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En la política es como en las matemáticas: todo lo que no esté totalmente correcto, está mal.
Edward Kennedy
Unidad 7Ecuaciones de segundo grado con una incógnita
Parte I
Objetivos:
incógnita.
ÁLGEBRA
247
Introducción
En esta unidad iniciaremos el estudio de las ecuaciones cuadráticas, también llamadas ecuaciones de segundo grado, las cuales son de gran importancia puesto que son la representación analítica de curvas tan importantes como son la circunferencia, parábola,
elipse e hipérbola (cónicas)
Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación que después de haberse simplificado al máximo puede tomar la forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son números reales con la única restricción de que a 0; x es la variable de la ecuación, a es el coeficiente de x2, b es el coeficiente de x y c es el término independiente.
La forma ax2 + bx + c = 0 se conoce como la forma estándar.Observa que a debe ser diferente de cero porque de lo contrario la expresión ax2 + bx + c
se convertiría en la expresión bx+ c y perdería su naturaleza de cuadrática.Recuerda que el grado de una ecuación con una variable lo determina el mayor de sus
exponentes, siempre y cuando el coeficiente de este término no sea cero.
Términos en una ecuación cuadrática
ax2 + bx + c = 0
Ejemplos:
1. x5 – 2x + 3 = 0 es una ecuación de quinto grado, porque 5 es el mayor de sus exponentes
y el coeficiente de x5 es 1 (no cero).
2. –6 + 3x3 – 2x2 = x3 – 7x + 2x3 + 9x2 – 5 es una ecuación cuadrática, ya que al simplificarla
y escribirla en la forma estándar obtenemos –11x2 + 7x – 1 = 0 ó 11x2 – 7x + 1 = 0.
Con estas dos últimas expresiones tenemos un buen pretexto para tocar el tema de:
término linealtérmino cuadrático término independiente
Unidad 7
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7.1.1. Ecuaciones cuadráticas equivalentes
Para determinar si dos ecuaciones cuadráticas, Ec. (1) y Ec. (2), son equivalentes, es conveniente escribirlas en su forma estándar, y si existe una constante k tal que k Ec. (1) = Ec. (2), entonces decimos que la Ec. (1) es equivalente a la Ec. (2). De hecho esta característica es suficiente para asegurar que dos ecuaciones equivalentes tienen las mismas soluciones.
Ejemplos:3. La ecuación –11x2 + 7x – 1 = 0 es equivalente a la ecuación 11x2 – 7x + 1 = 0 porque
si multiplicamos la primera por la constante k= –1 obtenemos la segunda.
4. La ecuación 8x – 3x2 + 5 = x + 3 Ec. (1) es equivalente a la ecuación 4 213
23
12x x x
Ec. (2). Para probarlo primero escribiremos cada ecuación en su forma estándar. Ec. (1): – 3x2 +
7x + 2 = 0 y Ec. (2): 2143
43
02x x . Si multiplicamos la Ec. (1) por la constante k23
obtenemos la Ec. 2). Esta constante es el resultado de encontrar un valor tal que el coeficiente de
x2 en la ecuación (1), multiplicado por k, obtengamos el coeficiente de x2 de la ecuación (2):
–3 k = 2 k23
Por lo tanto, las ecuaciones son equivalentes.
Si al asignarle un valor a la variable x de una ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 se satisface la igualdad, entonces se dice que es una solución , una raíz o un cero de la ecuación.El conjunto solución de una ecuación cuadrática tiene como elementos a todas sus raíces, como se vio en la unidad 2 de este libro.Ejemplos:5. x= –2 es una raíz de la ecuación 3x2 + 4x – 4 = 0 porque si sustituimos
la variable x por este valor obtenemos: 3(–2)2 + 4(–2) – 4 = 12 – 8 – 4 = 0; es decir, se satisface la igualdad.
Sin embargo, si hacemos x = –1, obtenemos 3(–1)2 + 4(–1) – 4 = 3 – 4 – 4 = – 5 0. Vemos que –1 no satisface la ecuación y entonces concluimos que –1 no es una de sus raíces.
Ahora observa que si hacemos x23
y sustituimos este valor en la ecuación, obtenemos:
323
423
443
83
123
02
23
también se satisface la igualdad, lo que significa que 23
es otra raíz de
la ecuación.
Una ecuación de segundo grado en una variable tiene únicamente dos raíces, y en general estos valores pueden ser distintos, pero no necesariamente. Deduciremos esta aseveración un poco más adelante.
que un número sea solución de una ecuación de segundo grado?
¿Cuántas raíces t iene una ecuación cuadrática?
ÁLGEBRA
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Ejercicio 1
En los ejercicios 1 y 2 escribe cada ecuación en la forma estándar y determina si es una ecuación
cuadrática en una variable.
1. 7 5 6 7 22 3 3x x x x x
2. 616
14
13
12
32 2 2x x x x x
En los ejercicios 3 y 4 determina si los pares de ecuaciones son equivalentes o no. En caso
afirmativo, da explícitamente la constante que establece la equivalencia.
3. 10x2 – 12x + 6 = 0 y 16
15
110
02x x
4. 14x + 168x2 – 84 = 7 y –24x2 – 2x + 11 = 0
En los ejercicios 5 y 6 determina si el valor dado es una raíz de la ecuación.
5. x53
, 3x2 – x – 10 = 0
6. x32
, 6x2 – 13x + 6 = 0
Tipos de ecuaciones cuadráticas
Observa que en la definición de una ecuación cuadrática el único coeficiente que no puede tomar valores arbitrarios es el de la x2. Si consideramos una ecuación cuadrática en su forma estándar, digamos ax2 + bx + c = 0, la restricción consiste en prohibir que a = 0. De esta manera tenemos que existen ecuaciones cuadráticas de 3 tipos:
ax bx c b c
ax bx b c
ax c c b
2
2
2
0 0
0 0 0
0 0 0
con y
con y
con y
en todosloscasos 0a
Una ecuación de segundo grado en una variable se llama ecuación completa si es equivalente
a una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0, en donde b y c 0.
En caso contrario recibe el nombre de ecuación incompleta .
Recuerda que en todos los casos a 0
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Ejemplos:
6. 14
5 2 02x x es una ecuación cuadrática completa.
7. x2 54
0 es una ecuación incompleta, porque al no tener término lineal (bx ) cae en
el caso b = 0.
8. 6 3 02x x es una ecuación incompleta, porque al no tener término independiente (c),
o si el término independiente es cero, cae en el caso c = 0.
7.2. Ecuaciones incompletas
7.2.1. Solución de la ecuación de tipo ax2+c =0
El método para resolver una ecuación de este tipo es análogo al que se estudió para resolver
las ecuaciones lineales con una variable, ya que consiste básicamente en:
1. Despejar x2.
2. Extraer la raíz cuadrada en ambos miembros.
Empecemos por recordar qué significa que un número a sea raíz cuadrada de un número b.
Para ello consideremos algunos casos particulares: 5 es una raíz cuadrada de 25, porque 52 = 25, de
la misma manera –5 es una raíz cuadrada de 25 porque (–5)2 = 25; 7 y –7 son las raíces cuadradas
de 49 porque 72 = (–7)2 = 49.
Observación. Con respecto a la notación recordarás que en caso de raíces cuadradas reales,
es decir, raíces cuadradas de números no negativos, el símbolo se refiere a la raíz positiva. Por
ejemplo, 144 es 12, porque el símbolo de radical desecha a la raíz negativa, es decir, no toma en
cuenta al –12. Por esta razón, cuando queramos escribir simbólicamente las dos raíces cuadradas de un
número debemos anteponer al radical el símbolo ± . Veamos un ejemplo: 64 8 8 64 8, ;
y 64 8.
Después de estas observaciones estamos listos para resolver ecuaciones incompletas
cuadráticas. Retomemos el tipo de ecuación ax2 + c = 0. Para generalizar el método de solución
empezaremos por resolver algunos casos particulares.
Ejemplos:
9. 4x2 – 100 = 0
ÁLGEBRA
251
Despejando x2 obtenemos: 4x2 = 100 x2 1004
x2 = 25
Extrayendo la raíz cuadrada en ambos miembros: x 25 5
Por lo tanto, las raíces (o soluciones) de la ecuación 4x2 – 100 = 0 son x = 5 y x = –5
Comprobación:
a) Sea x = 5, entonces 4(5)2 – 100 = 100 – 100 = 0. Tenemos que 5 es una raíz de la ecuación.
b) Sea x = –5 entonces 4(–5)2 – 100 = 100 – 100 = 0. Tenemos que –5 es la otra raíz de la
ecuación.
10. –3x2 + 57 = 0
Despejando x2 obtenemos: –3x2 = –57 x2 573
= 19
Extrayendo la raíz cuadrada en ambos miembros: x 19
Por lo tanto, las raíces (o soluciones) de la ecuación –3x2 + 57 = 0 son x = 19 y x = – 19Comprobación:
a) Sea x = 19 , entonces –3( 19 )2 + 57 = –3(19) + 57 = 0. Tenemos que 19 es una
raíz de la ecuación.
b) Sea x = – 19 entonces –3(– 19 )2 + 57 = –3(19) + 57 = 0. Tenemos que – 19 es la
otra raíz de la ecuación.
11. El área de un cuadrado está dada en cm2 y tiene la siguiente característica: si se le restan
100 cm2 el resultado es igual a 44 cm2 . ¿Cuánto mide el lado del cuadrado?
A la longitud en centímetros del lado del cuadrado la llamamos x
El área del cuadrado es: x2
Si al área del cuadrado se le restan 100 cm2
el resultado es 44 cm2: x2 – 100 = 44 Ec. a resolver.
Despejando x2: x2 = 100 + 44 = 144
Extrayendo la raíz cuadrada en ambos lados: x 144 12
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación son x = 12 y x = –12, pero como x representa
la longitud del lado de un cuadrado x = –12 se desecha.
En consecuencia, el lado del cuadrado mide 12 cm.
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Ejercicio 2
En los ejercicios del 1 al 4 resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas:
1. 8x2 – 12 = 20
2. 53
2 2912
2x
3. El cuadrado de la edad de Ana por 5 más 15 es igual a 60. ¿Cuántos años tiene Ana?
4. Considerando únicamente las cantidades, es decir, haciendo caso omiso de las unidades, se sabe que:
el lado de un cuadrado y el lado de un triángulo equilátero son iguales. Si se multiplica la longitud
del lado del cuadrado por la longitud del lado del triángulo, el resultado es igual a la cantidad del
perímetro del cuadrado menos el cuádruple de la longitud del lado del triángulo más 81. ¿Cuáles son
las dimensiones del cuadrado y cuáles son las dimensiones del triángulo?
7.2.2. Solución de la ecuación de tipo ax2+ bx = 0
Empecemos con algunos casos particulares.
Ejemplos:
15. Resolver 2x 2+ 2x= 0
Observa que en una ecuación de este tipo los términos del primer miembro tienen a la variable
x como factor común. Aprovecharemos esta característica para encontrar sus raíces.
Factorizando el primer miembro obtenemos: 2x(x + 1)= 0
Sabemos que si el producto de dos expresiones como 2x (x + 1) es igual a cero, entonces
una de ellas es cero o bien ambas son cero, por lo tanto:
2x(x + 1) = 0 2x = 0 ó x + 1 = 0
Despejando x en cada caso, obtenemos: x = 0 ó x = –1
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación 2x2 + 2x = 0 son x = 0 y x = –1. Comprueba este
resultado.
16. Resolver 34
2 02x x
Factorizando el primer miembro obtenemos: x x( )34
2 0
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Lo que implica que: – x = 0 ó 34
2 0x
Despejando x en cada caso: x = 0 ó x83
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación 34
2 02x x son x = 0 y x83
.
17. El doble del cuadrado de un número equivale al cuádruple del número. Hallar el número.
Al número lo llamamos: x
El doble del cuadrado del número equivale a su cuádruple: 2x2 = 4x Ec. a resolver.
Escribiendo en la forma estándar: 2 x2 – 4x = 0
Factorizando el primer miembro: 2 x(x – 2) = 0
Lo que implica que: 2x = 0 ó x – 2 = 0
Despejando en cada caso obtenemos: x = 0 ó x = 2
Por lo tanto, el problema tiene dos soluciones, el número puede ser x = 0 ó x = 2.
Comprueba este resultado.
Generalizando, tenemos que el método para resolver la ecuación incompleta de la forma
ax2 + bx = 0 es:
Factorizando el primer miembro obtenemos: x(ax+ b) = 0 (I )
Lo que implica: x = 0 ó ax + b = 0
Despejando x, recuerda que a 0: x = 0 ó xba
Observa que una ecuación del tipo ax2 + bx = 0 siempre tiene como soluciones números
reales que son: x = 0 y xba
El cero siempre es solución de la ecuación ax2 + bx = 0.
Ejercicio 3
Resuelve las siguientes ecuaciones:
1. 23
6 02x x
2. 54
72
02x x
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3. 2 2 2 02x x
Resuelve los siguientes problemas:
4. Si se toman 74
del cuadrado de la cantidad de dinero de Juan es lo mismo que si se toma el séptuple
de la cantidad de su dinero. Si Juan tiene su dinero en pesos mexicanos, ¿a cuánto equivale su capital?
5. Pedro es 3 años menor que Mónica y la suma de los cuadrados de ambas edades es 9. H allar la
edad de Mónica.
7.3. Ecuaciones completasH asta ahora sólo hemos estudiado los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas
incompletas. En esta sección veremos varias formas de resolver una ecuación cuadrática de la forma
ax2 + bx + c = 0, es decir, una ecuación cuadrática completa.
7.3.1. Solución de una ecuación cuadrática por factorización
Veamos algunos ejemplos de ecuaciones cuadráticas completas en los cuales es posible
factorizar el primer miembro de la forma estándar, es decir, en los que ax2 + bx + c se puede
descomponer como el producto de dos factores de la forma ( px+ q) y (rx+ s), en donde p, q, r y s
son números enteros.
Si tienes dificultades con la factorización de expresiones de la forma ax2 + bx + c, te
recomendamos reforzar tus conocimientos con ayuda de la unidad 2 de este libro.
18. Resolver 2x2 + 5x – 12 = 0
Factorizando el primer miembro, obtenemos: (2x – 3)(x + 4) = 0 (ambos factores se igualan a cero)
Lo que implica que: 2x – 3 = 0 ó x + 4 = 0
Despejando x en cada ecuación lineal: x =32
ó x = –4
Por lo tanto, las raíces (o soluciones) de la ecuación 2x2 + 5x – 12 = 0 son x =32
y
x = –4. Comprueba este resultado. Las soluciones están dadas por S = {32
, –4} .
ÁLGEBRA
255
19. Resolver 30x 2 – 4x – 2 = 0
Factorizando el primer miembro, obtenemos:
( 5x + 1)(6x – 2) = 0
Lo que implica que:
5x + 1 = 0 ó 6x – 2 = 0
Despejando x en cada ecuación lineal:
x = 15
ó x = 13
Por lo tanto, las raíces (o soluciones) de la ecuación 30x2 – 4x – 2 = 0 son x = 15
y
x = 13
.
Comprueba este resultado. El conjunto solución está dado por S = {15
, 13
} .
20. Considera la ecuación x2 – x + 5 = 0 .
Para factorizar buscamos dos números enteros tales que al multiplicarlos se obtenga 5 y
al sumarlos sea –1. Según lo visto en la unidad 2. La siguiente tabla muestra todos los pares de
números enteros cuyo producto es 5.
Posibles números Producto Suma
1, 5 (1)(5) = 5 1 + 5 = 6
–1, –5 (–1)(–5) = 5 –1 – 5 = –6
En ninguno de los casos las suma es –1. Por lo tanto, la expresión x2–x+ 5 no es factorizable
(en los enteros) y, en consecuencia, la ecuación x2 – x + 5 = 0 no puede resolverse por el método
de factorización.
21. Resolver 49x2 – 14x + 1 = 0.
Factorizando el primer miembro obtenemos: (7x – 1)(7x – 1) = (7x – 1)2 = 0
Lo que implica que: 7x – 1 = 0
Despejando x: x = 17
Como los dos factores son iguales, las raíces de la ecuación 49x2 – 14x + 1 = 0 son iguales;
específicamente son iguales a x = 17
. Comprueba este resultado. El conjunto solución está dado por
¿Todas las ecuaciones
cuadráticas pueden
resolverse por el método de
factor ización?
Unidad 7
256
S = {17
, 17
} , esto con la finalidad de indicar que 17
es dos veces raíz y también para indicar que
la ecuación original es 49x2 – 14x + 1 = 0 y no 7x – 1 = 0.
Generalizando, podemos decir:
Si en una ecuación cuadrát ica de la forma ax2 + bx + c = 0 la
expresión ax2 + bx + c es un trinomio cuadrado perfecto, entonces las dos
raíces de la ecuación ax2 + bx + c = 0 son iguales.
Se dice que una ecuación con estas características tiene una raíz doble o de
multiplicidad dos . Por otra parte, si la raíz de una ecuación cuadrática no se repite, entonces se
dice que la raíz es de multiplicidad uno .
22. Resolver 121x2 – 66x + 9 = 0
Factorizando el primer miembro, obtenemos: (11x – 3)(11x – 3) = (11x – 3)2 = 0
Lo que implica que: 11x – 3= 0
Despejando x: x = 311
La expresión 121x2 – 66x + 9 = 0 es un trinomio cuadrado perfecto. Por lo tanto, la ecuación
121x2 – 66x + 9 = 0 tiene una raíz de multiplicidad 2 que es x = 311
. Comprueba este resultado.
Las soluciones están dadas por S = { 311
, 311
} .
23. Si a un número se le suman 6 unidades y se eleva al cuadrado, el resultado es igual al
triple del cuadrado del número menos el doble del número. ¿Cuál es el número?
Al número original lo llamamos: x
El número más 6 unidades es: x + 6
El cuadrado del número más 6 unidades es: (x + 6)2
El triple del cuadrado del número menos su doble es: 3x2 – 2x
El cuadrado del número más 6 unidades es igual al triple del cuadrado del número menos
el doble del número: (x + 6)2 = 3x2 – 2x Ec. a resolver.
Desarrollando el binomio del primer miembro: x2 + 12x + 36 = 3x2 – 2x
Reduciendo términos semejantes: –2x2 + 14x + 36 = 0
Dividiendo entre –2: x2 – 7x – 18 = 0
Factorizando el primer miembro: (x – 9)(x + 2) = 0
Lo que implica que: x – 9 = 0 ó x + 2 = 0
Despejando x en cada ecuación lineal: x = 9 ó x = –2
Por lo tanto, existen dos números que satisfacen las características deseadas: 9 y –2. Comprueba
este resultado. Las raíces son de multiplicidad uno.
¿Las raíces de una ecuación cuadrática siempre son di ferentes?
ÁLGEBRA
257
Generalizando, podemos decir que si una ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 se puede
descomponer como el producto de dos factores de la forma ( px+ q) y (r x+ s), en donde p, q, r y s
son enteros, entonces su solución se reduce a la solución de dos ecuaciones lineales:
ax2 + bx + c = ( px + q)(rx + s) = 0, lo cual implica que (px + q) = 0 ó (rx + s) = 0.
Despejando x en cada ecuación lineal obtenemos xqp
ó xsr
, que son las soluciones
de la ecuación ax2 + bx + c = 0.
Observa que como pr = a 0, entonces queda garantizado que p 0 y q 0, por lo que
siempre será posible despejar x en cada una de las ecuaciones lineales que forman la factorización
de la ecuación cuadrática.
Ejercicio 4
En los ejercicios del 1 al 3 resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas por el método de factorización
e indica si sus raíces son de multiplicidad 1 ó 2.
1. 24x2 + 52x – 20 = 0
2. 169 x2 – 26 x = –1
3. 10 x2 + 10 = 29x
4. La suma de un número más el doble de otro es –1 y la diferencia de sus cuadrados es 21. Si se
sabe que los números son enteros, halla los números.
5. En una caja con un solo nivel hay 180 manzanas distribuidas en un cierto número de filas. El
número de manzanas en cada fila es 11 más que el número de filas. ¿Cuántas filas hay y cuántas
manzanas hay en cada una?
Unidad 7
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7.3.2. Solución de una ecuación cuadrática completando el trinomio cuadrado perfecto
De todos los trinomios de la forma ax2 + bx + c, en donde a, b y c son todos números
enteros diferentes de cero, el más sencillo de factorizar es "el trinomio cuadrado perfecto", es decir,
un trinomio cuya factorización es de la forma ( px + q)2, con p y q números enteros.
Cuando se tiene una ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx = c, con a y b enteros
diferentes de cero, siempre es posible encontrar un d (número entero) tal que ax2+ bx+ d sea un
trinomio cuadrado perfecto. Encontrar este d es lo que se conoce como completar el trinomio
cuadrado perfecto .
Empezaremos con un tipo particular de ecuación cuadrática, la que tiene a 1 como coeficiente
de x2: (a= 1). Su forma general es: x2 + bx = c.
Veamos algunos ejemplos.
Consideraremos una ecuación de la forma x2 + bx = c Ec. (I ). Observa que seguimos con
el caso particular de a = 1.
El cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal es:
12 4
2 2
bb
Sumando el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal en ambos miembros de la
Ec. (I) obtenemos:
x bxb
cb2
2 2
4 4
Factorizando el primer miembro:
xb
cb
2 4
2 2
Por lo tanto, x bxb2
2
4 es un trinomio cuadrado perfecto.
Resumimos todo este procedimiento en el siguiente recuadro:
Para completar el cuadrado en una ecuación de la forma x2+ bx= c, se suma en ambos
miembros el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal.
Simbólicamente:
x bx
bc
b22 2
4 4
En los siguientes ejemplos completaremos el trinomio cuadrado perfecto del primer miembro
para resolver la ecuación.
ÁLGEBRA
259
Ejemplos:
24. Resolver x2 + 18x = –65.
Completando el trinomio cuadrado perfecto, obtenemos: x x22 2
18182
65182
x2 + 18x + 92 = 16
Factorizando el primer miembro: (x + 9)2 = 16
Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros: x + 9 = ± 4
Despejando x: x = ± 4 – 9 = –5, –13
Por lo tanto, las raíces de la ecuación x2 + 18x = –65 son –5 y –13. Comprueba este resultado.
H emos visto que, independientemente del tipo de raíces que arroje una ecuación cuadrática
de la forma x2 + bx = c, la aplicación del método de completar el trinomio cuadrado perfecto no
cambia. Veamos ahora qué sucede si aplicamos este método para resolver una ecuación cuadrática
con coeficiente principal (el coeficiente de la x2) diferente de 1.
Ejemplos:
26. Resolver por el método de completar el trinomio cuadrado perfecto la ecuación
3x2 – 9x = 5 Ec. (I ).
Como ya estudiamos la forma como se aplica el método en ecuaciones del tipo x2 + bx = c,
resulta natural proceder como sigue:
Tomando como factor el coeficiente de x2 en el primer miembro de la ecuación Ec. (I )
obtenemos: 3(x2 – 3x) = 5.
Completando el trinomio cuadrado perfecto dentro del paréntesis:
3
12
3
312
3
2
2
tambiénafecta a
x x2 2
5 312
3
3 332
474
22
x x
Unidad 7
260
Dividiendo ambos miembros entre 3: x x22
332
4712
Factorizando el primer miembro: x32
4712
2
Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros: x32
4712
472 3
Despejando x: x32
472 3
Racionalizando: x9 141
6
Por lo tanto, las raíces de la ecuación 3x2 – 9x = 5 son: 9 1416
9 1416
y . Comprueba
este resultado.
Recuerda que:
Extraer la mitad a un número es equivalente a multiplicarlo por 12
.
Mitad de a = (12
)a.
27. Resolver por el método de completar el t rinomio cuadrado perfecto la ecuación
9x2 – 17x – 2 = 0 Ec. (I ).
Escribiendo la Ec. (I ) en la forma ax2 + bx = c, obtenemos: 9 x2 – 17x = 2.
Tomando como factor el coeficiente de x2 en el primer miembro obtenemos:
9179
22x x
Completando el trinomio cuadrado perfecto dentro del paréntesis:
9
12
179
179
12
2
2
tambiénafectaa
x x179
2 912
179
2 2
9179
1718
36136
22
x x
Dividiendo ambos miembros por 9: x x2217
91718
361324
ÁLGEBRA
261
Factorizando el primer miembro: x1718
361324
2
Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros: x1718
361324
1918
Despejando x: x1718
1918
Por lo tanto, las raíces de la ecuación 9x2 – 17x – 2 = 0 son 2 y 19
. Comprueba este
resultado.
28. Cierto número de amigos compraron una computadora que costó 3 500 dólares. La
cantidad de dinero que paga cada persona excede en 493 al número de amigos. Si se sabe que todos
pagaron la misma cantidad, ¿cuántos amigos son?
Resolver por el método de completar el trinomio cuadrado perfecto.
Al número de amigos lo llamamos: x
A la cantidad de dinero que paga cada uno la llamamos: y
La computadora costó 3 500 dls: xy = 3 500 Ec. (I )
El dinero que paga cada uno excede en 493 dls al número de amigos:
y = x + 493 Ec. (I I )
Sustituyendo el valor de y de la Ec. (I I ) en la Ec. (I ): x(x + 493) = 3 500
x2 + 493x = 3 500 Ec. a resolver.
Completando el trinomio cuadrado perfecto en el primer miembro:
x x2
2 2
4934932
3 5004932
x x2
2
4934932
257 049
4
Factorizando el primer miembro: x4932
257 0494
2
Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros: x4932
257 049
4507
2
Despejando x: x4932
5072
Unidad 7
262
Por lo tanto, las raíces de la ecuación x2 + 493x = 3 500 son 7 y –500. Como en el
problema x representa al número de amigos, la raíz negativa se desecha. En consecuencia, tenemos
que el número de amigos es 7. Comprueba este resultado.
Ejercicio 5
Resuelve por el método de completar el trinomio cuadrado perfecto las ecuaciones de los ejercicios
del 1 al 4.
1. x2 – 8x – 33 = 0
2. x2 + 5x = 15
3. 4x2 – 18x = 1
4. En un número de dos cifras se sabe que el dígito de las unidades es igual al cuadrado del dígito
de las decenas y que la suma de los dos dígitos es 12. ¿Cuál es el número?
5. Si se compra cierta cantidad de libros el costo total será de $378.00; si se compraran 3 libros
menos y se gastara la misma cantidad, el costo de cada libro aumentaría $3.00. ¿Cuántos libros se
compraron y cuánto cuesta cada uno?
7.3.3. Deducción de la fórmula para resolver la ecuación general de segundo grado
Consideremos la ecuación cuadrática completa de la forma ax2 + bx + c = 0 y apliquemos
el método de completar el trinomio cuadrado perfecto.
Restando c en ambos miembros obtenemos: ax2 + bx = –c.
Tomando como factor el coeficiente de x2 en el primer miembro obtenemos:
a xba
x c( )2
Completando el trinomio cuadrado perfecto dentro del paréntesis:
a xba
xba
c aba
22
12
12
2
ÁLGEBRA
263
Dividiendo ambos miembros entre a: xba
xba
ca
ba
22
12
12
2
Factorizando el primer miembro: xba
ca
ba2 4
2 2
2
x
ba
b aca24
4
2 2
2
Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros tenemos:
x
ba
b aca
b aca2
44
42
2
2
2
Despejando x: xba
b aca24
2
2
x
b b aca
2 42
Lo que hemos obtenido es la fórmula para calcular las raíces de una ecuación cuadrática de
la forma ax2 + bx + c = 0.
Fórmula para resolver la ecuación general de segund o grado
La ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 tiene como raíces a: xb b ac
a
2 42
(7.1)
Ejemplos:
29. Aplica la fórmula (7.1) para resolver la ecuación 187x2 – 57 = –158x
Escribiendo la ecuación en su forma estándar obtenemos: 187x2 + 158x – 57 = 0
Determinando los valores de a, b y c en la fórmula (7.1): a= 187, b= 158, c= –57
Aplicando la fórmula (7.1): x158 158 4 187 57
2 187
2( ) ( )( )
( )
158 24 964 42 636
374
158 67 600
374158 260
374
Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación 187x2 + 158x – 57 = 0 es S = 3
111917
, .
Comprueba este resultado.
Unidad 7
264
Comprueba este resultado.
Todas las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver, ya que sus raíces pueden ser números
reales o números complejos. Un número complejo es aquel que se forma de la suma de un
número real con un número imaginario y su forma general es p + qi, donde p y q son números
reales e i = 1, la unidad de los números imaginarios. Observa que en un número complejo
si p = 0, se tiene 0 + qi , un número imaginario puro, y por otro lado si q = 0 se tiene p +
0i un numero real. Una forma de obtener los números complejos es resultado de resolver una
ecuación general de segundo grado ax2 + bx + c = 0 con la fórmula general, siempre y cuando
su discriminante b2 – 4ac sea negativo. Veamos un ejemplo.
Ejercicio 6
Aplica la fórmula 7.1 para resolver las ecuaciones de los siguientes ejercicios:
1. x2 – 26x – 120 = 0
2. 3 2 1 02x x
Determina si cada problema tiene solución. En caso afirmativo resuélvelo.
3. Se tiene un número de dos cifras tal que la suma del dígito de las unidades más el dígito de las
decenas es 11 y la suma de sus cuadrados es 101. ¿Cuál es el número?
4. Se han comprado dos rollos de alambre de diferente tipo que juntos contienen 40 m. El metro
de cada rollo costó una cantidad igual, en pesos, que el número de metros que contiene el rollo. Si
un rollo costó el cuádruple del otro, ¿cuál es la longitud de cada uno?
Caso práctico de aplicación
Cierto piloto conversaba sobre sus experiencias de vuelo y aseguraba que volando a una
velocidad de 250 km/h le tomaba 30 minutos más recorrer una distancia de 150 km en contra del
viento que a favor. Un segundo piloto lo rebatía asegurando que el primero alardeaba. ¿Cuál de
los dos pilotos tiene razón?
ÁLGEBRA
265
A la velocidad del viento en kilómetros por hora la llamamos: v
Al tiempo que tarda en recorrer 150 km a favor del viento lo llamamos: t
La velocidad a favor del viento es: (250 + v) kmh
La velocidad en contra del viento es: (250 – v) kmh
El tiempo que tarda en recorrer 150 km a favor del viento está dado por:
tvelocidad vdistancia 150
250 Ec. (I )
t(250 + v) = 150 Ec. (I ’)
Le toma 30 minutos (0.5 h) más recorrer una distancia de 150 km en contra del viento:
250
1505
vt .
(250 – v)(t + .5) = 150 Ec. (I I )
Igualando la Ec. (I ’) con la Ec. (I I ): t(250 + v) = (250 – v)(t + .5)
2vt + .5v – 125 = 0 Ec. (I I I )
Sustituyendo el valor de t de la Ec. (I ) en Ec. (I I I ) tenemos: 2150
2505 125 0v
vv.
Multiplicando ambos miembros por 250 + v: 2v(150) + .5v(250 + v) – 125(250 + v) = 0
v2 + 600v – 62 500 = 0 Ec. a resolver.
Aplicando la fórmula 7.1: v600 360 000 4 62 500
2
( )( )
300 10 1525
Por lo tanto, la velocidad del viento es 300 10 1525 90 5kmh
kmh
. . En consecuencia,
el segundo piloto tenía razón; tal parece que el primer piloto exageró un poco su historia.
Unidad 7
266
Ejercicios resueltos
1. Si el doble de un número se eleva al cuadrado el resultado es 256. H allar el número.
Al número lo llamamos: x
El doble del número se eleva al cuadrado y el resultado es 256: (2x)2 = 256
4x2 = 256 Ec. a resolver.
Dividiendo entre 4 ambos miembros para despejar x2: x2 = 64
Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros: x = ± 8
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación son 8 y –8. Como el problema no tiene restricciones,
existen dos números con las características requeridas: 8 y –8. Comprueba este resultado.
2. Resolver x x x32
272
Escribiendo la ecuación en la forma estándar: 32
32
02x x
Multiplicando por 23
ambos miembros obtenemos: x2 – x = 0
Factorizando el primer miembro: x(x – 1) = 0
Lo que implica que: x = 0 ó x = 1
Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación x x x32
272
es: S = { 0, 1} .
3. Si al triple del cuadrado de un número se le resta el doble del número, el resultado es cero. H allar
el número.
Al número lo llamamos: x
Si al triple del cuadrado del número se le resta
el doble del número, el resultado es cero: 3x2 – 2 x = 0 Ec. a resolver.
Factorizando: x(3x – 2) = 0
Lo cual implica que: x = 0 ó x = 23
Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación 3x2 – 2 x = 0 es S = { 0, 23
} . En consecuencia,
el problema tiene dos soluciones, es decir, existen dos números que satisfacen las condiciones requeridas:
0 y 23
.
ÁLGEBRA
267
4. Encontrar el valor de dos números cuyo producto es –864 y su suma es 5.
Al primer número lo llamamos: x
Al segundo número lo llamamos: y
La suma de los dos números es 5: x + y = 5
y = 5 – x Ec.(I )
El producto de los números es –864: xy = –864 Ec. (I I )
Sustituyendo el valor de y de la Ec. (I ) en la Ec. (I I ): x(5 – x)= –864
x2–5x–864= 0
Determinando los valores de a, b y c de la fórmula 7.1: a = 1, b = –5 y c = –864
Aplicando la fórmula 7.1: x5 5 4 864
2
2( ) ( )
5 3481
25 59
2
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación x2 – 5x – 864 = 0 son: 32 y –27, lo que significa
que si x = 32, el otro número es: y = 5 – 32 = –27, y si x = –27, el otro número es y = 5 + 27 =
32. En consecuencia, el único par de números que satisface las condiciones requeridas es –27 y 32.
Comprueba este resultado.
5. Resolver por factorización la ecuación 14x(x – 2) = 20 – x.
Escribiendo la ecuación en la forma estándar: 14x2 – 27x – 20 = 0
Factorizando el primer miembro: (2x – 5)(7x + 4) = 0
Lo que implica que: x = 52
ó x = 47
Por lo tanto, las raíces de la ecuación 14x(x – 2) = 20 – x son: 52
47
y . Comprueba este
resultado.
6. En una cava (llena) de forma rectangular se tienen 187 botellas de vino. El número de botellas
en cada columna es 6 unidades menor que el número de columnas que hay. ¿Cuántas botellas hay
en cada columna?
Al número de botellas en cada columna lo llamamos: x
Al número de columnas lo llamamos: y
El número de botellas en cada columna es 6 unidades menor
que el número de columnas que hay: x + 6 = y Ec. (I )
La cava tiene forma rectangular y tiene 187 botellas; como el número de botellas por columna
es x y el número de columnas en la cava es y, tenemos que: xy = 187 Ec. (I I )
Unidad 7
268
Sustituyendo el valor de y de la Ec. (I ) en la Ec. (I I ): x(x + 6) = 187
x2 + 6x = 187 Ec. a resolver.
Completando el trinomio cuadrado perfecto: x2 + 6x + 32 = 187 + 32
Factorizando el primer miembro: (x + 3)2 = 196
Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros: x 3 196 14
Despejando x: x = – 3 ± 14
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación x2 + 6x = 187 son 11 y –17. Como x representa
en el problema el número de botellas en cada columna, no puede ser negativa. En consecuencia, el
número de botellas que hay en cada columna es 11. Comprueba este resultado.
7. H allar 3 enteros consecutivos tales que el cociente del mayor entre el menor es igual a la mitad
del intermedio.
Al menor de los números lo llamamos: x
Entonces los números intermedio y mayor son respectivamente: x + 1 y x + 2
El cociente del mayor entre el menor es igual a la mitad del intermedio: x
xx
2 12
1( )
Multiplicando por x ambos miembros: x x x212
1( )
x2 – x – 4 = 0 Ec. a resolver.
Determinando el valor de a, b y c para aplicar la fórmula 7.1: a = 1, b = –1 y c = –4.
Aplicando la fórmula 7.1: x1 1 4 4
2
( )
1 172
Por lo tanto, las raíces de la ecuación x2 – x – 4 = 0 son: 1 17
21 17
2, . Como ninguna
de las raíces es un número entero, el problema no tiene solución.
ÁLGEBRA
269
Ejercicios propuestos
1. El precio de un automóvil usado fue 8 veces lo que costó arreglarle su tapicería. Si la suma de los
cuadrados del costo del automóvil más el costo de la tapicería fue de $158 184 000.00, ¿cuánto
costó el automóvil y cuánto costó arreglar su tapicería?
2. Patricia es 7 años mayor que Manuel y la suma de los cuadrados de ambas edades es 2 405.
H allar la edad de cada uno.
3. Resuelve por factorización las siguientes ecuaciones cuadráticas:
a) 6x2 + 8x – 8 = 0
b) 5x2 – 2x – 7 = 0
c) 121x2 + 169 – 286x = 0
4. Cierto número de personas reunieron la cantidad $14 000.00 para apoyar una causa. Todas
aportaron la misma cantidad, y ésta excede en 535 al número de personas. Si se sabe que todos
pagaron la misma cantidad, ¿cuántas personas son y cuánto aportó cada una?
5. Resuelve por el método de completar el trinomio cuadrado perfecto cada una de las siguientes
ecuaciones:
a) 2x(x – 1) = 3 – 6x2
b) x x x x2 2 2252
2( ) ( )
6. Si se compra cierta cantidad de libretas el costo total será de $1 200; si se compraran 5 libretas
menos y se gasta la misma cantidad, el costo de cada libreta aumentaría $1.00. ¿Cuántas libretas
se compraron y cuánto cuesta cada una?
Unidad 7
270
7. Aplica la fórmula 7.1 para resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas:
a) 54
7 02x
8. Retomando el problema del "caso práctico", supón que los datos del primer piloto son los
siguientes: si vuela a una velocidad de 260kmh
le toma 20 minutos más recorrer una distancia de
150 km en contra del viento que a favor. ¿Cuál es la velocidad del viento?
ÁLGEBRA
271
Autoevaluación
1. Aplica el método de factorización para indicar el tipo de raíces de la siguiente ecuación cuadrática:
7x2 – 19x + 10 = 0.
a) Enteras.
b) Imaginarias puras.
c) Racionales.
d) I rracionales.
e) No tiene solución.
2. Aplica el método de completar el trinomio cuadrado perfecto para indicar el tipo de raíces de la
siguiente ecuación cuadrática: 3x2 – 2x – 7 = 0.
a) Complejas.
b) Imaginarias puras.
c) Racionales.
d) I rracionales.
e) Enteras.
3. Aplica la fórmula 7.1 para indicar el tipo de raíces de la siguiente ecuación cuadrática:
527
87 02x x .
a) Enteras.
b) Complejas.
c) Racionales.
d) I rracionales.
e) No tiene solución.
4. La diferencia de dos números es 19 y su suma multiplicada por el número mayor es 60. H allar
los números.
a) 21 y 2
b) 35 y 16
c) 18 y –1
d) No tiene solución.
e) –7 y 12
Unidad 7
272
5. La longitud (en metros) de un trozo de tela en forma rectangular es 3 veces su ancho. Si
su longitud se disminuye 12
metro y su ancho se aumenta en 1 metro, el área aumenta en 34
metros
cuadrados, ¿cuáles son las dimensiones de la tela?
a) Ancho 12
m y largo 1 12 m.
b) Ancho 1 m y largo 3 m.
c) Ancho 34
m y largo 2 14 m.
d) Ancho 4 m y largo 12 m.
e) No tiene solución.
ÁLGEBRA
273
Respuestas a los ejercicios
1. x2 + 7x – 7 = 0, sí es una ecuación cuadrática.
2. 7134
0x , no es una ecuación cuadrática.
3. Sí. k160
.
4. No son equivalentes.
5. x53
, no es solución o raíz.
6. x32
, sí es solución o raíz.
1. x = ± 2
2. x12
3. 3 años.
4. Lado del cuadrado = lado del triángulo = 9 unidades.
1. x = 9, 0
2. x =145
, 0
3. x = 12
, 0
4. $4.00
5. 3 años.
1. 13
52
y , ambas multiplicidad 1.
Ej. 1
Ej. 2
Ej. 3
Ej. 4
Unidad 7
274
2. 113
, multiplicidad 2.
3. 25
52
y , ambas de multiplicidad 1.
4. 2 y –5
5. 9 filas. Cada fila contiene 20 manzanas.
1. 11 y –3
2. 5 85
2
3. 9 854
4. 39
5. Se compraron 21 libros y cada libro cuesta $18.00.
1. 30 y –4
2. 2 2 4 3
2 3
6 6 12 36
3. Las soluciones de la ecuación son 1 y 10. El problema no tiene solución ya que los
dígitos son números menores o iguales que 9.
4. La longitud de un rollo es 803
m y la del otro 403
m.
1. Costo del automóvil $12 480.00, costo de la tapicería $1 560.00.
2. Manuel tiene 31 años y Patricia 38 años.
3.
a) 23
y –2
b) 75
y –1
c) 1311
(multiplicidad 2).
Ej. 5
Ej. 6
Ejercicios propuestos
ÁLGEBRA
275
4. 25 personas. Cada una aportó $560.00.
5.
a) 34
12
y
b) 9 415
6. Se compraron 80 libretas y cada una costó $15.00.
7.
a) 2 35
5
8. La velocidad del viento es: 10 2 701 450 km/h. Aproximadamente 69.71 km.
1. c)
2. d)
3. b)
4. e)
5. a)
Autoevaluación
