2 interes simple

INTERES SIMPLE

TEMA I. INTERES SIMPLE Y COMPUESTO

IntroducciónEl estudio de las Matemáticas Financieras es importante para todas aquellas personas que deseamos saber cuanto ganamos o cuanto perdemos en una inversión. El propósito primordial del estudio de esta asignatura es que podamos evaluar la equivalencia del valor del dinero en diferentes tiempos y en diferentes circunstancias de la manera más sencilla posible.

Básicamente el estudio de las Matemáticas Financieras se basa en dos métodos para realizar operaciones financieras y determinar el valor del dinero, los cuales nos facilitan el análisis del rendimiento financiero, estos métodos son: el Interés Simple y el Interés Compuesto. En el primero se parte del hecho de que solo el capital o principal produce intereses, en tanto que el segundo el principal y los intereses ganan intereses.

Los métodos mencionados no son equivalentes ni su uso es optativo por parte del inversionista o analista financiero. Existe un uso adecuado de acuerdo a una circunstancia particular. Por ejemplo, usamos el Interés Simple, si deseamos saber los ingresos de un determinado capital invertido para un periodo de 3 años a través de un bono que paga intereses mensualmente (cupón) a una cierta tasa de interés y no se capitalizan los intereses. Por el contrario, usamos el Interés Compuesto si deseamos saber el monto que se tendrá al final de 2 años, de una cantidad de dinero invertida periódicamente y consecutivamente, cuyos intereses se capitalizan por periodo.

Cuando disponemos de una cantidad de dinero podemos destinarlo, o bien a gastarlo –satisfaciendo alguna necesidad –, o bien a invertirlo para recuperarlo en un futuro más o menos próximo, según se acuerde. De la misma manera que estamos dispuestos a gastarlo para satisfacer una necesidad, estaremos dispuestos a invertir siempre y cuando la compensación económica nos resulte atractiva. En este sentido el principio básico de la preferencia de liquidez establece que a igualdad de cantidad los bienes más cercanos en el tiempo son preferidos a los disponibles en momentos más lejanos. La razón es el sacrificio del consumo.

Este aprecio de la liquidez es subjetivo pero el mercado de dinero le asigna un valor objetivo fijando un precio por la financiación que se llama interés. El interés se puede definir como la retribución por el aplazamiento en el tiempo del consumo, esto es, el precio por el alquiler o uso del dinero durante un período de tiempo.

Esta compensación económica se exige, entre otras, por tres razones básicas:

Matemática Financiera I. Noel Reyes Alvarado.1

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1. Por el riesgo que se asume.

2. Por la falta de disponibilidad que supone desprenderse del dinero o capital durante un tiempo.

3. Por la depreciación del valor del dinero en el tiempo.

La cuantificación de esa compensación económica, de los intereses, depende de tres variables, a saber:

1 La cantidad del capital invertido,

2 El tiempo que dura la operación, y

3 La tasa de interés al que se acuerda la operación.

El capital financiero es una cantidad P de unidades monetarias asociada a un momento determinado de tiempo n.

En una operación financiera no tiene sentido hablar de capitales iguales (aquellos en los que coinciden cuantías y vencimientos), sino que siempre estaremos refiriéndonos a capitales equivalentes, cuya definición se dará más adelante, si bien se adelanta la idea de que hay equivalencia entre dos capitales cuando a su propietario le resulta indiferente una situación u otra. Es decir, si a usted le resulta indiferente cobrar hoy $1,000 a cobrar $1,100 dentro de un año, entonces diremos que ambos capitales $1,000 y $1,100 son equivalentes.

Diremos entonces que, dos capitales cualesquiera, P1 con vencimiento en n1 y P2

con vencimiento en n2, son equivalentes cuando se está de acuerdo en intercambiar uno por otro.

El concepto de equivalencia no significa que no haya ganancia o costo en la operación. Todo lo contrario, la equivalencia permite cuantificar ese beneficio o pérdida que estamos dispuestos a asumir en una operación concreta.

Para efectuar una operación financiera es necesario que a las personas que intervienen, las cantidades de dinero que dan y reciben les resulten equivalentes. Es necesario que deudor y acreedor se pongan de acuerdo en cuantificar los capitales de los que se parte y a los que finalmente se llega. Esto implica elegir un método matemático (Simple o Compuesto) que permita dicha sustitución: una ley financiera. La ley financiera se define como un modelo matemático (una fórmula) para cuantificar los intereses por el aplazamiento y/o anticipación de un capital en el tiempo.


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Conociendo las diferentes leyes financieras que existen y cómo funcionan se podrán sustituir unos capitales por otros, pudiéndose formalizar las diferentes operaciones financieras.

A. CONCEPTOS BASICOS

Objetivos

Al finalizar el estudio de los conceptos básicos seremos capaces de:

a) Explicar el objeto de estudio de las matemáticas financieras.

b) Describir el campo de aplicación de las matemáticas financieras.

c) Analizar y explicar el concepto de operación financiera.

d) Explicar con un ejemplo el proceso de inversión.

e) Analizar el concepto de valor cronológico del dinero.

f) Conocer y explicar en que consiste un flujo de caja y elaborar el diagrama del flujo de caja.

g) Explicar los conceptos y establecer la diferencia entre tasas de interés e interés devengado.

1. Las matemáticas financieras y su aplicación

Las Matemáticas Financieras son un conjunto de técnicas y procedimientos de carácter cuantitativo que nos sirven para calcular la equivalencia del valor del dinero en cualquier momento. La medición del valor del dinero nos ayuda a tomar decisiones financieras, es decir; para valorar el premio de prescindir por cierto tiempo, a cierta tasa de interés, de un determinado capital.

Las Matemáticas Financieras se ven involucradas en todas las actividades económicas donde pretendamos obtener una ganancia; particularmente la usamos en la medición del rendimiento del dinero invertido, porque a fin de cuentas es lo que está en juego, es decir; si perdemos o ganamos. Los campos de mayor aplicación son el Mercado Financiero y el Mercado de Valores que es donde se oferta y demanda dinero a un precio que está determinado por la libre competencia.


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Para medir el valor del dinero en una inversión a parte de los elementos cuantitativos, es importante que tengamos en cuenta las condiciones políticas, sociales, micro y macroeconómicas del escenario donde se invierte para analizar el riesgo. Por eso, es necesario que examinemos algunos elementos relacionados con el entorno de las empresas o entes ejecutores de las inversiones.

2. Operación financiera Una operación financiera es la sustitución de uno o más capitales por otro u otros equivalentes en distintos momentos de tiempo, mediante la aplicación de una ley financiera. Cualquier operación financiera se reduce a un conjunto de flujos de caja (cobros y pagos) de signo opuesto y distintas cantidades que se suceden en el tiempo. Así, por ejemplo, la concesión de un préstamo por parte de una entidad bancaria a un cliente supone para este último un cobro inicial (el importe del préstamo) y unos pagos periódicos (las cuotas) durante el tiempo que dure la operación. Por parte del banco, la operación implica un pago inicial único y unos cobros periódicos.

La realización de una operación financiera implica, por tanto, que se cumplan tres elementos importantes:

1. Sustitución de capitales . Debe existir un intercambio de un o unos capital (es) por otro u otros.

2. Equivalencia . Los capitales han de ser equivalentes, es decir, debe resultar de la aplicación de una ley financiera.

3. Aplicación de una ley financiera . Debe existir acuerdo sobre la forma de determinar el importe de todos y cada uno de los capitales que compongan la operación, resultado de la consideración de los intereses generados.

3. Proceso de inversiónUna inversión es el aplazamiento del consumo actual de ciertos recursos financieros (capitales), con el objetivo de obtener un mayor consumo real en el futuro. La diferencia entre el consumo futuro y actual divido por el consumo actual, es lo que conocemos como el porcentaje de rentabilidad del inversionista. Por ejemplo, si hoy tenemos $100 disponibles se nos presentan dos opciones: la primera, es el consumo de los $100 comprando 5 unidades con un costo de $20 cada una, en este caso no hay rentabilidad. La segunda opción es invertir los $100 a plazo de un año con una tasa de interés del 25%, esto indica que al final del plazo tendremos $125. Si las unidades de consumo después de un año no han aumentado de precio por que no hay inflación en el ambiente, se mantendrán en $20; entonces podremos comprar 6.25 unidades, generando una rentabilidad del

25% de lo invertido. Esto lo podemos apreciar en el siguiente cálculo de la rentabilidad i:


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4. El valor cronológico del dinero

A menudo decimos que el dinero produce dinero. Esta aseveración es realmente verdadera, si nosotros elegimos invertir dinero hoy, ya sea en un banco o en una corporación de ahorro y préstamo, mañana habremos acumulado más dinero que el que hemos invertido originalmente. Este cambio en la cantidad de dinero durante un período de tiempo es lo que se conoce como el valor cronológico del dinero. Este concepto es el más importante en el estudio de las Matemáticas Financieras. También debemos notar, que si una persona o empresa pide hoy dinero prestado, mañana tendrá que pagar una cantidad mayor, debido al valor del dinero en el tiempo.

El valor cronológico del dinero podemos verlo desde el punto de vista del valor real, o sea; poder adquisitivo. A como lo veremos más adelante, el valor del dinero puede cambiar a través del tiempo, no solamente debido al efecto de una tasa de interés, sino también por efecto de la tasa de variación monetaria (devaluación) y la tasa de inflación.

5. Flujos de cajaLas personas y empresas tienen ingresos de dinero, (rentas) y pagos de dinero (costos) que ocurren particularmente en cada período de tiempo dado. Estos valores que constituyen ingresos y egresos que se producen periódicamente en el tiempo, se denominan flujos de caja. Para simplificar, suponemos que todos los flujos de caja ocurren al final de cada período. Esto es lo que se conoce como “convención fin de período” de lo contrario debemos especificar.

Por ejemplo, todos los ingresos y egresos que se producen de forma anual en la actividad económica de una empresa para efectos del análisis financiero, se registran al final de cada año en el flujo de caja o diagrama tiempo valor, independientemente que dichos flujos se produzcan en otro momento.

Los flujos de caja se caracterizan por su signo, positivo si es un ingreso y negativo si es un egreso o desembolso. En cualquier periodo el flujo de caja podremos representarlo como:


Flujo de Caja Neto = Ingresos – Egresos

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a. Flujos de caja positivos Estos representan todas las entradas de dinero de la empresa independientemente del origen de donde provengan. En el diagrama tiempo valor, los flujos positivos los señalamos con una flecha hacia arriba. Gráfico 1.1 (escala dada en años)

b. Flujos de caja negativos Estos representan todas las salidas o egresos de dinero de la empresa independientemente del concepto que los origine. En el diagrama tiempo valor, los flujos positivos los señalamos con una flecha hacia abajo. Gráfico 1.2 (escala dada en años)

Flujo positivo

$700 $900 $600 $600

0 1 2 3 4 Años Gráfico 1.1Flujo negativo

0 1 2 3 4 Años

400 300 500 550 700

Gráfico 1.2

En adelante, la simbología que utilizaremos para representar los flujos de dinero será (C$) para córdobas y ($) para dólares. Para efectos de simplicidad no pondremos en los gráficos o diagramas de tiempo valor, el símbolo de la unidad monetaria. Solamente usaremos el símbolo cuando abordemos casos específicos.

Para ilustrar mejor los flujos de caja, supongamos que un ganadero recurre a un banco y le presta $50,000 para la inversión en su finca de ganado. El préstamo es a plazo de 6 meses y al final del mismo el ganadero devolverá al banco un monto de $56,250 en concepto de pago de capital más intereses. En este caso el banco registra un flujo negativo en el momento del desembolso del préstamo en el mes cero y la administración de la finca registra un flujo de dinero positivo. Al final del plazo en el mes 6, el banco registra un flujo positivo producto del ingreso por el


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pago que recibe del préstamo. En cambio, la administración de la finca registra un flujo negativo dado que desembolsa dinero para la cancelación del crédito. Esto lo podemos apreciar en el gráfico 1.3. desde el punto de vista del banco.

56,250

0 1 2 3 4 5 6 Meses

Gráfico 1.3

50,000

6. Diagrama de flujo de cajaEl diagrama del flujo de caja es la representación gráfica de un flujo de dinero en una escala de tiempo (Ver gráficos 1.1, 1.2 y 1.3). El diagrama representa el planteamiento del problema y muestra los valores dados y los que debemos encontrar, es decir; es un instrumento visual para el análisis financiero y nos facilita resolver el problema mirando únicamente el dibujo del diagrama del flujo. Podemos asegurar que el éxito para la resolución de un problema de Matemáticas Financieras, depende de gran manera de la construcción del diagrama de flujo de caja. Los diagramas de flujos de caja 1.4 y 1.5 representan los ingresos y egresos netos de un proyecto de inversión. 9,000 8,000 7,000 6,000 5,000

0 1 2 3 4 5 Años

Gráfico 1.4

20,000

En el diagrama del flujo de caja, la fecha 0 (cero) es el momento actual (hoy. La fecha 1, es el final del período 1. La fecha 2, es el final del período 2. La fecha 3, es el final del período 3 y así sucesivamente hasta el final del periodo de interés n. El final del periodo n es el vencimiento. En vista de que asumimos que el flujo de dinero ocurre al final de cada período (salvo cuando se estipule lo contrario),


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solamente debemos considerar las fechas marcadas con 0, 1, 2, 3, . . ., n para registrar los flujos en el diagrama.

9,000 8,000 7,000 6,000 5,000

0 1 2 3 4 5 Años

Gráfico 1.5

20,000

Analicemos en particular los períodos 2 y 5 de la escala del gráfico 1.5:

1 2 4 5 Periodo 2 Periodo 5

Reafirmamos que la dirección de las flechas en el diagrama de los flujos de caja es importante para la solución del problema. Utilizaremos flechas hacia arriba para indicar un flujo positivo (ingreso) y flecha hacia abajo para indicar un flujo negativo (egreso)

20,000

20,000 Flujo positivo Flujo negativo


Inicio período 2 Final período 2 Inicio período 5 Final período 5

INTERES SIMPLE

Los flujos de cajas los podemos presentar de dos formas: diagrama o gráfico (ver gráficos 1.4 y 1.5) y tabular (ver tablas 1.2 y 1.3)

Año 0 1 2 3 4 5Flujo Neto (20,000) 5,000 6,000 7,000 8,000 9,000

Tabla 1.1Muestra el flujo del diagrama 1.4

Año 0 1 2 3 4 5Flujo Neto (20,000) 9,000 8,000 7,000 6,000 5,000

Tabla 1.2Muestra el flujo del diagrama 1.5

Ejemplo 1.1Una empresa invierte en una máquina $12,000 que se estima tendrá una vida útil de 6 años. Los ingresos anuales serán de $5,000 y los costos de operación y mantenimiento serán de $1,200 para el primer año y se espera que estos costos aumenten en $300 por año a partir del año 2. La máquina al final de la vida útil tendrá un valor de rescate de $3,000. Elaboremos el flujo de caja en forma tabular y en diagrama.

SoluciónPrimero hagamos una tabla reflejando los ingresos y egresos de la actividad económica por año para deducir el flujo neto. (Ver tabla 1.3). Observe que en el año 6 el ingreso es de $8,000 esto es debido a la venta de la máquina por $3,000 .

Año 0 1 2 3 4 5 6Ingreso 000 5,000 5,000 5,000 5,000 5,000 8,000Egreso 12,000 1,200 1,500 1,800 2,100 2,400 2,700Flujo Neto (12,000

)3,800 3,500 3,200 2,900 2,600 5,300

Tabla 1.3

En el diagrama 1.6 se muestra el flujo de caja neto. 5,300 3,800 3,500 3,200 2,900 2,600

0 1 2 3 4 5 6 Años


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12,000 Gráfico 1.6

7. Tasa de interés

Para comprender el concepto de tasa de interés analizaremos el siguiente ejemplo.

Ejemplo1.2

a. Suponga que usted acude a un banco y solicita un préstamo por el cual le cobra como rédito $20 anual, por cada $100 unidades monetarias prestadas, entonces la tasa de interés i anual es la razón:

b. SI una cuenta de ahorros devenga un interés de $3 en cada trimestre por cada $100 ahorrados, entonces la tasa de interés i por trimestre es:

c. Por un préstamo bancario pagamos $1.5 mensual por cada $100 unidades que tenemos en saldo, entonces la tasa de interés i mensual es:

Del ejemplo anterior, inferimos que “la tasa de interés tanto por ciento la definimos como la razón que se establece entre el número de unidades monetarias pagadas como rédito, en un período de tiempo dado, por cada cien unidades monetarias de la suma prestada o ahorrada” 1

En este texto utilizaremos la notación en porcentaje para referirnos a la tasa de interés, sin multiplicar por cien el número que resulta de la operación, por ejemplo podemos decir el porcentaje de la siguiente manera.

1 Justin More Manual de Matemáticas Financiera


INTERES SIMPLE

8. Interés

El interés es la cantidad convenida que pagamos por el uso del dinero en calidad de préstamo o ahorro. La evidencia del valor del dinero en el tiempo se llama interés, y es una medida del incremento entre la suma de dinero prestada o invertida y la cantidad final debida o acumulada.

El uso del capital no es gratuito y el concepto de interés surge precisamente de esto, en la actualidad los bancos, las entidades financieras y las personas no están dispuestas a facilitar ninguna cantidad de dinero, sin tener en cuenta cierto margen de ganancia o utilidad; todo esto originado por el concepto de rentabilidad que se mide por el aumento del valor cronológico del dinero.

El Interés acumulado o devengado es la cantidad de dinero generado al final de cierto período de tiempo por efecto del préstamo o ahorro, lo podemos calcular con el método de Interés Simple o Compuesto. Este interés depende de los factores siguientes:

Otros conceptos importantes utilizados en matemáticas financieras, son los que vamos a definir a continuación:

El capital. El capital es la suma de dinero que prestamos o que ahorramos en el momento de realizar una inversión. También al capital le podemos llamar principal, por eso, en este texto usaremos indistintamente la palabra capital o principal.

El tiempo. El tiempo es la duración del lapso para el que se calcula el interés y lo podemos establecer por períodos tales como: anual, semestral, trimestral, bimensual, mensual, y diario. El tiempo medido en año comercial tiene 360 días y cada mes 30 días. Cuando el tiempo es medido en año exacto éste consta de 365 días y 366 si es bisiesto.


La cantidad de dinero prestada o ahorrada Del plazo del préstamo o depósito De la tasa de interés pactada o establecida De la forma de capitalizar intereses De la forma de pagar intereses: anticipados o vencidos

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B. INTERES SIMPLE

Objetivos

Al finalizar el estudio de este capítulo seremos capaces de:

a) Explicar los conceptos básicos de interés simple, plazo, capital, valor actual y monto

b) Construir a partir de problemas concretos, expresiones matemáticas para determinar interés simple

c) Resolver problemas de cálculo de valor presente, valor futuro, tasa de interés y plazo a interés simple

d) Plantear y resolver correctamente situaciones de equivalencias financieras para modificar sistemas de pagos a través de las ecuaciones de valor

e) Establecer y explicar la diferencia entre descuento bancario , racional y comercial

f) Liquidar deudas con interés sobre saldos a través de pagos parciales

g) Aplicar el descuento bancario para calcular el valor de la inversión en un título-valor

h) Determinar la tasa de rentabilidad anualizada de inversiones con descuento bancario

1. Interés simpleEl interés simple es un método de cálculo financiero donde el capital invertido no sufre ninguna variación en el tiempo que dura la transacción, es decir la tasa de interés se aplica solamente al principal inicial en base el tiempo estipulado. El interés simple está dado por la fórmula 1.1.

El capital P al final de cada período es el mismo, los intereses generados en cada período son improductivos. De esta forma, la evolución del interés devengado en cada período es el siguiente:

Periodo 1: I1 = P i

Período 2: I2 = P i + P i = P (i + i) = P2i = P i 2


INTERES SIMPLE

Período 3: I3 = P i + P i + P i = P (i +i + i) = P3 i = P i 3

Período 4: I4 = P i + P i + P i + P i = P (i +i + i + i) = P 4 i = P i 4

… … … …

Período n: In = P i + P i + P i + P i … = P (i +i + i + i…) = P n i = P i n

De esta manera, el interés simple para n periodos está dado por la fórmula 1.1.

Las variables de la fórmula 1.1 las podemos definir:

Para el uso correcto de la fórmula (1.1) es necesario que las variables relacionadas con el plazo ( n ) y la tasa de interés ( i ) estén definidas en el mismo período de tiempo. En los ejemplos de la tabla 1.5 se muestra esta situación.

Caso Plazo Tasa de interés Conversión 1 n = 1 trimestre i = 4 % trimestral 4/100 = 0.04 2 n = 5 Años i = 18% anual 18/100 = 0.18 3 n = 10 meses i = 2% mensual 2/100 = 0.02 4 n = 6 meses i = 20% anual 20/100 = 0.20

Tabla 1.5

En el caso 4) para usar la fórmula (1.1) debemos convertir 6 meses a 0.5 años o bien 20% anual a 1.6667% mensual. Es decir 6/12 es 0.5 años o bien 0.20/12 es 0.016667 interés por mes. Ver ejemplos 1.1, 1.2 y 1.3.

Si la tasa de interés ( i ) está definida en año y el plazo (n) en días, usaremos el factor n/360; si ( n ) está dado en meses usaremos n/12.


I : Interés acumulado o devengado P : Principal (cantidad prestada o ahorrada) i : Tasa de interés del periodo (día, mes, trimestre, semestre, año. n : Plazo o número de periodos (día, mes, trimestre, semestre, año.

INTERES SIMPLE

Cuando el plazo está determinado de una fecha a otra, utilizaremos todos los días efectivos entre las fechas respectivas y se dividen por 360 para convertirlo a año comercial, de esta forma anualizamos el plazo. Por ejemplo, si el plazo de una operación financiera va del día 12 de mayo al 26 de octubre del mismo año, el plazo en año comercial lo podemos determinar por.

Observemos que el número de días efectivos entre el 12 de mayo y el 26 de octubre es de 167. Constate el número de días consultando la tabla

Transformemos el plazo en año comercial de una operación financiera que inicia el 16 de marzo de 2001 y finaliza el 26 de mayo de 2002. En este caso, el número de días efectivos comprendidos entre las fechas indicadas es de 436, por tanto tenemos;

a. Interés simple comercial u ordinario

El interés calculado sobre la base del año comercial que tiene 360 días, y cada mes 30 días, se le llama interés simple comercial u ordinario, es decir:

Este cálculo incide en la variación de la fecha de vencimiento de un préstamo, ya que no coincide exactamente con la fecha formalización. Así por ejemplo, un préstamo que se otorgó el 15 de enero de 2001 a plazo de un año, no necesariamente vence el 15 de enero de 2002, sino que vence el día 10 de enero debido a que se utiliza el año comercial compuesto de 360 días. Este es el sistema utilizado comúnmente por las instituciones que trabajan con crédito. El interés calculado sobre la base anual de 360 días se conoce en la práctica comercial como interés bancario.

b. Interés simple exacto


INTERES SIMPLE

El interés calculado sobre la base de 365 días le llamamos interés exacto. Por otra parte, el tiempo lo podemos calcular de manera exacta y de manera aproximada, por consiguiente para determinar el interés, las dos partes involucradas deudor y acreedor deben ponerse de acuerdo respecto al procedimiento que se utilizará.

Ejemplo 1.1Calculemos el interés que devenga un depósito de $25,000 en un banco a una tasa de interés simple del 20% a plazo fijo de 10 meses.

SoluciónDatos: P = $25,000, n = 10/12 = 0.83333 año, i = 20% = 20/100 anual.

Por la fórmula (1.1) resulta:

Ejemplo 1.2El Sr. Adán Pulido planea solicitar un préstamo de $180,000 a 18 meses de plazo a una tasa de interés simple del 30%. Calcular la cantidad que pagará en concepto de interés al final del plazo.

SoluciónDatos: P = $180,000, n = 18/12 años, i = 0.30 años.

El resultado es el mismo si hacemos i = 0.30/12 = 0.025 por mes , n = 18 meses, o sea:

Ejemplo 1.3Calculemos el valor de los intereses que devenga un pagaré de valor nominal $50,000 a plazo de 270 días, con una tasa de interés del 0.95% mensual.


INTERES SIMPLE

SoluciónDatos: P = $50,000, n = 270/360 = 0.75 años, i = 0.0095(12) = 0.114 anual, Por la fórmula 1.1 tenesmos:

También resulta lo mismo si hacemos la variante:

n = 270/30 = 9 meses , i = 0.0095 mensual; nuevamente:

c. Plazo con interés simple

De la fórmula (1.1) podemos calcular el plazo de las inversiones, según conozcamos el valor de las otras 3 de la siguiente forma.

Plazo en días

Plazo en años comerciales

Ejemplo 1.4Si una persona invierte el día 12 de febrero de 2007 la cantidad de $4,000 al 5% de interés semestral. Calcule la fecha de vencimiento, si el interés devengado es de $200.


INTERES SIMPLE

SoluciónDatos: P = $4,000, n = ?, i = 0.05(2) = 0.10 anual. Por la fórmula (1.4) tenemos:

La fecha de vencimiento será 180 días después de hincada la operación financiera, o sea, el día 11 de agosto siguiente.

d. Valor del principal o capital

El valor del principal invertido con interés simple en una fecha, lo podemos calcular de la siguiente manera:

El plazo está dado en días

El plazo está dado en años comerciales

Ejemplo 1.5Calculemos el principal el día 28 de enero, si el día 25 de octubre del mismo año gana un interés de $900.00 a una interés del 3% trimestral simple.

SoluciónDatos: P = ?, n = 270 días, i = 0.03(4) = 0.12 anual. Por la fórmula (1.6) obtenemos el principal invertido.

De esta manera el valor invertido el día 28 de enero es de $10,000.


INTERES SIMPLE

e. Equivalencias de sumas de dineroEn el cálculo financiero, diferentes sumas de dinero se dice que son equivalentes si tienen el mismo valor económico, esto quiere decir “el valor del dinero en el tiempo” utilizando conjuntamente una tasa de interés. El análisis del ejemplo 1.4 nos ayudará a comprender mejor este concepto.

Ejemplo 1.6

a. Si la tasa de interés es el 25% anual, €100.00 euros de hoy son equivalentes a € 100.00 + € 25.00 = € 125.00 dentro de un año y viceversa.

b. Si nosotros debemos pagar $1,300 dólares dentro de un año, equivale a que paguemos $1,000 dólares el día de hoy, si utilizamos una tasa de interés del 30%. Esto quiere decir, que con interés de $1,000 de hoy son equivalentes a $1,300 dentro de un año y viceversa.

2. Clasificación de las tasas de interés

Como lo definimos anteriormente, la tasa de interés es la razón del rédito devengado respecto al capital inicial invertido. En otras palabras, es la cantidad porcentual que si la multiplicamos por el capital inicial, obtenemos como resultado el interés generado.

La determinación de la tasa de interés efectiva o verdadera de un préstamo, depende de lo que se haya convenido y el método con que el acreedor cargue el interés, si este se paga al vencimiento del préstamo, la tasa convenida es la efectiva. “Las tasas de interés bancarias presentan tres resultados: Interés Compuesto Ordinario, Interés Descontado e Interés a plazo”2.

Las tasas de interés se dividen en dos categorías:

a. Tasa de interés activa. La tasa de interés activa es la cobrada por los bancos y las instituciones financieras en la colocación de dinero, o sea; en el otorgamiento de préstamos a las personas naturales y jurídicas para el financiamiento de las actividades económicas. Las tasas de interés corriente y moratorias son tasas activas.

b. Tasa de interés pasiva. La tasa de interés pasiva es la pagada por los bancos y las instituciones financieras a los ahorrantes, en la captación de dinero (ahorros en sus diversas formas). La tasa pasiva constituye una tasa de interés de rendimiento baja para los ahorrantes, ya que el ahorro es una inversión de bajo riesgo.

2 Lincoyán Portuz. Matemáticas Financieras, McGraw-Hill, 3ra. Ed., México, 1990.


INTERES SIMPLE

Por naturaleza, las tasas de interés activas son mayores que las pasivas, ya que parte de la diferencia constituye la rentabilidad del mercado financiero. En el mercado financiero Nicaragüense, las tasas activas y pasivas están determinadas según la oferta y demanda de dinero, así como el índice de riesgo país para las inversiones y otros factores como la estabilidad política y social. Estas tasas de interés están definidas para moneda nacional (córdobas) y para moneda extranjera (dólar) de los Estados Unidos.

En Nicaragua, al cierre del mes de diciembre de 2001, según informe del Banco Central, el índice promedio de las tasas de interés pasivas y activas en el Sistema Financiero Nacional, a un año de plazo estaba:

Moneda Tasa pasiva Tasa activaNacional (Córdoba) 12.40 % 17.10%Extranjera (Dólar) 8.55% 17.38%

c. Rédito y Tasa de rentabilidad a interés simple Se entiende por rédito (r) el rendimiento generado por un capital P. Se puede expresar en tanto por cien (%), y no se toma en cuenta el tiempo:

Si en el momento 0 disponemos de un capital P y éste se convierte en un capital F en un determinado momento 1, donde I es el interés y F = P + I entonces, el rédito de la operación será:

La tasa de rentabilidad ( i ) o rendimiento es el porcentaje de utilidad obtenido o que se espera obtener de una determinada inversión durante un periodo de tiempo n. La tasa de rentabilidad ( i ) responde a la pregunta de cuánto ganaremos o perderemos en relación a la inversión efectuada.

Por tanto, la tasa de rentabilidad ( i ) la podemos calcular tomando en cuenta el rédito ( r ), de la siguiente manera:

Si el plazo de la operación financiera está dado en días (DV : días vencidos) podemos utilizar el factor comercial, y determinar la rentabilidad ( i ) anual :


INTERES SIMPLE

Así, el rendimiento anualizado a interés simple de una inversión cuando el plazo dado en días

La tasa de rendimiento descrita anteriormente tiene aplicación en el mercado bursátil de Nicaragua y facilita seleccionar la mejor alternativa de inversión en la transacción financiera con títulos valores, sobre todo aquellos títulos que se venden con descuento bancario.

Ejemplo 1.7Hoy el señor Pérez, invierte la cantidad de 100,000 euros y dentro de 2.5 años espera obtener 127,5000 ¿Cuál será el rédito y la tasa de rentabilidad anual esperada del Sr. Pérez?

SoluciónLa ganancia o interés lo definimos como: I = F – P = Ingreso – Egreso. En este caso la ganancia del señor Pérez es: 127,500 – 100,000 = 27,500. Así, la inversión generará un rédito de 27.5%, como se puede apreciar por 1.8:

La rentabilidad anual esperada por 1.10 será:

La operación anterior la podemos visualizar en un diagrama de flujos de caja o de fondos. (gráfico 1.4)

100,000 27,500

0 2.5 Año Gráfico 1.4


INTERES SIMPLE

100,000

d. Tasa de interés por mora

En los contratos de pago de obligaciones financieras se establece una tasa de interés adicional a la corriente. Esta tasa adicional se denomina tasa de interés por mora o simplemente tasa de interés moratoria y se entiende como el porcentaje de recargo por el incumplimiento de pago en la fecha programada o establecida. Generalmente, el interés por mora se calcula de acuerdo al tiempo transcurrido posterior a la fecha de vencimiento del pago de la cuota.

Si la cancelación del pago o cuota se retrasa, el interés por mora lo calculamos tomando en cuenta únicamente el principal de la cuota vencida, durante el tiempo de mora del pago.

Para calcular el interés por mora a través del método de Interés Simple, usamos la fórmula (1.11) que se deriva de la fórmula (1.1).

El retraso de la cancelación de la cuota, conlleva el ajuste del interés corriente aplicado al último saldo de la deuda en el período retrasado. Este ajuste puede ser cobrado junto a la cuota retrasada o bien en la fecha de la próxima cuota, cuyo interés corriente debe ser también ajustado conforme al tiempo que transcurre entre el pago de la cuota retrasada y la fecha programada de la próxima. Este cálculo lo realizamos de acuerdo a la fórmula (1.12)

Donde:


Imo = Interés por mora Ica = Interés corriente ajustado

Pcv = Principal de la cuota retrasada Sa= Saldo anterior a la cuota vencida ic = Tasa de interés corriente pactada im = Tasa de interés moratoria tm = Tiempo de mora de la cuota.

INTERES SIMPLE

Comentario: en la práctica bancaria, el cálculo de los intereses por mora, se efectúan en base a una situación contractual (acreedor – deudor), por eso es importante que el prestatario se entere al momento de contraer una obligación financiera, el procedimiento que utiliza el prestamista para calcular dichos intereses.

Ejemplo 1.8Una empresa está amortizando o pagando una deuda a un banco y paga al final de cada mes una cuota de valor C$17,666.67 la cual está vencida y tiene 20 días de mora. El principal de la cuota es de C$15,000 y los intereses corrientes del mes son de C$2,666.67. El último saldo es de C$45,000. La tasa de interés corriente sobre el préstamo es del 32% anual sobre saldos y la tasa de interés moratoria es del 15% anual. ¿Qué cantidad deberá pagar la empresa para ponerse al corriente?

Datos Pcv = C$15,000 :principal de la cuotaic = 32% :tasa de interés corrienteim = 15% :tasa de interés por moratm = 20 :días de mora de la cuota Sa= C$45,000 :último saldo de la deuda

SoluciónAplicando la fórmula 1.11 calculamos el interés por mora durante 20 días.

El ajuste del interés corriente lo calculamos mediante la fórmula 1.12, esto es:

De esta manera, el total a pagar con mora se detalla a continuación: C$15,000.00 principal de la cuota C$ 2,666.67 intereses corrientes de la cuota en mora C$ 125.00 intereses por mora durante 20 días C$ 800.00 ajuste de intereses corrientes por 20 días

C$18,591.67 Pago total


INTERES SIMPLE

Ejemplo 1.9Un préstamo de $5,000 con interés corriente del 20% y por mora de 18% fue otorgado el día 10 de enero, con vencimiento hasta el día 12 de septiembre del mismo año. El compromiso del crédito era cancelar principal e intereses en la fecha de vencimiento. Si el deudor pagó la obligación hasta el día 9 de octubre del mes siguiente al vencimiento, determinemos el valor total que pagó.

DatosPcv = $5,000 :principal del préstamo y de la cuotaic = 20% :tasa de interés corrienten = 245 días : plazo del préstamo

SoluciónCon los datos anteriores, calculemos el valor del pago único en la fecha de vencimiento, o sea, el valor futuro. Aplicando la fórmula (1.1) determinamos los intereses corrientes, los cuales son;

Así, el monto de la deuda en la fecha de vencimiento del día 12 de septiembre es;

$ 5,000.00 principal del préstamo y de la cuota $ 680.56 intereses corrientes $ 5,680.56 Monto de la deuda o cuota a pagar

Dado que la deuda se liquida hasta el día 9 de octubre hay un tiempo moratorio de 27 días (12 septiembre al 9 de octubre). En este caso el valor total a pagar lo calculamos

Datos Pcv = $5,000 :principal de la cuotaic = 20% :tasa de interés corrienteim = 18% :tasa de interés por moratm = 27 :días de mora de la cuota Sa= $5,000 :último saldo de la deuda

SoluciónAplicando la fórmula (1.11) calculamos el interés por mora durante 27 días.


INTERES SIMPLE

El ajuste del interés corriente por 27 días sobre último saldo lo hacemos conforme la fórmula (1.12), esto es:

De esta manera, el total a pagar con mora el día 9 de octubre lo detallamos a continuación: $ 5,000.00 principal de la cuota $ 680.56 intereses corrientes de la cuota en mora $ 67.50 intereses por mora durante 27 días $ 75.00 ajuste de intereses corrientes por 27 días $ 5,823.06 Total a pagar

e. Tasa de variación monetaria

La tasa de variación monetaria (devaluación) es aquella que hace cambiar el valor de una moneda respecto a otra que se utiliza como patrón. Generalmente se hace con el objetivo de garantizar el valor de las inversiones en moneda de valor constante, (en nuestro caso las inversiones están dolarizadas respecto al dólar de los Estados Unidos)

De esta manera por ley, (en Nicaragua) todos los préstamos o financiamientos que se otorgan en córdobas3, están dolarizados ya que se les aplica el concepto de mantenimiento de valor respecto al dólar. En estos casos, los usuarios de financiamientos necesitan conocer las tasas infladas o nominales anuales teniendo en cuenta dos factores o componentes que inciden directamente en las tasas de interés reales a pagar. Estos factores son:

En lo que respecta al índice de variación monetaria iv es un porcentaje o tasa de “interés” que constantemente hace cambiar la unidad monetaria nacional. Por ejemplo, “en el caso de Nicaragua esta tasa de variación oficial (Banco Central de Nicaragua) pasó en el mes de julio de 1999 del 12% al 9% anual y en el mes de abril del año 2000 se redujo al 6% de devaluación del córdoba respecto al dólar”4

3 Nombre de la moneda de curso legal en Nicaragua4 Indicadores Económicos. Banco Central de Nicaragua, publicación mensual.


iv : tasa de variación monetaria ic : tasa de interés corriente

INTERES SIMPLE

Si queremos calcular la tasa de variación iv entre dos fechas cualesquiera, podemos tomar dos valores representativos del tipo de cambio oficial (TCO), financiero y no oficial en dependencia del sector en que nos ubiquemos.

Ejemplo 1.10Determinemos la tasa de variación del córdoba respecto al dólar de los Estados Unidos en el periodo de junio 1997 a diciembre de 2000, tomando como fuente los indicadores del Banco Central de Nicaragua donde se señala que el TCO en las fechas indicadas son las siguientes:

TCO = C$9.44 por dólar, finales del mes de junio de 1997

TCO = C$13.05 por dólar, finales del mes de diciembre de 2000

Solución

Asignamos B = C$9.44 Valor anterior

Asignamos A = C$13.05 Valor actual

Entonces, la tasa de variación monetaria iv comprendida en estas fechas, la determinamos mediante la fórmula (1.13)

De esta manera el porcentaje de devaluación oficial o de variación del córdoba respecto al dólar el período de junio 1997 a diciembre del 2000 fue de 38.2415%

En el mercado financiero (venta de dólares de los bancos) la devaluación promedio en el mismo período fue la siguiente: B = C$ 9.46, A = C$ 13.25


INTERES SIMPLE

Con la fórmula (1.13) podemos calcular la devaluación de forma diaria, mensual, trimestral, semestral o entre dos fechas de interés para nuestros análisis; solamente debemos conocer el valor representativo anterior y actual del tipo de cambio.

3. Valor futuro de una suma de dinero (monto)

El valor futuro F de una suma de dinero a interés simple, es la cantidad acumulada al final de cierto período de tiempo que incluye principal más los intereses. Este valor F se calcula en cualquier fecha antes o en la fecha de vencimiento. Gráfico 1.5.

F

0 n Gráfico 1.5

P

Si el tiempo n es medido en años, meses o días el valor presente (principal) de una cantidad de dinero es denominado P, su valor después de cierto período de tiempo y a una tasa de interés i está dado por:

Lo anterior indica que el valor presente P más los intereses I que devenga en un periodo determinado se llama valor futuro F. Esta expresión es aplicable cuando el tipo de interés de la operación se mantiene constante todos los períodos.

A partir de la expresión anterior (denominada fórmula fundamental de la capitalización simple) no solamente podemos calcular montos (valor futuro) sino que, conocidos tres datos cualesquiera, podríamos despejar el cuarto restante.

Nuevamente, hay que tener en cuenta que la (n) indica el número de veces que se han generado (y acumulado) intereses al capital inicial, por tanto, esa variable siempre debe estar en la misma unidad de tiempo que la tasa de interés.

Ejemplo 1.11El Sr. Santos, deposita en un banco $130,000 en certificados de depósito a término (CDT) a un interés del 15% y 6 meses de plazo. Determinar:


INTERES SIMPLE

a) Los intereses acumuladosb) El valor futuro de los certificados. (Gráfico 1.6)

Datos P = $130,000, n = 6 meses, i = 15%, I = ?, F = ?

Solución

F = ?

0 6 Meses Gráfico 1.6

P = 130,000

Ejemplo 1.12Determinemos el valor final que una persona debe pagar para saldar una deuda de $12,500 a plazo de 80 días a un interés del 21%

Datos

P = 12,500, n = 80/360 año, i = 21%

SoluciónAplicando la fórmula 1.14 tenemos;


INTERES SIMPLE

4. Valor presente o actual de una suma de dinero

El valor presente o principal P de una suma de dinero a interés simple, es la cantidad al inicio de cierto período de tiempo, no contiene intereses. Este valor P lo podemos calcular en cualquier fecha después o en la fecha de inicio de la operación financiera. Gráfico 1.7.

De acuerdo a la fórmula (1.14) donde F = P[ 1 + i(n)] , despejando P obtenemos el valor presente el cual está dado por:

F

0 n Gráfico 1.7

P

Ejemplo 1.13Determinemos el valor inicial que recibió el Sr. Pedro Rivas en concepto de un préstamo, si al final del plazo de 90 días pagó principal e intereses por una cantidad de $53,125 a una tasa el de interés 25%? Gráfico 1.8.

Datos F = $53,125, n = 90 días, i = 25%, P = ?

P = ?

90 días

Gráfico 1.8

F = 53,125Aplicando la fórmula 1.15 obtenemos la solución de la siguiente forma:


INTERES SIMPLE

Solución

Entonces, el Sr. Rivas recibió la cantidad de $50,000 por el préstamo. A este valor le llamamos principal prestado y a la cantidad pagada al final del plazo de $53,125 se le denomina monto del préstamo.

Ejemplo 1.14Un inversionista tendrá que pagar dentro de 8 meses la cantidad de $300,000. Si el banco acreedor aplicó una tasa de descuento simple racional del 15%, calculemos el valor líquido que recibió del banco?

Datos

F = $300,000, n = 8 meses, i = 15% P = ?

SoluciónEl valor líquido es P, donde: P = F – I = F – D (D = I) D = descuento I = interés

por la fórmula (1.15) tenemos:

Del cálculo anterior deducimos que el descuento simple racional es la diferencia entre el valor futuro $300,000 y el valor presente $272,727.27, o sea; $27,272.73

5. DescuentosAnalizaremos los tipos de descuento racional y bancario.a. Descuento bancario


INTERES SIMPLE

El descuento simple bancario es un procedimiento que utilizan los bancos para invertir en títulos – valores, es la diferencia entre el valor futuro o final a pagar y el valor presente de la inversión. Esencialmente consiste en cobrar intereses de forma anticipada o por adelantado y se calcula con base al valor final del documento en la fecha de vencimiento. En algunos casos el valor final es el valor facial de los documentos que se descuentan, así:

D = F d n 1.16 D = F – P pero I = F – P entonces D = I

donde:

El descuento bancario es una práctica de los bancos y también se emplea en las transacciones bursátiles con documento o títulos - valores que se negocian en el mercado de valores, los cuales se colocan por un valor más bajo que el señalado en el título - valor. Una característica de este cálculo es el tiempo de descuento, que a lo sumo es un año de plazo.

En otras palabras, lo que se hace es un descuento sobre el valor nominal del documento (pagaré, letra de cambio, certificado etc.). La tasa de descuento es menor que la tasa de rentabilidad de la inversión. Esto ocurre debido al hecho de anticipar el pago de intereses

Ejemplo 1.15El señor Aquilino Ponderado invierte en un Certificado Negociable de Inversión que emite el Banco Central de Nicaragua; el valor facial es de $10,000.00, tasa de descuento 12.50% a plazo de 270 días. Calculemos:a) El valor del descuentob) El valor de la inversión c) La tasa de rentabilidad del señor Ponderado

Datos

F = $10,000, d = 12.50%, n = 270 días, a) D = ?, b) P = ?, c) i = ?

Solución

a) Por la fórmula 1.16 podemos calcular el descuento


D: Descuento bancario F: Valor final o facial d: tasa de descuento n: plazo del descuento ( 0 < n < 2 años)

INTERES SIMPLE

b) El valor de la inversión P es el valor facial F menos el descuento D, esto es;

c) Dado que el plazo es en días, la tasa de rentabilidad a interés simple es;

De esta manera, el señor Ponderado obtiene una tasa de rendimiento del 13.7931% anualizada, ligeramente superior a la tasa de descuento aplicada en la colocación del certificado. El esquema de la inversión la presentamos en el gráfico 1.9 F =10,000

270 días Gráfico 1.9

P = 9,062.50

Ejemplo 1.16El Banco Alcazar le descuenta una letra de cambio a la firma de Contadores Pública Uriza; el valor nominal es de $50,000 a plazo de 140 días, con tasa de descuento de 17% . Determinemos: a) El valor del descuentob) El valor Que. recibe la firma de contadoresc) La rentabilidad del banco.

Datos

F = $50,000, d = 17%, n = 150 días, a) D = ?, b) P = ?, c) i = ?

Solución

a) Nuevamente, por la fórmula 1.16 calculamos el descuento


INTERES SIMPLE

b) El valor de la inversión en este caso es;

c) La tasa de rentabilidad del banco;

b. descuento simple racional

El descuento simple racional es de mucho menor uso que el bancario, posiblemente porque la cantidad que se descuenta es menor. Se considera que el interés que se gana con el descuento racional se paga al vencimiento. Debido a esto, el descuento simple se define como la diferencia entre el valor futuro F de una cantidad Presente P, es decir; D = F – P.

Donde el valor P a diferencia del descuento bancario se calcula mediante la fórmula (1.15) reemplazando la tasa de interés i por la tasa de descuento d. El cálculo de descuento simple racional lo realizamos en el ejemplo 1.14, el cual lo sintetizamos en la fórmula (1.17)

Ejemplo 1.17Resolvamos nuevamente el problema del ejemplo 1.15 utilizando el descuento simple racional.

Datos

F = $10,000, d = 12.50%, n = 270 días, a) D = ?, b) P = ?, c) i = ?

SoluciónEn este caso primero calculamos, el valor presente P mediante la fórmula (1.15), o sea:


INTERES SIMPLE

El valor del descuento D es;

La rentabilidad en este caso coincide con la tasa de descuento

También el descuento D lo podemos calcular directamente haciendo uso de la fórmula 1.17 de la siguiente manera:

Si comparamos ambos sistemas de descuentos, notaremos que no es el mismo resultado. Por tanto, el descuento bancario no es lo mismo que el descuento simple; lo que equivale a decir, que en tiempos iguales y a una misma tasa, el valor actual P con descuento racional es siempre mayor, que el valor actual P con descuento bancario. La diferencia se fundamenta en que en el descuento bancario, el interés se paga por anticipado y en el descuento simple racional, el interés se paga de forma vencida.

6. Pagos parciales

En las actividades comerciales, es frecuente la costumbre de utilizar obligaciones financieras en las que se aceptan pagos parciales o abonos a buena cuenta, dentro del plazo de la obligación, en lugar de un solo pago en la fecha de vencimiento.

En la solución de los problemas en los que intervienen obligaciones y sus intereses, se supone que todo dinero que se recibe o paga, por cualquier concepto, continúa en el proceso financiero dentro de un mismo juego de intereses, hasta la extinción de la obligación.

En este tipo de obligaciones se presentan varias alternativas, el análisis y cálculo de los valores en juego deberán hacerse de acuerdo con las condiciones del


INTERES SIMPLE

comercio y la banca local según el país. Para cancelación de obligaciones con pagos parciales utilizaremos dos métodos muy usuales, tales como la Regla Americana y Regla Comercial.

a. Regla americanaEsta regla conocida como United State Rule o regla americana, el interés se calcula sobre el saldo no pagado o insoluto de la deuda cada vez que se efectúa un pago parcial. Si el pago es menor que el interés vencido, el pago se lleva sin interés hasta que se hagan otros pagos parciales cuyo monto exceda el interés vencido a la fecha del último de dichos pagos parciales.

La regla funciona mediante un proceso iterativo, en el cual se indica que cada vez que se hace un pago debe calcularse el monto de la deuda hasta la fecha del pago y restar a ese monto el valor del pago; así, se obtiene el valor del saldo insoluto en esa fecha. Este proceso se repite hasta calcular el saldo en la fecha de vencimiento, que será igual al último pago parcial y que saldará totalmente la deuda.

Este procedimiento se repite hasta concluir con el saldo igual a cero.

La incógnita del procedimiento es hallar el valor del último pago parcial en la fecha de vencimiento y que liquida totalmente la deuda o la obligación.

Ejemplo 1.18La empresa ACB debe pagar una deuda que tiene pendiente con el Banco Neptuno, a continuación detallamos las condiciones de la deuda en la tabla 1.10

Concepto Valor Fecha DíasDeuda $25,000 Inicio 02 de agosto de 2001 0Deuda $25,000 Finaliza 27 de junio de 2002 329Interés corriente 24%Primer pago parcial $7,000 15 de octubre de 2001 74Segundo pago parcial $7,100 12 de diciembre de 2001 58Tercer pago parcial $7,300 20 de marzo de 2002 98


Algoritmo de la Regla Americana

= Saldo inicial de la deuda+ Interés devengado a la fecha de pago= Monto de la deuda a la fecha de pago- Valor del pago parcial= Saldo insoluto

INTERES SIMPLE

Cuarto pago parcial $ ? 27 de junio de 2002 99Interés por mora 20%

Tabla 1.10SoluciónPara que podamos hallar el valor del cuarto pago parcial es necesario seguir el algoritmo que establece la regla americana, teniendo en cuenta que los intereses a calcular en la fecha de cada pago, los realizaremos con la fórmula (1.1) de cálculo de interés simple con el factor de año comercial. En el gráfico 1.10 ilustramos la forma en se cancela la deuda especificando los pagos parciales y la fecha de los mismo.

En la tabla 1.11 presentamos el algoritmo de la regla americana.

Signo Concepto Fecha Valor = Valor inicial de la deuda 02 – 08 – 01 $25,000.00 + Intereses del primer pago 15 – 10 – 01 $ 1,233.33= Monto de la deuda primer pago 15 – 10 – 01 $26,233.33- Primer pago parcial 15 – 10 – 01 $ 7,000.00= Saldo después del pago 15 – 10 – 01 $19,233.33+ Intereses del segundo pago 12 – 12 – 01 $ 743.69= Monto de la deuda segundo pago 12 – 12 – 01 $ 19,977.02- Segundo pago parcial 12 – 12 – 01 $ 7,100.00= Saldo después del pago 12 – 12 – 01 $ 12,877.02+ Intereses del tercer pago 20 – 03 – 02 $ 841.30= Monto de la deuda tercer pago 20 – 03 – 02 $ 13,718.32- Tercer pago parcial 20 – 03 – 02 $ 7,300.00= Saldo después del pago 20 – 03 – 02 $ 6,418.32+ Intereses del cuarto pago 27 – 06 – 02 $ 423.61= Monto de la deuda cuarto pago 27 – 06 – 02 $ 6,841.93- Cuarto pago parcial 27 – 06 – 02 $ 6,841.93= Saldo en la fecha de vencimiento 27 – 06 – 02 $ 0000.00

Tabla 1.11

El uso de la regla de los saldos insolutos le permite al prestamista, ganar intereses sobre los intereses capitalizados, en cada fecha de los pagos parciales. Por ejemplo, si un deudor de una obligación con intereses del 24% a un año de plazo, hace pagos mensuales con esta regla, se le cobra sobre saldos el 2% mensual con capitalización mensual, es decir intereses compuestos y no simples.

P = 25,000

Gráfico 1.10


INTERES SIMPLE

02-08-01 15-10-01 12-12-01 20-03-02 27-06-02

7,000 7,100 7,300 x =?

b. Tabla de pago Una forma diferente de expresar los resultados del pago de una obligación financiera es, a través de la construcción de la tabla de amortización (no periódica) de la deuda, considerando que todo pago o cuota Ck contiene dos elementos importantes tales como: los intereses devengados o vencidos Ik y la amortización al principal Ak el cual disminuye el saldo insoluto, donde k es un contador y representa el k - ésimo pago parcial con 1 k N; así, la cuota y la amortización se expresan en las fórmulas (1.18) y (1.19).

La amortización de una obligación financiera generalmente se presenta en una tabla de pago, siendo ésta la forma más práctica ya que facilita tanto al deudor como al acreedor observar la disminución de la deuda periodo a periodo. La tabla contiene seis columnas básicas y suministra la información necesaria para los análisis pertinentes.

La tabla 1.12 tiene seis columnas básicas y muestra los resultados de la amortización de la deuda en cada periodo de pago del ejemplo (1.16).

No. pago

Fecha dp drp Principal Intereses Cuota o pago

Saldo

No. AK IK CK SK

0 02 – 08 – 01 -- $0000000 $0000000 $0000000 $25,000.00 1 15 – 10 – 01 74 -- $5,766.67 $1,233.33 $7,000.00 $19,233.33 2 12 – 12 – 01 58 -- $6,356.31 $ 743.69 $7,100.00 $12,877.02 3 20 – 03 – 02 88 -- $6,458.70 $ 841.30 $7,300.00 $ 6,418.32 4 27 – 06 – 02 99 -- $6,418.32 $ 423.61 $6,841.93 $ 0000000Total -------------- $25,000.00 $ 3,241.93 $28,241.93 Pagado

Tabla 1.12

En la tabla 1.12 podemos observar que el cuarto pago es la suma del tercer saldo más los intereses que genera dicho saldo durante el último periodo.

Ejemplo 1.19


INTERES SIMPLE

Supongamos en el ejemplo 1.18 que el deudor se retrasó 23 días en cancelar el tercer pago parcial de $7,300; los intereses por mora se cobran al 20% anual. ¿Qué valor deberá pagar la empresa para ponerse al corriente?

SoluciónTodo pago o cuota por lo general está compuesto según la fórmula (1.18) por intereses y amortización al principal. En este caso se trata del pago 3, por tanto tenemos:

Ck = Ak + Ik = 7,300, o sea: C3 = A3 + I3 = 6,458.70 + 841.30

En los ejemplos anteriores sobre cálculo de interés por mora, pudimos entender que los intereses por mora se cobran con base al principal vencido (Ak =6,458.70) del pago retrasado, por la fórmula (1.11) los intereses moratorios son:

Debido que el pago tres se retrasa consecuentemente el saldo dos de $12,877.02 también se retrasa; por eso, este último saldo lo tomamos en cuenta para el ajuste de interés corriente. Así, por la fórmula (1.2) tenemos:

El total a pagar con mora lo detallamos a continuación:

$6,458.70 principal de la cuota tres $ 841.30 intereses corrientes de la cuota tres $ 82.53 intereses por mora durante 23 días $ 197.45 ajuste de intereses corrientes por 23 días $7,579.98 Pago total

c. Regla comercialCuando las obligaciones financieras son cumplidas a través de la regla comercial, “el interés se calcula sobre la deuda original y sobre cada pago parcial a la fecha de vencimiento”5 El valor del último pago parcial en la fecha de vencimiento lo determinamos a través de la diferencia entre el monto de la deuda y suma de todos los demás pagos parciales con sus intereses. La estrategia de solución de este método es la construcción de una ecuación de valor, haciendo que la fecha focal sea la fecha de vencimiento.

5 Frank Ayres Jr. Matemáticas Financieras, México, McGraw-Hill, 1991, pp 55


INTERES SIMPLE

Ejemplo 1.20Una de deuda de $30,000 a 12 meses comerciales de plazo y con interés del 22%, se liquidará a través de los pagos parciales $10,000 en 4 meses, $12,000 en 7 meses. Hallemos el saldo en la fecha de vencimiento el cual constituye el tercer pago parcial.

Solución

La representación gráfica de la solución es el gráfico 1.11. Por la fórmula (1.14) calcularemos el monto a interés simple de $30,000 a 12 meses de plazo esto es,

Calculemos el interés simple que genera cada pago parcial a la fecha de vencimiento. Para el pago de $10,000 el tiempo es 12 – 4 = 8 meses y para el pago de $12,000 es 12 - 7 = 5. Así, el interés de cada pago es:

Para hallar la diferencia establecemos lo siguiente:

Deuda original $30,000.00 Primer pago parcial $10,000.00Intereses $6,600.00 Intereses $ 1,466.67 __________ Segundo pago parcial $12,000.00Monto $36,600.00 Intereses $ 1,100.00 ___________ Suma de los pagos $ 24,566.67

El saldo en la fecha de vencimiento y tercer pago parcial será entonces:

X = $36,000.00 – $24,566.67 = $12,033.33


INTERES SIMPLE

30,000 Fecha de vencimiento 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 meses

10,000 12,000 X = ?

Gráfico 1.11Ejemplo 1.21Un deudor debe pagar una deuda $15,000 a 6 meses comerciales de plazo y con interés del 25%. La deuda se liquidará a través de dos pagos parciales uno $9,000 en 4 meses y el saldo en el vencimiento. Por la regla comercial hallemos el saldo en la fecha de vencimiento.

Solución

Para obtener el monto, calculemos el interés simple de $15,000 a 6 meses de plazo,

El interés simple que gana el pago parcial de $9,000 a la fecha de vencimiento, con el tiempo de 6 – 4 = 2 meses es,

La diferencia entre el monto y la suma de los pagos es la siguiente:

Deuda original $15,000.00 Primer pago parcial $ 9,000.00


INTERES SIMPLE

Intereses $1,875.00 Intereses $ 375.00 __________ ___________Monto $16,875.00 Suma de los pagos $ 9,375.00 El saldo en la fecha de vencimiento que constituye el segundo pago parcial es;

X = $16,875.00 – $9,375.00 = $7,500.00

7. Ecuaciones de valor

En las operaciones financieras a menudo se nos presentan problemas relacionados con las inversiones equivalentes, es decir; que en tiempo y valor tienen el mismo significado económico; esta situación la podemos expresar a través de las ecuaciones de valor o financieras.

“Una ecuación de valor es una igualdad de valores, que se ubican en una fecha que se escoge para la equivalencia”6. A esta fecha se le llama fecha focal que en el diagrama del perfil de flujos de caja lo denotaremos mediante una línea punteada vertical. Todas las cantidades, ya sean deudas o pagos deben ser trasladadas a la fecha focal con una tasa de interés que se denomina tasa de rendimiento.

Cuando utilizamos el método de interés simple para formar la ecuación, la fecha focal debe ser un dato del problema, debido a que el valor de las cantidades varían si las fechas son diferentes. Con el método de interés compuesto (esto lo veremos más adelante), la fecha focal puede ser cualquier fecha y los resultados no cambian.

Las ecuaciones de valor tienen su importancia para el cálculo de pagos equivalentes, en las reestructuraciones de deudas vencidas o por vencer; donde el proceso o modalidad de pago inicialmente establecido entre el prestamista y prestatario, se ha visto o se verá interrumpido por la incidencia de variables externas al proceso de repago de la deuda.

A menudo se nos presentan dificultades en la formulación de la ecuación de valor; la siguiente metodología nos podría ser útil para el planteamiento de dicha ecuación.

Para desarrollar los pasos 2 y 3 de la metodología señalada, podemos emplear las fórmulas (1.14) de valor futuro y (1.15) de valor presente. Si observamos el gráfico 1.12 vemos que la cantidad G está a la izquierda de la fecha focal, el traslado de dicha cantidad a la fecha focal es con la fórmula (1.14).

6 Guillermo Baca Curea. Las Matemáticas Financieras y los Sistemas. Colombia, Limusa Noriega Editores, 1997,


INTERES SIMPLE

La cantidad Q está a la derecha de la fecha focal, entonces el traslado a la fecha focal es con la fórmula (1.15).

Cantidad G Fórmula 1.9

Fecha focal

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 meses

Gráfico 1.12 Fórmula 1.10 Cantidad Q

Ejemplo 1.22La empresa de Soldadores de Estructuras Metálicas S.A. “SEMSA” tiene tres deudas con el banco de Inversiones del Pacífico las cuales se detallan:a) $25,000 a plazo de 4 meses, al 18% de interés y que venció hace 3 meses.b) $28,500 a plazo de 6 meses, al 19% de interés y que vence dentro de 4

meses.


1. Dibujemos el diagrama del perfil de flujos y calculemos los montos de las deudas si no están dados.

2. Traslademos los montos a la fecha focal con la tasa de rendimiento y efectuemos la suma. Ubiquemos este procedimiento sobre la línea del diagrama del perfil de flujos.

3. Traslademos los pagos a la fecha focal con la tasa de rendimiento, y calculemos la suma. Ubiquemos este procedimiento debajo de la línea del diagrama del perfil de flujos.

4. Igualemos los resultados de la suma en (2) con la en (3) y despejemos la incógnita X que soluciona el problema de equivalencia financiera.

INTERES SIMPLE

c) $22,450.80 es un monto que vence dentro de 8 meses.

Debido a problemas de iliquidez de la empresa, ésta ha acordado con la gerencia del banco, el siguiente plan de pagos equivalentes los cuales reestructuran las deudas anteriores.

Acuerdo: la empresa se compromete a lo siguiente:a) Efectuar un pago el día de hoy por $10,000.b) El saldo lo pagará en 3 cuotas iguales a efectuarse dentro de 6, 12 y 15 meses

respectivamente.Por su parte, el banco no cobrará intereses por mora y utilizará una tasa de rendimiento del 20% para el cálculo de los pagos y se acuerda como fecha focal dentro de 9 meses.

SoluciónSiguiendo la metodología descrita procedemos:1. Calculemos los montos de cada una de las deudas a su fecha de vencimiento,

gráfico 1.13

26,500.00 31,207.50 22,450.80

Hoy

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 meses

Gráfico 1.13

2. Traslademos los montos a la fecha focal dentro de 9 meses, con la tasa de rendimiento. La suma de los montos (88,433.11) la señalamos sobre gráfico 1.14


INTERES SIMPLE

26,500 31,207.50 22,450.80 Fecha focal Hoy

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

10,000 X X X

Gráfico 1.14

3. Traslademos los pagos a la fecha focal dentro de 9 meses, con la tasa de rendimiento y determinemos la suma, cantidad debajo del gráfico 1.14.

4. Igualando los resultados de 2 y 3 (valores en círculos) y despejando la incógnita X, obtenemos:

88,433.11 =11,500 + X(2.911471)


88,433.11

11,500 + X(2.911471)

INTERES SIMPLE

Así, cada pago será de $26,424.14 dentro de 6, 12 y 15 meses con los cuales se cancelan todas las deudas con el banco.

8. Tabla de días

No ENE FEB MAR ABR MAY JUN. JUL AGO SEP OCT NOV DIC No.

1 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335 12 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336 23 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337 34 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338 45 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339 5

6 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340 67 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341 78 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342 89 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343 9

10 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344 10

11 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345 1112 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346 1213 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347 1314 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348 1415 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349 15

16 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350 1617 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351 1718 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352 1819 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353 1920 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354 20

21 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355 2122 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356 2223 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357 2324 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358 2425 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359 25

26 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360 2627 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361 2728 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362 2829 29 - 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363 2930 30 - 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364 3031 31 - 90 - 151 - 212 243 - 304 - 365 31

Tabla 1.3


INTERES SIMPLE

Reglas para usar la tabla 1.3

Para obtener el número exacto de días comprendidos entre cualquier fecha de un mes y de cualquier otro mes, hállese el número de la tabla situado en la columna encabezada por el mes terminal y restar el número de días en la columna correspondiente del mes inicial.

a) Calcular los días efectivos del 23 de febrero al 12 de noviembre siguiente 12 de noviembre = 316 23 de julio = 204 ______ 112 Exactamente 112 días

b) Calcular el número de días entre el 20 de octubre de 2004 y 18 de marzo del año 2005

Días efectivos del 20 de octubre al 31 de diciembre de 2004 = 72 Días efectivos desde el 01 de enero al 18 de marzo de 2005 = 77

C. Ejercicios propuestos para el auto estudio

Interés, monto, valor presente, tasa de interés y plazo

1. Calcular el monto y el interés simple comercial de:a) La cantidad de $2,300 durante 120 días al 6% semestral. Respuestas: $2392,

$92.00

b) La cantidad de $300 desde el 11 de abril al 11 de diciembre del mismo año al 3% trimestral. Respuestas: $324.40, $24.40

c) La cantidad de $500 durante 10 meses y 25 día al 3% bimensual. Respuestas: $581.25, $81.25

d) La cantidad de $1,000 desde el 3 de febrero al 25 de octubre del mismo año, al 0.9% mensual. Respuestas: $1079.20, $79.20

e) La cantidad de $10,000 durante 8 meses y 18 días al 0.88% mensual. Respuestas: $10,756.80, $756.80

f) La cantidad de $4,000 desde el 12 de enero al 17 de septiembre del mismo año al 4% trimestral. Respuesta: $4,440.89 $440.89

g) La cantidad de $2,500 al 1.6% bimensual desde el 8 de enero 2006 al 2 de junio del 2007. Respuestas. $2,840.00 $ 340.00


INTERES SIMPLE

h) La cantidad de $12,000 a plazo durante el mes de agosto al 8%. Respuestas. $12,082.67 $82.67

2. Una inversión de $ 15,000 genera intereses pagaderos al final de cada seis meses comerciales por la cantidad de $ 1,147.50 durante 18 meses. Calcule la tasa de rendimiento sobre la inversión. Respuesta: 15.30%

3. Halle el monto y la fecha de vencimiento de un depósito de $3,000 que inicia el día 12 de septiembre a plazo de 180 días e interés del 2.8% simple anual. Respuesta. $3,042, vence el día 11 de marzo siguiente.

4. Un agiotista hizo un préstamo de $100 pagaderos con $120 dentro en un mes ¿Cuál es la tasa de interés anual? Respuesta: 240%

5. Calcule la tasa de rendimiento y la fecha de vencimiento de una inversión de $5,000 que inicia el 20 de noviembre a plazo de 8 meses y que genera una ganancia de $266.67. respuesta. 8%, vence 18 de julio.

6. ¿Cuánto tardarán $1,000 a) en ganar $100 a 15% b) en aumentar cuando menos a $1,200 a 13.5%. Respuestas: a) 8 meses b) 534 días

7. En qué tiempo un capital de $ 20,000.

a) Produce $4,850 al 18% de interés simple? Respuesta: 1 año, 4 meses, 5 días

b) Alcanza un monto de $27,076.67 al 11% semestral de interés simple? Respuesta: 1 año, 7 meses, 9 días

c) Produce $1,564.44 al 4% trimestral de interés simple? Respuesta: 5 meses y 26 días.

d) Alcanza un monto de $22,666.67 al 20% de interés simple. Respuesta: 240 días.

e) Alcanza un monto de $28,400 al 3% bimestral de interés simple. Respuesta: 2 años y 4 meses

8. Si el monto de un préstamo es de $15,000 que vence dentro de 8 meses, a una tasa de interés de 25%. Calcule su valor:

a) El día de hoy. Respuesta. $12,857.14b) Dentro de un año y 22 días. Respuesta. $16,479.17c) Dentro de 3 meses. Respuesta. $13,584.91d) Dentro 1 meses y 25 días. Respuesta. $13,292.31e) Dentro de 260 días. Respuesta. $15,208.33

9. Calcular la tasa de interés anual a la cual el monto de $10,000 es $11,483.33 en 10 meses. Respuesta 17.80%


INTERES SIMPLE

10. El Sr. T. López compra un pagaré de valor nominal $18,000 en el mercado de valores a plazo de 9 meses comerciales con interés del 18.5%. Determine:

a) La ganancia del señor Lópezb) Suponga que el señor López decide vender el documento a los 140 días

después, ¿cuánto recibirá si la tasa en el mercado varía a 20% para esta clase de títulos?

c) ¿Qué tasa de rendimiento obtendría sobre la inversión durante los 140 días? Respuestas: a) $2,497.50 b)19,116.84 c) 15.9548%

11. La señora González debe tomar una decisión al momento de formar un contrato relacionada a la comprar una casa en la cual se le presentan dos opciones: 1) $10,000 en la firma del contrato y $8,000 a los 9 meses después, 2) $8,000 en la firma del contrato y $10,000 después de un año. Si la tasa de interés es de 20% ¿Qué oferta deberá seleccionar mal menor costo anual? Respuesta. La número 2, $16,333.33

12. El Sr. Martínez compra un bono al 97% de su valor nominal de periodicidad 2, (semestral) que produce en cada período $6,550. Si el valor nominal del bono es de $65,000. ¿Cuál es la tasa de rentabilidad anual del señor Martínez? Respuesta: 20.777%

13.¿Cuánto debe invertir un padre de familia el 12 de septiembre en una cuenta bancaria que paga el 19.8%, para disponer de $16,000 el 15 de diciembre siguiente? Respuesta: $15,213.46.

14.Determine el tamaño de un depósito que debe efectuar una empresa el día 10 de febrero en un banco para que sea agotado mediante dos retiros, el primero el día 18 de mayo por $15,200 y el segundo el día 12 de septiembre por $20,500 todas la fechas corresponden al mismo año y el interés que devenga el depósito es del 18.4% a interés simple. Respuesta: $ 32,960.84.

15. ¿Cuánto paga por intereses un distribuidor de abarrotes si el 10 de junio compra mercancías por $16,500, hace un anticipo del 30% y paga el resto el 25 de septiembre con recargos del 30.5% de interés simple? Respuesta: $1,047.04

16.Una persona obtiene el día 25 de agosto un préstamo por $15,780 para pagarlo el día 10 de marzo del año siguiente junto con los intereses corriente del 25%. El préstamo no fue liquidado en el vencimiento del plazo, sino hasta el día 5 del mes siguiente con el 20% de recargo por mora, más comisión del 1% sobre principal vencido . ¿Qué cantidad pagó? Respuesta: $18,609.44.

17.Una empresa debió pagar hace 6 meses la suma de $20,372.65 y dentro de 10 meses deberá pagar $18,256.95. Si por la deuda no pagada le cobran intereses corrientes del 23% IS y moratorio de 18% y por la deuda por pagar le cobran intereses corrientes del 20%, determine el valor de las dos deudas en


INTERES SIMPLE

un pago único que efectuará la empresa dentro de 3 meses. Respuesta: $42,986.75

Pagos parciales, tabla de pago e interés por mora

18. Haga uso de la regla americana y halle el valor del último pago parcial y elabore la tabla de pago de la deuda siguiente con interés corriente del 30%

Inicio de la deuda el día 25 de enero de 2007: $15,000.00Primer pago el día 27 de mayo de 2007: $ 5,000.00Segundo pago el día 10 de septiembre de 2007: $ 6,000.00Tercer pago y final del plazo el día 20 de enero de 2008 $ ¿ ?Respuesta: $7,262.77

19. En el ejercicio 18, suponga que el primer pago se liquida con 20 días de mora, si el interés por mora es del 40% calcule el valor del pago 1 y el reajuste del pago 2 en la fecha que está programado. Respuestas: pago 1 $5,327.22, pago 2 $5,807.92

20. Para comprar una casa que cuesta $50,000 se acuerda el siguiente sistema de pagos parciales en un plazo total de 15 meses con el 25%: Halle el valor del pago 5 por el método de la regla americana y elabore la tabla de pago

Pago 1 : $10,000 mes 0 Pago 2: $12,000 mes 2Pago 3 $15,000 mes 7Pago 4 $15,000 mes12Pago 5 $ ¿? mes 15 Respuesta: $4,894.54

21. En el problema 20 suponga que el deudor se atrasa 28 días para liquidar el pago 2, si la tasa de interés por mora es de 55% calcule el valor a pagar , además calcule el ajuste del pago 3 en su fecha programada. Respuestas: pago 1 $13,219.81 , pago 2 $14,423.15

22. Una persona adquiere una propiedad valorada en $200,000 a través un pago de inicial de $60,000 cinco meses después $50,000, seis meses más tarde $70,000. ¿Cuál será el importe del pago que tendrá que hacer 1.5 año después de iniciada la operación financiera para liquidar totalmente el saldo con interés del 30%? Use el método de Regla Americana para hallar el pago final y haga la tabla de pago. Respuesta: $ 63,009.38

23. Calcule el saldo en la fecha de vencimiento de un documento de $100,000 a un año de plazo al 30% si es reducido mediante dos pagos iguales de $30,500 cada uno, efectuados 5 meses y 8 meses antes de la fecha de vencimiento. Use el método de la Regla Americana y haga la tabla de pago. Respuesta: $ $61,832.81

24. El Sr. Marcelo Alvarado da de cuota inicial $2,500 el día de hoy, por la compra de una casa cuyo precio de contado es de $12,500. posteriormente pagará $2,500


INTERES SIMPLE

al final de cada trimestre durante 3 trimestres. Halle el saldo insoluto al final del año aplicando el método de la Regla Americana con intereses del 20% sobre saldos, haga la tabla de pago. Respuesta.$3,879.75

25. En el ejercicio anterior suponga que la casa no se canceló al finalizar el año, sino que se canceló 46 días después. Si la tasa de interés moratoria es del 10%, halle el valor del pago que liquida totalmente la casa y haga nuevamente la tabla de pago. Respuesta. $4,021.39

26. El día 7 de febrero la Sra. Juana Guerrero obtuvo un préstamo del Banco Plaza de Nicaragua por la cantidad de $30,000 córdobas con mantenimiento de valor y que venció el 7 de febrero siguiente. Acordó pagar $10,000 córdobas el día 5 de mayo, $12,000 córdobas el día 20 de septiembre. Si el interés corriente es de 25% sobre saldo, el interés por mora de 30% y mantenimiento de valor 6%, calcule usando la regla americana.

a) El saldo al día 7 de febrero siguiente Respuesta: $14,445.36 b) El saldo al día 16 de mayo año siguiente Respuesta: $16,586.02

27. Un préstamo de $4,000 (córdobas) con mantenimiento de valor es concedido el día 3 de enero de 2007. Se liquida en 3 pagos: el primero el 3 de febrero por $1,800 el segundo el 3 de marzo por $1,500. Si los intereses corrientes son del 25% sobre saldo, por mora de 32% y mantenimiento de valor 6%. Calcule: (use la regla americana)

a) El saldo al día 3 de abril siguiente. Respuesta $ 885.41b) El saldo al día 28 de abril siguiente. Respuesta $ 923.14

28. Hace 5 meses obtuve un préstamo por $5,000 al 18%. Pagué $1,500 hace 3 meses, hoy pagaré $950, quiero saber cuanto pagaré dentro de 2.5 meses para saldar la deuda. Use la regla americana. Respuesta: $2,971.66

29. Una empresa debe en la actualidad una deuda $25,000 a una institución bancaria, conviene en pagarla en un plazo de 2 años a través de los siguientes pagos parciales: a lo inmediato paga $5,000 a los 6 meses paga $9,000, a los 18 meses paga $12,000 y el saldo a los 24 meses. Con interés del 16% halle el valor del último pago utilizando el método de la Regla americana. Respuesta $2,825.28

30.Calcule el quinto pago parcial en la fecha de vencimiento para liquidar una deuda con el Banco Pacífico por $162,500 a 1.5 años de plazo al 27%, si es reducido mediante un pago a lo inmediato por $20,000 seguido de tres pagos parciales: el primero por $40,500, el segundo por $45,000 y el tercero por $50,000, efectuados 4, 7 y 12 meses antes de la fecha de vencimiento. Use el método de la Regla Americana. Respuesta: $50,078.30.

31. El 5 de enero se compra un equipo de cómputo que se paga con una prima de $6,000, un pago de $8,000 el 20 de febrero y el otro el 19 de marzo para


INTERES SIMPLE

liquidar el resto ¿por cuánto será este pago si el precio del equipo fue de $20,600 y se cargan intereses del 26% simple anual? Respuesta: $7,223.20.

32.Thomas pidió prestado %5,000 el 1 de enero 2005. Pagó $2,000 el 30 de abril de 2005 y $2,000 el 31 de agosto de 2005. El pago final lo hizo el 15 de diciembre de 2005. Calcule la magnitud del pago final si la fecha focal es el 15 de diciembre de 2005. Respuesta: $1,208.05

Descuento bancario y racional

33. El monto de una deuda de la empresa AA dentro 5 años será de $153,756.80 a favor del Banco Anglo. Este monto será vendido al Banco Pacífico mediante un descuento en el cual la rentabilidad en la compra será del 22.5% aparte del 1.2% por comisiones de venta del agente o corredor de bolsa y el 1% del Puesto de Bolsa. Determinar: a) la cantidad que pagará el banco Pacífico b) las comisiones del agente c) las comisiones al puesto de bolsa d) valor líquido del banco Anglo. Respuestas: a) $72,356.14 b) $868.27 c) $723.56 d) $70,764.31

34. Un certificado de inversión negociable de valor facial de $15,000 a plazo de 300 días, se vende al público a través de una tasa de descuento del 12.2%. Si usted compra el certificado, determine: a) Valor de la inversión b) la tasa de rentabilidad. Respuestas a) $13,475 b) 13.5807%

35. En el ejercicio anterior suponga que el documento usted lo vende a los 145 días después y se lo descuentan al 12.4% y además paga comisiones de 0.5% tanto al puesto de bolsa como al agente de bolsa. Determine a) el valor líquido que usted recibe b) la tasa de rentabilidad. Respuestas a) $14,057.17 b) 10.7226%

36. La empresa AVAL emite un certificado de inversión por $10,000 dólares el cual se oferta al público, mediante una tasa de descuento del 12% a un plazo de 270 días.

a) Si el Sr. Torres lo compra, determine el precio que paga por el certificado y la tasa de rendimiento que obtiene. Repuestas: $9,100, 13.1868%

b) Suponga que transcurrido 144 días el Sr. Torres decide venderlo a una Sociedad Financiera la cual desea ganar el 13% anual sobre el valor facial. Determine el valor que recibe por la venta y la tasa de rentabilidad por los 144 días de la inversión. Respuestas: $9,564.80, 12.7692%.

37.La empresa HGP emite un certificado de valor facial (final) de $100,000 a plazo de un año comercial. Hace 145 días fue adquirido por una Cía de Inversiones a través de un descuento de 13%. En este momento la Cía tiene en venta el certificado y tiene dos opciones de compra.

a) El comprador ofrece un descuento del 13.90%.b) Se paga un valor neto que garantice una rentabilidad del 14.30%.


INTERES SIMPLE

Analice que opción le conviene a la Cía, calculando: a) El valor que recibe por la venta en cada caso. b) La rentabilidad que obtiene en cada caso.

Respuestas: Opción 1: La Cía recibe $91,698.61, rentabilidad 13.4086% Opción 2: La Cía recibe $92,131.70, rentabilidad 14.6446%

38.Un certificado negociable de inversión de valor facial de $25,000 a plazo de 270 días, es comprado por el inversionista A con una tasa de descuento del 12%. Determine: el valor de la inversión y la rentabilidad de A. Respuestas: $22,750, 13.1868%

39.En el ejercicio anterior suponga que el documento se vende 120 días antes de su vencimiento y es adquirido por el inversionista B con el descuento del 13.7%. Determine, el valor de la inversión y la rentabilidad de B

a) Respuestas: $23,858.33, 14.3556% b) La rentabilidad de A . Respuesta: 11.6923%

40.La Sociedad Financiera NRA compra un CENI’s emitido por el BCN a una tasa de descuento del 13.70% a plazo de 300 días. Si el valor facial del certificado es de $30,000 determine: a) el valor de la inversión y la tasa de rendimiento de la Sociedad. b) Suponga que la Sociedad vende el certificado a los 160 días al Grupo Delta con un rendimiento del 13.20% . Determine la cantidad que recibe por la venta y la rentabilidad de la Sociedad NRA. Respuestas: a) $26,575.00 15.4657% b) $28,535.19 16.5962%

41.El Sr. Campos compra un Certificado de Inversión emitido por el DNB a una tasa de descuento del 14.10% a plazo de 300 días y con valor facial de $50,000, determine:

a) El valor de la inversión y la tasa de rendimiento del Sr. Campos.b) Suponga que los 150 días el Sr. Campos vende el certificado a la Financiera

Sur con descuento del 13.80%. Determine la cantidad que recibe por la venta y la rentabilidad del Sr. Campos.

Respuestas: a) $44,125.00 15.9773% b) $47,125.00 16.3172%

42. Inversiones Continental compra un título valor de valor nominal $18,000 en el mercado de valores pactado a 9 meses comerciales y un interés del 18.5% sobre valor nominal. Determine: a) La ganancia en la inversión b) Suponga que Inversiones Continental decide vender el documento a los 140 días, cuánto recibirá si la tasa en el mercado varía al 20% Para esta clase de títulos? c) ¿Qué tasa de rendimiento obtendría sobre la inversión durante los 140 días? Respuestas: a)$2,497.50 b)19,116.84 c) 15.9548%

Ecuaciones de valor con interés simple

43. Una persona realiza una transacción con un Banco y le queda debiendo $12,000 con vencimiento en 6 meses y $9,400 con vencimiento en 8 meses. Calcule el


INTERES SIMPLE

valor de los pagos para saldar las deudas, si la nueva transacción gana intereses del 20%:

a) Se cancelan en un pago único inmediato. Respuesta. $19,203.21

b) Se cancelan en dos pagos iguales, el primero dentro de 6 meses y el segundo dentro de un año. Fecha focal dentro un año. Respuesta: $11,060.32

c) Se cancelan en 3 pagos iguales, el primero dentro de 6 meses, el segundo dentro de 9 meses y el tercero dentro de un año. Fecha focal dentro de un año. Respuesta: $7,373.55.

44.La empresa Agropecuaria San Bernardino ubicada en el municipio de “San Bartolomé de Aguas” tiene tres deudas pendientes con una institución financiera local de la siguiente manera:

1. $10,000 a plazo de 1 año con el 20% de interés y vence dentro de 5 meses2. $8,500 a plazo de 1.5 años con interés de 22% y vence dentro de 9 meses3. $12,000 a plazo de 8 meses con interés de 19.5% y vence el día de hoy

La empresa no puede asumir el pago de las deudas de la forma programada, debido a esto el banco le concede una extensión de 1.5 años de plazo a partir de hoy para que cancela las 3 deudas con tasa de rendimiento del 26% debiendo escoger uno de los siguientes sistemas de pagos:

a) Un pago de $5,000 el día de hoy y 3 pagos iguales en los meses 6, 12 y 18, con fecha focal en 5 meses. Respuesta: $12,138.05

b) Tres pagos en los meses 6, 12 y 18 en la siguiente forma, el segundo es mayor que primero en $3,000 y el tercero es mayor que el segundo en $2,000, fecha focal en el mes 6. Respuestas: $11,787.73 $14,787.73 $16,787.73

c) Un pago dentro de 6 meses por $4,600 y 4 pagos iguales en los meses 9, 12, 15 y 18, fecha focal en 9 meses. Respuesta: $9,738.52

d) Cuatro pagos iguales, en los meses 0, 6, 12 y 18 fecha focal en el día de hoy. Respuesta: $9,960.86

e) Cinco pagos crecientes en $2,500 cada uno, en los meses 6, 9, 12, 15 y 18 fecha focal en el mes 12. Respuestas: $3,863.60 $6,363.60, $8,863.60 $11,363.60 $13,863.60

f) Un pago de $6,000 en el mes 6 y dos pagos iguales en mes 9 y 18, fecha focal en el mes 9. Respuesta: $18,596.92

g) Un pago de $15,000 en el mes 12 y el saldo en el mes 18, fecha focal mes 18. Respuesta: $30,787.88


INTERES SIMPLE

h) Un pago de $5,000 en el mes 4, otro de $10,000 en el mes 10 y dos pagos iguales en los meses 15 y 18, fecha focal en el mes 10. Respuesta: $14,646.64

45.Hace 9 meses una empresa prestó aun banco $25,000 al 18% que vence dentro e 3 meses. Para cancelar la deuda acuerda los siguientes pagos: dentro de 2 meses $10,000 y dos pagos iguales dentro de 6 y 12 meses respectivamente. Con fecha focal dentro de 6 meses y tasa de rendimiento del 18%, halle los pagos iguales. Respuesta: $10,549.27

46.El principal de un préstamo es $10,500 al 18% y plazo de 12 meses y vence dentro de 5 meses. Se liquida a través de una cuota de $3,000 el día de hoy y dos pagos iguales dentro de 6 y 12 meses respectivamente, con tasa de rendimiento de 25% y fecha focal dentro de 6 meses, halle el valor de los pagos. Respuesta. $4,909.32

47.Una deuda de $20,000 a plazo de 10 meses con 20% de interés vence dentro de 5 meses, para pagarla se acuerda los siguientes pagos: dentro de 2 meses $8,000 y dos pagos iguales dentro de 6 y 12 meses respectivamente. Con fecha focal dentro de 6 meses y tasa de rendimiento de 25%, halle el valor de los pagos. Respuesta: $8,022.05

48.Una empresa prestó $15,000 a plazo de 15 meses al 20% que vencen dentro de 8 meses. Para pagar la deuda se acuerdan los siguientes pagos: dentro de 4 meses $5,000 y dos pagos talque el segundo es decreciente en $1,000 en relación al primero, estos pagos se efectuarán dentro de 10 y 16 meses respectivamente. Con fecha focal dentro de 10 meses y tasa de rendimiento del 25%, halle el valor de los pagos. Respuesta: $7,832.72 y $6,832.72

49. La Sra. Díaz tiene dos opciones para pagar un préstamo: puede pagar $200 al fin al de 5 meses y $300 al final de 10 meses, o bien puede pagar $X al final de 3 meses y $2X al final de 6 meses. Si las opciones son equivalentes y el dinero vale 12%, calcule X usando como fecha focal a) el final de 6 meses b) el final de 3 meses. Respuestas: a) $161.87 b) $161.96

50.Si una persona presta hoy $10,000 para pagarlo en 6 cuotas iguales mensuales con interés simple del 30% anual ¿Cuál es el valor de la cuota si la fecha focal es el mes 3 ? Respuesta: $ 1,838.27


2 interes simple

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