INTRODUCCIÓN

Resistencia de materiales tienen como objetivo estudiar el

comportamiento de los sólidos deformables y establecer los criterios que nos

permitan determinar el material más conveniente, la forma y las dimensiones

más adecuadas que hay que dar a estos sólidos cuando se les emplea como

elementos de una construcción o de una máquina para que puedan resistir la

acción de una determinada solicitación exterior, así como obtener este

resultado de la forma más económica posible.

Las vigas son elementos cuya disposición en las estructuras es

principalmente horizontal, aunque también pueden ser inclinadas, pero que

en todo caso tienen la importante función de servir de apoyo de otros

miembros estructurales que le transmiten las cargas verticales generadas por

la gravedad, las cuales actúan lateralmente a lo largo de su eje. Gracias a

estos elementos se pueden construir todo tipo de maquinarias y estructuras,

tales como chasis de vehículos, soporte de maquinarias, vigas de puentes y

edificaciones, etc. Esta condición hace que las vigas estén sometidas a

esfuerzos diferentes a la tensión simple, representados por los esfuerzos de

flexión. En este caso las fuerzas externas pueden variar de una sección a

otra a lo largo de la viga, además la disposición de ellas, las condiciones de

soporte y la geometría, genera en el interior de la misma la aparición de

cuatro fuerzas llamadas resistentes. Si consideramos un sistema espacial

tenemos:

1- Fuerza Cortante: se produce con dirección perpendicular al eje de la viga y

su efecto es similar al generado por una tijera al cortar un papel, es decir una

fuerza cortante paralela a la cara de la sección de la viga.

2- Fuerza Axial: se produce cuando la disposición de las fuerzas externas no

es totalmente perpendicular al eje de la viga, existiendo componentes de

ellas a lo largo del eje. Cuando aparece esta fuerza junto con la flexión, se

genera un esfuerzo combinado de flexión con esfuerzo axial. Este estudio

está fuera del alcance del presente trabajo.

3- Momento Flector: es una fuerza del tipo “par”, que contribuye a equilibrar

la rotación del sólido en un eje perpendicular a su eje y fuera de su plano, y

que produce sobre la viga un efecto de curvatura a largo de su eje.

4- Momento Torsor: es una fuerza del tipo “par”, que contribuye a equilibrar la

rotación del sólido según un eje paralelo al eje longitudinal de la viga, y que

produce sobre la misma un efecto de giro alrededor de su propio eje.

En el presente trabajo solo se considera el estudio de vigas a flexión

pura y no uniforme, es decir bajo la aplicación de cargas externas que

generan en su interior fuerzas cortantes y momentos flectores. Se estudia la

relación que existe entre las fuerzas externas y las internas. Como varían

estas últimas a lo lago de la viga, mediante la elaboración de diagramas de

fuerzas cortantes y momentos flectores, a los fines de poder diseñar su

dimensionado de manera económica con la condición más crítica de fuerza

interna. Se estudia también por varios métodos, finalmente se aborda el tema

de las vigas hiperestáticas, y la forma de encontrar las reacciones externas,

utilizando las ecuaciones adicionales proporcionadas por las deformaciones.

Objetivo General

El objetivo principal es desarrolla la capacidad de analizar cualquier

problema de forma lógica y sencilla, y de aplicar para su solución unos

cuantos principios básicos perfectamente analizado y comprobado. Los

sistemas estructurales se pueden clasificar según la estructura

predominante; entre ellas tenemos las vigas isostáticas, y las vigas híper

estáticas.

Objetivo específico:

En esta parte del texto se introduce el análisis de los tipos de vigas con

sus números de reacciones, numero de ecuación de equilibrios disponibles,

para que el sólido permanezca en equilibrio estable, también el grado de

indeterminación.

Para el análisis las vigas isostáticas se utiliza el métodos de la

secciones, método de integración directa. De igualmente para la vigas

hiperestática se utiliza el método de tres momento, método de doble

integración, método de cross; el principios de este material hacer énfasis en

la resistencia de los materiales para aplicarlo para resolver cada caso de los

diferentes análisis o método y que nos sirva como herramienta práctica.

TIPOS DE VIGAS.

De acuerdo al número y tipo de los apoyos que soportan la viga, existen

dos grandes grupos de vigas:

1. Vigas Isostáticas o estáticamente determinadas:

En estas vigas el número de reacciones externas coincide con el

número de ecuaciones de equilibro disponibles. No sobra ni faltan reacciones

para que el sólido permanezca en equilibrio estable, tiene grado de

indeterminación (G.I) cero. A continuación se muestran algunos ejemplos:

a) Viga simplemente apoyada de un tramo:

# Reacciones = 3

# Ecuaciones = -3 ( ΣFx, ΣFy , ΣMA)

G.I. = 0

b) Viga en cantiliver, voladizo o ménsula:

# Reacciones = 3

# Ecuaciones = -3 ( ΣFx, ΣFy , ΣMA)

G.I. = 0

c) Viga simplemente apoyada con volados:

# Reacciones = 3

# Ecuaciones = -3 ( ΣFx, ΣFy , ΣMA)

G.I. = 0

d) Viga continúa de dos tramos, con volados y articulación:

# Reacciones = 4

# Ecuaciones = -4 ( ΣFx, ΣFy , ΣMA, ΣMCizq o ΣMCder)

G.I. = 0

2. Vigas hiperestáticas o estáticamente indeterminadas:

Presentan un número mayor de reacciones externas que de

ecuaciones de equilibrio disponibles, lo cual significa que estas vigas

presentan al menos una condición de sujeción adicional a las mínimas

requeridas para que se mantenga en equilibrio estable, es decir, tienen

reacciones sobrantes, cuya eliminación las convertiría teóricamente en

isostáticas. A continuaron se muestran algunos ejemplos:

a) Viga empotrada y apoyada en un rodillo:

# Reacciones = 4

# Ecuaciones = -3 ( ΣFx, ΣFy , ΣMA)

G.I. = 1

b) Viga empotrada- empotrada:

# Reacciones = 6

# Ecuaciones = -3 ( ΣFx, ΣFy , ΣMA)

G.I. = 3

c) Viga de dos tramos empotrada y apoyada:

# Reacciones = 5

# Ecuaciones = -3 ( ΣFx, ΣFy , ΣMA)

G.I. = 2

FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR

En la figura se muestra una viga horizontal elemental, isostática de un

solo tramo, con una carga puntual “P”, en la sección a-a se hace un corte

imaginario para observar las fuerzas internas que aparecen para satisfacer

las condiciones de equilibro, tal como se muestra en el diagrama de cuerpo

libre de abajo.

Se muestra en el siguiente diagrama la convención de signos desde el

punto de vista de la deformación de un elemento diferencial situado justo en

la sección a-a.

Fuerza Cortante:

Del equilibrio de fuerzas verticales practicado a cualquiera de los dos

segmentos de viga separados, aparece una fuerza interna “Va-a”, llamada

resistente, debido a que se opone al efecto de las fuerzas activas externas,

cuya dirección es perpendicular al eje longitudinal de la viga AB, el cual

coincide a su vez con el eje “X” del sistema de referencia particular “XY” de la

viga.

Para el caso de vigas inclinadas la fuerza cortante Va-a, tiene la misma

inclinación, puesto que se orienta según el eje particular de la viga y no

según el sistema global vertical-horizontal. En este sentido se define la

fuerza cortante como la sumatoria de la componente perpendicular al

eje, de las fuerzas externas situadas a la izquierda o a la derecha de la

sección de viga estudiada:

Va-a = ΣFyizqa-a= ΣFydera-a.

La convención de signos más común, es aquella que considera positiva

la fuerza cortante que hace deslizar hacia arriba, la porción de viga situada a

la izquierda de la sección estudiada, en caso contrario se considera negativa.

En otras palabras cuando la sumatoria de fuerzas a la izquierda de la sección

es positiva la fuerza cortante tiene el mismo signo, igual para el caso

contrario, tal como

Momento Flector: el equilibrio rotacional de los segmentos de viga

estudiados se logra con la aparición del Momento Flector Ma-a, señalado en

el diagrama de cuerpolibre anterior. De esta manera este se puede definir

como la sumatoria de los momentos de las fuerzas externas situadas a

la izquierda o a la derecha de la sección estudiada, considerando que el

plano de aplicación de las fuerzas es XY (hoja de papel), y la dirección del

momento flector es perpendicular a este, es decir el eje particular Z:

Ma-a = ΣMiizqa-a= ΣMidera-a

En cuanto al signo del momento flector, es importante resaltar que este

no depende de su sentido de rotación, tal como sucede con el momento de

equilibrio, sino más bien de la curvatura que sufre la viga por la aplicación del

mismo. De tal manera que una curvatura cóncava hacia arriba se considera

positiva, lo contrario es negativo. En la siguiente figura se ilustra esta

convención.

Los momentos flectores positivos generan tracción o alargamiento en

las fibras inferiores de la viga y compresión o acortamiento en las superiores,

los negativos producen lo contrario, como se muestra en la parte superior de

la figura anterior. En los gráficos inferiores, de la figura anterior, se muestra el

efecto de fuerzas individuales y el sentido de curvatura de la viga,

considerando un empotramiento imaginario en la sección a-a.

RELACIÓN ENTRE CARGA, CORTE Y MOMENTO FLECTOR.

Resulta particularmente importante, conocer no solo el valor del corte y

del momento flexionante en un punto de la viga, sino más bien a lo largo de

todo el elemento, debido a que en su diseño, se debe considerar la condición

más desfavorable de esfuerzo resistente en el interior del sólido, para lograr

esto se construyen los llamados diagramas de fuerza cortante y momento

flector. La realización de estos diagramas requiere conocer la relación

existente entre las cargas externas y las fuerzas internas de corte y momento

flector. En el siguiente gráfico, se ha considerado una viga simplemente

apoyada, con un sistema de cargas distribuida general “q”, de signo positivo,

por tener sentido vertical hacia arriba. 1 y 2 representan dos secciones de la

viga separadas una distancia dx. A la derecha se ha graficado en forma

ampliada, el diagrama de cuerpo libre del elemento diferencial de viga

contenido entre las secciones 01 y 02, que incluye tanto las fuerzas externas

“q”, como las fuerzas internas V y M, las cuales se supusieron con signo

positivo. Para la cara de la sección 01, los valores de fuerzas cortantes y

momentos flexionantes son respectivamente V y M, mientras que para la

sección 02, son los valores de la sección 01 más un cierto diferencial dV y

dM respectivamente.

Equilibrando el elemento diferencial tenemos:

Relación Carga – Corte: por sumatoria de fuerzas verticales

De esta manera se encuentran las siguientes relaciones:

a) donde “q” es intensidad de carga y es la pendiente del

diagrama de corte.

b) El signo de la carga, define la inclinación de la pendiente del diagrama

de corte.

c) La intensidad de la carga “q” define la variación de la pendiente del

diagrama de corte.

d) Se puede calcular el corte en la sección 02, con el corte anterior en la

sección 01, más el área del diagrama de carga existente entre las

secciones 01 y 02:

Relación Corte – Momento: por sumatoria de momentos en el punto “0”:

Las relaciones entre corte y momento son:

a) donde “V” es intensidad del diag. De corte y es la

pendiente del diagrama de Momentos.

b) El signo del diagrama de corte, define la inclinación de la pendiente

del diagrama de momentos.

c) La Intensidad del diagrama de corte, define la variación de la

pendiente del diagrama de Momentos, como se muestra a

continuación:

d) Se puede calcular el momento en la sección 02, con el momento

anterior en la sección 01, más el área del diagrama de corte existente

entre las sección 01 y 02:

Vigas Isostáticas

Método de las secciones

El análisis de cualquier viga o marco para determinar las fuerzas

internas comienza con la preparación de un diagrama de cuerpo libre que

muestre tanto las fuerzas aplicadas como las reacciones. En los pasos

subsecuentes del análisis, ninguna distinción tiene que hacerse entre las

fuerzas aplicadas y las reacciones. El método de las secciones puede

entonces aplicarse a cualquier sección de una estructura. L/2 L a P P P/2 P/2

P/2 P/2 ? ∙ ? 2 Considere una viga como la de la figura, con ciertas cargas

puntuales y distribuidas actuando sobre ellas. Se supone que se conocen las

reacciones. Las fuerzas aplicadas externamente y las reacciones mantienen

todo el cuerpo en equilibrio. La sección imaginaria pasa por la carga

uniformemente distribuida y también la separa. Cada uno de estos

segmentos de viga es un cuerpo libre que debe estar en equilibrio. Esas

condiciones de equilibrio requieren de la existencia de un sistema de fuerzas

internas en la sección de corte de la viga.

Método de la integración directa

Otra posibilidad es usar fórmulas vectoriales directas, si se tienen

fuerzas puntuales y reacciones verticales aplicadas en los

puntos , una carga distribuida continua y momentos

puntuales aplicados en puntos , el momento

flector total puede calcularse directamente como:

Donde la suma sobre i se extiende hasta k dado por la

condición [análogamente para j y l]. La anterior

función será continua si y sólo si todos los momentos puntuales se anulan, y

será diferenciable si sólo existe carga continua q. Cuando las fuerzas

puntuales no sean todas nulas la función será continua a tramos. Otra forma

práctica de expresar la última ecuación es:

La cual permite encontrar la función mediante una integral simple en

lugar de doble. O en términos de la función escalón de

Heaviside función rampa :

Vigas Hiperestáticas

Método de los Tres Momentos

Este no es el único método que da soluciones a los problemas de

cálculo en vigas continuas. Sin embargo, el problema genérico parte de

condición estática de la viga.

Para entender mejor el método se definirán algunos conceptos básicos

que deben conocerse para llevar acabo el análisis.

Una viga continua puede definirse como una estructura hiperestática

formada por varias piezas rectas alineadas, unidas entre si por nudos rígidos

apoyados, determinándose vano, o tramo, al segmento comprendido entre

dos apoyos sucesivos de la viga. Esta tipología es apreciable en la siguiente

figura.

En el estudio de las vigas continuas sólo consideramos la acción de fuerzas

verticales y de momentos, con lo que las reacciones en los apoyos también

serán verticales. De actuar alguna fuerza horizontal, como, por ejemplo, de

frenado en puentes de carretera o de ferrocarril, supondremos que uno de

los apoyos es fijo y, por tanto, que soporta todas las acciones horizontales.

Con esta disposición de los apoyos, los cambios térmicos uniformes a través

del espesor de las piezas no producen ningún tipo de esfuerzo.

Como la viga sobre dos apoyos simples es un sistema isostático, en una viga

de más de un tramo cada apoyo intermedio introduce un vínculo redundante

y, en general, una viga continua sobre n apoyos, constituye un sistema n-2

veces hiperestático. Por tanto, en la resolución de una viga continua pueden

tomarse como incógnitas hiperestáticas las reacciones de los apoyos

intermedios.

Como alternativa a diferentes métodos para resolver vigas continuas se

eliminan los enlaces entre los diversos tramos y se eligen como incógnitas

hiperestáticas los momentos flectores sobre los apoyos intermedios. Eso

equivale a suprimir la continuidad de los tramos y considerar la viga como

una sucesión de vigas biapoyadas isostáticas que interaccionan entre sí a

través de momentos de extremidad de valor desconocido al momento del

cálculo.

En el diseño de elementos mecánicos se cuenta con piezas y elementos que

se pueden analizar como vigas que tienen más de dos apoyos, entre estos

se pueden mencionar las tuberías, algunas armaduras y algunos marcos. La

determinación de las reacciones en los apoyos no se pueden establecer

mediante la estática, por lo que se denominan hiperestáticos, como ya se

mencionó, se recurre a la mecánica de materiales para su análisis.

Buscando determinar la ecuación que se utilizará para el desarrollo del

método, se toma en cuenta que se tiene una viga continua infinita con

diferentes tipos de cargas en cada uno de los extremos y se toma de la

misma, en el hipotético caso, dos tramos, los cuales tienen longitud L1 y L2,

como se observa en la figura

Separando por tramos la viga y haciendo la similitud estática de las cargas

en las secciones de corte, construimos los diagramas de cortante y

momento, señalando las áreas y centroides de las figuras compuestas en la

siguiente forma:

Al dividir la estructura por tramos, es decir, entre cada apoyo, un corte, se

generan momentos compensados de signos contrarios. Los ángulos de giro

son señalados con relación a la pendiente de la deformación, en la división

de los tramos. Al realizar el corte sobre los extremos infinitos, se generan

momentos que también son señalados sobre ambos tramos.

En estas razones se puede establecer:

Si se toma por separado cada uno de estos tramos y se observa que las

cargas externas producen un diagrama de momentos pero también aparecen

momentos hiperestáticos al separar cada tramo de la viga. Los dos tramos

tienen un punto común en el cuál se ubica el apoyo No. 2, y en cual se sabe

que .

El ángulo que se genera en este punto debe ser igual a cero. También se

observa que cada uno de de los tramos es afectado por las cargas y los

momentos. Tomando en consideración el teorema de area momentos, la

contribución de las cargas externas del tramo 1 a es la siguiente:

Podemos expresar el ángulo como una contribución de los momentos

hiperestáticos

En el tramo dos, igualmente está expresado como sigue:

Igualando con la ecuación determinada antes donde , tenemos:

Donde:

M1, M2, M3: Momento flectores en los apoyos 1, 2 y 3.

L1, L2: Longitudes de los tramos 1 y 2.

A1, A2: Área del diagrama de Momentos Flectores de las Cargas sobre los

tramos 1 y 2.

a1: Distancia del centro del diagrama de Momentos Flectores del tramo 1 al

apoyo 1.

b2: Distancia del centro del diagrama de Momentos Flectores del tramo 2 al

apoyo 3.

Método de la doble integración.

Es uno de tantos métodos que se basan en el análisis de las

deformaciones, en particular la de los soportes. El método consiste en

integrar sucesivamente una ecuación denominada “Ecuación Diferencial de

la Elástica” dada por la expresión:

E = Módulo elástico del material del que está hecha la viga.

I = Momento de inercia de la sección transversal respecto al eje neutro.

Mx = Ecuación de momentos a lo largo de toda la barra.

Al integrar sucesivamente la ecuación de momentos, aparecen

constantes que será necesarios definir. Estas constantes se determinan en

función de las condiciones de frontera, que generalmente las definen los

tipos de apoyo o la simetría de la carga. Recordemos que un apoyo simple

tiene pendiente pero no tiene flecha y un apoyo empotrado no tiene ni

pendiente ni flecha. En un punto cualquiera de la viga, la pendiente es la

misma analizando las cargas y momentos a la izquierda o a la derecha del

punto.

Método de Cross

El Método de Distribución de Momentos o Método de Cross, es un

método de análisis estructural para vigas estáticamente indeterminadas y

marcos, desarrollado por Hardy Cross. Publicado por primera vez en 1.930

en una revista de la American Society Civil Engineering; el método solo

calcula el efecto de los momentos flectores e ignora los efectos axiales y

cortantes, suficiente para efectos prácticos. Desde esa fecha hasta que las

computadoras comenzaron a ser usadas en el diseño y análisis de

estructuras, el método de distribución de momentos fue el más usado.

En el Método de Distribución de Momentos cada articulación de la

estructura que se va a analizar, es fijada a fin de desarrollar los Momentos en

los Extremo fijos. Después cada articulación fija es secuencialmente liberada

y el momento en el extremo fijo (el cual al momento de ser liberado no está

en equilibrio) son distribuidos a miembros adyacentes hasta que el equilibrio

es alcanzado. El método de distribución de momentos desde el punto de

vista matemático puede ser demostrado como el proceso de resolver una

serie de sistemas de ecuaciones por iteraciones.

Para la aplicación del método de cross deben seguirse los siguientes

pasos:

1) Momentos de “empotramiento” en extremos fijos: son los momentos

producidos al extremo del miembro por cargas externas cuando las juntas

están fijas.

2) Rigidez a la Flexión: la rigidez a la flexión (EI/L) de un miembro es

representada como el producto del Módulo de Elasticidad (E) y el segundo

momento de área, también conocido como Momento de Inercia (I) dividido

por la longitud (L) del miembro, que es necesaria en el método de

distribución de momentos, no es el valor exacto pero es la razón aritmética

de rigidez de todos los miembros.

3) Factores de Distribución: pueden ser considerados como las

proporciones de los momentos no balanceados llevados por cada uno de sus

miembros.

4) Factores de Acarreo o Transporte: los momentos no balanceados

son llevados sobre el otro extremo del miembro cuando la junta es liberada.

La razón de momento acarreado sobre el otro extremo, al momento en el

extremo fijo del extremo inicial es el factor de acarreo.

5) Convención de Signos: un momento actuando en sentido horario es

considerado positivo. Esto difiere de la convención de signos usual en

ingeniería, la cual emplea un sistema de coordenadas cartesianos.

Cálculo de Reacciones

+ ΣM B=0

M B= - (9kn x 4.5m) - (8kn x 1.5m) + Ra x 6m = 0

Ra =

= 8.75kn

+Σfv=0 8.75 kn - 9kn - 8kn + Rb =0

Ra= 8.25 kn

Corte por metodo de Areas

V(0)= 0 + 8.75 kn = 8.75 kn

V(0-3)= 8.75 kn – 9 kn = -0.25 kn

V(3)= - 0.25 kn – 0 kn = -0.25 kn

V(3-4.5)= -0.25 kn + 0 kn = -0.25 kn

V(4.5)= -0.25 kn – 8 kn= -8.25 kn

V(4.5-6)= - 8.25kn - 0 = - 8.25 kn

V(6)= - 8.25 kn + 8.25 kn = 0 kn

Momento por metodo de Areas

M(0-2.917)= 0 + ( ) = 12.762 kn.m

M(2.917- 3)= 12.762 kn.m -

= 12.752 kn.m

M(3 - 4.5)= 12.752 kn.m + 0.25 kn x 1.5 m=12.377 kn.m

M(4.5- 6)= 12.377kn.m - (8.25 kn x 1.5 m) = 0.002 kn.m

8.75 kn

12.377 kn.m

12.752 kn.m 12.762 kn.m

0.083 m

2.917 m

8.25 kn

0.25 kn 0.25 kn

Cálculo de Reacciones

+ ΣM B=0

M A= - (800 lb x 6 pies) - (Rc x 9 pies) + 400 x 12 pies + 300 lb.pies= 0

Rc =

= 1100 LB

+Σfv=0 Ra – 800 lb + 1100 lb – 400 lb =0

Ra= 100 lb

Corte por metodo de Areas

V(0)= 0 + 100 lb = 100 lb

V(0-6)= 100 lb - 0 = 100 lb

V(6)= 100 lb - 800 lb = - 700 lb

V(6-9)= -700 lb + 0 = -700 lb

V(9)= -700 – 1100 = 400 lb

V(9-12)= 400 - 0 = 400 lb

V(12)= 400 - 400 = 0 lb

Momento por metodo de Areas

M(0-6)= 0 + 100 lb x 6 pies = 600 lb.pies

M(6-9)= 600 lb.pies – 700 lb x 3 pies= -1500 lb.pies

M(9-12)= -1500 lb.pies + 400 lb x 3 pies=-300 lb.pies

M(12-14)= -300 lb.pies – 0 = -300 lb.pies

M(14)= -300 lb.pies + 300 lb.pies= 0

V (-)

V (+)

300 lb.pies

M (-)

M (+)

400 lb 400 lb

700 lb 700 lb

100 lb 100 lb

600 lb.pies

1500 lb.pies

Cálculo de Reacciones

+ ΣM B=0

M A= - 13.5 kn.m x – Rc x 9 m= 0

Rc = = 9 kn

+Σfv=0 Ra – 13.5 kn + 9 kn = 0

Ra= 4.5 kn

Corte por metodo de Areas

V(0)= 0 + 4.5 kn = 4.5 kn

V(0-9)= 4.5 kn - = - 9 kn

V(9)= - 9 kn + 9 kn = 0

Momento por metodo de Areas

M(0-5.1961)= 0 + 15.588 kn.m= 15.588 kn.m

M(5.19619-9)= 15.588 kn.m –15.588 kn.m = 0

9 kn

4.5 kn

V (-)

V (+)

M (+)

M (-)

5.1961 m

15.588 Kn.m

Cálculo de Reacciones

+ ΣM A=0

24 kip.pies x + MA + 24 kip.pies x [( ) ]= 0

MA = = - 576 kip.pies

+Σfv=0 Ra – 24 kip - 24 kip = 0

Ra= 48 kip

Corte por metodo de Areas

V(0)= 0 + 48 kip = 48 kip

V(0-12)= 48 kip - = 24 kip

V(12)= 24 kip + 0 kip = 24 kip

V(0-24)= 24 kip - kip = 0 kip

Momento por metodo de Areas

M(0)= 0 - 576 kip.m= - 576 kip.pies

M(0-12)= -576 kip.pies –[ ]kip.pies = -96 kip.pies

M(12-24)= -96 kip.pies +96 kip.pies = 0 kip.pies

576 kip.pies

V (-)

V (+)

M (-)

M (+)

48 kip

24 kip

96 kip.pies

1

Solución:

Para elaborar el D.C.L de la viga se debe calcular la carga puntal generada por la carga uniformemente distribuida (W) y ubicarla en el medio de la longitud donde está actuando la carga por unidad de longitud

Diagrama de Cuerpo de la Viga

Cálculo de las reacciones en los apoyos de la viga:

Aplicado en B

3 m1 m

5 kN

A B C D

1 mw=2000 N/m

W 2kN

m

4m( ) 8 kN

1 m 1 m 1 m1 m

W =8 kN 5 kN

RBy RDy

A B C D

RBy RDy 13kN a( )

W 1m( ) 5kN 2m( ) RDy 3m( ) 0 RDyW 1m( ) 5kN 2m( )

3m6 kN

Cálculo de diagrama de Corte y Momento por el método de las secciones

Aplicado en D

Verificando la ecuación (a).

Análisis por sección

Secc AB: 0<x<1m

Cálculo de la carga equivalente:

Evaluando para el intervalo de 0<x<1m

Para

RBy 3m( ) W 2m( ) 5kN 1m( ) 0 RByW 2m( ) 5kN 1m( )

3m7 kN

RBy RDy 13kN

7kN 6kN 13kN

Vi

Mi

Qeq1

(x/2)

(x)

Qeq1 2kN

m

x

ViAB Qeq1 2kN

m

x MiAB Qeq1x

2

MiAB 2kN

m

x

x

2

x2

kN

m

x 0m

ViAB 2kN

m

x ViAB 0 MiAB x2

kN

m

MiAB 0

Para

Secc BC:

Cálculo de la carga equivalente: Cálculo de la carga puntual debido a la carga distribuida:

x 1m

ViAB 2kN

m

x ViAB 2 kN MiAB x2

kN

m

MiAB 1 kN m

V i

M i

Q e q 2

( x - 1 m ) / 2

( x )

1 m ( x - 1 m )

W 2

0 , 5 m

( x - 0 , 5 m )

R B y = 7 k N

Qeq2 2kN

m

x 1m( ) W2 2kN

m

1m( ) 2 kN

ViBC W2 RBy Qeq2

MiBC W2 x 0.5m( ) RBy x 1m( ) 2kN

m

x 1m( )

x 1m

2

MiBC W2 x 0.5m( ) RBy x 1m( ) x 1m( )2 kN

m

Evaluando para el intervalo de 1<x<3m

Para

Para

Secc CD:

x 1m

ViBC W2 RBy 2kN

m

x 1m( )

ViBC 5 kN

MiBC W2 x 0.5m( ) RBy x 1m( ) x 1m( )2 kN

m

MiBC 1 kN m

x 3m

ViBC W2 RBy 2kN

m

x 1m( )

ViBC 1 kN

MiBC W2 x 0.5m( ) RBy x 1m( ) x 1m( )2 kN

m

MiBC 5 kN m

Vi

M i

Qeq3

(x-3m )/2

(x)

1 m

(x-3m )

W 2

0,5 m

(x-0,5m )

RBy = 7 kN

2 m

W 3

(x-2m )

(x-2m )

(x-1m )

3m

5kN

Qeq3 2kN

m

x 3m( ) W3 2kN

m

2 m 4 kN

Evaluando para el intervalo de 3m<x<4m

Para

Para

ViCD W2 RBy W3 5kN Qeq3

MiCD W2 x 0.5m( ) RBy x 1 m( ) W3 x 2 m( ) Qeq3x 3m

2

MiCD W2 x 0.5m( ) RBy x 1 m( ) W3 x 2 m( ) 2kN

m

x 3m( )

x 3m

2

MiCD W2 x 0.5m( ) RBy x 1 m( ) W3 x 2 m( ) x 3m( )2 kN

m

x 3m

ViCD W2 RBy W3 5kN 2kN

m

x 3m( )

ViCD 4 kN

MiCD W2 x 0.5m( ) RBy x 1 m( ) W3 x 2 m( ) 5kN x 3m( ) x 3m( )2 kN

m

MiCD 5 kN m

x 4m

ViBC W2 RBy W3 5kN 2kN

m

x 3m( ) ViBC 6 kN

MiCD W2 x 0.5m( ) RBy x 1 m( ) W3 x 2 m( ) 5kN x 3m( ) x 3m( )2 kN

m

MiCD 0 kN m

Diagrama de Carga

Diagrama de Fuerza Cortante y Momento Felxionante

Cálculo de las reacciones :

Por simetría:

4500 4 12 9000

2 2i jR R kgf

⋅= = ⋅ = ↑

Otra forma, por equilibrio:

1 4500 4 2 4500 40 4 4 4 8 0

3 2 3 2

9000

4500 40 2 9000 0

2

9000

V

Mi Rj

Rj kgf

F Ri

Ri kgf

⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ + + ⋅ − =

⇒ = ↑

⋅= ⇒ − ⋅ + + =

⇒ = ↑

∑

∑

Cálculo de las características de solicitación :

( )

( ) ( ) 2

0 4 (primer segmento)

45004500 1125 4500

4

562,5 4500 9000

x

W x x x

V x W x dx x x

≤ ≤

= − = −

= = − +∫

Cálculo de Diagrame de Corte y momento por metodo de integración (Vigas Isostaticas)

( ) ( )( )( )

( )

( ) ( )

( ) ( )( )( )

3 2

2

3

187,5 2250 9000

4 0

4 12000

0 4 (segundo segmento)

45001125

4

562,5

187,5 12000

4 9000

4 0

M x V x dx x x x

V

M mkgf

x

W x x x

V x W x dx x

M x V x dx x

V kgf

M

= = − +

=

=

≤ ≤

= − = −

= = −

= = − +

= −

=

∫

∫∫

Diagramas de cortante y momento:

Cálculo de las reacciones :

Por equilibrio:

( )

7,50 1 3000 7,50 2000 7,5 5 3000 7,5 7,5 0

2 3 2

13250

7,50 5000 2000 3000 13250 0

2

16000

V

Mi Rj

Rj kgf

F Ri

Ri kgf

⋅= ⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − =

⇒ = ↑

= ⇒ − + − + =

⇒ = ↑

∑

∑

Cálculo de las características de solicitación :

( )

( )

( )

( )( )

2

3 2

0 5 (primer segmento)

5000 30005000 400 5000

5

200 5000 16000

2002500 16000

3

5 4000

5 25833,33

x

W x x x

V x x x

M x x x x

V kgf

M mkgf

≤ ≤

−= − = −

= − +

= − +

= −

=

( )

( )

( )( )

( )

( )

2

1

2

0 200 5000 16000 0

3,77

21, 23 5 no es solución

3,77 28360,10

5 (fuerza puntual)

5 3000 4000 7000

5 25833,33

0 2,50 (segundo segmento)

3000 20003000 400 3000

2,5

20

V x x x

x m

x m m

M mkgf

x

V kgf

M mkgf

x

W x x x

V x

= ⇒ − + =

=

= >

=

=

= − − = −

=

≤ ≤

−= − = −

=

( )

( )( )

2

3 2

0 3000 7000

2001500 7000 25833,33

3

2,5 13250

2,5 0

x x

M x x x x

V kgf

M

− −

= − − +

= −

=

Diagramas de cortante y momento:

Cálculo de las reacciones :

Por equilibrio:

( )2 3000 2 1 3000 3 30 2 750 2 3 5 1000 3 5 1,5 1500 8 0

3 2 3 2 2

5937,5

3000 2 3000 30 1000 3 1500 5937,5 0

2 2

6062,5

V

Mi Rj

Rj kgf

F Ri

Ri kgf

⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + + ⋅ − =

⇒ = ↑

⋅ ⋅= ⇒ − − − ⋅ − + =

⇒ = ↑

∑

∑

Cálculo de las características de solicitación :

( )

( )( )( )( )

( )( )

2

3

0 2 (primer segmento)

30001500

2

750 6062,5

250 6062,5

2 3062,5

2 10125

2 (momento aplicado)

3062,5

750 10125 10875

x

W x x x

V x x

M x x x

V kgf

M mkgf

x

V x kgf

M x mkgf

≤ ≤

= − = −

= − +

= − +

=

=

=

=

= + =

( )

( )

( )

( )( )( )

2

3 2

2

1

2

0 3 (segundo segmento)

30003000 1000 3000

3

500 3000 3062,5

5001500 3062,5 10875

3

3 1437,5

3 11062,59

0 500 3000 3062,5 0

1,3

4,7 3 no es solución

(1,3) 12

x

W x x x

V x x x

M x x x x

V kgf

M mkgf

V x x x

x m

x m m

M

≤ ≤

= − = −

= − +

= − + +

= −

=

= ⇒ − + =

⇒ =

⇒ = >

=

( )( )( )( )( )

( )( )

2

687, 42

0 1,5 (tercer segmento)

1000

1000 1437,5

500 1437,5 11062,59

1,5 2937,5

1,5 7781,34

1,5 (fuerza puntual)

1500 2937,5 4435,5

7781,34

0 1,5 (cuarto

mkgf

x

W x

V x x

M x x x

V kgf

M mkgf

x

V x kgf

M x mkgf

x

≤ ≤

= −

= − −

= − − +

= −

=

=

= − − = −

=

≤ ≤

( )( )( )( )( )

2

segmento)

1000

1000 4437,5

500 4437,5 7781,34

1,5 5937,5

1,5 0

W x

V x x

M x x x

V kgf

M

= −

= − −

= − − +

= −

=

Diagramas de corte y momento :

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )( )( )

2

3 2

4 3 2

1

1

5 4 3 2

2

2

45004500

8

45004500

16

45002250

48

4500 2250

192 3 2

0 0 0

4500 2250

960 12 6 2

0 0 0

8 0

8 0

0 288000 32 8

0 6

xx

xx

W x x

V x x x Ri

M x x x Rix Mi

RiEI x x x x Mix C

x x C

Ri MiEI x x x x x C

x x C

x x

x x

Ri Mi

θ

θ

δ

δ

θ

δ

= −

= − +

= − + −

= − + − +

= ⇒ = ⇒ =

= − + − +

= ⇒ = ⇒ =

= ⇒ =

= ⇒ =

= − + −

= − 14400 85,3 32

resolviendo el sistema de ecuaciones resulta:

12600

14400

4500 80 12600 0 5400

2

V

Ri Mi

Ri kgf

Mi mkgf

F Rj Rj kgf

+ −

=

=

⋅= ⇒ − + = ⇒ =∑

?

Cálculo de vigas hiperestaticas por metodo de integración.

( ) [ ]

( ) [ ]2

1 80 14400 8 4500 8 5400 0 9600

3 2

Ecuación general de la carga:

562,50 4500 0,8

Ecuación general de la fuerza cortante:

281, 25 4500 12600 0,8

Ecuación general del moment

Mi M j M j mkgf

W x x x

V x x x x

= ⇒ − + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + = ⇒ =

= − ∀ ∈

= − + ∀ ∈

∑

( ) [ ]( ) [ ]

( )

3 2

4 3 2

o flector:

93,75 2250 12600 14400 0,8

23, 44 750 6300 14400 0,8

Máximo momento flector:

0 281

xx

M x x x x x

EI x x x x x x

V x

θ

= − + − ∀ ∈

= − + − ∀ ∈

= ⇒

( )( )? ( )

2

1

2

, 25 4500 12600 0

3,62

12,38 8 no es solución

3,62 6174, 41

0 14400

0 14400 para 0

x x

x m

x m m

M mkgf

M mkgf

M M mkgf x

− + =

⇒ =

⇒ = >

=

= −

⇒ = = − =

( )( )( )

( )

( )

( )

( )( )( )

2

3 2

1

1

4 3 2

2

2

2000

2000

1000

333,32

0 0 0

83,36 2

0 0 0

8 0

8 0

170666,6 32 8

341333,3 85,3 32

resolviendo el si

xx

xx

W x

V x x Ri

M x x Rix Mi

RiEI x x x Mix C

x x C

Ri MiEI x x x x C

x x C

x x

x x

Ri Mi

Ri Mi

θ

θ

δ

δ

θ

δ

= −

= − +

= − + −

= − + − +

= ⇒ = ⇒ =

= − + − +

= ⇒ = ⇒ =

= ⇒ =

= ⇒ =

= −

= −

?

?

?

? ?

stema de ecuaciones resulta:

8000

10666,67

por simetría 8000

Ri kgf

Mi mkgf

Rj kgf

=

=

=

( ) [ ]

( ) [ ]

( ) 2

por simetría: 10666,67

Ecuación general de la carga:

2000 0,8

Ecuación general de la fuerza cortante:

2000 8000 0,8

Ecuación general del momento flector:

1000 8000 10166,67

M j mkgf

W x x

V x x x

M x x x

=

= − ∀ ∈

= − + ∀ ∈

= − + − [ ]

( )

( )( )( )? ( ) ( )

0,8

Máximo momento flector:

0 2000 8000 0

4

4 5333,33

0 10666,67

8 10666,67

0 8 10666,67

x

V x x

x m

M mkgf

M mkgf

M mkgf

M M M mkgf

∀ ∈

= ⇒ − + =

⇒ =

=

= −

=

⇒ = = = − para 0 y 8x x= =

( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( )( )

2

3 2

4 3 2

1

1

5 4 3 2

2

2

400 5000

200 5000

2002500

3

200 2500

12 3 2

0 0 0

200 2500

60 12 6 2

0 0 0

7,5 0

7,5 0

298828,13 28,13 7,5

580078

xx

xx

W x x

V x x x Ri

M x x x Rix Mi

RiEI x x x x Mix C

x x C

Ri MiEI x x x x x C

x x C

x x

x x

Ri Mi

θ

θ

δ

δ

θ

δ

= −

= − +

= − + −

= − + − +

= ⇒ = ⇒ =

= − + − +

= ⇒ = ⇒ =

= ⇒ =

= ⇒ =

= −

,12 70,31 28,13

resolviendo el sistema de ecuaciones resulta:

15363,19

17778, 44

Ri Mi

Ri kgf

Mi mkgf

= −

=

=

( ) [ ]

( ) [ ]

( )

2

3 2

Ecuación general de la carga:

400 5000 0;7,5

Ecuación general de la fuerza cortante:

200 5000 15363,19 0;7,5

Ecuación general del momento flector:

66,67 2500 15363,19 17778, 44

W x x x

V x x x x

M x x x x

= − ∀ ∈

= − + ∀ ∈

= − + − [ ]

( ) [ ]

( )

( )

5 4 3 2

2

1

2

0;7,5

Ecuación general de la deformada:

3,33 208,33 2560,53 8889, 22 0;7,5

Máximo momento flector:

0 200 5000 15363,19 0

3,59

21, 41 7,5 no es solución

3,59 8239,88

xx

x

EI x x x x x x

V x x x

x m

x m m

M m

δ

∀ ∈

= − + − ∀ ∈

= ⇒ − + =

⇒ =

⇒ = >

=

( )? ( )

0 17778, 44

0 17778, 44 para 0

kgf

M mkgf

M M mkgf x

= −

⇒ = = − =

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )( )( )

2

3

4 2

1

1

5 3 2

2

2

6000

7

6000

14

6000

42

6000

168 2

0 0 0

6000

840 6 2

0 0 0

7 0

7 0

49000 7

120050 57,16 24,5

resolviendo e

xx

xx

W x x

V x x Ri

M x x Rix Mi

RiEI x x x Mix C

x x C

Ri MiEI x x x x C

x x C

x M x

x x

Ri Mi

Ri Mi

θ

θ

δ

δ

δ

= −

= − +

= − + −

= − + − +

= ⇒ = ⇒ =

= − + − +

= ⇒ = ⇒ =

= ⇒ =

= ⇒ =

= −

= −?

l sistema de ecuaciones resulta:

9450

17150

Ri kgf

Mi mkgf

=

=

Rj

( ) [ ]

( ) [ ]

( ) [ ]

2

3

Ecuación general de la carga:

6000 0,7

7

Ecuación general de la fuerza cortante:

60009450 0,7

14

Ecuación general del momento flector:

60009450 17150 0,7

42

Ecuación general

W x x x

V x x x

M x x x x

= − ∀ ∈

= − + ∀ ∈

= − + − ∀ ∈

( ) [ ]

( )

( )( )? ( )

5 3 2

2

1

2

de la deformada:

6000 9450 17150 0,7

840 6 2

Máximo momento flector:

60000 9450 0

14

4,7

4,7 0 no es solución

4,7 12433,18

0 17150

0 17150 para 0

xxEI x x x x x

V x x

x m

x m

M mkgf

M mkgf

M M mkgf x

δ = − + − ∀ ∈

= ⇒ − + =

⇒ =

⇒ = − <

=

= −

⇒ = = − =

http://metododecross1031.blogspot.com/Cálculo de Diagrama de Corte y Momento por el método de Cross

4.0 ton

3.0 ton/m 3.0 2 ton/m 3.0 ton/m

A B C D

1) Rigidez en cada seccion de la viga.

EI= Para vigas en voladizo

EI=Para vigas internas de seccion kte

EI=Para vigas externas de seccion kte

R= EI/L

R=0/2

R=

Tramo A-B = R= EI/L

R=

R=

Tramo B-C = R= EI/L

Tramodel

Voladizo=

2.00 6.00 7.00 5.00

2.00

0.00

1.00

0.75

ton/m

0.00

2.0 5.00

0.17

1/6

R=

R= 0.14

Tramo C-D = R= EI/L

R=0.75/5

R= 0.15

R=

A B C D

2) Coeficientes de Distribucion

CD= R(izq) / (R(izq)+ R(Der )) CD= R(Der ) / (R(Der)+ R(Izq))

CD=0/(0+0.17) CD=0.17/(0.17+0)

R= R=

CD= R(izq) / (R(izq)+ R(Der)) CD= R(Der) / (R(Der)+ R(Izq))

CD=0.17/(0.14+0.17) CD=0.14/(0.147+0.17)

R= R=

CD= R(izq) / (R(izq)+ R(Der)) CD= R(Der) / (R(Der)+ R(Izq))

CD=0.14/(0.14+0.15) CD=0.15/(0.15+0.14)

R= R=

CD= R(izq) / (R(izq)+ R(Der)) CD= R(Der) / (R(Der)+ R(Izq))

CD=0.15/(0.15+0.00) CD=0.00/(0.00+0.15)

R= R=

3) Momentos Isostaticos en los nudos

1.00

0.46

0.51

0.00

0.00

2.00 6.00 7.00 5.00

R= 0.00 R= 0.17 R= 0.15

2.00

0.54

0.49

1.00

1/7

0.14

Punto D der=

Punto C der=

Punto B der=

Punto A der=

Punto D izq=

Punto C izq=

Punto B izq=

Punto A izq=

Momentos por carga Uniformemente distribuidaMomentos por carga Uniformemente distribuida

Mfq= WL^2/2 Mfq= WL^2/12

Mf= 3*2^2/2 Mf= 3*6^2/12

R= R=

Mfq= WL^2/12 Mfq= WL^2/12

Mf= 3*6^2/12 Mf= 1.5*7^2/12

R= R=

Mfq= WL^2/12 Mfq= WL^2/8

Mf= 1.5*7^2/12 Mf= 3*5^2/8

R= R=

Mfq= 0.00 Mfq=

Momentos por carga concentrada

Mfp= P.a.b^2/L^2 Mfp= P.b.a^2/L^2

Mfp= 4*2*5^2/7^2 Mfp= 4*5*2^2/7^2

Mfp= Mfp=

Momentos fijos en los nudos

Mf A Izq= t-m Mf A Der = t-m

Mf B Izq= t-m Mf B Der = t-m

Mf C Izq= t-m Mf C Der = t-m

Mf D Izq= t-m Mf D Der = t-m

4) Proceso de aproximacion sucesiva

2.00

A B C D

1.63

0.00

Momento C Izq=

Momento Ader=

Momento B der=

Momento C der=

Momento D der=

5.00

3 ton/m

Momento B der=

-4.08

Momento D Izq=

Momento B Izq=

Momento C Izq=

Momento A Izq=

2.00 6.00 7.00

4 ton

3 ton/m 1.5 ton/m

6.00

9.00

7.76

0.00

6.00 -9.00

-6.13

-9.38

9.00

-9.00

-10.21

-9.38

0.00

6.13

CD 0.51 0.00

Mf -9.38 0.00

Equilibrar Momentos

0.00 -0.01

-0.07 -0.44

0.05 0.02 0.01

-0.01 -0.07 -0.01

0.00 -0.01 -0.04 -0.03

0.02 0.02 0.04 0.04

0.54 0.46 0.49

-0.16

-0.14

9.00

3.00 1.21 1.62

-0.33 -1.90

0.65 0.56

-0.28

1.50 0.40 0.28

0.00

0.10 0.04 0.08

-0.20 -0.17 -0.03 -0.03

-0.03 -0.01 -0.08

0.51 0.23 0.44

-0.06 -0.36 -0.05

0.13 0.11

0.01

0.00

6.00

1.00

-9.00

1.00

0.00

0.21 0.22

0.26 0.11 0.05

0.79 0.83

-10.21 7.76

-1.02 -0.87 -0.14

3.00

0.33

-0.33

-0.51

0.51

0.06

-0.06

-0.10

0.10

0.02 0.01 0.02

-0.02 -0.01 0.00 -0.02

0.00

0.00

0.00

0.00

-6.00 10.15 -10.16 8.45 -8.46

5) Momentos definitivos en el apoyo

6) reaciones isostaticas por carga uniformemente distribuida

2.00 4.0 ton

3.00 ton/m ton/m ton/m

A B C D

Ro q 9.00 9.00 5.25 5.25 7.50 7.50

Ro P 2.86 1.1429

∆M/L 0.69 0.24 -0.24 1.69 -1.69

2.00 6.00 7.00 5.00

1.50 3.00

6.00 10.16 8.45

0.00 0.02 0.00 0.00 0.01 0.01

0.00

0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.01 0.00 0.00

0.00 -0.01 0.00

5.00

6.00

-0.69

0.00 0.00 -0.01 -0.01 0.00

7) Cargas que llega a la columna2.0 4.0 ton 5.00

ton/m ton/m ton/m

A B C D

Ro q

8) Momentos maximos de cada tramo2.0 4.0 ton 5.00

3.00 ton/m ton/m ton/m

A B C D

1.50 3.00

14.31 18.04 15.34 5.81

1.50 3.00

2.00 6.00 7.00 5.00

3.00

A B C D

Ro q 0.00 0.00 0.00 0.00

2.00 6.00 7.00 5.00

TEOREMA DE LOS TRES MOMENTOS:

SOLUCION

Tramo A’AB :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) *( )( ) ( ) ( )( )( )( )+

[

]

Tramo ABC:

( ) ( ) ( )

*( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )+

[( ) ( ) ( ) (

) ( )( )( )( )]

Tramo BCD:

( ) ( ) ( )

[( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

)]

[( )( ) ( ) ( )]

Tramo CDE:

( ) ( ) [( )( )( )( )]

Tenemos las ecuaciones:

Usamos matrices para resolver el sistema:

2 1 0 0 -22 12 42 9 0 -304 0 36 192 60 -1325 0 0 2 8 -75

Transformando a una matriz escalonada:

Fila 1 por -6 y sumo a la fila 2:

2 1 0 0 -22 0 36 9 0 -172 0 36 192 60 -1325 0 0 2 8 -75

Fila 2 por -1 y sumo a la fila 3:

2 1 0 0 -22 0 36 9 0 -172 0 0 183 60 -1153 0 0 2 8 -75

Fila 3 por

y sumo a la fila 4:

2 1 0 0 -22 0 36 9 0 -172

0 0 183 60 -1153

0 0 0

Igualamos las variables correspondientes con la matriz de respuesta:

( )

( )

( )

-

CALCULO DE CORTANTES:

Cortantes isostáticas:

( )

( )

( )

( )

Según formula:

( )

( )

Reemplazamos:

( ( ) )

( ( ) )

( ( )

)

( ( )

)

( ( ) )

( ( ) )

( )

( )

DIAGRAMA DE ESFUERZOS CORTANTES

DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES