Universidad nacional de

Ingeniería

Área académica de electricidad y electrónica

Profesor: Ing. Javier Franco Gonzáles

Facultad de ingeniería

mecánica

MÁQUINAS

ELÉCTRICAS

ML 202

UNIDAD IIi

CIRCUITOS MAGNÉTICOS

CON CORRIENTE ALTERNA

CIRCUITOS MAGNÉTICOS ALIMENTADOS CON

VOLTAJE ALTERNO

Φ(t)

t

EΦ e(cte)

Φ

ΔΦ

Δtt

EΦ

te

CIRCUITOS MAGNÉTICOS ALIMENTADOS CON

VOLTAJE ALTERNO

Φ(t)

Φ+

e

-

+

V(t)

-

N

dt

dNe

Inductancia propia y fuerza electromotriz

Φ+

VDC

-

N

IDC

H

B Núcleo ferromagnético

H

B

L=tgθ=NΦ/I

I

NL

Con corriente variable:

Φ+

e

-

+

V(t)

-

N

i(t)

dINdt

LNe

dt

dNe

dIN

Ld

IN

L

dt

dILe

Reactor de núcleo ferromagnético alimentado

con corriente alterna

V(t)

i0(t)

e(t)

(t)

N

A: sección. Transversald (t)

Corriente de excitación

)()(

)(·)()(

tetV

tiRtetV ob

El reactor es una bobinaideal, es decir, no tiene flujode dispersión ni resistenciaeléctrica (Rb=0 ).

Reactor de núcleo ferromagnético alimentado

con corriente alterna

Suposición:

t

EΦ

ΦE

90º

E

Φ

Fasorialmente

)()( tsent máx

dt

dNe

)º90(····2)(

)·cos(··)(

tsenNfte

tNte

máx

máx

)º90()( tsenete máx

máxeficaz

máxeficaz

máxeficaz

Nfe

Nfe

ee

···44.4

2

···2

2

Energía Almacenada en el campo

magnético

Potencia::

Energía:

Energía que entrega la fuente

Energía almacenada en el campo magnético

Pérdidas de

energía

dW

)(·)()( tiRtetV ob

)(·)()·()()·( 2 tiRtitetitV oboo

dttiRdttitedttitV oboo )(·)()·()()·( 2

Energía Almacenada en el campo magnético

Sabemos:

dttitedW ocampo )()·(

dBVHdW

AdBlHdW

AB

dlHdW

lHtiN

dtiNdW

volumencampo

mcampo

mcampo

mo

ocampo

·

·

·

·

·)(·

)(·

2

1

B

B

volcampo HdBVW

dt

dNte )(

Energía Almacenada en el campo magnético

B

W

dB

HH H

B

B

dH

W’

Coenergía

B

volcampo HdBVdW0

H

vol BdHVdW0

'

BHcampo '

Pérdidas de energía en los circuitos ferromagnéticos

alimentados con corriente alterna (ac)

Cuando la bobina con núcleo de hierro se excita con corrientecontinua la única pérdida que se presenta es la que se produce en laresistencia propia de la bobina. Se ha de notar que el núcleo no sufrecalentamiento alguno.

Cuando la bobina del núcleo se excita con AC, el núcleo, sí sufrirácalentamiento y por consiguiente se producirán unas nuevas pérdidasllamadas “Pérdidas en el Núcleo” que son debidas a la variación delcampo magnético (y flujo magnético).

Estas pérdidas son:

Pérdidas por histéresis (Ph)

Pérdidas por corrientes parásitas (Pf ) llamadas perdidas de Foucault

Las pérdidas totales en el núcleo es la suma de ambas:

fhT PPP

Pérdidas por histéresis

V(t)

i0(t)

e(t)

(t)

t

Φ(t)= Φmáxsen(ωt)

T

Estas pérdidas son producidas por un fenómeno

afín a la fricción molecular, ya que las partículas

más pequeñas del núcleo tienden a alinearse

primero en un sentido y después en el otro, a medida

que el flujo magnético varía periódicamente.

Pérdidas por histéresis

Cálculo de la energía almacenada

en el ciclo de histéresis:

Fórmula empírica deducida por Steinmetz(1892) después de un

gran número de observaciones y mediciones experimentales:

Donde: η= coeficiente de Steinmetz

n= exponente de Steinmetz

Medido en Watt

Ph es independiente de la formade onda de la fuente deexcitación o de la forma de ondade flujo, depende únicamente dela amplitud de la densidad deflujo, la frecuencia de la fuente yla naturaleza del materialmagnético

histéresis

vol HdBVW

n

máx

histéresis

BHdB

n

máxvolh BfVP

n

máxhh fBKP

Pérdidas por histéresis

H

B

H

Hm

BR

Hc

Bm

El ciclo de histéresis

se repite cada periodo

-Hm

-Bm

Para determinar laspérdidas es suficiente medircon un planímetro el áreaencerrada por el lazo dehistéresis

Pérdidas por Corrientes parásitas

(Foucault)

Según la Ley de

Lenz reaccionan

contra el flujo que

las crea

reduciendo la

inducción

magnética,

además, ocasionan

pérdidas y, por

tanto,

calentamiento

Flujo magnético

Corrientes parásitas

Sección

transversal

del núcleo

Es la energía disipada en el núcleo debido a pérdidas óhmicas, es decir

el campo magnético variable en el tiempo induce corrientes parásitas

en el núcleo, como el núcleo tiene resistencia finita éste disipará

energía por efecto joule.

Las corrientes inducidas forman anillos semejando un remolino, realmente

hay un número infinito de anillo de corriente cubriendo completamente

la sección transversal del núcleo

Flujo magnético

Aislamiento entre chapas Sección transversaldel núcleo

Menor

sección

para el

paso de la

corriente

Chapas magnéticas apiladas

Los núcleos magnéticos de todas las

máquinas se cons-truyen con chapas

aisladas y apiladas

Pérdidas por Corrientes parásitas

(Foucault)

Donde:

t: espesor de plancha

Ρ: resistividad

22

22

2222

6

6

máxff

volf

máxvolf

BfKP

tVK

BftVP

Pérdidas totales en el núcleo (PFe)

P(Watt/Kg)

B

Bmáx

P1 P2

f1 f2

M= masa del núcleo

P1=pérdidas específicas

fhTFe PPPP

22

máxf

n

máxhFe BfkfBKP

PFe= P1M

Separación de las pérdidas Pf y Ph

V(t)

(t)

I0(t)

A W

V

Prueba 1:

V1

f1

PFe1

I1

Bmax1

Prueba 2:

V2

f2

PFe2

I2

Bmax2

Fe

Febobinao

PW

PRtiW )(2

21 máxmáx BB

22

11 máxff BfKPn

máxhh BfKP 111

22

22 máxff BfKPn

máxhh BfKP 222

Separación de las pérdidas Pf y Ph

Hallando las constantes a y b determinamos las perdidas por corrientes parásitas y por

histéresis en cada prueba

22

máxf

n

máxhFe BfkfBKP

2

1

2

111 máxf

n

máxhFe BfkBfKP2

2

2

222 máxf

n

máxhFe BfkBfKP

2

111 bfafPFe

2

222 bfafPFe

Corriente de excitación del Reactor

V(t)

i0(t)

e(t)

(t)

t

eΦ

Φ

e

io

etV

Rreactor

eRtitV

A

lR

N

lH

N

Ri

lHRiN

b

bo

m

mm

mmo

mmo

)(

0

)()(

1::::

··

···

Representación matemática de io

Es simétrica respecto al eje de tiempo; el medio ciclo positivo y el medio ciclo negativo son semejantes y de igual área, esto a causa de la simetría del anillo de histéresis con respecto a los ejes coordenados y de la simetría de la forma de onda del voltaje con respecto al tiempo

La forma de onda de io satisface la condición:

io(t)=-io(t+T/2)

La función io(t) no es impar ni par

Satisface las condiciones de Dirichlet

1. io(t) tiene un numero finito de máximos y mínimos en [a,b]

2. io(t) está acotada

3. io(t) tiene sólo un número finito de discontinuidades finitas en [a,b]

La forma de onda de io(t) no es senoidal cuando V(t) es

senoidal en el núcleo ferromagnético.

La forma de onda de io tiene las siguientes características:

Representación matemática de io

Por lo tanto, la forma de onda de io(t) puede expresarse como una serie de Fourier; pero ésta sólo contendrá armónicas impares. El término constante es suprimido, estando presentes únicamente los términos senos y cosenos.

Luego:

..)7cos()5cos()3cos()cos(......

...)7()5()3()()(

''

7

''

5

''

3

''

1

'

7

'

5

'

3

'

1

tItItItI

tsenItsenItsenItsenIti

máxmáxmáxmáx

máxmáxmáxmáxo

...)7cos()5cos()3cos()cos(...

...)7()5()3()(2)(

''

7

''

5

''

3

''

1

'

7

'

5

'

3

'

1

tItItItI

tsenItsenItsenItsenIti

efefefef

efefefef

o

)()·()(

)cos()(

titVtP

tVtV

o

máx

...)7(cos)5(cos)3(cos)(cos...

...)cos()5()cos()3()cos()(2)(

2''

7

2''

5

2''

3

2''

1

'

5

'

3

'

1

tItItItI

ttsenIttsenIttsenIVtP

efefefef

efefef

máx

Representación matemática de io

La potencia promedio está dada por:

Solamente la componente I’’ef1cos(ωt) de io(t) contribuye a la potencia promedio,

ya que todos los demás términos son cero al evaluar la integral

La única componente de excitación que contribuye a la potencia es aquella que

esta en fase con el voltaje aplicado y tiene la misma frecuencia.

T

efef

T

Feprom dttIVT

dttPT

PP0

2''

10

cos211

Éste término es llamado componente de las pérdidas en el núcleo de la

corriente de excitación. Los términos restantes establecen el flujo y por lo tanto

constituyen la componente de magnetización de io(t). Entonces:

)()()( tititi mro

)cos(2)( ''

10 tIti ef

...)5cos()3cos(...

...)5()3()(2)(

''

5

''

3

'

5

'

3

'

1

tItI

tsenItsenItsenIti

efef

efefef

o

Representación vectorial de io

Φm

ir

im

io

E

...)(

...)3()(2)(

2'

5

2'

3

2'

1

'

3

'

1

efefefm

efefm

IIIti

tsenItsenIti

ef

No Iti %84)( )()()( tititi mro

)º90()cos()(

)()(

''''

'

tsenItIti

tsenIti

máxmáxm

máxr

Determinación práctica de io(t)

www.themegallery.com

P(Watt/Kg)

B

Bmáx

P1 P2

f1 f2

P1: Potencia específica W/Kg

G: Masa del núcleo

V: Tensión de diseño

s1: potencia reactiva específica

Luego:22

mro iii

V

GPir

·1

V

Gsim

·1

Circuito equivalente del reactor

V(t)

i0(t)

e(t)

(t)

g b

+

V(t)

-

im(t)

io(t)

ir(t)

g: conductancia de pérdidas

b: susceptancia de magnetización

Circuito equivalente del reactor considerando

resistencia en la bobina

V(t)

i0(t)

e(t)

(t)

g b

+

V(t)

-

im(t)

io(t)

ir(t)

Rb

g: conductancia de pérdidas

b: susceptancia de magnetización

Determinación de parámetros del circuito

de equivalente del reactor

www.themegallery.com

V(t)

i0(t)

e(t)

(t)

V

AW

g b

im(t)

io(t)

ir(t)

Rb

ioPfe

VV(t)

2

2

2

gV

ib

V

iY

jbgY

V

Pg

o

o

fe