unidad interes simple ecuaciones

8/16/2019 Unidad Interes Simple Ecuaciones

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Unidad 2. Interés simple e Interés compuesto


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.Definimos Capital Financiero como la medida de cualquier activo real o financiero

expresado por su cuantía y por su vencimiento o momento de disponibilidad.

De este modo podemos definir operación financiera como toda acción por la quese produceun intercambio de capitales de vencimientos no simultáneos.

Los elementos que intervienen en una operación financierason:

◦Prestación: Al conjunto de capitales que se compromete a entregar la persona queinicia la operación.

◦ Contraprestación: compromiso total que adquiere la persona que inicia la operaciónen calidad de deudor.

◦ Origen de la operación: Momento de tiempo en que vence el primer capital.

◦ Final de la operación: Se corresponde con el vencimiento del último de los capitales

que se intercambian.◦ Duración de la operación: Será el tiempo que media entre el origen y el final de la

operación.


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. Es preciso destacar que toda operación financiera lleva implícita la

existencia de una equivalencia entre el valor financiero de losintercambios, respecto de un punto de referencia.

La clasificación que nosotros utilizaremos para el estudio de lasoperaciones financieras proviene de la ley financiera que utilicemos parala valoración de los capitales:

Valoración de

capitales

Operaciones

financieras

simples.

Operaciones

financieras

compuestas.


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Son operaciones que utilizan leyes financieras compuestas, esdecir

acumulativas

, en las que losintereses se incorporan al

principal para el cálculo de los intereses del periodo siguiente.

Las operaciones que utilizan este tipo de

leyes financieras son:

Constitución

de capitales.

Amortización

o préstamo

de capitales.


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Como ya hemos dicho anteriormente estamos clasificando las operaciones

financieras atendiendo a las leyes financieras que utilizan (simples o

compuestas):La característica fundamental de la Capitalización Simple es: Los

intereses que se generan a lo largo de un período de tiempo dado no se

agregan al Capital para el cálculo de los intereses del siguiente periodo.

Una consecuencia elemental es que los intereses generados en cada uno de

los periodos iguales son también iguales.

En definitiva, la Ley de Capitalización Simple no es Acumulativa.

Llamamos Intereses a los rendimientos que produce un Capital. Estos serán

proporcionales al volumen del Capital, a la duración o vencimiento de la

inversión y al Tipo de Interés.


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La Capitalización simple se utiliza para operaciones con vencimientos

cercanos o de “corto plazo”. Repasemos sus elementos

fundamentales:

C0 = Capital inicial

n = número de períodos que dura la operación.

i = Tipo de interés anual, el rendimiento que se obtiene por cada

peseta invertida en un periodo, generalmente un año.

I = Interés total, la suma de los intereses de cada año o de cada

período.

Cn = Capital final. La suma del capital inicial más los intereses.


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. I = I1

+ I

2

+ I

3

… I

n

En régimen de Capitalización Simple el Interés total es la suma delos intereses de cada periodo y estos se calculan de la siguientemanera:

I1 = Co· i para el primer periodo I2 = Co· i para el segundo periodo I3 = Co· i para el tercer periodo

… ……… In = Co· i para el n periodo

Por lo tanto:I = C

o

· i + C

o

· i + C

o

· i + … + C

o

· i = C

o

· i· n

Si conocemos el valor de Cn y Co podemos obtener la cuantía de losinterés totales despejando de la fórmula C

n

= C

o

+ I, de tal forma que

los intereses totales serían igual a I=Cn

-C

o


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Llamamos así a la suma del capital inicial más los interesescorrespondientes a cada uno de los períodos, todos ellos iguales

entre sí, al final de un periodo de tiempo n.

C

n

= C

o

+ I

Ya hemos comprobado que el valor del interés total I = Co

· i· n,así que sustituyendo obtenemos:

Cn

= C

o

+ C

o

· i· n = C

o

(1+i·n)

Gracias a estas dos sencillas fórmulas el resto de los conceptosrelacionados con la capitalización simple son fácilmenteaccesibles.


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. Si a partir de la fórmula del Capital Final Cn = Co ( 1 + i n )despejamos Co obtendremos

=

1 +

y si lo hacemos a partir de la fórmula del interés total I = Co

1 n

obtendremos

=

Como hemos visto anteriormente Cn = Co + I. Por lotanto despejando Co:

Co

= C

n

- I


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Despejando "i" a partir de la fórmula del Capital final Cn = Co ( 1 + i n )

tenemos que:

=

Si lo despejamos partiendo de la fórmula del Interés totalI = C

o

in

obtenemos que

=


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. En esta ocasión tomando la fórmula del Capital final

= 1 +

despejando “ “ tendremos que:

= 1 + →

1 = → =

−

→ =

Si lo hacemos partiendo de la fórmula del interés total I = Co

in, despejando

n obtenemos lo siguiente expresión:

=


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. Matemáticamente, se trata de la operación inversa a la

capitalización simple.

Entendemos pues por interés anticipado (o de descuento),

aquella operación financiera consistente en la sustitución de

un Capital futuro por otro con vencimiento presente.


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Debemos insistir en que el tipo de interés (en la capitalización) y

eltipo de interés anticipado

(en el descuento)no son iguales

.

Responden al mismo principio financiero (valoración de capitales

en el tiempo) pero difieren

en cuanto almomento del tiempo en

que se hacen líquidos. (Para dejarlo más claro: uno al final y otro al

principio del periodo).

Con un Tipo de Interés del 10% no es lo mismo recibir 0.1 euro porcada euro invertido al principio que al final del periodo


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Sea ia el Tipo de Interés unitario anticipado para un capital

prestado de 10 euros; la cantidad recibida por el prestatario

será 10 - ia , y devolverá el valor del capital prestado al final

de un año de 10 euros.


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Denominemos de forma genérica Cn al capital prestado, que es

nominal del préstamo ya que es la cuantía que se devuelve al finaldel periodo de tiempo pactado n, y C0 a la cantidad recibida por elprestatario en el momento de concertar la operación, es decir, elefectivo del préstamo que se recibe.

C0 ( efectivo del préstamo ) será la diferencia entre el valor nominal

del préstamo y sus intereses. C0 = Cn - Cn · ia · n por lo tanto C0 = Cn ( 1 - ia · n )


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Para obtener la relación entre el Tipo de interés i ( pospagable,

rentabilidad ), y el Tipo de interés de descuento o anticipado ia

sustituimos el valor de C0 en la fórmula de Capitalización simple.

Cn = C0 ( 1 + i n) operando Cn = Cn ( 1 + ia n) ( 1 + i ·n )

despejando i :

=

−

despejando ia :

=

+


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Se llama interés simple ( I ) a laoperación financiera donde intervieneun

capital

( C

) , untiempo

predeterminado de pago (

t

) y unatasa

o razón ( i ) , para obtener un

cierto beneficio económico llamadointerés.

La fórmula principal es:

I= Cit


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Interés simple comercial:

360 días al año, 180 días al semestre, 90 días altrimestre, 30 días al mes (llamado también interésbancario)

Interés simple exacto: 365 días al año

Tabla o calculadora para las demás equivalencias.


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También conocido como monto.Se deduce de la suma entre elcapital y los intereses que segeneran durante determinado

período de tiempo:

M = C + I M = C + ( C.i.t)

Factorizando:

M= C (1+it)


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Datos:

I=

C= 10000 Euros

i= 3.5%= 0.035

t= 1 año

Para calcular el efectivo que habrá que pagar por la compra de un pagaré

de 10.000 euros de valor nominal con vencimiento dentro de un año, siel tipo de interés de descuento es del 3,5 % haremos lo siguiente:

C0 = Cn ( 1 - ia · n )

C0 = 10000 ( 1 –

3,5% · 1)

Recordar que 3.5% = 3.5/100=0.035, entonces

sustituimos:

C0= 1000(1-0.035)


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Datos:

I=

C= 10000 Eurosi= 3.5%= 0.035

t= 7 meses =210 días

En el caso de que el vencimiento del pagaré del ejemplo anterior fuera a

los 7 meses (210 días) el efectivo sería el siguiente: (respuesta: 9800euros aproximadamente)

C0 = 10000 (1 – (0.035 · 210/365))

C0 = 10000 (1 – (0.035 · 0.5753))

C0 = 10000 (1 – 0.02013699)


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Datos:

I= 1200

C= 300 000 Euros

i= 8%= 0.08t= ¿?

Un capital de 300 000 pesos invertido a una tasa de interés del 8% duranteun cierto tiempo, ha supuesto unos intereses de 1200 pesos.

¿Cuánto tiempo ha estado invertido?

Fórmula:

El tiempo que ha estado invertido es de

=

= 1 +

Verificamos que la variable a despejar es: t

=

()(. ) =

= .


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El interés compuesto esfundamental para entenderlas matemáticas financieras.

Con la aplicación del interéscompuesto obtenemosintereses sobre intereses,esto es la capitalización deldinero en el tiempo.

Su formula principal es:


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Valor presente ( P ) , corresponde a la cantidad de dinero que

se invierte o se presta ahora, a la tasa de interés ( i ) ydurante (

n

) periodos.

Tasa de interés periódica

( i

) , es la tasa que se obtienedurante cada periodo de conversión de los intereses a

capital.Periodos de conversión ( n ), tratándose de rendimientos

efectivos, n son los periodos de conversión durante loscuales se invierte o se presta

P

.

Valor futuro ( F ) , el valor futuro F, es la cantidad de dinero dela cual se dispone al final de la transacción. Equivale a unpago único futuro en n, equivalente a un pago únicopresente ahora.


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Tasa nominal: Es aquella que denota un crecimiento en el

monto de dinero, sin ajustar la moneda por inflación.

Tasa efectiva anual: Es cuando el interés se capitaliza en forma

semestral, trimestral o mensual, la cantidad efectivamente

pagada o ganada es mayor que si se compone en forma anual.

Tasa equivalente: Cuando dos tasas de interés anuales con

diferentes periodos de capitalización producen el mismo interés

compuesto al cabo de un año.


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Ejemplo 1. Determine la tasa efectiva anual de interés para una

tasa del 18% anual capitalizable mensualmente.

Datos: i = ? j = 18% m=12 periodos


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Ejemplo 2: determine una tasa nominal capitalizablemensualmente que genere el mismo monto que la tasaequivalente de 19.562% anual.

Datos: j = ?m = 12 periódosi = 19.562% =0.19562

j = 18

anual capitalizable mensualmente


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Monto compuesto: Es el total, el capital, incluyendo losinterés, capitalizables; dicho de otra forma es el capital más losintereses capitalizados.

Periodo de capitalización:

Es el intervalo de tiempo convenido.

Tasa de interés:

Son las que se pagan al final del periodo, las queteniendo diferente convertibilidad producen un mismo monto.

Valor presente:

es la suma que, colocada a interés compuesto hastasu vencimiento, se convertiría en una cantidad igual a aquél en la

época de pago. Comúnmente se conoce como el valor del Dinero enFunción del Tiempo.


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Ejemplo 1: Supongamos que se recibirán $10,000 después de un año. Si elcosto de oportunidad de los fondos es 8%, la pregunta es: ¿Qué suma dedinero de hoy llegará a ser igual a $10,000 después de 3 años con uninterés de 8%?

Sustituimos:


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Ejemplo 2:

Se invierte un capital de 1,000 a una tasa de interésefectiva del 8% semestral capitalizable durante dos años de forma

semestral, ¿Cuál será el monto compuesto al final de esos dos años?

Periodos Periodos Interés Interés en Monto final

a Reinvertir

1 1000 8 % 80 1080

2 1080 8 % 86.4 1166.4

3 1166.4 8 % 93.31 1259.71

4 1259.71 8 % 100.77 1360.48

M = 1000(1+0.08)

4

=$1360.48

M = C(1+i)n Datos:C= $1000

i= 0.08n (Debemos tomar en cuentaque es semestral capitalizableen dos años) por lo tanto:

n= 2x2= 4


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Ejemplo 3: Una persona obtiene un préstamo de $ 800 acordando

pagar el capital con interés de 6% convertible semestralmente.¿Cuánto debe al final de 8 años?

Datos

M = ?

C = 800

i = 0.06 / 2 = 0.03

n = 8 años x 2 semestres=16

Formula

M = C (1 + i)n

Sustituimos

M = C (1 + i)n

M = 800 (1 + 0.03)16 = 800 (1.60)

M = 1283.77 es el total de la deuda.

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