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Todo lo que se puede conocer tiene un número. Sin el número, no conocemos ni comprendemos nada.
Filolaos (siglo V a.C.)
Unidad 5Sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables
Objetivos:
problema.
ÁLGEBRA
159
Introducción
En la unidad 3 definimos lo que es una ecuación lineal en general. En esta unidad
consideraremos solamente las ecuaciones lineales con dos variables; es decir, aquellas que
tengan la forma: ax + by = c, en donde a, b y c son números reales.
Sabemos que una ecuación o un conjunto de ecuaciones se puede interpretar e incluso ser la
representación simbólica de un problema físico. Por ejemplo, supón que tus ahorros son $142.50 y que
te proponen que realices dos inversiones, una de $20.00 y otra de $122.50, las cuales te proporcionarán
como interés total la cantidad de $15.60. Pero si intercambias las cantidades, entonces el interés total
será de $11.70. ¿Cuáles son las tasas de interés? El planteamiento es como sigue:
A las tasas de interés las llamaremos: x y y
Entonces tenemos que el interés total en el primer caso es: 20 x + 122.5y = 15.6 (1)
El interés total en el segundo caso es: 122.5x + 20y = 11.70 (2)
Para determinar las tasas de interés debemos encontrar la solución común o conjunto de
soluciones comunes de las ecuaciones (1) y (2).
Cuando tenemos varias ecuaciones lineales y nos interesa conocer la
intersección de sus soluciones, entonces decimos que tenemos un sistema de
ecuaciones lineales .
Recuerda que una sola ecuación lineal con más de una incógnita tiene un
número infinito de soluciones. Por tal motivo, cuando se resuelve un sistema
de ecuaciones lineales lo que se determina es la intersección de los conjuntos solución de cada
ecuación. Debemos tener en cuenta que una ecuación lineal es una ecuación cuyo grado máximo
es 1, y por tanto, un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones donde todas son
de primer grado o lineales.
Ejemplos:
1. Determina si el siguiente sistema de ecuaciones es un sistema lineal:
(1)3 2 3
2 3 1
2
3
x y
x y (2)
Como ambas ecuaciones tienen términos cuyos grados son mayores a 1, concluimos que el
sistema no es lineal.
¿Qué es un sistema de
ecuaciones?
Unidad 5
160
2. Determina si el siguiente sistema de ecuaciones es un sistema lineal.
x y
y x
2 5
13
0 8.
Como ambas ecuaciones son de primer grado, el sistema sí es lineal.
En esta unidad estudiaremos varios métodos para resolver el caso especial de dos
ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Un sistema con dos ecuaciones lineales y dos variables se dice que es un sistema de 2 por 2.
Ejercicio 1
Determina si cada uno de los sistemas es un sistema de ecuaciones lineales en dos variables.
1. 2 3 1 0
32
1
x y
x y
2. 3 3
2
x
y
3. 2 3 2
7 2 1
x xy
y xy
En los ejercicios 4 y 5 escribe el sistema de ecuaciones que describe el problema y determina
si es un sistema de ecuaciones lineales en dos variables.
4. El triple de un número, menos el doble de otro, menos 5 unidades es 3, pero si el primer número
se resta del segundo el resultado es –2.
5. El quíntuple del lado de un cuadrado menos el número que representa su área es 6,
mientras que el doble de su lado más su perímetro es 12.
ÁLGEBRA
161
5.1. Solución algebraica
Resolver un sistema de ecuaciones lineales a través de un método
algebraico asegura la exactitud de las soluciones. Existen varios problemas
que pueden manejarse sin tropiezos por medio de una aproximación
adecuada de su solución. Sin embargo, es importante contar con recursos
que nos conduzcan a respuestas exactas para cuando éstas sean necesarias,
como pudiera ser el caso de cantidades en una concentración química,
cantidades de material para minimizar costos, etcétera.
5.1.1. Método de eliminación
Este método está basado en la equivalencia de ecuaciones. Para obtener ecuaciones equivalentes
a partir de una ecuación dada, se pueden realizar de manera general dos tipos de operaciones.
Primera: sumar o restar la misma cantidad en ambos lados de la ecuación.
Segunda: multiplicar o dividir por la misma cantidad ambos lados de la ecuación.
En los dos tipos de operaciones se incluye la reducción de términos semejantes.
Ejemplos:
3. Considera la ecuación 3x–2= 11x, entonces las siguientes ecuaciones son algunas de sus
equivalentes:
3 x –2 – 3x = 11x –3x Porque se restó 3x en cada miembro.
–2 = 8x Porque se efectuó la resta.2
888x
Porque se dividió entre 8 cada miembro.
14
x Porque se redujo la fracción.
¿Recuerdas cuándo dos
ecuaciones son equivalentes?
Unidad 5
162
4. Considera la ecuación 2 x–5y = –7; entonces las siguientes ecuaciones son algunas de sus
equivalentes:
6 x – 15y = –21 Porque se multiplicó por 3 cada miembro.
–12x + 30y = 42 Porque se multiplicó por –2 cada miembro.
–4x + 10y = 14 Porque se dividió por 3 cada miembro.
23
53
73
x y Porque se dividió por 6 cada miembro.
Ejercicio 2
Determina si las ecuaciones son equivalentes.
1. x + y = 0 y 2 x – 2y = 3
2. x + y = 1 y 3x + 3y = 3
3. 7x + 2y = 1 y 114 x – y = 2
4. 3x – 6 y = 4 y –6x + 12y = –8
5. 12x + 15 = 60y y 8 x – 40 y = –10
Sistemas equivalentes de dos ecuaciones lineales co n dos variables
Decimos que el sistema ax by c
dx ey f es equivalente al sistema
a x b y c
d x e y f1 1 1
1 1 1
si tienen las
mismas soluciones.
Simbólicamente, la equivalencia se representa como: ax by c
dx ey f
a x b y c
d x e y f1 1 1
1 1 1
Los dos sistemas tienen el mismo número de ecuaciones y el mismo número de variables.
El método de eliminación consiste en:
1. Seleccionar dos ecuaciones equivalentes a las del sistema original de tal forma que al
sumarlas o restarlas se elimine una de las variables.
2. Resolver la ecuación resultante.
3. Sustituir en una de las ecuaciones del sistema original o equivalente el valor de la variable
obtenido en 2.
4. Resolver la ecuación resultante.
ÁLGEBRA
163
Ejemplos:
5. x y
x y
5 2 1
3 7 38 2
( )
( )
Siguiendo el punto 1 del método de eliminación, multiplicamos la Ec. (1) por 3 y se la
sumamos a la Ec. (2) para eliminar la variable x. A partir de este ejemplo escribiremos simplemente:
3 Ec. (1) + Ec. (2).
x y
x y
x5 2 1
3 7 38 2
3 15( )
( )La ecuacion se multiplica por(1) 3
yy
x y
6 1
3 7 38 2
( ')
( ')
0 + 22y = 44
Ecuación resultante: 22y = 44
Solución Ec. resultante: y =4422
= 2
Sustituyendo este valor en la Ec. (1) obtenemos: x + 5(2) = 2 x + 10 = 2
Solución Ec. resultante: x = –8
Por lo tanto, la solución del sistema es: x = –8 y y = 2
Comprobación: ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
8 5 2 8 10 2 1
3 8 7 2 24 14 38 2
6. 4 3 5 1
3 2 3 2
x y
x y
( )
( )
En general, el método de eliminación consiste en multiplicar las ecuaciones (1) y (2), de
tal forma que los coeficientes de x (o de y) sean iguales, pero de signo contrario en el sistema
equivalente. I lustremos esta idea con nuestro ejemplo. Observa que:
–3 Ec. (1) + 4 Ec. (2) Elimina la variable x.
4 3 5 1
3 2 3 2
12 9 15 1
12 8 12 2
x y
x y
x y
x y
( )
( )
( ')
( ')
Ecuación resultante: –17 y= –3
Solución Ec. resultante: y3
17
Sustituyendo en la Ec. (2) obtenemos: 3 23
173
51 617
3 51 6 51xx
x
Unidad 5
164
Solución Ec. resultante: x1917
Por lo tanto, la solución es: x y1917
317
y
Comprobación:
41917
33
177617
917
8517
5 1
31917
23
17
( )
5717
617
5117
3 2( )
En este ejemplo los coeficientes de las x en el sistema original eran 3 y 4, y el coeficiente
(con signo contrario) de las x en el sistema equivalente fue 12.
¿Qué relación existe entre 3, 4 y 12?
Veamos otro ejemplo:
7. 6 2 1 1
5 7 0 2
x y
x y
( )
( )
Observa que: 5 Ec. (1) + 6 Ec. (2) elimina la variable x.
Sistema equivalente: 30 10 5 1
30 42 0 2
x y
x y
( ')
( ')
El coeficiente (con signo contrario) de la x es: 30
Los coeficientes de las x en el sistema original eran –6 y 5 y el coeficiente (con signo contrario)
de las x en el sistema equivalente fue 30.
¿Qué relación existe entre 5, 6 y 30?
Por otra parte: 7 Ec. (1) + 2 Ec. (2) elimina la variable y.
Sistema equivalente: 42 14 7 1
10 14 0 2
x y
x y
( ')
( ')
El coeficiente (con signo contrario) de las y es: 14
Los coeficientes de las y en el sistema original eran 2 y –7 y el
coeficiente (con signo contrario) de las y en el sistema equivalente
fue 14.
¿Qué relación existe entre 2, 7 y 14?
Observa que:
En el ejemplo 6 el mínimo común múltiplo de los coeficientes de
las x es MCM(3,4)= 12; por tal motivo, multiplicamos la Ec. (1)
por –3 y la Ec. (2) por 4, para obtener en ambos como coeficientes
12 y –12.
¿Cómo determinar los números por los que se mult iplica cada ecuación de tal forma que sean los ópt imos?
¿Qué relación existe entre los
var iable que se desea eliminar en el sistema or iginal
de esa var iable en el sistema equivalente?
ÁLGEBRA
165
En el ejemplo 7 el mínimo común múltiplo de los coeficientes de las x es MCM(5,6)= 30;
por tal motivo, multiplicamos la Ec. (1) por 5 y la Ec. (2) por 6, para obtener como coeficientes
30 y –30. Por último, en el ejemplo 7 el mínimo común múltiplo de los coeficientes de las y es
MCM(2,7)= 14; por tal motivo, multiplicamos la Ec. (1) por 7 y la Ec. (2) por 2, para obtener
como coeficientes 14 y –14.
Generalizando tenemos lo siguiente:
Si el sistema a resolver es: ax by c
dx ey f
( )
( )
1
2 y se desea eliminar la variable x, entonces:
i. Encuentra MCM(| a| ,| d| )= M. Las barras señalan valor absoluto y lo único que te indican
es que no tomes en cuenta el signo de a, ni el de d.
ii. Determina el entero a', tal que (| a| )(a')= M y determina el entero d', tal que (| d| )(d')= M.
iii. Encuentra el sistema equivalente a través de: a Ec
d Ec
' . ( ) ( ')
' . ( ) ( ')
por
por
1 1
2 2
iv. Dependiendo del signo de a y de d tendrás que sumar o restar para eliminar x y obtener
la ecuación resultante que depende de y.
v. Resuelve la ecuación resultante.
vi. Sustituye el valor de y en cualquiera de las ecuaciones del sistema y despeja x.
La solución del sistema es el valor de x y el valor de y así obtenidos.
Ejemplos:
8. 4 veces un número es 6 unidades menor que el triple de otro, mientras que 10 veces el
primer número es 22 unidades menor que 7 veces el segundo. ¿Cuáles son los números?
Al primer número lo llamamos: x
Al segundo número lo llamamos: y
4 veces x es 6 unidades menor que 3 veces y: 4x + 6 = 3y
Ordenando: 4x – 3y = –6
10 veces x es 22 unidades menos que 7 veces y: 10 x + 22 = 7y
Ordenando: 10x – 7y = –22
El sistema por resolver es: 4 3 6 1
10 7 22 2
x y
x y
( )
( )
Eliminaremos x, entonces calculamos el MCM(4,10) que es 20.
Observa que (4)(5)= 20 y que (10)(2)= 20, por lo tanto:
5 Ec. (1)–2Ec. (2) elimina la variable x.
Unidad 5
166
4 3 6 1
10 7 22 2
20 15 30 1
20 14 44 2
x y
x y
x y
x y
( )
( )
( ')
( ')
Restando miembro a miembro se obtiene la ecuación resultante, que es: – y= 14
Solución Ec. resultante: y = –14
Sustituyendo en la Ec. (1) obtenemos: 4 x – 3(–14)= –6
4x = – 48
Solución Ec. resultante: x = –12
Por lo tanto, la solución es: x= –12 y y= –14; es decir, el primer número es –12 y el
segundo es –14.
Comprobación: 4 12 3 14 6 1
10 12 7 14 22 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Ecuaciones lineales con dos variables linealmente independientes
Si se tiene el sistema
ax by c
dx ey f
( )
( )
1
2
y existe un número k, no necesariamente entero, ni necesariamente positivo, tal que al
sumar las ecuaciones del sistema equivalente
kax kby kc
dx ey f
( ')
( ')
1
2
se obtiene 0= 0; entonces se dice que las ecuaciones Ec. (1) y Ec. (2) son linealmente
dependientes (L.D.).
Dos ecuaciones con dos variables son linealmente dependientes si una es múltiplo de la otra.
Ejemplos:
9. Consideremos el siguiente sistema 12
3 24 1
6 45 2
x y
x y
( )
( )
Para evitar fracciones multiplicamos la Ec. (1) por 2 y obtenemos el sistema equivalente:
0 – y = 14
ÁLGEBRA
167
Única.
x y
x y
6 48 1
6 45 2
( ')
( ')
Restando miembro a miembro obtenemos 0= 3 y esto es un absurdo.
Por lo tanto, el sistema no tiene solución.
H emos visto que dado un sistema de 2 por 2 puede suceder que:
El sistema ax by c
dx ey f genera una expresión de la forma: Tipo d e solución.
Ax =B Ecuación con respecto a x. o
Cy=D Ecuación con respecto a y.
0=k, en donde k es un número diferente de cero. No existe.
Tabla 5.1.
Observación: cuando en un problema en particular se tienen condiciones adicionales para
las variables, el caso de 0= 0 no necesariamente arroja soluciones infinitas.
Ejercicio 3
Resuelve los siguientes sistemas por el método de eliminación.
1. 5 3 22
7 6 10
x y
x y
2. 12 15 3
10 6 4
x y
x y
Aplica el método de eliminación para determinar si cada uno de los siguientes problemas tiene
solución. Si la respuesta es afirmativa, resuélvelo. Si es negativa, explica por qué.
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168
3. Un avión recorrió 1 200 km en 6 h con el viento a su favor, mientras que volando en contra del
viento se demoró 8 h. ¿Cuál es la velocidad del avión con el viento en calma y cuál es la velocidad
del viento?
4. José invirtió una parte de su dinero al 12% y el resto al 18%. El ingreso por las 2 inversiones fue
de $4 500.00. Si hubiera intercambiado sus inversiones, el ingreso habría totalizado $3 240.00.
¿Qué cantidad representa cada parte?
5. La edad de A, más 7
6 la edad de B es 81
3, mientras que el séxtuple de la edad de A, más el
séptuple de la edad de B es 102. ¿Cuántos años tiene A y cuántos años tiene B?
5.1.2. Método de sustitución
Con lo que hemos estudiado hasta ahora, sabemos que un sistema de 2 por 2 está formado
por dos ecuaciones de la forma ax + by = c. Sabemos que la solución de este tipo de ecuación con
respecto a x es: xc by
a, si a 0, o bien que la solución con respecto a y es: y
c axb
, si b 0.
Veamos cómo podemos aplicar esta información a través de algunos ejemplos.
Ejemplos:
10. x y
x y
5 1
2 3 7 2
( )
( )
Por observación podemos apreciar que la Ec. (1) es más simple que la Ec. (2) y la variable
más sencilla para despejar en esta ecuación es x.
Resolviendo la Ec. (1) con respecto a x, obtenemos que: x = 5 + y (1')
Sustituyendo el valor de x en la Ec. (2): 2(5 + y) + 3 y = 7
Realizando operaciones: 10 + 2y + 3y = 7 5 y = –3
Resolviendo la ecuación resultante: y35
Sustituyendo el valor de y en la Ec.(1') obtenemos: x 535
25 35
225
ÁLGEBRA
169
Por lo tanto, la solución del sistema es x y225
35
y
Comprobación:
225
35
255
5 1
2225
335
445
95
3
( )
555
7 2( )
11. Un joyero combina oro de 24 quilates y de 12 quilates y obtiene oro de 18 quilates. Si
tuviera 9 onzas más de oro de 24 quilates, obtendría oro de 20.5 quilates. ¿Cuántas onzas tiene de
oro de 24 quilates y cuántas de oro de 12 quilates?
A la cantidad de onzas de oro de 24 quilates la llamamos: x
A la cantidad de onzas de oro de 12 quilates la llamamos: y
Al combinar el oro de 24 quilates con el oro de 12 quilates se obtiene oro de 18 quilates:
24 x + 12y = 18(x + y)
Desarrollando: x – y = 0
Al combinar 9 onzas más de oro de 24 quilates con el oro de 12 quilates se obtiene oro de
20.5 quilates: 24(x + 9)+ 12y = 20.5(x + y + 9)
Desarrollando: 3.5 x – 8.5y = –31.5
El sistema por resolver es: x y
x y
0 1
3 5 8 5 31 5 2
( )
. . . ( )
Para evitar decimales multiplicamos por 10 la Ec. (2) y obtenemos el sistema equivalente:
x y
x y
0 1
35 85 315 2
( ')
( ')
Resolveremos por el método de sustitución:
Despejando x de Ec. (1), obtenemos: x = y (1'')
Sustituyendo x en la Ec. (2), obtenemos: 35y – 85y = –315 50 y = 315
Resolviendo la ecuación resultante: y31550
6310
6 3.
Sustituyendo el valor de y en la Ec.(1''), obtenemos: x = 6.3
Por lo tanto, la solución del sistema es x = 6.3 y y = 6.3; es decir, el joyero tiene 6.3 onzas
de oro de 24 quilates y 6.3 onzas de oro de 12 quilates.
Comprobación: 6 3 6 3 0 1
3 5 6 3 8 5 6 3 22 05 53 55 31 5 2
. . ( )
. ( . ) . ( . ) . . . ( )
Unidad 5
170
Generalizando, podemos decir que el método de sustitución consiste en:
dado el sistema ax by c
dx ey f
( )
( )
1
2
i. Resolver la Ec. (1) o la Ec. (2) con respecto a una de las variables. A esta ecuación
llámesele Ec. (1')
ii. Si se resolvió la Ec. (1), entonces sustituir el valor de la variable despejada en la Ec. (2).
Si se resolvió la Ec. (2), entonces sustituir el valor de la variable despejada en la Ec. (1).
iii. Despejar la variable de la ecuación resultante.
iv. Sustituir este último valor en la Ec. (1') y despejar la variable en esta ecuación resultante.
v. La solución del sistema es el valor de las variables así obtenidas.
Ejemplos:12. Se tienen $186.00 en monedas de $2.00 y de $5.00. Si las monedas de $2.00 fueran de
$5.00 y las monedas de $5.00 fueran de $2.00, el valor total sería de $150.00. ¿Cuántas monedas
hay de cada una?
A la cantidad original de monedas de $2.00 la llamamos: x
A la cantidad original de monedas de $5.00 la llamamos: y
La suma de las cantidades originales de monedas es $186.00: 2 x + 5y = 186 (1)
Si las monedas de $2.00 fueran de $5.00 y las de $5.00 fueran de $2.00, la suma total sería
$150.00: 2y + 5x = 150 5x+ 2y = 150 (2)
El sistema por resolver es: 2 5 186 1
5 2 150 2
x y
x y
( )
( )
Resolveremos por el método de sustitución; para iniciar seleccionamos la Ec. (2), porque
es la más sencilla: Despejando y de Ec. (2), obtenemos: y
x150 52
1( ')
Sustituyendo y en la Ec. (1), obtenemos: 2 5150 5
2186 4 5 150 5 372x
xx x( )
Desarrollando: 4 5 150 5
2186
x x 21 x = 378
Resolviendo la ecuación resultante: x = 18
Sustituyendo el valor de x en la Ec. (1'),obtenemos: y150 5 18
2602
30( )
Por lo tanto, la solución del sistema es x = 18 y y = 30; es decir, la cantidad original de
monedas es 18 monedas de $2.00 y 30 monedas de $5.00.
ÁLGEBRA
171
Comprobación: 2 18 5 30 36 150 186 1
5 18 2 30 90 60 150 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
13. 15 veces el largo de un rectángulo más 12 veces su ancho es 39 unidades,
mientras que el doble de su ancho más 5
2 de su largo es
132
unidades. ¿Cuáles
son sus dimensiones?
Al largo del rectángulo lo llamamos: x
Al ancho del rectángulo lo llamamos: y
15 veces su largo más 12 veces su ancho es 39 unidades:
15x+ 12 y= 39 .
El doble de su ancho más 5
2 de su largo es
132
: 252
132
52
2132
y x x y
El sistema a resolver es:
15 12 39 1
52
2132
2
x y
x y
( )
( )
Multiplicamos por 2 la Ec. (2) para evitar fracciones: 15 12 39 1
5 4 13 2
x y
x y
( ')
( ')
Lo resolveremos por el método de sustitución:
Resolviendo la Ec. 2') con respecto a y, obtenemos que: yx13 5
4 (1'')
Sustituyendo el valor de y en la Ec. (1'): 15x+ 1213 5
4x
= 39
Multiplicando por 4 tenemos: 60x + 12(13–5x)= 156
60x–60x= 156–156
0 = 0
Al igual que en el método de eliminación, este resultado nos indica que las ecuaciones del
sistema son linealmente dependientes, por lo tanto:
15 12 39 1
52
2132
2
15 12 39 15 4 13 2
x y
x y
x y
x y
( )
( )
( ')
( ')
Observa que si multiplicamos por 3 la ecuación (2') obtenemos la ecuación (1'); esto significa que las ecuaciones son linealmente dependientes.
¿Cómo indica el método de
susti tución que un
sistema tiene un número
soluciones?
Unidad 5
172
La solución de esta última ecuación es yx13 5
4; por lo tanto, el sistema tiene un número
infinito de soluciones. Sin embargo, el hecho de que x y y representen las dimensiones de un
rectángulo nos obliga a restringir sus valores. Por ejemplo x= 5 es una solución del sistema, pero no
puede ser una solución del problema porque entonces y13 5 5
43
( ) y esto es una contradicción.
Por otra parte, si x= 1, entonces y= 2, lo cual significa que el largo del rectángulo es 1 unidad y el
ancho es 2 unidades. Comprueba este resultado y encuentra dos soluciones más al problema.
Ejercicio 4
Aplica el método de sustitución para determinar si cada uno de los siguientes sistemas tiene solución
única, infinitas soluciones o no tiene solución. Si el sistema tiene solución, resuélvelo.
1. 18 12 1
15 10 2
x y
x y
2.
95
425
34
53
112
x y
x y
3.
34
53
712
910
2710
x y
x y
Aplica el método de sustitución para resolver los siguientes problemas:
4. Si el largo de un terreno rectangular se disminuye en 2 m y su ancho se incrementa en 2 m, su
área se incrementa en 16 m2 , pero si su largo se aumenta en 5 m y su ancho se disminuye en 3
m, el área aumenta 15 m2 . ¿Cuál es la superficie del terreno original?
5. El punto de apoyo de dos cargas de 60 kg y 130 kg está situado de tal manera que las cargas
quedan en equilibrio. Sin embargo, si a la carga de 60 kg se le agregan 20 kg, la carga de 130 kg
debe recorrerse 0.75 cm a la izquierda para mantener el equilibrio. Encuentra la distancia original
entre las dos cargas de 60 kg y 130 kg.
ÁLGEBRA
173
5.2. Sistemas de ecuaciones reducibles o resolubles como un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables
En ocasiones la forma como es expresada una ecuación no permite que se le catalogue en
una primera instancia como una ecuación lineal en dos variables, sino que es necesario trabajarla
un poco para notar que pertenece a este tipo de ecuación. En esta sección estudiaremos algunos
procedimientos que nos permitirán obtener sistemas de ecuaciones lineales con dos variables
equivalentes a sistemas de ecuaciones que aparentemente no pertenecen a esta clasificación. También
estudiaremos la forma de resolver algunos sistemas de ecuaciones que no son necesariamente lineales
en dos variables, pero que por medio de un cambio de variable pueden manejarse como tales.
Ejemplos:
14. Cada una de las siguientes ecuaciones es equivalente a una ecuación lineal en dos variables.
a) (y–2)(x+ 2)= x y+ 34
Efectuando el producto del primer miembro, obtenemos: yx + 2y – 2x – 4 = xy + 34
Restando xy en ambos miembros: 2y – 2x – 4= 34
Sumando 4 en ambos miembros: 2y – 2x= 38
Por lo tanto, (y – 2)(x + 2) = xy + 34 2y – 2x = 38
b) (x – 5)2 = (x + 7)2 – 2y
Desarrollando las potencias en cada miembro, obtenemos:
x2 – 10x + 25 = x2 + 14x + 49 – 2y
Restando en ambos miembros: –10 x + 25 = 14 x + 49 – 2y
Sumando 10x – 49 en cada miembro: 24x – 2 y = –24
Por lo tanto, (x – 5)2 = (x + 7)2 – 2y 24x – 2y = –24
Ahora veamos algunos ejemplos de sistemas de ecuaciones que son equivalentes a sistemas
de ecuaciones lineales con dos variables, o bien que, sin serlo, pueden manejarse como tales.
15. Si el largo de una piscina en forma rectangular disminuye en 10 m y su ancho aumenta
10 m, su área se incrementa en 400 m2. Si el largo aumenta 10 m y su ancho disminuye 5 m, el
área de la piscina permanece constante. ¿Cuál es el área de la piscina original?
Unidad 5
174
Al largo original lo llamamos: x
Al ancho original lo llamamos: y
Si el largo disminuye en 10m y el ancho aumenta 10m, el área se incrementa en 400 m2 :
(x – 10)( y + 10) = xy+ 400
Si el largo aumenta 10m y el ancho se disminuye en 5m, el área no cambia:
(x + 10)(y – 5) = xy
El sistema a resolver es: ( )( ) ( )
( )( ) ( )
x y xy
x y xy
10 10 400 1
10 5 2
La Ec. (1): (x –10)(y+ 10)= xy+ 400 xy + 10x–10y –100 = xy+ 400 10x –10y = 500
La Ec. (2): (x + 10)( y – 5)= xy xy–5x + 10y –50 = xy 5x – 10y = –50
Por lo tanto: ( )( ) ( )
( )( ) ( )
( ')x y xy
x y xy
x y10 10 400 1
10 5 2
10 10 500 1
55 10 50 2x y ( ')
Resolveremos este último sistema por el método de eliminación. Observa que este sistema
es lineal en dos variables.
Observa que este sistema es lineal en dos variables. Lo resolveremos por el método de
eliminación; para esto la ecuación (2') se multiplica por –1 y la sumamos a la ecuación (1').
Obtenemos como ecuación resultante: 5x = 550 (1'')
Solución de la ecuación resultante: x = 110
Sustituyendo el valor de x en la Ec. (2'), obtenemos: 5(110)–10y= –50 10y= 600
Solución de la ecuación resultante: y = 60
ÁLGEBRA
175
Por lo tanto, la solución del sistema es x = 110 y y = 60; es decir, el largo original de la
piscina es 110 m y el ancho original es 60 m, y el área original es 6 600 m2.
Comprobación: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )(
110 10 60 10 100 70 7 000 110 60 400 1
110 10 60 5 120 55 6600 110 60 2) ( )( ) ( )( ) ( )
Ejercicio 5
Plantea los problemas del 1 al 4 y reduce cada sistema que los representa a un sistema de dos
ecuaciones lineales con dos variables. Resuélvelos por el método que juzgues más adecuado:
1. Si al ancho de una fotografía en forma rectangular se le suman 2 cm y a su largo se le restan 3 cm,
el área decrece 7 cm2 ; y si al ancho se le restan 2 cm y al largo se le suman 3 cm, el área decrece 5 cm2.
¿Cuáles son las dimensiones de la fotografía?
2. Si al numerador y al denominador de una fracción se le suman 3 unidades la nueva fracción es 7
10.
Sin embargo, si al numerador se le suman 23
, el denominador se multiplica por 3 y se toma el recíproco
de la fracción completa, el resultado es 92
. ¿Cuál es la fracción?
3. Si a una salmuera al 30% se le agregara otra salmuera al 45%, se obtendría una al 38%. Pero si
hubiera 40 l más de salmuera al 30% y se le agregara la salmuera al 45%, la nueva estaría al 32%.
¿Cuántos litros hay de cada una?
4. A y B juntos realizan un trabajo en 35 h. Si A trabaja solo durante 10 h y después B trabaja solo
para terminar el trabajo, B demorará 122.5 h. ¿Cuántas horas tarda cada uno en efectuar solo el
trabajo?
5. Reduce a un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables y resuelve con el método que
consideres más adecuado:
4 4 3 7 2
3 3
2 2
2 2
y x y x y x xy y
x x y x
( )( )
( ) ( )
Unidad 5
176
5.3. Método de Cramer
Gabriel Cramer (1704–1752) fue un matemático suizo que desarrolló el método para
resolver sistemas de ecuaciones lineales con el mismo número de variables que de ecuaciones. En
esta unidad aplicaremos su método a sistemas de dos por dos; en la siguiente unidad lo haremos
para sistemas de tres por tres y de cuatro por cuatro.
El método además de sencillo es muy ingenioso, pues sólo considera los coeficientes y los
términos independientes de las ecuaciones del sistema.
Veamos un ejemplo para entender de qué se trata.
16. Consideremos el sistema 4 5 6 1
2 3 7 2
x y
x y
( )
( )
Despejando x de la Ec. (1), obtenemos: xy6 5
4
Sustituyendo el valor de x en Ec. (2) 26 5
43 7
yy
Multiplicando por (4) 2(6 –5 y)+ (4)(3) y = (4)(7)
((4)(3) – (2)(5)) y = (4)(7) –(2)(6)
y
( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )4 7 2 64 3 2 5
Si en lugar de despejar x en la Ec.(1) hubiéramos despejado y:
yx6 4
5
Sustituyendo el valor de y en la Ec.(2): 2 36 4
57x
x
Multiplicando por 5 (5)(2) x + 3(6 – 4x) = (5)(7)
((5)(2) – (3)(4)) x = (5)(7) – (3)(6)
x
( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )
5 7 3 65 2 3 4
3 6 5 73 4 2 5
La solución del sistema 4 5 6 1
2 3 7 23 6 5 73 4 2 5
x y
x yx
( )
( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )
es: y y( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )4 7 2 64 3 2 5
Observa que el denominador de las dos fracciones es igual y que está formado por la resta de la
multiplicación en cruz de los coeficientes de las ecuaciones del sistema.
¿Existe alguna forma sistemática de efectuar la resta de los productos en cruz para determinar los valores de las var iables de un sistema de dos por dos?
ÁLGEBRA
177
El numerador de la x está formado por la resta de la multiplicación en cruz de los coeficientes
de la y y los términos independientes, mientras que el numerador de la y es la resta de la multiplicación
en cruz de los coeficientes de la x y los términos independientes.
Para explicar cómo se aplica el método de Cramer en un sistema de ecuaciones lineales de
dos por dos es necesario definir dos conceptos previos: matriz y determinante.
Una matriz de dos por dos es un arreglo rectangular de números reales que se representa
en la forma a b
c d.
Ejemplos:
17. Consideremos el sistema 2 7 9
5 30
x y
x y
La matriz de coeficientes es
2 7
1 5
la matriz formada por los coeficientes de las x y los términos independientes es:
2 9
1 30
y la matriz formada por los coeficientes de las y y los términos independientes es:
9 7
30 5
Definamos ahora el concepto de determinante para una matriz de dos por dos.
El determinante es un número que se le asocia a una matriz.
El determinante de la matriz a b
c d se representa por
a b
c d y se calcula como sigue:
a b
c d= ad–bc
Estamos en condiciones de retomar el sistema 4 5 6 1
2 3 7 2
x y
x y
( )
( )
del ejemplo 16 y expresar por medio de un cociente de determinantes su solución. Sabemos que
Unidad 5
178
x( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )3 6 5 73 4 2 5
No es difícil observar que si construimos la matriz con los términos independientes y los
coeficientes de las y (en este orden), su determinante es el numerador de esta fracción:
6 5
7 36 3 7 5 3 6 5 7( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
En cambio, si construimos la matriz con los coeficientes de x y los coeficientes de y (en
este orden) su determinante es el denominador de las dos fracciones:
4 5
2 34 3 2 5 3 4 2 5( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
Analicemos ahora el numerador de y =( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )4 7 2 64 3 2 5
. Si formamos la matriz con los coeficientes
de x y los términos independientes (en este orden) su determinante es el numerador de la y:
4 6
2 74 7 2 6( )( ) ( )( ) . Resumiendo, tenemos que: x y
6 5
7 3
4 5
2 3
4 6
2 7
4 5
2 3
y
Generalizando tenemos que el sistema ax by c
dx ey f se resuelve por el método de Cramer
como sigue:
i. Para saber si el método es aplicable o no, primero se calcula el determinante de la matriz
formada por los coeficientes. La primera columna contiene los coeficientes de la x y la segunda
columna los de la y:a b
d e
Si a b
d e= 0, el método no es aplicable; entonces la solución del sistema se debe intentar por
otro método. Si a b
d e0, entonces el método es aplicable y este determinante será el denominador
de los valores de las variables.
ÁLGEBRA
179
ii. Para obtener el valor de x, se calcula el determinante de la matriz c b
f e. Observa que
en el lugar de los coeficientes de las x se colocaron los términos independientes. El valor de x queda
determinado por:
x
c b
f ea b
d e
iii. Para obtener el valor de y, se calcula el determinante de la matriz a c
d f. Observa que
en el lugar de los coeficientes de las y se colocaron los términos independientes. El valor de y queda
determinado por:
y
a c
d fa b
d e
Ejemplos:
18. H ace 6 años un niño tenía 19
de la edad de su padre y dentro de 4 años tendrá 723
de
la edad que tendrá su padre. ¿Cuál es la edad actual de padre e hijo?
A la edad del padre la llamamos: x
A la edad del hijo la llamamos: y
H ace 6 años el niño tenía 19
de la edad del padre: y x619
6( )
Dentro de 4 años el niño tendrá 723
la edad del padre: y x4723
4( )
Sistema a resolver:
19
163
723
6423
x y
x y
Veamos si el método de Cramer es aplicable:
El determinante de la matriz de coeficiente es:
19
1
723
1
19
723
19
723
23 63207
40207
Por lo tanto, el método sí es aplicable. Calcularemos x y y.
Unidad 5
180
El determinante de la matriz:
16
131
64
231
163
1 16423
163
6423
es: 368 192
6956069
El determinante de la matriz
19
163
723
6423
19
6423
723
es: 163
64 336207
400207
Por lo tanto: y
19
163
723
6423
19
1
723
1
40020740
207
40040
10
Lo que significa que el niño tiene 10 años y el padre tiene 42 años.
Ejercicio 6
En los ejercicios 1, 2 y 3 determina si la regla de Cramer es aplicable. Si tu respuesta en afirmativa,
resuelve el sistema por este método.
1. 7 2 1
2
x y
y x
2. 36 32 2
34
23
124
x y
x y
3.
32
43
6
34
23
124
x y
x y
Aplica Cramer para resolver los problemas 4 y 5.
ÁLGEBRA
181
4. La suma de los recíprocos de 2 números es 11
5 y su diferencia es 9
5. ¿Cuáles son los números?
5. Un avión voló 300 km en dirección del viento en 1 hora y 24 minutos. De regreso voló en contra
del viento y demoró 1 hora y 33 minutos en realizar el vuelo. ¿Cuál es la velocidad del viento y cuál
es la velocidad del avión con el viento en calma?
Caso práctico de aplicación
Una alberca se puede llenar en 70 minutos si sus dos llaves están abiertas simultáneamente. Si por 1 hora sólo se abre la primera llave, la segunda deberá abrirse sola 75 minutos para que se llene la alberca. ¿Cuánto tarda cada llave en llenar la alberca separadamente?
Al tiempo en minutos que tarda en llenar la llave A (sola) la alberca lo llamamos: x
Al tiempo en minutos que tarda en llenar la llave B (sola) la alberca lo llamamos: y
La parte que llena la llave A sola en un minuto es: 1x
La parte que llena la llave B sola en un minuto es: 1y
Por lo tanto, la parte de la alberca que llena la llave A en 70 minutos es: 70x
Y la parte de la alberca que llena la llave B en 70 minutos es: 70y
En 70 minutos las dos llaves juntas llenan la alberca: 70 701
x y
La parte que llena la llave A sola en 1 hora= 60 minutos es: 60x
La parte que llena la llave B sola en 75 minutos es: 75y
Si por 60 minutos sólo se abre la llave A, la llave B deberá abrirse sola 75 minutos para que
se llene la alberca: 60 751
x y
El sistema a resolver es:
70 701
60 751
x y
x y
H aciendo los cambios de variable: ax
by
1 1 y , obtenemos el sistema
70 70 1
60 75 1
a b
a b
Unidad 5
182
Resolviendo por Cramer:
a b
1 70
1 7570 70
60 75
75 7070 75 60 70
1210
70 1
60 170 70
6( )( ) ( )( )
;
00 75
70 6070 75 60 70
1105( )( ) ( )( )
Regresando a las variables originales, tenemos que x= 210 y y= 105. Es decir la llave A,
sola, tarda 210 minutos en llenar la alberca y la llave B, sola, tarda 105 minutos.
ÁLGEBRA
183
Ejercicios resueltos
1. Resuelve por el método de eliminación los siguientes sistemas:
a) 6 2 8 4 12
3 2 4 2 0
( )
( ) ( )
x y x
x y x y
b)
154
103
3524
1235
845
4315
x y
x y
Solución:
a) 6 2 8 4 12 1
3 2 4 2 0 2
10 12 4 1( ) ( )
( ) ( ) ( )
( 'x y x
x y x y
x y ))
( ')x y2 2 2
Eliminaremos la variable x.
Multiplicando la Ec. (2') por 10: 10 12 4 1
10 20 20 2
x y
x y
( '')
( '')
Restando miembro a miembro: 8 y = 16
Resolviendo la ecuación resultante: y = 2
Sustituyendo el valor de y en la Ec. (2'): x – 2(2) = –2
Despejando x: x = 2
Por lo tanto, x= 2 y y= 2. Comprueba que la solución sea correcta.
b)
154
103
3524
1
1235
845
4315
2
x y
x y
( )
( )
El MCM de los denominadores en la Ec. (1) es: MCM(3, 4, 24) = 24
El MCM de los denominadores en la Ec. (2) es: MCM(35, 45, 315) = 315
Un sistema equivalente a
154
103
3524
1
1235
845
4315
2
x y
x y
( )
( ) sin fracciones es:
90 80 35 1
108 56 4 2
x y
x y
( ')
( ')
Unidad 5
184
Eliminaremos la variable y.
El mínimo común múltiplo de 56 y 80 es: MCM(56, 80)= 560
Observa que (7)(80)= 560 y que (10)(56)= 560, por lo tanto:
90 80 35 1
108 56 4 2
630 560 245 1
1080 56
x y
x y
x y
x
( ')
( ')
( '')
00 40 2y ( '')
Sumando miembro a miembro: 1 710 x = 285
Resolviendo la ecuación resultante: x285
171016
Sustituyendo el valor de x en la Ec.(2'): 10816
56 4 56 14y y
Despejando y: y1456
14
Por lo tanto, x y16
14
y . Comprueba que la solución sea correcta.
2. Resuelve por el método de sustitución los siguientes sistemas:
a)
x x y
x yy
82 3
6124
35
15
( )
b)
1 154
212
152
8 132
x y
x y
Solución:
a)
x x y
x yy
82 3
6124
1
35
15
2
( )
( )( )
El MCM de los denominadores en la Ec. (1) es: MCM(6, 8, 24)= 24
Un sistema equivalente a
x x y
x yy
82 3
6124
1
35
15
2
( )
( )( )
sin fracciones es: 5 12 1 1
3 8 1 2
x y
x y
( ')
( ')
ÁLGEBRA
185
Despejando x de la Ec. (2'), obtenemos: xy1 8
3 Ec. (1'')
Sustituyendo x en la Ec. (1'): 51 8
312 1
43
23
yy y
Despejando y: y12
Sustituyendo el valor de y en la Ec. (1''): x1 8
12
3
Despejando x: x = 1
Por lo tanto, la solución del sistema es x = 1 y y12
. Comprueba que la solución es correcta.
b)
1 154
212
1
152
8 132
2
x y
x y
( )
( )
H aciendo los cambios de variable ax
by
1 1 y tenemos:
a b
a b
154
212
1
152
8132
2
( ')
( ')
Un sistema equivalente a a b
a b
154
212
1
152
8132
2
( ')
( ') sin fracciones es:
4 15 42 1
15 16 13 2
a b
a b
( '')
( '')
Despejando la variable a de la Ec. (1''): ab42 15
4 Ec. (1''')
Sustituyendo a en la Ec. (2''): 1542 15
416 13
2894
2892
bb b
Despejando b: b= 2
Sustituyendo el valor de b en la Ec. (1'''): a42 15 2
4124
3( )
H aciendo los cambios de variable, tenemos que la solución del sistema es x y13
12
y .
Comprueba la solución.
Unidad 5
186
3. Resuelve los siguientes sistemas por el método de Cramer.
a)
26
13
22
234
34
4 33
y xy
x
xy
x y
b)
2 61
2 83
13
13
y x
x y y
Solución
a)
26
13
22
1
234
34
4 33
2
23
53
13
y xy
x
xy
x y
x y( )
( )
(( ')
( ')
1
56
74
34
2x y
El mínimo común múltiplo de 4 y 6 es: MCM(4,6)= 12
Un sistema equivalente a
23
53
13
1
56
74
34
2
x y
x y
( ')
( ')
sin fracciones es: 2 5 1 1
10 21 9 2
x y
x y
( '')
( '')
Por Cramer tenemos:
x y
1 5
9 21
2 5
10 21
21 4542 50
248
3
2 1
10 9 y
22 5
10 21
18 108
88
1
Por lo tanto, la solución del sistema es x = –3 y y = 1. Comprueba este resultado.
b)
2 61 1
2 83
13
13
2
y x
x y y
( )
( )
H aciendo los cambios de variable ax
by
1 1 y tenemos:
6 2 1 1
2 313
2
a b
a b
( ')
( ')
ÁLGEBRA
187
Por Cramer tenemos: a b
1 2
13
3
6 2
2 3
323
18 4
7322
766
6 1
213
6 2
2 3
2 y
222
211
H aciendo los cambios de variable, tenemos que la solución del sistema es
Comprueba este resultado.
4. Un sexto de un primer número se suma al triple de otro y el resultado es el doble del segundo
número, mientras que la diferencia del primero menos el segundo dividida por 5 es 3. ¿Cuáles son
los números?
Al primer número lo llamamos: x
Al segundo número lo llamamos: y
Un sexto del primero más el triple del segundo es el doble del segundo: x
y y6
3 2
La diferencia del primero, menos el segundo, entre 5 es 3: x y
53
El sistema a resolver es:
xy y
x y
xy
x y
63 2 1
53 2
60 1
15 2
( )
( )
( ')
( ')
Sumando miembro a miembro, obtenemos: x
x x6
1576
15
Despejando x: x907
Sustituyendo en la Ec. (2'): 907
15y
Despejando y: y157
Por lo tanto la solución del problema es x y907
157
y . Comprueba este resultado.
5. La mitad de la edad de Juan más un tercio de la edad de Josefina es 25, mientras que el séxtuple de
la edad de Juan excede en 300 al cuádruple de la edad de Josefina. ¿Cuantos años tiene cada uno?
Solución:
A la edad de Juan la llamamos: x
A la edad de Josefina la llamamos: y
Unidad 5
188
La mitad de la edad de Juan más un tercio de la edad de Josefina es 25: 12
13
25x y
El séxtuple de la edad de Juan excede en 300 al cuádruple de la edad de Josefina: 6 x–300= 4y
El sistema por resolver es: 12
13
25 1
6 300 4 2
x y
x y
( )
( )
Para evitar las fracciones multiplicamos por MCM(2, 3) = 6 la Ec. (1) y obtenemos el sistema
equivalente: 3 2 150 1
6 300 4 2
3 2 150 1
6 4 300 2
x y
x y
x y
x y
( ')
( ')
( ')
( ')
Eliminaremos y; entonces calculamos MCM(2, 4) que es 4.
Observa que (2)(2)= 4 y (4)(1)= 1; por lo tanto:
2 Ec. (1)+ 1Ec. (2) elimina la variable y.
3 2 150 1
6 4 300 2
6 4 300 1
6 4 300 2
x y
x y
x y
x y
( ')
( ')
( '')
( '')
Sumando miembro a miembro se obtiene la ecuación resultante que es: 12 x= 600
Solución Ec. resultante: x = 50
Sustituyendo en la Ec. 1') obtenemos: 3(50) + 2y = 150 2y = 0
Solución Ec. resultante: y = 0
Por lo tanto, la solución es: x= 50 y y= 0; es decir, Juan tiene 50 años y Josefina es una
bebé de menos de un año de edad.
Comprobación:
12
5013
0 25 1
6 50 300 4 0 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
6. Cuando Jaime va en bicicleta de su casa al gimnasio y maneja a una velocidad uniforme de 30
km/h llega 5 mins antes de lo usual, pero si maneja a 20 km/h llega con 3 mins de retraso en relación
al tiempo usual, ¿cuál es la distancia de su casa al gimnasio?
Solución:
Convirtiendo todos los datos a la misma unidad: 5 mins=1
12 h y 3 mins=
120
h
Fórmula a emplear: velocidadtiempo
distancia
A la distancia de su casa al gimnasio la llamamos: x
ÁLGEBRA
189
Al tiempo usual que le toma hacer el recorrido de un punto a otro lo llamamos: t
Observa que tiempovelocidaddistancia
, entonces:
El tiempo que le toma llegar al gimnasio a una velocidad de 30 km/h es: x
30
El tiempo que le toma llegar al gimnasio a una velocidad de 20 km/h es: x20
Si la velocidad es de 30 km/h llega 5 min antes de lo usual: tx1
12 30
Si la velocidad es de 20 km/h llega 3 min después de lo usual: tx1
20 20
Sistema a resolver: t
x
tx
112 30120 20
El MCM(12, 30) = 60, entonces:
Un sistema equivalente a t
x
tx
112 30
1
120 20
2
( )
( ) sin fracciones es:
2 60 5 1
20 1 2
x t
x t
( ')
( ')
Ec. (1')–2Ec. (2'): –20t = –7
Despejando t: t720
Sustituyendo el valor de t en Ec. (2'): x 20720
1
Despejando x: x = 8
Por lo tanto, la solución del sistema es: t =7
20 y x = 8, lo que significa que a Jaime le
toma usualmente 7
20 horas ir de su casa al gimnasio. La distancia entre esos dos puntos es de 8
km. Comprueba este resultado.
7. La edad de A hace 3 años era el doble de la edad de B, pero actualmente la edad de A menos el
doble de la edad de B es 3. ¿Cuál es la edad de cada uno?
Solución:
A la edad actual de A la llamamos: x
A la edad actual de B la llamamos: y
La edad de A hace 3 años era el doble de la edad de B: x – 3 = 2( y – 3)
Unidad 5
190
La edad de A menos el doble de la edad de B es 3: x – 2y = 3
Sistema a resolver: x y
x y
x y
x y
3 2 3
2 3
2 3
2 3
( )
Restando miembro a miembro: 0 = –6. (Una contradicción.)
Por lo tanto, el problema no tiene solución, lo cual significa que es imposible tener esos
datos con las edades de dos personas.
8. Un número de 2 cifras supera en 9 al cuádruple de la suma de sus dígitos. Si los dígitos se
intercambian el resultado es 4 unidades mayor que 10 veces el dígito de las decenas del número
con las cifras intercambiadas. ¿Cuál es el número?
Solución:A las decenas y a las unidades del número las llamamos respectivamente: x y y
Entonces el número tiene la forma: 10 x + y
El número supera en 9, 4 veces la suma de sus dígitos: 10 x + y = 4(x + y)+ 9
Si se intercambian los dígitos el nuevo número es: 10 y + x
El número con los dígitos intercambiados es 4 unidades mayor que 10 veces el dígito de las
decenas del número con cifras intercambiadas: 10 y + x = 10 y + 4
El sistema a resolver es: 10 4 9 1
10 10 4 2
2 3 1
4 2
x y x y
y x y
x y
x
( ) ( )
( )
( ')
( ')
Sustituyendo el valor de x en la Ec. (1'), obtenemos: 2(4) – y = 3
Despejando y: y = 5
Por lo tanto, la solución del sistema es x = 4 y y = 5, lo que significa que el número es 45.
Comprueba este resultado.
9. Un pez se desplaza 45 mins sin interrupción en dirección de la corriente de un río, desde
un punto A a un punto B. De regreso (contra la corriente) le toma 55 mins llegar del punto B al
punto A. ¿Cuántos minutos necesitará un barco de papel para desplazarse del punto A al punto B,
sólo con el impulso de la corriente?
Solución:
La distancia de A a B la representaremos por: AB
Al tiempo que necesita el pez para ir de A a B en aguas tranquilas lo llamamos: x
Al tiempo que necesita el barco de papel para ir de A a B con ayuda de la corriente: y
ÁLGEBRA
191
En 1 min el pez se desplaza en aguas tranquilas una distancia de: 1x
AB de
En 1 min el barco se desplaza con ayuda de la corriente una distancia de: 1y
AB de
Observa que la distancia recorrida por el barco es igual a la distancia recorrida por la corriente.
En 1 min el pez impulsado por la corriente recorre una distancia de: 1 1x y
AB de
En dirección a la corriente el pez tarda 45 mins en recorrer AB; entonces en 1 min recorre:
145
de AB
Por lo tanto: 1 1 145x y
El pez, contra la corriente, recorre en 1 min la distancia de: 1 1x y
AB de
El pez tarda 55 mins en recorrer contra corriente la distancia AB; entonces en 1 min recorre:
155
de AB
Por lo tanto: 1 1 1
55x y
El sistema a resolver es:
1 1 145
1
1 1 155
2
x y
x y
( )
( )
H aciendo los cambios de variable ax
by
1 1 y obtenemos:
a b
a b
145155
Aplicando Cramer:
a b
145
1
155
1
1 1
1 1
145
155
1 1100
2 2475299
114
( ) y
55
11552
155
145
210
2 24751
495( )
H aciendo los cambios de variables tenemos que: x992
y y = 495.
Unidad 5
192
Por lo tanto, la solución del sistema es x = 99
2 y y = 495, lo cual significa que el pez
tarda en recorrer la distancia AB en aguas tranquilas 99
2mins. El barco de papel impulsado por
la corriente tarda 495 mins en recorrer AB ; exactamente, 8 horas 15 minutos.
10. Resuelve el siguiente sistema con el método que juzgues más adecuado:
x y x y
x y
24
3 23
83
35
710
12
Solución:
x y x y
x y
x y2
43 2
383
1
35
710
12
2
34
76
83
1( )
( )
( '))
( ')35
710
12
2x y
Calculando el mínimo común múltiplo de los denominadores en cada ecuación, obtenemos:
MCM(3, 4)= 12 y MCM(2, 5, 10)= 10.
Un sistema equivalente a
34
76
83
1
35
710
12
2
x y
x y
( ')
( ') sin fracciones es:
9 14 32 1
6 7 5 2
x y
x y
( '')
( '')
Resolveremos por eliminación. Eliminaremos y.
9 14 32 1
6 7 5 2
9 14 32 1
12 14
x y
x y
x y
x
( '')
( '')
( ''')
yy 10 2( ''')
Sumando miembro a miembro, obtenemos: –21 x = –42
Despejando x: x = 2
Sustituyendo el valor de x en la Ec. (2''): –6(2) – 7y = –5
Despejando y: y = –1
Por lo tanto, la solución del sistema es x = 2 y y = –1. Comprueba este resultado.
ÁLGEBRA
193
Ejercicios propuestos
1. Resuelve por el método de eliminación el sistema 2
52
12
52
32
1
x y
x y
2. Resuelve por el método de Cramer
3 454
632
52
83
136
x y
x y
3. Un avión recorrió 1 500 km en 5 h con el viento a favor, mientras que, volando en contra del viento,
demoró 10 h. ¿Cuál es la velocidad del avión con el viento en calma y cuál es la velocidad del viento?
4. Si al numerador de una fracción le sumamos 5 unidades y al denominador le restamos 3
unidades, el resultado es 2. Pero si le sumamos tanto al numerador como al denominador 3
unidades el resultado es 0. ¿Cuál es la fracción?
5. El punto de apoyo de dos cargas de 80 kg y 160 kg está situado de tal manera que las cargas
quedan en equilibrio. Si a la carga de 80 kg se le aumentan 20 kg, la de 160 kg deberá recorrerse
25 cm más lejos del punto de apoyo para mantener el equilibrio. Encuentra la distancia entre las
cargas originales.
6. Los dígitos de un número de 2 cifras tienen las siguientes características: si las decenas se
multiplican por 3 y las unidades por 4, la suma es 44; si las decenas se dividen por 2 y se les suma
un tercio de sus unidades, el resultado es 173
. ¿Cuál es el número?
7. Cuando María se lastimó un tobillo podía caminar aproximadamente a una velocidad de 1 km/h
y llegaba con 30 minutos de retraso de la parada del autobús a su casa con respecto al tiempo usual;
cuando esta misma trayectoria la puede hacer corriendo, lo hace a una velocidad de 5 km/h y llega
20 minutos antes del tiempo usual. ¿Cuál es la distancia de la parada del autobús a la casa de María
y a qué velocidad camina normalmente?
Unidad 5
194
8. Al mezclar una solución de glicerina al 40% con otra al 56% se obtiene una solución al 48%. Si
se tuvieran 15 litros más de la solución al 56% y se mezclara con la solución al 40%, se obtendría
una solución al 51%. ¿Cuántos litros hay al 40% y cuántos al 56%?
9. Si A y B trabajan juntos terminan un trabajo en 42 horas, pero si A trabaja solo 45 horas y
después es reemplazado por B, éste deberá trabajar 21 horas para terminar el trabajo. ¿Cuántas
horas tarda cada uno en efectuar solo el trabajo?
ÁLGEBRA
195
Autoevaluación
1. Resuelve por el método de eliminación
32
53
8
214
2 18
x y
x ya) x = 8, y = 2
b) x = 8, y = 12
c) x = –8, y = 12
d) x = 8, y =43
e) x = 8, y = –12
2. Resuelve por el método de sustitución
1 23
13
1 12
5
x y
x ya) x13
, y= 2
b) x y13
14
,
c) x y13
14
,
d) x y13
14
,
e) x y13
14
,
3. Resuelve por el método de Cramer 2 2 19 4
3 5 5 4
x y x y
x y x y
( )
( )
a) x = 1, y = 3
b) x = 1, y = –3
c) x = –1, y = 3
d) x = –1, y = –3
e) No tiene solución.
4. El triple de la suma de dos números, más la suma del primero, es igual a 15 veces el segundo,
mientras que el quíntuple del segundo, menos el doble del primero es 1. ¿Cuáles son los números?
a) –3 y 1
b) 3 y –1
c) –3 y –1
d) 3 y 1
e) No tiene solución.
Unidad 5
196
5. El triple del recíproco de la edad de Gerardo, más el quíntuple del recíproco de la edad de Roberto
es 19
30. Pero si se invierten los múltiplos, es decir, si se toma el quíntuple del recíproco de la edad
de Gerardo y se le suma el triple del recíproco de la edad de Roberto, se obtienen 710
. ¿Cuál es la
edad de cada uno?
a) Gerardo tiene 10 años y Roberto tiene 15.
b) Gerardo tiene 15 años y Roberto tiene 10.
c) Gerardo tiene 5 años y Roberto tiene 10.
d) Gerardo tiene 15 años y Roberto tiene 5.
e) Gerardo tiene 45 años y Roberto tiene 12.
ÁLGEBRA
197
Respuestas a los ejercicios
1. Sí.
2. Sí.
3. No (el grado de las ecuaciones es 2).
4. Si x es el primer número y y el segundo.
3x – 2y –5 = 3
x – y = 2.
Sí es un sistema lineal.
5. x x
x
2 5 6
2; x es el lado del cuadrado. No (el grado de la primera ecuación es 2).
1. No.
2. Sí.
3. No.
4. Sí.
5. Sí.
1. x = 2, y = 4
2. x = 1, y = –1
3. Velocidad del viento: 25 km/h. Velocidad del avión: 175 km/h.
4. Al 12%, $2 400.00 y al 18%, $23 400.00.
5. No tiene solución (no hay edades negativas).
1. x y17180
7120
,
2. No tiene solución.
3. xy7 20
9
Ej. 1
Ej. 2
Ej. 3
Ej. 4
Unidad 5
198
4. 1 200 m2
5. 7.125 m
1. 7 cm de ancho y 10 cm de largo (infinito número de soluciones).
2. 47
3. 569
l al 30% y 649
l al 45%.
4. A tarda 45 horas en hacer solo el trabajo y B tarda 157.5 horas.
5. x y237
27
,
1. x y59
139
,
2. No es aplicable.
3. x y7336
7132
,
4. x = 5, y12
5. Velocidad del viento: 2 250217
km/h 10.37 km/h. Velocidad del avión 44 250
217km/h
203.92 km/h.
1. x = 1, y = –1
2. x y13
12
,
3. Velocidad del avión con el viento en calma: 225 km/h. Velocidad del viento: 75 km/h.
4. 34
Ej. 5
Ej. 6
Ejercicios propuestos
ÁLGEBRA
199
5. 300 cm = 3 m
6. 85
7. La distancia de la parada del autobús a su casa es 1 124 km y la velocidad a la que
normalmente camina es 2513
km/h 1.92 km/h.
8. 12.5 litros al 40% y 12.5 litros al 56%.
9. A tarda 48 horas en hacer solo el trabajo y B tarda 336 horas.
1. b)
2. b)
3. b)
4. c)
5. a)
Autoevaluación
