TRABAJO MONOGRFICO:DINAMICA LINEAL

DEDICATORIAEl presente trabajo est dedicado a los docentes de nuestra universidad quienes no dan una slida formacin acadmica y humanstica en nuestra carrera profesional, as mismo lo dirijo a aquellas personas que tengan inters en el tema y puedan acceder a esta informacin para tener un mejor dominio del curso.

AGRADECIEMIENTOAgradezco de forma especial a mis padres por el apoyo y el soporte que me brindan en mi formacin acadmica, por guiarme y apoyarme en mis decisiones, y tambin agradezco a los docentes quienes nos han brindado nuevos conocimientos y nos han guiado en la condicin de estudiantes universitarios que estamos empezando este ao.

INTRODUCCION

OBJETIVO

1. FUERZAIntuitivamente, experimentamos una fuerza como cualquier empuje o jaln sobre un objeto. Cuando nosotros empujamos un auto o un carrito de supermercado estamos ejerciendo una fuerza sobre l. Cuando un motor levanta un elevador, cuando un martillo golpea un clavo, o cuando el viento sopla sobre las hojas de un rbol, se est ejerciendo una fuerza. Por lo general llamamos a stas fuerzas de contacto, porque la fuerza se ejerce cuando un objeto entra en contacto con otro. Por otro lado, decimos que un objeto cae debido a la fuerza de la gravedad.Entonces podemos decir que una fuerza es una cantidad vectorial, que denota interaccin. Una de las definiciones dice: Es el cambio con respecto al tiempo del momentum de la partcula.En fsica, la fuerza es una magnitud fsica que mide la intensidad del intercambio de momento lineal entre dos partculas o sistemas de partculas (en lenguaje de la fsica de partculas se habla de interaccin).Las fuerzas se originas a partir de una interaccin entre dos objetos produce dos fuerzas iguales y opuestas, aplicadas una en cada objeto.Las interacciones pueden ser como la electromagntica o por contacto, como las originadas en un choque o cuando alguien empuja una caja o tira de una cuerda.

2. TIPOS DE FUERZADentro de los tipos de fuerza los ms importantes a considerar son las fuerzas gravitacionales, las fuerzas electromagnticas y las nucleares, pero ahora tomaremos a los siguientes tipos de fuerza:2.1 Fuerza normalLa fuerza normal es un tipo de fuerza de contacto ejercida por una superficie sobre un objeto. Esta acta perpendicular y hacia afuera de la superficie.La fuerza normal (FN o N) se define como la fuerza de igual magnitud y direccin, pero diferente sentido, que ejerce una superficie sobre un cuerpo apoyado sobre la misma.Cuando un cuerpo est apoyado sobre una superficie, ejerce una fuerza sobre ella cuya direccin es perpendicular a la superficie. De acuerdo con La tercera ley de Newton: Principio de Accin y Reaccin, la superficie debe ejercer sobre el cuerpo una fuerza de la misma magnitud y direccin, pero de sentido contrario. Las fuerzas debido al contacto son siempre perpendiculares (o normales) a la superficie de contacto.En general, la magnitud de la fuerza normal es la proyeccin del peso del cuerpo, sobre la superficie, de esta manera, el vector de la fuerza normal se encuentra multiplicando la masa por g, la gravedad, de manera que: FN = mgLa fuerza normal no es un par de reaccin del peso, sino una reaccin de la superficie a la fuerza que un cuerpo ejerce sobre ella.

2.2 Fuerza ElsticaLa fuerza elstica es la ejercida por objetos tales como resortes, que tienen una posicin normal, fuera de la cual almacena energa potencial y ejercen fuerzas. La fuerza elstica se calcula como:

F = - kX = Desplazamiento desde la posicin normal k = Constante de elasticidad del resorte F = Fuerza elstica

2.3 Fuerza gravitacional

Entre dos cuerpos aparece una fuerza de atraccin denominada gravitatoria, que depende de sus masas y de la separacin entre ambos. La fuerza gravitatoria disminuye con el cuadrado de la distancia, es decir que ante un aumento de la separacin, el valor de la fuerza disminuye al cuadrado. La fuerza gravitatoria se calcula como: G = Constante de gravitacin universal. Es un valor que no depende de los cuerpos ni de la masa de los mismos.

2.4 Fuerza de friccin

Cuando un objeto est en movimiento ya sea sobre una superficie o en un medio viscoso como aire o agua, existe resistencia al movimiento porque el objeto interacta con su entorno. A tal resistencia se le llama fuerza de friccin. Las fuerzas de friccin son muy importantes en la vida cotidiana. Permiten que uno camine o corra y son necesarias para el movimiento de los vehculos con ruedas.

2.5 Fuerzas Paralelas

Si sobre un cuerpo rgido actan dos o ms fuerzas cuyas lneas de accin son paralelas, la resultante tendr un valor igual a la suma de ellas con su lnea de accin tambin paralela a las fuerzas, pero su punto de aplicacin debe ser determinado con exactitud para que produzca el mismo efecto que las componentes.

2.6 Fuerza Resultante

Si sobre un cuerpo actan varias fuerzas se pueden sumar las mismas de forma vectorial (como suma de vectores) obteniendo una fuerza resultante, es decir equivalente a todas las dems. Si la resultante de fuerzas es igual a cero, el efecto es el mismo que si no hubiera fuerzas aplicadas: el cuerpo se mantiene en reposo o con movimiento rectilneo uniforme, es decir que no modifica su velocidad.

En la mayora de los casos no tenemos las coordenadas de los vectores sino que tenemos su mdulo y el ngulo con el que la fuerza est aplicada. Para sumar las fuerzas en este caso es necesario descomponerlas proyectndolas sobre los ejes y luego volver a componerlas en una resultante (composicin y descomposicin de fuerzas).

3. LEYES DE NEWTON

3.1 Primera ley de Newton

Segn esta ley el movimiento termina cuando fuerzas externas de friccin actan sobre la superficie del cuerpo hasta que se detiene. Por esta razn el movimiento de un objeto que resbala por una superficie de hielo dura ms tiempo que por una superficie de cemento, simplemente porque el hielo presenta menor friccin que el cemento. Galileo expuso que si no existe friccin, el cuerpo continuar movindose a velocidad constante, ya que ninguna fuerza afectar el movimiento.

De hecho, la primera ley de Newton del movimiento est basada en las conclusiones de Galileo. Esta ley establece que:

Todo cuerpo contina en su estado de reposo, o con velocidad uniforme en lnea recta, a menos que acte sobre l una fuerza neta.

La tendencia de un objeto a mantener su estado de reposo o de velocidad uniforme en lnea recta se llama inercia. Por ello, la primera ley de Newton suele llamarse tambin ley de la inercia.

Marcos referenciales inerciales: La primera ley de Newton no es vlida en cualquier marco de referencia. Los marcos de referencia en los que es vlida la primera ley de Newton se llaman marcos de referencia inerciales (es decir, la ley de la inercia es vlida en ellos).

3.2 MasaLa segunda ley de Newton, que estudiaremos en la siguiente seccin, implica el concepto de masa. Newton us el trmino masa como sinnimo de cantidad de materia. Esta nocin intuitiva de la masa de un objeto no es muy precisa porque el concepto cantidad de materia no est muy bien definido. Con mayor precisin, podemos decir que la masa es una medida de la inercia de un objeto. Cuanto mayor sea la masa de un cuerpo, tanto mayor ser la fuerza necesaria para darle una aceleracin especfica. A mayor masa, es ms difcil empezar a mover un cuerpo desde el reposo, o detenerlo si ya se est moviendo, o cambiar su velocidad lateralmente a partir de una trayectoria en lnea recta. Un camin tiene mucho ms inercia que una pelota de bisbol que se mueve con la misma rapidez y se requiere una fuerza mucho mayor para cambiar la velocidad del camin a la misma razn que la de la pelota. Por lo tanto, decimos que el camin tiene una masa mucho mayor.

3.3 Segunda ley de NewtonLa primera ley de Newton establece que si ninguna fuerza neta acta sobre un objeto en reposo, ste permanecer en reposo; o si el objeto est en movimiento, continuar movindose con rapidez constante en lnea recta. Pero, qu ocurre si una fuerza neta se ejerce sobre un objeto? Newton percibi que la velocidad del objeto cambiara. Una fuerza neta ejercida sobre un objeto puede incrementar su rapidez; o si la fuerza neta tiene un sentido opuesto al movimiento, la fuerza reducir la velocidad del objeto.Si la fuerza neta acta lateralmente sobre un objeto en movimiento, la direccin de la velocidad cambiar (y quiz tambin la magnitud).Ya que un cambio en la velocidad es una aceleracin, decimos que una fuerza neta produce una aceleracin.La aceleracin de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta aplicada. Pero la aceleracin depende tambin de la masa del objeto. Si empujamos un carrito de supermercado vaco con la misma fuerza con que empujramos uno que est lleno de comestibles, encontraremos que el carrito lleno acelerar ms lentamente. Cuanto mayor sea la masa, menor ser la aceleracin para la misma fuerza neta. La relacin matemtica, como lo indic Newton, establece que la aceleracin de un objeto es inversamente proporcional a su masa. Esta relacin es vlida en general y se resume de la siguiente manera:La aceleracin de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta que acta sobre l, y es inversamente proporcional a su masa. La direccin de la aceleracin es en la direccin de la fuerza neta que acta sobre el objeto.sta es la segunda ley de Newton del movimiento.

Como ecuacin, la segunda ley de Newton puede escribirse as:

Donde significa aceleracin, m significa masa y es la fuerza neta sobre el objeto.El smbolo (sigma griega) significa suma de; significa fuerza, por lo que significa la suma vectorial de todas las fuerzas que actan sobre el objeto, lo cual definimos como fuerza neta.Reordenamos esta ecuacin para obtener el enunciado familiar de la segunda ley de Newton:

La segunda ley de Newton relaciona la descripcin del movimiento (la aceleracin) con la causa del mismo (la fuerza). Se trata de una de las relaciones ms fundamentales de la fsica. De la segunda ley de Newton podemos definir ms precisamente la fuerza como una accin capaz de acelerar un objeto. Toda fuerza es un vector, con magnitud, direccin y sentido. En forma de componentes en coordenadas rectangulares se escribe como:

La componente de aceleracin en cada direccin se ve afectada slo por la componente de la fuerza neta en esa direccin. En unidades del SI, con la masa en kilogramos, la unidad de fuerza se llama newton (N). Por lo tanto, un newton es la fuerza requerida para impartir una aceleracin de 1 m/s2 a una masa de 1 kg. Entonces:

1 N = 1 kg /m/s2

3.4 Fuerza gravitacional y pesoTodos los objetos son atrados hacia la Tierra. La fuerza de atraccin que ejerce la Tierra sobre un objeto se llama fuerza gravitacional g. Esta fuerza se dirige hacia el centro de la Tierra y su magnitud se llama peso del objeto.

Debemos recordar que un objeto en cada libre experimenta una aceleracin que acta sobre el centro de la tierra. Al aplicar la segunda ley de Newton un objeto en cada libre de masa m. con a= g y , tenemos:

Por lo tanto, el peso de un objeto, al definirse como la magnitud de g es igual a mg:

Puesto que depende de g, el peso vara con la ubicacin geogrfica. Dado que g disminuye a medida que crece la distancia al centro de la Tierra, los objetos pesan menos a mayores altitudes que a nivel del mar. Por ejemplo, un bloque de ladrillos de 1 000 kg utilizado en la construccin del Empire State en Nueva York pesaba 9 800 N a nivel de la calle, pero pesaba alrededor de 1 N menos cuando se levant del nivel de la acera hasta lo alto del edificio.

3.5 TERCERA LEY DE NEWTONLa segunda ley de Newton del movimiento describe cuantitativamente cmo las fuerzas afectan el movimiento. Pero quiz nos preguntamos de dnde vienen las fuerzas? Las observaciones sugieren que una fuerza aplicada a cualquier objeto es siempre aplicada por otro objeto. Un caballo tira de una carreta, una persona empuja un carrito de supermercado, un martillo empuja un clavo, un imn atrae un clip sujetapapeles. En cada uno de esos ejemplos, se ejerce una fuerza sobre un objeto y sta es ejercida por otro objeto.Sin embargo, Newton se dio cuenta de que el asunto no era tan unilateral. Por ejemplo si un martillo ejerce una fuerza sobre un clavo, es cierto que el martillo ejerce una fuerza sobre el clavo; pero ste evidentemente ejerce tambin una fuerza opuesta sobre el martillo, dado que la rapidez del martillo se reduce rpidamente a cero durante el contacto. Slo una gran fuerza puede causar esa rpida desaceleracin del martillo. Entonces, dijo Newton, los dos cuerpos deben tratarse segn la misma base. El martillo ejerce una fuerza sobre el clavo y ste ejerce una fuerza opuesta sobre el martillo. sta es la esencia de la tercera ley de Newton del movimiento:Siempre que un objeto ejerce una fuerza sobre un segundo objeto, el segundo ejerce una fuerza de igual magnitud, en la misma direccin, pero en sentido opuesto sobre el primero.

En ocasiones esta ley se parafrasea como para toda accin existe una reaccin igual y opuesta. Esto es perfectamente vlido. No obstante, para evitar confusiones, es muy importante recordar que la fuerza de accin y la fuerza de reaccin actan sobre objetos diferentes.

Para demostrar la tercera ley de Newton podemos proponer un ejemplo simple, observemos nuestra mano cuando la empujamos contra el borde de un escritorio, La forma de la mano se altera, es clara evidencia de que se ejerce una fuerza sobre ella. Podemos ver el borde del escritorio oprimiendo nuestra mano, e incluso sentir al escritorio ejerciendo una fuerza sobre la mano, lo cual por cierto duele. Cuanto ms fuerte empuje usted contra el escritorio, ms fuerte empujar el escritorio contra su mano. Esta es una forma clara de evidenciar la validez de la segunda ley de Newton.

4. APLICACIONES DE LAS LEYES DE NEWTONEn esta seccin se discuten dos modelos de anlisis para resolver problemas en que los objetos estn en equilibrio (= 0) o aceleran a lo largo de una lnea recta bajo la accin de fuerzas externas constantes. Recuerde que, cuando las leyes de Newton se aplican a un objeto, se tiene inters slo en las fuerzas externas que actan sobre el objeto. Si se representan los objetos como partculas, no necesita preocuparse por el movimiento rotacional. Por ahora, tambin se desprecian los efectos de la friccin en aquellos problemas que involucran movimiento, que es equivalente a afirmar que la superficie no tiene friccin. Por lo general se ignora la masa de cualquier soga, cuerda o cable involucrado. En esta aproximacin, la magnitud de la fuerza que ejerce cualquier elemento de la soga sobre el elemento adyacente es la misma para todos los elementos a lo largo de la soga. En los enunciados de problema, los trminos sinnimos ligero o de masa despreciable se usan para indicar que una masa se ignorar cuando trabaje los problemas. Cuando una soga unida a un objeto jala sobre el objeto, la soga ejerce una fuerza T sobre el objeto en una direccin que se aleja del objeto, paralela a la soga. La magnitud T de dicha fuerza se llama tensin en la soga. Puesto que es la magnitud de una cantidad vectorial, la tensin es una cantidad escalar.

4.1 Partcula en equilibrioSi la aceleracin de un objeto representado como partcula es cero, el objeto se considera con el modelo de partcula en equilibrio. En este modelo, la fuerza neta sobre el objeto es cero:

Ahora, consideremos una lmpara suspendida de una cadena ligera unida al techo. El diagrama de cuerpo libre para la lmpara nos mostrara que las fuerzas que actan sobre la lmpara son la fuerza gravitacional hacia abajo Fg y la fuerza hacia arriba T que ejerce la cadena. Puesto que no hay fuerzas en la direccin x, Fx = 0no proporciona informacin til. La condicin Fy = 0 produce:

De nuevo, advierta que T y Fg no son un par accinreaccin porque actan sobre el mismo objeto, la lmpara. La fuerza de reaccin a T es T, la fuerza hacia abajo que ejerce la lmpara sobre la cadena, como se muestra en la figura. Dado que la cadena es una partcula en equilibrio, el techo debe ejercer sobre la cadena una fuerza T que es igual en magnitud a la magnitud de T y apunta en la direccin opuesta.

4.2 Partcula bajo una fuerza netaSi un objeto experimenta una aceleracin, su movimiento se puede analizar con el modelo de partcula bajo una fuerza neta. La ecuacin apropiada para este modelo es la segunda ley de Newton . Considere una caja que se jala hacia la derecha sobre una superficie horizontal sin friccin, como en la figura 2. Supongamos que se quiere encontrar la aceleracin de la caja y la fuerza que el suelo ejerce sobre ella. Las fuerzas que actan sobre la caja se ilustran en el diagrama de cuerpo libre de la figura 2. Note que la fuerza horizontal que se aplica a la caja acta a travs de la soga. La magnitud de es igual a la tensin en la soga. Adems de la fuerza , el diagrama de cuerpo libre para la caja incluye la fuerza gravitacional y la fuerza normal que ejerce el suelo sobre la caja. Ahora se puede aplicar la segunda ley de Newton en forma de componentes para la caja. La nica fuerza que acta en la direccin x es T. Al aplicar al movimiento horizontal se obtiene:

En la direccin y no se presenta aceleracin porque la caja solo se mueve horizontalmente. En consecuencia, se usa el modelo de partcula en equilibrio en la direccin y. Al aplicar la componente y de la ecuacin se produceEsto es, la fuerza normal tiene la misma magnitud que la fuerza gravitacional pero acta en la direccin opuesta.

Si es una fuerza constante, la aceleracin x = tambin es constante. Por tanto, la caja tambin se representa como una partcula bajo aceleracin constante en la direccin x, y se puede aplicar la ecuacin de cinemtica del para obtener la posicin x y velocidad vx de la caja como funciones del tiempo.

5. RESOLUCIN DE PROBLEMAS CON LAS LEYES DE NEWTONAl resolver problemas relacionados con las leyes de Newton y fuerzas, es muy importante dibujar un diagrama que muestre todas las fuerzas que actan sobre cada objeto implicado. Tal diagrama se llama diagrama de cuerpo libre o diagrama de fuerzas: elija un objeto y dibuje una flecha para representar cada fuerza que acte sobre l. Incluya cualquier fuerza que acte sobre ese objeto. No muestre fuerzas que el objeto elegido ejerza sobre otros objetos. Para ayudarle a identificar cada fuerza, y todas las que se ejerzan sobre el objeto elegido, pregntese que otros objetos podran ejercer una fuerza sobre l. Si el problema implica ms de un objeto, es necesario un diagrama de cuerpo libre separado para cada uno. Por hora, las fuerzas que probablemente estn actuando son la gravedad y las fuerzas de contacto (un objeto que empuja o jala a otro, fuerza normal, friccin). Ms adelante consideraremos la resistencia del aire, la friccin, la flotabilidad y la presin, as como fuerzas elctricas y magnticas.

Ejercicio 1Jalando la caja misteriosa. Suponga que una amiga le pide examinar la caja de 10.0 kg que le han regalado a usted (ejemplo 4-6, figura 4-15), esperando adivinar lo que hay dentro. Usted le responde: Claro, jala la caja hacia ti. Luego, ella jala la caja tirando de la cuerda que la rodea, como se muestra en la figura, a lo largo de la superficie lisa de la mesa. La magnitud de la fuerza ejercida por la persona es FP = 40.0 N y es ejercida a un ngulo de 30.0 como se muestra. Calcule:a) La aceleracin de la caja y b) la magnitud de la fuerza FN hacia arriba, ejercida por la mesa sobre la caja. Suponga que la friccin puede despreciarse.

Solucin:1. Haga un dibujo: La situacin se muestra en la figura 4-21a; se representan la caja y la fuerza aplicada por la persona, P.2. Diagrama de cuerpo libre: La figura 4-21b ilustra el diagrama de cuerpo libre de la caja. Para dibujarlo correctamente, indicamos todas las fuerzas que actan sobre la caja y slo las fuerzas que actan sobre ella, que son: la fuerza de gravedad, la fuerza normal ejercida por la mesa, y la fuerza ejercida por la persona, Como slo nos interesa el movimiento traslacional, las tres fuerzas se representan como si actuaran en un punto, que se conoce como centro de masa.3. Elija los ejes y efecte la descomposicin de los vectores: Esperamos que el movimiento sea horizontal, as elegimos el eje x horizontal y el eje y vertical. El jaln de 40.0 N tiene las componentes:

4. Aplique la segunda ley de Newton para determinar la componente x de la aceleracin

5. Despeje:

6. Aplique la segunda ley de Newton a la direccin vertical (y), considerando arriba como positivo:

7. Despeje: Tenemos (10.0 kg) (9.80 m/s2) _ 98.0 N y, del punto 3 anterior, = 20.0 N. Ms an, dado que , la caja no se mueve verticalmente, as que ay =0. Por lo tanto,

- 98.0 N + 20.0 N = 0 = 78.0 N.

Ejercicio 2Elevador y contrapeso (mquina de Atwood). A un sistema de dos objetos suspendidos sobre una polea mediante un cable flexible, segn se muestra en la figura, se le llama a veces mquina de Atwood. Considere la aplicacin de la vida real de un elevador () y su contrapeso (). Para minimizar el trabajo hecho por el motor para levantar y bajar el elevador con seguridad, se toman valores similares de las masas y . Dejamos el motor fuera del sistema para este clculo y suponemos que la masa del cable es despreciable y que la masa de la polea, as como cualquier friccin, es pequea y despreciable. Estas suposiciones garantizan que la tensin FT en el cable tiene la misma magnitud en ambos lados de la polea. Sea la masa del contrapeso _ 1000 kg. Supongamos que la masa del elevador vaco es de 850 kg y que su masa al llevar cuatro pasajeros es _ 1150 kg. Para este ltimo caso ( _ 1150 kg), calcule a) la aceleracin del elevador y b) la tensin en el cable.

PlanteamientoDe nuevo tenemos dos objetos y es necesario aplicar la segunda ley de Newton a cada uno de ellos por separado. Sobre cada masa actan dos fuerzas: la gravedad hacia abajo y la tensin del cable que jala hacia arriba, Las figuras y c muestran los diagramas de cuerpo libre para el elevador () y para el contrapeso(mC). El elevador, siendo lo ms pesado, acelerar hacia abajo y el contrapeso acelerar hacia arriba. Las magnitudes de sus aceleraciones sern iguales (suponemos que el cable no se estira). Para el contrapeso, = (1000 kg) (9.80 m/s2) = 9800 N, por lo que FT debe ser mayor que 9800 N (para que acelere hacia arriba).Para el elevador, = (1150 kg) (9.80 m/s2) = 11,300 N, que debe tener una magnitud mayor que para que acelere hacia abajo. Nuestro clculo debe entonces dar entre 9800 N y 11,300 N.

Solucin:

a) Para encontrar as como la aceleracin a, aplicamos la segunda ley de Newton, =F = a cada objeto. Tomamos como positiva la direccin y hacia arriba para ambos objetos. Con esta eleccin de ejes, = porque acelera hacia arriba, y = porque acelera hacia abajo. Entonces,

Restamos la primera ecuacin de la segunda y obtenemos:

Donde es ahora la nica incgnita. Despejamos

El elevador (mE) acelera hacia abajo (y el contrapeso mC acelera hacia arriba) con = 0.070g = 0.68 m/s2.b) La tensin T en el cable puede obtenerse de cualquiera de las dos ecuaciones = F = ma, considerando que = 0.070g = 0.68 m/s2:

Que son consistentes. Como se predijo, nuestro resultado se encuentra entre 9800 N y 11,300 N.18DINAMICA LINEAL