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Matemática FinancieraSegunda unidad:El interés simple

Ing. José Luis López

El interés simple

Valor del dinero en el tiempo.

¿Es lo mismo recibir $1,000,000 dentro de un año que recibirlos el día de hoy?

Lógicamente que no, por las siguientes razones:

� La inflación. Este fenómeno económico hace que el dinero día a día pierda poder adquisitivo, es decir, que el dinero se desvalorice. Dentro de un año se recibirá el mismo $1,000,000 pero con un menor poder de compra de bienes y servicios.

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� Se pierde la oportunidad de invertir el $1,000,000 en alguna actividad, logrando que no sólo se proteja de la inflación sino que también produzca una utilidad adicional. Este concepto es fundamental en finanzas y se conoce como costo de oportunidad.

� El costo de oportunidad es aquello que sacrificamos cuando tomamos una decisión.

� Cualquier persona por ejemplo, puede optar por descansar en lugar de trabajar. No se tiene que pagar por ello, pero en realidad si tiene un costo, que llamamos costo de oportunidad. Descansar significa emplear un tiempo que podría utilizarse en hacer otra cosa. El costo verdadero de este descanso será el valor que represente para esta persona las otras cosas que podría haber producido durante el tiempo que descanso

� Se asume el riesgo que quien deba entregar el $1,000,000 hoy, ya no esté en condiciones de

� hacerlo dentro de un año.

� El dinero es un bien económico que tiene la capacidad intrínseca de generar más dinero. Este hecho lo puede constatar cualquier persona, por ejemplo, cuando deposita algún dinero en una cuenta de ahorros en un banco y después de un tiempo lo retira, recibiendo una cantidad mayor a la que depositó.

� Por ese poder mágico de crecer, que el tiempo le proporciona al dinero, debemos pensar permanentemente que el tiempo es dinero.

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Ahora, si la opción que se tiene es recibir el $1,000,000 dentro de un año, se aceptaría solamente si se entregara una cantidad adicional que compense las razones anteriores. Este cambio en la cantidad de dinero en un tiempo determinado es lo que se llama valor del

dinero en el tiempo y se manifiesta a través del interés.

Una cantidad de dinero en el presente vale más

que la misma cantidad en el futuro.

Interés

Al analizar el concepto del valor del dinero en el tiempo se llega a la conclusión de que el uso del dinero, por las razones expuestas, no puede ser gratuito. Si aceptamos la opción de recibir $1,000,000 dentro de un año a no recibirlos el día de hoy, estamos aceptando que se use nuestro dinero y, por tal razón, se debe reconocer una cantidad adicional que llamamos valor del dinero en el tiempo.

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InterésLa medida de ese incremento del dinero en un tiempo determinado se llama interés.

Es decir que el interés es la medida del valor del dinero en el tiempo.

El interés es un arriendo pagado por un dinero tomado en préstamo durante un tiempo determinado.

Si se presta hoy una cantidad (P) y después de un tiempo determinado se recibe una cantidad mayor (F), la variación del valor del dinero de P a F se llama valor del dinero en el tiempo, y la diferencia entre F y P es el interés (I).

I = F - P

El vocablo interés viene del latín inter esse

(estar entre). Si al principio tenemos $500 y al final $550, lo que está en el medio $50 son los intereses.

El interés es tan antiguo como el hombre; en la Biblia se menciona el interés con otro nombre: usura, derivado del uso del dinero tomado en préstamo.

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Ejemplo

Si se depositan en una cuenta de ahorros $500,000 y después de 6 meses se tiene un saldo de $580,000, calcular el valor de los intereses.

I = F – P

I = $580,000 - $500,000

I = $ 80,000

El dinero depositado sufrió una variación al cabo de 6 meses de $80,000, éstos son los intereses ganados en este período.

Tasa de interésNo es común cuando se realiza una operación financiera, expresar el valor de los intereses recibidos en cifras monetarias, sino que se utiliza un indicador expresado como porcentaje que mide el valor de los intereses, llamado tasa de interés. La palabra tasa se deriva del verbo tasar que significa medir. Como expresión matemática la tasa de interés (i) es la relación entre lo que se recibe de intereses (I) y la cantidad prestada o invertida (P).

i = I / P

La tasa de interés se expresa en forma de porcentaje para un período de tiempo determinado.

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Ejemplo

Se deposita en una entidad financiera la suma de $1,000,000 y al cabo de un mes se retira $1,030,000. Calcular el valor de los intereses y la tasa de interés ganada.

P = $ 1,000,000

F = $ 1,030,000

La diferencia entre el valor futuro (F) y el valor presente (P) es el valor de los intereses (I):

I = F – P => I = 1,030,000 – 1,000,000 = $30,000

Ejemplo

La tasa del interés (i) es igual a la relación entre los intereses (I) y el valor depositado (P)

i = I / P = 30,000 / 1,000,000 = 0.03

La tasa de interés expresada como porcentaje, debe estar siempre acompañada del período de liquidación de los intereses, ya que por si sola no indica nada.

Es común la expresión “recibo sobre mi dinero un rendimiento del 20% anual, para indicar que me están pagando $20 anuales por cada $100 invertidos.

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Tasa de interés

Las tasas de interés activas son las tasas de interés que las instituciones bancarias cobran por los distintos tipos de crédito a los usuarios de los mismos.

Las tasas de interés pasivas son las tasas de interés que las instituciones bancarias pagan a los ahorradores o inversionistas.

Interés simpleEl interés es simple cuando se paga al final de un intervalo de tiempo previamente definido, sin que el capital varíe. Lo anterior significa que el interés no forma parte del capital originalmente prestado o invertido, es decir, los intereses no ganan intereses.

Se usa principalmente en inversiones y créditos a corto plazo, de un año o menos.

El interés simple se calcula mediante la fórmula:

I = P * i * n donde: P = principal o capital,

i = tasa de interés y n = tiempo

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Ejemplo

Rigoberto pidió prestado $12,000 a pagar en 4 meses. Si la tasa de interés es de 36% anual simple, ¿qué cantidad deberá pagar en concepto de interés? ¿cuál es el monto?

P = 12,000 i = 36% anual = 3% mensual y

n = 4meses, =>

I = P * i * n = 12,000 x 0.03 x 4 = $ 1,440

F = P + I = 12,000 + 1,440 = $ 13,440

El que se calcula sobre un capital que permanece

invariable o constante en el tiempo y el interés ganado

se acumula solo al termino de la transacción.

P= S/ 1,000 S= S/ 1,120

Ganancia ó Interés = Monto - Capital Inicial

Ganancia ó Interés = 1,120 - 1,000

Ganancia ó Interés = 120

4 8 120

n=12 meses

i =12% anual

Interés simpleInterés simple

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Ejemplo

Sofía compra un televisor que cuesta $3750 de contado. Da un anticipo de 10% del precio y acuerda pagar $3712.50 tres meses después. ¿Qué tasa de interés simple anual paga?

Solución: prima 10% de 3750 = $375

Saldo a pagar = 3750 – 375 = $3,375

Intereses = 3712.50 – 3375 = $337.50

I = P * i * n despejando i de la ecuación =>

i = I / (P*n) = 337.50 / (3375 *3) = 0.033333

i = 3.33% mensual i = 40% anual

Ejemplo:

¿en cuántos días un capital de $65,000 produce intereses de $7,000 si se invierte al 8.25% anual?

F = P + I = 65,000 + 7,000 = $72,000

F = P ( + i*n) despejando “n” de la ecuación se obtiene:

n =

F

P

- 1

i

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Sustituyendo en la fórmula, se obtiene:

n = ((72,000 / 65,000) -1 ) / (0.0825 / 360)

n = 0.107692 / 0.000229

n = 470 días

Ejemplo :

Cuánto debe invertirse el 13 de marzo al 12.72% para disponer de $23,000 el 7 de septiembre y de $36,000 el 23 de enero?

Solución:

0 n1 = 178 días

F1 F2P = ? 36,00023,000

Fecha focal

Tasa de interés: 12.72 % anual

P 2 = ?

7 de sept 23 de enero13 de marzo

n 2 = 138 días

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Solución:

F2 = P2 ( 1 + i*n2 )

P2 = F2 / ( 1 + i*n2 ) = 36,000 / (1+ (0.1272 / 360) * 138)

P2 = $34,326.25

F1 = P2 + 23,000 = 34,326.25 + 23,000 = $57,326.25

F1 = $57,326.25

P1 = F1 / ( 1 + i*n1 ) = 57,326.25 / (1 + (0.1272/360) * 178)

P1 = $53,934.15

Ejemplo:Patricia debe invertir $20,000 en dos bancos, de manera que sus ingresos totales por concepto de intereses sean de $120 al mes. Un banco paga 7.32% y el otro ofrece 2.32% cuatrimestral. ¿cuánto debe invertir en cada banco?

Solución:

P = $20,000 I = $120 / mes i1 = 7.32% anual i2 = 2.32% cuatrimestral

Sea x = cantidad a invertir en el banco1, por tanto, 20,000-x = cantidad a invertir en el banco 2

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X = X1 + x2 = 20,000

I = I1 + I2 = 120 por mes

I = P * i * n

120 = ( X1* (0.0732 / 12)*1) + ((20,000-X1)*(0.0232 / 4)*1)

120 = 0.0061X1 + 116 – 0.0058X1

120 – 116 = 0.0061 X1 – 0.0058 X1

4 = 0.0003X1

X1 = $13,333.33

X2 = $ 6,666.67