semana 6 mate2 enero9-13
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SEGUNDO PARCIAL
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3er. Método: Fórmula General
Existe un método que no aplica la factorización sino que utiliza la fórmula general que sirve para resolver cualquier ecuación de segundo grado y emplea los coeficientes a, b y c correspondientes a la forma general ax2+bx + c de la ecuación. La fórmula es:
X1,2 = -b± √b2 – 4ac 2a
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Ejemplos:1) 5x2-3x-2=0
2) 4x2-12x = 0
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Ejercicios:1) 3x2+4x+1=02) 8x2=10x-23) 6x2=4x4) -x2=x-725) -x2-3x+54=06) -8x2+1352= 07) 14x2-17x= 0
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Características de las raíces de una ecuación cuadrática.Las raíces dependen directamente del discriminante. Llamamos
discriminante a la expresión b2-4ac, el cual sirve para poder determinar, antes de resolver una ecuación cuadrática, el tipo de solución que habrá.
TIPOS DE SOLUCIONES:1) Si b2-4ac>0, las soluciones de la ecuación serán reales y diferentes.2) Si b2-4ac=0, las soluciones de la ecuación serán reales e iguales.3) Si b2-4ac<0, la ecuación NO tiene solución y sus raíces son
imaginarias.
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Ejemplos:
1) x2 -4x + 5 = 0a= 1 b=-4 c=5
X1,2 = -(-4) ± √(-4)2 – 4(1)(5) = 4 ± √-4 = Debido a que no existe la raíz2(1) 2 cuadrada de un número
negativo,la ecuación NO tiene solución.Este es un ejemplo del tercer
tipode solución.
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2) –x2-3x+54 =0a= -1 b=-3 c= 54
X1,2 = -(-3) ± √(-3)2 – 4(-1)(54) = 3 ± √225 = 3 ± 15 = 2(-1) -2 -2
X1 = 3 + 15 = 18 = -9 -2 -2X2= 3 – 15 = -12 = 6 Este es un ejemplo del 1er. Tipo de -2 -2 solución.
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UTILIZA TRIANGULOS: ANGULOS Y RELACIONES METRICAS
Ángulos en el plano
En este bloque desarrollarás habilidades para resolver problemas de geometría plana.La palabra Geometría tiene sus raíces griegas: Geo que proviene de tierra y metría la cual significa medida, por tanto, Geometría significa “medida de la tierra”.
Euclides fue quien en su famosa obra titulada “Los Elementos” recopila, ordena y sistematiza todos los conocimientos de Geometría, bajo un razonamiento deductivo.La Geometría Euclideana se divide en Geometría plana y Geometría en el espacio, en ésta asignatura se estudiará la Geometría plana, la cual estudia las figuras contenidas en el espacio.
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Definición de ángulo.Un ángulo en el plano se define como la abertura formada por dos semirrectas que tienen en común su origen, éstas se llaman lados del ángulo y el punto en común se denomina vértice.A los lados del ángulo se les conoce como lado inicial y lado final, los cuales se determinan siguiendo el sentido contrario a las manecillas del reloj como se muestra en la figura, en cuyo caso decimos que el sentido es positivo, en caso contrario, el sentido sería negativo.
Lado final
VérticeLado inicial
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Los ángulos se pueden nombrar de diferentes formas, tomando en cuenta: los puntos que se unen para formarlo, la letra que distingue al vértice o bien por algún número asignado. Como se muestra a continuación
C 1
O A ASe escribe como:˂AOCTeniendo la precaución de escribir los puntos con mayúsculas y la letra que distingue al vértice del ángulo en el centro.
Se escribe como:˂ADebido a que es la letra que distingue al vértice del ángulo.
Se escribe como:˂1En este caso se puede nombrar con números o letras del alfabeto griego en el interior del ángulo.
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Clasificación de ángulos.Según la medida de su abertura, los ángulos tienen la siguiente clasificación.
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Existe una clasificación por parejas de ángulos, dependiendo de la suma de ambos como se muestra a continuación.
Ángulos consecutivos: Son aquéllos que tienen un lado y el vértice en común.
Ángulos adyacentes: Son aquéllos que tienen un lado y el vértice en común, y los lados no comunes son colineales, es decir, se encuentran sobre la misma recta.
Opuestos por el vértice: Son los ángulos no adyacentes que se forman al cortarse dos rectas y tienen la misma medida.
Ángulos complementarios: Son dos ángulos cuya suma es igual a 90°. Se dice que cada uno de ellos es complementario del otro.
Ángulos suplementarios: Son dos ángulos cuya suma es igual a 180°.
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Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante
IMPORTANTE:•Los ángulos alternos internos tienen la misma medida.•Los ángulos alternos externos tienen la misma medida.•Los ángulos colaterales internos son suplementarios, es decir suman 180°.•Los ángulos correspondientes tienen la misma medida.
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EJERCICIO: Encuentra los valores de los ángulos faltantes
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