el valor de cada uno de estos 10 retiros?


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CAPÍTULO IV

AMORTIZACIÓN

4.1 Amortización de una deuda En las finanzas, la expresión amortizar se utiliza para denominar un

proceso financiero mediante el cual se extingue, gradualmente, una deuda por medio de pagos

periódicos, que pueden ser iguales o diferentes.

En la amortización de una deuda, cada pago o cuota que se entrega sirve para pagar los intereses y

reducir el importe de la deuda. Amortizar es el proceso de cancelar una deuda con sus intereses por

medio de pagos periódicos.

4.2 Tablas de amortización

Saldo insoluto: Cada vez que se hace un abono, por ejemplo, al pagar un terreno, una parte

corresponde al pago de la deuda y otra corresponde al interés que se hubiera pactado al realizar el

contrato.

Al ir pagando en cada abono una parte del capital de la deuda, a la parte que aún se adeuda se le conoce

como saldo insoluto, y el interés se calcula sobre el mismo.

Conocer el saldo insoluto en cualquier operación crediticia es útil, por ejemplo para liquidar o para

refinanciar el total que se debe en cualquier instante.

Renta constante: éste consiste en un sistema por cuotas de valor constante, con intereses sobre saldos.

En este tipo de amortización, los pagos son iguales y se hacen en intervalos iguales. Esta forma de

amortización fue creada en Europa y es la más generalizada y de mayor aplicación en el campo

financiero; es una aplicación de las anualidades estudiadas en el capítulo anterior.

Renta decreciente: a diferencia de la renta constante, mantiene un valor igual para la amortización en

cada periodo y, como consecuencia, la cuota de pago periódico es variable decreciente, puesto que los

intereses sobre saldos son decrecientes. Para préstamos a largo plazo y en particular para préstamos de

vivienda, se han creado diversos sistemas de amortización basados en las anualidades variables.

Ejemplo renta constante:

Para vacacionar un señor consigue un crédito por $10 000 a pagar en 8 mensualidades a una tasa de

interés del 24% capitalizable por meses. Calcule el valor del pago y elabore la tabla de amortización

del crédito.

Datos:

A = 10 000

n = 8 i 0.02

i = 0.24/12 R = A 1 - ( 1 + i )- n

R = 10 0000

1 – (1.02)-8

R = ?

R = $ 1 365.09


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Tabla de amortización

Período Renta Intereses Amortización Saldo insoluto

0 - - - 10 000.00

1 1 365.09 200.00 1 165.09 8 834.91

2 1 365.09 176.69 1 188.39 7646.51

3 1 365.09 152.93 1 212.16 6434.35

4 1 365.09 128.68 1 236.40 5197.94

5 1 365.09 103.95 1 261.13 3936.80

6 1 365.09 78.73 1 286.35 2650.44

7 1 365.09 53.00 1 312.08 1338.35

8 1 365.09 26.76 1 338.32 0.03

Utilizando los datos del ejemplo anterior calculamos la renta decreciente:

Datos:

A = 10 000 10 000/ 8 = 1 250

n = 8

i = 0.24/12 0.24/12 = 0.02

Tabla de amortización

Período Renta Intereses Amortización Saldo insoluto

0 - - - 10 000.00

1 1 450.00 200.00 1 250 8 750.00

2 1 425.00 175.00 1 250 7 500.00

3 1 400.00 150.00 1 250 6 250.00

4 1 375.00 125.00 1 250 5 000.00

5 1 350.00 100.00 1 250 3 750.00

6 1 325.00 75.00 1 250 2 500.00

7 1 300.00 50.00 1 250 1 250.00

8 1 275.00 25.00 1 250 0.00

1. Una persona obtiene hoy una deuda de $68 000 al 48% convertible semestralmente, que

amortizará mediante 6 pagos semestrales. ¿Cuál es el valor de dichos pagarés? Encontrar el

valor de los pagos y elabore la tabla de amortización de dicha deuda. Utilizando los métodos de

renta constante y renta decreciente.

Sem. Renta Intereses Amortización Saldo_Insoluto


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2. Se compra un inmueble valuado en $195 000 dando un enganche del 15% el resto se financia

con un préstamo bancario a 5 años, con un interés del 18% convertible mensualmente. Hallar a)

el valor de los pagos mensuales y b) el saldo insoluto al final del primer año. Utilice renta

constante.

3. ¿Cuál sería el pago final que liquida una deuda de $25 000 contratada al 20% efectivo anual a

pagar mediante 3 pagos anuales de $10 000 y un pago final que debe realizarse al término del 4º

año? Elabora una tabla de amortización de la deuda. Utilice renta constante.


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4. Una persona obtiene un préstamo de $10 000 con intereses del 31/2% La deuda será liquidada

mediante un pago de $2 500 al término de 4 años, seguidos de 6 pagos anuales. A) hallar el

pago periódico necesario B) hallar el capital insoluto justamente después del 3er. pago

periódico y C) ¿qué parte del último pago se aplica al pago de intereses? R1= $ 1 684.36

R2= $4 718.96 R3= $56.96

5. Obtenga los primeros 6 abonos bimestrales que amortizan constantemente, una deuda de $45,000 en

2 años a una tasa del 22% de interés capitalizable bimestralmente. (Renta decreciente).


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4.3 Fondo de amortización

El fondo de amortización se distingue porque aquí la deuda que se va a amortizar se plantea a futuro, y

lo que se hace es constituir una reserva o fondo depositando determinadas cantidades (generalmente

iguales y periódicas) en cuentas que devengan intereses, con el fin de acumular la cantidad o monto que

permita pagar la deuda a su vencimiento.

Ejemplo:

Una empresa debe pagar dentro de 7 meses la cantidad de $500 000 Para asegurar el pago, se sugiere

acumular un fondo, mediante depósitos mensuales a una cuenta que paga el 10% capitalizable

mensualmente. a) ¿De cuánto deben ser los depósitos? B) Muestre la forma en que se acumularía el

fondo.

M = 500 000 i 0.008333

n = 7 R = M ( 1 + i ) n

- 1 R= 500,000 (1.00833)7

-1

i = 0.10/12

R = ¿

R = $ 69 662.61

6. Para pagar una deuda de $160 000 que vence dentro de 6 meses se va a constituir un fondo

mediante depósitos mensuales. Si los depósitos se colocan en un fondo de inversiones que rinde

12% anual convertible mensualmente, hallar su importe. Elabore la tabla del fondo de amortización

que corresponde.

Fecha Renta Intereses Total del depósito Saldo Fin del mes 1 69 662.61 - 69 662.61 69 662.61 Fin del mes 2 69 662.61 580.52 70 243.13 139 905.74 Fin del mes 3 69 662.61 1 165.88 70 828.49 210 734.23 Fin del mes 4 69 662.61 1 756.11 71 418.72 282 152.95 Fin del mes 5 69 662.61 2 351.26 72 013.87 354 166.82 Fin del mes 6 69 662.61 2 951.37 72 613.98 426 780.80 Fin del mes 7 69 662.61 3 556.50 73 219.11 499 999.91

Sumas: 487 638.27 12 361.64 499 999.91

Mes Depósito Intereses Total del Dep. S a l d o

Sumas


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F.C.C.A. 73

7. Haga una tabla que muestre la forma en que se amortizaría una deuda de $150 000 que debe

pagarse en 4 meses, si se decide constituir un fondo mediante depósitos mensuales vencidos en una

cuenta de inversiones que rinde el 1.7% mensual efectivo.

8. Para reponer la maquinaria de una fábrica, se desea contar con un fondo de $700 000 dentro de 3

años, se considera formar un fondo para la reposición, para lo cual se acuerda en depositar

mensualmente a una cuenta que otorga el 24% capitalizable mensualmente. Encontrar la cantidad

que se debe depositar mensualmente así como la cantidad que se habrá reunido al final del primer

año, para lo cual deberá elaborarse la tabla que lo muestre.

9. Una señora ha estado ahorrando $200 cada mes desde hace medio año, en una cuenta de

inversión que paga el 10% convertible mensualmente. Pretende pagar una deuda de $2 000 a la

fecha, ¿Cuánto le sobra o le falta? Elabora la tabla que muestre el fondo.


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10.- ¿Con cuántos pagos quincenales de $4,000 se amortiza un crédito de $40,000 a una tasa de interés

del 42% compuesto por quincenas? Realice un ajuste con un pago menor al final y el cuadro de

amortización.

11.- ¿De cuánto es el capital que se amortiza con 16 abonos quincenales de $750 y una tasa de interés

del 18% anual compuesto por quincenas? Elabore el cuadro y encuentre el saldo después del 10º pago.

12.- Se contrae una deuda de $148,000 al 35% convertible bimestralmente, que amortizará mediante 8

pagos bimestrales iguales. ¿Cuál será el valor del pago bimestral? Elabore el cuadro.


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13.- Se deben pagar dentro de un año la cantidad de $360,500 Se decide acumular un fondo mediante

depósitos quincenales a una cuenta que paga el 8% convertible quincenalmente. ¿De cuánto deben ser

los depósitos? Elabore el cuadro.

14.- ¿Cuántos depósitos mensuales de $3,000 se necesitan para acumular $150,000 en un fondo que

paga el 17.5% capitalizable mensualmente? Elabora el cuadro y encuentra el saldo después del 8º

depósito.


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CAPÍTULO V

DEPRECIACIÓN

5.1 Concepto Con excepción de los terrenos y algunos otros bienes, el valor de casi todos los activos

se reduce con el tiempo desde el momento en que son adquiridos o que se ponen en servicio. Esta

pérdida del valor se conoce como depreciación y es causada principalmente por el uso, la insuficiencia

o la obsolescencia del propio bien.

Desde el punto de vista fiscal o impositivo, los cargos por depreciación son determinados por el

gobierno, pero esto no obsta para que las empresas destinen partidas de dinero de forma periódica, para

no descapitalizarse en el momento de reponer sus activos, es decir cuando dejan de ser útiles o su

mantenimiento y reparaciones resultan muy costosas, al final de su vida útil. De aquí que es

conveniente y de gran utilidad, disponer de los diferentes métodos para depreciar los activos o conocer

su valor real en cualquier momento.

Los siguientes son definiciones y conceptos importantes concernientes a la depreciación de activos:

La pérdida de valor de un activo fijo y tangible, a consecuencia de su insuficiencia, uso u

obsolescencia, se denomina depreciación.

La vida útil de un activo es el tiempo que hay entre su compra y su retiro.

El valor de rescate, valor de desecho o valor de salvamento de un activo, es el que supuestamente tiene

o tendrá al final de su vida útil.

Los métodos más usuales para calcular la depreciación son los siguientes:

5.2 Método de la línea recta

En éste método el cargo anual es el mismo para todos los años de la vida útil del activo, es decir ofrece

el mismo servicio durante cada uno de los periodos de operación. El cargo por año, se obtiene

dividiendo la base de depreciación entre el total de años de servicio, es decir:

Renta o valor total - valor de rescate

Depreciación anual = vida útil

Ejemplo:

Una compañía compró una máquina en $210 000 se estima que tendrá una vida útil de 5 años y $15

000 como valor de desecho. Encontrar su depreciación anual.

Solución:

Renta o valor total - valor de rescate = 210 000 – 15 000 = $39 000 Depreciación anual = vida útil 5


U.M.S.N.H.

F.C.C.A. 77

Cuadro de depreciación:

Fin de año Deprec. Anual Deprec. Acumulada Valor en libros

0 - - 210 000

1 39 000 39 000 171 000

2 39 000 78 000 132 000

3 39 000 117 000 93 000

4 39 000 156 000 54 000

5 39 000 195 000 $15 000

1. ¿De cuánto es la depreciación anual de una máquina que costó $150 000 será utilizada durante 6

años, y al final se gastarán $18 600 en su remoción y cambio por otra más moderna?

2. Una pieza de refacción de una procesadora de carnes frías cuesta $2 550 tiene 4 años de vida

útil y al final un valor de $360


U.M.S.N.H.

F.C.C.A. 78

5.3 Método de unidades de producción o de servicio

Este método es en realidad una variante del anterior, y por eso se puede utilizar la misma fórmula, pero

en lugar de los años de vida útil serían el número de unidades que se producen o las unidades que da

servicio el activo que se deprecia.

Puede suceder que con este método, la depreciación sea diferente para cada uno de los años de su vida

útil. Generalmente la capacidad de producción o de horas de servicio, es determinada por el fabricante

de la maquinaria o el equipo que se deprecia, o con los datos históricos que se tengan de bienes

semejantes.

Ejemplo:

Obtenga la depreciación de una máquina de envases de cristal, que costó $210 000 al final de sus 5

años de vida útil se rescatarán $15 000 y se producen 10 000 000 de piezas distribuidas de la forma

siguiente:

año Producción

1 1 800 000

2 2 150 000

3 2 500 000

4 1 950 000

5 1 600 000

total 10 000 000

Valor total – valor de rescate = 210 000 – 15 000 = 0.0195 para cada unidad

Unidades producidas 10’000,000

Fin del año Producción

anual

Depreciación

anual

Depreciación

acumulada

Valor en libros

0 210 000

1 1 800 000 X 0.0195 35 100 35 100 174 900

2 2 150 000 X 0.0195 41 925 77025 132975

3 2 500 000 X 0.0195 48 750 125 775 84 225

4 1 950 000 X 0.0195 38 025 163 800 46200

5 1 600 000 X 0.0195 31 200 195 000 $ 15 000

Sumas: 10 000 000 X 0.0195 195 000


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3. Obtenga la depreciación anual de un activo que costó $140 000 tiene un valor de desecho de

$23 000 y la producción en sus 5 años de vida útil en miles de piezas es: 13 500 en el primer

año, 15 850 en el segundo, 13 750 en el tercero, 13 200 en el cuarto y 8 700 en el último.

4. Una máquina de coser zapatos costó $88 000 tiene una vida útil de 6 años, un valor de rescate

de $20 000 y la producción anual en miles de piezas es: 35 en el primero, 32 en el segundo, 29

en el tercero, 27 en el cuarto, 26 en el quinto y 21 en el último. Obtenga la depreciación anual.


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5.4 Método de la suma de dígitos

El método de suma de dígitos, al igual que el del porcentaje fijo, es un método acelerado de

depreciación que asigna un cargo mayor a los primeros años de servicio y lo disminuye con el

transcurso del tiempo. Para determinar el cargo anual se multiplica la base de depreciación del activo

por una fracción que se obtiene de la siguiente manera:

Se suman los dígitos de 1 a n de los años de vida esperada del activo. Ejemplo: si un

activo tiene una vida esperada de 4 años, se suman los dígitos enteros correspondientes a

los años de servicio esperados: 1+ 2 + 3 + 4 = 10 esta cifra también puede determinarse

utilizando la siguiente fórmula:

s = n (n + 1)

2

En el caso anterior:

s = 4 ( 4 + 1) = 4 ( 5 ) = 10

2 2

Los dígitos correspondientes a los años de vida útil del activo se ordenan inversamente

al tiempo y así inversamente, se asignan a cada uno de los años de vida útil.

Ejemplo:

Una compañía compró una máquina en $210 000 se estima que tendrá una vida útil de 5 años y $15

000 como valor de desecho. Encontrar la depreciación anual.

S = n (n + 1) = 5 ( 5 + 1 ) = 15

2 2

Renta o valor total - valor de rescate = 210 000 – 15 000 = $ 13 000

Depreciación anual = suma de dígitos 15

Fin del año Depreciación anual Depreciación acumulada Valor en libros

0 - - 210 000

1 13 000 X 5 = 65 000 65 000 145 000

2 13 000 X 4 = 52 000 117 000 93 000

3 13 000 X 3 = 39 000 156 000 54 000

4 13 000 X 2 = 26 000 182 000 28 000

5 13 000 X 1 = 13 000 195 000 $15 000


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5. Una pieza de refacción de una procesadora de carnes frías cuesta $2 550 tiene 4 años de vida

útil y al final un valor de $360 Encuentre la depreciación anual. Con el método de suma de

dígitos.

6. Una avioneta de 13.5 millones de pesos se vende en 6.465 millones de pesos, al final de sus 6

años de vida útil ¿Cuál es la depreciación anual? (Método de suma de dígitos).


7. Calcule la depreciación de un refrigerador que cuesta $7 500 su valor de rescate se calcula en

$2 400 y una vida útil de 5 años. Encuentre la depreciación anual utilizando el método de la

línea recta primero y después el método de la suma de dígitos.


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8. ¿De cuánto es la depreciación anual de una computadora que costó $18 500 se estima que dará

servicio 2 750 horas cada año, durante cuatro años, y al final se esperan recuperar $2 000?

(resuélvase por el método de unidades de producción).

9. Una máquina inyectora de plásticos costó $84 000 y su valor de rescate al final de 8 años es de

$10 000 ¿De cuánto es la depreciación anual si el primer año se producen 4 millones de piezas y

se reduce 6% cada 2 años? Haga el cuadro de depreciación y utilice el método de unidades de

producción).

10. La refacción de una trilladora cuesta $45 300 tiene vida útil de 4 años y al final se gastan $3 500

para removerla. Calcule la depreciación anual utilizando los métodos de línea recta y de suma

de dígitos.


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F.C.C.A. 83

BIBLIOGRAFÍA

1. AYRES F. Matemáticas Financieras Serie Schuman, México, McGraw-Hill, 1981, 230 pp.

2. DE LA CUEVA B. Matemáticas Financieras (6ª Ed.), México Porrúa 1986, 135 pp.

3. DÍAZ Mata A. y V.M., Gómez Aguilera, Matemáticas Financieras, México, McGraw-Hill, 2002,

467 pp.

4. PORTUS L., Matemáticas Financieras, (4ª. Edición), México, McGraw-Hill. 2001, 430 pp.

5. VIDAURRI A., Matemáticas financieras, México, ECASA, 1997, 526 pp.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA

1. VILLALOBOS José L., Matemáticas Financieras, México, 2ª. Edición México Prentice Hall,

2001, 482 pp.

2. TOLEDANO Castillo M. A. y Hummelstine L. E. Matemáticas Financieras, México, CECSA,

1981, 245, pp.

3. DE LA CUEVA B. Tablas financieras, México: Porrúa, 1981, 115 pp.

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