trabajo de fenómenos

FLUJO DE UN FLUIDO DE VISCOSIDAD VARIABLE

Viscosidad variable

Del modelo de Fluido newtoniano

Reemplazando la viscosidad variable Derivando la ecuacin

Balance de cantidad de movimiento en tubos:

Condiciones de indeterminacin si r =0

Reemplazando

Discretizando: +=0Ordenando:.. (1)

En la ecuacin (1) reemplazando para i=0.. (2)Donde r=0, velocidad mxima:

Entonces:

Reemplazando en (2)Para i=0, finalmente se obtiene:

Si ; discretizando (3)

Ordenando (3)

Para i=1 Para i=2 Para i=3 Para i=4 Para i=5 Para i=6 Para i=7 Para i=8 Para i=9 Donde

SOLUCION EN POLYMATH# Problema Flujo de un tubo vertical de viscosidad variable# Ecuaciones del Balance de Cantidad de Movimientof(V0) = V1 - (2 + A / 2) * V0 + (1 + A / 2) * Vn + B / 2f(V1) = V2 + (-2 + 1 / 1 - A) * V1 + (1 - 1 / 1 + A) * V0 + B * exp(1 * A)f(V2) = V3 + (-2 + 1 / 2 - A) * V2 + (1 - 1 / 2 + A) * V1 + B * exp(2 * A)f(V3) = V4 + (-2 + 1 / 3 - A) * V3 + (1 - 1 / 3 + A) * V2 + B * exp(3 * A)f(V4) = V5 + (-2 + 1 / 4 - A) * V4 + (1 - 1 / 4 + A) * V3 + B * exp(4 * A)f(V5) = V6 + (-2 + 1 / 5 - A) * V5 + (1 - 1 / 5 + A) * V4 + B * exp(5 * A)f(V6) = V7 + (-2 + 1 / 6 - A) * V6 + (1 - 1 / 6 + A) * V5 + B * exp(6 * A)f(V7) = V8 + (-2 + 1 / 7 - A) * V7 + (1 - 1 / 7 + A) * V6 + B * exp(7 * A)f(V8) = V9 + (-2 + 1 / 8 - A) * V8 + (1 - 1 / 8 + A) * V7 + B * exp(8 * A)f(V9) = V10 + (-2 + 1 / 9 - A) * V9 + (1 - 1 / 9 + A) * V8 + B * exp(9 * A)

# Valores iniciales para el proceso iterativoV0(0) = 10V1(0) = 10V2(0) = 10V3(0) = 10V4(0) = 10V5(0) = 10V6(0) = 10V7(0) = 10V8(0) = 10V9(0) = 10V10 = 0 # Velocidad cm/s (Condicin de frontera en la pared del tubo)Vn = V0 # Velocidad cm/s (Condicin de frontera en el centro del tubo)A = dr * alfa / RB = (deltaP * dr ^ 2) / (mu0 * L)deltaP = 0.002 * 9.8 * 100000 # Diferencia de Presionesmu0 = 0.2 # Viscosidad. g/cm.seg (20 centipoise)dr = R / 10R = 1alfa = 0.1L = 20

Calculated values of NLE variables Variable Value f(x) Initial Guess

1 V0 143.8126 1.199E-14 10.

2 V1 141.3626 -8.882E-16 10.

3 V2 136.3888 -4.441E-15 10.

4 V3 128.8532 1.776E-14 10.

5 V4 118.7049 -8.882E-16 10.

6 V5 105.8922 -2.309E-14 10.

7 V6 90.36271 1.066E-14 10.

8 V7 72.06316 -2.22E-14 10.

9 V8 50.93955 3.553E-15 10.

10 V9 26.93704 -6.217E-15 10.

Variable Value

1 V10 0

2 Vn 143.8126

3 alfa 0.1

4 L 20.

5 deltaP 1960.

6 mu0 0.2

7 R 1.

8 dr 0.1

9 A 0.01

10 B 4.9

Nonlinear equations 1 f(V0) = V1 - (2 + A / 2) * V0 + (1 + A / 2) * Vn + B / 2 = 0

2 f(V1) = V2 + (-2 + 1 / 1 - A) * V1 + (1 - 1 / 1 + A) * V0 + B * exp(1 * A) = 0

3 f(V2) = V3 + (-2 + 1 / 2 - A) * V2 + (1 - 1 / 2 + A) * V1 + B * exp(2 * A) = 0

4 f(V3) = V4 + (-2 + 1 / 3 - A) * V3 + (1 - 1 / 3 + A) * V2 + B * exp(3 * A) = 0

5 f(V4) = V5 + (-2 + 1 / 4 - A) * V4 + (1 - 1 / 4 + A) * V3 + B * exp(4 * A) = 0

6 f(V5) = V6 + (-2 + 1 / 5 - A) * V5 + (1 - 1 / 5 + A) * V4 + B * exp(5 * A) = 0

7 f(V6) = V7 + (-2 + 1 / 6 - A) * V6 + (1 - 1 / 6 + A) * V5 + B * exp(6 * A) = 0

8 f(V7) = V8 + (-2 + 1 / 7 - A) * V7 + (1 - 1 / 7 + A) * V6 + B * exp(7 * A) = 0

9 f(V8) = V9 + (-2 + 1 / 8 - A) * V8 + (1 - 1 / 8 + A) * V7 + B * exp(8 * A) = 0

10 f(V9) = V10 + (-2 + 1 / 9 - A) * V9 + (1 - 1 / 9 + A) * V8 + B * exp(9 * A) = 0

Explicit equations 1 V10 = 0

Velocidad cm/s (Condicin de frontera en la pared del tubo)

2 Vn = V0

Velocidad cm/s (Condicin de frontera en el centro del tubo)

3 alfa = 0.1

4 L = 20

5 deltaP = 0.002 * 9.8 * 100000

Diferencia de Presiones

6 mu0 = 0.2

Viscocidad. g/cm.seg (20 centipose)

7 R = 1

8 dr = R / 10

9 A = dr * alfa / R

10 B = (deltaP * dr ^ 2) / (mu0 * L)

General Settings Total number of equations 20

Number of implicit equations 10

Number of explicit equations 10

Elapsed time 0.0000 sec

Solution method SAFENEWT

Max iterations 150

Tolerance F 0.0000001

Tolerance X 0.0000001

Tolerance min 0.0000001

r(cm)r.vz

0143.81260

0.1141.362614.13626

0.2136.388827.27776

0.3128.853238.65596

0.4118.704947.48196

0.5105.892252.9461

0.690.3627154.217626

0.772.0631650.444212

0.850.9395540.75164

0.926.9370424.243336

100

Por mayor exactitud aplicamos Simpson 3/8 y Simpson 1/320.88959198+ 14.48236993)

Luego calculamos la Velocidad Media.

r(cm)

0143.81260

0.1141.3626-37.0724667

0.2136.3888-62.4688833

0.3128.8532-88.3299667

0.4118.7049-114.724217

0.5105.8922-141.599133

0.690.36271-169.833917

0.772.06316-198.752917

0.850.93955-228.761417

0.926.93704-259.988417

10-292.562917

Estas derivadas lo calculamos numricamente con las frmulas de derivacin de 6 puntos para los primeros seis puntos y la frmula de cinco puntos para los ltimos cinco.Ahora hallaremos

DATOS , alfa = 0.1 y R = 1cmr(cm)

000

0.1-37.07246677.3407179

0.2-62.468883312.246383

0.3-88.329966717.143884

0.4-114.72421722.045163

0.5-141.59913326.938652

0.6-169.83391731.988712

0.7-198.75291737.063198

0.8-228.76141742.234681

0.9-259.98841747.522304

1-292.56291752.944375

Grafica del perfil de velocidad

Hallando el Nmero de Reynolds, para un punto donde la velocidad es mxima:

Para Vmax r=0

OTRO METODOSe tiene la viscosidad:

(1)

Para todo fluido newtoniano se cumple:

(2)

Se aplica el Balance de Cantidad de movimiento:

(3)

Discretizando la ecuacin (3):

Para :

Para :

Para :

Para :

Para :

Para :

Para :

Para :

Para :

Para :

Donde: ,

Discretizando la ecuacin (2):

Para :

Para :

Para :

Para :

Para :

Para :

Para :

Para :

Para :

Para :

Donde

SOLUCION EN POLYMATH# Ecuacin del balance de cantidad de movimientof(tau1) = tau1 - tau0 + 1 / (1 * dr) * u0 * exp(-alfa * 1 * dr / R) - dr * dP / Lf(tau2) = tau2 - tau1 + 1 / (2 * dr) * u0 * exp(-alfa * 1 * dr / R) - dr * dP / Lf(tau3) = tau3 - tau2 + 1 / (3 * dr) * u0 * exp(-alfa * 1 * dr / R) - dr * dP / Lf(tau4) = tau4 - tau3 + 1 / (4 * dr) * u0 * exp(-alfa * 1 * dr / R) - dr * dP / Lf(tau5) = tau5 - tau4 + 1 / (5 * dr) * u0 * exp(-alfa * 1 * dr / R) - dr * dP / Lf(tau6) = tau6 - tau5 + 1 / (6 * dr) * u0 * exp(-alfa * 1 * dr / R) - dr * dP / Lf(tau7) = tau7 - tau6 + 1 / (7 * dr) * u0 * exp(-alfa * 1 * dr / R) - dr * dP / Lf(tau8) = tau8 - tau7 + 1 / (8 * dr) * u0 * exp(-alfa * 1 * dr / R) - dr * dP / Lf(tau9) = tau9 - tau8 + 1 / (9 * dr) * u0 * exp(-alfa * 1 * dr / R) - dr * dP / Lf(tau10) = tau10 - tau9 + 1 / (10 * dr) * u0 * exp(-alfa * 1 * dr / R) - dr * dP / L

# Ecuacin del modelo de viscosidadf(v0) = tau1 + u0 * exp(-alfa * 1 * dr / R) * (v1 - v0) / drf(v1) = tau2 + u0 * exp(-alfa * 2 * dr / R) * (v2 - v1) / drf(v2) = tau3 + u0 * exp(-alfa * 3 * dr / R) * (v3 - v2) / drf(v3) = tau4 + u0 * exp(-alfa * 4 * dr / R) * (v4 - v3) / drf(v4) = tau5 + u0 * exp(-alfa * 5 * dr / R) * (v5 - v4) / drf(v5) = tau6 + u0 * exp(-alfa * 6 * dr / R) * (v6 - v5) / drf(v6) = tau7 + u0 * exp(-alfa * 7 * dr / R) * (v7 - v6) / drf(v7) = tau8 + u0 * exp(-alfa * 8 * dr / R) * (v8 - v7) / drf(v8) = tau9 + u0 * exp(-alfa * 9 * dr / R) * (v9 - v8) / drf(v9) = tau10 + u0 * exp(-alfa * 10 * dr / R) * (v10 - v9) / dr

# Valores inicialestau1(0) = 3tau2(0) = 3tau3(0) = 3tau4(0) = 3tau5(0) = 3tau6(0) = 3tau7(0) = 3tau8(0) = 3tau9(0) = 3tau10(0) = 3

v0(0) = 0.4v1(0) = 0.4v2(0) = 0.4v3(0) = 0.4v4(0) = 0.4v5(0) = 0.4v6(0) = 0.4v7(0) = 0.4v8(0) = 0.4v9(0) = 0.4

#Valores conocidostau0 = 0 #esfuerzo de corte inicialv10 = 0 #velocidad inicialalfa = 0.1 #parametro alfaR = 1 #valor dado en cmdr = R / 10u0 = 0.2L = 20 #Valor dado en cmdP = 0.002*9.8*100000 #Valores conocidosCalculated values of NLE variables Variable Value f(x) Initial Guess

1 tau1 7.8199 0 3.

2 tau10 92.20035 -7.105E-15 3.

3 tau2 16.62985 0 3.

4 tau3 25.76982 -1.776E-15 3.

5 tau4 35.07479 3.553E-15 3.

6 tau5 44.47877 -1.776E-15 3.

7 tau6 53.94876 1.776E-15 3.

8 tau7 63.46588 -1.776E-15 3.

9 tau8 73.01837 3.553E-15 3.

10 tau9 82.59836 0 3.

11 v0 265.7054 -7.105E-15 0.4

12 v1 261.7562 1.066E-14 0.4

13 v2 253.2733 -1.066E-14 0.4

14 v3 239.996 -3.553E-14 0.4

15 v4 221.7428 7.105E-15 0.4

16 v5 198.3632 2.132E-14 0.4

17 v6 169.7208 0 0.4

18 v7 135.687 -1.421E-14 0.4

19 v8 96.13707 0 0.4

20 v9 50.94857 0 0.4

Variable Value

1 alfa 0.1

2 dP 1960.

3 dr 0.1

4 L 20.

5 R 1.

6 tau0 0

7 u0 0.2

8 v10 0

Nonlinear equations 1 f(tau1) = tau1 - tau0 + 1 / (1 * dr) * u0 * exp(-alfa * 1 * dr / R) - dr * dP / L = 0

2 f(tau2) = tau2 - tau1 + 1 / (2 * dr) * u0 * exp(-alfa * 1 * dr / R) - dr * dP / L = 0









11 f(v0) = tau1 + u0 * exp(-alfa * 1 * dr / R) * (v1 - v0) / dr = 0










Explicit equations 1 tau0 = 0

esfuerzo de corte inicial

2 v10 = 0

velocidad inicial

3 alfa = 0.1

parametro alfa

4 R = 1

valor dado en cm

5 dr = R / 10

6 u0 = 0.2

7 L = 20

Valor dado en cm

8 dP = 0.002*9.8*100000

Valores conocidos

General Settings Total number of equations 28

Number of implicit equations 20

Number of explicit equations 8

Elapsed time 0.0000 sec

Solution method SAFENEWT

Max iterations 150

Tolerance F 0.0000001

Tolerance X 0.0000001

Tolerance min 0.0000001

Grafica del perfil de velocidad

r(cm)Vz(cm/s)r*Vz

0265.70540

0.1261.756226.17562

0.2253.273350.65466

0.3239.99671.9988

0.4221.742888.69712

0.5198.363299.1816

0.6169.7208101.83248

0.7135.68794.9809

0.896.1370776.909656

0.950.9485745.853713

100

Hallando el caudal

36.07948575+ 23.038011)

Calculando la Vz:

Hallando el Nmero de Reynolds, para un punto donde la velocidad es mxima:

Para Vmax r=0

trabajo de fenómenos

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