trabajo matematicas univeridad
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TIPOS DE FUNCIONES
Carlos Andrés De La Ossa Oliveros
UNIVERSIDAD DE LA COSTA CUC
CIENCIAS AMBIENTALES
GRUPO AD
CALCULO DIFERENCIAL
BARRANQUILLA COLOMBIA!"#$
INTRODUCCION
el si%&ien'e 'ra(a)o los aven'&rare*os a des+&(rir el *aravilloso *&ndo de las'e*,'i+as- en es'e +aso el de las .&n+iones/
da ve0 1&e 2ensa*os en &n +,l+&lo o 1&e al%o de2ende de- es'a*os &'ili0ando+iones- son +osas 1&e &'ili0a*os a diario sin darnos +&en'a- 2ero las 2ersonas
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an o se es' es'& an o &n 'e*a +o*o es'e +e ara 1& s rve es'o en a vidiana4 Lo 1&e no sa(en es 1&e a diario es'a*os &'ili0ando .&n+iones reales 5ane)a*os n6*eros a diario 'a*(ién a 1&e se es',n &sando s&(+on)&n'os de
*eros reales/ .&n+iones no son solo n6*eros - son de *&+7o valor 5 &'ilidad 2ara resolver(le*as 5a sea de *edi+ina in%enier8a 9nan0as es'ad8s'i+a 1&8*i+a .8si+a 5 as8nidades de *a'erias a las +&ales se rela+ionen varia(leson'in&a+i:n &n 2e1&e;o res&*en de 1&e son las .&n+iones 5 &na +lasi9+a+i:n
as/
e ne<' )o( =e =ill dis+over '7e =onder.&l =orld o. *a'7e*a'i+s/ In '7is +ase- .&n+'ions/
r5 'i*e =e '7in> in +al+&la'ion or so*e'7in% else/are &sin% .&n+'ions- =i'+7 are '7in%s =e &se dail5 =i'7o&' reason/ B&' =7en 2eo2le are s'&d5in% a 'o2i+ lisa5 3 7o= =e +an &se '7is in o&r dail5 da54 B&' '7e don@' >no= '7a' ever5da5 =e are &sin% real .&n+'ions
a&se =e 7andle n&*(ers ever5da5 (5 &sin% s&(s'es o. real n&*(ers/+'ions are no' )&s' n&*(ers- '7e5 7ave a lo' o. val&e and &'ili'5 .or resolve 2ro(le*s =7e'7er *ed- en%inen+e- 27isi+s or +7e*is'r5/ And in9ni'5 o. *a'erials' +o*es s&**ar5 o. .&n+'ions and a +lassi9+a'ion o. '7e*/
FUNCION
Una función f de un conjunto A en un conjunto B es una regla que hace corresponder a cadaelemento x perteneciente al conjunto A, uno y solo un elemento y del conjunto B, llamado
imagen de x por f , que se denota y=f ( x).
UNCION IN!C"I#A
Una $unci%n f es inyectiva, si y s%lo si, para todo a, b en el dominio de f , si f (a)& f (b)
entonces a=b.
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CION INVERSA
Una $unci%n y = f ( x) inyecti'a admite una función inversa, que se denota f
el dominio de esta $unci%n es el recorrido de f . a in'ersa de f se de$ine
f −*
( x) = y ⇔
f ( y) = x
−* , donde
NCIONES REALES
Una
$unci%n
real
en
una
'aria+le
x
es
una
$unci%n
f
A → IR
donde
A ⊆
IR ,
que
usualmente se de$ine por una $%rmula y & f ( x).
eneral, para de$inir una $unci%n real se
usan
las
letras x e y
para
representar
las
a+les
independiente y
dependiente,
respecti'amente.
!n
modelos
de
aplicaciones
se
usan
as relacionadas con el nom+re de las manitudes in'olucradas en el pro+lema.
unciones pares e impares
Una $unci%n f es una función par cuando cumple f (− x) =
f ( x) ,
para
todo
x ∈ Dom( f ) .
Nota. f es par si y s%lo si, la r-$ica de f es simtrica respecto del eje Y .
Una $unci%n f es impar si cumple f (− x) = − f ( x) , para todo x ∈ Dom( f ) .
Nota. f es impar si y s%lo si, la r-$ica de f es simtrica respecto del orien.
Funciones crecientes y funciones decrecientes
Una $unci%n f es creciente en un inter'alo I cuando, para todo a, b ∈ I
a < b ⇒ f (a) < f (b)
es decir, cuando su r-$ica sube de i/quierda a derecha.
Una $unci%n f es decreciente en un inter'alo I cuando, para todo a, b ∈ I
a <
b ⇒
f (a) >
f (b)es decir, cuando su r-$ica baja de i/quierda a derecha.
iódicaFUNCIONES PERIODICAS
Una $unci%n real f es periódica cuando e0iste un n1mero real t ≠ 2 tal que para todo
x ∈ Dom( f ) se tiene
a) x + t ∈ Dom( f )
+) f ( x + t ) =
f ( x)
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!l menor n1mero real positi'o t , cuando e0iste, se denomina el período de f , y en este
caso se dice que f es una $unci%n peri%dica con per3odo t .
nciones acotadas
Una $unci%n f es acotada superiormente cuando e0iste un n1mero real m tal que
f ( x) ≤ m para todo x ∈ Dom( f )
Una
$unci%n
f
es
acotada
inferiormente
cuando
e0iste
un
n1mero
real
m
tal
que
f ( x) ≥ m para todo x ∈ Dom( f )
Una $unci%n f es acotada cuando e0iste un n1mero real positi'o 4 tal que
5 f ( x) 5≤ M para todo x ∈ Dom( f )
nciones continuas
Una $unci%n
f es continua en x=a, si y s%lo si
a)
!0iste f (a) +) !0iste lim f ( x) x
ac) lim f ( x) = f (a)
x
a
Una $unci%n f es continua cuando es continua en todo x perteneciente al dominio de f .
Intuiti'amente, una $unci%n es continua cuando peque6os cam+ios de x ocasionan 'ariaciones
peque6as de y, es decir, la r-$ica que la representa no se rompe.
nciones reales especiales
unciones polinomiales
as $unciones polinomiales y su representaci%n
r-$ica,
tienen
ran importancia
en
la
tem-tica.
!stas
$unciones
son
modelos
que descri+en relaciones entre
dos
'aria+les
que
er'ienen en di'ersos pro+lemas y7o $en%menos que pro'ienen del mundo real.
Una $unci%n polinomial
f
es una $unci%n de la $orma
f ( x)
=
an
x
n
+
+
a* x
+
a2
donde
n es un entero no neati'o, y los coe$icientes an ,,
a*,
a2
son n1meros reales.
Función constante
Una función constante es aquella que tiene la $orma y& f ( x)&c, donde c es un n1mero real $ijo.
!l
dominio
de
una
función
constante
es
IR,
y
su
recorrido
es
8c9.
:u
r-$ica
es
una
rectaaralela (o coincidente) al eje X .
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Función lineal
Una $unci%n lineal es aquella que tiene la $orma, o puede ser lle'ada a la $orma
y = f ( x) = ax + b , con a ≠ 2 ,
unción cuadrtica
Una $unci%n cuadr-tica es aquella que tiene la $orma, o puede ser lle'ada a la $orma
y =
f ( x) =
ax
;
+
bx +
c ,
con
a ≠ 2 ,
a,
b,
c ∈ IR
Función c!"ica
Una $unci%n cbica es aquella que tiene la $orma, o puede ser lle'ada a la $orma
y = f ( x) = ax< +
bx ; +
cx + d , con a ≠ 2 , a, b, c, d ∈ IR
nciones definidas por tramos
!n muchas ocasiones se requiere m-s que una sola $%rmula para descri+ir una $unci%n.:e dice que estas $unciones son funciones definidas por tramos.
mplos de $unciones de$inidas por tramos
x si
x ≥ *
x ; +
*, x < −*
=,
dominio de la $unci%n del ejemplo a) es
IR> y en el ejemplo +) es
? − ∞, <?
?@,+∞ .
Función valor a"soluto
a $unci%n !alor absoluto, +-sica, se de$ine y = f ( x) =5 x 5 .
a $unci%n f ( x) =5 x 5 es una $unci%n par.
Función racional
Una función racional f es una $unci%n de$inida por una e0presi%n ale+raica que es el
cuociente de dos polinomios
f ( x) = p( x)
"( x)
donde p( x) y "( x) son polinomios, tal que "( x) ≠ 2 .
nción raí# cuadrada
!jemplos de $unciones ra3/ cuadrada la $unci%n f ( x) = x , la $unci%n f ( x) = − x , la
$unci%n
f ( x) = x + * , etc.
a)
f ( x) = *
− ; x si
x < *
+)
f ( x) =
x +
*, −
* ≤
x < <
x > @
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Funciones de potencia
:e dice que una $unci%n f ( x) es una función potencia de x si f ( x) es proporcional a una
potencia de x. :i c es la constante de proporcionalidad, y m es la potencia, entonces f ( x) = c xm
+iones Al%e(rai+as
as .&n+iones al%e(rai+as las o2era+iones 1&e 7a5 1&e e.e+'&ar +on la varia(le inde2endien'
la adi+i:n- s&s'ra++i:n- *&l'i2li+a+i:n- divisi:n- 2o'en+ia+i:n 5 radi+a+i:n/
+iones e<2l8+i'ase 2&eden o('ener las i*,%enes de < 2or si*2le s&s'i'&+i:n/
+iones I*2l8+i'as
o se 2&eden o('ener las i*,%enes de < 2or si*2le s&s'i'&+i:n- sino 1&e es 2re+iso e.e+'&ar
ra+iones/
FUNCIONES EEMPLOS
Una $unci%n lineal es aquella que tiene la $orma, o puede ser lle'ada a la $orma
y =
f ( x) =
ax +
b ,
con
a ≠ 2 ,
a, b ∈
IR
$ropiedades
*. !l r-$ico de una $unci%n lineal es siempre una l3nea recta.
;. !l coe$iciente a es la pendiente de la recta y&axb.
Cuando a2, la $unci%n lineal es creciente, y cuando a D2, la $unci%n lineal es
decreciente.
%rfica de y = ax + b , a > 2 %rfica de y = ax + b , a < 2
y = f ( x) = ax + b , con a ≠ 2 es inyecti'a (y so+re), por lo tanto,
tiene in'ersa. :u in'ersa es tam+in una $unci%n lineal f −*
( x) = *
a x − b
a.
O"servación& #cuación general de la recta
a ecuaci%n eneral de una recta es Ax$%y$& &2 con A ≠ 2 o % ≠ 2 .
Cuando
%&2,
la
r-$ica
es
una
recta
paralela
al
eje
o
coincidente
con
esteeje.
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Cuando % ≠ 2 , la r-$ica es una recta que tiene pendiente iual a m = − A
%.
Función cuadrtica
Una $unci%n cuadr-tica es aquella que tiene la $orma, o puede ser lle'ada a la $orma
y = f ( x) = ax ; + bx + c , con a ≠ 2 , a, b, c ∈ IR
$ropiedades de una función cuadrtica
*. !l r-$ico de una $unci%n cuadr-tica es una par'bola.
;. a r-$ica de y = f ( x) = ax ; + bx + c intercepta al eje Y en el punto (2,c)
a r-$ica de
y = f ( x) = ax ; + bx + c
intercepta al eje X cuando ∆ = b; − =ac ≥ 2 , y
en tal caso, las a+scisas de los puntos de intersecci%n son las ra3ces de la ecuaci%n
ax ; +
bx + c = 2.
b
;a
b
;a =. a recta 'ertical x = − b
;a
es una recta eje de simetr3a de su r-$ico.
:i a2 la par-+ola se a+re hacia arri+a, y si aD2 se a+re hacia a+ajo.
%rfica de una función cuadrtica y = f ( x) = ax
; +
bx + c
a > 2 ' ∆ > 2 a > 2 ' ∆ = 2 a > 2 ' ∆ < 2
a < 2 ' ∆ > 2 a < 2 ' ∆ = 2 a < 2 ' ∆ < 2
Función c!"ica
<. :u r-$ica es una par-+ola cuyo 'rtice es el punto
− ,
f −
.
x f ( x) = x<
E; E
E* E*
2 2*7; *7
* *
;
< ;G
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Una $unci%n cbica es aquella que tiene la $orma, o puede ser lle'ada a la $orma
y = f ( x) = ax< + bx
; + cx + d , con a ≠ 2 , a, b,
c, d ∈ IR
Un ejemplo de $unci%n c1+ica es la $unci%n y = f ( x) = x< , cuya r-$ica es
Una $unci%n real f es periódica cuando e0iste un n1mero real t ≠ 2
tal que pa
x ∈ Dom( f ) se tiene
a)
x +
t ∈
Dom(
f ) +)
f ( x + t ) =
f ( x)
!l menor n1mero real positi'o t , cuando e0iste, se denomina el período de f , y en este
caso se dice que f es una $unci%n peri%dica con per3odo t .
ejemplo, la $unci%n f IR → IR de$inida por f ( x) = x − x?
(& x menos la parte entera de x)
na función periódica de per(odo *, cuya r-$ica es
Función periódica
f ( x) = x − x?
ción racional
Una función racional f es una $unci%n de$inida por una e0presi%n ale+raica que es el
cuociente de dos polinomios
f ( x) = p( x)
"( x)
donde
p( x) y
"( x) son polinomios, tal que
"( x) ≠ 2 .
Funciones periódicas
x f ( x) = * x
E; E*7;
E* E*
E*7; E;
E*7< E<
2 No est- de$inida
*7< <
*7; ;
* *
;
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E(emplos de $unciones racionales
x) = = x + * f ( x) = *
x f ( x) = x +*
x − < f ( x) = x + *
x ; − x
*
x
)ra#ado de la *rfica de una función racional
Hara o+tener un es+o/o de la r-$ica de f ( x) =
p( x)
"( x), es necesario determinar
!l dominio de f .
As(ntotas !erticales (si es que las hay), y hori/ontales.
Intersecciones de la r-$ica de f con el eje J, si es que e0isten, y con el eje .
An-lisis de signos de f ( x).
*raficar f en cada rei%n del plano J, determinadas por las as3ntotas 'erticales.
Funciones de potencia
:e dice que una $unci%n f ( x) es una función potencia de x si f ( x) es proporcional a una
potencia de x. :i
c es la constante de proporcionalidad, y m es la potencia, entonces
f ( x) = c xm
Nota. as $unciones de$inidas por
proporcionalidad
directa
o in'ersa, son ejemplos de
$unciones de potencia.
E(emplos
*) y = 2.2< x, y = < x;, y = @
x , y = ;
@ x, y = @
x<
son $unciones de potencia.
;) !l per3odo del pndulo ", es la cantidad de tiempo necesaria para que el pndulorealice una oscilaci%n completa.
Kesultado
de
e0perimentos,
se
ha
encontrado
que
para
oscilaciones
peque6as,
el
per3odo " es apro0imadamente proporcional a la ra3/ cuadrada de la lonitud del
pndulo, e0presado mediante la relaci%n +
=
- , donde L es una constante.
<) !l peso M de un o+jeto es in'ersamente proporcional al cuadrado de la distancia r,
A continuaci%n se presenta la r-$ica de la $unci%n racional
f ( x) =
es e e cen ro e a erra a o e o. ueo, e0 s e una cons an e a que
= ; .
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ficas de funciones de potencia f ( x) = c xm
%rficas de y+,m
para m entero positivo impar
%rficas de y+,m
para m entero positivo par
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%rfica de y=xE;
%rfica de y=xE*7;
a r-$ica de
f ( x) =
c
xm
est- relacionada con
la r-$ica de
y =
xm .as $unciones re'isadas hasta el momento son funciones al*e"raicas.
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BIBLIOGRAFIA7''2===/=i>i*a'e*a'i+a/or%inde</2724'i'leTi2osdeF&n+iones7''2*a'e*a'i+as.&n+ionesreales/(lo%s2o'/+o*2+lasesde
.&n+iones/7'*l7''2.+1i/'i)/&a(+/*<&s&arios%iovana!#F&n+ioneses/2d.