UNIDAD II

GRAFICOS Y

PROPORCIONALIDAD

Interpretación y Representación Gráfica de las Relaciones entre

Magnitudes FísicasCuando se tiene una serie de datos, como resultado de una serie de medidas, es conveniente representarlos a través de un gráfico, ya que permite visualizar el efecto que una variable produce en la otra.

Importancia de las Gráficas

a) Sirven de ayuda visual para mostrar el comportamiento de las variables de un fenómeno.

b) Son de utilidad en la determinación de relaciones empíricas entre las variables del fenómeno.

c) Permiten determinar el valor de una magnitud a partir de otra.

Trazado de un GráficoSegún convención la variable independiente, magnitud

escogida como causa del fenómeno, se expresa en el eje horizontal (eje x)

y la variable dependiente, magnitud escogida como efecto, se representa en el eje vertical (eje y).

Para la construcción del gráfico se procede así:

a) Graficar cada punto experimental con una marca fuerte.b) Unir los puntos con una línea o curva continua (la mejor curva)

En un experimento que estudia la relación entre la exposición a música clásica y la capacidad de lectura en niños, el investigador dividió a los niños en dos grupos (A y B).

En el grupo A, los niños escucharon música de Mozart una hora al día durante un mes. En el grupo B, se pidió a los padres que evitarán escuchar música clásica frente a los niños durante un mes.

Al final del mes, todos los niños tomaron una prueba de comprensión de lectura. Los que escucharon música de Mozart (grupo A), tuvieron una calificación significativamente más alta en el examen.

¿Cuál es la variable dependiente e independiente?

En este caso, la calificación en el examen de comprensión de lectura es la variable dependiente y la exposición a la música de Mozart es la variable independiente.

Dimensión de Escalas

La escala deberá cumplir las siguientes consideraciones:

a) Los puntos experimentales no deben quedar muy juntos ni muy dispersos.

b) La escala debe ser lo más sencilla posible. Lo más sencillo es que 1cm represente un múltiplo de 10.

c) No siempre la escala vertical será igual que la horizontal.d) Los ejes se marcarán con el nombre o símbolos de las variables; con sus respectivas unidades.

Relaciones de Proporcionalidad entre Magnitudes Físicas

a) Relación de proporcionalidad directa

Dos magnitudes son directamente proporcionales, cuando al multiplicar una variable por un factor, la otra se multiplica por el mismo factor, es decir, al duplicarse o triplicarse una variable, la otra se duplica o se triplica también.La proporcionalidad directa se representa así:Sea Y la variable dependiente y X la variable independiente Y X

Y = kX K=Y/X

Donde:

k se llama constante de proporcionalidad Es el símbolo de proporcionalidad

Gráficamente la proporcionalidad directa se representa por una recta que pasa por el origen

y

x

En el gráfico k representa la pendiente de la recta o sea:

Si la recta no pasa por el origen se cumple que:

Δy α Δx

Δy = kΔx

x

y

b

b es el interceptoComo k = m es la pendiente

Y = mx + b

x2x1

y2y1

Relación de Proporcionalidad InversaDos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al multiplicar una variable por un factor la otra se divide por el mismo factor.Se representa así:

Yα 1/X

Gráficamente se representa por la rama de una hipérbola:

x

y

Proporcionalidad directa entre una variable y otra elevada a un exponente “n” (n>0)

a) Para 0<n<1 YαXn

Y = kXn

x

y

EJERCICIO

K = 0.5n = 0.6Y = 0.5X0.6

Y = kxn

b) Para n>1

Y = k Xn

x

y

Ejercicio.Y = 2X2

Relación de proporcionalidad inversa entre una variable y otra elevada a un exponente n ( n>0)

Se representa así:

Yα1/Xn

Su representación gráfica es la rama de una hipérbola.

Y=k/Xn

x

y

Y=3/X3Ejercicio.

Relación de Proporcionalidad Exponencial

Es un relación compleja y se representa por:

a) Y α Cx Y = ACx

En forma gráfica

x

Y

A

A y C son constantes. Donde A es intercepto con el eje YEjercicio:

Y=5(ex ), Y=(10x )/2

b) Y α C-x Y = AC-x

En forma gráfica:

x

y

A

A es el intercepto

Interpolación Y ExtrapolaciónInterpolaci

ón:Esta operación permite determinar el valor de una variable que se encuentra localizada dentro de valores conocidos.Extrapolación:Esta operación permite determinar el valor de una variable que se encuentra fuera de los valores conocidos. Considerando que la prolongación del gráfico cumple la misma variación.

Ejercicio:

Y = 5(2-x )

Gráficamente:Y

Xx1

x2 x3

y1

y2

y3

Las Escalas y los Seres Vivos

El concepto de escala permite determinar matemáticamente, como las propiedades de las estructuras depende del tamaño.

Para resolver lo anterior, debe determinarse, como los conceptos geométricos de longitud, área y volumen, varían con el tamaño de los objetos.

Figuras semejantesDos figuras son semejantes si tienen la misma forma, ya

sea del mismo o diferente tamaño.En el caso de figuras semejantes, sus líneas homologas o líneas que hacen la misma función, son proporcionales.

a1

b1

a2

b2

Se cumple que:

Donde N es la constante de proporcionalidad y recibe el nombre de factor de escala.

En términos generales:

Donde L representa cualquier dimensión lineal que puede ser: Longitud, lado, perímetro, radio o diámetro.Resulta que N, es el factor por el que deben multiplicarse las dimensiones lineales de la figura pequeña (1), para obtener las dimensiones lineales de la figura grande (2). Relación de áreasConsideremos las siguientes figuras semejantes:

L1 L2

A1

A2

Se cumple que: AαL2

Entonces:2

2 2

1 1

A LA L

Donde:

2

1

L NL

22

1

A NA

Relación de volúmenes VαL3

3

2 2

1 1

V LV L

Como: 2

1

L NL

32

1

V NV

Relación de masasSe cumple que:

M α V y V α L3

Entonces:M αL3

3

2 2

1 1

m Lm L

Donde 2

1

L NL

32

1

m Nm

Relación de pesosSe cumple que:Pα m Como mαL3

PαL3Entonces:3

2 2

1 1

P LP L

2

1

Lcomo NL

32

1

P NP

Relación de fuerzasF α A Donde A es el área transversal de los

músculos.Si A α L2

Entonces FαL2

para dos cuerpos semejantes se tiene

2

22 2

1 1

F L NF L

Fuerza relativaSe define como la relación del peso que el animal puede levantar y el propio peso del animal.

LrPFP

Donde:PL es el peso que el animal puede levantarP es el peso del animalRelación de resistenciaSe define como la suma del peso del animal más un peso adicional que puede levantar

R = PL + PDonde:

R es la resistencia del animalPL es el peso adicional que puede levantarP es el peso del animalSe cumple que RαA

Como AαL2

Entonces RαL2

2

22 2

1 1

R L NR L

Relación de calores perdidosComo Qp αA y AαL2

22 22

1 1

p

p

Q L NQ L