fenómenos de transportes

Escuela de Ingeniería Química Facultad de Ingeniería

Universidad de Costa Rica

Gerardo Chacón Valle

2012

Apuntes de clase sobre FENÓMENOS DE TRANSPORTE

Cantidad de movimiento, calor y masa

En este documento se presenta el desarrollo teórico general sobre el análisis macroscópico y microscópico sobre los Fenómenos de transporte de la cantidad de movimiento, calor y masa de una sustancia, es complemento de las obras clásicas sobre el tema. El material está dirigido a las y los estudiantes de un primer grado en Ingeniería, como funda-mento y entrenamiento en los conceptos, teorías y modelos que son util izados en las Operaciones y Procesos unitarios. En los ejercicios se presentan los equipos más empleados; se describen la forma, la función y las tecnologías. Se plantean las técnicas y los criterios tradicionales usados por los ingenieros para su análisis y su dimensionamiento. Tam-bién, se analizan los instrumentos de medición de que ut il izan propiedades de estado en forma directa.



A

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V.

2

012

Escuela de Ingeniería Química Facultad de Ingeniería Universidad de Costa Rica


Cantidad de movimiento, calor y masa Gerardo Chacón Valle

2012

Fenómenos de Trasporte ii G. Chacón V.

660.284.2 Ch431a Chacón Valle, Gerardo

Apuntes de clase sobre FENÓMENOS DE TRANSPORTE Cantidad de movimiento, calor y masa San José, C. R. : G. Chacón V. , 2007-2012. 648 p. ; 22 cm ISBN 1. Fenómenos de transporte. 2. Transferencia de cantidad de movimiento

calor y masa.

Fenómenos de Trasporte iii G. Chacón V.

ÍNDICE Índice ii Bibliografía v Presentación vi 1 Glosario de principios científicos 1.1 Conceptos matemáticos 1 1.2 Escalares, vectores y tensores 8 1.3 Conceptos físicos 13 1.4 Propiedades fundamentales 19 1.5 Propiedades de estado 24 1.6 Difusión 29 1.7 Fenómenos de transferencia superficiales 37 2 Leyes de conservación para un volumen de control 2.1 Introducción 49 2.2 Teorema del trasporte 50 2.3 Ecuación de la conservación de la masa (total) 54 2.4 Ecuación de la conservación de la masa de una sustancia, A 57 2.5 Ecuación de la conservación de la cantidad de movimiento 61 2.6 Ecuación de la conservación de la energía 69 3 Naturaleza del flujo de fluidos 3.1 Fluido 79 3.2 Cinemática de un elemento de fluido 82 3.3 Regímenes de flujo de fluidos 86 4 Estimación de propiedades Para gases 94 Para líquidos 104

Fenómenos de Trasporte iv G. Chacón V.

5 Balances Globales o microscópicos 5.1 Balance de masa total 118 5.2 Balance de cantidad de movimiento 128 5.3 Balance de energía 165 5.4 Balance de combinados 210 5.5 Balance de momento de la cantidad de movimiento 234 6 Difusión unidimensional de la energía y la masa 6.1 Modelos para la difusión de calor y masa 245 6.2 Paredes 248 6.3 Aletas 279 7 Estática de los fluidos 7.1 Fuerza y presión en un fluido 305 7.2 Fuerza sobre un cuerpo sumergido 308 7.3 Manometría tubo-líquido 309 7.4 Manómetro de depósito 310 7.5 Fuerza que ejerce un fluido 312 7.6 Ejercicios 316 7.7 Movimiento estable para un fluido en reposo relativo 370 8 Transferencia de calor en fluidos en reposo 8.1 Introducción 373 8.2 Convección libre o natural 373 8.3 Modelo para la convección libre 378 8.4 Ejercicios 385 9 Transferencia de masa en fluidos en reposo 9.1 Introducción 397 9.2 Convección libre o natural 397 9.3 Modelo en variables adimensionales 398 9.4 Modelo unidimensional 400 9.5 Ejercicios 405

Fenómenos de Trasporte v G. Chacón V.

10 Transferencia de masa entre fases 10.1 Coeficientes locales o individuales 417 10.2 Coeficientes globales o totales 418 10.3 Teoría de las dos resistencias 419 10.4 Ejercicios 421 11 Análisis dimensional 11.1 Metodología 433 11.2 Ejercicios 427 12 Flujo externo de los fluidos 12.1 Definición de capa límite 453 12.2 Analogías entre los fenómenos de transportes 454 12.3 Modelo para flujo en régimen laminar sobre una placa plana 455 12.4 Modelos de Prandtl o “exacto” para la capa límite 460 12.5 Modelos para la capa límite flujos sobre esferas y cilindros 469 12.6 Ejercicios 474 13 Flujo de fluidos en conductos rectos 13.1 Introducción 505 13.2 Modelo para el régimen de flujo laminar 512 13.3 Modelos para el régimen de flujo turbulento 517 13.4 Otros efectos de la fricción y de la irreversibilidad de los procesos 523 13.5 Ejercicios 529 Cuadros 597

Fenómenos de Trasporte vi G. Chacón V.

BIBLIOGRAFÍA Bird, R.B., Steward, W.E. y Lighfoot, E.N. Transport

Phenomena. 2a. Ed. Wiley, New York, 2002 (2a. Ed. Prentice Hall, México, 2006).

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Coulson, J.M. y Richardson, Chemical Engineering. Volumen One 3a. Ed. Pergamon Press, London 1977.

Fox, R.W. y McDonald, A.T. Introducción a la Mecánica de Fluidos. 4a. Ed. McGraw-Hill. México, 1995

Himmelblau, D.M. y Bischoff, K.B. Process Analysis and Simulation (Determinastic Syst.). Wiley, New York, 1968.

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Mills A. F. Transferencia de Calor. McGraw-Hill-Irwin, Bogotá, 1998.

Green, D.W. y Perry, R, H. Perry's Chemical Engineers Handbook. 8a. Ed., McGraw-Hill Book Company, New York, 2008. (7a – 19987)

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Fenómenos de Trasporte vii G. Chacón V.

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Welty, J.C. et all. Fundamentals of Momentum, Heat and Mass Transfer. 5a. Ed., John Wiley & Sans Inc. New York, 2008.

Fenómenos de Trasporte viii G. Chacón V.

PRESENTACIÓN Como su nombre lo dice, este documento es de apoyo didáctico para las exposic iones, en clase, del profesor, no incluye muchos de los detal les y explicaciones; de tal manera, que permita al expositor realizarlas y trasmit ir la tradición y los cri ter ios de la Ingeniería. Por otro lado, es complemento de las obras clási-cas sobre los Fenómenos de transporte de la cantidad de movimiento, el calor y la masa de una sustancia. El mater ial está dir igido a las alumnas y los alumnos de un primer grado en Ingeniería, como fundamento y entrenamiento en los conceptos, las teorías y los modelos que son ut i l izados en las Operaciones y procesos unitarios. El desarrol lo teórico del tema, es lo más gene-ral posible y se plantean las relaciones sobre el anál isis macroscópico, para enfatizar el sentido fís ico de los términos, aunque parezca contra-dictor io por la maquinaria matemática que uti l iza. La forma diferencial de las ecuaciones, se obtienen con recursos matemáticos y no con el anál isis microscópico, pues es típico que existan cursos anteriores de anális is di ferencial de procesos y cursos de Cálculo con variables múlt iples. En los ejercicios se presentan los equipos más empleados; se describen la forma, la función y las tecnologías. Se plantean las técnicas y los cri terios tradicionales usados por los ingenieros para su anál is is y su dimensionamiento. Tam-bién, se anal izan los instrumentos de medición que uti l izan propiedades de estado en forma directa.

Fenómenos de Trasporte 1 G. Chacón V.

Capítulo 1

GLOSARIO DE PRINCIPIOS CIENTÍFICOS para el análisis de procesos con

fenómenos de trasporte 1.1 CONCEPTOS MATEMÁTICOS

1.1.1 FUNCIÓN Sea una función continua f de una variable independiente x y de valores y , de la variable dependiente.

La función representa la regla de la dependencia, en forma analítica, de cuadros o de gráficos, mediante los valores o datos de una variable, dependiente, efecto o respuesta, con respecto a una variable independiente, causa o estímulo.

0

10

20

30

40

50

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x0 x0 + x

tanxy

f (x)yxo + x y0 + y

y fx

y0

y

x

x

Capítulo. 1. Principios científicos 2 G. Chacón V.

1.1.2 CAMPO Campo, es la descripción con respecto a la posición

(x,y,z) y el tiempo (t) de una propiedad intensiva (escalar, vectorial, etc.), definida por una función continua f , de variables independientes x , y , z y t , de valores w .

w = f(x,y,z,t)

Ejemplos: latitud, altitud, presión, temperatura, velocidad,

concentración · · ·. Usos: Flujo de fluidos, Mapas, modelos, analíticos,

gráficos o numéricos, teoría del caos, teoría de fractales · · ·.

x

y

z

w1,1w2,1

w3,1 w3,2

w2,2

w1,2w2,3

w3,3

w1,3

ISOLÍNEA


1.1.3 DERIVADA Incremento finito, perturbación o cambio de una variable Variable dependiente f y fxx fx Variable independiente x Derivada: se define para una función continua f , de

una variable independiente x , de valores y , como el l ímite de la razón del cambio de la variable dependiente al cambio de la inde-pendiente cuando este úl t imo se hace muy pequeño. Que es el efecto de la variable independiente sobre la dependiente.

xy

xxxx

xyx

xx δδlím

δfδflím

ddf

0δ0δ

Derivada parcial, es el efecto de una sola, de la variables

independientes, sobre la dependiente; se define para una función continua f , de variables inde-pendientes x , y , z y t , de valores w , como

xtzyxtzyxx

xw

x x δ,,,f,,,δflímf

0δ

Diferencial: es la variación o perturbación infinitesimal de

una variable df dy ; dx

Diferencial (total): es la suma de todos los efectos

tt

zz

yy

xx

dfdfdfdfdf

Fórmula de Leibnitz:

2 2

2 11 1

2 1, ,

d ff d f f dd

V t V t

V t t V t tV t V t

V t V tV V

t t t t


1.1.4 TEOREMA O FÓRMULA DE TAYLOR El valor de una función, f, de una variable, x, en un punto dado más un incremento finito, x, en términos de las derivadas en ese punto, es:

0

2

000 f!2

δf!1

δfδf xxxxxxx

0

3

f!3

δ xx

En forma reducida 0)(

00 f

!δδf xnxxx n

n

(n) indica orden de derivación. Es vál ida si la ser ie converge. Es úti l si converge rápidamente, si después del tercer término, éstos se hacen despreciables. Se puede generalizar para una función, f, de más variables; para dos variables: 0000 ,fδ,δf yxyyxx

yy

yxx

xyx

δ,f

δ,f

!11 0000

yxyx

yxx

xyx

δδ,f

2δ,f

!21 00

22

200

2

22

002

δ,f

yy

yx

En general nnkk δ,,δf 0,0,

n

n

n

k

kk

nkk

n

0 0

0,0,)(

δ,,f

!1


1.1.5 PROMEDIO Para una variable y , que se relaciona por medio de una función, f , continua con una variable s , (región o extensión) y modif icada por una fun-ción de peso p , el promedio se define como:

p f d

p dPROM

sy y y

s

Los promedios, valores globales, de cazo o de bulto, se emplean para faci l i tar la descripción de los procesos, ya sea, con modelos teóricos, empíricos o cual i tat ivos. Ejemplos

Media (estadística) Centroide

p d

p d

x xx

x

d

d

A

A

Fuerza promedio esfuerzo de arrastre

d

d

F tF

t

, d

d

r z SSS

S

A

A

Velocidad media Concentración

d

d

v Av

A

d

d

A

A

C v AC

v A


Promedios binarios Para facilitar los cálculos, se emplean los siguientes promedios usando dos puntos o valores de una variable.

< y <

Promedio ari tmético 2

AMy

Promedio logarítmico

ln

LMy

Promedio geométr ico GMy

Promedio armónico 11

2

IMy

0,88

0,90

0,92

0,94

0,96

0,98

1,001,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0

Prom. logarítmicoProm. geométricoProm. armónico

Comparación de los diferentes promedios binarios con la media aritmética.


1.1.6 APROXIMACIONES ÚTILES

21

lím

0

0

DD

0

0

0

21ln2

límD

D

D

Si: Tkk 10 ; el parámetro k varía linealmente, La integral

00

00

0 221d

0

TTkk

TTTT

kTkT

T

Se puede evaluar con

000 1d0

TTkTTTkTk AMAM

T

T

La integral

0

0

00 ln

ln1d

0

TTTTTT

kTTk

T

T

Se puede evaluar con

000 lnln1d0

TTkTTTkTTk

LMTLM

T

T

Para una pendiente, formada por un arco s s(x,y), muy pequeña

Con 2122 δδδ yxs si 1

δδ

xy

1δδ

xs

xs

entonces tansen

xy

sy

Para el área de un anillo cilíndrico

RRR 2lím 22

0

Nota: ver definición de promedios en la Sec. 1.1.5.


1.2 ESCALARES, VECTORES Y TENSORES

1.2.1 TENSOR Escalar, se define como la

magnitud que posee un valor dado. Es un ten-sor de orden cero.

ss Vector, se define como la

magnitud que posee un cierto valor y una direc-ción. Es un tensor de primer orden.

zyxi

iizzyyxx ererererr,,

ˆˆˆˆ

Tensor de segundo orden, se

define como la magni-tud que posee un valor con dirección y sentido.

jzyxi zyxj

iji

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

ee ˆˆˆ,, ,,

,

1.2.2 PRODUCTOS CON VECTORES Producto escalar por vector, produce un vector.

zzyyxx evevevv ˆˆˆ

Producto escalar (producto punto) entre dos vectores,

produce un escalar.

Avzzyyxx AvAvAvAvAv

cos

x

s

x

r

y

z

x

z

y

xx xy


Producto vectorial (producto cruz o aspa) entre dos vectores, produce un vector.

vrvr

zyx

zyx

zyx

vrvvvrrreee

vr

ˆsenˆˆˆ

Producto diádico, es el producto entre dos vectores que

produce un tensor de segundo orden.

jzyxi zyxj

iji

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

eevuvuvuvuvuvuvuvuvuvu

vu ˆˆ,, ,,

1.2.3 PRODUCTOS CON TENSORES

DE ORDEN DOS Producto escalar por tensor, produce un tensor.

zyxi zyxj

iji ess,, ,,

, ˆˆ

Producto escalar (producto doble punto) entre dos

tensores, produce un escalar.

zyxi zyxj

ijji,, ,,

,,ˆ:ˆ

Producto tensorial (producto punto simple) entre dos

tensores, produce un tensor.

zyxiik

zyxk zyxjkjji ee

,, ,, ,,,, ˆˆˆˆ

Producto vectorial (producto punto) entre un tensor y un

vector, produce un vector.

izyxi zyxj

jji evv ˆˆ,, ,,

,


1.2.4 OPERADORES DIFERENCIALES Gradiente, para un campo o una función, continua, f ,

de variables independientes x , y y z , es la operación

zyx ezfe

yfe

xff ˆˆˆ

Divergencia, para un campo o función vectorial,

continua, r , de variables espaciales inde-pendientes x , y y z , es la operación

zr

yr

xr

r zyx

Diferencial de un campo tensorial, existe la opera-

ción

kzyxk

kzkykx ezyx

ˆˆ,,

,,,

Rotacional, para un campo o función vectorial, continua,

v , de variables espaciales independientes x , y y z , es la operación

zyx

zyx

vvvzyx

eee

v

ˆˆˆ

zxy

yzx

xyz e

yv

xv

exv

zve

zv

yv ˆˆˆ

Laplaciana

Laplaciana de un campo escalar, para una función

continua, f , de variables independientes


x , y y z , es la operación, producto escalar del gradiente,

2

2

2

2

2

22

zf

yf

xff

Laplaciana de un campo vectorial, para un vector

representado por una función continua v , de variables espaciales independientes x , y y z , es la operación

zzyyxx evevevzv

yv

xvv ˆˆˆ 222

2

2

2

2

2

22

Por su dificultad para aplicarla a coordenadas curvilíneas, es preferible usar la fórmula del cálculo vectorial,

vvv

2

Derivada sustancial o material

Derivada sustancial o material de un campo escalar,

para una función continua, f , de variables independientes x , y y z , es la operación de la derivada total respecto al t iempo

ffffffDDf

v

ttzv

yv

xv

t zyx

Derivada sustancial o material de un campo vectorial,

para un vector representado por una función continua r de variables espaciales inde-pendientes x , y y z , es la derivada total respecto al t iempo

rvtr

tr

zrv

yrv

xrv

tr

zyx

DD


Por la dificultad de expresar esta relación en coordenadas curvilíneas, es preferible usar la fórmula del cálculo vectorial,

vrvrrvrvrv

La interpretación de derivada sustancial o total, es que expresa la variación o efecto con respecto a un “obser-vador” fijo, mientras que la derivada parcial lo hace con respecto a un observador que se mueve con la velocidad del volumen de control.

1.2.5 TEOREMA DE LA DIVERGENCIA Para un campo vectorial v , que actúa en una región ocupada por un volumen V y cerrada por una superf ic ie A , se cumple que

dV A

v V v dA

Se debe a Gauss, Ostrogradski i y Green. Para un campo tensorial, :

ˆ ˆdV A

V dA

Para un campo escalar, f:

dV A

f V f dA

vx tdvx dt


1.3 CONCEPTOS FÍSICOS

1.3.1 CONCEPTOS BÁSICOS Espacio , es la formulación conceptual de aque-

l lo que, a los sentidos, se manif iesta como grande o pequeño, al to o corto, ancho o delgado, etc.

Materia , es la idea que concretiza la presencia

de una cosa que uno observa ocupando un espacio y se puede determinar por los senti-dos: si cambia de forma, color o se mueve, si impide el paso, si se manif iesta un aroma, si v ibra, etc.

Sustancia: es una materia que está formada por

una especie química pura. Puede ser un elemento o compuesto.

Mezcla: es un conjunto de sustancias presentes en un espacio dado.

Estado , se dice que una materia posee un esta-

do dado, cuando se intuyen o se t iene una idea concreta de las condiciones o circuns-tancias que definen su situación, modo de ser, etc.

Ejemplos:

Atributos: ánimo, color, edad, calidad, geome-tría, sabor

Movimiento: Posición, rapidez, cantidad de movimiento

Energía: e. cinética, e potencial, e interna, e. de vibración, etc.

Consistencia: aglomeración, espesamiento, forma, resistencia al movimiento o la defor-mación, etc

Etc.


Medida , patrón establecido, que representa una unidad de una característ ica o atr ibuto, que define un t ipo de estado de la materia. Se uti l iza para comparar cuantas veces cabe el valor de una condición, que define un estado dado, con ese patrón. Ejemplos: frecuencia de onda (color), años (edad), velo-cidad (movimiento), fracción de no conformes (calidad), temperatura (energía), viscosidad (movimiento), etc.

Cambio de estado, se dice que una materia realiza un

cambio de estado, cuando cambia al menos una de sus característ icas o atr ibutos.

Proceso o transformación: se dice que una materia

realiza un proceso, cuando efectúa uno o más cambios de estado en secuencia.

Movimiento , es aquella característ ica que uno

observa cuando una materia cambia o pasa de una posición (punto, lugar o espacio) a otra.

Forma , es aquella característ ica que uno obser-

va que determina el espacio que ocupa una materia, se nota cuando el espacio ocupado cambia de tamaño.

1.3.2 PROPIEDAD Propiedad de estado, es aquella característica o atributo

que define uno y sólo un estado dado y se puede (o podría) evaluar cuantitativamente (medida). Ejemplos: ancho, volumen, posición, concentración, temperatura, tiempo, esfuerzo, velocidad, color, etc. Propiedad intensiva: la que no depende de la masa Propiedad extensiva: la que es proporcional a la masa


Equilibrio, es un estado en el cual las propiedades que lo definen no denotan cambio. En Ciencia e Ingeniería, se evalúan y definen las propie-dades en el equilibrio. En Ingeniería, se considera el estado estacionario, como un estado en pseudo equilibrio. En Ingeniería Química, se aprovechan los estados de equilibrio para realizar procesos, de separación o con reacción química, en etapas.

1.3.3 PROPIEDAD DE TRANSPORTE Propiedad de transporte, es aquella propiedad que se

transporta (traslada, transfiere, mueve). Se manifiesta como una propiedad extensiva, que depende del área a través de la cual pasa. Se evalúan, por cálculo, como flujos o razones de variación con respecto al tiempo. Se definen como una función continua o campo, escalar o vectorial, sobre el modelo de una masa continua o continuo.

tzyxP ,,,P o tzyxP ,,,P

Diferencias entre las propiedades de estado y de transporte

Característica

de la Propiedad de

propiedad estado transporte Extensiva por Volumen (masa) Área

Evaluación Por medición al inicio y al final

Por cálculo en un punto, instantánea

Su valor depen-de de como se realice el pro-ceso (“camino”)

no sí

Se manifiesta como Una cantidad Un flujo


Las propiedades de transporte se clasifican como: Propiedades por advección, son las transportadas o

empujadas dentro del sistema, por el flujo de masa que lo atraviesa. Ejemplos: flujo, a través de un volumen de control, de: masa, cantidad de movimiento, energía, masa de una sustancia, entalpía, entropía, · · · .

Propiedades mutuas o por difusión, son las que se

transmiten de un punto a otro del sistema, debido a diferencias o gradientes de potenciales energéticos. Ejemplos: difusión de masa de una sustancia por un gradiente de concentración, calor por conducción por gradiente de temperatura, fricción interna por gradiente de velocidad, · · · .

Propiedades de contacto, son las que actúan entre la

superficie de frontera del sistema o una porción de ella, interfase, y un cuerpo o un medio externo. Ejemplos: calor por radiación, potencia, · · · .

Propiedades externas, son las causadas por campos externos y que actúan sobre el sistema. Ejemplos: campo gravitatorio, campo electrostático, · · ·

NOTA:

En los procesos con flujo de masa, las otras pro-piedades de transporte (sin advección) se afectan por las propiedades por advección (convección); por lo cual, las transferencias de propiedades, son fenómenos en los que se manifiestan varias propiedades de transporte a la vez.


1.3.4 SISTEMA Sistema , es el conjunto de elementos, concre-

tos o abstractos, separados arbi trariamente del universo por fronteras fís icas o imagi-narias y que interaccionan entre sí y con el ambiente, ut i l izado para efectuar un análisis con un objetivo o problema definido.

Volumen de control, en un espacio fijo, delimitado por

una superficie dada, que se define como sistema y que contiene una cantidad de materia, masa, aunque la materia en sí cambie.

Masa de control, cantidad de materia, masa, fija que se

utiliza como sistema. Prototipo, ente real o imaginario, del cual se está defi-

niendo un sistema. Insumos, elementos materiales, recursos financieros,

tecnología, materia prima, personal, equipo de medición, etc., con lo que cuenta el prototipo para obtener un producto dado.

Productos, objetos, materiales o intangibles, o beneficios

generados por un prototipo.

INSUMO PRODUCTOSISTEMA

AMBIENTE


Análisis, se dice que se realiza un análisis cuando para un sistema dado, se estudia el efecto de las pro-piedades, variables, interacciones o insumos, sobre el producto del sistema o el proceso que realiza.

Propósito, la definición del uso que se le va a dar al

análisis (evaluación, modelo, control, diseño, etc.).

Recursos (para el análisis), tiempo, dinero, medios

de obtener la información, instrumentos de medición, con los que se cuenta para desarrollar el análisis. También, herramientas de trabajo, matemáticas, tecnológicas, estadísticas, etc. pa-ra realizar los cálculos y analizar la información.

Modelo, es la descripción, en forma simbólica, del

sistema definido, utilizando las variables, pro-piedades e insumos más significativos, de los que están involucrados, y las interacciones entre ellos, con el medio y con el producto.

Diseño, se dice que se realiza un diseño, cuando para un

insumo, un producto o problema dado se propone un sistema.

Evaluación, es la medición de las variables del proceso y

las características del producto que efectúa un proto-tipo, su archivo, manipuleo y análisis. Se utiliza para compararlo con un estándar de calidad, un patrón de comportamiento del prototipo, un modelo del sistema o el diseño del sistema; con el propósito de efectuar controles (calidad, proceso, producción, inventarios, etc.), calcular eficiencias y obtener otros parámetros para la toma de decisiones.


1.4 PROPIEDADES FUNDAMENTALES

1.4.1 ESPACIO Longitud: es el espacio o distancia entre dos puntos,

establecido operacionalmente con un patrón de medida. Su unidad es el m.

Ángulo: es el espacio o distancia entre dos puntos de un

arco, establecido operacionalmente como la fracción de un círculo. Su unidad es el rad.

Área: es el espacio delimitado por dos longitudes que se

intersecan, y se intuye como la proyección de un cuerpo o cantidad de materia. Su unidad es el m2.

Volumen: es el espacio delimitado por tres longitudes

que se cruzan, y se intuye como el espacio ocupado por un cuerpo o cantidad de materia, con una forma dada. Su unidad es el m3

1.4.2 TIEMPO Tiempo : es aquella magnitud que, a los

sentídos, se manif iesta como que ha transcurr ido, al i r cambiando el estado de la mater ia, las cosas, personas, hechos, fenómenos, etc.

El tiempo es establecido operacionalmente con un patrón de medida, como el intervalo en que se repite un fenómeno (frecuencia).


1.4.3 MOVIMIENTO Posición, es aquella característ ica que uno

observa cuando un objeto cambia o pasa de un punto a otro . En forma operacional se define, como la longitud entre un punto dado y uno de referencia, 0, y su dirección (ángulo).

Desplazamiento, es la longitud en que se traslada un objeto, en una dirección dada.

Velocidad, es la razón por cociente

de un desplazamiento dado, entre el tiempo (diferencia) en que transcurre el mismo.

Conceptualmente, se define primero la velocidad y con ella el tiempo.

Aceleración, es la razón por co-

ciente de la variación de una velocidad dada, con respecto al tiempo.

z

m

t

m

r

x

y

r

rδ

trv

dd

r

tva

dd


1.4.4 MASA Masa, es la magnitud que representa una cantidad de

materia; se manifiesta a los sentidos como una resistencia al movimiento o inercia.

Densidad o intensidad de la masa , es el incremento o decremento de una masa con respecto al respectivo volumen (el que ocupa dicha cantidad de materia).

Vm

VVLim

δδ

δδ

Gravedad específica densidad relativa 0

.. DReg

Peso específico

g

Compresibilidad isotér-mica, módulo de compresibilidad

1 1

T T

VV P P

Expansión isobárica, dilatación térmica

1 1

P P

VV T T

m

m V

V es el volumen más pequeño posi-ble cuya masa se comporta como un continuo


Velocidad de acumulación de masa, es cuando la masa contenida dentro de un volumen de control varía, se dice que se acumula o des acumula.

Flujo de masa, cuando la masa cambia de posición

dentro de un volumen de control, como un chorro, con una velocidad dada, se dice que fluye.

1.4.5 CANTIDAD DE MOVIMIENTO Cantidad de movimiento , es una medida que

representa la capacidad que posee una masa para moverse. Operacionalmente se define como la masa por la velocidad

Cantidad de movimiento

Partícula Acumulación Flujo (Fluido)

vm

t

vmd

d

vAv

Avm

δ 0

δ δδt

lím r At

t

r

v

A

tm

dd

δ 0 δ 0

δ δδ δt t

m m m mlím límt t

m t m + m

m


1.4.6 ENERGÍA Energía , es una medida, que representa la

capacidad que una materia posee para mantenerse en movimiento, con una forma dada o en una posición dada; o bien, para mantener sus partículas juntas, en movi-miento interno, etc.

Energía cinética

La energía asociada con el movimiento

Partícula 2

0

221 vvm

Acumulación 2

0

221

dd vvmt

Flujo (Fluido) 2

0

221 vvAv

Energía potencial

La energía asociada con la posición, perpendicular a la superficie de la tierra

Partícula 0zzgm

Acumulación 0dd zzgmt

Flujo (Fluido) 0zzgAv

Energía interna

La energía asociada con la materia; como una representación métrica de la suma de las energías cinéticas y potenciales de las moléculas que forman la materia en cuestión: atracciones, movimientos, rotaciones, etc.

Partícula 0uum

Acumulación 0dd uumt

Flujo (Fluido) 0uuAv


1.5 PROPIEDADES DE ESTADO

1.5.1 FUERZA (Leyes de Newton)

Fuerza , es la propiedad que mide la capacidad

de mover, deformar o levantar una masa (campo vectorial). Se manif iesta a los sen-t idos como empuje, pesado o apretado .

Equilibrio mecánico. Cuando la posición de

un sistema no cambia (con el tiempo), se dice que el sistema está en equilibrio mecánico con el medio.

0δ F

0F

Potencial mecánico. Se postula que, en el

equilibrio, existe una “fuerza motriz” igual y contraria en todo el sistema, llamada fuerza de reacción, R.

FR

tvm

dd

Trabajo. Si el sistema no está en equilibrio

mecánico, se produce una transferencia de energía llamada trabajo. Se mani-fiesta como levantar un peso.

rF

d

Potencia. Para un volumen de control, se manifiesta como “flujo de trabajo” que es transportada por una masa o que gira un eje

vF

d

M

F

R

A

tvmF

dd

F

R

Sistema

FF

δ

Medio


Esfuerzo , es la intensidad de la fuerza reactiva con respecto al área en que actúa.

Esfuerzo directo o normal

Es la razón de la componente normal de la reacción al área normal, al sistema. n

nnn A

RAA δδ

δδlim

Esfuerzo cortante o tangencial

Es la razón de la componente tangencial o de cizalla de la reacción al área, normal al sistema.

n

ssn A

RAA δδ

δδlim

Presión interna Es un promedio de los esfuer-zos directos en todas las direcciones.

3zzyyxxP

Vv

sT

Presión externa Es un promedio de la inten-sidad de la fuerza que actúa sobre el sistema, en todas las direcciones.

ACδδ

δδlim

AF

AAPAC

Tensor esfuerzo

Si Pnnnn entonces

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

Rs

Rn

An


1.5.2 TEMPERATURA Temperatura , es la propiedad que mide la

capacidad de modif icar la energía interna de la materia (campo escalar). Se mani-f iesta a los sentidos como cal iente o fr ío .

Equilibrio térmico

Cuando la temperatura de un sistema no cambia (con el tiempo), se dice que está en equilibrio. 0δ T

Si el cuerpo está en equi-librio, la temperatura es uniforme en toda la masa

Potencial térmico

Se postula que, en el equili-brio, existe una “fuerza motriz” igual en todo el sistema llamada temperatura, T.

VV T

uC

Vu

sT

Calor

Si el sistema no está en equi-libro térmico, se produce una transferencia de energía, llamada calor. Se manifiesta como un intercambio de energía, en forma de flujo, del sistema de mayor temperatura al de menor temperatura.

ATThQ fs

d

SistemaT

TTT f δ

MedioST


1.5.3 CONCENTRACIÓN Concentración , es la densidad de partículas de

una de las especies químicas o sustancias de una mezcla (es un campo escalar). Se manif iesta a los sentidos por los cambios de color, textura, espesamiento, olor, etc .

Equilibrio másico

Cuando la concentración de cada una de las sustancias, que forman el sistema no cambia (con el tiempo), se dice que está en equilibrio 0δ A

Potencial químico Se postula que, en el equilibrio, existe una “fuerza motriz”, igual en todo el sistema, llamado poten-cial químico, A

njPTi

i nG

,,

njnsnvinnu

,,

Energía libre

Si el sistema no está en equilibrio se produce una transferencia de energía libre (de Gibbs). Que se manifiesta como un movimiento de masa de una sustancia dada, i, entre el sistema y el medio o bien, por una reacción química; que son “acompañadas” con una transferencia de energía: calor, trabajo, etc

vPunG insT

Molécula de A

Vm

VVA

A δδ

δδlim

Vn

VVC

δδ

δδlim

AA

A

sistema

medio


Actividad El potencial químico se pre-fiere expresar en términos de la actividad y ésta en térmi-nos de la concentración.

0AA

AaTR ln AxTR fln

Formas de expresar la concentración Nomenclatura

V volumen total de la mezcla, m3 m masa total de la mezcla, kg densidad total de la mezcla, kg/m3 n moles totales de la mezcla, kmol C densidad molar total de la mezcla, kmol/m3

MA masa molecular de la sustancia A kg A/kmol A mA masa de la sustancia A, en la mez-

cla kg de A

nA moles de A, en la mezcla, mA/MA kmol de A

Concentración Vm

VVA

A δδ

δδlim

Concentración molar A

AAA MV

nVV

C

δδ

δδlim

Fracción peso o masa AA

A mmw

Fracción molar CC

nnx AA

A

Relaciones entre las formas de expresar la concentración

II

AAA Mw

Mwx

II

AAA Mx

Mxw


1.6 DIFUSIÓN

1.6.1 DIFUSIÓN Difusión , es el movimiento de una propiedad

extensiva de la materia (de transporte), a través de una masa, en una dirección dada, mientras la masa, como un todo, no se tras-lada en la dirección del f lujo de la propiedad en cuestión.

Se cumple que:

El valor del flujo de la propiedad de transporte es proporcional al área transversal y al negativo de la diferencia de concentración de la propiedad de estado correspondiente e inversamente proporcional al cami-no recorrido

En forma matemática

xC

AFf

x

xx d

d

En general Cf

Para fx y constantes CCAKF oC 00, C: concentración de la propiedad, cantidad de propiedad

por unidad de volumen : difusividad, m2/s KC,0: coeficiente total de transferencia, de la propiedad,

evaluado en un punto escogido 0, m/s. Correspon-diente al área en ese mismo punto. A0, m2

Gradiente de

concentración =

Coeficiente de

difusión

Área

transversal

Flujo de

Propiedad

xo

Co

C

Fx

Ax


1.6.2 DIFUSIÓN DE LA MASA DE UNA SUSTANCIA Ley de Fick

El fenómeno que se manifiesta cuando un flujo de una sustancia A, componente de una mezcla, se mueve de la zona de mayor concentración de A a la de menor concentración, mientras el resto de la masa no se traslada en la dirección del flujo de A, se denomina difusión de masa. Se cumple que: el flujo de la masa de A es directamente proporcional al área transversal al flujo y a la diferencia de concentración de la sustancia A (o al potencial químico) e inversamente proporcional al camino recorrido.

x

CDAjJ A

ABx

AxAx d

d

Ley de Fick En general AABA CDJ

Para jAx y DAB constantes ,0,00, AACA CCAKj mA: masa de la sustancia A, en el sistema, kmol CA: concentración de A, ( mA/V) kmol/m3 jA: flujo de la sustancia A, kmol/s JA: intensidad de flujo, “flux” de la sustancia A, kmol/s m2 DAB: difusividad másica de A en B, m2/s KC: coeficiente total de transferencia de masa, m/s.

xo

CAo

CA

jAx

Ax


1.6.3 DIFUSIÓN DE LA ELECTRICIDAD Ley de Ohm

El fenómeno que se presenta cuando un flujo de carga eléctrica se mueve de la zona de mayor concen-tración de carga a la de menor concentración, mientras la masa no se traslada en la dirección del flujo de carga, se define como difusión de carga o corriente eléctrica. Se cumple que: el flujo de carga es directa-mente proporcional al área transversal al flujo y a la diferencia de concentración de carga eléctrica (o al potencial eléctrico) e inversamente proporcional al camino recorrido.

x

CAiJ Q

x

xx d

d

En general QCJ

Para Jx y constantes ,0,00, QQC CCAKi Definición de potencial eléctrico Q = C·E con lo que EJ

Para i y constantes EER

i 01

Ley de Ohm

Q: carga eléctrica, A s Coulomb CQ: concentración de carga ( Q/V), A s/m3 i: flujo de carga o corriente, A Ampere J: intensidad de flujo, “flux”, de carga o densidad de corriente, A/m2 : difusividad eléctrica, m2/s KC: coef. total de transferencia de electricidad, m/s E: potencial eléctrico, V Volt C: capacidad eléctrica, A s /V Faraday : conductibilidad eléctrica (·C/V), A/m V R: resistencia eléctrica, V/A Ohm

xo

CQo

CQ

Jx Ax


1.6.4 DIFUSIÓN (Conducción) DE CALOR Ley de Fourier

El fenómeno en el cual un flujo de energía térmica, o calor, se mueve de la zona de mayor concentración de energía interna a la de menor concentración, mientras la masa no se traslada en la dirección del calor, se denomina difusión de energía térmica o calor por conducción. Se cumple que: el flujo de calor es directamente proporcional al área transversal al flujo y a la diferencia de concentración de energía interna (o al potencial térmico) e inversamente proporcional al camino recorrido.

x

CAQq U

x

xx d

d

En general UCq

Para qx y constantes ,0,00, UUC CCAKQ Definición de temperatura U = V CV T con lo que Tkq

Ley de Fourier

Para q y k constantes TTAhQ 00

Ley de enfriamiento de Newton U: energía interna, J Joule CU: concentración de energía interna ( U/V), J/m3 Q : flujo de calor, W Watt q: intensidad de flujo, “flux”, de calor, W/m2 : difusividad térmica, m2/s KC: coeficiente total de transferencia de calor, m/s T: temperatura o potencial térmico, K Kelvin CV: capacidad calorífica o calor especifico, J/kg K k: conductibilidad o conductividad térmica, W/m K (·CV/) h: coeficiente de transf. de calor o de película, W/m2 K

xo

CUo

CU Qx

Ax


1.6.5 DIFUSIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Ley de viscosidad de Newton El fenómeno producido por la fuerza de fricción que actúa sobre una masa, que fluye, en régimen de flujo laminar, crece de la zona de mayor concentración de cantidad de movimiento a la de menor concentración, mientras la masa no se traslada en la dirección de la fuerza de fricción, se denomina difusión de cantidad de movimiento, pérdidas por fricción o fuerzas viscosas. Se cumple que: la fuerza de fricción es directamente proporcional al área transversal al flujo y a la diferencia de concentración de la cantidad de movimiento (o al potencial mecánico) e inversamente proporcional al camino recorrido.

x

C

AR yM

x

xxy d

d

En general MC ˆˆ Para y constantes ,0,0,0, YY MMxCx CCAKR Cantidad de movimiento My = V vy con lo que v

Ley de viscosidad de Newton Para y constantes ,0,0,,0, yyxyFx vvAvCR M: cantidad de movimiento, kg m/s CM: conc. de cantidad de movimiento ( M/V), kg/s m2 R: fuerza viscosa, de fricción o rozamiento, N Newton : difusividad mecánica o "viscosidad cinemática", m2/s KC: coef. total de transf. de cantidad de movimiento, m/s

xo

xy Ax

vy

CMy,

CMy,o

Rx


v: velocidad o potencial mecánico, m/s Nota: la capacidad mecánica sería unitaria y adimensional

: conductibilidad mecánica o viscosidad ("dinámica") (·), kg/m s CF: coeficiente de arrastre o de fricción, Adim. : esfuerzo cortante viscoso, Pa Pascal Es de naturaleza tensorial

zv

yv

xv

zv

yv

xv

zv

yv

xv

v

zzz

yyy

xxx

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

ˆ


1.6.6 RELACIONES DE LAS DIFUSIVIDADES Las difusividades dependen de las materias que conforman el s istema, la temperatura, la presión y la concentración, del mismo.

(sust. , T, P, xI) Los coefic ientes totales de transferencia de-penden, también, de la geometría del sistema y de las característ icas del f lujo de f luidos del s istema.

Kc = K(sust. , geom., , v , T, P, xI , etc.) Las di fusividades t ienen correspondencia entre sí, lo que genera números, adimensionales, que representan razones entre las di ferentes fuerzas motrices y que describen la naturaleza del f luido en movimiento. Se emplean para: Escalamiento:

Sistemas dinámicamente semejantes, característ icas semejantes de los mate-r iales, usados para la correspondencia entre equipos de tamaño di ferente o de procesos de magnitud de su producción di ferente, etc.

Generalización

Extender los datos de protot ipos en la simulación fís ica, analógica o matemática, mejorar los modelos teóricos de procesos o sistemas con ayuda de la respuesta experimental , etc.

Anál is is dimensional

Encontrar relaciones empíricas del compo-rtamiento de los procesos en sistemas dados, para evaluar parámetros de trans-porte (Kc, CF, h, kC, etc .) .


RELACIONES ENTRE PARÁMETROS DIFUSIONALES

No. de Lorenzo, para sól idos

TkLo

eléctrica lidadconductibi térmicalidadconductibi

Para metales puros: Lo 3 ( /e ) = 2,23 10- 8

No. de Prandtl

kCPr P

térmicaddifusividamecánica ddifusivida

Para gases monoatómicos Pr (0,65-0,90) 1 No. de Schmidt

ABAB DDSc

másicaddifusivida

mecánica ddifusivida

Para gases monoatómicos Sc (0,67-0,83) 1

No. de Lewis

ABPAB DCk

DLe

másica ddifusivida

térmicaddifusivida


1.7 FENÓMENOS DE TRANSFERENCIA SUPERFICIALES

1.7.1 PÉRDIDAS POR FRICCIÓN EN UN FLUIDO

Transferencia de cantidad de movimiento La fricción en un fluido , es el fenómeno de transferencia de esfuerzo o de cantidad de movimiento entre una superf ic ie sól ida y un f luido adyacente, que se desplaza en forma paralela al mismo. Es provocado por el roce entre las partículas en movimiento, tanto dentro del f luido como con la pared. Se ve afectado por varias causas.

El esfuerzo de fricción disminuye, en la zona, entre la pared sólida, con una velocidad vs, y la del seno del fluido, con velocidad vf, llamada capa, película, límite. A partir de la cual, se considera que la velocidad es homo-génea y no varía en forma perpendicular a la superficie. El esfuerzo cortante debido a la fricción, difusión de cantidad de movimiento, se suele expresar, sobre la base de que la difusión de cantidad de movimiento, es, aproximadamente, proporcional a la diferencia entre la velocidad en la superficie y la del seno del fluido.

vf vs

Fluido

Sólido

tx vx

SSuperficie Interfase


fsfF vvvC : esfuerzo cortante, Pa = N/m2 vs: velocidad del fluido, paralela a la superficie, en contacto con la superficie, m/s vf: velocidad del fluido, paralela a la superficie, m/s CF: coeficiente de fricción o arrastre Adim.

Nota: K = CF··vf , es el coeficiente de transferencia de cantidad de movimiento, kg/m2 s

No debe confundirse este fenómeno con la advección de cantidad de movimiento, debido al flujo de masa

0 movimiento de cantidad de flujo vvAv

1.7.2 CONVECCIÓN DE CALOR Convección de calor , es el fenómeno de trans-ferencia de calor entre una superf ic ie sól ida y un f luido que lo rodea, en el cual, la di fusión o conducción de calor se ve afectada por el movi-miento de energía, arrastrada por el f lu jo de masa, advección de energía, en dirección del f lu jo de calor. Es provocado por diferentes causas.

Tf Ts

Fluido

Sólido

convQ radiQ

S

v

Superficie Interfase


La convección de calor se da en una zona, entre la pared sólida, a una temperatura Ts, y el seno del fluido, con temperatura Tf, llamada capa, película, límite. A partir de la cual, se considera que la temperatura es homogénea y no varía en forma perpendicular a la superficie. El fluido puede estar en movimiento, en dirección perpen-dicular a la transferencia de calor (paralelo a la dirección de la pared), el fenómeno lleva el nombre de convección forzada; y la transferencia se debe, principalmente, a ondas del fluido, remolinos y otras turbulencias. El fluido puede estar en reposo, la transferencia de calor se llama convección libre o natural; y, el fenómeno se debe, principalmente, al empuje provocado por la dife-rencia de densidad, que es efecto de la diferencia de temperatura, provocado por la fuerza boyante. Cuando la velocidad del f lu jo es “muy baja”, régimen de f lujo laminar, puede dominar este fenómeno con respecto al de las turbulencias, mencionada en la convección forzada. El flujo de calor, en el caso de la convección, se suele expresar, sobre la base de la difusión de calor, como, aproximadamente, proporcional a la diferencia de tempe-ratura entre la de la superficie y la del seno del fluido. fs TThq Ley de enfriamiento de Newton q: intensidad de flujo (flux) de calor, W/m2 Ts: temperatura en la superficie del sólido, K Tf: temperatura en el seno del fluido, K h: coeficiente de transferencia de calor o de película, W/m2 K

No se debe confundir este fenómeno con la advec-ción de energía debido al flujo de masa

0energía de flujo uuAv


1.7.3 RADIACIÓN TÉRMICA Radiación térmica , es el fenómeno de transfe-rencia de calor entre una superf icie y otra, s in que interf iera un medio entre el las. Se con-sidera que se real iza en forma de ondas, radiación electro-magnética o por fotones, cuantos de energía. Se definen los siguientes términos Emisión de radiación , es el f lu jo de radiación

térmica que sale de una superf icie (de un cuerpo).

Reflexión de la radiación , es el f lujo de radia-ción térmica que la superf ic ie recibe, pero que vuelve a sal ir , es decir la ref le-ja.

G : I rradiación, es el f lu jo de radiación térmica que la superf ic ie (cuerpo) recibe.

J : Radiosidad, es el f lu jo de radiación térmica

que sale de una superf ic ie por emisión y reflexión.

: Absorbancia, es la fracción de la radiación

que recibe la superf icie (cuerpo) y que es absorbida por la misma.

: Reflectancia, es la fracción de la radiación

que recibe la superf icie (cuerpo) y que es ref lejada por la misma.

: Emitancia o emisividad, es la fracción o efi-

c iencia de la radiación que emite un cuerpo con respecto a lo que emite un cuerpo negro.

Para un objeto opaco o no transparente:

1 .


Superf icie negra o cuerpo negro , es la super-f ic ie o cuerpo, ideal , que absorbe toda la radiación incidente o i rradiación, sin ref lejar nada.

La radiación que proviene, irradiación, de una superficie negra se describe por

4sTJ Ley de Stefan Boltzmann

J: radiosidad o potencia del cuerpo negro, W/m2

Ts: temperatura en la superficie irradiante, K solamente en Kelvin

: constante de Stefan Boltzmann, 5,6705 10-8 W/m2 K4

Transferencia de calor por radiación entre dos superficies grises grandes

Superficie gris , es la superf icie o cuerpo, para la cual la absorbancia y la emitancia son cons-tantes e iguales

Constante Superficie gris La transferencia de calor entre dos superficies grises finitas, se representa por:

42

4111

42

4111212 TTATTAQ radi

: Factor de transferencia.

Irradiación

12QCuerpo

gris

Radiosidad

Superficie gris

T1 1 A1

T2 2 A2


1.7.4 EQUILIBRIO ENTRE FASES Fase : es una cantidad de materia totalmente

homogénea en sus propiedades.

Cuando un sistema consti tuido por var ias sus-tancias o especies químicas, distr ibuidas entre varias fases, está en equil ibr io, las activ idades (ai) de cada uno de el las, en todas las fases, son iguales. N

iIIi

Ii aaa i

ai= a(sustancias , T , P , i)

Para l íquidos iii xa

Para gases 0/ˆ

iii ffa

En la práctica iii xmy

0 xA*

if

fase II

fase I

yi

xi límite de fase

1

fi

xAL

fA*

fAG

x


Relaciones para el cálculo

l íquidos gases iii xa 0/ˆ

iii ffa

Solución di luiday0 iii H (1) iii yKf ˆ

Solución concentrada y1 10 ii iii yff 0ˆ (2)

Solución ideal 1i iii yff ˆ

Solución de gases perfectos o ideales P0 iii PyPf ˆ (3)

(1) Ley de Henry , (2) Le y d e Lewis y Randa l l , (3). Ley de Da l ton Nomenclatura: ai : act iv idad de la sustancia i en la mezcla i : coefic iente de act iv idad de la sustancia i en la

mezcla f i : fugacidad de la sustancia i pura f i

0 : fugacidad de la sustancia i en condiciones estándar

m i : coefic iente de distr ibución o reparto para la sustancia i

P : presión del s istema Hi , K i , i : coefic ientes x i : composic ión molar de la sustancia i en la fase

l íquida y i : composic ión molar de la sustancia i en la fase

gaseosa 0 : supraíndice, se ref iere a un estado estándar o

de referencia, (Por lo general , de la sustancia i a la temperatura de la mezcla) .

E jemplos , cuando se usa la forma iii xmy

So luc ión gaseosa ideal y l íqu ida ideal iii ffm /0 So luc ión gaseosa ideal , de gases ideales y l íqu ida normal PPm iii /0

So luc ión gaseosa ideal , de gases ideales y l íqu ida ideal PPm ii /0

Ley de Roult


1.7.5 TRANSFERENCIA DE LA MASA DE UNA SUSTANCIA EN LA INTERFASE

Transferencia de masa entre fases, es el fenó-meno de transferencia de una sustancia A , que pasa de una fase (por ejemplo l íquida) a otra fase (por ejemplo gaseosa) debido a la di feren-cia de potencial químico entre las dos fases. Nota : En esta secc ión se t ra tará e l tema tomando como

e jemplo e l equi l ib r io l íqu ido vapor , es dec i r las fases son una l íqu ida y la o t ra gaseosa, pero se puede ap l icar para fases só l ido gas, só l ido l íqu ido, só l ido só l ido, l íqu ido l íqu ido.

La transferencia de masa entre fases se da en una zona entre la interfase, con una concentración CAi, PAi, etc., y el seno del fluido, a una concentración CAL, PAG, etc., llamada capa, película, límite. A partir de la cual, se con-sidera que la concentración es homogénea y no varía en forma perpendicular a la superficie. El fluido puede estar en movimiento, en dirección perpendicular a la transferencia de masa de A, y la transferencia se debe, principalmente, a ondas del fluido, remolinos y otras turbulencias.

No se debe confundir este fenómeno con la advección de A debido al flujo de masa

ACAv

A de flujo

Superficie Interfase

Gas, PAG

Líquido, CAL

AN

S

v

PAi CAi


El fluido puede estar en reposo, la transferencia de masa de A se debe, principalmente, al empuje provocado por la diferencia de densidad, que es efecto de la diferen-cia de concentración, provocado por la fuerza boyante. Cuando la velocidad del f lujo es “muy baja”, régimen de f lujo laminar, puede dominar este fenómeno con respecto al de las turbulen-cias, mencionada para la convección forzada. Para cuando se tienen dos fases, insolubles entre sí, en contacto y una sustancia, A, se distribuye entre ellas, si no está en equilibrio, el flujo de la masa de A, se suele expresar, sobre la base de la difusión de masa, como, aproximadamente, proporcional a la diferencia de con-centración, dentro de la fase: entre la de la interfase y la del seno del fluido. Flujo en la fase gaseosa AiAGGAiAGyA PPkyykN Flujo en la fase líquida AiALLAiALxA CCkxxkN NA: intensidad de flujo, flux, de masa de A, kmolA/s m2 CAi: concentración de A en la interfase líquida, kmolA/m3 CAL: concentración de A en el seno del líquido, kmolA/m3 PAi: presión parcial de A en la interfase gaseosa, Pa PAG: presión parcial de A en el seno del gas, Pa x, y: concentración molar kmolA/kmolA k…: coeficiente local de transferencia de masa de A, unidades según corresponda


Coeficiente globales o totales de transferencia de masa

Como es difícil medir las concentraciones en la interfase (CAi, PAi, xAi, yAi.), se definen los coeficientes globales de transferencia de masa, con base en el equilibrio de fases así: Flujo en la fase gaseosa **

AAGGAAGyA PPKyyKN Flujo en la fase líquida **

AALLAALxA CCKxxKN K…: Coeficiente global o total de transferencia de masa

de A, unidades según corresponda Con las relaciones de equilibrio definidas como:

AiAi xmy ALA xmy * myx AGA * ALA CmP * mPC AGA *


RELACIONES ENTRE LOS COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA

Los fenómenos de transferencia en la superficie son muy complejos y dependen de:

- La velocidad paralela a la superficie del fluido (y su turbulencia)

- La diferencia de temperaturas y/o de densidades entre la pared y el seno del fluido

- la geometría del sistema - Las asperezas (“roughness”) de la pared - Las propiedades de estado (T, P, , C) - las propiedades termofísicas (k, , DAB) - los accesorios, curvaturas, etc., del conducto donde

se traslada el fluido

Kc = K(sust. , geom., , v, T, P, CI, k, . DA B, etc.)

La complejidad de los fenómenos de transferencia en la superficie, hace que sea difícil desarrollar modelos mecani-cistas sobre ellos, por lo que se utilizan modelos empíricos (correlaciones de datos experimentales) o semi empíricos; con las características de éstos: existen varios modelos para un mismo fenómeno, que van cambiando con el tiem-po al desarrollarse mejores y más costosos experimentos y tecnología del tratamiento de datos. Las desviaciones (“errores”) alcanzan del 10 al 15 %, para fricción, del 10 al 30 %, para transferencia de calor y del 10 al 100 % para transferencia de masa.

Los coeficientes de transferencia t ienen corres-pondencia entre sí, lo que genera números, adimensionales, que representan razones entre las diferentes fuerzas motrices que describen la naturaleza del f lu ido en movimiento. Se emplean igual que las di fusividades para: escalamiento, general ización, modelos, y el anál isis dimensional.


No. de Froude

gvFo

2

nalgravitacio fuerza

inercial fuerza

No. de Euler

PvEu

2

Presión

inercial fuerza

Coefic iente de fr icción

2vC f cortante fuerzainercial fuerza

No. de Grashof

2

32

gGr inercial fuerzaboyante fuerza

No. de Reynolds

vRe

viscosafuerzainercial fuerza

No. de Nusselt

khNu

molecular érmicadifusión tconvectiva érmicadifusión t

No. de Sherwood o No. de Nusselt de masa

AB

CD D

kNuSh

molecular másicadifusión convectiva másicadifusión


Capítulo 2 LEYES DE CONSERVACIÓN PARA UN VOLUMEN

DE CONTROL 2.1 INTRODUCCIÓN

2.1.1 ALCANCE El propósito de este capítulo es: formular las leyes científicas, que han sido planteadas para una masa de control o sistema de masa fija, para ser usadas en un volumen de control.

2.1.2 VOLUMEN DE CONTROL El volumen de control es un sistema que consiste en un espacio físico o marco fijo, delimitado arbitrariamente, el cual contiene una masa determinada que circula continuamente a través de mismo, cambia su estado y produce transformaciones e interacciones con el medio. El volumen de control, generalmente, representa un conjunto de recipientes o dispositivos, empleados para obtener algún beneficio material. La definición de un sistema como volumen de control se emplea en la Ingeniería, para el análisis, evaluación, control y diseño de los procesos en los que se mani-fiestan transporte de la masa de una sustancia, de la cantidad de movimiento y de la energía. El interés de emplear el volumen de control es:

Evaluar el efecto que causa el movimiento de un fluido, sus transformaciones energéticas y los insumos, sobre algún dispositivo y en el beneficio del mismo. Evaluar los cambios en el contenido energético (velocidad, temperatura, concentración) de la masa que fluye a lo largo de un espacio dado. Es la primera etapa en el balance de transporte de masa (total), masa de una sustancia, cantidad de movimiento y energía. Y sus aplicaciones económicas y de ingeniería.

Capítulo. 2. Leyes de Conservación 50 G. Chacón V.

2.1.2 PROPIEDAD EXTENSIVA La propiedad extensiva es aquella que es proporcional a la masa. La masa está asociada al volumen, por lo que para una elemento de volumen

Vm dd Para una propiedad extensiva, P, se puede obtener la propiedad intensiva, correspondiente, si se divide por la masa

mP

mP

mPp

mmδm dd

δδlím

δδlím

0δδ

Nomenclatura:

p: propiedad extensiva por unidad de masa : densidad, kg/m3 V: volumen, m3 L: desplazamiento, m A: área, m2

2.2 TEOREMA DEL TRANSPORTE Para la demostración, se toma un sistema de masa cons-tante, que se mueve dentro de un volumen de control; el cual incluye la entrada o la salida de masa y la que ocupa el volumen de control. La zona AB: Es la masa del sistema de masa constante en

el tiempo t; que representa la masa que está entrando en ese instante y la masa ocupada por el volumen de control

La zona B: Es la masa ocupada dentro del volumen de control; volumen constante, para ambos ins-tantes.

La zona BC: Es el sistema de masa constante en el tiempo t + t; que representa la masa que está saliendo en ese instante y la masa ocupada por el volumen de control.


El teorema establece, para una propiedad extensiva dada, de la materia, una relación entre la ley científica, que se postula para un sistema de masa constante o masa de control, análisis de Lagrange, y la corres-pondiente ecuación de conservación, para la propiedad en cuestión, en tránsito, dentro de un volumen de control fijo o inercial, el cual puede intercambiar masa u otra propiedad de transporte a través de sus fronteras o área de control, análisis de Euler. La propiedad extensiva del sistema de masa constante, S, se conserva por lo que control de vol.δδδ δδ BttBtentradaAtsalidatCtsistemaSttSt PPPPPP Expresándolo como el cambio de propiedad extensiva con respecto al tiempo transcurrido, t, es decir la rapidez de propiedad,

control de vol.

δδδ

δδδ

δδ

δ

tPP

tP

tP

tPP BttBt

entrada

At

salida

tCt

sistema

SttSt

salida

t

Sistema masa constante

S = ABC

Volumen de control

B

A B C

A B C

t

t+t

PSt

PSt+t PBt+t + PCt+t

PAt + PBt

entrada

t+t

Propiedad extensiva

Tiempo

El inventario o conservación de la propiedad extensiva, P

Balance de Propiedad extensiva PSt+t PSt PBt+t PCt+t PAt PBt ahora antes ahora salida entrada antes


Obteniendo el límite cuando t 0

control devolumen entrada flujo0δ

salida flujo0δ δ

δlímδδlím

dd

tP

tP

tP

tP

ttsistema

El término control de área del travésa flujoδ

δ

tP

es el flujo de la propiedad que atraviesa la superficie (del volumen) de control. Este último término, no es un diferencial exacto, pues se refiere a una propiedad que depende del camino o trayectoria, típico de una pro-piedad de transporte (y no de las condiciones iniciales y finales del proceso, como las propiedades de estado). En la figura se observa el esquema de la salida, del cual se considera un elemento del volumen de control, que contiene el fluido que pasa a través del área de control diferencial, A

Entonces, para un flujo de una propiedad que atraviesa el área de control (entrada y salida), se plantea, la inte-gral de contorno

..

δCA L

ALpP

El término control devolumen

tP

δ δP p V

δ δ δP p L A

A

δ

v

L

δ

V


es la tasa de cambio de la propiedad extensiva almace-nada o acumulada en el volumen de control con respecto al tiempo. Una propiedad que actúa en el volumen se puede expresar, en términos de su respectiva propiedad intensiva como:

. .d

V CP p V

Sustituyendo estas expresiones, se tiene

. .volumen decontrol

dV C

P p Vt t

Sustituyendo en la relación de para conservación de P

....0δdδδ

δδlím

dd

CVCA Ltsistema

Vpt

ALptt

P

La velocidad lineal se expresa como,

tLL

tv

tLt δδlímδ

δδlím

0δ0δ

Por otro lado, el volumen de control V =V(x,y,z), y el área de control A = A(x,y,z) son independientes del tiempo, con lo que, usando el teorema de Leibnitz,

. . . .

d d dd A C V C

sistema

pP p v A Vt t

La propiedad p, puede ser un escalar, un vector, un ten-sor de orden dos, etc. La expresión se puede describir en palabras, así:

Que es conocido como el Teorema del transporte de Reynolds.

Velocidad de cambio de la propiedad extensiva para una masa de control

Flujo de neto de la propiedad extensiva

a través del área de control (lo que entra lo que sale)

Velocidad de acumulación de la propiedad extensiva en el volumen de control

= +


2.3 ECUACIÓN DE LA CONSERVACIÓN DE LA MASA (TOTAL)

La Ley de conservación de la masa dice que

La masa no se crea ni se destruye Esto es, que para un sistema de masa constante o masa de control, que la masa, m, no varía con el tiempo,

0dd

sistematm

Para un volumen de control, con el teorema del trans-porte, si

La ley científica de la conservación de la masa, se con-vierte en

. . . .

d d d 0d A C V C

sistema

m v A Vt t

Con lo que se obtiene la

Ecuación de la conservación de la masa para un volumen de control, o ecuación de continuidad

0dd....

CACVAvV

t

(2.1)

x

z

y

vx dV : densidad del fluido, kg/m3

v: velocidad lineal del fluido, m/s V: volumen, m3 A: área transversal al flujo, m2.

flujo de masa acumulación de masa


Forma global de la ecuación de conservación de la masa para un volumen de control

salida

sssentrada

eeeVC AvAvt

m d

d (2.2)

Donde la velocidad promedio es

. .

. .

d

dA C

A C

v Av

A

Aplicando el teorema de la divergencia a la ecuación 2.1, del balance de masa, se tiene

. .

d 0V C

v Vt

por lo que

0vt

Efectuando la derivada del producto y arreglando, se llega a la

Forma diferencial de la ecuación de conservación de la masa para un volumen de control

0 vv

t

(2.3)

El desarrollo en coordenadas se muestra en los cuadros 26 a 28 del apéndice. Aplicando la definición de la derivada sustancial o material

0DD1

vt


Casos específicos - Fluido estático: es el fluido, que ocupa un volumen de

control y que no posee movimiento criterio 0v

forma global 0d

d

tmVC

forma diferencial 0

t

- Flujo de masa (total) en estado estacionario: en el

volumen de control no se acumula masa

criterio 0d

d

tmVC o 0

t

forma global

salidasss

entradaeee AvAv

forma diferencial 0v

- Flujo de masa (total) incompresible: la densidad den-

tro del volumen de control no cambia con el tiempo ni con la posición

criterio 0DD

t

forma global

salida

ssentrada

eeVCVC AvAvt

Vt

md

dd

d1

forma diferencial 0 v

- etc.


2.4 ECUACIÓN DE LA CONSERVACIÓN DE LA MASA DE UNA SUSTANCIA A

La ley de conservación de la masa para una sustancia, componente de una mezcla, establece que La masa (moles) de una sustancia, en una mezcla, no se

crea ni se destruye, sólo se transforma. Para un sistema de masa constante o masa de control, la velocidad con que la masa molar nA, de una de las sustancias, A, que lo componen, se produce o consume, equivale a la rapidez, (rA), de generación o degradación, llamada reacción química.

d 0d

AA

sistema

n r mt

Para un volumen de control, la ley científica de la conser-vación de la masa para una sustancia (especie química), A, si

Con el teorema del transporte se expresa como

0ddd

d....

CV ACA A

sistema

A VCt

AvCt

n

Pero el flujo de masa a través del volumen de control se debe al flujo por advección y al flujo por difusión

AAA JvCN

CA dV vx CA JAx

y

z

(-RA)dV

CA: concentración de A, kmol A/m3 v: velocidad lineal del fluido, m/s V: volumen, m3 A: área transversal al flujo, m2. (-RA): tasa de generación volumétrica

de la sustancia A, kmol A/m3 s : factor de rendimiento o conversión JA: difusión de la sustancia A, a través

del resto de la masa, kmol A/m2s x


La difusión de la sustancia A, a través del resto de la masa, se expresa por la Ley de Fick (....), que establece que es proporcional al gradiente de concentración de la sustancia en cuestión.

AABA CDJ

Y se obtiene la

Ecuación de la conservación de la masa de una sustancia A, para un volumen de control

. . . . . .d d dA

A AV C A C A C

C V C v A J At

(2.5)

. .

d 0AV CR V

Forma global de la ecuación de conservación de la cantidad de una sustancia A para un volumen de control

d

dA VC

Ae e e As s sentrada salida

C VC v A C v A

t

C AC Aw Af A VCk A C C R V (2.6)

El término <kC AAC (CAw – CAf)> representa el intercam-bio, en promedio, de la sustancia A, debido al gradiente de concentración, entre la pared, w, del volumen de control, y el medio, f.

ACAAsAw CCC MEDIOAAAf CCC

Aplicando el teorema de la divergencia, a la ecuación 2.5, del balance de masa de una sustancia A, se tiene que

acumulación de A flujo de A

por difusión

Generación, (), o degradación, (), de A

flujo de A por advección


. .

d 0AA A AV C

C C v J R Vt

Por lo que

0AA A A

C C v J Rt

Desarrollando el producto y arreglando, se obtiene la Forma diferencial de la ecuación de conservación de una

sustancia A para un volumen de control

0AA A A A

C v C C v J Rt

(2.7)

El desarrollo en coordenadas se muestra en los cuadros 26 a 28 del apéndice. Aplicando la definición de derivada sustancial o material

D 0D

AA A A

C C v J Rt

Casos específicos - Movimiento de una sustancia, A, a través de una

masa estática o sólida: es un material cuya masa total no posee movimiento

Criterio 0v forma global

ddA VC

C AC Aw Af A Vc

C Vk A C C R V

t

forma diferencial 0AA A

C J Rt


- Flujo de masa (total) en estado estacionario: en el volumen de control no se acumula masa

criterio 0d

d

tmVC o 0

t

forma global

salidassAs

entradaeeAe

VCA AvCAvCtVC

dd

C AC Aw Af A VCk A C C R V forma diferencial

D 0D

AA A A

C C v J Rt

Nota: quedan igual - Flujo de masa (total) incompresible: la densidad den-

tro del volumen de control no cambia con el tiempo ni la posición

criterio 0DD

t

con lo que 0 v

forma global

salidassAs

entradaeeAe

VCA AvCAvCtVC

dd

C AC Aw Af A VCk A C C R V forma diferencial

D 0D

AA A

C J Rt

- Etc.


2.5 ECUACIÓN DE LA CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

La ley de conservación de la cantidad de movimiento (“momentum”) establece que

La cantidad de movimiento de una masa (cuerpo) no se crea ni se destruye, sólo se transforma.

Para un sistema de masa constante o masa de control, la rapidez con que cambia su cantidad de movimiento, relativa a un punto fijo, equivale a la suma de las fuerzas, o fuerza neta, que actúan sobre el sistema.

0d

d

F

tvm

sistema

Primera ley de Euler o Segunda ley de Newton. (1687)

Para un volumen de control, la ley científica de la conser-vación de la cantidad de movimiento, si

: densidad de la materia en el sistema, kg/m3 v: velocidad lineal del fluido, m/s V: volumen, m3 A: área transversal al flujo, m2. g: aceleración de la gravedad, m/s2 P: presión a lo largo de la masa, Pa : esfuerzo viscoso, cortante, a través de la masa, en

dirección paralela a y perpendicular a , Pa : esfuerzo directo, a través de la masa, Pa F: fuerza sobre el sistema, N

con el teorema del transporte, se convierte en

vvx

xx , xx

x

y

zVv d

xy

zx

xz

yz

zy

yx

Vg d


. . . .

d d dd A C V C

sistema

mv vv A v Vt t

Por otro lado, las fuerzas, internas o de reacción, que actúan a través de un volumen de control, son:

ˆd d d dinternasF A P A g V

La difusión de la cantidad de movimiento, está expresada por la Ley de viscosidad de Newton ( · · · ) y establece que el esfuerzo cortante, debido a la fricción, es propor-cional a la variación de la velocidad con la posición.

ˆ v

- Esfuerzo normal vxvx

xx

322

- Presión interna zzyyxxP 3

1 - Con lo que, el esfuerzo directo xxxx P 3/

y 0 zzyyxx En un plano, según Stokes,

- Esfuerzo cortante

xv

yv yx

yxxy

Notas:

vv y v : productos diádicos, tensores de orden dos

: es un tensor de orden dos dvv A

: el resultado es un vector

A

d : el resultado es un vector

vv , v

y

: no son divergencias simples, por su natura-

leza tensorial, pero su interpretación física o mate-mática es la misma que la divergencia, el gradiente o la derivada normal

g g z conversión de la gravedad


Con lo que se tiene la

Ecuación de la conservación de la cantidad de movimiento, para un volumen de control

. . . .d d

V C A C

v V vv At

(2.8)

. . . . . .

ˆ d d d 0A C A C V C

A P A g V

Forma global de la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento para un volumen de control

dd

VCe e e e e e

entrada

mvv v A P A

t

s s s s s ssalida

v v A P A

AC VC EXTERNASA m g F

(2.9)

Notas:

- velocidad promedio

. .

. .

d

dA C

A C

v Av

A

- factor de corrección de la cantidad de movimiento

2

. .

. .

d

dA C

A C

v A

v A

Para un conducto cilíndrico de radio R, con área A = r2 Si v = vmax 1(r/R)2, laminar, entonces = 4/3 Si v = vmax (1r/R)1/7, turbulento, entonces = 1,02

flujo por advección de cantidad de movimiento

Fuerza debido a la difusión de la cant. movi.

Fuerza debida a la gravedad

Fuerza debido a la presión

acumulación de cantidad de movimiento


Aplicando el teorema de la divergencia, a la ecuación 2.8, del balance de cantidad de movimiento

. .ˆ d 0

V C

v vv P g Vt

se obtiene ˆ 0v vv P gt

Desarrollando las derivadas o divergencias de los pro-ductos y arreglando

ˆ 0vv v v v v P gt t

Acomodando términos

vv v v v vt t

ˆ 0P g

El término entre paréntesis cuadrado es la ecuación de continuidad, 2.3, por lo tanto se anula, con lo que se llega a la Forma diferencial de la ecuación de conservación de la

cantidad movimiento para un volumen de control

0ˆ gPvv

tv

(2.10)

Ecuación de Navier (1822) y Stokes (1845) El desarrollo en coordenadas se muestra en los cuadros 26 a 28 del apéndice. Aplicando la definición de derivada sustancial o material

0ˆDD

gPtv

Ecuación de continuidad, término nulo


Usando el resultado del cálculo vectorial para el producto

21 12 2v v v v v v v

y definiéndose como rotación v

y vorticidad. vv

0ˆ1221

gPvvv

tv

(2.11)

Casos específicos - Fluido estático: es un sistema cuya masa total no

fluye, (no posee movimiento relativo a un eje de referencia)

criterio 0v con lo que 0ˆ

forma global EXTERNASVC

VC Fgmtvm

dd

forma diferencial 0 gP

Si z = z, es la plomada: 0 0dd

P g T T gz

- Sistema fijo o volumen de control inercial criterio 0VCv forma global

salida

ssssssentrada

eeeeee APAvvAPAvv

0 EXTERNASVCAC FgmA

forma diferencial queda la ecuación original, Ec. 2.10 o Ec. 2.11


- Flujo de masa (total) en estado estacionario: en el volumen de control no se acumula masa.

Criterio 0

t

mVC 0

t

forma global

dd

VCVC VC

vm m a

t

e e e e e eentrada

v v A P A

s s s s s ssalida

v v A P A


forma diferencial queda la original, Ec. 2.10 o Ec. 2.11 - Velocidad del volumen de control constante

Criterio 0d

d

tvVC

y 0

tv

Forma global dd

VCVC

mv

t

e e e e e eentrada

v v A P A

s s s s s ssalida

v v A P A


forma diferencial vvvvv

2

21

gP

ˆ1


- Flujo de masa (total) incompresible: la densidad den-tro del volumen de control no cambia con el tiempo ni con la posición

criterio 0DD

t

con lo que 0 v

forma global queda la original, Ec. 2.9 forma diferencial queda la ecuación original, Ec. 2.10 o Ec. 2.11 - Flujo no rotacional: no se producen rotaciones del flui-

do dentro del volumen de control.

Criterio 0 v

forma global queda la original, Ec. 2.9 forma diferencial

212

1 ˆv v P gt

- Flujo no viscoso: se desprecian las fuerzas viscosas,

como modelo de comportamiento del volumen de control.

criterio 0ˆ τ (por lo que no rota 0 v

)

forma global

dd

VCe e e e e e

entrada

mvv v A P A

t

s s s s s s VC EXTERNASsalida

v v A P A m g F

forma diferencial

gzPvgPvtv

11 2

212

21

Ecuación de Euler (1775)


- Velocidad del volumen de control constante y no viscoso.

criterio 0

tvVC

, 0

tv

y 0ˆ τ

con lo que 0 v

forma global

dd

VCVC e e e e e e

entrada

mv v v A P A

t

s s s s s s VC EXTERNASsalida

v v A P A m g F

forma diferencial

2 21 12 2

1 0v P g v P g z

212

1 Ctev P g z

Ecuación de Bernouilli (17 · · · ) - Etc.


2.6 ECUACIÓN DE LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA

La ley de conservación de la energía establece que La energía no se crea ni se destruye, sólo se transforma.

Para un sistema de masa constante o masa de control, la rapidez con que cambia su energía, m·e, equivale a la transferencia de energía sobre él y la generación (o consumo) de energía dentro del sistema.

d 0d sistema

me Q W mGt

Primera Ley de la Termodinámica Joule (Kelvin, Clausius ~1850)

Por convención:

() significa entrada o generación (producción) () significa salida o degradación (consumo)

La ley científica de la conservación de la energía, se convierte, si

: densidad de la materia en el sistema, kg/m3 v: velocidad lineal del fluido, m/s e: energía contenida en la masa, J/kg e = u + v2/2 + g z + ··· (energía interna) + (energía cinética) + (energía potencial) + (etc.) V: volumen, m3 A: área transversal al flujo, m2. G: generación o consumo de energía, HRXN, i2R, etc., J/kg P: presión a lo largo de la masa, Pa : esfuerzo viscoso, cortante, a través de la masa, Pa q: flujo (“flux”) de calor, por unidad de área transversal al flujo,

W/m2.

x

y

z vx e qx P vx xx vx +

e dV

G dV


F: fuerza sobre el sistema, N Q: calor, transmitido por una diferencia de temperaturas entre

el sistema y el medio o entre dos puntos dentro del sistema, J.

W: trabajo, comunicada como un empuje, levantar un peso o girar un eje, J.

Flujo de calor tQQ

t

0δlím

o AdqQ W

Potencia o

flujo de trabajo tWW

t

0δlím

o FvW

d

MwW d W

Para un volumen de control, con el teorema del trans-porte,

dd sistema

me Q W mGt

. . . .d d 0

A C V Cev A e V Q W mG

t

El flujo de energía a través del volumen de control se debe a:

El flujo de energía por advección o energías que lleva la materia

212d dev A u v gz v A

El flujo de trabajo, interno, o potencia

ˆδ d d dW v F v P A v A

La difusión de la cantidad de movimiento, está expresada por la Ley de viscosidad de Newton ( · · · )

ˆ v

El flujo difusivo o calor por conducción AqQ

dδ

La difusión de la energía o intensidad del flujo de calor, a través del resto de la masa, se expresa por la Ley de Fourier (1822), que establece que es proporcional al gradiente de la temperatura en el sistema en cuestión.


Tkq

Con lo que se tiene la

Ecuación de la conservación de la energía, para un volumen de control

2 21 12 2. . . .

d dV C A C

u v gz V u v gz v At

. . . . . .

ˆd d dA C A C A C

q A P v A v A

(2.12)

. .

d 0V C

G V

Forma global de la ecuación de conservación de la energía

para un volumen de control

tzgvum

VC

dd 2

21

(2.13)

entradae

ee

e

eeeee zg

vPuAv2

2

entradas

ss

s

sssss zg

vPuAv2

2

f VCACv A H m G

VC VC OTRASQ W E

Notas:

flujo de energía por advección acumulación de energía

Generación o consumo de energía

flujo de trabajo reversible debi-do a la presión

flujo de energía difusivo o conduc-

ción de calor

flujo de trabajo irrever-sible debido a la fricción

o fuerzas viscosas


- velocidad promedio

..

..

d

d

CA

CA

A

Avv

- factor de corrección de la energía cinética

..

..

3

d

d

CA

CA

Av

Av

Para un conducto cilíndrico de radio R, con área A = r2 Si v = vmax 1(r/R)2, laminar, entonces = 2 Si v = vmax (1r/R)1/7, turbulento, entonces = 1,06

- pérdidas de energía por la fricción entre el fluido y las

paredes del sistema o área de control

2

21

..

..

d

dˆvC

AvAv

Av

AvH D

AC

ACAC

CA

CAf

- Intercambio, transferencia, de calor por contacto,

entre el sistema y el medio (a través de su área de control)

OTROSACEMACACACfACVC EATTATThQ

44 Difusión de calor Radiación de energía con convección - Intercambio, transferencia, de trabajo entre el sistema

y el medio

OTROSEXTERNAVC WMFvW

Mover una masa Girar un eje - Trabajo de flujo, empleado por el fluido en atravesar el

volumen de control y en expandirse (o comprimirse) dentro de él

APvWFlujo

- Entalpía, se define como

h; /ddd Puh


Aplicando el teorema de la divergencia, a la ecuación 2.12, del balance de energía.

2 21 12 2. .

dV C

u v gz u v gz v Vt

. .

ˆ d 0V C

q P v v G V

por lo que

2 21 12 2u v gz u v gz v

t

ˆ 0q Pv v G

Desarrollando las derivadas, gradientes o divergencias de los productos y arreglando

2 2 21 1 12 2 2u v gz u v gz u v gz v

t t

212v u v gz q P v v P

ˆ : 0v v G

Acomodando términos y derivando los términos de energía que posee la masa

uvtzg

tvv

tuv

tgzvu

2

21

Pvqgzvvvv

ˆ ˆ: 0P v v v G

El término entre paréntesis es la ecuación de continui-dad, 2.3, por lo tanto se anula, con lo que se obtiene la

Ecuación de continuidad, término nulo z independiente de t,

término nulo


Forma diferencial de la ecuación de conservación de la energía para un volumen de control

:u v u P v q G vt

(2.14)

ˆ 0vv v v v P v g vt

Notas: Los términos correspondientes a la energía mecánica, se pueden obtener al multiplicar escalarmente, la velocidad por los términos de la ecuación de Navier-Stokes, Ec. 2.10, que es la potencia del flujo.

ˆd vv F v v v P gt

La variación de la energía potencial es gzg

La variación de la energía cinética es, del cálculo vectorial

vvvvvvv

2

21

21

La rotación de un fluido y la vorticidad de un fluido v y vv

El flujo de energía irreversible que se convierte en energía interna, debido a la expansión o compresión P v

debido a la disipación viscosa o fricción : v

El flujo de trabajo, potencia, que se convierte en energía mecánica debido a la traslación Pv

debido a la disipación viscosa o fricción

v

Aplicando la definición de derivada sustancial o material

D :D

u P v q G vt

D ˆ 0D

vv v P v g vt

Energía térmica

Energía mecánica


Una forma práctica de presentar la ecuación de conser-vación de la energía, para un volumen de control, es usando el concepto de capacidad calorífica o calor específico, para evaluar la energía interna. De la Termodinámica, cuando no se presenta cambio de fase, se tiene que

d d dVV

Pmu mc T T P VT

Por la ecuación de continuidad

v

tttV

m

DD1

D

1D

DD1

2

dividiendo por el tiempo transcurrido y por la masa

t

PTPT

tTc

tu

V D

1D

DD

DD

vPTPT

tTcV

DD

Por otro lado, usando el resultado del cálculo vectorial

221 vvvvv

,

y, del álgebra vectorial, se tiene que 0 vvv

en consecuencia, cuando no se presenta cambio de fase,

D ˆ:DV

T Pc T v q G vt T

(2.15)

0ˆ221

vgvPvvv

tvv

El desarrollo en coordenadas se muestra en los cuadros 26 a 28 del apéndice.


Casos específicos - Sistema sin flujo o sólido: es un sistema cuya masa

total no se desplaza dentro de él criterio 0v con lo que 0ˆ forma global

212d

dVC

VC VC VC OTRAS

m u v gzQ W m G E

t

forma diferencial 0VTc q Gt

- Flujo de masa (total) en estado estacionario: en el

volumen de control no se acumula masa.

criterio 0d

d

tmVC o 0

t

forma global

tgzvu

m VCVC d

d 221

2

2ee

e e e e e eentrada e

vPv A u gz

2

2ss

s s s s s sentrada s

vPv A u gz

f VC VCACv A H m G Q

VC OTRASW E forma diferencial queda la original, Ec. 2.14 ó Ec. 2.15.


- Flujo de masa (total) incompresible: la densidad den-tro del volumen de control no cambia con el tiempo ni con la posición

criterio 0DD

t

con lo que 0 v

forma global queda la original, Ec. 2.13 con e s forma diferencial

1

VTc q Gt

0ˆ11

gzPTc

tvv V

Nota:

TCPTC PV

- Flujo isotérmico: Ecuación de la energía mecánica.

criterio 0DD

tT

forma global

entradae

ee

e

eeee

VC gzvPAv

tgzvm

2dd 22

21

2

2ss

s s s s s AC VCentrada s

vPv A gz v A W

forma diferencial

21

2 ˆ 0vv v v v P v g vt

Capítulo.3. Naturaleza del flujo… 78 G. Chacón V.

- Flujo ideal o Ecuación de Bernouilli (17..): se despre-cian las fuerzas viscosas, flujo isotérmico y en estado estacionario.

criterio 0ˆ τ , 0DD

tT

, 0

tv

forma global

entradae

ee

e

eeee

VCVC gz

vPAvt

gzvm

2dd 22

21

2

2ss

s s s s s VCentrada s

vPv A gz W

forma diferencial

0221 gzPvv

CtegzPv 221

- Etc.


Capítulo 3

NATURALEZA DEL FLUJO DE FLUIDOS 3.1 FLUIDO Se define como fluido, aquella cantidad de materia que se deforma continuamente bajo la acción de un esfuerzo (que posee la forma del recipiente).

Sustancias intermedias: vítreos, plásticos, elastómeros, pastas, lodos etc.

Nota: La presión de un fluido en un punto (centro de masa) de un fluido es igual en todas las direcciones, Arquímedes

Propiedad puntual

Las moléculas de un fluido (y de un sólido), están formadas por moléculas o partículas, que poseen una masa, m y ocupan un volumen V (infinitesimales). El estado de cada partícula se representa por sus propie-dades, asociadas a su centro de masa (T, P, , v, etc.).

Centro de masa, m

V

r

y y

Deformación elástica Deformación continua

Fluido SólidoEsfuerzoEsfuerzo

yv

tx

dd

dd

e

y

dd

x x


Fluido como un continuo Se considera el fluido como un continuo, es decir, que se comporta como si las partículas forman una masa continua.

De esa forma sus propiedades de estado (T, P, r, v, etc.) pueden representarse como:

- Puntos de un dominio, lo que permite su trata-miento matemático

- Una función continua - Valores promedio y parámetros estadísticos.

Condición de no-deslizamiento Si un fluido se comporta como un continuo, su velocidad en el límite de una fase, es igual a la de la otra fase. Ejemplos Líquido - líquido: en la interfase, sendas velocidades son iguales. Sólido - líquido: en la interfase la velocidad del fluido es igual a la

del sólido. Líquido - gas: en la interfase la velocidad del gas es igual a la del

líquido. Nota: las pastas no cumplen con esta condición.

Mecánica Estadística

Mecánica Clásica

Vm

VV δδlim :densidad

δδ

n

s

AAsn ARδδ

lim :esfuerzoδδ

V

V


Campo de velocidad para un fluido La velocidad de un flujo de fluidos, se define como el desplazamiento del centro de masa de una partícula de volumen dV por unidad de tiempo, bajo la hipótesis del continuo.

),,,vδδlim

0δtzy(x

trv

t

Definiciones para un flujo de fluidos Trayectoria: Línea trazada por una partícula, del fluido,

en movimiento. Línea de corriente: Línea trazada por los puntos tangen-

tes a la velocidad de la partícula. Nota: La línea de corriente no corta la de la trayectoria.

Línea de trazador: Línea trazada por los puntos por don-de pasan un grupo de partículas dado o “canal”.

Flujo: Zona trazada por un grupo de partícula, de un

fluido, que se mueven como un continuo, en una dirección dada.

Trayectoria

Flujo

Tangente

Línea de trazador


3.2 CINEMÁTICA DE UN ELEMENTO DE FLUIDO Un fluido sometido a un campo de velocidades, por la acción de un esfuerzo, se mantiene en movimiento, además de la traslación, se puede presentar deforma-ción, angular o lineal, y rotación.

Rapidez de deformación

ttttt

tyx

0,,

limdd

Deformación continua en el plano (x, y) (Plano de flujo)

Rapidez de rotación

2

RRz t

Rotación perpendicular al plano (x, y)

(Plano de rotación)

ry

vy vx

x

y

rx

RotaciónDeformación vy

vx x

y

y

x

El esfuerzo cortante es una cantidad tensorial

Si el elemento rota entonces se deforma (puede deformarse sin rotar)

xy

yx

vy

y

x

vx


Rapidez de deformación Rotación

td

d

tDD

tyx

220,,

lim

xxyy

D

arctan

xr

xr yy

R

arctan

yyxx

D

arctan

yr

yr xx

R

arctan

0,,lim

dd

tyxt

0,,

lim2

tyxz

tx

tvvxyxxy

tx

tvvxyxxy

ty

tvvyxyyx

ty

tvvyxyyx

dd

yx vvt y x

2 y xz

v vx y

En general

ˆˆ

t

2 : rotaciónv

Nota: es el tensor cuyas componentes cartesianas son: i,j = ( vi/ j) + ( vj/ i)


Flujo incompresible (función de corriente ) Se define la función de corriente, un campo escalar, para describir en forma concisa, las líneas de corriente, que son las líneas tangentes a la trayectoria de un flujo de masa. Para lo cual se considera flujo incompresible y bidireccional.

yvxv xy dddΨ Si la función de corriente es continua debe cumplir que

dyy

dxx

ΨΨdΨ

y que xyyx

22

Como el flujo es incompresible

0yv

xvv yx

con lo que ambas ecuaciones se satisfacen si,

yvx

y

xvy

la deformación es : 2

2

2

2

dd

xytxy

la rotación es:

22

2

2

2

2yx

vz


Flujo irrotacional e incompresible (función potencial ) Se define la función potencial de velocidad, un campo escalar, para describir las líneas de trayectoria. Para lo cual se considera flujo irrotacional, incompresible y bidireccional.

yvxv yx ddd

Si el flujo es incompresible 0yv

xvv yx

Si el flujo es irrotacional 0yv

xv

v xy

Si la función de corriente es continua, debe cumplir que

dyy

dxx

d y que xyyx

22

Condiciones que se satisfacen si,

xvx

y

yvy

con lo cual

v

Que es una función análoga a las de los flujos de calor Tkq

masa de A AABA CDJ

electricidad EJ

La deformación es : yxt

xy

2

2d

d


3.3 REGÍMENES DE FLUJO DE FLUIDOS Los siguientes son modelos del comportamiento de los fluidos en movimiento.

Régimen de flujo laminar

- Describe el flujo de un fluido que manifiesta un

movimiento con estructura de capas (moleculares) - Las líneas de corriente se confunden con las trayec-

torias - Dominan las fuerzas viscosas sobre las inerciales. Fluido newtoniano Cuando un fluido se mueve con régimen de flujo laminar, presenta una relación análoga a la Ley de Hook (1678, Young l807) para sólidos xy = E e La llamada Ley de viscosidad de Newton

yvx

yx dd

(flujo de tinta) Experimento de Reynolds 1883

Flujo interno (en un conducto)

Flujo externo (sobre un cilindro o una esfera)


Régimen de flujo turbulento

- Describe un flujo de un fluido que manifiesta un

movimiento de las partículas al azar - La masa se mueve con un flujo neto homogéneo, la

línea de trazador es estable - Dominan las fuerzas inerciales sobre las viscosas. Modelo de flujo de fluidos turbulento El fenómeno se puede representar como “remolinos” o “terroncitos” (“eddies”) que se trasladan con velocidades vx´, vy´, vz´, relativas, con respecto a la velocidad promedio o flujo.

zzyyxxxxx evevevevv ˆˆˆˆ

Efecto en el flujo neto:

0

1 dt

x xv t vt

0

1 d 0t

wv tt

w

Efecto en la fuerza de arrastre o frcción es

d dy y x x y xAC ACF v v v A v v A

Dado que 0 xy vv , son ortogonales, entinces el esfuerzo cortante turbulento o de Reynolds es

xyyx vv

(flujo de tinta)Experimento de Reynolds, 1883

Flujo interno (en un conducto)

Flujo externo (sobre un cilindro o esfera)

Estela


El efecto en la energía cinética es

22221

zzyyxxC vvvvvvE dado que para todo 0 ii vv , con i = x, y, z, el efecto asignado a las pérdidas de energía por irreversibilidad, I, (fricción, expansión, mezclado, etc.) se consideran como

3

222zyx

f

vvvIH

Hipótesis de la longitud de mezclado, Prandtl 1925. Para convertir la expresión del esfuerzo, en términos de propiedades o variables de flujo, se propone el modelo de la longitud de mezclado. Sea un flujo en la dirección x, que presenta un gradiente de velocidad en la dirección y.

La perturbación vx, es la diferencia entre las dos velocidades netas, de sendos puntos, separados una distancia L.

yxLyxx vvv

por el teorema de Taylor, con L suficientemente pe-queño,

yvLv x

x dd

L

vxyL

vxyy

vx

y

x


Con lo que, si son del mismo orden de magnitud, vxO=vy y son independientes, vx vx 0, entonces

2 d dd d

x xyx y x

v vv v Ly y

El valor absoluto, se coloca para mantener el signo del gradiente de velocidad. Generalmente se considera que la longitud de mezclado es proporcional a la distancia a partir de la interfase

L k y

Para gases ideales o perfectos L = 2 (2/3) Z : paso libre medio Z : velocidad media molecular

Régimen de flujo crítico Existe una gama de valores de la velocidad y de las características del flujo de fluidos, en las cuales no se comporta ni como laminar ni como turbulento, llamado flujos de transición, de amortiguamiento o críticos.

Nota: Como en otros fenómenos afectados por mecanismos diferentes a la vez, la suma de ambos efectos no modela adecuadamente, este caso.

xyx

yx vvyv

dd

La transición, de laminar a turbulento, se ve afectada por - El gradiente de presión - La turbulencia de la corriente libre (zona de velocidad

constante) - Las asperezas (“roughness”) de la pared - La curvatura de la pared - La diferencia de temperatura o concentración entre la

pared y el medio.


Flujo invíscido Es un modelo de flujo de fluidos, empleado para facilitar el manejo matemático y luego realizar correcciones empíricas, para el ajuste, sobre el mismo. Es útil en modelos semiempíricos, gráficos y simulación de proce-sos. Se considera que el flujo es:

- Bidireccional xy

vv

x

y

dd

- irrotacional 0 v

- no viscoso, no deformable, 0t

- incompresible 0 v

En este tipo de flujo las funciones de corriente y de potencial están relacionadas. Como se puede observar del análisis de las isolíneas de dichas funciones

dyvdxv yx d y

x

vv

dxy

d

dyvdxv xy d x

y

vv

dxy

d

Lo que indica, además, que las funciones

y son ortogonales.

= constante

= constante

En la figura se describe el flujo inviscido alrededor de un cilindro circular de long-itud infinita, mostrando las líneas de corriente y las de potencial a velocidad constante.

xyx

y

dd

1dd


Flujo en estado estacionario Se considera como flujo en estado estacionario, aquél cuya velocidad no varía con el tiempo, pero si con la posición. Por otro lado, las líneas de trazador son respectivamente coincidentes con las líneas de corriente. Entonces para:

flujo bidimensional xy

vv

x

y

dd

flujo tridimensional zyx vz

vy

vx ddd

Fluido no newtoniano Se define como aquel fluido cuyo comportamiento se desvía de la ley de viscosidad de Newton.

Uno de los modelos propuestos, es el de la potencia

yv

yvm x

n

xxy d

ddd

0

0 > 0 fluido deslizante n < 0 fluido pseudo plástico

n > 0 fluido dilatante

xy

dvx dy

0

newtoniano


Patrones de las líneas de corriente típicas del flujo de fluidos sobre cuerpos sumergidos. Rouse y Howe, publicado por Wiley 1953.


Capítulo 4

ESTIMACIÓN DE PROPIEDADES La estimación de propiedades se usa cuando no se cuenta con datos experimentales de las mismas. Para escoger un valor de una propiedad se siguen los siguientes criterios, en ese orden de prioridades

- Propiedades experimentales de fuentes confia-bles

- Propiedades experimentales por métodos apro-ximados

- Interpolación a partir de datos experimentales - Modelos generales ajustados a partir de datos

experimentales - Estimadores de propiedades

En las siguientes bibliografías se encuentran estima-dores de propiedades y en los cuadros 21 al 23 del apéndice se presenta un resumen. Reid, R .C.; Prausnitz, J. H. y Sherwood, T. K. The Properties

of Gases and Liquids, 3a. Ed. McGraw-Hill Book Co., New York, (l977).

Perry’s Chemical Engineers Handbook, 7a. y 8a. Ed. Mc

Graw-Hill Book Co., New York, 1998 y 2008. Bird, R.B. et all. Fenómenos de Transporte. Reverté,

Barcelona, 2006. Welty, J. C. et all. Fundamental of Momentum, Heat and Mass

Transfer. 5a. Ed. Wiley, New York, 2008.

Capítulo 4. Estimación de Prop… 94 G. Chacón V.

ESTIMACIÓN DE PROPIEDADES PARA GASES Ejemplo 4.1. Estimación para gases Para el nitrógeno a 300 K y 1 atm., estime su: a) densidad, b) capacidad calorífica, c) viscosidad, d) conductividad térmica y e) difusividad en amoniaco. Compárelos con los valores experimentales:

1,138 2 kg/m3 CP 1,041 2 kJ/kg K 17,86 mg/m s k 26,06 mW/m K DN2:NH3 23,3 mm2/s

Respuesta 4.1

Parámetros

N2 NH3 M 28,013 17,031 kg/kmol 71,4 558,3 K 0,3798 0,2900 nm TC 126,2 K PC 3,39 MPa 0,040

4.1a) Densidad

TRzMPρ

C

C

CC TTPP

TTTTz 2,46,1

172,0422,0139,0083,01

12630039,30101,0

126300040,0172,0

126300422,0040,0139,0083,01 2,46,1z

z 1,0000


K 300K kmol s

m kg5,8314000,1

kmolkg013,28

m s kg 10013251

2

2

25

,

1,138 kg/m3 4.1 a) Diferencia 0,0 % 4.1b) Capacidad calorífica

J 1000 kJ

kmolkg013,282

K kmol J5,83147

27

MRCP

CP 1,039 kJ/kg K 4.1 b) Diferencia -0,2 % 4.1c) Viscosidad

2

21810669,2 TM

Interpolando (ln-ln) el potencial de Lennard Jones, del cuadro 4, con

202,44,71

300

T 9599,0

kgmg 6E1

960,0nm 3798,0

K 300kmol

kg013,288E669,2 2

21

17,7 mg/m s 4.1 c) Diferencia -1,0 %


4.1d) Conductividad térmica

1 2

42

/8,328 10

k

T Mk

9599,0 k

1 2

2

kg300 K 28,0131000 mWkmol8,328E 4

W0,3798 nm 0,960k

mW19,68 m K

k

Con 1 k 19,7 mW/m K 4.1 d) Diferencia 24,4 %

Con 2 2 5 53 3 2 3

VCR

k 32,8 mW/m K 4.1 d) Diferencia 25,5 % Nota: El promedio da k 32,8 mW/m K, con una

diferencia se 0,7 % 4.1e) Difusividad másica

DABABAB MP

TD

221

23

kmolkg183,21

031,171013,2812

112

BA

AB MMM


nm 3349,02

2900,03798,02

BAAB

BAAB ; K 67,1993,5584,71 AB

Interpolando (ln-ln) el potencial de Lennard Jones, del cuadro 4, con

503,167,199

300

AB

T 197,1D

4E1183,21

996,0066,310996,0066,3 4

ABM

410856,2

2

2

23

21 mmm 1000

197.13349,0300

183,211013254E856,2

ABD

DAB 23,7 mm2/s 4.1 e) Diferencia 1,7 % Ejemplo 4.2. Estimación de parámetros Para el acetato de etilo gaseoso a 0 C y 1 atm., estime su: a) viscosidad y b) difusividad en aire, como si no se conociesen y . Compárelos con los valores experimentales

Vb 0,106 m3/kmol 6,7 mg/m s DAce:Air 7,12 mm2/s


Respuesta 4.2

Parámetros

Acetato de etilo Código A Fórmula C4H8O2

TC 523,2 K PC 3,83 MPa 0,363 Tb 350,3 K

Estimación de los parámetros de Lennard-Jones para el acetato de etilo, usando el punto de ebullición. (lo cual se supone que es mejor que usando las relaciones con el punto crítico).

OésterOHCAiib VVVVVV 1184

3E19,914,717,388,144 bV Vb 0,1061 m3/kmol Diferencia 0,0 %.

nm 559,01061,018,118,1 3131 bA V

K 424K 3,35021,121,1 bT Estimación de los parámetros de Lennard-Jones para el acetato de etilo, usando el punto crítico.

31406,098,10 CCA PT

nm 558,06E83,3

2,523363,0406,098,1031

A

CT 1693,07915,0

K 446K 2,523363.01693,07915,0


4.2 a) Viscosidad

2

21810669,2 TM

2

21

K 273kmol

kg107,888E669,2

26E14,4

4.2 a)

Método Punto ebull.

Punto crítico

Svehla

A 0,559 0,558 0,5205 A 424 446 521,3 TA 0,644 0,612 0,524 1,991 2,044 2,207 , mg/m s 6,7 6,5 6,9 Dif. % 0 -3 3 4.2 b) Difusividad másica

DABABAB MP

TD

221

23

kmolkg8,43

1,291107,8812

112

BA

AB MMM

214 996,010066,3

ABM

DABABD

2

23

8,43101325

2734E18,43

996,0066,3


DAB

ABD

26E96,1

2BA

AB

BAAB

Método Punto ebull.

Punto crítico

Svehla

AB 0,465 0,465 0,4458 AB 182,5 187,3 202,4 TAB 1,497 1,458 1,349 D 1,199 1,212 1,253 DAB mm2/s 7,6 7,5 7,9 Dif. % 6 6 11

4.2 b) Ejemplo 4.3. Estimación con un solo valor Estime la viscosidad del metanol (gaseoso) a 240 C: a) a partir de la las relaciones de estimación, b) conociendo un (uno solo) valor dado. A 35 C la viscosidad (como gas) es 0,101 mPa s. Valor experimental

(240 C) 169 mg/m s Respuesta 4.3

Parámetros para metanol

Svehla Tradic. M 32,042 kg/kmol 481,8 507 K 0,3626 0,3585 nm

4.3a) Viscosidad

2

21810669,2 TM


2

21

K 513kmol

kg042,328E669,2

Interpolando (ln-ln) el potencial de Lennard Jones, del cuadro 4.

Método Svehla Tradic. TA 1,065 1,012 1,5382 1,5775 169 169 mg/m s Dif. % 0 0

4.3b) Viscosidad (Conociendo un valor)

T

T

00

0

TT

21

Interpolando (ln-ln) el potencial de Lennard Jones, del cuadro 4.

T0 T T 308,2 513,2 K TA 0,6396 1,065 (Svehla) 1,9984 1,5382

kgmg 6E1

5382,19984,1

K 308K 513

s mkg4E01,1

21

169 mg/m s 4.3 b) Diferencia 0 %


Ejemplo 4.4. Estimación con dos valores Estime la conductividad térmica del acetaldehído a: a) 60 C, b) 120 C, conociendo dos valores dados (experimen-tales de referencia), de su conductividad k:

k 40 C 12,60 mW/m K k 80 C 15,87 mW/m K

Valores experimentales k 60 C 14,24 mW/m K k 120 C 19,38 mW/m K

Respuesta 4.4

Partiendo de que mT

T TaTTkk 0

21

00

Con dos puntos 9194,1

353313ln

87,1560,12ln

lnln

21

21

TTkkm

1,9194 71 1 -2.9194

mW12,60 313 K 2,042 10m K

ma k T

a 2,042·10-7 mW/m K-2,9194 4.4a) Conductividad a 60 C

9194,17 K 333E042,2 k k 14,19 mW/m K 4.4 a) Diferencia -0,4 % 4.4b) Conductividad a 120 C

9194,17 K 393E042,2 k k 19,50 mW/m K 4.4 b) Diferencia 0,6 %


Ejemplo 4.5. Extrapolación con dos datos Estime la viscosidad del amoniaco a 400 C, conociendo dos datos (valores dados experimentales o de referen-cia), de su viscosidad :

0 C 90 mg/m s 80 C 13,1 mg/m s

Valore experimental

400 C 25 mg/m s Respuesta 4.5 Partiendo de que

TbTa

TT

T

T0

1

2121

00

Con dos puntos

5,1

1

2

2

1

TTc

112

c

TcTb

5,11

11

TTba

097,1273373

31,19,0 5,1

c , 1,758

1097,1273097,1373

b

2056,0273

2731,758s mg/m 905,1

a

6731,7581

6732056,0 21

25 mg/m s 4.5) Diferencia 0 %


ESTIMACIÓN DE PROPIEDADES PARA LÍQUIDOS Ejemplo 4.6. Estimación para líquidos Estime, usando relaciones generalizadas, para el acetato de etilo líquido a 20 C, su: a) densidad b) viscosidad, c) conductividad térmica y d) difusividad en agua a dilución infinita. Valores experimentales

901 kg/m3 458 mg/m s k 0,147 W/m K D0

AB 0,001 mm2/s Respuesta 4.6

Parámetros

acetato de etilo Fórmula C4H8O2

M 88,107 kg/kmol TC 523,2 K PC 3,83 MPa VC 0,286 m3/kmol 0,363 zC 0,252 Tb 350,3 K Vb 0,106 m3/kmol 20 901 kg/m3 20 458 Mg/m s

4.6a) Densidad

CCC

zTT

ρρ ln1ln

72


33 kg/m 308/kmolm 0,286

kg/kmol 88,107

CC V

Mρ

252,0ln5232931

308ln

72

ρ

916 kg/m3 4.6 a) Diferencia 1,7 % 4.6b) Viscosidad

20

b

VT

T

8,3exp

1099,3 7

kgmg 6E1

901107,882933,3508,3exp7E99,3

383 mg/m s 4.6 b) Diferencia -16 % 4.6c) Conductividad térmica

2 3

2 31 2

3 20 11,11

3 20 1

C

b

C

TT

kM T

T

2 3

2 31 2

3 20 1 293 523, 21,1188,108 3 20 1 350,3 523, 2

k

k 0,137 W/m K 4.6 c) Diferencia –6,7 %


4.6d) Difusividad másica, a dilución infinita

6,0

21160 10173,1

SbS

SAB V

TMD

2

6,0

210

mμm 6E1

106,0293

3E006,1016,186,216E173,1

ABD

D0

AB 899 μm2/s 4.6 d) Diferencia -10 % Ejemplo 4.7. Estimación con un solo valor Para el n butanol a 40 C obtenga la: a) densidad, b) viscosidad, c) conductividad térmica y d) difusividad en agua a dilución infinita, considerando que se conocen las propiedades a 20 C (solamente).

810 kg/m3 5,14 g/m s k 0,154 W/m K D0

AB 0,000 88 mm2/s Respuesta 4.7

Parámetros

n butanol Fórm. C4H9OH

M 74,123 kg/kmol TC 563,0 K PC 4,42 MPa 0,590 zC 0,259 Tb 390,9 K


Valores experimentales a 40 C

788 kg/m3 1,77 g/m s k 0,147 W/m K D0

AB 0,001 40 mm2/s 4.7a) Densidad

CCC

zTT

TTρρ ln11lnln

72

0

72

0

259,0ln5632931

5633131810lnln

7272

ρ

791 kg/m3 4.7 a) Diferencia 0,4 % 4.7b) Viscosidad

20

b

VTT

8,3exp1099,3 7

Se define

3

7

mkmol6E36,4

810123,747E99,31099,3

20VA

Aplicando la relación a un punto 0 y simplificando 3,8·Tb

kgg 1000

6E36,43E14,56E36,4

313293

0

0

TT

AA

3,27 g/m s 4.7 b) Diferencia 85 %


Por otro lado si se define K 14859,3908,38,3 bTB Aplicando la relación a un punto 0 y simplificando 3,99·10-7V20

00

11expTT

B

kgg 1000

2931

31311485exp24,5

3,79 g/m s 4.7 b) Diferencia 114 % 4.7c) Conductividad térmica

2 3

0 2 3

3 20 1

3 20 1

C

b

C

TT

k kT

T

32

32

0,56329312030,5633131203

K mW154,0

k

k 0,148 W/m K 4.7 c) Diferencia 0,6 % 4.7d) Difusividad másica, a dilución infinita

0

00

TD

ConstanteT

D BABBAB

Valores experimentales de la viscosidad del agua, B

B0 20 C 1,0065 g/m s B 40 C 0,6544 g/m s


22

μm 1000mm

15,29315,313

6544,00065,1

smm00088,0

ABD

D0

AB 0,00145 mm2/s 4.7 d) Diferencia 3,6 % Ejemplo 4.8 Electrolito Estime la difusividad másica a dilución infinita en agua, a 24 C para a) el ácido clorhídrico, b) sulfato de amonio. Valor experimental para el HCl en agua

D0AB 0,00280 mm2/s

Respuesta 4.8 4.8 a) Difusividad másica, a dilución infinita para el HCl

00

140

11

11

10931,8

nnTDAB

Parámetros, Reid et all (1975), para el HCl

Fórm. HCl

0 349,80 76,3

2

0

mmm 1000

3,7618,349111112,29714E931,8

ABD

D0

AB 0,00332 mm2/s 4.8a) Diferencia 19 %


4.8 b) Difusividad másica, a dilución infinita para el (NH4)2SO4

Parámetros, Reid et all (1975), para el H2SO4 Fórm. (NH4

)2SO4

0 73,40 80,0

mmm 1000

0,8014,73121112,29714E931,80

ABD

D0

AB 0,00104 mm2/s 4.8b) Ejemplo 4.9. Estimación con dos datos Estime, usando dos datos conocidos a sendas tempera-turas, las siguientes propiedades, a una temperatura dada. 4.9 a) Densidad del agua a 15 C, conociendo:

T, C , kg/m3 5 999,9637

25 997,0429 Valor experimental

15 C 999,0977 kg/m3 Forma sencilla

TBATCTBA 2 Suponiendo línea recta


5259637,9990429,997

12

12

TT

B

B 0,14604 kg/m3 C

514604,09637,99911 TBA A 1000,6939 kg/m3

1514604,06939,1000 998,5 kg/m3 4.9a) Diferencia -0,06 % Otra forma

72

1ln

CTTbaρ

TC 374,14 C

72

1

72

2

12

11

lnln

CC TT

TT

b

7272

29,64715.2781

29,64715,2981

9637,999ln0429,997ln

b

b 0,217511

72

11 1ln

CTT

bρa

72

15,37415,2781217511,09637,999ln

a

a 6,722454


72

15,37415,2881217511,0722454,6ln

ρ

998,5 kg/m3 4.9a) Diferencia -0,06% 4.9 b) Capacidad calorífica del agua a 15 C, cono-

ciendo:

T, C CP, kJ/kg K 5 4,2022 25 4,1796

Valor experimental

CP 15 C 4,1858 kJ/kg K Con la relación

2ln TDTCBTACP Suponiendo línea recta

TBACP

5252022,41796,4

12

12

TTCCB PP

B 0,00113 kJ/kg K2

500113,02022,411 TBCA P A 4,20785 kJ/kg K

1500113,020785,4 PC CP 4,191 kJ/kg K 4.9b) Diferencia 0,12 %


4.9 c) La viscosidad de la acetona a 30 C, conociendo

T, C , mg/m s 0 389

60 226 Valor experimental

30 C 292 mg/m s Con la relación

TBA exp

2731

3331

389226ln

11

ln

12

1

2

TT

B

B 823,6 K

273

6,823389lnln1

1 TBA

A 19,07 mg/m s

3036,823exp07,19

289 mg/m s 4.9 b) Diferencia -1,2 % 4.9d) Conductividad térmica del etanol a 60 C, cono-

ciendo

T, C k, W/m K 20 0,165 74 0,135


Valor experimental

k 60 C 0,142 W/m K Con la relación

TBAk

2074165,0135,0

12

12

TTkk

B

B -5,556 10-4 W/m K2

204E56,5165,011 TBkA A 0,1761 W/m K

604E556,51761,0 k k 0,143 W/m K 4.9 d) Diferencia 0,5 % 4.9e) La difusividad másica, a dilución infinita, del ácido

acético en acetona a 25 C, conociendo.

T, C DAB0, mm2/s

15 0,00292 40 0,00404

Valor experimental

k 25 C 0,00331 mm2/s Con la relación

mAB TAD 0

12

10

20

lnlnlnln

TTDD

m ABAB

288ln313ln00292,0ln00404,0ln

m 3,9021


9021,311

0 28800292,0 mAB TDA

A 7,373E-13

9021,31

0 29813E373,7 ABD D0

AB 0,00334 mm2/s 4.9 e) Diferencia 0,7 % 4.9f) La presión de vapor o de saturación del metil

estireno a 121,8 C, conociendo

T, C Psat, kPa 102,2 13,332 143,0 53,329

Valor experimental

Psat 121,8 C 26,664 kPa Con la relación

TBAPsat ln

4,3751

2,4161

332,13329,53ln

11

ln

12

1

2

TT

PP

B sat

sat

B 5307,4 K

4,3754,5307332,13lnln

11

TBPA sat

A 16,7300 lnPa

4,3944,53077300,16expsatP


Psat 26,89 kPa 4.9 f) Diferencia 0,9 % 4.9g) La tensión superficial del benzoato de etilo a 40

C, conociendo

T, C , mN/m 20 35,04 60 30,81

Valor experimental

40 C 32,92 mN/m Con la relación

nn

C

n

C BTA

TT

TT

0

0

1

1

Con n 1

TBA

206004,3581,30

12

12

TT

B

B 0,105 75 mN/m K

2010575,004,3511 TBA A 37,155 mN/m

4010575,0155,37 32,93 mN/m 4.9 g) Diferencia 0,02 %


Capítulo 5

BALANCES GLOBALES o MACROSCÓPICOS Mediante casos se propone ilustrar y ejercitar los conocimientos obtenidos con la teoría de las leyes de conservación. Se presentan los conocimientos comple-mentarios y necesarios, para su aplicación. Se realiza el análisis de procesos, en equipos típicos de la Ingeniería, de los cuales se espera, que al final de esta actividad, el participante conozca la descripción y funcio-namiento, desde el punto de vista de los Fenómenos de transporte, de los mismos. Debido a que el balance de masa, es objeto de estudio en los cursos previos a este, y que son requisitos, y que es indispensable para el balance de cantidad de movi-miento, energía y la masa de una sustancia en una mezcla, se practica al mismo tiempo que éstos y no por aparte. Aunque un entrenamiento previo en balance termodi-námico y análisis diferencial de procesos es muy útil para facilitar el desarrollo de los problemas, no es un requisito, si el estudiante está consciente de la necesidad de dominar los conceptos y técnicas relacionados con estos aspectos.

Capítulo 5. Balances globales 118 G. Chacón V.

5.1 BALANCE DE MASA TOTAL Ejemplo 5.1. Depósito horizontal Para un depósito cilíndrico colocado horizontalmente, conteniendo un aceite mineral, determine la relación entre la altura del líquido (a partir del fondo) y el tiempo que resta para vaciarse, por completo, por medio de una bomba que dosifica a razón constante, desde un orifico practicado en el fondo. Datos conocidos: D : diámetro del tanque 1,20 m L : longitud del tanque 10,0 m V : flujo extraído por la bomba 50 L/h 1,39 10-5 m3/s g.e : densidad relativa o gravedad específica 0,8674/4C Respuesta 5.1 Diagrama del volumen de control

Relaciones geométricas

cos22DDh

Dh

21cos

21

2

244sen

Dh

Dh

hV

D

D2


cossen4

2

LDV

Balance de masa

salida

sssentrada

eeeVC AvAvt

m

dd

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el líquido dentro del tanque - Densidad constante - Curvatura, de las caras, de las bases despreciable;

bases planas - El flujo de salida no depende de la altura del líquido

en el tanque - Geometría perfecta. En términos del volumen (del volumen de control) y del flujo volumétrico d

dV

Vt

Considerando la densidad constante V

tV

dd

Integrando

teCtVV Al inicio, el recipiente está lleno, Vt 0 (·D24) L,

tVLDV

4

2

Despejando el tiempo


VVL

VDt

4

2

Sea tr el tiempo que falta para que, el tanque, quede vacío

VVttt

VVVr

0

cossen4

2

V

LDtr

En términos de los valores del diámetro y la altura

Dh

VLDtr 21arccos

4

2

Dh

Dh

Dh 1212

Normalizando el resultado usando variables adimensio-les

rtLD

V

2

4

Dh

121221arccos

5.1 510592,2rt 6,3V En forma de cuadro

h/D h tr tr m h d:h:min

1,00 1,20 226,2 9:10:120,95 1,14 222,0 9:05:580,90 1,08 214,4 8:22:250,85 1,02 204,9 8:12:550,80 0,96 194,0 8:01:59


0,70 0,84 169,1 7:01:070,60 0,72 141,7 5:21:420,50 0,60 113,1 4:17:060,40 0,48 84,5 3:12:290,30 0,36 57,1 2:09:04

0,20 0,24 32,2 1:08:120,15 0,18 21,3 0:21:170,10 0,12 11,8 0:11:460,05 0,06 4,2 0:04:140,00 0,00 0,0 0:00:00

En forma gráfica

Ejemplo 5.2. Desalojo de un tanque por gravedad Para un flujo (máximo) de un fluido de 1 L/s determi-ne la altura en el estado estacionario, que alcanza el líquido almacenado en un tanque, vertical, de reserva (o de calma) de 2,5 m de diámetro, si se desaloja por gravedad a través de un orificio de 1” Céd 40. Evalúe el tiempo que dura en alcanzar dicha altura si origi-nalmente está vacío.

D

L


Nota: La velocidad de paso de un fluido a través de un orificio está regida por la ecuación de Torricelli

hgvs 2 Donde: h: diferencia entre las alturas del nivel del líquido

en el recipiente y del orificio vs: velocidad lineal, a la salida : coeficiente de pérdidas por fricción, 0,38 – 0,50 g: aceleración de la gravedad.

Datos conocidos: D : diámetro del tanque 2,5 m h : altura del líquido en el tanque ¿ ? V : flujo de entrada al tanque 0,001 m3/s g.e : densidad relativa o gravedad específica Ds : diámetro interno de la salida del tanque 0,0266 m Respuesta 5.2 Relaciones geométricas 2

4 ss DA hDV 24

Ecuación de Torricelli hgvs 2 Diagrama del volumen de control

h

D

vs Ds

V


Balance de masa

salida

sssentrada

eeeVC AvAvt

m

dd

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el líquido dentro del tanque - Densidad constante - Curvatura de la base despreciable, plana - La velocidad del fluido a la salida depende de la

altura del líquido con la relación dada - Geometría perfecta. En términos del volumen de fluido y de los flujos

ss AvVtV

dd Considerando la densidad constante y las relaciones para el área y de Torricelli.

hgDVt

hDs

24d

4d

2

2

Arreglando hg

DDV

Dth s

24d

d2

2

2

Sea gD

Vhs

24

2

g

DDa s 22

2

hahath

dd

Resolviendo, con 0h a 0t

th

ahh

hh

21ln


En el estado estacionario t hh

gD

Vhs

24

2

Sustituyendo valores

22

3

m/s 80665,938,02

1m 0266,0

/sm 001,04

h

21m 6591,0h La altura para un flujo de 1 L/s es h 0,5 m 5.2 Despejando el tiempo

hh

hh

ah

t 1ln2

22

m/s 80665,938,025,2

0266,0

a

/sm 10 091,3 21-4a Para el estado estacionario (0,99h)

s 1000

ks99,01ln99,0s m

m4E091,343,099,02

21

21

EEt

El tiempo para alcanzar el estado estacionario es tEE 18,3 ks tEE 5 h : 5 min 5.2


Ejemplo 5.3. Perfiles de velocidad En un experimento se mide la velocidad del líquido, que fluye a través de un conducto circular en estado estacio-nario; la medición se efectuó en el centro del conducto, a la entrada y salida, con un tubo de Pitot. Se considera que a la entrada el perfil de velocidad es parabólico (flujo en régimen laminar) y a la salida es del tipo de la poten-cia de Prandtl (flujo en régimen turbulento). Determine el parámetro del modelo de la potencia, n. Datos conocidos:

Modelo parabólico Modelo de la potencia

2

1Rrvv máx

n

máx Wwuu

1

1

R : radio a la entrada del conducto 440 51,1 mm vmáx: velocidad en el centro del conducto a la entrada 300,5 mm/s W: radio a la salida del conducto ¾40 10,5 mm umáx: velocidad en el centro del conducto a la salida 0,440,005 m/s Respuesta 5.3 Diagrama del volumen de control

R

r w

u W

v


Balance de masa

salida

sssentrada

eeeVC AvAvt

m

dd

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el líquido dentro del conducto - Flujo incompresible - Flujo en estado estacionario - Perfiles de velocidad completamente desarrollados - Desviaciones, “errores”, por las mediciones, las

debidas al proceso y del modelo despreciables - Geometría perfecta. Como la velocidad es variable con el radio, a la entrada

R

máxee rrRrvAv

0

2

d21

Rr

rmáxee R

rrvAv

0

2

42

422

máxee vRAv 2

2

A la salida

1

01 2 d

nW

s s máxwv A u w wW

1 12 1

2 2

0

1 12

1 1 1 12 1

w W

n n

s s máx

w

w wW Wv A u

n W n W


2

222

1 3 2s s máxnv A W un n

Sustituyendo en el balance de masa, con constante

d1 0d

VCe e s s

m v A v At

Con lo que

2

222

2312

20

nnnuWvR máxmáx

Despejando para n

2

2 42131RW

vu

nn máx

máx

Resolviendo

224931

n


477,2mm 1,15mm 5,10

mm/s 30mm/s 4404

2

1514,02

477,224931

n

Con lo que el factor del modelo de la potencia es n 7 (6,606) 5.3


5.2 BALANCE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Ejemplo 5.4. Sistema Fijo Un conducto, cilíndrico inclinado con una reducción, que se muestra en la figura, transporta un fluido. Evalúe la fuerza que ejerce el líquido sobre el conducto. Datos conocidos: V : flujo volumétrico, gasto o carga 2,5 L/s g.e: gravedad especifica o densidad relativa del fluido 0,8825/4C A la entrada (1) del conducto: D1: diámetro interno 54 mm v1: velocidad del fluido ¿? P1: presión absoluta 500 kPaabs T1: temperatura 26 C L1: longitud del conducto 2,5 m 1: ángulo del conducto 53º 1: coeficiente de fricción 0,0042 A la salida (2) del conducto: D2: diámetro interno 19 mm v: velocidad del fluido ¿? m/s P2: presión manométrica 310 kPaman T2: temperatura ¿? L2: longitud del conducto 6 m 2: ángulo del conducto 15º 2: coeficiente de fricción 0,0028 PAtm: presión atmosférica 93 kPa Pérdidas de esfuerzo en la contracción

ss

eC v

vvVB

1,2

102,0

Pérdidas de esfuerzo por la fricción 2vAC


Diagrama del volumen de control

Respuesta 5.4 Balance de masa

salida

sssentrada

eeeVC AvAvt

m

dd

Balance de cantidad de movimiento

entradaeeeeee

VC APAvvtvm

d

d

salida

ssssss APAvv

EXTERNASVCAC FgmA

v1 P1

v2 P2

D1

1

2

L1

L2 D2

w v

y

x

P Pw

Fy

Fx

w

v P

Pw

m2g m1g


Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el líquido dentro del sistema

de tuberías - Flujo incompresible (densidad constante) Constante se - Flujo de masa en estado estacionario

0d

d

tmVC

- Volumen de control fijo 0VCv - Pérdidas de fuerza por fricción y contracción, las

indicadas - Geometría perfecta - La variación de la velocidad con el radio (perfil) es

despreciable. vv El balance de masa se expresa

2221110 AvAv El balance de cantidad de movimiento x: xxxx APAPvAvvAv 2211222211110 1 1 2 2AC x AC x x VC x Cx xA A m g B F y: yyyy APAPvAvvAv 2211222211110

1 1 2 2AC y AC y VC y Cy yA A m g B F Sustituyendo y arreglando, con la densidad constante

2211 AvAvV

2211 coscos vvVFx

222111 coscos APAP

222

22112

11 coscos ACAC AvAv


2

1,2

2

1102,0 vvvV

2211 sensen vvVFy

1 1 1 2 2 2sen senP A P A

222

22112

11 sensen ACAC AvAv gLALA 2211 Sustituyendo valores, Velocidad

2

3

211

1 m 0,0544

L 0001m 1

sL 5,24

D

VAVv

m/s 09,11 v

23

222

2 m 0,0194

L 0001m 1

sL 5,24

D

VAVv

m/s 82,82 v

Nota SI: Para dar el resultado, hay que seguir las normas SI de unidades, que es diferente de la costumbre seguida para hacer los cálculos y análisis de unidades (dimensiones). Cantidad de movimiento

L 0001m 1

sL 5,2

mkg 972,99988,0

3

3xF

15cos

s m82,853cos

s m 09,1

53cosm 0,054kPa 93500 2


15cosm 0,019kPa 103 2

kPa 1N/m 1000

4

2

2

3 sm 09,1

mkg972,99988,00042,0

53cosm 2,5m 0,054

2

3 sm 82,8

mkg972,99988,00028,0

15cosm 6,0m 0,019

L 0001m 1

sL 5,2

mkg 972,99988,002,0

3

3

sm82,8

sm82,8

sm09,1

1

1,2

294,026,66124,11,47629,17 xF

N 388xF

Nota: obsérvese los valores relativos de cada término, que dependen de la velocidad y el área.

L 0001m 1

sL 5,2

mkg 972,99988,0

3

3yF

15sen

s m82,853sen

s m 09,1

53senm 0,054kPa 93500 2


15senm 0,019kPa 103 2

kPa 1N/m 1000

4

2

2

3 sm 09,1

mkg972,99988,00042,0

53senm 2,5m 0,054

2

3 sm 82,8

mkg972,99988,00028,0

15senm 6,0m 0,019

m 2,5m 0,054

4mkg 972,99988,0 2

3

22 m/s 9,80665m 6,0m 0,019

09,6475,17492,12,767938,6 yF

N 726yF La fuerza que ejerce el líquido sobre el sistema es ˆ ˆ388 726 Nx yF e e 5.4 Ejemplo 5.5. Sistema Fijo Para un separador al que entra un líquido y tiene dos salidas, una de ellas vapor (gas), como se muestra en la figura, determine la fuerza necesaria para mantenerlo fijo. Considere que las variaciones de la presión dentro del sistema son despreciables.


Datos conocidos:

VQ : flujo volumétrico, gasto o carga 0,5 m3/s VL: volumen de líquido dentro del volumen de control 5 m3

PAtm: presión atmosférica 87 kPa A la entrada (1) del sistema: D1: diámetro 635 mm v1: velocidad del fluido ¿? P1: presión 100 kPaabs T1: temperatura 18 C 1: ángulo del conducto 0 º 1: densidad del fluido 1,123 Mg/m3 A la salida (2) del sistema, líquido concentrado: D2: diámetro 254 mm v2: velocidad del fluido 4,5 m/s P2: presión de vacío 5,31 kPaman T2: temperatura 133 C 2: ángulo del conducto 30 º 1: densidad del fluido 1,327 Mg/m3 A la salida (3) del sistema, vapor: D3: diámetro 1,829 m v3: velocidad del fluido ¿? P3: presión de vacío 5,28 kPaman T3: temperatura 132 C 3: ángulo del conducto 45 º 3: densidad del fluido 1,598 kg/m3 Respuesta 5.5

salida

sssentrada

eeeVC AvAvt

m

dd


entradaeeeeee

VC APAvvtvm

d

d


salida

ssssss APAvv

EXTERNASVCAC FgmA


Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el fluido dentro del recipiente

evaporador - Flujo de masa en estado estacionario

- 0d

d

tmVC

- Volumen de control fijo 0VCv - Pérdidas de fuerza por fricción despreciables 0ˆ - La variación de la velocidad con el radio (perfil) es

despreciable vv - Efectos de presión interna, cabeza hidráulica, des-

preciables - Geometría perfecta.

v1 D1 P1 1

v2 D2 P2 2

v3 D3 P3 3

1

3

2

VL


El balance de masa se expresa

3332221110 AvAvAv

321 mmm El balance de fuerza cantidad de movimiento en x xx APvAv 1111110 xx APvAv 222222 xxx FAPvAv 333233

333222 coscos vmvmFx

22211 cosAPvm 11333 cos APAP El balance de fuerza cantidad de movimiento en y yy APvAv 1111110

yy APvAv 222222

yVCyy FgmAPvAv 333233

333222 sensen vmvmFy

gVAPAP L 2333222 sensen Sustituyendo valores A la entrada (1)

sQAvm

3

311111m 5,0

mkg1123

kg/s 5621 m

4m 0,6354 2211 DA

21 m 0,3167A

2

3

11 m 3167,0

1sm 5,0

AQv


m/s 58,11 v A la salida (2)

m/s 5,42 v

4m 0,2544 2222 DA

22 m 0507,0A

2

32222 m 0507,0m 5,4m

kg 1327 s

Avm

kg/s 3032 m A la salida (3)

ssmmm kg 303 kg 562 213

kg/s 592 3 m

4m 1,8294 2233 DA

23 m 6273,2A

2

3

33

33 m 6273,2

1g 598,1

ms

kg 259

A

mv

m/s 7,613 v Fuerza cantidad de movimiento

45cos

sm 7,61

skg 592 30cos

sm 5,4

skg 033

xF

2m 30cos0507,0Pa )5310(s

m 58,1s

kg 625

2m 45cos62732Pa )5280( ,

22

m/s kg 1000kN m 3167,0Pa 13000


kN 6,2xF

45sen

sm 7,61

skg 59230sen

sm 5,4

skg 033

yF

Pa) 5280( m 30sen0507,0Pa) 5310( 2

2

33

2

sm 80665,9m 5

mkg 7213m 45sen62732,

2m/s kg 1000kN

kN 0,66yF

La fuerza necesaria para mantener el separador fijo es kN ˆ0,66 ˆ6,2 yx eeF 5.5 Ejemplo 5.6. Álabe fijo Un carrito en forma de álabe, recibe un chorro de aceite, desde una tobera estacionaria horizontal. Evalúe el ángulo de salida del flujo del fluido, del álabe, para que comience a moverse. Datos conocidos: V : flujo volumétrico, gasto o carga g.e: gravedad especifica o densidad relativa del fluido 0,79520/4 C v: velocidad del fluido a la salida de la tobera 32 m/s A: área de salida de la tobera que suministra el fluido al álabe 0,023 m2 : ángulo de salida del fluido, del álabe ¿? : coeficiente de fricción estático 0,15 MC: masa del carrito 85 kg PAtm: presión atmosférica 89 kPa




salida

sssentrada

eeeVC AvAvt

m

dd


dd

VCe e e e e e

entrada

mvv v A P A

t

s s s s s ssalida

v v A P A


Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el líquido dentro del álabe - Flujo incompresible (densidad constante) Constante se - Volumen de control fijo 0VCv

Ry

vC

1

2 v A P

x F WC

v1 A1 P1

v2 A2 P2

y


- Flujo de masa en estado estacionario

0d

d

tmVC

- Geometría perfecta - La variación de la velocidad con el radio (perfil) es

despreciable. vv - Fuerzas netas debidas a la presión, despreciables 0 atmsatme PPPP - Efecto de la presión, cabeza hidrostática interna,

despreciable 0 se zzg

y fuerzas de fricción dentro del fluido y entre el fluido y la pared, despreciables 0AC

- La fuerza de fricción entre el carrito y la placa, se representa por

xy FRF - La masa del fluido en el álabe es despreciable CCVC MMm - El movimiento sobre la placa es horizontal 0xg gg y - La reacción del piso es yCy FgMR - Los efectos de entrada y salida son despreciables. Nota: el signo , en todos estos casos, es una aproximación, aceptable para los cálculos de ingeniería; especialmente, en diseño, simulación, predicción y proyección de procesos. El balance de masa se expresa

2221110 AvAv

222111 AvAvAv Si vvv 21 entonces AAA 21


El balance de fuerza cantidad de movimiento en x

xxx vAvAPvAv 22221111110 xx FAP 22

1122 coscos vAvvAvFx

yx RAvF 1cos2 El balance de fuerza cantidad de movimiento en y yyy vAvAPvAv 22221111110

yyVCy FgmAP 22

sen2 AvFy Considerando que

sen2 AvgMFWR CyCy Sustituyendo este resultado en el balance de fuerzas en x y arreglando

01sencos2 gMAv C Arreglando para resolver para

AvgM C

21sencos


kg 85kg 998795,0

m15,01sen15,0cos3

22

2

m 023,01m 9,81

m 32s

s

sen15,099331,0cos

Resolviendo para 0º 90º e iniciando con 45º, se obtiene el ángulo de salida del flujo del fluido, del álabe, para que comience a moverse es º3,19 5.6


Ejemplo 5.7. Álabe en reposo Un recipiente se encuentra fijo en un carro, el nivel del agua en él, se mantiene constante, mediante una tubería vertical. El agua sale del tanque a través de una tobera y el chorro, lo recibe un álabe, también montado en el carro. Determine a) la tensión en el cable que mantiene el carro en reposo y b) la fuerza que el álabe ejerce sobre el carro. Datos conocidos: v: velocidad del fluido a la salida del tanque 10 m/s A: área de salida de la tobera que suministra el fluido al álabe 600 mm2 : ángulo de salida del fluido, del álabe 60 º PAtm: presión atmosférica 95 kPa Diagrama del volumen de control

Ry

v A P

W

v1 A1 P1

x

y T

Volumen de control a) Volumen de control b)

V0 A0 P0

1

2

v2 A2 P2



salida

sssentrada

eeeVC AvAvt

m

dd


dd

VCe e e e e e

entrada

mvv v A P A

t

s s s s s ssalida

v v A P A


Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Flujo incompresible (densidad constante) Constante se - Flujo de masa en estado estacionario

0d

d

tmVC

- Volumen de control fijo 0VCv - Geometría perfecta - La variación de la velocidad con el radio (perfil) es

despreciable vv - Fuerzas netas debidas a la presión, despreciables 0 atmsatme PPPP - Efecto de la presión, cabeza hidrostática interna,


y fuerzas de fricción dentro del fluido y entre el fluido y la pared, despreciables

0AC


- La masa del fluido en el álabe es despreciable 0VCm - El movimiento sobre el piso es horizontal 0xg gg y - Los efectos de entrada y salida son despreciables. Respuesta 5.7 a) - Volumen de control: el líquido dentro del tanque y

el álabe. El balance de masa se expresa

2220000 AvAv 222000 AvAvAv El balance de fuerza cantidad de movimiento en x

xxxxx FAPvAvAPvAv 2222220000000

22 cos vAvFx 2 cosxF v A T Sustituyendo valores

º 60cosm 4E6sm 10

mkg 998 2

2

3

T

La tensión en el cable, que mantiene el carro en reposo, es N 30T 5.7 a)


Respuesta 5.7 b) - Volumen de control: el líquido dentro del álabe. El balance de masa se expresa

2221110 AvAv 222111 AvAvAv El balance de fuerza cantidad de movimiento en x xx APvAv 1111110 xxx FAPvAv 222222

1122 coscos vAvvAvFx 2 cos 1x xF v A R Sustituyendo valores

º 60cos1m 4E6sm 10

mkg 998 2

2

3

xF

N 30xF El balance de fuerza cantidad de movimiento en y yy APvAv 1111110

yyVCyy FgmAPvAv 222222 yy RAvF sen2 Sustituyendo valores

º 60senm 4E6sm 10

mkg 998 2

2

3

yF

N 52yF La fuerza que el álabe ejerce sobre el carro es ˆ ˆ30 52 Nx yF e e

5.7 b)


Ejemplo 5.8. Sistema de velocidad constante Sobre un álabe, que forma parte de una máquina hidráu-lica, incide un chorro en dirección horizontal y tangente a su punto inferior, que proviene de una boquilla. El álabe se mueve con una velocidad constante en dirección horizontal. Evalúe la velocidad del álabe que maximiza la potencia del mismo. Datos conocidos: v: velocidad del fluido a la salida de la boquilla 27 m/s D: diámetro de la salida de la boquilla 52 mm : ángulo de salida del fluido, del álabe 153 º PAtm: presión atmosférica 89 kPa U: velocidad del álabe ¿? m/s FR: resistencia del mecanismo al movimiento

91,0

584

U

FR N


1

v A P

FRR v1 A1 P1

v2 A2 P2

y

x

2

U



salida

sssentrada

eeeVC AvAvt

m

dd


dd

VCe e e e e e

entrada

mvv v A P A

t

s s s s s ssalida

v v A P A


Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el líquido dentro del álabe - Flujo incompresible (densidad constante) Constante se - Flujo de masa en estado estacionario

0d

d

tmVC

- Volumen de control inercial 0VCv Uvve

- Pérdidas de fuerza por fricción y otros se repre-sentan por FR

- Geometría perfecta - Fuerzas netas debidas a la presión, despreciables 0 atmsatme PPPP - Efecto de la presión, cabeza hidrostática interna,



0AC


con lo que vvv se - La masa del fluido en el álabe es despreciable 0VCm - El movimiento es horizontal 0xg gg y - Los efectos de entrada y salida son despreciables. El balance de masa se expresa

2221110 AvAv 222111 AvAvAv Por el concepto de volumen de control inercial

Uvvv 21 El balance de fuerza cantidad de movimiento en x

xx APvAv 1111110 Rxxx FFAPvAv 222222

UvAUvFx

91,0

584cos

U

UvAUv

91,0

5841cos2

UAUvFx

Potencia del álabe

UFW x El valor de la velocidad del álabe que da el máximo de potencia, se obtiene con

0

UF

UFUW x

x


Sustituyendo las respectivas variables

91,0

5841cos0 2

UAUv

291,0

5841cos12

U

UAUvU

Arreglando

391,0cos1391,0584

3 2

vUUvA

vU


º 135cos11

m 052,0mkg9983

smN 91,0584

3sm27

23

U

2

2

sm91,0

sm27

1

UU

291,02778,449

UU

U , m/s

Resolviendo, con el valor de prueba inicial de 9 m/s, el valor de la velocidad del álabe que maximiza su poten-cia es m/s 0,9U 5.8 Nota: Uv 3

máxima Potencia


Ejemplo 5.9. Álabe con aceleración constante Un álabe se desplaza movido por un flujo de agua con velocidad constante; que incide horizontalmente, en la parte inferior del álabe y sale por la parte superior desviado un ángulo dado. El área de la boquilla de suministro es variable, con el propósito de mantener el sistema con aceleración constante, al inicio está comple-tamente abierta. Obtenga el valor del área con relación al tiempo y el tiempo requerido, desde el inicio, hasta que la boquilla quede cerrada; considerando las fricciones entre los diferentes materiales del sistema y las fuerzas reactivas insignificantes. Datos conocidos: v : velocidad del fluido a la salida de la tobera ¿? A A(t): área de salida de la boguilla que suministra el fluido al álabe ¿? A0 área mayor de la salida de la boguilla 0,001 m2 : ángulo de salida del fluido, del álabe 120 º ac : aceleración del álabe 2,5 m/s2 mc : masa del álabe 5 kg PAtm: presión atmosférica 85 kPa Respuesta 5.9 Balance de masa

salida

sssentrada

eeeVC AvAvt

m

dd


dd

VCe e e e e e

entrada

mvv v A P A

t

s s s s s ssalida

v v A P A




Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el líquido dentro del álabe - Flujo incompresible (densidad constante) Constante se - Flujo de masa en estado estacionario

d

0d

VCmt

- Volumen de control inercial 0VCv ce vvv

- Pérdidas de fuerza por fricción y otros se repre-

sentan por FR - Geometría perfecta - Fuerzas netas debidas a la presión, despreciables 0 atmsatme PPPP - Efecto de la presión, cabeza hidrostática interna,



0AC con lo que vvv se

vc

1

v A P

ac v1 A1 P1

v2 A2 P2

y

x

2


- La masa del fluido en el álabe es despreciable VCcc mmm - El movimiento es horizontal 0xg ggy - La aceleración del volumen de control es constante Constante ccR amFF - Las fuerzas resistivas y de fricción, despreciables cc amF tav cc - Los efectos de entrada y salida son despreciables. El flujo de masa que sale de la boquilla es constante (estado estacionario)

000 AvAv

00 A

vv

A

El balance de masa es

2221110 AvAv 222111 AvAv Por el concepto de volumen de control inercial

cvvvv 21 El balance de fuerza cantidad de movimiento en x

xxx vAvAPvAv 22221111110 xx FAP 22

cosccccx vvAvvvvAvvF cc am

cos12 Avvam ccc Valor de la velocidad inicial a 0t 0vv 0cv


cos100

Aamv cc

Despejando v, con el balance de cantidad de movimiento y el área, A.

ccc amvAvvv

cos1002

Con el valor de la velocidad inicial, v0 y la velocidad del álabe, vc

vvvv

Aamvv cc

c

000

2

cos1

vvtav c 0

2 Queda que

02 20

2 tavvtav cc Resolviendo

41

21

000

0

vta

vta

vv

AA cc 5.9 a)

Nota: Sólo el signo positivo tiene sentido físico. El valor de la velocidad inicial es

º 120cos1m 001,0

mkg998

sm 5,2kg 5 2

320v

m/s 9,20 v El tiempo que dura en cerrarse la válvula de entrada

A 0, t Considerando un 1 % de aproximación, con t T , para

001,0 AA


41

sm9,2

sm5,2

21

sm9,2

sm5,2

10022

0TT

AA

010025,0865,05,0865,0 5,0 TT Resolviendo s 44:min 1s 1040

0

01,0

AA

AAtT 5.9 b)

Ejemplo 5.10. Sistema con aceleración constante y

masa variable Un carro cisterna abierto, se desplaza sobre una pista horizontal, con resistencia despreciable. El carro se impulsa con aceleración constante desde el reposo, mediante un chorro de líquido. El fluido incide en el recipiente desde un orificio de área A con velocidad V, constante, formando un ángulo con la horizontal. El tanque (sin líquido) tiene una masa de M0. Obtenga una expresión general para la razón de la velocidad del carro, U, con referencia a la del chorro, como función del tiempo. Datos conocidos: v V velocidad del fluido a la entrada del tanque A : área de salida de la tobera que suministra el fluido al tanque : ángulo de salida del fluido : densidad del fluido M0 : masa del tanque vacío PAtm: presión atmosférica


Variables intermedias aC: aceleración del carro M: masa del sistema carro fluido Variable incógnita vC U U(t): velocidad del carro Diagrama del volumen de control


salida

sssentrada

eeeVC AvAvt

m

dd


dd

VCe e e e e e

entrada

mvv v A P A

t

s s s s s ssalida

v v A P A


x

y

Fx

vc

v A P M


Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el líquido dentro del tanque - Flujo incompresible (densidad constante) Constante se - Flujo de masa a la entrada uniforme (constante) Constantev V - Volumen de control inercial 0VCv UVve - Geometría perfecta - Fuerzas netas debidas a la presión, despreciables 0 atmsatme PPPP - Efecto de la presión, cabeza hidrostática interna,



0AC - El movimiento sobre el piso es horizontal 0xg gg y - Las fuerzas de fricción entre el carro y la pista son despreciables 0F - Los efectos de entrada son despreciables. - La aceleración del carro es constante Constante cR aMFF - Las fuerzas resistivas y de fricción, despreciables caMF El balance de masa se expresa

111dd AvAv

tM

ee

UVAt

M

dd



xxxx FAPvAvAP 221111110

ceeeex aMvAvF cos

cosUVAUVaM c Sustituyendo, con la definición de aceleración del carro

cosdd 2UVA

tUMaM c

Sustituyendo el balance de masa

cosd

ddd

tMUV

tUM

Simplificando

MUVUM dcosd Arreglando y separando variables

MM

UVU d

cosd

Integrando

1lnlnlncos

1 CMUV

Con la condición inicial, a t 0, U 0 y M M0, se evalúa la constante C1, y se obtiene

cos

0

UVV

MM

Sustituyendo la masa, M, en la ecuación del balance de cantidad de movimiento


cosdd 2

cos

0 UVAt

UUV

VMaM c

Separando variables

t

VMA

UVU dcosd

cos0

cos2

Integrando

2cos0

cos1cos1

cos11 Ct

VMA

UV

Con la condición inicial, a t 0, U 0 se evalúa la constante C2, resultando

tVM

AVUV

cos

0cos1cos1

cos11cos11

Despejando para UV

cos1

1

0

cos1cos11

t

MVA

VU

5.10

Nota: Con el valor del ángulo 0 se obtiene un máximo para la velocidad U.

21

0

211

t

MVA

VU


Ejemplo 5.11. Flujo externo sobre un cuerpo esférico Se desea obtener la fuerza de arrastre que ejerce el aire sobre un cuerpo esférico, de diámetro D, expresada como un coeficiente de arrastre CD,

AvFC D

D

FD: fuerza de arrastre sobre el cuerpo v: velocidad, del fluido, característica o promedio A: área proyectada por el cuerpo : densidad del fluido

Considere, como condiciones del modelo, para interpre-tar los datos experimentales, que el flujo entra al túnel con un perfil de velocidad uniforme y sale con uno parabólico (sinusoidal), con amplitud a k·D,

aruu

2senmax

ar 0

vvu ra Para dos modelos: a) que la velocidad máxima del fluido a la salida es igual que la velocidad promedio con una caída de presión despreciable y b) que existe una caída de presión, entre la entrada y la salida, de tal forma que la velocidad máxima a la salida es diferente de la velocidad promedio; ambos casos se consideran como procesos isotérmicos. a) vvuu max 0P b) vuu max LhP Datos observados (conocidos): v1: velocidad del fluido a la entrada del túnel m/s 5,421 vvv k: coeficiente de amplitud de la velocidad a la salida 3 hL: diferencia de presión entre la entrada y la salida 42 mmH2O


D: diámetro de la esfera 25 mm T: Temperatura del sistema 25 C Diagrama del volumen de control


salida

sssentrada

eeeVC AvAvt

m

dd


dd

VCe e e e e e

entrada

mvv v A P A

t

s s s s s ssalida

v v A P A


Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el gas dentro del conducto - Flujo incompresible (densidad constante) Constante se

y

x

v1 v2u

r

a

v3

v4

D



0d

d

tmVC

- Volumen de control fijo 0VCv - Geometría perfecta - Fuerzas netas debidas a la presión, despreciables 0 atmsatme PPPP - Efecto de la presión, cabeza hidrostática interna,



0AC con lo que vve ; aunque, con el cuerpo si son apreciables y representadas por FD

- Perfil de salida según modelo - El movimiento es horizontal 0xg gg y - Los efectos de entrada y salida son despreciables. El balance de masa es

444333222111 d0 AvAvAvAv Definiendo 44433343 AvAvm

430 max2 d2

2sen0

mrr

aruav

a

Integrando

max432 2 umav

a

arra

ara

0

2

2cos2

2sen2


Sustituyendo las condiciones de contorno

2max43

2 8 aumav


xxxx APvAvAPvAv 222222111111 d0

xxxxx FAPvAvAPvAv 444444333333

22 avFx

arr

aru

0

22max d2

2sen

2124433 aPPvmvm

Integrando, con xD FF

a

arr

ruavFD

24

2sen

42

22max

22

2124433

0

2

28

2cos

aPPvmvm

a

ar

a

Efectuando operaciones y simplificando

22

max22 2

2auavFD

2124433 aPPvmvm


Respuesta 5.11a) Caso de P 0 Otras consideraciones del modelo 12 PP ; vuu max ; vvv xx 43 Sustituyendo

243

8 avm

La fuerza de arrastre sobre el cuerpo es

2222 2

2avavFD

22 8 av

Simplificando

216

222

avFD

si 22

4DvCF DD

Con lo que

22

2 4317,01122 kkCD

5.11a) 9,3DC Respuesta 5.11b) Caso de P 0 Otras consideraciones del modelo LhgPP OH21 2

: vu max

yy vv 43 : 043 m


Sustituyendo

08 2max

243 auavm

De donde

vu8

2

max

La fuerza de arrastre sobre el cuerpo es

22

222

82

2avavFD

212 aPP

Simplificando

212

22

1643 aPPvFD

22

4DvCF DD

Con lo que

212

222 4

43 PP

vkkCD

433

22

DC

m 042,0sm81.9

mkg997

sm5,42

mkg18,1

34232

3

2

7,11DC 5.11b)


5.3 BALANCE DE ENERGÍA 5.3.1 Balance de energía mecánica Ejemplo 5.12. Ecuación de Torricelli Un depósito en forma de cono invertido, de 3 m de alto por 3 m de diámetro, contiene un líquido que se desaloja por gravedad, a través de un orifico practicado en el fondo, que tiene 20 mm de diámetro. Demuestre que, si se desprecian los efectos de fricción y de salida, la velocidad de salida se puede evaluar por

hgvs 2 Donde: vs: velocidad de salida h: altura del líquido (diferencia entre el nivel superior del

líquido y el correspondiente a la salida) g: aceleración gravitacional

Determine el tiempo de vertido del líquido contenido en el tanque si el nivel inicial es de 3 m. Datos conocidos: H : Altura del tanque 3 m D : diámetro del tanque 3 m g : aceleración gravitacional 9,82 m/s PAtm : presión atmosférica 97 kPa Ds : diámetro del orificio de salida 0,02 m Variables h : nivel del líquido dentro del tanque vs : velocidad del fluido a la salida del tanque t : tiempo transcurrido Respuesta 5.12 Balance de masa

salida

sssentrada

eeeVC AvAvt

m

dd


Balance de energía

212d

dVC

VC VC

m u v gzQ W

t

2

2ee


vPv A u gz

2

2ss


vPv A u gz

f VC OTRASACv A H m G E

Geometría

D

rzz

H

2; zz

zDzrV

H

d4

dd 22

2


Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el líquido dentro del tanque - Flujo incompresible (densidad constante) Constante s - Volumen de control fijo 0VCv

H h

zH

z

zs z0 0

D

r


- Proceso isotérmico Cte.T Cte.u

0d

d

tu VC 0Q 0G 0OTRASE

- Pérdidas de fuerza por fricción despreciables - La variación de la velocidad con el radio (perfil) es

despreciable vv 1 - Trabajo de mover las frontera del sistema

tzAPvFW zz d

dd

Nota: de Termodinámica

VPW d :

VPt

límWt

dδδ

0δ

- La presión externa al sistema se mantiene constante Constante atmexternase PPPP El balance de masa se expresa

sssVC Av

tV

dd

Sustituyendo y arreglando, en términos de los diámetros, con la densidad constante

222

4d

4dd

ss

z

zH

DvzzzD

t s

Realizando operaciones y simplificando

sHs vz

DD

tzz

22

dd

El balance de energía

VCVC

VCVC

VC zgVtt

uV

tV

u

dd

dd

dd

VC

ss

s

atmssss t

zAPgzvP

uAv

d

dd2

2


Sustituyendo las relaciones geométricas (V Vh Vs), se tiene

22d d d

d d 4s

z

zHVC

V Du g z z zt t z

s

atmssssss

PAvuAv

t

VPzg

vDv VC

atmss

ss dd

24

22

Simplificando

s

ssH

s zgv

vzDD

tzzg

2dd

223


s

ssH

ssH

s zgv

vzDDvz

DDzg

2

222

Arreglando

2

2s

s

vg z g z

Con lo que hgzzgv ss 22 Ecuación de Torricelli

Tiempo de vertido Sustituyendo este resultado en el balance de masa

sHs zzgz

DD

tzz

2

dd 2

2


Con las aproximaciones szzz y HzH

tgHDD

zz s d2d2

23

Integrando CtetgHDD

z s

21

225 2

52

Evaluando la constante con las condiciones de contorno

Cuando 0t Hzz H 25

52 HCte

Sustituyendo

5221225

25

tgH

DD

Hz s

El tiempo de vertido, , es cuando 0 szz

szztt

221

25 251

HDD

gH

s

Simplificando

gH

DD

s

251

2

Con los datos del caso

s 1000

ks 1m/s 80665,9

m 32m 0,02

m 351

2

2

s 04 :min 58ks 52,3 5.12


Ejemplo 5.13. Sifón Un depósito cilíndrico de 3 m de diámetro, se descarga mediante un sifón, que está formado por un tubo de 25 mm de diámetro. Al inicio, el nivel alcanza 3 m arriba de la salida del sifón y 1,5 m abajo de la curvatura del mismo. Considerando que las pérdidas de energía equivalen a 1,63 veces la energía cinética del flujo en el sifón, exprese el gasto y el nivel, en términos del tiempo, así como, calcule la presión en la curvatura del sifón (presión de sifón). Respuesta 5.13 Diagrama del volumen de control

Datos conocidos: H: altura del líquido en el tanque (t 0) 3 m D1: diámetro del tanque 3 m g: aceleración gravitacional 9,81 m/s2 PAtm: presión atmosférica 100 kPa

0

z1 – z0

v0 P0 z0

v1 P1 z1

z2 – z0

1

2

v2 P2 z2

vs Ps zs

S


D0: diámetro del tubo, del sifón 0,025 m h: altura del sifón 4,5 m k: coeficiente de pérdidas de energía en el sifón 1,63 Variables vs: velocidad del fluido a la salida del tanque t: tiempo transcurrido z: nivel instantáneo del líquido en el sistema tanque sifón Balance de masa

salida

sssentrada

eeeVC AvAvt

m

dd

Balance de energía

212d

dVC

VC VC

m u v gzQ W

t

2

2ee


vPv A u gz

2

2ss


vPv A u gz

f VC OTRASACv A H m G E

Geometría del volumen del líquido en el tanque 4dd 2

1 zDV Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el líquido dentro del tanque y

el sifón - Sifón lleno de líquido y el flujo, dentro de él, en

estado estacionario - Flujo incompresible (densidad constante) Constante s


- Volumen de control fijo 0VCv - Proceso isotérmico Cte.T Cte.u 0Q 0G 0OTRASE

- Pérdidas de energía por fricción 220vkH f

- La variación de la velocidad con el radio (perfil) es despreciable vv 1

- Trabajo de mover las frontera del sistema

tzAPvFW zz d

dd

- La presión externa al sistema se mantiene cons-tante

Constante atmexternase PPPP El balance de masa en el tanque, se expresa como

sssVC Av

tV

dd

El balance de masa en el tubo de sifón

0000 AvAv sss Sustituyendo y arreglando, en términos de los diámetros,

200

21 4

d4d

d DvzDt

z

zs

Realizando operaciones y simplificando

0

2

1

0

dd v

DD

tz


2

000 0 0 0

0

dd 2VC

vPV g z v A g zt

2

00 0 0 1

dd2 d VC

v zv A k P At


Sustituyendo las relaciones geométricas se tiene, con atmexterna PPPP 21

tV

PP

AvzgzDt

VCatm

atmz

zs dd

d4d

d00

21

224

20

0

202

00

vkzg

vDv

Simplificando

0

202

002

1 21

dd zg

vkDv

tzzgD


0

202

000

2

1

021 2

1 zgv

kDvvDD

zgD

Simplificando

0

20

21 zg

vkzg

Con lo que

00 12 zzg

kv

Que es la ecuación de Torricelli, modificada con pérdidas por fricción

Nivel en el tanque Utilizando este resultado en el balance de masa, con z0 0

zgkD

Dtz

12

dd

2

1

0


Separando variables

tkg

DD

zz d12d

2

1

021

Integrando

Ctetkg

DD

z

122

2

1

021

Evaluando la constante con las condiciones de contorno Cuando 0t m 31 Hzz 212 HCte Sustituyendo

2212

1

021

12

21

t

kg

DD

Hz

Gasto o flujo volumétrico

zkgDAvV

12

42000

tkg

DD

HkgDV

12

21

12

4

2

1

020

Con los valores dados para el caso, para la altura del líquido

22122

kss 1000

63,11m 3m/s 81,92

m 0,02m 31m 3

tz

205474,013 tz ks 18,3 ksen y men tz 5.13: z


Para el flujo volumétrico

3

22

mL 1000m 3

63,11m/s 81,92m 0,025

4V

kss 1000

63,11m 3m/s 81,92

m 3m 0,025

211

2122

t

tV 05474,01322,2

ks 18,3 ksen y L/sen tV 5.13: V

Presión del sifón, en 2. El balance se efectúa entre los puntos 0 y 2. Para lo que se considera que no se acumula masa en el tubo del sifón y su área es constante. El balance de masa es

0002220d

dAvAv

tV VC

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

0 5 10 15 20Tiempo, ks

altu

ra, m

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

flujo volumétrico, L/s

Altura

Flujo vol.


02 AA 02 vv El balance de energía

2

222

22 20

dd zg

vPAvzgV

t VC

22

20

000

200

00v

kAvzgvP

Av

Despejando P2,

2

20

0202v

kzzgPP


2163,1

mkg 998m 5,4

sm81,9

mkg998 3232 atmPP

kg 1000s m kPa

L 1000m

sL

m 4025,0 05474,01322,2 223

22

t

2

2 05474,01197,1804,44 tP man ks 18,3 ksen y kPaen man2 tP man 5.13: P2 Ejemplo 5.14. Distribuidor de flujo Por un tubo vertical de 1,5 m de alto y 200 mm de diáme-tro, fluye agua hacia arriba, que se impulsa por una presión de 70 kPman. La salida del tubo tiene una rejilla, en forma de “T”, para desviar el flujo en ángulo recto, la cual tiene 12,5 mm de holgura (“luz”) y 300 mm de radio. Determine el flujo de agua por el sistema, si se despre-cian los efectos de fricción y de presión.



Datos conocidos: D: diámetro del conducto 0,2 m h: altura del conducto 1,5 m Pe: presión de entrada (al conducto) 70 kPaman W: holgura de la rejilla 0,0125 m : diámetro de la rejilla 0,6 m Ps: presión de salida (de la rejilla) PAtm PAtm: presión atmosférica 90 kPa Respuesta 5.14 Balance de masa

salida

sssentrada

eeeVC AvAvt

m

dd

Balance de energía

VCVC

VC WQt

gzvum

dd 2

21

W

h

D ve, Pe

vs, Ps


entradae

ee

e

eeeee gz

vPuAv

2

2

entradas

ss

s

sssss gz

vPuAv

2

2

OTRASVCfACEGmHAv



0d

d

tmVC

- Volumen de control fijo 0VCv y Cte.VCz - Proceso isotérmico Cte.T Cte.u 0Q 0G 0OTRASE - Pérdidas de energía por fricción y contracción des-

preciables

0

AC

ACACf Av

AvH


- No se levanta un peso ni se mueve un eje, 0W . El balance de masa se expresa

ssseee AvAv 0 Sustituyendo y arreglando, con la densidad constante

WvDvV se

4

2


24 DVve ; WVvs El balance de energía

2

02ee

e e e ee

vPv A g z

2

2ss

s s s ss

vPv A g z

Simplificando

esesse zzg

PPvv

22

22

Sustituyendo los valores de la velocidad

hgPV

WDe

man

222

2 214

Despejando el flujo volumétrico

2

1

224man2 1162

WDP

hgV e


21

222244

3man22

m 0125,0m 6,01

m 2,016

mkg 998Pa000 70m 5,1

sm 81,9

2

V

/sm 38,0 3V 5.14


Ejemplo 5.15. Bombeo Una bomba toma agua desde un depósito, por medio de un conducto No. 6 Ced. 40, cuyo extremo de succión se encuentra 1,5 m por debajo de la superficie (nivel) del agua, en el depósito. La bomba descarga el líquido por un conducto No. 3 Ced. 80, que desemboca 2,0 m arri-ba del nivel del agua en el tanque, contra una presión de 174 kPaman. Si el rendimiento de la bomba es de 75 % y las pérdidas en las tuberías es de 3,1 veces la de la energía cinética, correspondiente a la salida, determine la potencia de la bomba, para operarla con una velocidad de descarga de 3 m/s. Datos conocidos: V : flujo volumétrico, gasto o carga g.e: gravedad especifica o densidad relativa del fluido agua : eficiencia de la bomba 0,75 Pérdidas de energía 21,3 2

2vH f En el nivel (1) del depósito: D1: diámetro grande “ ” v1: velocidad del fluido ¿? z1: nivel del fluido (referencia) 0 P1: presión PAtm T1: temperatura ambiente L1: longitud del conducto ¿? A la salida (2) del conducto: D2: diámetro 0,0737 m v2: velocidad del fluido 3 m/s z2: nivel del fluido al salir 2 m P2: presión manométrica 174 kPaman T2: temperatura ambiente L2: longitud del conducto ¿? PAtm: presión atmosférica 89 kPa


Respuesta 5.15 Diagrama del volumen de control

Balance de masa

salida

sssentrada

eeeVC AvAvt

m

dd

Balance de energía

212d

dVC

m u v gz

t

2

2ee


vPv A u gz

2

2ss


vPv A u gz

v2 P2 z2

v1 P1 z1

z2 - z1


f VCACv A H m G

VC VC OTRASQ W E Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el líquido dentro del sistema


0d

d

tmVC

- Volumen de control fijo 0VCv y Cte.VCz - Proceso isotérmico Cte.T Cte.u 0Q 0G 0OTRASE

- Pérdidas de fuerza por fricción 21,3 22vH f


- Las pérdidas de energía en la bomba, por irrever-sibilidad (fricción, expansión, turbulencia, etc.) están representadas por la eficiencia o rendimiento de la bomba. SVC WW Donde:

: eficiencia (termodinámica). SW : potencia del eje de la bomba

- El nivel del agua en el tanque, corresponde a la condición extrema de operación (constante).

- Diámetro del tanque muy grande 1D . - Factor de seguridad 15% El balance de masa es

2221110 AvAv


Sustituyendo y arreglando, con la densidad constante

222111 AvAvV

m/s 0m 0737,0m/s 3 2

21

21

21

221

DDv

AAvv


2221

21

1

1111 2

0 AvzgvP

Av

Sf WHAvzgvP

2222

22

2

2

2

Simplificando y despejando en términos de la potencia

122

224PPDvWS

15,12

1,32

22

12

21

22

vzzgvv


3

23 mkg 998

Pa 17400015,1m 0737,0s

m3mkg 998

75,04

SW

W1000

kW 1s

m3211,3m 02

s m81,90

s m3

21 2

2

2

kW 16,4SW La potencia requerida por la bomba es kW 5SW (6 H.P.) 5.15


Ejemplo 5.16. Turbina para líquido Durante la operación de una turbina hidráulica, se entre-gan 450 kW con un gasto de 5 m3/s. La masa entra por un conducto de 0,5 m de diámetro con una presión de 80 kPaman. La salida está 4,4 m abajo del nivel del depósito, con un diámetro de 0,75 m. Si la eficiencia (coeficiente de desempeño) de la turbina es de 82 % y se desprecian las pérdidas de energía por fricción y otras irreversibili-dades, determine la presión a la salida de la turbina. Datos conocidos: V : flujo volumétrico, gasto o carga 5 m3/s g.e: gravedad especifica o densidad relativa del fluido agua Entrada (A) de la turbina: DA: diámetro 0,5 m vA: velocidad del fluido ¿? PA: presión 80 kPaman TA: temperatura ambiente zA: nivel o altura referencia A la salida (B) de la turbina: DB: diámetro 0,75 m vB: velocidad del fluido ¿? PB: presión ¿? TB temperatura ambiente zB: nivel o altura -4,4 m

SW : potencia suministrada 450 kW : coeficiente de desempeño, “eficiencia” 0,82 PAtm: presión atmosférica 88 kPa Respuesta 5.16 Diagrama del volumen de control


Balance de masa

salida

sssentrada

eeeVC AvAvt

m

dd

Balance de energía

212d

dVC

m u v gz

t

2

2ee


vPv A u gz

2

2ss


vPv A u gz

f VCACv A H m G

VC VC OTRASQ W E

vA PA zA DA

zA – zB

vB PB zB DB


Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el líquido dentro de la turbina - Flujo incompresible (densidad constante) Constante se - Flujo de masa en estado estacionario

0d

d

tmVC

- Volumen de control fijo 0VCv y Cte.VCz - Proceso isotérmico Cte.T Cte.u 0Q 0G 0OTRASE - Pérdidas de fuerza por fricción, despreciables 0fH - La variación de la velocidad con el radio (perfil) es

despreciable vv 1 - Las pérdidas de energía en la turbina, por irrever-

sibilidad (fricción, expansión, turbulencia, etc.) están representadas por la eficiencia o coeficiente de desempeño de la turbina. SVC WW Donde: SW : potencia del eje de la turbina : eficiencia (termodinámica).

- El nivel del agua en el depósito, corresponde a la condición extrema de operación (constante).

El balance de masa es

AAAAAA AvAv 0 Sustituyendo y arreglando, con la densidad constante

BBBAAA AvAvV

2

4

AAA D

VAVv

2

4

BBB D

VAVv



2

02AA

A A A AA

vPv A g z

2

2B SB

B B B BB

v WPv A g z

Simplificando y despejando en términos de la presión de salida

V

WzzgDD

VPP SBA

BAAB

442

2118


44

23

32 m 5,01

s m 5

mkg 9988kPa 8880

BP

m 4,40sm 81,9

mkg 998

m 75,01

2344

/sm 50,82

kW 450s kg/m 1000

kPa 132

La presión estática a la salida de la turbina es kPa 361estBP 273 kPaman. 5.16 Ejemplo 5.17. Sistema de conductos Un conducto, cilíndrico inclinado, con una reducción transporta un fluido. Evalúe la presión necesaria para que el fluido salga contra una presión de 310 kPaman. Datos conocidos: V : flujo volumétrico, gasto o carga 2,5 L/s


g.e: gravedad especifica o densidad relativa del fluido 0,8825/4C Pérdidas de esfuerzo en la contracción

ss

eC v

vv

VB1,2

102,0

Pérdidas de esfuerzo por la fricción 2vAC A la entrada (1) del conducto: D1: diámetro 54 mm v1: velocidad del fluido ¿? P1: presión ¿? T1: temperatura 26 C L1: longitud del conducto 2,5 m 1: ángulo del conducto 53 º 1: coeficiente de fricción 0,0042 z1: nivel o altura referencia A la salida (2) del conducto: D2: diámetro 18 mm v2: velocidad del fluido ¿? m/s P2: presión manométrica 310 kPaman T2: temperatura ¿? L2: longitud del conducto 6 m z2: nivel o altura 2: ángulo del conducto 15 º 2: coeficiente de fricción 0,0028 PAtm: presión atmosférica 93 kPa Respuesta 5.17 Balance de masa

salida

sssentrada

eeeVC AvAvt

m

dd

Balance de energía


212d

dVC

m u v gz

t

2

2ee


vPv A u gz

2

2ss


vPv A u gz

f VCACv A H m G

VC VC OTRASQ W E Diagrama del volumen de control



0d

d

tmVC

v2 P2

D1

v1 P1

1

2 L1

L2

D2


- Volumen de control fijo 0VCv y Cte.VCz - Proceso isotérmico Cte.T Cte.u 0Q 0G 0OTRASE - Pérdidas de fuerza por fricción y contracción, las

indicadas y ACACfAC

AvHAv - La variación de la velocidad con el radio (perfil) es

despreciable vv 1 - No se levanta un peso ni se mueve un eje 0W El balance de masa se expresa

2221110 AvAv Sustituyendo y arreglando, con la densidad constante

222111 AvAvV

2

3

211

1 m 0,054L 0001

m 1sL 5,244

DV

AVv

m/s 09,11 v

2

3

222

2 m 0,018L 0001

m 1sL 5,244

DV

AVv

m/s 82,92 v


3

1111

21

1

1111 2

0 vzgvP

Av


2

22

2

222211 2

zgvPAvLD

22

1,2

2

12222

3222 102,0 v

vvVLDv

Simplificando y despejando para P1

2 22 1 21 2 1

2 1 1 11

42 2

v vP P Lg z g z vD

2,1

2 22 12 2 2

2 2

4 0,02 1L vv vD v


2

22

2

22

3

1

s2 m09,1

s2 m83,9

mkg 972,99988,0

Pa 3E193310P

5352819156819 sen,,sen,

m 0,054

m 6s

m09,10042,04 2

22

m 0,018

m 5,2s

m83,90028,04 2

22

2

221,2

s m83,9

83,909,1102,0

5,13,3609,06,192,156,03,48 4581P

232

2

s kg/m 6E1MPa

mkg 972,99988,0

s m

La presión a la entrada del sistema es MPa 8,01P 5.17


Ejemplo 5.18. Tubería Se toma agua de un canal que mantiene un nivel de 0,8 a 1,0 m y se debe enviar una distancia de 25 m y 3,2 m de altura, desde la base del tanque, contra una presión de 25 kPaman. El fluido se traslada dentro de un conduc-to de acero al carbono de 2,” céd. 40, de 20 m de largo, donde está la bomba y luego por una de 1,” céd. 40, de 12 m de largo, unidas mediante una contracción. El sistema tiene dos válvulas de compuerta y una de globo, cuatro codos de 90 y 8 uniones, todas de brida. Calcule la potencia de la bomba, para un flujo de 50 litros por minuto. Considere las siguientes aproximaciones:

La presión atmosférica es de 665 a 672 mm Hg y la temperatura ambiente entre 23 y 27 C. La eficiencia de la bomba es de

0,96 (1 –542 Q1,2) I Las pérdidas de energía (irreversibilidad) debido a

la fricción del fluido dentro del conducto y los accesorios es

Hf kv22 II Donde:

Q : flujo o gasto volumétrico en m3/s v : velocidad promedio (ambos dentro del conducto)

La presión con la que sale, se toma como veinte por ciento

mayor que la resistiva (que se opone a la salida) NO : altura del líquido en el tanque 0,8 m OS: altura de la salida 3,2 m PAtm: presión atmosférica 665 mmHg 88,7 kPa T: temperatura atmosférica 23 C DAB: diámetro del primer tubo, 2” céd. 40 0,0525 m PCS: presión a resistiva a la salida 25 kPaman 1.2113,7 kPa DBC : diámetro del tubo de salida, 1” céd. 40 0,0266 m : eficiencia de la bomba Ec. I


Hf : pérdidas total de energía por fricción y accesorios Ec. II kAB : coeficiente de pérdidas en el tramo AB 4,8 kBC : coeficiente de pérdidas en el tramo BC 22,2 vR : velocidad del fluido en el canal 2 a 3 m/s V : flujo dentro del conducto, 50 L/min 8,3310-4 m3/s Respuesta 5.18 Balance de masa

salida

sssentrada

eeeVC AvAvt

m

dd

Balance de energía

212d

dVC

m u v gz

t

2

2ee


vPv A u gz

2

2ss


vPv A u gz

f VCACv A H m G

VC VC OTRASQ W E Consideraciones, aproximaciones y suposiciones - Volumen de control: el líquido dentro de la tubería y

el tanque - Flujo incompresible (densidad constante) Constante s - Volumen de control fijo 0VCv y Cte.VCz


- Flujo en estado estacionario 0d

d

tmVC

- Proceso isotérmico Cte.T Cte.u 0Q 0G 0OTRASE - La variación de la velocidad con el radio (perfil) es

despreciable vv 1 - Pérdidas de energía por fricción y otras irreversibi-

lidades

22

2CS

BC

2AO

ABv

kv

kH f

- Eficiencia de la bomba que incluye todas las pérdidas de energía en ella, accesorios, fricciones, vibraciones, etc.

2,1542196,0 V - Velocidad de entrada al sistema 0AN v

TANQUED - Factor de seguridad 15 % Diagrama del volumen de control

El balance de masa, entre los puntos AN y CS

CSCSCSANANAN0 AvAv Sustituyendo y arreglando, en términos de los diámetros,

2ABAO

2BCCSTANQUEAN 444

DvDvDvV

N

O

S

DAB

vR N

O

PCS TCS

A

A

S B

B

C

C

PAtmosférica DBC



CSCSAN

2AN

AN

ANANANAN 2

0 vzgvP

Av

fHVWzgvP

A

CS

2CS

CS

CSCS 2

Sustituyendo las relaciones del balance de masa y de las pérdidas de energía.

2

2AN

2CSANCS vvPP

VW

15,122

2CS

BC

2AO

ABANCS

vkvkzzg


/sm 4E33,8kg/m 537,9974E33,8542196,0

33

2,1 W

kPa 1

s kg/m 1000kg/mkPa

537,9977,887,1132.1 2

3

444

23

m1

""1

0266,01

sm4E33,84

21

m 8,02,3sm80665,9 2

15,1m1

0266,02,22

0525,08,4

sm 4E33,84

444

23

2222 /sm 12,1/sm 85,47kg//s ,83130

855,0 W

15,1/sm 31,25/sm 53,23 2222


15,1/sm8,97855,0

kg//s ,83130 22 W

La potencia es de W109W ( H.P 51W ) 5.18 5.3.2. Balance de energía térmica

(Capacidad o capacitancia térmica global, Bi < 0,1) Ejemplo 5.19. Calor en estado transitorio Una placa de acero de 13 mm de espesor está, en un horno, a 900 K. Se retira del aparato y se apaga en un baño de aceite a 28 C. Determine el tiempo necesario para que se enfríe hasta 90 C, suponiendo que el coeficiente de película del medio es a) h Constante. b) h (Ts Tf)n. Donde: h: coeficiente de película del fluido que rodea la placa. n y : parámetros Ts: Temperatura de la superficie (externa) del sólido Tf: Temperatura del medio (que rodea) al sólido. Datos conocidos: h: Coeficiente de película del aceite a 323 K 400 W/m2 K : Parámetro 95 W/m2 K4/3 n: Parámetro 1/3 Ts0: Temperatura inicial de la placa 900 K Tf0: Temperatura inicial del aceite 301 K : Densidad del acero 7,8 t/m3 CV: Capacidad calorífica del acero 450 J/kg K k: Conductividad térmica del acero 50 W/m K


L: Espesor de la placa 13 mm H: Alto de la placa W: Ancho de la placa Respuesta 5.19 Geometría HWA 2 ; LHWV Termodinámica RefTTCVu V Transferencia de calor entre el límite de la, superficie, fase sólida, en contacto con la fase líquida fss TThq Diagrama del volumen de control

Balance de energía

212d

dVC

m u v gz

t

H

qs

A

W

L

T(t)

Tf

Medio

Placa


2

2ee


vPv A u gz

2

2ss


vPv A u gz

f VCACv A H m G

VC VC OTRASQ W E Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: la placa dentro del líquido - Volumen de control fijo 0VCv y Cte.VCz

- La masa no se mueve 0v 0W - En las caras externas el proceso está regido por la

convección ACfACVC ATThQ - La radiación se considera como parte de la

evaluación del coeficiente de transferencia de calor por convención

044 ACEMACACnVCRadicaió ATTQ

0G 0OTRASE - Parámetros , CV, k y h constantes. - Número de Biot Resistencia interna a la conducción Bi Resistencia externa a la covección

1,0fhA

kVBi TTT SAC

Sustituyendo las relaciones en el balance de energía

dd VC

m uQ

t


Reemplazando las relaciones energéticas y geométricas ATTh

tTCV

fV

dd

Con los datos del problema, la longitud característica,

22L

HWLHW

AV

Se evalúa el número de Biot

k

hLhAkVBi f

f 2

K W/m50

K W/m400mm 1000

m 12mm 13 2

Bi

1,005,0 Bi Con lo que el modelo propuesto ofrece resultados acep-tables. 5.19a) Coeficiente de transferencia de calor, h, constan-

te Con el resultado anterior, considerando los parámetros constantes.

fV TTAhtTCV

dd

Separando variables y simplificando,

t

CVAh

TTT

Vf

dd

Integrando

TEV

f CtCV

AhTT

ln


Con la condición inicial, t 0, en que la masa está a una temperatura T0, se obtiene la constante de integración y

tCV

AhTTTT

Vf

f

0

ln

O bien en forma adimensional, si

tCV

AhtV

* f

f

TTTT

T

0

*

Se obtiene

*exp* tT Despejando el tiempo de la ecuación del balance de energía y sustituyendo los valores conocidos.

f

fc

f

fV

TTTT

tTTTT

hCL

t00

lnln2

tc: Se define como constante de tiempo del sistema, s,

hCL

t Vc

2


W400K m

K kgJ450

mm 1000m 1

2mm 13

t1kg 1000

mt8,7

2

3ct

s 57ct Sustituyendo las temperaturas del proceso

K 301900

K 30127390ln57

t

s 9 :min 2 s 129 t 5.19a)


5.19b) Coeficiente de transferencia de calor variable: h (Ts Tf)n Con el resultado anterior, considerando la función para h.

1

dd n

fV TTAtTCV

Separando variables y simplificando,

t

CVA

TTT

Vn

f

dd1

Integrando, para n 0

TEV

nf Ct

CVA

nTT

Con la condición al inicio, t 0, en que la masa está a una temperatura T0, se obtiene la constante de integra-ción y

n

nf

Vf

f tTTCVnA

TTTT 1

00 1

O bien en forma adimensional, si

tTTCV

At nf

V

0*

f

f

TTTT

T

0

*

Se obtiene ntT 1*1* Despejando el tiempo de la ecuación del balance de energía y sustituyendo los datos del problema

310

31

112 ff

V

TTTTnCL

t


Sustituyendo las temperaturas del proceso

W95K m

K kgJ450

mm 1000m 1

2mm 13

t1kg 1000

mt8,7

342

3t

3131 K 3019001

K 3012739013

s 63 :min 1s 4,96 t 5.19b)

Ejemplo 5.20. Eficiencia de un compresor Un compresor de 160 kW, impulsa aire desde el ambien-te (27 C y 100 kPa) hasta 200 kPa. En las condiciones normales de operación, mantiene un flujo de 1 kg/s. El gas sale a 147 C con una velocidad de 150 m/s. Considerando las pérdidas de calor y las debidas a la fricción, como parte del valor de la eficiencia, calcule:

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7Tiempo t *, Adim.

Tem

pera

trua T

*, A

dim

.

3*1* tT

*exp* tT


a) la eficiencia mecánica. b) la eficiencia adiabática, termodinámica o de diseño. c) la eficiencia isotérmica, termodinámica.

Datos conocidos: m : flujo másico o carga 1 kg/s A la entrada (1) del compresor: D1: diámetro ¿? v1: velocidad del fluido 0 P1: presión 100 kPa T1: temperatura 300 K z1: nivel o altura referencia A la salida (2) del conducto: D2: diámetro ¿? v2: velocidad del fluido 150 m/s P2: presión 200 kPa T2: temperatura 420 K z2: nivel o altura 0 PAtm: presión atmosférica 87 kPa R: Constante Universal de los gases 0,2870 kJ/kg K CP: capacidad calorífica, promedio del aire 1,0035 kJ/kg K Respuesta 5.20 Balance de masa

salida

sssentrada

eeeVC AvAvt

m

dd

Balance de energía

212d

dVC

m u v gz

t

2

2ee


vPv A u gz


2

2ss


vPv A u gz

f VCACv A H m G

VC VC OTRASQ W E Diagrama del volumen de control

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el gas dentro del compresor - Flujo de masa en estado estacionario

0d

d

tmVC

- Volumen de control fijo 0VCv y CteVCz - No has generación ni entradas de energía de otro tipo 0G 0OTRASE - Pérdidas de en energía por fricción y compresión

del gas y de calor, expresadas por la eficiencia del equipo

daSuministraWWVC daSuministraWQPérdidas

daSuministraWHAv fAC

Wv1 P1 T1

v2 P2 T2

Volumen de control



- Los efectos de presión y de nivel despreciables 012 zz - La velocidad de entrada es despreciable 212 vvv - Comportamiento de la masa como gas perfecto o

ideal

TR

PM

0

0

dT

P TTh C T h

0 0

0,

0

d lnT

PT PT

C Ps T R sT P

El balance de masa se expresa, como 2221110 AvAv Con lo que el flujo de masa es 222111 AvAvm El balance de energía

2

111 1 1 1 1

1

02

vPv A u g z

2

222 2 2 2 2

2 2vPv A u g z

f VC VCACv A H Q W

Simplificando, se obtiene, para el compresor, la

POTENCIA TEÓRICA Que es la potencia para un proceso, que realiza el volumen de control, sin pérdidas de energía por fricción ni de calor (adiabático perfecto)


1

1

2

212

PPuumW

12

21

22

22zgzg

vv

En este caso particular

12

21

22

12 22zgzg

vvhhmW

Con los valores del problema, usando

1212 TTChhAMTP

K 3602

3004202

12

TTTAM

K 300420

K kgkJ010,1

skg 1W

sm 1000

kgkJs

m2

150222

22

La potencia teórica es kW 133W 5.20a) Eficiencia mecánica Se define como

ss W

W

eje del potenciarequerida potencia

kWkW

160133

s % 83s 5.20a)


5.20b) Eficiencia adiabática Se define como

WWA

requerida potenciarevesible adiabática potencia

Para un proceso reversible y adiabático, se cumple que VCVC STQ 0

Para el caso 120 ssm A (isentrópico) Para un gas ideal

1

201

02

1

212 lnlnd2

1 PPRss

PPRT

TCss A

T

TP

AA

Resolviendo para la entropía

0lnln1

2

1

212

PP

RT

TCss A

TPA LM

LMTPCR

A PP

TT

1

212

A manera de tanteo se supone K 4002 AT

K 6,347300400ln300400

ln 12

12

TTTT

TA

ALM

K 365kPa 100kPa 200K 300

009,1287,0

2

AT

Repitiendo para 365 K


K 6,331300365ln300365

LMT

K 365kPa 100kPa 200K 300

008,1287,0

2

AT

La potencia adiabática reversible es, entonces,

2

22

12

vhhmW AA

K 300365

K kgkJ008,1

skg 1AW

sm 1000

kgkJs

m2

150222

22

kW 77AW Y la eficiencia, adiabática reversible, es

kWkW

13377

% 58 5.20b) 5.20c) Eficiencia isotérmica Se define como

WWT

T

requerida potenciarevesible isotérmica potencia

Para un proceso reversible y isotérmico, se cumple que VCVC STQ 0

y 210 TTT


Para un gas ideal

1

2

1

212 lnlnd2

1 PP

RPP

RTT

Css TT

TP

T

De la ecuación del balance de masa, la potencia isotér-mica reversible es, entonces,

VCVCT STv

mQv

mW 1

22

22

22

1

21

22 ln2 P

PTR

vmWT

sm kgkJ 1000

s m

2150

skg 1 222

22

TW

kPa 100kPa 200lnK 300

K kgkJ287,0

kW 71TW Y la eficiencia, isotérmica reversible, es

kWkW

13371

T

% 53T 5.20c) Nota: Obsérvese que estas dos eficiencias presentan una diferencia, entres sí, sólo, de 10 %, y que los casos reales no son completamente adiabáticos ni completamente isotérmicos.


5,4. BALANCE COMBINADOS DE MASA, ENERGÍA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Ejemplo 5.21. Propulsión Un bote se desplaza con una velocidad de 10 m/s en un lago, usando una bomba que trasiega 60 L/s, del líquido, a través de un conducto Interno en el bote. Evalúe la fuerza y la eficiencia de propulsión del bote, si la veloci-dad dentro del conducto es de 25 m/s. Datos conocidos: V : Flujo volumétrico dentro de la tubería 0,060 m3/s vp: Velocidad de propulsión, flujo del fluido dentro del tubo 25 m/s vb: Velocidad del bote 10 m/s : Densidad del agua 998,2 kg/m3 FD: Fuerza ejercida, para la traslación, sobre el lago, ¿? Diagrama del volumen de control

Respuesta 5.21 Eficiencia de propulsión (mecánica)

WvF bD

dasuministra potencia

requerida potencia

vb

x FD

ve vs


Balance de masa

salida

sssentrada

eeeVC AvAvt

m

dd


dd

VCe e e e e e

entrada

mvv v A P A

t

s s s s s ssalida

v v A P A


Balance de energía

212d

dVC

m u v gz

t

2

2ee


vPv A u gz

2

2ss


vPv A u gz

f VCACv A H m G

VC VC OTRASQ W E Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el fluido dentro del conducto - Volumen de control inercial 0VCv y CteVCz be vv ps vv - Proceso isotérmico Cte.T Cteu

0Q 0G 0OTRASE - Flujo incompresible (densidad constante) Constante se



0d

d

tmVC

- Pérdidas de fuerza por fricción y fuerzas de fricción dentro del fluido y entre el fluido y la pared, despre-ciables FFAAC

- Pérdidas de energía por fricción están incluidas en la evaluación de la eficiencia de propulsión .


- Fuerzas internas, en el conducto, de presión y cabeza hidrostática despreciables.

se PP 0 se zzg - Fuerzas netas debidas a la presión, despreciables 0 atmsatme PPPP - El movimiento horizontal 0xg gg y - Fuerza neta del volumen de control igual a la fuer-

za de arrastre. DFF - Velocidad del bote constante. El balance de masa se expresa, como

ssseee AvAv 0 Con lo que el flujo de masa es

ppeb AvAvV El balance de fuerza cantidad de movimiento en x exeexeee APvAv0 xsxssxsss FAPvAv

x b p DF V v V v F La fuerza ejercida por el bote sobre el agua o fuerza de arrastre es


bpD vvVF Sustituyendo valores

N1000

kN 1sm1025

L 1000m 1

sL60

mkg2,998

3

3 DF

kN 9,0DF 5.21 Expresando la velocidad de propulsión en términos de la del bote

VF

vv Dbp


e

e

e

eeee zg

vPAv

20

2

VCss

s

ssss Wzg

vPAv

2

2

La potencia, teórica, suministrada es

2

22pb

VC

vvVWW

La energía requerida para la traslación es

bDRequerida vFW La eficiencia de propulsión es, entonces,

WvF bD


requerida potencia


Sustituyendo

22

2

pb

bbp

vvVvvvV

Simplificando


57,0

m/s 10m/s 251

2

La eficiencia es % 57 5.21 Ejemplo 5.22. Expansión súbita Para un fluido que atraviesa, incompresiblemente, una sección circular con un aumento del área en ángulo recto (expansión súbita o ensanchamiento brusco), evalúe las pérdidas de energía debidas a la irreversibilidad, por expansión y fricción. Si se expresan, dichas pérdidas, como proporcionales a la energía cinética en el punto de mayor velocidad (a la entrada), evalúe el coeficiente de proporcionalidad. Considere que los perfiles de velo-cidad del fluido a la entrada y salida del dispositivo son uniformes y se representan adecuadamente por su velocidad promedio.

Eficiencia de propulsión

b

p

vv

1

2


Datos conocidos: D1 : diámetro a la entrada . ½ 40 0,0158 m D2 : diámetro a la salida . 2 40 0,0525 m Diagrama del volumen de control

Otros datos útiles v1: velocidad mayor, a la entrada v2: velocidad menor, a la salida : densidad del fluido Balance de masa

salida

sssentrada

eeeVC AvAvt

m

dd


dd

VCe e e e e e

entrada

mvv v A P A

t

s s s s s ssalida

v v A P A


v1 D1 P1

v2 v1

v2 D2 P2

1 2

P0

P0

Fx


Balance de energía

212d

dVC

m u v gz

t

2

2ee


vPv A u gz

2

2ss


vPv A u gz

f VCACv A H m G

VC VC OTRASQ W E Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el fluido dentro de la expan-

sión - Flujo incompresible (densidad constante) Constante se - Volumen de control fijo 0VCv y Cte.VCz - Proceso isotérmico Cte.T Cte.u 0Q 0G 0OTRASE - Flujo de masa en estado estacionario

0d

d

tmVC

- Pérdidas de fuerza por fricción y fuerzas de fricción dentro del fluido y entre el fluido y la pared, despreciables FFAAC

- Pérdidas de energía en la expansión, están inclui-das en la evaluación de Hf

2

20v

CH Df



- Cabeza hidrostática despreciable. 0 se zzg - El movimiento horizontal 0xg gg y

- No se levanta un peso ni gira un eje 0VCW - Fuerzas netas debidas a la presión interna, en el

volumen de control, equivalen a la reacción del área anular, en la pared

120 AAPF - La presión en la pared anular es igual a la de la

entrada 01 PP

NOTA: Estas dos, últimas, consideraciones no repre-sentan la realidad física del proceso, pero son lógicas.


2221110 AvAv Con lo que el flujo de masa

2211 AvAvV

2

112 A

Avv

El balance de fuerza cantidad de movimiento en x xx APvAv 1111110 xxx FAPvAv 222222

221121 APAPvvVFF x Considerando que

121120 AAPAAPF

221121121 APAPvvVAAP Simplificando 21212 vvVAPP



1

21

1

1111 2

0 zgvP

Av

2

22

2

2222 2

zgvP

Av

fACHAv

02

21

2212

fHvvPP

Sustituyendo la diferencia de presión, del balance de fuerzas,

0

2

21

22

2

21

fHvvA

vvV

Sustituyendo la relación de la velocidad, menor, v2, en términos del área, del balance de masa,

02

21

2

2

11

2

2

11111

fHv

AA

v

AAA

vvAv

Simplificando y despejando Hf,

21

21

2

2

1 vAAH f

Ecuación de Borda-Carnot

En la práctica se utiliza el coeficiente pérdidas de ener-gía, Kf (CD)

2

21vKH ff


Con lo que


22

m 0525,0m 0158,01

fK

83,0fK 5.22 Ejemplo 5.23. Salto hidráulico Un líquido fluye en un canal abierto horizontal en el cual se manifiesta un salto hidráulico. Considere, para el caso, que corre agua a razón de 8 m3/s m de ancho, sufriendo una alza repentina desde una altura del líquido de 0,6 m, provocado por un muro. Evalúe la profundidad de la escorrentía, posterior, y calcule las pérdidas de energía debido a la irreversibilidad del proceso. Datos conocidos: : Flujo volumétrico por unidad de ancho 8 m3/s m y1 altura de la capa de líquido anterior 0,6 m w: ancho del conducto ¿?

Coeficiente de pérdidas de energía en una expansión brusca

22

2

1

2

2

1 11

DD

AAK f



Respuesta 5.23 Presión hidrostática La variación de la presión con la profundidad, y, está expresado por

gyP

dd

Integrando, considerando el punto de referencia en la parte superior del líquido, a 0y atmPP atmPygP Balance de masa

salida

sssentrada

eeeVC AvAvt

m

dd


dd

VCe e e e e e

entrada

mvv v A P A

t

s s s s s ssalida

v v A P A


x

y

v1 v2

1 2

y1 y2 w


Balance de energía

212d

dVC

m u v gz

t

2

2ee


vPv A u gz

2

2ss


vPv A u gz

f VCACv A H m G

VC VC OTRASQ W E Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el fluido dentro del conducto - Flujo incompresible (densidad constante) Constante se - Volumen de control fijo 0VCv y CteVCz - Flujo de masa en estado estacionario

0d

d

tmVC

- Proceso isotérmico Cte.T Cte.u 0Q 0G 0OTRASE - Pérdidas de fuerza por fricción y fuerzas de fricción

dentro del fluido y entre el fluido y la pared, despreciables FFAAC


- Fuerzas netas debidas a la presión, despreciables 0 atmsatme PPPP - El movimiento horizontal 0xg gg y El balance de masa se expresa así

1111110 AvAv


Con lo que el flujo de masa

wyvwyvwΓ 2211

2211 yvyvΓ El balance de fuerza cantidad de movimiento en x xx APvAv 1111110 xxx FAPvAv 222222 Nótese que la presión varía con la posición vertical, y, en ambos puntos, variación que no es despreciable en este caso. 11111 d0 APvAv

22222 d APvAv

1

0121 d0

yywygywv

2

0222 d

yywygywv

Integrando y simplificando

022

22

21

2221

21

yg

ygyvyv

Poniendo v2 en términos de v1 con el balance de masa

2

12

12 y

Γvyy

v

Y sustituyendo

02

22

2112

2

121

yygyy

yy

v

Factorizando (y1 - y2) y arreglando

02

1

21

1222

y

gv

yyy


Despejando para la velocidad

Nota: este aparato (vertedero) se utiliza para la medición de la velocidad (flujo).

Resolviendo par y2,

1

21

211

22

22y

gvyyy


21

22

2121

2yygvvPPH f

Considerando la presión externa como la atmosférica y sustituyendo el área en términos de la altura.

2122

21

21 12

yygyyv

H f

Nota: Obsérvese la diferencia conceptual entre la pre-sión usada en la ecuación de la cantidad de movimiento y la ecuación de la energía mecánica.

Arreglando en términos de las alturas del líquido, susti-tuyendo los valores con el flujo de masa

212

2

21

22

1

122

22yyg

yyy

yyyyg

H f

Simplificando

121

21 2

yyyygv

Velocidad en un vertedero


En términos de la altura o profundidad de la corriente después del muro


23

2

2

2

m2 8 s m0 6 m 0 6 m

m2 2 9,81 0 6 ms

, ,y,

m 442 ,y 5.23a) La pérdida de energía es

m 60m 4,44 m 60m 4,4 3

,,

gH f

m 1,5 ff h

gH

5.23b)

1

2211

22

22 ygΓyy

y

Altura de un salto hidráulico

12

312

4 yyyy

gH

h ff

Pérdidas por fricción en un salto hidráulico


Ejemplo 5.24. Contracción brusca Un hidrocarburo atraviesa, incompresiblemente, una sec-ción circular con una reducción del área en ángulo recto (contracción o reducción súbita o brusca). Considerando que las pérdidas de energía debidas a la irreversibilidad, por la contracción, se pueden expresar como

4

122

3

1

2 vAA

Pérdidas

evalúe la fuerza (horizontal) que el fluido ejerce sobre el aparato y necesaria para mantenerlo fijo. Diagrama del volumen de control

Datos conocidos: D1: diámetro a la entrada . 1 BWG 14 0,0212 m D2: diámetro a la salida . ½ BWG 16 0,0094 m V : flujo volumétrico, gasto 1 L/s 0,001 m3/s P1: presión a la entrada 314 kPaman P2: presión a la salida ¿ ? g.e.: densidad relativa o gravedad específica del hidrocarburo 0,78320/4C

v1

v1 D1 P1

v2 D2 P2

2

P0

P0

v2

1

x

y


Balance de masa

salida

sssentrada

eeeVC AvAvt

m

dd


dd

VCe e e e e e

entrada

mvv v A P A

t

s s s s s ssalida

v v A P A


Balance de energía

212d

dVC

m u v gz

t

2

2ee


vPv A u gz

2

2ss


vPv A u gz

f VCACv A H m G

VC VC OTRASQ W E Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el fluido dentro de la contrac-

ción - Flujo incompresible (densidad constante) Constante se - Volumen de control fijo 0VCv y CtezVC - Flujo de masa en estado estacionario

0d

d

tmVC


- Proceso isotérmico Cte.T Cte.u 0Q 0G 0OTRASE

- No se levanta un peso ni gira un eje 0VCW - Pérdidas de fuerza por fricción y fuerzas de fric-

ción dentro del fluido y entre el fluido y la pared, despreciables

FFAAC

- Pérdidas de energía por fricción están incluidas en la evaluación de Hf

41

2

22

3

1

220 v

AAv

CH Df

- La variación de la velocidad con el radio (perfil) es despreciable

vv 1 - Fuerzas internas, en el conducto, de presión y

cabeza hidrostática despreciables. 0 se zzg - El movimiento horizontal 0xg gg y El balance de masa se expresa


2211 AvAvV

1

1 AVv

2

2 AVv

El balance de fuerza cantidad de movimiento en x xx APvAv 1111110 xxx FAPvAv 222222


221121 APAPvvVFx

112212

2 11 APAPAA

VFx

Se desconoce la presión a la salida, P2. El balance de energía

1

21

1

1111 2

0 zgvP

Av

2

22

2

2222 2

zgvPAv

fACHAv

02

21

2212

fHvvPP

Sustituyendo la relación dada para las pérdidas de energía,

04

12

22

3

1

221

2212

vAAvvPP

En términos del flujo volumétrico

02341

3

1

2

2

1

2

2

2

12

AA

AA

AVPP

Despejando la presión a la salida

3

1

2

2

1

2

2

212 23

4 AA

AA

AVPP



2

22

3

3man2

m0094,04

sm001,0

mkg

4783kP 314

P

2

64

s mkg1000kPa 1

m 0212,0m 0094,0

m 0212,0m 0094,023

man2 kPa 196P 5.24 La fuerza que ejerce el fluido sobre el aparato de con-tracción es

222

23

3 m1

0212,01

0094,014

sm001,0

mkg783

xF

2222 m kPa 0212,03140094,0196

4sm kg1000kN 1

kN 1,0xF 5.24 Ejemplo 5.25. Banda transportadora Una banda trasportadora, inclinada, se desplaza con una velocidad constante. Recibe arena que cae verticalmente desde una tolva. Determine, para la operación continua, la potencia del rodillo de tracción y la potencia necesaria para trasladar el sólido. Para lo cual, considere los efec-tos de carga, desde la tolva, y de salida despreciables, también, las pérdidas por rozamiento en las poleas, rodillos, soportes, etc.



Datos conocidos: : densidad de la arena 1,6 t/m3 m : flujo másico de la arena 250 kg/s vt: velocidad de entrada de la arena (salida de la tolva) 3 m/s vb: velocidad de salida de la arena (salida de la banda) 3 m/s L: largo de la banda 175 m : inclinación de la banda 30 º Fb: Fuerza necesaria para la traslación de la arena, ¿? Se pregunta:

bW : Potencia (de tracción) de la banda (rodillo) W : Potencia utilizada por la arena. Respuesta 5.25 Balance de masa

salida

sssentrada

eeeVC AvAvt

m

dd


z

vb

s

Fb

vt

1


d

dVC

e e e e e eentrada

mvv v A P A

t

s s s s s ssalida

v v A P A


Balance de energía

212d

dVC

m u v gz

t

2

2ee


vPv A u gz

2

2ss


vPv A u gz

f VCACv A H m G

VC VC OTRASQ W E Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: masa de arena sobre la

banda, sin excesos - Flujo incompresible (densidad constante) Constante se - Volumen de control fijo 0VCv y CteVCz be vv ps vv - Flujo de masa en estado estacionario

0d

d

tmVC

- Proceso isotérmico Cte.T Cte.u 0Q 0G 0OTRASE - Pérdidas de fuerza por fricción despreciables FFAAC


- Pérdidas de energía por fricción despreciables - La variación de la velocidad con el radio (perfil) es

despreciable vv 1 - Fuerzas netas debidas a la presión, despreciables 0 atmsatme PPPP - Fuerza neta del volumen de control igual a la

fuerza de arrastre por la banda trasportadora bx FF - Velocidad de la banda constante e igual a la de

entrada de la arena bt vv El balance de masa se expresa

bbbttt AvAv 0 Con lo que el flujo de masa

bbtt AvAvm El balance de fuerza cantidad de movimiento en s tsttsttt APvAv0 sbsbbsbbb FAPvAv

sen sens t b bF m v m v m g F

sensen1

gv

LmvmFb

bb


t

t

t

tttt zg

vPAv

20

2

VCbb

s

bbbb Wzg

vPAv

2

2


La potencia, teórica, necesaria es sen LgmzzgmW tb La potencia de la tracción (por la banda transportadora) es bbbbbb RFvFW La eficiencia es, entonces,

W

vF bb


requerida potencia


º30sen1

sm3

skg250bF

22 m/s kg 0001kN 1º30sen

m/s 3m 175

sm807,9

skg250

La fuerza necesaria para mover la arena es kN 73bF

sm3kN 73 bW

La potencia de tracción del rodillo kW 218bW 5.25

322 /sm kg 0001kW 1º30senm 175

sm807,9

skg250 W

La potencia requerida para mover la arena es kW 215W 5.25 Notas: - La eficiencia ideal, sin fricción, es: 99,0IDEAL

- Si 0 , horizontal, 0W y 2bb vmW


5,5. BALANCE DE MOMENTO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO La relación del momento para un sistema es

Flecha o Ejed TVgrFrT

Para un sistema de masa constante o masa de control, el momento de la cantidad de movimiento, relativa a un punto fijo, se expresa como

Vvrt

FrT d

Para un volumen de control, la ley científica de la conser-vación de la cantidad de movimiento, si F: fuerza sobre el sistema, N r: posición del centro de fuerza o masa del sistema : densidad de la materia en el sistema, kg/m3 v: velocidad lineal del fluido, m/s g: aceleración de la gravedad, m/s2 V: volumen, m3 A: área transversal al flujo, m2. Con el teorema del transporte, se convierte en

....

ddCVCA

Vvrt

AvvrT

vm

m

r

F


Ejemplo 5.26. Bomba centrífuga Una bomba centrífuga impulsa un fluido. Determine el par o “torque” ejercido por el fluido sobre el propulsor y la potencia necesaria para accionar la bomba. Diagrama del volumen de control

Datos conocidos: : densidad del fluido, agua de mar, 1025 kg/m3 V : flujo volumétrico dentro de la tubería 50 L/s 0,05 m3/s : velocidad angular de la bomba 20 revoluciones/s v1: velocidad a la entrada, axial r1: radio de la entrada, 50 mm 0,05 m 1 ángulo de la entrada 0 º t1: ancho de la entrada, 17,5 mm 0,0175 m v1: velocidad a la salida, radial, ¿? r2: radio de la salida, impulsor, 200 mm 0,20 m 1: ángulo de la salida 135 º t1: ancho de la salida, 125 mm 0,0125 m Respuesta 5.26

z

v1

v2

r1

y

x

y r

w

v2r

v2 2

r2


Balance de masa

salida

sssentrada

eeeVC AvAvt

m

dd

Balance de momento de la cantidad de movimiento

e e e e eentrada

T r v v A

dds s s s s VC

salida

r v v A r v Vt

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el fluido dentro de la bomba - Proceso isotérmico - Volumen de control fijo 0VCv - Flujo incompresible (densidad constante) Constante se - Flujo de masa en estado estacionario

0d

d

tmVC

- Pérdidas de fuerza por fricción y fuerzas de fricción dentro del fluido y entre el fluido y la pared, despre-ciables FFAAC

- Fuerzas internas, en el conducto, de presión y cabeza hidrostática despreciables

0 se zzg - Fuerzas netas debidas a la presión, despreciables 0 atmsatme PPPP El balance de masa se expresa


Vtrvrv 2222

11


El balance de momento de la cantidad de movimiento 11111 AveverT zr

222222 Avevever rrr

En la dirección z. VvrTz

22 Como es un movimiento angular, la velocidad centrífuga es 22 rv y 2

2rVTz

La potencia requerida es zTW Sustituyendo valores

s1202m 20,0

s m05,0

mkg1025 2

3

3 zT

El momento en la dirección z. m N 258zT 5.26 La potencia requerida es

m/sN1000

kW 1m N 258s 1202 W

kW 32W 5.26 Nota: Momento en la dirección . VvrT 11

Nm 171

2

r

VT


Ejemplo 5.27. Placa inclinada Sobre una placa con una pendiente dada, incide un chorro de un líquido en dirección horizontal. El fluido proviene de una ranura del mismo ancho, que la placa. Calcule la fuerza necesaria para mantener la placa en posición y el punto de aplicación de la fuerza resultante, si de desprecian los efectos de fricción del líquido sobre la placa. Volumen de control

Datos conocidos: Fluido agua m : flujo másico 75 kg/s v1: velocidad a la entrada, horizontal, 25 m/s : ángulo correspondiente a la pendiente de la placa arctan(4/3) s: espesor de la capa de líquido a la entrada de la placa, 20 mm 0,02 m w: ancho de la placa ¿? Respuesta 5.27

x

x

y

v1

v2

s

1

2

0 0

CP

v1

F

s1

s2


Balance de masa

salida

sssentrada

eeeVC AvAvt

m

dd


dd

VCe e e e e e

entrada

mvv v A P A

t

s s s s s ssalida

v v A P A



e e e e eentrada

T r v v A

dds s s s s VC

salida

r v v A r v Vt

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el fluido sobre la placa - Proceso isotérmico - Volumen de control fijo 0VCv - Flujo incompresible (densidad constante) Constante se - Flujo de masa en estado estacionario

0d

d

tmVC

- Pérdidas de fuerza por fricción y fuerzas de fricción dentro del fluido y entre el fluido y la pared, despreciables

FFAAC

- Fuerzas internas de presión y cabeza hidrostática despreciables.

0 se zzg


- Fuerzas netas debidas a la presión, despreciables 0 atmsatme PPPP - Masa del líquido en la placa despreciable - Centro de fuerza en una capa homogénea se

encuentra en el centro geométrico (centroide) - Flujo en la pared, como si fuese una capa de

espesor uniforme. Condición de velocidad

vvv 21 El balance de masa se expresa

2221110 AvAvAv

21 mmm El balance de fuerza cantidad de movimiento en eeeeee APvAv0

FAPvAv ssssss FvAv sen0

sen vmF El balance de fuerza cantidad de movimiento en eeeeee APvAv0

FAPvAv ssssss

1111cos0 vAvvAv FvAv 2222

vmvmvm 21cos0 cos21 mmm

Resolviendo esta ecuación con la del balance de masa

cos121 mm

cos122 mm


El balance de momento de la cantidad de movimiento

AveveveσeT

00

1111111 Aveveveσe

2222222 Aveveveσe

El momento en la dirección de z.

222

111

22mv

smv

sTz

El momento producido por la fuerza, F, en la dirección de z.

sen CPCPz vmFT Expresando las relaciones anteriores en términos de los espesores de las capas y la condición de velocidad. wsvm wsvm 11 wsvm 22

cos121 ss cos1

22 ss

222

221 2

121 vswvswTz

sen2 CPvsw Resolviendo para el centro de fuerza, CP.

sen2cos1cos12

sen2

22222

21

s

ss

ssCP

cot21

sCP Hacia abajo del punto 0.

Sustituyendo valores, la fuerza aplicada es

54

sm25

skg75F

N 5,1F 5.27


En el centro de fuerza,

43mm 20

21

CP

mm 5,7CP a partir de 0 5.27 Ejemplo 5.28. Irrigador de jardín Un irrigador de jardín está formado por dos secciones curvas de tubo hueco, de 200 mm, de cuerda. Gira alre-dedor de un tubo eje, vertical, con una velocidad angular de y una área efectiva de A y una salida del tubo de 30º. Si el gasto es de 4 L/min, el fuido sale a una velocidad de 17 m/s y presenta un par resistivo al movimiento (fricción) de 0,18 N m, determine la velocidad del irrigador, . Diagrama del volumen de control

Datos conocidos: : densidad del fluido, agua 998 kg/m3

v

x

y

v

R


v: velocidad de salida del flujo 17 m/s Q: caudal, 4 L/min 6,6710-5 m3/s : velocidad angular del irrigador ¿? V0: velocidad a la entrada, axial, ¿? R: radio de la cuerda del irrigador 0,20 m : ángulo de la salida del flujo 30 º Tf: par (“torque”) resistivo 0,18 N m Respuesta 5.28 Balance de masa

salida

sssentrada

eeeVC AvAvt

m

dd


e e e e eentrada

T r v v A

dds s s s s VC

salida

r v v A r v Vt

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el fluido dentro del irrigador - Proceso isotérmico - Volumen de control fijo 0VCv - Flujo incompresible (densidad constante) Constante se

- Flujo de masa en estado estacionario 0d

d

tmVC

- Pérdidas de fuerza por fricción y fuerzas de fricción dentro del fluido y entre el fluido y la pared, expresadas por el par dado

- Fuerzas internas, en el conducto, de presión y ca-beza hidrostática despreciables 0 se zzg

- Fuerzas netas debidas a la presión, despreciables 0 atmsatme PPPP


- Las fuerzas y la cantidad de movimiento se com-pensan por simetría y se desprecian.


2221110 AvAvAv eee Con lo que el flujo de masa 22222111 QAvAvAv eee El balance de momento de la cantidad de movimiento 111221 AveveverT rrr

222222 Avevever rrr

AvesenveRveRT rr

cos

AvesenveRveR rr cos

En la dirección z. fz TQRvRT cos Despejando la velocidad angular,

2

cosRQ

TR

v f


23

3 m 2,0s

m5E67,6mkg998

m N 18,0m 2,0

º30cossm17

La velocidad angular del irrigador es Hz 95,0rad/s6 5.28


Capítulo 6

DIFUSIÓN UNIDIMENSIONAL DE LA ENERGÍA Y DE LA MASA DE UNA SUSTANCIA

6.1 MODELO PARA LA DIFUSIÓN DE CALOR Y DE

LA MASA DE UNA SUSTANCIA, A TRAVÉS DE UNA MASA FIJA

6.1.1 Fundamento Se propone un modelo general para la transferencia de la energía o la masa de una sustancia que atraviesa una masa fija, es decir dicha masa no se mueve en la direc-ción del flujo de la energía o de la masa de la sustancia. El fenómeno se denomina transferencia de calor por conducción, en el caso de la energía y se aplica la ley de Fourier. Para la transferencia de masa de una sustancia, se denomina difusión de masa (de la sustancia en cuestión) y se aplica la ley de Fick. Los siguientes son los casos típicos de volúmenes de control, en la Ingeniería. Los modelos se definen en forma genérica, para realizar cálculos y para poder modelar sistemas de paredes y capas de fluidos, por otro lado para obtener parámetros experimentalmente.

Cilindro, n 1

r

D

qr NAr

x

qx NAx

Placa, n 0 Esfera, n 2

r

D qr NAr

Capítulo 6. Difusión unidimensional 246 G. Chacón V.

Consideraciones del modelo - Flujo de energía o de la sustancia A en estado

estacionario

0

tT

0

tC A

- Volumen de control fijo o inercial 0VCv - No hay flujo de masa total 0v - Material del volumen de control isótropo - Parámetros constantes ) ó ,constante( ACTrk ) ó ,constante( AAB CTrD - Flujo unidireccional

Placa 0

yT

, 0

zT

; 0

yC A , 0

zC A ó

Cilindro 0rT

, 0

zT

; 0r

C A , 0

zC A ó

Esfera 0rT

, 0sen

r

T;

0r

C A , 0sen

r

CA .

El balance diferencial de energía o de una sustancia, cuyas ecuaciones se muestran en los cuadros 26 al 28, se expresa mediante;

Conducción de calor Difusión de una sustancia

01

Gqrrr r

nn 01

AArn

n RJrrr

Ley de Fourier Ley de Fick

rTkqr

r

CDJ A

ABAr

Sustituyendo nn rG

rTrk

r

nA

AnAB rR

rC

rDr


Integrando las expresiones se llega al resultado operati-vo Para la conducción del calor

21 d1dd1d TEnTEn

n Crr

CrrrGr

Tk

(6.1) Para la difusión de masa de una sustancia A

21 d1dd1d TEnTEn

AnAAB Crr

CrrrRr

CD

(6.2) Con las condiciones adecuadas de contorno (de frontera, cotas o límites) de acuerdo con la naturaleza física (física, química, geométrica, etc.) del proceso que se lleva a cabo en el sistema, se evalúan la CTE1 y la CTE2 La transferencia de calor o masa de A se evalúa en algún punto de la pared denotado con un “sub 0” y

Calor: 2/

2/0

0Dr

Dr rTAkQ

o

Masa de A: 2/

2/0

0Dr

ADrABA r

CADN

Se define que flujo el flujo de calor o masa de A es proporcional a la diferencia de potencial (temperatura o concentración de A) entre el punto de referencia y otro de características conocidas.

Calor:

22

2200

0

D

rD

rE

Dr

TTAk

Q (6.3)

Masa de A:

22

2200

0

D

rADrA

E

DrAB

A CCAD

N (6.4)

El coeficiente U0 se conoce como coeficiente global o total de transferencia, evaluado en un punto 0, y su inverso


incluyendo el área, como una resistencia, R (térmica o másica).

0

2/

00

01A

AkAR

U Dr

E

ó

0

2/

00

01A

ADAR

K Dr

E

ABC

El valor E se define como un espesor equivalente.

2

2,

2f 00

DD

E

6.2 PAREDES, DIFUSIÓN A TRAVÉS DE 6.2.1. Modelo, para paredes Representando en forma general el sistema con la siguiente figura, del esquema de una pared.

El modelo para el caso, común en Ingeniería, de pare-des, como aislantes, tuberías tanques, etc., se obtiene considerando parámetros constantes y que se conocen las condiciones de contorno en las caras extremas de las paredes; para luego incluir el modelo obtenido en mode-los más complejos según las necesidades.

D0

T0 CA0

T CA


Con las consideraciones adicionales

- Parámetros: Constantesy ABDk - No hay generación 0G

y las condiciones de contorno Cuando r = D0/2 entonces T = T0 ó CA = CA0 Cuando r = D0/2 + entonces T = T ó CA = CA Resolviendo las ecuaciones 6.1 y 6.2, para cada uno de los casos, y evaluando el flujo de calor o masa de una sustancia, según corresponda, con las ecuaciones, 6.3 y 6.4, se obtienen:

Placa plana, n = 0, D0 = 0 Flujo de Calor Flujo de la sustancia A

Perfil del potencial

rTTTT

0

0

rCCCC

AA

AA

0

0

espesor E área base LWA 0

Cilindro hueco, tubo, n = 1 Flujo de Calor Flujo de la sustancia A


0

0

0

0

0

2ln

2ln

DD

Dr

TTTT

0

0

0

0

0

2ln

2ln

DD

Dr

CCCC

AA

AA

Espesor

0

0 21ln2 D

DE

Área base LDA 00


Esfera hueca, n = 2 Flujo de Calor Flujo de la sustancia A


00

0

0

0

12

1

12

1

DD

DrTTTT

00

0

0

0

12

1

121

DD

DrCCCC

AA

AA

Espesor

0

21D

E

área base 200 DA

6.2.2. Efectos combinados Cuando se tiene un sistema de varias paredes, de diferentes materiales, en contacto y a su vez sus paredes extremas están inmersas en medios fluidos,

se obtiene un modelo general, con las siguientes consi-deraciones: - Se cumple el modelo anterior para paredes - Parámetros constantes

TfI

T0 · · ·

TN TN-1

T2 TfE

N 2 1

T1


- Contacto entre paredes perfecto (sin burbujas, y los efectos de soldadura, aire, corrosión, asperezas, etc., se consideran como despreciables)

- La radiación a baja temperatura, se incluye como

parte del coeficiente de película. Para altas tempe-raturas, debe considerarse por aparte

- La transferencia de calor entre una fase fluida y una

sólida se representa adecuadamente por la ley de enfriamiento de Newton. En forma análoga, la transferencia de masa entre fases

21 TTAhQ ó 21 AACA CCAkN - La temperatura, Tf, o la concentración, CAf, en el

seno del fluido, se considera homogénea y cons-tante a partir de una distancia dada de la pared. El coeficiente de transferencia correspondiente, h o KC, se aproxima como constante.

Efectuando el balance de energía, en cada capa se obtiene

0101

100 TTAkTTAhQ

EfIfI

111212

2 NNN

EN

N

E

TTAkTTAk

fIfERRfENNfE TTAUTTAh Con lo que, para fIfERR TTAUQ

12

2

01

1

0

1AkA

AkA

AhA

URERE

fI

R

R

RiAh

AAk

A

NfE

R

NN

REN

1

(6.5)


En forma análoga para la masa de una sustancia A Para fIAfEARRA CCAKM ,,

12;

2

01;

1

0;

1AD

AAD

AAk

AK AB

RE

AB

RE

fIC

R

R

NfEC

R

NNAB

REN

AkA

ADA

;1;

(6.6)

Para los espesores equivalentes se tiene

Espesor equivalente Razón de áreas Placa plana

1 iiEi xx 11

i

R

AA

(6.7)

Cilindro hueco, tubo

1

1 ln2 i

iiEi D

DD

11

i

R

i

R

DD

AA

(6.8)

Esfera hueca

211

ii

i

iEi

DDD

D

2

11

i

R

i

R

DD

AA

(6.9)

Nomenclatura usada UR: coeficiente total de transferencia de calor, con

referencia a un punto (área) R, m/s AI: área de transferencia de calor, en un punto i, m2 kI: conductividad térmica de la capa i, J/m s K h : coeficiente de película o conductancia térmica,

J/m2 s K hC : conductancia de contacto térmico, J/m2 s K KR: coeficiente total de transferencia de masa, de A,

con referencia a un punto (área) R, m/s DAB: difusividad másica de A en B, m2/s R : factor de resistencia térmica o másica F : factor de resistencia por la suciedad (“fouling”)


6.2.3 EJERCICIOS Ejemplo 6.1. Modelo simple para el coeficiente de pelí-

cula de un fluido Un modelo simplificado para la difusión de calor de una masa de un fluido en reposo desde un objeto esférico, suspendido en él, es considerar que el calor sólo se transmite por difusión (“pura”); es decir que se despre-cian los efectos convectivos provocados por la fuerza boyante debido a la diferencia de densidades y de otros tipos de flujo. Considerando que se conocen la tempe-ratura en la pared del objeto y la del seno del fluido, evalúe el número de Nusselt, es decir, el coeficiente de película. Respuesta 6.1 Diagrama del volumen de control

Datos conocidos: D : diámetro del sólido m Ts : temperatura en la superficie (externa, del sólido) (Ts TrD2) K Tf : temperatura en el seno del fluido (Tf Tr) K

Ts

Tf

r

D D

qr


Relaciones de la transferencia de calor para paredes esféricas fEfIRR TTAUQ 2DAs

12

2

01

1

0

1AkA

AkA

AhA

URERE

fI

R

R

RiAh

AAk

A

NfE

R

NN

REN

1

211

ii

i

iEi

DDD

D

2

11

i

R

i

R

DD

AA

Lo que se pregunta es el coeficiente de transferencia de calor o de película, que se define como fss TTAhQ Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Las del modelo de la transferencia de calor en

paredes - Volumen de control: el fluido alrededor y cerca de

la esfera. Se considera como una esfera hueca o capa de fluido alrededor de la esfera

- El fluido no presenta movimiento (provocado por alguna fuerza)

- La conductividad térmica, k, del fluido es constante - La temperatura en el seno del fluido, Tf, se consi-

dera a una distancia muy grande (infinita). Expresando el flujo de calor en términos de los datos conocidos. fsss TTAUQ

211 ss

s

sE

s

DDDD

kAkA

U


Simplificando y obteniendo el límite cuando la distancia, radial, en el fluido es muy grande

kD

kD

DDD

klím

Usss

Ds

22

12

11

Las relaciones del calor para este caso son

fssfsssfss TTAD

kTTAUTTAhQ

2

Por lo que

D

kh

2

Y el número de Nusselt es

2

kDhNu 6.1

Nota: un modelo propuesto es Nu = 2 + 0,43 (GrD Pr)1/4 Para GrD Pr < 1 - 1011

Ejemplo 6.2. Pérdidas de masa por las paredes de un

tanque En un tanque, de acero, cilíndrico de 1 m de diámetro y 1,25 m de altura (internas) con 1,6 mm de espesor, se almacena hidrógeno a 1.3 MPa y 300 C. Calcule el tiempo trascurrido para que la presión del gas se reduzca a la mitad. Respuesta 6.2



Datos conocidos: Sea: H Referente al hidrógeno M Referente al metal La solubilidad del hidrógeno (H2), SH, en la superficie del metal es proporcional a la raíz cuadrada de la presión del gas en el tanque, a una temperatura dada.

21

PS H SH (1 Atm.; 300C) = 1 p.p.m. = 10-6 kgHidro/kgAcero D : diámetro interno del tanque 1,00 m L : largo interno del tanque 1,25 m M: densidad del metal 7,3 Mg/m3 DHM: difusividad másica del hidrógeno en el acero a 300 C 510-6 m2/s T : temperatura del sistema 573 K Pi : presión inicial del hidrógeno en el tanque 1,3 MPa R = 8,31451 = kJ/kmol K Balance de masa del gas en el tanque

salida

sssAentrada

eeeAVCA AvCAvC

tmd

d

VCAAfAwACC VRCCAk

r

CHo CH

NAr D

L

NAr


Relaciones de la transferencia de masa para las paredes fIAfEARRA CCAKM ,,

12;

2

01;

1

0,

1AD

AAD

AAk

AK AB

RE

AB

RE

fIC

R

R

NfEC

R

NNAB

REN

AkA

ADA

,1;

Paredes cilíndricas

LDA

1

1 ln2 i

iiEi D

DD

11

i

R

i

R

DD

AA

Paredes planas

42DA 1 iiEi xx 11

i

R

AA

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones adicio-nales al modelo general. - Volumen de hidrógeno en el metal y volumen de

mezclado (VM) despreciables - No se acumula hidrógeno en la pared metálica - La concentración en la pared, interna, en contacto

con el gas, es su solubilidad o saturación y cumple con el modelo propuesto CH0 SH

- La concentración en la pared, externa es despre-ciable. El hidrógeno se “lava” al alcanzar la pared CH0 CH CH0

- El gas, hidrógeno, dentro del tanque se comporta como gas perfecto o ideal CH0 P/R T

- La temperatura del sistema se mantiene constante - Se desprecia la curvatura de las caras laterales

(bases) (se consideran planas) - No se manifiesta reacción química, (-RA) 0


Balance de hidrógeno para el gas dentro del tanque como volumen de control.

DgasDAVCA M

tm

dd

Balance del hidrógeno dentro de las paredes (curva y las dos planas) de metal

,0, HHCaracurvaRRDparedesDA CCAKM

,0,2 HHCaralateralRR CCAK

Suponiendo la condición de continuidad

DparedesDADgasDA MM

Entonces

0,,2

dd

HHCaralateralRR

CaracurvaRR

VCA CCAKAKt

m

Considerando el gas en el tanque como gas perfecto y sustituyendo las relaciones constitutivas, con base en el diámetro interno

ii

R

DD

AA

21

0,,0, PSCCC HHHH

tTR

LDP

d4

d2

2

1

2

22

422ln

2

PDD

DD

DDD

LDD HMHM


Considerando la aproximación

DDD 2ln

2

Nota: m 0016,0m 1

m 0016,021ln2m 1

Reuniendo los términos constantes

LDTR

DHM

2114

Simplificando, la ecuación de la presión (Balance de hidrógeno), queda

tPP

dd2

1

Integrándola con la condición inicial a t 0 entonces P Pi

tPiP2

21

21

Cálculo de :

21atm) (1300K) atm, 1(

PSH

H

H

21

3M

M

H

kg 016,2mol 1000

Pa 101325

mk3E5,7

kgk6E10

gg

2

13H Pa /mmol 0117,0

Cálculo de :


m 0016,0

s m10E5

Pa m

mol00117,042

213

H

m 25,12

1m 11K 15,573

K molJ31451,8H

/sPa 1076,9 2

15 El periodo trascurrido para alcanzar una presión dada en el tanque es:

2

12

12 PPit

Sustituyendo valores,

s 6E1

Ms1

/sPa 5E76,9

5,01Pa 6E3,12

21

21

21

t

Ms 8,6t h 5 :dias 79t 6.02 Ejemplo 6.3. Diámetro crítico Se desea probar un aislante, hecho con caolín y resinas sintéticas. Los datos experimentales sugieren que se puede utilizar entre 5 y 300 C y que su conductividad térmica es de 0,21 W/m K. La prueba de campo consiste en cubrir con una capa de 25 mm de espesor, de dicho aislante, un tubo de bronce No. 2” BWG 14. El ambiente está controlado a 20 C y presenta un coeficiente de película de 3,8 W/m2 K. Considerando que la temperatura en la capa interior del aislante se mantiene en 150 C, evalúe las pérdidas de calor y compárelas con las correspondientes al tubo sin aislante (a la misma temperatura en la pared).


Respuesta 6.3 Datos conocidos, para el aislante: D0 : diámetro interno 0,0508 m T0 : temperatura en la pared interna 150 C D : diámetro externo 0,1008 m T : temperatura en la pared externa ¿? Tf : temperatura en el seno del fluido 20 C k : conductividad térmica del material aislante 0,21 W/m K h : coeficiente de transferencia de calor del ambiente 3,8 W/m2 C Diagrama del volumen de control, del aislante

Relaciones de la transferencia de calor para paredes cilíndricas fEfIRR TTAUQ LDA

12

2

01

1

0

1AkA

AkA

AhA

URERE

fI

R

R

RiAh

AAk

A

NfE

R

NN

REN

1

1

1 ln2 i

iiEi D

DD

11

i

R

i

R

DD

AA

Tf

r

T0

T

2

2 qr


Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Las del modelo de la transferencia de calor en

paredes - Volumen de control: pared de material aislante - Las conductividad térmica, k, del material aislante

se considera constante - Se conoce la temperatura en el medio. Expresando el flujo de calor en términos de los datos conocidos. fTTAUQ 000

, LDA 00

DhD

DD

kD

U

0

0

0

0

ln2

1

Sustituyendo en la ecuación de la transferencia de calor.

DhD

DD

kD

TTLDQ f

0

0

0

00

ln2

Simplificando

DhDD

k

TTLQ f

1ln2

1

0

0

Sustituyendo valores, el flujo de calor es

m 1008,0K W/m,831

m 0508,0m 1008,0ln

K W/m21,021

K 20150

2

LQ

W/m3,96LQ

6.03 a)


Para el caso sin aislante

fTThDLQ

00

Con los valores del dados

K 20150K m

W83m 0508,0 2 ,LQ

W/m8,78LQ

6.03 b)

El aislante aumenta en un 22 % las pérdidas, transfe-rencia de calor al medio.

Generalización del modelo para el DIÁMETRO CRÍTICO

Consiste el establecer el diámetro (o el radio) que maxi-miza la transferencia de calor

01ln

21

0

0

DhDD

k

TTLQ f

Derivando con respecto al diámetro externo

2

0

20

1ln2

1

12

1

dd1

DhDD

k

DhDkTT

DQ

L

f

El diámetro crítico Dc se da cuando

0dd

D

Q para cDD


Con lo que se obtiene el

Notas:

- 0

ln1dd1

2

0

20

22

2

DD

k

hTT

DQ

Lf

hkD

- Para el caso, en discusión,

m 1008,0m 11,0K m W83

K m W21022

,,DC

El diámetro del aislante es menor que el crítico, por lo tanto aumenta la transferencia de calor.

- Para una esfera, el diámetro crítico es h

kDc

4

Ejemplo 6.4. Espesor de un aislante Se propone aislar un tubo de acero No. 1½” cédula 40, por el cual fluye vapor de agua condensante a 275 kPa. Para lo que se utiliza una capa de magnesia al 85%. El ambiente se encuentra a 30 C. Determine el espesor de la capa de aislante para reducir la transferencia de calor a la cuarta parte de la correspondiente al sistema sin aislamiento. Respuesta 6.4 Diagrama del volumen de control

DIÁMETRO CRÍTICO

hk

Dc

2


Datos conocidos: hA : coeficiente de transferencia de calor (de película) del vapor condensante dentro del tubo (Coulson et All) 9,7 kW/m2 K P : presión del vapor condensante 275 kPa TA : temperatura del vapor condensante 130,6 C hB : coeficiente de transferencia de calor (de película) del aire 14,3 W/m2 K TB : temperatura del aire 30 C D0 : diámetro interno del tubo 0,0409 m D1 : diámetro externo del tubo 0,0483 m k1 : conductividad térmica del acero 42,9 W/m K D2 : diámetro externo del aislante ¿? k2 : conductividad térmica del material aislante 0,069 W/m K Relaciones de la transferencia de calor para paredes cilíndricas fEfIRR TTAUQ LDA

qr

D2

D0

D1

TA

TB


12

2

01

1

0

1AkA

AkA

AhA

URERE

fI

R

R

RiAh

AAk

A

NfE

R

NN

REN

1

1

1 ln2 i

iiEi D

DD

11

i

R

i

R

DD

AA


paredes - Volumen de control: el medio Interno, las capas de

tubo metálico y de aislamiento y el fluido externo. Expresando el flujo de calor en términos de los datos conocidos. BA TTAUQ 00

0

0

0

1

1

0

0

0

0

ln2

1DD

DD

kD

DhD

U A

2

0

1

0

1

2

2

1 ln2 Dh

DDD

DD

kD

B

Sustituyendo y simplificando

22

12

1

01

0

12

ln2

ln1Dhk

DDk

DDDh

TTLQ

BA

BA

Evaluando el calor, para el caso del tubo sin aislamiento,

11

01

0

0 12

ln1Dhk

DDDh

TTLQ

BA

BA

Comparando los dos resultados


22

12

1

01

0

11

01

0

0 12

ln2

ln1

12

ln1

DhkDD

kDD

Dh

DhkDD

DhQQ

BA

BA

Sustituyendo valores, haciendo 21 DDx

K mW9,422

1

K mW9700m 0409,0

1

2Q

TTL BA

K mW3,14m 0483,0

K mW069,02

1lnm 0409,0m 0483,0ln

2

xx

y

K mW9,422

1

K mW9700m 0409,0

1

20Q

TTL BA

K mW3,14m 0483,0

1m 0409,0m 0483,0ln

2

Comparando

452,1

448,1ln246,700446,040 xxQQ

Resolviendo para x, 00093,4ln005,5 xx Con el valor inicial de 1, se obtiene 4956,021 DDx Con lo que m 0975,04956,0m 0483,02 D


Y el espesor es

2

m 0483,0m 0975,02

12

DD

mm 25 (1 pulgada) 6.4 Ejemplo 6.5. Temperatura intermedia Un conducto de acero inoxidable 304 No. 1½” céd. 40, transporta una salmuera a –10 C (h = 570 W/m2 K). El sistema se encuentra en un ambiente a 22 C (aire en reposo h = 12 W/m2 K). Si se recubre con un aislante de fibra de vidrio de ½ pulgada, seguido de una capa de aislante orgánico, cuya temperatura de trabajo está entre 10 y 70 C (k = 0,075 a 0,094 W/m K), de 35 mm. Determine la temperatura en la interfase fibra inorgánica – aislante orgánico. Datos conocidos: hA : coeficiente de transferencia de calor del fluido interno 570 W/m2 K TA : temperatura del fluido interno -10 C D0 : diámetro interno del tubo No. 1½” céd. 40 0,0409 m D1 : diámetro externo del tubo No. 1½” céd. 40 0,0483 m k1 : conductividad térmica del acero 304 14 W/m K D2 : diámetro externo del aislante fibra de vidrio (12,7 mm) 0,0737 m k2 : conductividad térmica de la fibra de vidrio 0,030 W/m K D3 : diámetro externo del aislante orgánico (35 mm) 0,1437 m


k3 : conductividad térmica del material orgánico 0,085 W/m K hB : coeficiente de transferencia de calor del fluido externo 12 W/m2 K TB : temperatura del fluido externo 22 C Diagrama del volumen de control

Respuesta 6.4 Relaciones de la transferencia de calor para paredes cilíndricas fEfIRR TTAUQ LDA

12

2

01

1

0

1AkA

AkA

AhA

URERE

fI

R

R

RiAh

AAk

A

NfE

R

NN

REN

1

1

1 ln2 i

iiEi D

DD

11

i

R

i

R

DD

AA

qr

TB

D3

D0

D2 D1

TA



paredes - Volumen de control: el medio interno, las capas de

tubo metálico y de aislamiento y el fluido externo. Expresando el flujo de calor en términos de los datos conocidos. BA TTAUQ 00

0

0

0

1

1

0

0

0

0

ln2

1DD

DD

kD

DhD

U A

1

0

1

2

2

1 ln2 D

DDD

kD

3

0

2

0

2

3

3

2 ln2 Dh

DDD

DD

kD

B


1

01

0 2ln1

kDD

DhTTLQ

ABA

33

23

2

12 12

ln2

lnDhk

DDk

DD

B

Evaluando el calor, Q , para el caso en que se define (“conoce”) la temperatura intermedia fibra inorgánica – aislante orgánico, T2. Procediendo en forma análoga 200 TTAUQ A

II

1

0

1

2

2

1

0

0

0

1

1

0

0

0

0

ln2

ln2

1DD

DD

kD

DD

DD

kD

DhD

U AII



2

12

1

01

0

2

2ln

2ln1

kDD

kDD

Dh

TTLQ

A

A

Comparando los dos resultados

33

23

2

12

1

01

0

2

12

1

01

02

12

ln2

ln2

ln12

ln2

ln1

DhkDD

kDD

kDD

Dh

kDD

kDD

DhTTTT

BA

A

BA

A


C 2210C 102T

K mW030,02

m 0483,0m 0737,0ln

K mW142

m 0409,0m 0483,0ln

m 0409,0K m

W570

1

2

K m

W030,02

m 0483,0m 0737,0ln

K mW142

m 0409,0m 0483,0ln

m 0409,0K m

W570

1

2

m 1437,0K m

W12

1

K mW085,02

m 0737,0m 1437,0ln

2

Con lo que

5799,09278,30429,70059,00429,00429,70059,00429,0C 32C 102

T

La temperatura en la interfase fibra inorgánica – aislante orgánico C 92 T 6.5


Ejemplo 6.6. Variación de la conductividad térmica con la temperatura. Para una pared, con sección trasversal cuadrada (base) y en forma piramidal (el perímetro varía linealmente con la altura), que está sometida a una diferencia de tempe-raturas, evalúe el flujo de calor, considerando que: - La conductividad del material varía linealmente con la

temperatura - El flujo de energía está en estado estacionario (la

diferencia de temperaturas se mantiene constante) - El flujo de energía por las paredes laterales es

despreciable. Diagrama del volumen de control

Datos conocidos: a : lado de la base interna 0.05 m b : lado de la cara externa 0.10 m : espesor 0.15 m T0 : temperatura en la pared interna 600 K T : temperatura en la pared externa 300 K

Conductividad térmica del material T K 260 370 550 750 k W/m K 0,142 0,151 0,162 0,178

x

a

y

x0 x xx

b

z

T0 xQ h

T


Respuesta 6.6 Relaciones para la transferencia de calor En este caso como el área varía y está en coordenadas rectangulares, cartesianas, se debe partir de la relación básica:

.A.Cd AqQ

Relación para la conductividad térmica. Tkk 10 Ajustando los datos del cuadro de conductividad térmica dado, por medio del método de mínimos cuadrados, se tiene que k0 0,1235 W/m K 5,838310-4 1/K se 0.0011 W/m K r 0,9953 Relación para el área. 2hAx Por el teorema de Thales. axh

31

m 150m 05,01,0

,

ab

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: la pieza descrita - La conductividad térmica del material, k, varía

linealmente con la temperatura - El flujo de energía está en estado estacionario (la

diferencia de temperaturas se mantiene constante), por lo que Q es constante

- El flujo de energía por las paredes laterales es despreciable

- La temperatura no varía con y ni con z. Expresando el flujo de calor en términos de la tempera-tura y la distancia, con la ley de Fourier.


..A.C

dddd

Ax xAxTkAqQ

xhy

y

xhz

zyz

xTTkQ dd

dd10

Integrando

20 d

d1 hxTTkQ

Sustituyendo, h en términos de x

20 d

d1 axxTTkQ

Separado variables

TTkax

xQ d1d02

Integrando con Q constante

0

20

0

12

T

T

Q k T Tx a

2 2

0 0 01 1

2Q k T T T T

a a

Arreglando

0

00 21

TTbaTTk

Q

Nota:

0GMTAM TTA

kQ


Con:

2

0A

TTT M

AM

0TA 2

kkk

k TTM

22

GM baA

Sustituyendo valores, el flujo de calor es

2K 600300

K110838,51

m ,150K m

W123,04Q

K 300600m 10,0m 05,0 W6,1Q 6.06 Ejemplo 6.7. Tubo empotrado Por un tubo empotrado en una pared se transporta un metal líquido. La pared tiene un espesor de 1,2 m y una conductividad térmica que se puede aproximar como

k (W/mK) = 0,073 [1 + 0,0054 T (K)] La superficie interna, de la pared, se mantiene en 925 K y su cara externa está expuesta al aire, con una temperatura de 300 K y un coeficiente convectivo de transferencia de calor de 23 W/m2 K. Evalúe la distancia, desde la superficie caliente, a la cual se debe colocar el tubo para que su temperatura no exceda 650 K. Datos conocidos: : distancia a la que debe estar el tubo ¿ ? : espesor de la pared 1,2 m T0 : temperatura en la pared interna 925 K T : temperatura en la pared externa ¿ ? Tf : temperatura del medio externo 300 K T : temperatura del tubo 650 K hS : coeficiente de transferencia de calor del fluido externo 23 W/m2 K



Respuesta 6.7 Relación para la transferencia de calor, se parte de la relación básica:

.A.Cd AqQ

Para la pared externa (interfase sólido-gas) se cumple la ley de enfriamiento de Newton. ATThQ fxfx

Relación para la conductividad térmica. Tkk 10 k0 parámetro de conductividad térmica 0,073 W/m K coeficiente para la temperatura, de la conductividad térmica 0,0054 1/K Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: la pieza descrita

T0

x

y

T

xQ T

x0 x

Tf


- La conductividad térmica del material, k, varía linealmente con la temperatura

- El flujo de energía está en estado estacionario (la diferencia de temperaturas se mantiene constante), por lo que Q es constante

- El flujo de energía por las paredes laterales es despreciable

- La temperatura no varía con y ni con z - Geometría perfecta. Expresando el flujo de calor en términos de la tempe-ratura y la distancia, con la ley de Fourier.

..A.C

dddd

Ax xAxTkAqQ

A

AxTTkQ

0 0 ddd1

Integrando

AxTTkQ

dd10

Separado variables TTAkxQ d1d 0 Integrando con Q y A constantes

T

T

TTAkxQ0

20 2

xATTTTkQ

2

02

00 2

Aplicándolo en la pared externa, x , para evaluar el flujo de calor

ATThATTTTkQ ff

20

200 2


Sustituyendo valores, la temperatura y el flujo de calor son, respectivamente

K 20054,0K 925

K mW073,0 T

AQ

K 300K m

W23m 2,1

1K 925 2222 TT

Al simplificarse y resolverse la ecuación, se obtiene 01032,41002,72 742 TT K 307T El flujo de calor es:

K 20054,0K 925307

K mW073,0

AQ

K 300307K m

W23m 2,1

1K 925307 2222

2 W/m162AQ La distancia, desde la superficie caliente, , a la cual se debe colocar el tubo para que su temperatura no exceda 650 K es

2

222

mW162

K 925650K 2

0054,0K 925650K m

W073,0

m 65,0 6.07


6.3 ALETAS, DIFUSIÓN A TRAVÉS DE SUPERFICIES EXTENDIDAS O ADICIONALES

6.3.1. Modelo, para superficies extendidas Las superficies extendidas se emplean para aumentar la transferencia de calor, o masa, de una pared al medio, aumentando, o proyectando, el área de transferencia de calor. Su uso se ve limitado, pues al aumentar el área de la aleta disminuye la temperatura (fuerza motriz) a lo largo de la misma. Por otro lado, también, para cuando la resistencia térmica del medio (fluido) es muy pequeña comparada con la resistencia térmica de la aleta (sólido). Representando en forma general el modelo de una aleta, con el esquema.

Nomenclatura: S: área lateral de la aleta A: área trasversal a la aleta A0: área de la base de la aleta L: largo de la aleta AF: área total de la aleta

W = 2 t

Tf = T T0

L

z

r r

Ar

Volumen de control diferencial

rQhQ

r

hQ

S Tr

S

Trr


W: espesor de la aleta, W 2 t k: conductividad térmica del material de la aleta h: coeficiente de película o transferencia de calor

del medio que rodea la aleta T0: temperatura de la base en la aleta T Tf: temperatura del medio de la aleta

Consideraciones del modelo

- Flujo de energía en estado estacionario 0

tT

- Pared delgada 0L

W 0

zT

- Flujo unidireccional de calor 0r

T

- Parámetros constantes Ctek y Cteh - Resistencias térmicas, relativas,

medio/aleta pequeña 12 khW El balance diferencial de energía (Se puede hacer lo mismo para el balance de una sustancia);

δ δ 0fT Sk A r h r T T

r r r

Aproximando los parámetros como constantes y definiendo fTTΘ

0dd1

dd

dd1

dd

2

2

ΘrS

Akh

rΘ

rA

ArΘ

(6.10) La transferencia de calor se calcula en un punto dado, se escoge la base de la aleta (0)

0

00

0 dd

dd

RrRr

RrRr r

ΘAkrTAkQ

(6.11)


Condiciones de contorno Cuando r = R0 entonces T = T0 o = 0 La otra cota puede interpretarse de diferentes formas, cuando:

r = RL entonces fRreRr

TThrTk

LL

dd

o bien L

L

RreRr

hr

k

dd

Con los siguientes criterios a) he h b) he = h c) he 0 , W/L 0 ó 0 LRrA

Eficiencia Se define, como el rendimiento obtenido con respeto a la máxima capacidad física de la aleta, para transferir el calor.

0TQ = calor, que se transfiere como si toda la aleta se encontrase a la temperatura de la base de la aleta.

NA = área total de la pared sin aletas

FA = área total de las aletas (en contacto con el medio) Entonces el calor, si toda la aleta está a una misma temperatura, igual a la de la base, es fFT TTAhQ 00

La eficiencia se define como 0T

F QQ

(6.12)

Y el calor trasferido por una pared con aletas es: fFFN TTAAhQ 0 (6.13)

Transferencia de calor para

aletas


Eficacia Otro término útil para evaluar las aletas es comparar el calor transferido con y sin aletas

0AQ = calor, que se transfiere, desde de la pared, si se ha retirado la aleta correspondiente, con área A0.

00 Rr

AA

= área sobre la pared, que ocuparía la aleta

fA TTAhQ 000

La eficacia se define como

FF

AA A

AQQ

00

0

(6.14)

6.3.2 Aleta rectangular de sección constante, Modelo

para Es la superficie extendida formada por una placa de área trasversal constante (recta) adherida a una pared plana.

W

Tf = T T0

Espina

L

r

W

Tf = TT0

L

Volumen de control semi diferencial

B


NOTA: El modelo sirve también como aproximación para paredes curvas con un ancho de la aleta muy grande (LB0). Balance de energía, diferencial

0dd1

dd

dd1

dd

2

2

ΘrS

Akh

rΘ

rA

ArΘ

(6.10)

Aleta rectangular Espina o aleta cilíndrica A = B·W A = ·W2/4 S = 2 (B + W) r S = ·W·r dS = 2 (B + W) dr dS = ·W dr

kWh

kWBhWBm

22

kWhm

4

(6.15)

AF = 2·B·L + 2·W·L + B·W 2·B·L

AF = ·W·L + ·W2/4 ·W·L

Con lo que queda

0dd 2

2

2

ΘmrΘ

Cuya solución, con las siguientes condiciones de contor-no, es cuando r = 0 entonces = 0

y cuando r = L Lre

Lr

ΘhrΘk

dd

Lmkm

hLm

rLmkm

hrLm

ΘΘ

e

e

senhcosh

senhcosh

0

El calor transferido, se evalúa en la base de la aleta,

r = 0 0

00

0 dd

dd

r

rr

r rΘAk

rTAkQ

Con lo que


0 0

tanh0

1 tanh

e

fe

hm Lm kQ k m A T T h m L

m k

(6.16)

En el modelo usual, se desprecian los efectos de borde

0 km

he o 0BW

y se obtiene 0 0 tanhfQ k m A T T m L (6.17) Según Harper y Brown (1922) la aproximación se puede mejorar si se corrige para,

cuando 1Wm se cambia 2

WLL

Eficiencia La eficiencia se evalúa con el calor trasferido si toda la aleta estuviese a T0, despreciando la transferencia de calor por los bordes.

0 0 0 0

ddT f f

SQ h L T T k m A L T Tr

Obteniéndose

LmLm

F

tanh (6.18)

Que es la primera columna del cuadro 37 (RL/R0 = 1) Notas:

m L 0 F 1 (pero AF 0);

fF TTAkQ 0

m L (m L > 5) F 1/(m L) fF TTAmkQ 0

Eficiencia de la ateta recta


Eficacia

Lmhmk

A

tanh0

(6.19) Nota: Si h Ao 0: no vale la pena poner aletas

Longitud cítrica Pretende encontrar un valor de la longitud de la aleta, L, que ofrezca el máximo, “técnico”, para el calor trasferido. Derivando la ecuación para el flujo de calor, Ec 6.16

22

20 0 2

sech 10

1 tanhC

eC

fL L e

C

hm Lk mQ k m A T T

L h m Lk m

Por lo que 012

mkhe

El resultado no da información sobre la longitud de la aleta, pero sí de la eficacia para valores de

Si 12

khw

0

LQ

La aleta es eficaz

h pequeña, k grande, como el caso de una aleta de metal inmersa en aire.

Si 12

khw

0

LQ

La aleta produce efecto aislante

h grande, k pequeña, como el caso de una aleta de metal inmersa en vapor condensante.

Espesor crítico Se pretende evaluar el mínimo, técnico, del espesor para un área dada AP.


Si LWAP entonces 3

2WkhALm P

Sustituyendo en la ecuación de transferencia de calor para la aleta recta

0 3

22 tanhPA f P

hQ B k h W T T Ak W

Para un máximo en W

30

2tanh2

12Wk

hAW

TThkBW

QPf

AP

32

5

2sech123Wk

hAWk

hAW PP

Igualando a cero la derivada con W WC, se tiene

CCC WkhL

WkhL

WkhL 2sech232tanh 2

Simplificando con CWk

hLx

2

xxx 2sech3tanh

La raíz es 4192,12

CWk

hLx

Con lo que khA

kLhW PC

998,0993,02

Y el calor es

0 00, 632T C fQ h B W T T La eficiencia para el espesor crítico es 63,0

WcF

Eficiencia de la ateta recta para el espesor crítico


6.3.3 Aleta anular de sección constante, Modelo para La aleta anular, es una placa que rodea un cilindro (conducto o varilla) para aumentar la transferencia de calor (o masa).

Balance, diferencial, de energía

0dd1

dd

dd1

dd

2

2

ΘrS

Akh

rΘ

rA

ArΘ

Aleta rectangular A = 2rW L = RL – R0 : largo de la aleta S = 2 (r2 – R0

2) R0 : radio de la base de la aleta dS = 4r dr RL : radio externo de la aleta

kWhm

2

(6.15)

AF = 2 (RL2 – R0

2) Con lo que queda

0dd1

dd 2

2

2

ΘmrΘ

rrΘ

r W = 2 t

Tf = T

T0

L

RL

r

R0


Cuya solución, con las siguientes condiciones de contor-no, es

cuando r = R0 entonces = 0

cuando r = RL y RLre

RLr

ΘhrΘk

dd

0000

00

0 KIKI

RmCRmrmCrm

ΘΘ

con

Le

L

Le

L

Rmkm

hRm

Rmkm

hRm

C

00

01

KK

II

El calor transferido, se evalúa en la base de la aleta

r = R0 0

0Rr

Rr rTAkQ

En el modelo usual, se desprecian los efectos de borde

0 km

he o 0BW

y se obtiene

fo TTRmkQ 02 (6.20)

LL

LL

RmRmRmRmRmRmRmRm

100101

101101

KIIKKIIK

Se puede usar la corrección de Harper y Brown (1922), auque no sea aleta recta, que se cambia L L W2 Nota: Cuando R0 , es decir RL/R0 1

Rm

RmRm

2expIn

RmRmRm

2

expK n

Por lo que la ecuación para el flujo de calor se calcula como si fuese una aleta recta

00 tanh2 RRmTTRmkQ Lfo


Eficiencia La eficiencia se evalúa con el calor trasferido si toda la aleta estuviese a T0, despreciando los efectos de borde.

foLT TTRRhQ 20

220

Obteniéndose

20

202RRm

R

LF

LL

LL

RmRmRmRmRmRmRmRm

100100

101101

KIIKKIIK

(6.21) Nota: la normalización para hacer los cálculos, con = m (RL - R0) = m L y = RL/R0

1K

1I

1I

1K

1K

1I

1I

1K

12

1010

1111

F

(6.22) Cuyos valores se muestran en el cuadro 37

Figura 6.1 Eficiencias de aletas, de sección trasversal constante.

0,00,10,2

0,30,40,50,60,7

0,80,91,0

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0

(R L - R 0)(h /k W )1/2

Efic

ienc

ia,h

F

RL/R0 1 2 3 5


Eficacia La eficacia se evalúa con el calor trasferido por el área de la base sin aleta.

foA TTRWhQ 020

Obteniéndose

LL

LLA RmRmRmRm

RmRmRmRmhwk

100100

101101

KIIKKIIK2

0

(6.23) 6.3.4 EJERCICIOS Ejemplo 6.8. Aleta rectangular de sección constante Una aleta rectangular de acero al carbono AISI 1010 tiene una longitud de 20 mm y de espesor 1,5 mm. Para una temperatura en la base de 200 C, evalúe la trans-ferencia de calor y la eficacia, si el ambiente está a 20 C y tiene un coeficiente de transferencia de calor de:

a) h = 16 W/m2 K b) h = 8,2 kW/m2 K

Datos conocidos: T0 : temperatura de la base de la aleta 200 C k : conductividad térmica del material (a 110 C) 55 W/m K h : coeficiente de transferencia de calor del fluido caso a) 16 W/m2 K hS : coeficiente de transferencia de calor del fluido caso b) 8,2 kW/m2 K Tf : temperatura del medio 20 C L : largo de la aleta 0,020 m W : espesor de la aleta 0,0015 m B : ancho de la aleta -


Respuesta 6.8 Relaciones de la transferencia de calor para aleta recta fFF TTAhQ 0

LBAF 2 WBA 0 Wkhm

2

Eficiencia

LmLm

F

tanh o cuadro 37 (RLR0 1)

Eficacia FFF

AA W

LAA

QQ

2

00

0

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Las del modelo de la transferencia de calor para

aletas - La conductividad se representa bien para su valor

promedio.

Caso a) Caso b) h = 16 W/m2 K h = 8,2 kW/m2 K

m 2/0015,0020,0ba LL

m 02075,0ba LL m 02075,0aLm

m 00150

2,

K W/m55K W/m16 2

m 02075,0bLm

m 00150

2,

K W/m55

K W/m8200 2

409,0a Lm 25,9b Lm 409,0

409,0tanha F

o del cuadro 37

25,91

25,925,9tanh

b F

948,0a F 108,0b F


Caso a) Caso b)

948,0Km

W 16 2a

BQ

C 20200m 020,02

108,0Km

kW 2,8 2a

BQ

C 20200m 020,02

El flujo de calor por la aleta es

W/m109a B

Q kW/m 4,6b

BQ

6,8

La eficacia de cada caso es Caso a) Caso b)

948,00015,0

020,02a0

A

108,00015,0

020,02b0

A

25

a0A 3

b0A

8,8b

a

0

0 A

A

6.8

Criterio para usar o no aletas

Caso a) Caso b)

2m 00150

2,

khW

KW/m55K W/m16 2

00022,0

2m 00150

2,

khW

KW/m55

K W/m2008 2

11,0 Muy eficaz Poco eficaz


Ejemplo 6.9. Aleta anular de sección constante. Para el diseño de un conducto que transporta un líquido condensante, se desea escoger entre usar: a) Duraluminio o b) Acero inoxidable 304. El conducto es No. 2” céd. 80 con una temperatura en la pared externa que puede aproximarse en 150 C. El siste-ma se usa para precalentar un gas, con una temperatura media de 20 C y un coeficiente de película de 125 W/m2 K, con la ayuda de aletas de 2 mm de espesor, 15 mm de largo, separadas 10 mm entre sí. Como parte de la evaluación técnica y económica, se desea comparar la transferencia de calor de las aletas para cada material. Datos conocidos: T0 : temperatura de la base de la aleta 150 C h : coeficiente de transferencia de calor del fluido 125 W/m2 K Tf : temperatura del medio 20 C L : largo de la aleta 0,015 m W : espesor de la aleta 0,002 m R0 : radio externo del conducto 0,03015 m RL : radio de la aleta k : conductividad térmica de los materiales

Temperatura Acero inoxidable Duraluminio T, K k, W/m K

200 15 136 300 16 166 400 17 185 500 18 195

hC kW/m K 1,9 11

Respuesta 6.9 Relaciones para la transferencia de calor para aleta anular recta fFFN TTAAhQ 0


20

22 RRA LF WRA 00 2 Wkhm

2

Número de aletas entero a Redondeo

1

CWL

N tubo

N : número de aletas Lt : longitud del tubo (Se toma como base 1 mtubo) ¿ ? C : separación entre aletas “claro” o “luz” 0,01 m Eficiencia 6.21 Ec.F o cuadro 37 Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Las del modelo de la transferencia de calor para


promedio.

Caso a) Caso b) Duraluminio Acero inoxidable

m 2/002,0015,0AD LL

m 016,0AD LL

W00011Km

W125Km1 22

D

h

W9001Km

W251Km1 22

A

h

K mW

6,1232D h

K mW

3,1172A h

m 016,0DLm

K W/m177m 0020K W/m23,612 2

,

m 016,0A Lm

K W/m5,61m 0020K W/m117,32 2

,

423,0D Lm 349,1A Lm

53,1mm

03015,0016,003015,0

0

RRL

del cuadro 37

9319,0D F 5967,0A F


Número aletas

tuboaleta/m 84m/aleta 01,0002,0

1

tLN

Área libre de aletas

WRLNLRA ttN 00 22

aletam 0020

maleta 841

m m 03015,02

tubo

,LA

t

N

/mm 1580 tubo2,

LA

t

N

Área de las aletas

tubo

222

m aleta 84

aleta m 03015,00455,02 FA

tubo

2 /mm 596,0FA El flujo de calor es

Caso a) Caso b) Duraluminio Acero inoxidable

,1580Km

W125 2D

tLQ

tubo

2

mm596,093,0

K 20150

,1580Km

W125 2A

tLQ

tubo

2

mm596,059,0

K 20150

tubo

D

mkW 6,11

tLQ

tubo

A

mkW 3,8

tLQ

6,9


La comparación entre los dos materiales (diferencia de su conductividad térmica), es

4,1AD QQ La aleta de duraluminio es un cuarenta por ciento más eficaz que la de acero inoxidable, desde el punto de vista de la transferencia de calor. Ejemplo 6.10. Aleta cilíndrica (pin) Se desea colocar un tapón (cilindro) de 20 mm de diáme-tro en una pared, ambos de aluminio, que se mantiene a -10 C. El ambiente se encuentra a 30 C (h = 12 W/m2 K). Determine el largo de la pieza para que la transferencia de calor no sobrepase a cinco veces la correspondiente a la superficie plana. Considere que los efectos de contacto con la pared son despreciables, que la temperatura en el trozo de tapón dentro de la pared es igual que la de la pared, no se forman perfiles de temperatura con el radio (ni con el ángulo) y que se deben tomar en cuenta los efectos de borde. Diagrama de la vista lateral del volumen de control

L

TfT0

W


Datos conocidos: Tf : temperatura del medio 20 C h : coeficiente de transferencia de calor del fluido 12 W/m2 K T0 : temperatura de la base de la aleta -10 C L : largo de la aleta ¿ ? D : diámetro (espesor) de la aleta 0,02 m k : conductividad térmica del material

Temperatura Aluminio T, K k, W/m K

200 237 300 237 400 240 500 236

hC kW/m K 11

Respuesta 6.8 Relaciones de la transferencia de calor para aleta recta LWAF 42

0 WA

Wkhm

4

Whk

hmku

4

Lmu

uLmTTAmkQ f

tanh11

1tanh00

Calor sin aleta fA TTAhQ 000

Eficacia 0

0A

A QQ

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Las del modelo de la transferencia de calor para


promedio


- Los efectos de contacto con la pared son despre-ciables

- la temperatura en el trozo de tapón dentro de la pared es igual que la de la pared.

Para este caso la eficacia es de 5 (veces el calor correspondiente a la superficie plana)

LmuLmu

A

tanh11

tanh10

Despejando para L:

uuLm

A

A

0

01

tanh


1-2

m 18,3K W/m732K W/m12

m 02004

,

m

8,62 K W/m12K W/m732

m 02004

2 ,

u

Con lo que

064,08,628,625

5118,3tanh

L

El valor de la longitud del tapón es mm 20L 6.10 Ejemplo 6.11. Aletas en un tanque Se tiene un tanque de acero al carbono, que guarda aceite de soya caliente, agitada, que viene de un proceso de purificación con una temperatura de 100 C. El reci-piente tiene 2 m de diámetro externo por 2,5 m de alto, el


aceite alcanza 2,4 m. Se desea colocar aletas alrededor del tanque, cada 0,25 m, de 1/16. El medio se encuen-tra a 20 - 30 C ,12 - 28 W/m2 K. Formule un modelo del comportamiento del flujo de calor, con el tiempo. Datos conocidos: T0 : temperatura de la base de la aleta variable k : conductividad térmica del material

Temperatura Acero 1010 T, K k, W/m K

300 64 400 59

HT : altura del líquido en el tanque 2,4 m DT : diámetro del tanque 2,0 m R0 : radio externo del tanque 1 m L : largo de la aleta ¿? m W : espesor de la aleta 0,00159 m B : ancho de la aleta 2 m Claro : claro entre aletas 0,25 m RL : radio de la aleta ¿? m h coeficiente de transferencia de calor del fluido, medio 12-28 W/m2 K Tf : temperatura del medio 20-30 C T : temperatura del aceite variable CPA: capacidad calorífica del aceite 1,46-1,88 J/kg K A : densidad del aceite 0,89-0,82 Mg/m3 kA : conductividad térmica del aceite 0,095-0,097 W/m K Respuesta 6.11 Relaciones para la transferencia de calor para la aleta anular recta,

para 10

0

0

R

LRRRL


fNFF TTAAhQ 0

LRRRA LF 020

2 42

Wkhm

2

; WRA 00 2

Número de aletas entero a Redondeo

1

laro

tubo

CWL

N

WRNLRA tN 00 22

Eficiencia

LmLm

F

tanh o cuadro 37

Eficacia FFF

AA W

LAA

QQ

2

00

0

Balance de energía para el aceite en el tanque

212d

dVC

m u v gz

t

2

2ee


vPv A u gz

2

2ss


vPv A u gz

f VCACv A H m G

VC VC OTRASQ W E Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Las del modelo de la transferencia de calor para


promedio - La temperatura dentro del tanque es homogénea


- La temperatura en la base de la aleta es igual a la del tanque

0. TT - La relación de radios, es

10

0

0

R

LRRRL

se aproxima como aleta rectangular - La eficiencia se toma como 63,0F - Se toman los valores críticos de las propiedades y

parámetros - La transferencia de calor del aceite es la que se

desprende por las aletas y el área libre de la pared lateral (la otras pérdidas se consideran desprecia-bles)

VCQQ

- Temperatura de referencia K 0. REFT . Simplificando el balance de energía del aceite en el tanque

VCVC Q

tmu d

d

En términos de la temperatura

fNFF

PT TTAAht

TCHR

d

d 20

Simplificando y separando variables

PT

NFF

f CHRAAh

tT

TT 0dd1

Integrando, con la condición de contorno: a t = 0, T = T0 = TI

tTTTT

fI

f

exp


El flujo de calor en cada instante es fNFF TTAAhQ

tTTAAh fINFF exp Evaluando numéricamente

6,15K W/m62m 001590

K W/m122 2

,m

El largo de la aleta, se estima con la eficiencia supuesta.

63,0tanh

Lm

LmF

m 408,1 Lm m 090,06,15/m 408,1 L Número de aletas

aletas 111m 25,0m 00159,0

m 5,2

entero a Redondeo

N

El área de, transferencia de calor, de las aletas 22 m 44,12m 09,0m 14aletas 11 FA El área de libre para la transferencia de calor WRNLRA tN 00 22 m 00159,0m 12aletas 11m 5,2m 12 NA 2m 60,15FA

1/s 0287,0

K kgJ 461m 4,2m 1

mkg 890

m15,6012,440,63K m

W 12

23

22

,


Con lo que se obtiene el flujo de calor

22 m15,6012,440,63

KmW 12Q

s

s0287,0expC 25100 t

El modelo para la transferencia de calor en el sistema es tQ 0287,0exp21 6.11 sen y kW en tQ

Duración del proceso

0, 01 kW 21 exp 0, 0287Q t

1 0,01 kWln0,0287 21 kW

t

min 5s 267 t

O bien, con la temperatura, tT

0287,0exp

2510025

1 25, 25 25ln

0, 0287 75t

min 5,3s 199 t

El estimado del calor total (integrando el resultado anterior para el flujo de calor) es 2000287,0exp1

0287,021

Q

kJ 73 Q 6.11



Capítulo 7

ESTÁTICA DE LOS FLUIDOS 7.1 FUERZA Y PRESIÓN EN UN FLUIDO La Estática de los fluidos se define como la disciplina que estudia los fluidos en reposo relativo. En la que se postula que la p PRamF f

resión y la fuerza

sobre una superficie se evalúan de acuerdo con la Ley de Newton.

La presión (Fuerza interna o reacción) se evalúa con la Ecuación de Navier Stokes

0ˆ gPvv

tv

(2.10)

Con las siguientes consideraciones

1.- No existe movimiento relativo, dentro del volumen de control, v 0

2.- Con lo que no existe deformación (fricción), 0 3.- Sólo se manifiestan fuerzas internas debido a la

presión 4.- La presión en un punto, del fluido, es igual en

todas las direcciones (escalar) Simplificando, se obtiene la fuerza por unidad de volu-men sobre una “partícula” de fluido 0 gP

(7.1)

Variación de la presión

Gravedad sobre el cuerpo

1 1 2

Capítulo 7. Estática de fluidos 306 G. Chacón V.

La presión dentro del fluido en reposo, relativo, es

gzP

(7.2)

La presión dentro del fluido, cuando el volumen de control se traslada como un todo (como si fuese un sólido, volumen de control inercial) con aceleración ax, es

xP ax

(7.3)

La fuerza ejercida por el fluido sobre una superficie, Sec. 1.5.1, y como no se tienen fuerzas cortantes (en un fluido) en reposo (consideración No. 2), se obtiene por

AAPF

d (7.4)

La fuerza, neta, tiene la misma dirección que el área y sentido contrario (La presión es un escalar y la fuerza ejercida es perpendicular a la superficie). El momento en un punto se expresa como

A

APrFrM

dd (7.5)

Presión manométrica y Presión absoluta Manómetro: Es un instrumento que mide la diferencia de

presión entre dos puntos. Barómetro: Es un instrumento que mide la Presión total

o absoluta en un punto dado, Pabsuluta.


Presión atmosférica, Patmosférica: Es la presión, absoluta en un punto de la atmósfera, terrestre. Nor-malmente el barómetro solo está diseñado para medir la presión atmosférica.

Notas:

- no se debe confundir Patmosférica con 1 Atm. - Patmosférica Patm

Presión manométrica, Pmanométrica o Pg: Es la diferencia de

la presión en un punto dado y la de atmós-fera terrestre.

La relación de la presión manométrica y la presión de vacío con respecto a la presión atmosférica se expresa mediante

Presión manométrica aatmosféricabsolutagman PPPP (7.6)

Presión de vacío amanométricaatmosféricvac PPP (7.7)

Relación de la densidad con T y P

Los siguientes coeficientes y sus aproximaciones para los cálculos son empleados en la Mecánica de los fluidos

Compresibilidad isotérmica Módulo de compresibilidad Ev Módulo de elasticidad

1 1

TEv P

TT EvPP

EvPP

00

00 1exp

Expansión isobárica Dilatación térmica

PT

1

PP TTTT 0000 1exp Ambos efectos juntos

TPEv

dd1d

(7.8)


7.2 FUERZA SOBRE UN CUERPO SUMERGIDO Para un cuerpo sumergido

Con: = densidad del fluido y C = densidad del cuerpo

AF

AF

AAP

dd

δδ

δδlim

Sec. 1.5.1

Mediante un balance de fuerzas en la dirección z, de la plomada, se tiene que (la fuerza neta, Fz, es):

AAz AzgAzzgPF dddd C0

A

AzgP d0

AAz VgVgF dd C (7.9) Cg dV: Es el peso o fuerza ejercida por el cuerpo g dV: Es la fuerza ejercida por el fluido fuerza boyante, de empuje o de flotación.

Principio de Arquímedes (220 A. C.): Un cuerpo sumergido experimenta una fuerza de empuje igual a la fuerza de gravedad (peso) del líquido desalojado (por el cuerpo).

V

Peso

Fuerza boyante

dz dV

dA

Volumen de control diferencial

Cg dV

P0g z

P0g (zdz)


7.3 MANOMETRÍA TUBO-LÍQUIDO Manómetro en U Es un manómetro formado por un tubo en U, cuyos extremos están colocados en los puntos de interés, al mismo nivel. Utiliza un liquido, líquido manométrico, para efectuar la medida; el cual es inmiscible con el fluido en contacto y más denso que éste.

Reglas para manómetros tubo-líquido En un tramo continuo de un, mismo, líquido (en el

tubo), la presión es igual en cualesquiera dos puntos que se encuentren en el mismos nivel (altura en dirección de la plomada).

La presión aumenta si se “baja” a lo largo de la columna de líquido (en dirección de la plomada).

Líquido manométrico

h

P1 P2

l

Altura manométrica

z0

zz

l


Con la Ec. 7.2 gzP

Integrando la ecuación entre los puntos de la columna izquierda

dzgdzgPlh

h

hP

P

0

1

0

d

Para la columna derecha

dzgdzgPlh

h

hP

P

0 m

2

0

d Donde

: densidad del fluido m: densidad del líquido manométrico

Efectuando las Integrales hgPPP m12Δ (7.10) 7.4 MANÓMETRO DE DEPÓSITO


h

P1 P2

H

Lectura manométrica

l

zz0

zzh

zzl

zz

L

D

d

Manómetro en U estándar


El manómetro de depósito, micromanómetro o manóme-tro diferencial, se emplea para aumentar la sensibilidad de la medición con un depósito (columna) de diámetro grande y un tubo de diámetro pequeño e inclinado.

Con la Ec. 7.2 gzP

Integrando la ecuación entre los puntos del depósito (columna izquierda)

1 0

0

d l l

z

P z z z

P z z zP g dz g dz g dz

Para la columna derecha

dzgdzgP hl

hz

z

z

z

z

P

P m2 d

Donde

: densidad del fluido m: densidad del líquido manométrico L: lectura manométrica

Restando las Integrales

1 2 mΔ d dh hz z

z zP P P g z g z

Efectuando las Integrales y arreglando

2 1 mΔ hP P P g z z Por otro lado, con las altura en el depósito

Hhzzh Y la Ley de conservación de la masa:

La masa de líquido manométrico, que antes de la medida se encuentra en el recipiente de diámetro grande, se traslada al tubo de la derecha o brazo, en el momento de la medida.


44 2m

2m LdHD

Simplificando LDdH

2

Sustituyendo, con sen Lh , se tiene

2

m12 senΔDdLgPPP (7.11)

Nota: LKP Δ , como todos los términos diferentes de la

altura manométrica, L, dependen de las caracterís-ticas geométricas y de operación del aparato, se indica como “constante” del micro manómetro y se suele ofrecer por la casa fabricante o se calibra.

7.5 FUERZA QUE EJERCE UN FLUIDO SOBRE

UNA PARED (SÓLIDA) PLANA

h0

CP

0

z

CP

L

FLUIDO

ATMÓSFERA

ATMÓSFERA

x

Patm

z0

: densidad del fluido

wh L F zh0

zh

Micro manómetro estándar


Para una pared sumergida en un fluido, la fuerza que el fluido ejerce sobre ella, está relacionada con la presión, de la Ec. 7.4 A

APF

d Se usa como coordenada , que es perpendicular al área (fuerza) y con referencia en 0, en el borde superior de la pared analizada. Se supone que la fuerza aumenta al “bajar” en el fluido, a partir de dicha referencia. Con ayuda del esquema anterior se desarrollan las fórmulas. Presión, del fluido, sobre la pared

gzP

(7.2)

Con lo que

zgdzgPPPz

atm

P

Patm

0

d

Por la geometría del sistema, para z h0 sen0 hz Sustituyendo y efectuando la Integral

Fuerza, del fluido, sobre la pared

A atm APPF

d (7.4)

Presión de un fluido sobre una pared

atmPhgP sen0 (7.12)


Sustituyendo el valor de la presión (en la dirección z) y el área

LwhgF

0 0 dsen

Efectuando las Integrales

Momento, del fluido, con respecto al origen de la pared

( 0)

AAPrFrM

dd (7.5)

Sustituyendo el valor de la presión (en la dirección z) la posición y el área

L

z whgM0 0 dsen

Efectuando las Integrales

Momento del fluido sobre la pared, respecto al origen, 0

(7.14)

sen

32

2

00

LLhLwgM z

Fuerza del fluido sobre la pared

0 sen2LF g w L h

(7.13)


Centroide

Por definición

A

A

d

d

Sustituyendo el valor de la posición y el área

2d

d

0

0 L

w

wL

L

(7.15)

Momento de área respecto al origen ( 0)

Por definición

000 d2 AI

Sustituyendo el valor de la posición y el área

3

d3

0

200

LwwIL

Centro de fuerza con respecto al origen ( 0)

Por definición FMFr

FCP

d1 Sustituyendo el valor del momento, Ec. 7.14, y la de la fuerza, Ec. 7.13, se tiene

sen

sen

21

0

231

021

Lh

LLhCP (7.16)

Centro de fuerza del fluido sobre la pared, respecto al origen, 0

Centroide

Momento de área


Notas

0 cuando 0 h 32 entonces LCP

Latm APPLwgF

2sen2

323sen3 FLLwgM z L: Longitud húmeda de la placa, es la parte de la

placa en contacto con el líquido.

sen0 hLwgF La presión en el centroide de la longitud húmeda por el área mojada.

CPCPz FhLwgM sen0 7.6 EJERCICIOS Ejemplo 7.1. Presión atmosférica Se desea estimar la altitud (altura a partir del nivel del mar) y la presión atmosférica correspondiente a una temperatura promedio de 21 C. Esto, con el propósito de escoger el lugar de una planta que requiere agua de en-friamiento a 19 - 22 C, para un proceso de fermentación que trabaja a 26 - 30 C. Se conoce que, en el paralelo correspondiente, la temperatura promedio a nivel del mar es de 29 C y la presión de 762 mmHg y en la montaña a 2,5 km de altitud es de 12 C. Datos conocidos: P0 : presión barométrica a nivel del mar 101,6 kPa T0 : temperatura promedio a nivel del mar 302 K


L : altitud de referencia 2,5 km PL : presión barométrica a L ¿? TL : temperatura promedio a L 285 K h : altura de trabajo ¿? P : presión barométrica a h ¿? T : temperatura promedio a h 294 K R : constante universal de los gases 8,314 5 kJ/kmol K M : peso molecular del aire 29 kg/kmol Respuesta 7.1 Diagrama del volumen de control

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Fluido estático (se desprecian las corrientes verticales

y horizontales del aire) - La presión disminuye a partir del nivel del mar (z 0) - El aire se comporta como gas ideal - La variación de temperatura con la altura es lineal. Presión (hidrostática) en el gas

gzP

h

h

P

P P


Fórmula de los Gases perfectos o ideales

TRMP

Temperatura atmosférica, según NACA TN 1428, para la Atmósfera estándar

zbTT 10 Sustituyendo la densidad, para evaluar la presión

TRMPg

zP

Luego la temperatura

zbz

TRMg

PP

10

Integrando y arreglando términos, con las condiciones a z = 0 T = T0 y P = P0 a z = L T = TL y P = PL

bTRMg

bTRMg

TTzb

PP 0

0

00

1

0

0

00 lnln11

PPTT

TRMg

LTTb

L

LL

zbTT 10 Sustituyendo valores

1km 0225,0km 5,2

1K 15,302K 15,2851

b

Presión y temperatura atmosférica, con la altura


10 km 0225,0

1K 302K 942 111

bTTzh

La altura de trabajo es de km 2,1h 7.1

kJ 31458K kmol

sm 80665,9

20 ,bTRMg

03,50,0225

kmK 023

1kmol

kg 29

kPa 6,101K 302K 294 03,5

P

La Presión a la altura de trabajo es kPa 88P 7.1 Ejemplo 7.2. Presión atmosférica (adiabática) Se desea estimar la altitud (altura a partir del nivel del mar) y la presión atmosférica correspondiente a una temperatura promedio de 21 C. Esto, con el propósito de escoger el lugar de una planta que requiere agua de enfriamiento a 19 - 22 C, para un proceso de fermen-tación que trabaja a 26 - 30 C. Se conoce que, en el paralelo correspondiente, la temperatura promedio a nivel del mar es de 29 C y 762 mmHg. Datos conocidos: P0 : presión barométrica a nivel del mar 101,6 kPa T0 : temperatura promedio a nivel del mar 302 K


h : altura de trabajo ¿? P : presión barométrica a h ¿? T : Temperatura promedio a h 294 K R : Constante universal de los gases 8,314 5 kJ/kmol K M : Peso molecular del aire 28,97 kg/kmol CP : Capacidad calorífica a presión constante 1,0035 kJ/kg K Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Fluido estático (se desprecian las corrientes verticales

y horizontales del aire) - La presión disminuye a partir del nivel del mar (z 0) - El aire se comporta como gas ideal - Comportamiento reversible y adiabático del sistema - La capacidad calorífica a presión constante se consi-

dera aproximadamente constante con la altura y la temperatura y representada por su valor promedio.

Presión del gas

gzP

Fórmula de los Gases perfectos o ideales

TRMP

Relación termodinámica para la temperatura atmos-férica, reversible y adiabática

PCMR

PP

TT

00

Sustituyendo la densidad, para evaluar la presión

TRMPg

zP


Sustituyendo la temperatura con la relación de la Termodinámica, para un proceso adiabático reversi-ble para gases perfectos o ideales.

PP CMR

CMR

PTRPMg

zP 1

0

0

dd

Separado variables, integrando y arreglando términos

RMC

P

P

zTC

gPP

00

1

Para la temperatura

zTC

gTT

P 00

1


12

0

km 0323,0K 15,302

1kJ 0035,1

K kgs

m 80665,9 TC

g

P

10

0 km 0323,01

K 302K 942 11

gTC

TTzh P

La altura de trabajo es de km 82,0h 7.2

50,3kmol

kg 28,97kJ 31458K kmol

K kgkJ 0035,1

,RMCP

kPa 6,101K 302K 294 50,3

P


La presión a la altura de trabajo es kPa 5,92P 7.2 Ejemplo 7.3. Fuerza neumática Determine el diámetro del pistón de empuje de una ele-vadora neumática, para que con 1 kN, se pueda levantar 10 t (toneladas métricas) en la plataforma de 0,25 m de diámetro. Datos conocidos: F : Fuerza externa en 1 1 kN D1 : diámetro del pistón 1 ¿ ? M : masa de la carga en 2 10 000 kg W : peso de la carga en 2 D2 : diámetro de la carga en 2 0,25 m Diagrama del volumen de control

Respuesta 7.3 Principio de la presión para un gas

21 PP

Patm D2

F P1

P2

W h L2

D1


La fuerza ejercida sobre una superficie, Ec. 7.4

AAPF

d Área 42DA Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Fluido estático - Temperatura constante - La presión es homogénea - El efecto de la altura sobre la presión es desprecia-

ble - El aire se comporta como gas ideal. Sustituyendo

44 22

21 D

WDF

Despejando el diámetro D1 WFDD 21 Sustituyendo valores

2! sm 9,80665kg 10E3N E31m 25,0

D

El diámetro del pistón de empuje es mm 251 D (1 pulgada) 7.3


Ejemplo 7.4. Gas confinado El sistema mostrado en el diagrama muestra el gas confinado en dos cilindros, de diferente diámetro, separa-dos por un pistón de 10 kg. Evalúe la presión en B, si la presión en A es de 200 kPa. Respuesta 7.4 Datos conocidos: Patm: presión atmosférica 100 kPa PA : presión en A 200 kPa DA : diámetro del lado A del pistón 100 mm PB : presión en B ¿? DB : diámetro del lado B del pistón 25 mm m : masa del pistón 10 kg Diagrama del volumen de control

Patm

DA

Patm

PA

B

PB

DB

x

y

F

A


La fuerza ejercida sobre una superficie, Ec,7.4

AAPF

d Área 42DA Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Fluido estático - Temperatura constante - La presión es homogénea - El efecto de la altura sobre la presión es desprecia-

ble - El aire se comporta como gas ideal. Balance de fuerzas en y

0 BpesoatmA FFFF En términos de la presión

0ddd BBatmatmAA APgmAPAP Despejando para el punto B, con la presión homogénea con el área,

gmDDPDPDP BAatmA

AB

B

22

22

444

Simplificando

2

2241

BB

Aatm

B

AAB D

gmDDP

DDPP


1

mm 25mm 100kPa 100

mm 25mm 100kPa 200

22

BP


Pa 1000

kPa 1 m 1mm 25

mm 1000m/s 80665,9kg 104 22

kPa 1000

MPa 1 kPa 8,19915003200 BP

La presión en el cilindro B es MPa 9,1BP 7.4 Ejemplo 7.5. Espesor de una pared de un recipiente Estime el espesor de las paredes de un recipiente cilíndrico de acero al carbono que almacena nitrógeno comprimido a 20 MPa. El diámetro es de 0,25 m y la longitud de 1,3 m. Considere que la temperatura se mantiene constante de 16 a 20 C Respuesta 7.5 Diagrama del volumen de control

Datos conocidos: P : presión del fluido sobre la pared 20 MPa D : diámetro del tanque 0,25 m L : altura (longitud) del tanque 1,3 m

D

FC

L


C : esfuerzo crítico o permisible del metal 210 MPa t : espesor de la pared del tanque ¿ ?

Relaciones para las fuerzas La fuerza del fluido sobre una pared curva es la presión en el centroide por el área (de la pared) proyectada. Pared lateral LDPFF Tapa 42DPFF Las fuerzas de reacción del material del recipiente para las condiciones críticas son “Cascarón” cilíndrico LtF CC 2 “Cascarón” esférico DtF CC Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Paredes delgadas relativamente. Con lo que se

aplican las fórmulas de la Mecánica expuestas anteriormente

- Para un gas, se considera el efecto de la gravedad sobre la presión despreciable

- La fuerza ejercida por la presión de un fluido sobre una superficie cóncava se ejerce sobre el centroide del área proyectada

FC

PF

Pared lateral Pared de la tapa

FC

PF


- Las tapas se consideran esféricas (generalmente son achatadas o toroides).

Balance de fuerzas en la pared lateral.

FFuerza del fluido RFuerza resistiva 0 02 LtLDPFF CCF

C

DPt

2


MPa 2102

mm 250 MPa 20

t

El espesor del tanque (con base en la pared lateral) es mm 12t 7.5 Balance de fuerzas en las paredes de las tapas (esféricas).

FFuerza del fluido RFuerza resistiva 0 042 DtDPFF CCF

C

DPt

4

Como es menor que el espesor calculado con base en la pared lateral, se emplea el ya calculado. 7.5

Espesor de una concha cilíndrica

Espesor de una concha esférica


Ejemplo 7.6. Fuerza y presión en un punto Un depósito cilíndrico lleno de aceite, con densidad relativa de 0,8820/4C, colocado sobre el piso y abierto a la atmósfera, tiene una profundidad de 12,5 m. Evalúe el diámetro del recipiente para que la fuerza máxima en el fondo sea de 0,36 MN. Datos conocidos: P0 : presión barométrica 15 m de H20 (4 C) DR : densidad relativa del aceite 0,88 h : altura del líquido en el tanque 12,5 m Respuesta 7.6 Diagrama del volumen de control

Presión (hidrostática) en el fondo

gzP

Integrando entre el nivel (0) y el fondo (h)

0PhgPh

D

Ph

h

P0



m 5,12

sm80665,9

mkg720,99988,0 23hP

Pa 3E1

kPa 1OmH 1Pa 3E064,9OmH 15

22

La presión que ejerce el líquido en el fondo del tanque es kPa 255hP 7.6 Fuerza en el fondo

zhh

D

zhz APAPF 2

0d

42DPF hhz En este caso es la presión absoluta, pues la carga la recibe el piso (balance de fuerzas). Despejando el diámetro

h

hz

PF

D4

Con los datos, se tiene

kPa 552kN 3604

D

El diámetro del recipiente es m 3,1D 7.6


Ejemplo 7.7. Fuerza “hidráulica” Para una elevadora “hidráulica”, que utiliza aceite, con un diámetro del pistón de empuje de 25 mm y una fuerza 1 kN, determine el peso que se puede levantar sobre la plataforma, que es de 0,25 m de diámetro y 0,1 m de alto. Datos conocidos: F : Fuerza externa en 1 1 kN D1 : diámetro del pistón 1 0,025 m h1 : profundidad del líquido al pistón 1 - - L1 : alto del pistón 2 0,10 m W : peso de la carga en 2 ¿ ? D2 : diámetro del pistón 2 0,25 m L2 : alto del pistón 2 h2 : profundidad del líquido al pistón 2 - - P0 : presión barométrica 15 m de H20 (4 C) g.e 20/4: gravedad especifica (densidad relativa) 0,888 del aceite Respuesta 7.7 Diagrama del volumen de control

Presión (“hidrostática”) del líquido

gzP

Patm

F P1

P2

W h2

h1

L

D2

D1


La fuerza ejercida sobre una superficie, Ec. 7.4

AAPF

d

Área 42DA

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Fluido estático - Temperatura constante - La presión es homogénea, con el área - Densidad del fluido constante. Integrando entre los niveles 1 y 2

2121 hhgPP Balance de fuerzas, en el pistón, (en 2).

0d 2220 22 hAgAPWF y

A

yy

0

222211 yy AhgAhhgPW

02222121 yyy AhgAhgAPW

24212

2222

1

hhDgD

DFW


3

22 m

kg720,999888,0m 25,0m 025,0

kN 1W

N 1000

kN 1m 25,02m 0

4m 2

sm80665,9 2

2


kN 0,9kN 100 W La fuerza que ejerce el líquido sobre la carga es de kN 99W (10 t) 7.7 Notas: En los cálculos se considera h1 2 m y h2 0, en forma arbitraria, pues el efecto en la fuerza es despreciable y se redondea (en toneladas) por defecto, por seguridad. Ejemplo 7.8. Elevación del nivel de un líquido en un

capilar Un tubo abierto a la atmósfera, de diámetro pequeño (capilar), se sumerge en un líquido, el cual sube debido a su tensión superficial, manteniéndose un nivel dado. Encuentre una relación entre la altura del líquido en el capilar y el diámetro del mismo, entre 0,2 y 20 mm, para agua y para mercurio, a 25 C. Datos conocidos: P0 : presión barométrica ¿? T : temperatura ambiente 25 C : densidad del agua (a 25 C) 997,0429 kg/m3 : tensión superficial del agua (a 25 C) 71,97 mN/m : ángulo de contacto del agua (a 25 C) 0 : densidad del mercurio (a 25 C) 13 533,6 kg/m3 : tensión superficial del mercurio (a 25 C) 467 mN/m : ángulo de contacto del mercurio (a 25 C) 140 º h : altura del líquido en el capilar (a 25 C) ¿? D : diámetro interno del capilar (a 25 C) 0,5 a 50 mm


Respuesta 7.8 La fuerza debido a la tensión superficial (Ft) actúa sobre la pared (en su circunferencia).

DFt cos Balance de fuerzas en la pared, en la dirección z,

0 gMFt Diagrama del volumen de control

Sustituyendo

04

cos 2

ghDD

Despejando la altura del líquido (que sube) en el capilar, desde el nivel (h) del líquido

gD

h

cos4

h

·cos

z

r

D

P0

Altura del líquido en un capilar


Para el agua

2

33 m 1mm 00011

kg/m 80665,9kg/m 97,04299º0cosN/m 07197,04

D

h

La elevación del agua en un tubo capilar

D

h2

C 25 mm 9,442 7.8

Para el mercurio

2

33 m 1mm 00011

kg/m 80665,9kg/m 3533,61º140cosN/m 467,04

D

h

El descenso del mercurio en un tubo capilar

D

h2

C 25 mm 0,781 7.8


Ejemplo 7.9. Fuerza boyante Determine la densidad relativa o gravedad específica de una esfera de 30,1 L, que requiere 10,02 kg para quedar suspendida dentro de agua, a 25 C. Datos conocidos: M : masa que produce la tensión 10,02 kg T : tensión o fuerza : densidad del agua (a 25 C) 997,0429 kg/m3 VC : volumen del cuerpo 0,0301 m3 g.eC D.E.C: gravedad especifica o densidad relativa del cuerpo ¿? Respuesta 7.9 Diagrama del volumen de control

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Fluido estático - La presión aumenta a partir del nivel del líquido - La densidad del fluido es constante y conocida - Equilibro de las fuerzas del sistema - Equilibro térmico del sistema, a 25 C.

M

T

B

VC

W


Balance de fuerzas

0 WBTF Por Ec. 7.8, sustituyendo la fuerza boyante y el peso 0.. gVeggVT CCC Despejando para la gravedad especifica, g.eC, con gMT

C

C VMeg

1..


33 m 0301,0kg/m 97,04299kg 02,101..

Ceg

La gravedad específica de la esfera en cuestión 33,1.. Ceg 7.9 Referencias: Experimento de Arquímedes,

Balanza de Westfall Ejemplo 7.10. Densímetro de vástago Se tiene un densímetro de vástago o hidrómetro de 15,0 mL y de 6,0 mm de diámetro. La marca de 1,00 corresponde al nivel del agua destilada a 4 C. Formule una relación de la altura, a partir del nivel 1,00 y la superficie o nivel del líquido, con la gravedad específica, g.e.T/4 C o densidad relativa, D.R.T/4 C, desde 1,00 a 1,30.

Balanza de Arquímedes o

de Westfall


Datos conocidos: T : temperatura de la medición 4,0 C h : distancia entre la marca, 1,00 y el nivel del líquido durante la medición ¿? VC : volumen total del densímetro, hasta la marca de 1,00 1,50104 mm3 MC: masa del densímetro DC : diámetro del vástago del densímetro 6,0 mm H20 : densidad del agua (a 4,0 C) 999,9720 kg/m3 g.e.T/4 C: gravedad específica del fluido con respecto al agua, esta última a 4 C. ¿? Respuesta 7.10 Diagrama del volumen de control

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Fluido estático - La presión aumenta a partir del nivel del líquido - La densidad del fluido es constante y conocida - Equilibro de las fuerzas del sistema

h 1,00

B

Wh


- Equilibro térmico del sistema, a 4,0 C. Balance de fuerzas gMgVWBF C 0 Como el densímetro está calibrado para agua

CC VM H2O Por Ec. 7.8, sustituyendo la fuerza boyante y el peso

0.. H2OH2O gVeggVC En términos de la altura h,

04. 2H2OH2O ghDVeggV CCC

Despejando para la altura, h (en términos de la gravedad específica, g.e.),

T/4C2 ..11

4egD

Vh

C

C

Referencias: Gados Baumé y grados API

FF/606060 ..

11145ºeg

BéF

para g.e.>1

131

..140º FF/606060 eg

BéF para g.e.<1

5,131

..5,141º FF/606060 eg

APIF para g.e.<1

Altura o grados para el densímetro de vás-tago o hidrómetro



T/4C2

3

..11

mm 6mm 150004

egh

Para el densímetro la relación entre la altura y la grave-dad específica es

T/4C..

115,530mmeg

h

7.10

Ejemplo 7.11. Manómetro en U Una restricción tipo orificio se emplea para medir el flujo de un hidrocarburo que se traslada por una tubería. Se emplea un manómetro en U, colocado a los lados del ori-ficio, que contiene mercurio como líquido manométrico.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

1,00 1,05 1,10 1,15 1,20g.e.T/4 C

altu

ra,

mm

0

10

20

30

ºBau

mé


Respuesta 7.11 Datos conocidos: KC : coeficiente de pérdidas de energía para el orificio 3,9 h : altura manométrica 105 mm de Hg g.e. m.20/4 C : gravedad específica del líquido manométrico 13,545 T : temperatura de la medición 20 C H20 : densidad del agua (a 4,0 C) 999,9720 kg/m3 g.e.20/4 C: gravedad específica del hidrocarburo 0.897 Hf : pérdidas por irreversibilidades en el orifico

2

9,32vH f



P1 P2

l

h Altura manométrica


Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Fluido estático dentro del manómetro - Temperatura constante - La presión es homogénea, con el área - La altura o nivel es igual en las dos tomas del

manómetro - La velocidad del fluido se representa por su veloci-

dad promedio - El flujo de fluido se homogeniza después del orificio

y en los puntos de medida. Caída de Presión La diferencia de presión medida en el manómetro, es Ec. 7.10: manhgPPP m12Δ Sustituyendo valores

312 mkg 999,9720897,0545,13PP

22 s kg/m 1000kPa 1

mm 10001mmm 105

sm 80665,9

La caída de presión provocada por el orificio es man12 kPa 13 PP 7.11 Velocidad del fluido en el conducto, con el balance de

Energía mecánica

02 22

21

2212

fHzzgvvPP

Simplificando y sustituyendo

manDf hgPPvCH

1

2m12

2


Despejando la velocidad

D

man

D Chg

CPPv

2

12 m12


kPa 1s kg/m 1000

9,3mkg 999,9720897,0kPa 132 2

3man

v

La velocidad del fluido, dentro del conducto, es de m/s 7,2v 7.11 Ejemplo 7.12. Manómetro con depósito La presión del oxígeno que entra a un fermentador se controla con un manómetro de depósito. El diámetro del depósito es de 30 mm y el tubo es de 10 mm con una in-clinación de 46º. El líquido manométrico es rojo Meriam. Determine el desplazamiento o lectura manométrica, por cada milímetro de agua de presión diferencial, mano-métrica, (entre los dos punto de medida) de la corriente de oxígeno. Datos conocidos: D: diámetro del depósito del manómetro 0,030 m d: diámetro del brazo del manómetro 0,010 m L: lectura manométrica ¿ ? g.e.m.20/4 C : gravedad específica del líquido manométrico 0,927 T: temperatura de la medición 20 C H20: densidad del agua (a 4,0 C) 999,9720 kg/m3 hH2O: presión medida en términos de una altura de agua ¿ ? mmH2O a 4,0 C


Respuesta 7.12 Diagrama del volumen de control

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Fluido estático dentro del manómetro - Temperatura constante - La presión es homogénea, con el área - La altura o nivel es igual en las dos tomas del

manómetro - La densidad del gas es despreciable comparada

con la del líquido mm Caída de Presión: La diferencia de presión medida en el manómetro es, Ec. 7.11:

2

m12 senΔDdLgPPP

Expresando la presión en términos de una altura en mm de H2O OHOH 22

Δ hgP

Lectura manométrica


L

P1 P2

D

d


Sustituyendo, para la medición de la presión de un gas 2

mOHOH sen22

DdLghg Despejando para L,

2C 4OH sen..2

Ddeg

Lh T

m

Sustituyendo valores, suponiendo que la temperatura de la medición es alrededor de 20 C

2

2H O 10 mm0,927 sen 46 º

30 mmh

L

La presión del gas expresad en términos de mmH2O, es

2H O 21 mmH O1,301 mm manométrico

hL

7.12

Ejemplo 7.13. Sistema con manómetro en U Para el sistema manométrico mostrado, en la figura, calcule la presión en el punto A, para agua a 70 C. Datos conocidos: hA : altura en A 180 mm hB : altura en B 230 mm hC : altura en C 360 mm H2O : densidad del agua (a 70 C) 997,771 kg/m3 Hg : densidad del mercurio (a 70 C) 13,424 Mg/m3 Ker : densidad del keroseno (a 70 C) 736 kg/m3



Respuesta 7.13 Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Fluido estático dentro del manómetro - Temperatura constante - La presión es homogénea, con el área - La presión aumenta hacia abajo. Caída de Presión La diferencia de presión medida en el manómetro, Ec. 7.2, es

ghP

zP

Integrando entre dos puntos consecutivos, de un mismo líquido,

A

B

C

0

P0

PA hB

keroseno

mercurio

hC

hA

agua

A

B

C

0


BABA hhgPP H2O

CBCB hhgPP Ker

0Hg0 hhgPP CC Sumando ABA hhgPP H2O0 0HgKer hhghhg CBC Sustituyendo valores

mm )180()230(

mkg 977,771 30PPA

mm )230()360(mkg 736 3

mm )0()360(

mkg 13424 3

22 s kg/m 1000kPa 1

mm 1000m 1

sm 80665,9

La diferencia de presión medida es man0 kPa 46 PPA 7.13 Ejemplo 7.14. Fuerza de un fluido sobre una pared plana Para la superficie mostrada en la figura, que posee una articulación en A, si se desprecia el peso de la compuerta determine: a) La fuerza que ejerce el agua sobre la compuerta b) La presión en el centroide c) La fuerza reactiva en el punto de apoyo, B.



Datos conocidos: h0 : nivel del líquido sobre A 2,5 m L : largo de la placa 6,0 m w : ancho de la placa 10 m : ángulo entre placa y el piso 30 º : densidad del agua (a 25 C) 997,0429 kg/m3 Respuesta 7.14 Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Fluido estático - La presión aumenta a partir del nivel - La densidad del fluido es constante y conocida - Equilibro de las fuerzas del sistema - Equilibro térmico del sistema, a 25 C - El peso de la compuerta se desprecia. Fuerza del fluido sobre la pared, Ec. 7.13,

sen

20LhLwgF


ATMÓSFERA

F

h0

CP

ATMÓ

SFERA

w

FLUIDO

A

B L

h


m 10sm80665,9

mkg 999,0429 23F

mkg 1E06

s MN 1m º30sen265,2m 6

2

La fuerza que ejerce el fluido sobre la pared es: MN 4,2 F 7.14a) Nota: compuertaAPF

Centroide, Ec. 7.15,

2d

d

0

0 L

w

wL

L


2m 6

m 3 7.14b) Presión de un fluido en un punto, Ec. 7.12,

sen0 hgPP atm Sustituyendo valores

23 sm80665,9

mkg 999,0429atmPP

mkg 1E03

s kPa 1m º30sen265,2

2


La presión que ejerce el fluido sobre el centroide es: mankP 2,39 atmPP 7.14a) Centro de fuerzas sobre la pared, con respecto al origen A, 0: Ec. 7.17,

sen

sen

21

0

231

021

Lh

LLhCP


º30senm6m5,2º30senm6m0,6m5,2

21

231

21

CP

m 4,3CP Balance de momentos (par de fuerzas) con respecto a A, 0,

LFFMMM BCPBexternoCPfluidoA 0


m6,0m3,4MN4,2

LFF CP

B

La fuerza en el punto de apoyo, B, es: MN 3,1BF 7.14c)


Ejemplo 7.15. Compuerta deslizable La compuerta de una represa se desliza en cada uno de sus lados, sobre la pared de la misma (según la figura), para librar el agua almacenada. Si la masa de la com-puerta es de 5 t y el coeficiente de rozamiento estático, entre la compuerta y la placa soporte, es de 0,4. Deter-mine la fuerza necesaria para iniciar el deslizamiento. Diagrama del volumen de control

Datos conocidos: L : nivel del líquido en la represa 1,5 m a : ancho de la compuerta 4 m m : masa de la compuerta 5 Mg : coeficiente de fricción estático 0,4 : densidad del agua (a 20 C) 997,0429 kg/m3 T : fuerza necesaria para levantar la compuerta ¿? Respuesta 7.15 Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Fluido estático - La presión aumenta a partir del nivel - La densidad del fluido es constante y conocida - Equilibro de las fuerzas del sistema - Equilibro térmico del sistema.

T

F L

a

W y


Balance de fuerzas, perpendiculares (y) 0 FWT El peso gmW La fuerza que ejerce el fluido (F), sobre la pared, Ec. 7.13, Para el caso

2sen2

20 LwgLhLwgF

Sustituyendo y despejando para T. 22LwggmT Sustituyendo valores

32 m

kg 997,04294,0sm80665,9

t1kg 1000t5T

mkg 1000s kN 1

2m 1,5m 4

sm80665,9

22

2

La fuerza inicial requerida para levantar la compuerta es kN 67T 7.15 Ejemplo 7.16. Compuerta sostenida por un cable El nivel del agua contenida en un depósito, se controla con una compuerta de 2 t, de 3 m de ancho y 5 m de largo, mediante un contrapeso de 3 t, usando un cable, como se muestra en la figura. El agua se desborda cuando el nivel del líquido alcanza una altura dada, H, para una inclinación de la compuesta de 60º, Evalúe dicha altura.



Datos conocidos: H : nivel del líquido en la represa, a la salida del agua ¿ ? w : ancho de la compuerta 3 m L : largo de la compuerta 5 m mC : masa de la compuerta 2 Mg mT : masa del contrapeso 3 Mg : densidad del agua (a 20 C) 998,2 kg/m3 T : fuerza necesaria para levantar la compuerta ¿? Respuesta 7.16 Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Fluido estático - La presión aumenta a partir del nivel - La densidad del fluido es constante y conocida - Equilibro de las fuerzas del sistema - Equilibro térmico del sistema - La fuerza ejercida por la placa (peso) está en su

cetroide.

F

L

ATMÓSFERA

ATMÓ

SFERA

AGUA

w

CP

T T

mT

P

S

WC··cos H


Fuerza del fluido sobre la pared, Ec. 7.14,

sen

20f

f

LhLwgF

Para el caso

sen

sen2senHHwgF

sen2

2

HwgF

Centro de fuerzas sobre la pared, a partir del origen, respecto al origen, S: 0 Ec. 7.16,

sen

sen

21

0

231

021

f

ffCP Lh

LLh

Para el caso

sen3

2 HCP

Balance de momentos (par de fuerzas) con respecto a P, en la rótula ( 0: S), 0 ContrapesoCompuertaFluidoP

MMMM

02

cossen

LgmLgmHF TCCP

Sustituyendo el valor de F y CP,

sen32

sensen2

2 HHHwg

02

cos LgmLgm TC

Despejando par el nivel, H,


31

2sen2cos6

C

Tm

mwLH


3000

m3kg/m 2,998m56

3H

31

2º60senkg 2

º60cos2000

El nivel del agua (para el desagüe) es: m 7,2H 7.16 Ejemplo 7.17. Compuerta superior (tapa) La siguiente figura describe el sistema que representa una compuerta, de acero, que está colocada y articulada a 1 m de profundidad y tiene 2 m de ancho y ¼" de espesor Calcule la fuerza necesaria, en el punto libre, para mantener cerrada la compuerta. Datos conocidos: h : nivel del líquido en la represa, a la salida del agua ¿ ? h0 : nivel del líquido sobre A 1 m : densidad del agua (a 20 C) 998,2 kg/m3 w : ancho de la compuerta 2 m L : largo de la compuerta 2 m : espesor de la compuerta 0,00635 m : ángulo entre compuerta y el piso 30 º mC : masa de la compuerta ¿ ? C : densidad del material de la compuerta 7830 kg/m3



Respuesta 7.17 Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Fluido estático - La presión aumenta a partir del nivel - La densidad del fluido es constante y conocida - Equilibro de las fuerzas del sistema - Equilibro térmico del sistema - La fuerza ejercida por la placa (peso) está en su

cetroide. Fuerza del fluido sobre la pared, Ec. 7.13,

sen

20LhLwgF


m 2sm80665,9

mkg 998,2 23F

mkg 1000

s kN 1m º30sen221m 2

2

La fuerza que ejerce el fluido sobre la pared es: kN 59 F 7.17

F

h A

FLUIDO

B

CP L

h0 w

ATMÓSFERA


Centro de fuerzas sobre la pared, con respecto al origen, A: 0, Ec. 7.16,

sen

sen

21

0

231

021

Lh

LLhCP


m 1,1º30senm2m1

º30senm2m2m1

21

231

21

CP

Balance de momentos (par de fuerzas) con respecto a A: 0, 0 PesoPlacaBexternoCPfluidoA

MMMM

02cos LgmLFF CBCP

2

cos

gmL

FF CCPB


m2m1,1kN59BF

2

23

s kN mkg 10002

30cossm80665,9m 00635,0m 2m 2

mkg 7830

kN845,0kN63,32 BF La fuerza en el punto de apoyo, B, es: kN 32BF 7.17


Ejemplo 7.18. Fuerza de un fluido sobre una pared plana El vertedor tipo compuerta, que se esquematiza en la figura, está articulado A y forma una presa que mantiene retenida el agua con una profundidad h, con los datos de la figura, calcule la profundidad que se necesita para permitir su salida. Respuesta 7.18 Diagrama del volumen de control

Datos conocidos: L : largo de la placa ¿ ? w : ancho de la placa ¿ ? xC : centro de fuerza de la placa 4,5 m M : masa de la placa por unidad de ancho 70 kg/mancho : ángulo entre placa y el piso 60 º : densidad del agua (a 20 C) 998,2 kg/m3 a : 1,8 m b : 3,0 m

ATMÓSFERA

F

FLUIDO a

b

= 0

CP

w

A

xC

B

h


Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Fluido estático - La presión aumenta a partir del nivel - La densidad del fluido es constante y conocida - Equilibro de las fuerzas del sistema - El peso de la compuerta se desprecia - Centro de fuerza de la placa conocido. Fuerza del fluido sobre la pared, Ec. 7.13,

sen

20f

f

LhLwgF

Para el caso, con sen

hLf y 00 h

sen

sen2senhhwgF

sen2

2

hwgF Centro de fuerzas sobre la pared, con respecto al origen, 0: A, Ec. 7.16,

sen

sen

21

0

231

021

f

ffCP Lh

LLh

Para el caso

sen3

2 hCP

Balance de momentos (par de fuerzas) con respecto a A, en la rótula. gMdFrMMM CCompuertaFluidoA

0

Los momentos en z 0 WdFrFr Cxxyyx


Con ayuda del diagrama anterior, se sustituyen las dis-tancias y las componentes de la fuerza. coscos FLb CP 0sensen WxFLa CCP Sustituyendo los valores de F, L y de CP, en términos de h.

cos

sen32

senhhb

cossen2

2hwg

sen

sen32

senhha

0sensen2

2

gMxhwg C

Simplificando

B

a

b

= 0

CP

w

xC W

MA

A L

PATM

Fx Fy

F L-CP

L-CPsen L-CPcos

F +

x +

y +

h


2sencos

3sencos 22 hwghb

023

2

gMxhwgha C

Despejando para h,

w

Mxhhab C

2sen3tan

22

Sustituyendo valores numéricos

mkg70

mkg 998,2

m 5,42º 60sen3

m 8,1º 60tan

m 3

3

22

hh

0m 1631,0m 59067,04444,0 323 hh La profundad que se necesita para permitir su salida es: m 1,1h (1,18 m) 7.18

Nota: se redondea hacia abajo por seguridad. Ejemplo 7.19. Cuerpo suspendido En la figura siguiente se muestra un trozo de material, con una masa de 27 kg y un volumen de 25 L. El cual está sumergido en agua y colgado en el extremo de una barra de madera, que lo une a la pared, a una altura de 0,30 m partir del nivel del líquido. La barra es de 3 m de largo y de 20 cm2 de área transversal con una masa de 15 kg. Determine el ángulo de equilibrio del sistema.


Diagrama del sistema

Datos conocidos:

Subíndices: P : barra de madera C : pieza de material b : fuerza boyante

a : distancia desde nivel del líquido al apoyo en la barra 0,3 m : ángulo entre la barra y el cuerpo ¿ ? LP : largo de la barra 3 m AP : área de la barra 0,002 m2 : densidad del agua (a 20 C) 998,2 kg/m3 mC : masa del cuerpo 27 kg VC : volumen del cuerpo 0,025 m3 Respuesta 7.19 Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Fluido estático - La presión aumenta a partir del nivel - La densidad del fluido es constante y conocida - Equilibro de las fuerzas del sistema - Equilibro térmico del sistema - La fuerza ejercida por la barra (peso WP) está en su

centroide.

a

LPC


Balance de momentos en (0,0)

0 Fr

Con las variables del sistema ybCCyx eFWeLeL ˆˆsenˆcos

ybPyx eFeLeL ˆˆsen2

ˆcos2

0ˆˆsen2

ˆcos2

yPyx eWeLeL

Efectuando los productos zbCC eLFW ˆcos

0ˆcos

2ˆcos

2

zPzbP eLWeLF

En términos de la masa zCC eLgVgm ˆcos

zP eLgAL ˆcos

2

0ˆcos2

zP eLgm

ATMÓSFERA

a

WC

FbC

FLUIDO

WP

FbP

L ½L

½L+

L-


Simplificando

022

22

LmLALVm PPCC

Despejando

LmVm

ALa

PCCP 2

12sen

2

El valor del ángulo queda

LAmVm

La

P

PCC

22

1

sen


m 3m 002,0mkg 998,2

kg 5,1m 025,0mkg 998,22kg 272

1

m 3m 3,0

sen

23

33

3873,0arcsen El ángulo de la barra en el equilibrio es: 23 7.19


Ejemplo 7.20. Sistema neumático Para el sistema mostrado en la figura, encuentre el mayor nivel del líquido, para el cual la compuerta, articulada en A, girará en dirección contraria a las mane-cillas del reloj, considerando la fricción despreciable, si el área transversal de la compuerta es: a) rectangular b) triangular, con la base en la articulación c) semicircular. Diagrama del volumen de control

Datos conocidos: L : alto de la compuerta 1 m a : ancho de la compuerta 1 m Pg : presión del aire 30 kPaman H : nivel del agua en EL depósito ¿ ? : densidad del agua (a 20 C) 998,2 kg/m3

AGUA L

h0

AIRE Fg

Pg

F

A

w

H

a

a

a


Respuesta 7.20 Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Fluido estático - La presión aumenta a partir del nivel - La densidad del fluido es constante y conocida - Equilibro de las fuerzas del sistema - El peso de la compuerta se desprecia - Centro de fuerza de la placa conocido. La presión dentro del fluido en reposo, Ec. 7.2,

gzP

La fuerza ejercida sobre una superficie, Ec. 7.4,

AAPF

d

El momento en un punto se expresa como

AAPrFrM

dd El balance de momentos en A, para el caso, LHh 0

dd00

wPwLHgML

g

L

zA

a) Caso de la compuerta rectangular

constante aw

L

g

L

zA aPaLHgM00

dd


Integrando

232

0232 LaPLLLHag g

Despejando H

3L

gP

H g


3m 1

kPAPa 1000

sm80665,9

mkg 998,2

kPA 30

man23

man H

La altura para empezar a girar es: m 4,3H 7.20 a) b) Caso de la compuerta triangular

1

aL

wL

Lw

d0

LLHgML

zA

L

g LP0

d

Arreglando

d32

0LHLLLHgM

L

zA

L

g LP0

d


Integrando

4320

432 LLLHLLLLHg

32

32 LLLPg

Despejando H

2L

gP

H g


2m 1

kPAPa 1000

sm80665,9

mkg 998,2

kPA 30

man23

man H

La altura para empezar a girar es: m 6,3H 7.20 b) c) Caso de la compuerta semicircular

2 constantea D L

cos2D

12 2

2

4sen 1D

1

2 2

2

4sen 1wD

constante aw

0 0

d dL L

zA gM g H L w P w Arreglando y simplificando


1

2 22

20

41 dL

zA gM g H g L PD

12 2

320

41 dL

gD

zAM

22 2 220

22 d2

D

gDg H g D P

D

22 3 220

2 d2

D DgD

Integrando con la ayuda de un manual de integrales

42 2 10 arcsen 18 2

gg H g D P DD

5 32 2 22 22 1 1

5 2 3 2 2D D Dg

D

42

64 120gg H g D P Dg

D

58

2 15gPD DHg

Despejando H

5

2 15gP D DHg

5

2 15gP a aHg



5man

man3 2

1 m30 kPA 1000 Pa 1 mkg m kPA 2 15998,2 9,80665m s

H

La altura para empezar a girar es: 3,6 mH 7.20 c) 7.7 Movimiento estable para un fluido en reposo relativo

(cuerpo rígido) con aceleración rectilínea Ejemplo 7.21. Tanque cisterna en movimiento Se tiene un tanque, de 4 pies de diámetro por 25 pies de largo, que transporta kerosén. Determine el porcentaje de llenado (cuando el tanque está quieto) para que la altura del fluido alcance el diámetro del tanque con una aceleración, máxima, de 1 m/s2. Respuesta 7.21 Diagrama del volumen de control

PATM ATMÓSFERA

h

x = 0

D

L z = 0

(xP, zP) z+

y + F +


Datos conocidos: a = ax: :aceleración en la dirección del movimiento (x) 1 m/s2 h : altura del fluido en el tanque ¿ ? D : diámetro del tanque 1,22 m L : largo del tanque 7,62 m H2O : densidad del agua (a 60 F) 999,012 kg/m3 : densidad del kerosén 41,4 ºAPI 817 kg/m3 Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control inercial: las partículas del fluido

se mantiene en reposo relativo, como las de un cuerpo rígido.

- Aceleración del vehículo, a, constante - La presión aumenta a partir del nivel - La densidad del fluido es constante y conocida - La presión no varía con el ancho, y. La presión dentro del fluido para el volumen de control inercial, Ec. 7.2 y Ec. 7.3

gzP

aa

xP

x

La presión total, es

zgxazzPx

xPP ddddd

Integrando, esta ecuación diferencial, con la condiciones de contorno: a 0x y hz entonces PatmP zhgxaPP atm El perfil de fluido (xP, zP), es cuando la presión es igual a la atmosférica.


PPatmP zhgxaPP 0 Despejando la altura

PP xgahz

El fluido tiene un perfil lineal, cuando el sistema se traslada con aceleración constante. Para el valor promedio, altura en reposo,

L

PP

L

PP dxxgah

Lxz

Lzz

00ReposoEn1d1

2L

gahz

Nota: el valor corresponde a xP L2 Cuando la altura sea igual al diámetro h D,

2L

gaDz


m 62,7sm 8066,9

sm 1 m 22,1 2

2

z

La altura del fluido, dentro del tanque en reposo es: m 44,0 z 7.21 Que corresponde al 36 % de diámetro

% 36

Dz

7.21


Ejemplo 7.22. Fluido en un recipiente que gira Un fluido con densidad y viscosidad constantes, llena parcialmente un recipiente cilíndrico, vertical, el cual gira alrededor de su eje con velocidad angular constante. Determine la forma de la superficie libre, en el estado estacionario. Respuesta 7.22 Diagrama del volumen de control

Datos conocidos: : velocidad angular del recipiente rad/s h : altura del fluido en el centro del tanque (r = 0) m D : diámetro del tanque m L : alto del tanque m : densidad del fluido kg/m3

h

ATMÓSFERA

F +

z+

r +PATM

(rP, zP)

r = 0

D z = 0


Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. El sistema se describe mejor en coordenadas cilíndricas, en lugar que utilizar la ecuación 2.10, se utilizan las desarrolladas en el cuadro 27; con las siguientes consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control inercial: las partículas del fluido

se mantiene en reposo relativo, como las de un cuerpo rígido

- La presión aumenta a partir del nivel - La densidad del fluido es constante y conocida - La presión no varía con el ancho, r - Velocidad del tanque (paredes), , constante y

masa constante.

0

tρ

0

tv

- El fluido solo gira, no se desplaza 0rv 0zv

- 0θr

P, por simetría.

- Se desprecian las pérdidas de fricción con z, (L).

02

2

zvθ

Balance de masa, total,

0θrvρ θ

Con densidad constante

0

θr

vθ

Ecuaciones de Navier-Stokes

(Correspondientes a fluido newtoniano en régimen de flujo laminar con y constantes)


Componente r:

022

θrv

rμgρ

rP

rv

ρ θr

θ

Componente θ:

θθ

θ gρθr

Pθr

vvρ

01

2

2

22

2

zv

θrv

rvr

rrμ θθθ

Componente z:

0

zρgzP

Aplicando el balance de masa y las componentes de la aceleración de la gravedad.

Componente r: r

vρrP θ

2

I

Componente θ: 01

rvr

rrμ θ II

Componente z: gρzP

III

Resolviendo la ecuación II

221

2CrCvr θ

Cuando r 0 entonces 02 C Por el principio de no deslizamiento Cuando r D2, v vPared D 2 entonces 21C , con lo que,


rvθ Lo que indica que los elementos del fluido se mueven como los elementos de un cuerpo rígido. La presión dentro del fluido para el volumen de control inercial, es.

gρzP

rρr

vρ

rP θ 2

2

La presión total, es

zgrrρzzPr

rPP ddddd 2

Integrando, esta ecuación diferencial, con la condiciones de contorno: a 0r y hz entonces atmPP

zhgrρPP atm

22

2

El perfil de fluido (rP, zP), es cuando la presión es igual a la atmosférica.

pPatmP zhgrρPP

22

20

Despejando la altura

hrg

z Pp

22

2

7.22

El fluido tiene un perfil parabólico, cuando el sistema gira con velocidad angular constante.


Capítulo 8

TRANSFERENCIA DE CALOR EN FLUIDOS EN REPOSO

8.1 INTRODUCCIÓN El propósito de este capítulo, es formular un modelo para la evaluación (o estimación) del coeficiente de película o de transferencia de calor h, de la relación de enfriamiento de Newton, para el caso de fluidos en reposo global; para efectuar los cálculos de procesos en la Ingeniería, en forma general. El modelo pretende describir el fenómeno de convección libre. 8.2 CONVECCIÓN LIBRE O NATURAL Difusión de calor con advección Cuando un fluido está en reposo, pero sometido a una diferencia de temperatura entre la interfase o pared, Ts, y el seno del fluido o medio, T, se produce transferencia de calor entre la interfase y el medio por difusión (pura) de energía, térmica, o calor; además, se manifiesta una advección (movimiento, arrastre) de partículas (masa) que afecta la transferencia de energía por difusión. La diferencia de temperatura provoca un gradiente de densidad en la masa, que origina una fuerza de flotación debida al campo gravitacional. Lo que genera un empu-je, por el movimiento de masa, en la misma dirección que la transferencia de energía por difusión, modificándola. La presión en el seno de un fluido, P

gyP

Capítulo 8 Trans. calor en reposo 378 G. Chacón V.

La densidad, para cálculos de la Ingeniería, se puede aproximar como una variación lineal con la temperatura

gTTyP

AM

1

Nota: Se debe distinguir entre el mezclado, que consiste en

colocar las partículas en contacto por fuerzas mecáni-cas, y la difusión, debido al potencial térmico (Ts T).

8.3 MODELO PARA LA CONVECCIÓN LIBRE O NATURAL, A PARTIR DE UNA PLACA VERTICAL Considérese una “gran” masa de un fluido en reposo, global, con una temperatura en el seno del fluido o medio T, la cual está en contacto con una pared “caliente”, a Ts, en posición vertical. El fluido cercano a la pared vertical, comienza a moverse lentamente en la parte inferior y el movimiento se hace más rápido a medida que avanza, hacia la parte superior.

T T

Ts

y

Fluido

Interfase

Seno del Fluido

s

Paredq

PT

1


Como consecuencia, el perfil de temperatura, con la profundidad y, aumenta su pendiente con el incremento de la altura, x.

Condiciones del modelo 1- Fluido (global) en reposo

0

tvx , 0

tT

, 0t

2- La distancia en la dirección de z es muy grande 3- Flujo bidireccional yxvx ,v x ; yxv yy ,v

x

y

vx

vx

TS

vx

TS

TS

T

T

T


4- Las corrientes de reposición son despreciables 5- El fluido asciende en la proximidad de la pared

debido a las fuerzas de flotación

gTTxP

AM

1

6- La variación de la densidad y su efecto en el flujo de

masa es despreciable

0

y

vx

vv yx

7- La componente horizontal de la velocidad influye

poco en el movimiento

0

xv

yv yy y 0

yP

8- Parámetros termofísicos constantes

.Ctek , .CteCV y .Cte 9- La difusión de calor en la dirección x es despreciable

0

xT

10- Los efectos cinéticos y potenciales y de fricción (irre-

versibilidad) en el balance de energía se desprecian y no hay generación de calor

gv

,

vvtvv

,

v: ,

v , G

Las ecuaciones de variación, con ayuda del cuadro 26 y para las condiciones del modelo citadas, son:


Masa total (C. M.:1, 2, 3, 4 y 7)

0

yv

xv yx

Cantidad de movimiento, en la dirección x total (C. M.:1, 2, 3, 4, 6 y 8)

02

2

2

2

yv

xvg

xP

yvv

xvv xx

xx

yx

x

02

2

TTgyvv

xvv

yv x

yx

xx

Energía, térmica

PTCx

vyT

xTk Vx2

2

2

2

0

PTCy

v Vy

Desplazando la temperatura en T y como

(Entalpía) PTCTC VP

02

2

yTTv

xTTvC

yTTk yxP

La transferencia de calor, global, se evalúa en la pared

xy

TTkqy

d0

0


Números adimensionales El sistema de ecuaciones diferenciales se “resuelven” por el método de reducción con variables adimensionales ,análisis dimensional, como las siguientes Difusividad mecánica

Difusividad térmica PC

k

No. de Prandtl k

CPr P

d térmicaDifusividad mecánicaDifusivida

No. de Grashof

TTGr s

32

g inercialFuerza

boyanteFuerza

No. de Nusselt k

hNu

d térmicaDifusividaconvectivatérmicaDif .

No. de

Rayleigh

3

kCTTgPrGr P

s

Cambio de variables

x

x

yPrGrykCTTg P

sy41

411

TTTT

s

x

xP

sx

vPrGr

vkC

TTg

21211


y

yP

sy

vPrGr

vkC

TTg

41

413 1

Masa total

0

y

y

x

x

Cantidad de movimiento, en la dirección x total

012

2

y

xy

x

xx

y

x

Pr

Energía, térmica

02

2

yy

xx

x

Condiciones de contorno

cuando

y 0 vx vy 0 x y 0

entonces

T Ts 1

y vx vy 0 x y 0

T T

0

x vx vy 0 x y 0

T T

0 Sustituyendo los cambios en la transferencia de calor,

xy

TTkqy

d0

0

x

ys

y

PrGrTTkq

d0

1

0

41


Simplificando y con la definición de coeficiente de transferencia de calor o película, h de la Ley de enfriamiento de Newton,

TThPrGrTTksx

ys

y

d0

1

0

41

La integral definida es un valor numérico, que se deno-mina C

x

yy

C

d0

1

0

El modelo para el coeficiente de película o de transfe-rencia de calor es

41PrGrCk

hNu

(8.1)

El valor teórico para la placa Horizontal vy 0 C 0,458 Lorenz (1880) Vertical C 0,508 Schmidt y Beckman (1930) El modelo se generaliza como nPrGrCANu (8.2) En el cuadro 34 se muestran algunos de los valores típicos para esta relación.


8,4 EJERCICIOS Ejemplo 8.1. Conducto horizontal Una tubería de acero galvanizado No. 12” Ced. 120, que está colocada horizontalmente en una planta, cuya temperatura ambiente es de 28 C, produce una pérdida de energía de 1,5 kW/m de tubo. Evalúe la temperatura en la pared externa del conducto. Datos conocidos: D : diámetro externo del conducto No. 12” Ced. 120 0,324 m Ts : temperatura en la pared externa del sólido ¿? Tf : temperatura en el seno del fluido Tf T 301 K Q : flujo de calor entre el conducto y el medio 1,5 kW/m Respuesta 8.1 Relación de la transferencia de calor fss TTAhQ Área lateral de conducto LDAs Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Convección libre - Radiación despreciable (forma parte del valor de h) - La temperatura es homogénea a lo largo de la

pared.


Sustituyendo y despejando la temperatura de la pared,

Dh

LQTT fs

Con los valores dados

m 324,0

W/m1500K 301

h

Ts

2 W/m66,1473K 301h

Ts

Como no se conoce la temperatura en la pared, el primer intento se hace con

K W/m10 2h

K 448 W/mK W/m10

2,1473K 301 22 sT

La temperatura media o de película

K 375K 2

3014482

fs TTT

Datos para el aire a 375 K: g22 4,854107 1/m3 K Pr : número de Prandtl 0,6937 k : conductividad térmica 0,03186 W/m K Número de Rayleigh

PrDTTgPrGr fs 32

2

K301448K m

17E854,4 3PrGr

83 1069,16937,0m 324,0


Número de Nusselt

4153,0 PrGrkDhNu

Sustituyendo valores y despejando para h

m 324,0K W/m03186,01069,153,0 418

h

K W/m9,5 2h Continuado con la recurrencia

K 549 W/mK W/m,95

66,1473K 301 22 sT

K 254K 2

301549

T

Datos para el aire a 425 K: g22 2,791107 1/m3 K Pr 0,6866 k 0,03539 W/m K Número de Rayleigh

K301549K m

17E791,2 3PrGr

83 1062,16866,0m 324,0 Número de Nusselt

m 324,0K W/m03539,01062,153,0 418

h

K W/m53,6 2h


Realizando otra iteración para mejorar la aproximación

K 527 W/mK W/m53,6

66,1473K 301 22 sT

K 414K 2

301527

T

Datos para el aire a 414 K: g22 3,14107 1/m3 K Pr 0,688 k 0,0346 W/m K Número de Rayleigh

K301527Km

17E14,3 3PrGr

83 1066,1688,0m 324,0 Número de Nusselt

m 324,0K W/m0346,01066,153,0 418

h

K W/m42,6 2h Con lo que

K 531 W/mK W/m42,6

66,1473K 301 22 sT

C 257sT 8.1


Ejemplo 8.2. Fórmulas para aire Una tubería de acero galvanizado No. 12” Ced. 120, que está colocada horizontalmente en una planta, cuya temperatura ambiente es de 28 C, produce una pérdida de energía de 1,5 kW/m de tubo. Evalúe la temperatura en la pared externa del conducto. (es el mismo caso anterior, Ej. 8.1). Datos conocidos: D : diámetro externo del conducto No. 12” Ced. 120 0,324 m Ts : temperatura en la pared externa del sólido ¿? Tf : temperatura en el seno del fluido Tf T 301 K Q : flujo de calor entre el conducto y el medio 1,5 kW/m Respuesta 8.2 Relación de la transferencia de calor fss TTAhQ Área lateral de conducto LDAs Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Convección libre - Radiación despreciable (forma parte del valor de h) - La temperatura es homogénea a lo largo de la

pared. Sustituyendo y despejando la temperatura de la pared,

Dh

LQTT fs

Como primer intento se supone 910 PrGr


Y se usa la relación para el aire

41

32,1

DTT

h fs

NOTA: h en W/m2 K o W/m2 C y Ts Tf en K o C

Sustituyendo, h, en la relación del flujo de calor,

fs TD

LQT

54

4332,1


301

m 324,032,1 W/m1500

54

43

sT

C 247K 520 sT 8.2 Comprobación del número de Rayleigh

K 114K 2

301520

T

Datos para el aire a 411 K: g22 3,29107 1/m3 K Pr 0,688 Número de Rayleigh

688,0m 324,0K301520K m

17E29,3 33 PrGr

81069,1 PrGr


El coeficiente de película es

41

324,030152032,1

h

K W/m7,6 2h Ejemplo 8.3. pared vertical Una pared (placa) vertical dentro de un tanque, con un ancho de 2 m, se usa para calentar un aceite mineral que tiene una temperatura inicial de 20 C. La placa trasmite 2,5 kW y la temperatura de la pared es 150 C. Calcule la altura, necesaria, de la placa, para aprovechar todo el flujo de calor. Datos conocidos: L : alto, vertical, de la placa ¿? W : ancho de la placa 2 m Ts : temperatura de la placa 150 C Tf : temperatura en el seno del fluido Tf T 20 C Q : flujo de calor entre la placa y el medio 10 kW Respuesta 8.3 Relación de la transferencia de calor fss TTAhQ Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Convección libre - Radiación despreciable (forma parte del valor de h) - La temperatura es homogénea a lo largo de la

pared.


La temperatura media o de película

C 85C 2

201502

fs TTT

Datos para el aceite a 85 C: : densidad 849,0 kg/m3 : viscosidad cinemática 3,110-5 m2/s k : conductividad térmica 0,14 W/m K Pr : número de Prandtl 4,1102 : 7,010-4 1/K Número de Rayleigh

PrLTTgPrGr fs 32

1

2sm80665,9

K14E0,7PrGr

2E1,4C20150ms

5E1,31 3

2

2

L

3311 /m108,3 LPrGr Número de Nusselt

3110,0 PrGrk

LhNu

Sustituyendo valores y despejando para h

W1000

kW1K m

W14,0m11078,310,0 31311

LLh

K W/m5,101 2h


El flujo de calor

kW 5,2C20150m 2Km

W5,101 2 LQ

Despejando el largo y haciendo los cálculos m 09476,0L La altura de la placa calentadora es m 1,0L 8.3 Ejemplo 8.4. Placa caliente Una placa de cobre de 20 mm de ancho por 3 m de largo y 2 mm de espesor, se sumerge en un tanque con agua en reposo a 15 1 C. La placa se utiliza como calentador (por los dos lados) con una temperatura de 115 5 C. Determine el flujo de calor, del sistema, si la placa está colocada en forma:

a) horizontal b) vertical

Datos conocidos: a : ancho de la placa 0,02 m L : largo de la placa 3, m Ts : temperatura de la placa 115 C Tf : temperatura en el seno del fluido Tf T 15 C Q : flujo de calor entre la placa el agua ¿?


Respuesta 8.4 Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Convección libre - Radiación despreciable (forma parte del valor de h) - La temperatura es homogénea a lo largo de la

pared - Se desprecia el flujo de calor por el espesor. La temperatura media o de película

C 65C 2

151152

fs TTT

Datos para el agua a 65 C: : densidad 980,5 kg/m3 CP : capacidad calorífica 4,18710-3 J/kg K : viscosidad 4,3710-4 kg/m s k : conductividad térmica 0,660 W/m K Pr : número de Prandtl : 5,510-4 1/K Número de Rayleigh

PrTTgPrGr fs 32

2

32

fs

P TTkCgPrGr

kgsm

4E37,41

mkg5,980

sm807,9

K14E5,5

2

32

PrGr

3C15115K kg

J3E187,4W

C m660,01

3312 /m105,7 PrGr


a) Caso de la placa horizontal

m 02,0m 3m 02,0m 32

aLaL

PA

a m 02,0m 0199,0 Número de Rayleigh 3312 /m02,0105,7 PrGr 7109,5 PrGr Número de Nusselt

4154,0 PrGrk

hNu arar

4127,0 PrGrk

hNu abab

La transferencia de calor fsabar TTLahhQ

fs TTLakPrGrQ

4127,054,0

417109,527,054,0 Q

W1000

kW 1C 15115m 3m 02,0m 02,0

K mW660,0

El flujo de calor para la placa horizontal es kW 14Q 8.4 a)


b) Caso de la placa vertical m 3 L Número de Rayleigh 3312 /m3105,7 PrGr 14100,2 PrGr Número de Nusselt

3110,0 PrGrk

LhNu

La transferencia de calor fs TTLahQ 2

fs TTLLakPrGrQ 3110,02

3114100,210,02 Q

W1000

kW 1C 15115m 0,02K m

W660,0

El flujo de calor para la placa vertical es kW 16Q 8.4 b) La diferencia entre ambos casos es de 9%.


Capítulo 9

TRANSFERENCIA DE LA MASA DE UNA SUSTANCIA, UNIDIMENSIONAL, EN FLUIDOS EN

REPOSO 9.1 INTRODUCCIÓN El propósito de este capítulo, es formular dos modelos para la evaluación (o estimación) de la transferencia de la masa de una sustancia, para el caso de fluidos en reposo global. Los modelos pretenden describir el fenó-meno de la convección libre. 9.2 CONVECCIÓN LIBRE O NATURAL Difusión de masa con advección Cuando un fluido está en reposo, pero sometido a una diferencia de concentración entre la interfase, CAi, y el seno del fluido o medio, CA, se produce transferencia de masa, de A, entre la interfase y el medio, por difusión (pura); además, se manifiesta una advección (por movi-miento de partículas o masa) de A que afecta la transferencia de masa por difusión.

CA CA

CAi

y

Fase

Interfase

Seno del Fluido

i

PAC

1

Fase NA

Capítulo 9 Trans. masa en reposo 398 G. Chacón V.

La diferencia de concentración provoca un gradiente de densidad, que origina una fuerza de flotación debida al campo gravitacional. Lo que genera un movimiento de masa, en la misma dirección que la transferencia de masa por difusión, modificándola. La presión en el seno de un fluido, P

gyP

La densidad, para cálculos de la Ingeniería, se puede aproximar como una variación lineal con la concentración

gCCyP

AAAM

1

Nota: Se debe distinguir entre el mezclado, que consiste en

colocar las partículas en contacto por fuerzas mecáni-cas, y la difusión, debido al potencial (CAs CA).

9.3 MODELO EN VARIABLES ADIMENSIONALES PARA LA CONVECCIÓN LIBRE O NATURAL DE UN FLUJO DE LA MASA DE UNA SUSTANCIA En forma similar a la transferencia de calor. En un fluido en reposo, se puede desarrollar un modelo para la transferencia de la masa de una sustancia en una “gran” masa de un fluido en reposo, global, con una concen-tración en el seno del fluido o medio CA, la cual está en contacto con una interfase, presentándose una concen-tración, en la interfase, de CAi. Masa total

0

xvx

Cantidad de movimiento, en la dirección x total


yvv

xvv

yv x

yx

xx 2

2

0 gCC AAAM Balance de masa de la sustancia A

02

2

2

2

x

CvyC

xCD A

xAA

AB

Condiciones de contorno

cuando

y 0 vx vy 0

entonces

CA CAi y vx vy 0 CA CA

x vx vy 0 CA CA

Usando los siguientes Números adimensionales, las ecuaciones diferenciales se “resuelven” por el método de reducción con variables adimensionales (análisis dimen-sional, Difusividad mecánica

Difusividad másica ABD

No. de Schmidt ABD

Sc

d másicaDifusividad mecánicaDifusivida

No. de Grashof

AiCGr

32

gC A inercialFuerzaboyanteFuerza

No. de Sherwood

AB

C

Dk

Sh

d másicaDifusivida

convectivamasaDif .

El modelo para el coeficiente de transferencia de masa es

41ScGrCD

kShAB

C

(9.1)


9.4 MODELO UNIDIMENSIONAL PARA LA CONVEC-CIÓN LIBRE O NATURAL DE UN FLUJO DE LA MASA DE UNA SUSTANCIA, EN UNA MEZCLA BINARIA

Otro modelo para la transferencia de la masa de una sustancia dentro de masa de un fluido en reposo, se obtiene por balance global de masa; considerando el flujo en una dirección y en estado estacionario, ya que la velocidad se puede evaluar con el mismo flujo total. Condiciones del modelo 1- Fluido (global) en reposo

0

tvx , 0

tC A , 0

t

2- La distancia en la dirección de z es muy grande 3- Flujo unidireccional

0xv ; 0yv 4- La variación de la densidad y su efecto en el flujo de

masa es despreciable

0

z

vy

vx

vv zyx

5- Difusividad constante

.CteDAB y BAAB DD 6- La difusión de la masa de A en las direcciones x y y

son despreciables

0

xC A , 0

yC A


Definiciones de la concentración, para líquidos

CCx A

A ;

1221

CACAAM MMMC

2

1

21,

lnAAM

AAM

AALMB

CMCM

CCC

;

2

1

21,

11ln

A

A

AALMB

xxxx

x

Para gases ideales

PP

CC

y AAA ;

TRPC

2

1

21,

lnA

A

AALMB

PPPPPP

P ;

2

1

21,

11ln

A

A

AALMB

yyyy

y

La ecuación de variación, con ayuda del cuadro 26 y para las condiciones del modelo citadas, son: Masa total

0

zvz

constantevz Balance de masa de la sustancia A

0

zCv

zJ A

zAz

Integrando, con constantevz ,

ConstanteNNCvJ AAzAzAz El flujo total de masa, N, se expresa, en términos de la densidad molar (total de la mezcla) como

CvNNN zBA


Sustituyendo esta ecuación y la ley de Fick

Constante

ABAA

ABA CC

NNz

CDN

Separando variables e integrando

0

2

1

zNCCNN

CDCA

A

C

CAABA

AAB

9.4.1 Modelo para el flujo binario, en general Con las condiciones del modelo y

0 BABzAzz NNNNN Integrando

CNCNNCNCNN

NNDC

AABA

AABA

BA

AB

1

2ln

Multiplicando en ambos lados por NA y arreglando.

CC

NNN

CC

NNN

DCNN

NN

A

BA

A

A

BA

A

AB

BA

AA

1

2

ln

(9.2)

Para líquidos

1

2

lnA

BA

A

ABA

A

AM

AB

BA

AA

xNN

N

xNN

N

MD

NNNN

AM

A

BA

A

AM

A

BA

A

AM

AB

BA

AA

MC

NNN

MC

NNN

MD

NNNN

1

2

ln


Para gases ideales

1

2

lnA

BA

A

ABA

A

AB

BA

AA

yNN

N

yNN

N

TRPD

NNN

N

PP

NNN

PP

NNN

TRPD

NNNN

A

BA

A

A

BA

A

AB

BA

AA

1

2

ln

9.4.2 Modelo para el flujo binario con B no difundente Con las condiciones del modelo y

0 BBz NN con lo que 1 BA

A

NNN

Para líquidos

2121,

AAxAAAMLMB

ABA xxkxx

MxDN

2121,

AALAAAMLMB

ABA CCkCC

MCD

N

Para gases ideales

2121,

AAyAALMB

ABA yykyy

TRP

yDN

2121,

AAGAALMB

ABA PPkPP

TRP

PDN


9.4.3 Modelo para el flujo en contra difusión molecular Con las condiciones del modelo y

0 BABzAzz NNNNN Partiendo de la ecuación

ABAA

ABA CC

NNz

CDN

Constante

z

CDN AABA

Separando variables e integrado

0

2

1

zN

CDA

A

C

CA

AAB

Realizando la operación integral

2121 AACAAAB

A CCkCCDN

(9.3)

Para líquidos

2121 AAxAAAM

ABA xxkxx

MD

N

2121 AALAAAB

A CCkCCD

N

Para gases ideales

2121 AAyAAAB

A yykyyTR

PDN

21211

AAGAAAB

A PPkPPTR

DN


9.5 EJERCICIOS Ejemplo 9.1. Difusión con reacción instantánea En un catalizador en forma de malla sólida, se degrada (“craked”) amoniaco, mediante la reacción

2 NH3 N2 3 H2 En un lugar del aparato, donde la presión es de 1 atm. abs. y la temperatura es de 200 C, el análisis químico en el seno de gas es de 33,33 % de NH3, 16,67 % de N2 y 50,00 % de H2, por volumen. Estime el flujo local de amoniaco, suponiendo, que la masa se difunde a través de una capa de un milímetro. El fenómeno consiste en que, el amoniaco se difunde desde el seno del fluido hacia la superficie catalítica y los productos de la reacción en sentido contrario. Datos conocidos Nomenclatura Composición en el fluido (en 1) A : NH3 amoniaco yA : 1/3 f.m B : N2 nitrógeno yB : 1/6 f.m C : H2 hidrógeno yC : 1/2 f.m. P : productos Reacción química 2 A B 3 C 4 P

Difusividad (DAP) Corrección por temperatura

DT

DTTAPTAP T

TPDPD o

23

0o

I A B C NH3 N2 H2

/ K 558,3 71,4 59,7 AI/ K 199,7 182,6

T0 K 293 K DAI PTo N/s 2,441 8,600


T0/AI 1,468 1,606 DTo 1,209 1,165

T 473 K T/AI 2,370 2,592 DT 1,016 0,9888 DAI PT N/s 5,954 20,784

Difusividad de la mezcla Fórmula para ponderar la difusividad de la mezcla

PDy

PDyPD

AC

C

AB

BAP

1

25,02161

61

By 75,0

216121

Cy

N/s 808,12

784,2075,0

954,525,0

1

PDAP

Respuesta 9.1 Flujo de masa de amoniaco, A

1

2

lnA

PA

A

APA

A

AP

PA

AA

yNN

N

yNN

N

TRPD

NNNN

El flujo total en reposo 024 PA NN Con lo que AP NN 2

y 12

AA

A

PA

A

NNN

NNN



311

01lnK 15,473

1K J/mol 3145,8m 001,0

N/s 808,121AN

Con lo que el flujo de masa del amoniaco, por difusión es s mmol 94,0 2

NH3AN 9.1

Ejemplo 9.2. Difusión en líquidos Evalúe el flujo de cloruro de sodio que se difunde a través de una capa de 1 mm de agua estancada a 18 C. Las concentraciones en cada lado de la capa son 20 % y 10 %, respectivamente. Datos conocidos Nomenclatura A : NaCl cloruro de sodio, MA 58,45 B : H2O agua, solvente, MB 18,02

Composiciones y difusividad()

kgA/kg 0,2 0,1 Prom. xA kmolA/kmol 0,07154 0,03311 M kgA/kmol 20.909 19,355 kg/m3 1148,7 1071,4 1110 C kmol/m3 54,94 55,36 55,1 CA kmolA/m3 3,9305 1,8330 DAS m3/s 1,4310-9 1,2910-9 1,3610-9

() Interpolación lineal, tomado del Perry y del Welty

BBAA

AAA MM

Mx

CxC AA


BBAA MxMxM M

C

Corrección por temperatura

0o

oo

00

TTDD

ST

ST

ST

STTAsTAS

298291

0,9976,998

4E57,104E93,8

sm9E36,1 2

0ASD

/sm 1012,1 290 ASD Respuesta 9.2 Flujo de masa de la sal, A

1

2

11ln

A

A

AM

ASA x

xCDN


03311,0107154,01ln

m 3E1kmol/m 155/sm 9E12,1 32 ,N A

kmol

mmol 6E1

Con lo que el flujo de masa de la sal, por difusión es s mmmol5,2 2

sal AN 9.2 s mg15,0 2

sal AN


Ejemplo 9.3. difusión de CO Se difunde monóxido de carbono a través de una capa de 1,5 mm de oxígeno en reposo a 500 K y 1 MPa, con un flujo de 0,5 kg de CO/m2 ks. Si en un lado de la capa se tiene 5 % de CO en volumen, determine la concentra-ción al otro lado de la capa. Datos conocidos Nomenclatura A : CO monóxido de carbono A 91,7; MA 28,010 B : O2 oxígeno B 106,7; MB 31,999

Difusividad (DAB)

Corrección por temperatura Se cuenta con dos datos, y se interpola

DT

DTTAPTAP T

TPDPD o

23

0o

T K 273 723 500

DAB PT N/s 1,87 10,1 T/AB 2,761 7,311 5,054 DT 0,9709 0,7836 0,8404

DAB P500K N/s 5,35 5,41

Difusividad del CO en el oxígeno N/s 38,5 PDAB


Respuesta 9.3 Flujo de masa de CO, A , Ec.9.2

1

2

lnA

BA

A

ABA

A

AB

BA

AA

yNN

N

yNN

N

TRPD

NNNN

Oxígeno no difundente 0BN

1

2

11ln

A

AABA y

yTR

PDN

21,

AALMB

AB yyTR

Py

D

Despejando la concentración yA2

PDTRNyy

ABAAAexp11 12


A

A3

A2 kg 010,28

mol 1000s 1000 m

kg5,0exp05,011Ay

K 500

K molJ3148

N/s 38,5m 0015,0 ,

La concentración de monóxido de carbono es en volumen %3.f.m 03,02 Ay 9.3


Ejemplo 9.4 Celda de Arnold La celda de Arnold es un instrumento para la medición de la difusión másica de un vapor en un gas en reposo. Consiste en un tubo tipo chimenea, en cuyo fondo está el líquido, del vapor que se desea medir, y su nivel se mantiene constante. El vapor se difunde a través del gas, de la otra sustancia, dentro del tubo. Por la boca del tubo fluye dicho gas en forma perpendicular, disper-sando y arrastrando la mezcla.

Datos del aparato:

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Convección libre - Aire, B, no difundente - La difusividad es constante a lo largo del tubo - Se desprecia la concentración en la salida.

Aire

Líquido

A


Para una experiencia que utiliza un sistema formado por un tubo de 100 mm de longitud con un diámetro interno de 20 mm, en el que se dosifica el líquido por medio de una microbureta de 5 mm de diámetro externo, de tal for-ma que su nivel se mantiene constante, en el depósito. Evalúe la difusividad para el etanol en el aire. En la medición se consumen 1,56 mL de etanol (líquido) en 60 horas, mientras la temperatura se mantiene en 24 0,1 C y la presión en 90 0,05 kPa. Respuesta 9.4 Nomenclatura A : etanol B : aire Datos para el etanol a 24 C: MA : peso molecular 46,069 T : temperatura 297 K : densidad 785,9 (805,0) kg/m3 P0 : presión de saturación o vapor 7,13 (7,43) kPa

: altura del tubo 0,100 m A : área del tubo 2,945104 m2

4005,002,0 22 A Flujo del etanol, A, por difusión, Ec. 9.2, para B no difun-dente,

PPPP

TRPDN

A

AABA

011ln


Flujo de masa (por difusión) del etanol A.

h601

mkg 9,785

mL 6E1m 1mL 56,1 3

3

AN

mol

mmol 1000m 4E9452

1kg 069,46

mol 1000s 3600

h 12,

s mmmol 418,0 2

AAN Despejando para la difusividad del etanol, A, en el aire, B.

PPPPTRN

PD

A

A

AAB

011

ln

9013,710,01ln

K 15297K J/mol ,314518m 100,0s mol/m 4E183,4 2 ,PDAB

La difusividad del etanol en aire es N/s 25,1 PDAB a 297 K 9.4


Ejemplo 9.5 Celda de Arnold modificada La celda de Arnold modificada es un conducto, en que se permite variar las fronteras del sistema, para no tener que reponer el líquido que se difunde como vapor. Un sistema está formado por un tubo de 150 mm de longitud y de 20 mm diámetro interno. Si el sistema es etanol y se difunde en aire, que se encuentra a 297 K y 90 kPa, DAB P 1,25 m2 Pa/s, y el nivel del etanol es de 10 mm a partir de la boca del conducto evalúe la posición del nivel del líquido al cabo de 60 horas y la masa difundida. Respuesta 9.5 Datos conocidos Nomenclatura A : etanol B : aire Datos para el etanol a 24 C: MA : peso molecular 46,069 T : temperatura 297 K : densidad 785,9 (805,0) kg/m3 P0 : presión de saturación o vapor 7,13 (7,43) kPa L : altura del tubo 0,150 m D : diámetro del tubo 0,020 m Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Convección libre - Aire, B, no difundente - Área del conducto constante - La difusividad es constante a lo largo del tubo - Se desprecia la concentración en la salida - Temperatura y presión constantes.


Flujo del etanol, A, por difusión, Ec. 9.2, para B no difun-dente,

PPPP

TRP

zDN

A

AABA

011

ln

Gasto de la masa (difundida) líquida en el recipiente, Ec 2.6.

salida

ssAsentrada

eeAeVCA AvCAvC

tVC

dd

VcAAfAwACC VRCCAk El alcohol está, aproximadamente, puro, por lo que, con AAA MCC

ANCCAkt

MVAAfAwACC

AA

dd

Con la geometría del sistema

Aire

Líquido zL

zz0 z0

zz


AN

tzLA

M AA

A

dd

Comparando los dos flujos

PPPP

TRP

zD

tzL

M A

AAB

A

A

011ln

dd

Arreglando y separando variables

tPPPP

TRPDMzz

A

AAB

A

A d11lnd

0

Integrando con las condición de contorno 0t m 01,00 zz

20

0

2

11ln2 zt

PPPP

TRPDMz

A

AAB

A

A

Sustituyendo los valores

K 2297K J/mol 3145,8

N/s 251kg/m 9785

mol 1000kg/ 069.462 32

.,

,z

2m 01,0h 1

s 3600h 609013,71

0,01ln

22 m 001157,0z El nivel del líquido a partir de la boca es mm 43m 034,0 z 9.5 Masa (volumen) transferida

2

3

0,02 m 0,034 0,010 m 1E 6 mL4 m

V A z

mL 6,7V 9.5


Capítulo 10

TRANSFERENCIA DE MASA ENTRE FASES 10.1 COEFICIENTES LOCALES O INDIVIDUALES

DE TRANSFERENCIA DE MASA El propósito de este capítulo, es formular un modelo para la evaluación de los coeficientes transferencia de masa, para cuando se transfiere la masa de una sustancia A, de una fase a otra.

Aunque la teoría se desarrolla para las fases líquido–gas, se puede generalizar para otros tipos de fases.

Considérese dos fases en contacto e insolubles entre sí, entre las cuales se transfiere una sustancia A, compo-nente de una mezcla.

Nomenclatura NA : Intensidad de flujo de la masa de la sustancia de A

entre las fases kmol/m2 s

Gas Interfase

Líquido

NA

yAG

yAi

xAi

xAL

Capítulo 10. Trans. masa entre fases 418 G. Chacón V.

xA : concentración de la sustancia A en fracción molar, f. m. en la fase líquida kmolA/ kmol yA : concentración de la sustancia A en fracción molar, f. m. en la fase gaseosa kmolA/ kmol CA : concentración de la sustancia A kmolA/ m3 PA : presión parcial de la sustancia A kPa k : coeficiente local de trans. de masa de A variable Índices G : se refiere al seno del gas L : se refiere al seno del líquido i : se refiere a la interfase * : se refiere al equilibrio de la sustancia de una fase

con la correspondiente en el seno de la otra fase A A* L Ly m x LL CmP AA* A A* G Lx y m A A* G LC P m El flujo de masa, de la sustancia A, está regido por la diferencia de concentración dentro del seno del fluido, entre la correspondiente al seno del fluido y la de la interfase. Flujo en la fase gaseosa iGGiGy PPkyykN AAAAA Flujo en la fase líquida iLLiLx CCkxxkN AAAAA 10.2 COEFICIENTES GLOBALES O TOTALES DE

TRANSFERENCIA DE MASA Como es difícil medir las concentraciones en la interfase, se definen los coeficientes globales en términos de la “fuerza motriz” expresada con base en la concentración de la sustancia dada en el seno de una fase y la del equi-librio correspondiente a la concentración en la otra fase. Para lo cual se requiere de los datos del equilibrio de la sustancia, distribuida en ambas fases.


con K : coeficiente global de trans. de masa de A variable Flujo en la fase gaseosa ** AAAA PPKyyKN GGAGy Flujo en la fase líquida ** AAAAA CCKxxKN LLLx 10.3 TEORÍA DE LAS DOS RESISTENCIAS

De Lewis y Whitman El modelo supone que la resistencia en la interfase es despreciable, solo se presentan las resistencias en la fase líquida y en la gaseosa. Por lo que el balance de masa entre las fases o curva de operación es iLxiGy xxkyykN AAAAA

Gas

Curva del equilibrio líquido vapor.

Líquido

xA

yA

xAL

yA*

yAG

xA* 0 1

1


Con lo que se obtiene la recta de operación

iiLy

xG yxx

kky AAAA

En la interfase se cumple (la curva de equilibrio) ixi xmy AA

Relaciones entre los dos tipos de coeficientes de transferencia de masa

Sumando y restando yAi a la diferencia de concentración ** AA AAiAiGAG yyyyyy ALAiAiGAG xxmyyyy AA * Comparándolos con el flujo de masa, en términos de los coeficientes locales y globales de transferencia de masa

Gas

Líquido

xA

yA

xAL

yA*

yAG

xA*0 1

1

y

x

kk

m

m

(yAG, xAL)

(yAi, xAi)

Curva del equilibrio líquido vapor y curva de operación de la transferencia entre fases.


xyy k

mkK

11 también LGG k

mkK

11

En forma análoga

xyx kkmK

111

también

LGL kkmK111

Y, otras combinaciones. Relaciones entre las resistencias de una misma fase

fases ambasen totalaResistenci

gaseosa fase laen aResistenci

G

G

y

y

K

k

K

k1

1 o

1

1

fasesambasen totalaResistenci

líquida fase laen aResistenci

L

L

x

x

K

k

K

k1

1 o

1

1

10.4 EJERCICIOS Ejemplo 10.1. Absorción de amoniaco Una torre de absorción de pared húmeda, trabaja con una corriente de agua, sobre la pared, y una mezcla de amoniaco y aire, en la parte central, manteniendo una temperatura de 25 C y la presión en 97 kPa. El gasto es tal que el coeficiente de transferencia local en el líquido es de 3,110-5 kmol/m2 s kmol/m3 y en el gas de 9,510-4 kmol/m2 s fracción mol. En cierto nivel de la torre la concentración de amoniaco en el aire es de 0,65 f. m. de NH3 y la de la fase líquida de 0,07 f.m. de NH3. Evalúe la transferencia de masa, del amoniaco, entre las fases y su concentración en la interfase.


Datos conocidos:

Presión parcial del amoniaco sobre soluciones de NH3 en agua.(+)

xA PA

f. m. kPa kg/m3

0,05 6,7 976

0,07 8,7* 968*

0,10 12,6 9560,15 21,4 9370,20 34,90,25 55,9

0,261* 63,05

0,30 87,00,35 131,2

(+) Se tomaron del Perry, interpolando: la densidad en forma cuadrática y la presión con el modelo de Van Hoff

* Interpolado. Nomenclatura A : NH3 amoniaco B : aire f.m. fracción mol de A yAG : composición en la fase gaseosa 0,65 f.m. PAG : presión parcial de NH3 63 kPa ky : coeficiente de transferencia de masa local en la fase gaseosa 9,5104 kmolA/m2 s f.m. xAL : composición en la fase líquida 0,07 f.m. kL : coeficiente de transferencia de masa local en la fase líquida 3,1105 m/s Respuesta 10.1 Difusión de amoniaco, A, usando los datos conocidos:

iGy

iGy PPPk

yykN AAAAA


iLLiLL xxCkCCkN AAAAA Resolviendo para xAi

iLLiGy xxCkPP

Pk

AAAA

Con lo que

iLy

LiG xxPC

kkPP AAAA

La recta de operación es

GiLy

Li PxxPC

kkP AAAA

Evaluando, numéricamente, BAAA MxMxM 1 946,17015,1893,0031,1707,0 M

f.m. s /mkmol 4E5,9m/s 5E1,3

2Ay

L PCkk

kPa 97kg/kmol 946,17kg/m 968 3

kPa 7,170 PCkk

y

L

Sustituyendo valores 05,6307,07,170 AA ii xP Primer ensayo 17,02/)07,0261,0( Aix Interpolando en la curva de equilibrio líquido vapor, en la zona de trabajo, como si fuese lineal.


1A1AA1A2A

1A2AA Pxx

xxPPP ii

4,2115,015,020,04,219,34

AA

ii xP

4,2115,0270 AA ii xP

Preparando es sistema de ecuaciones, para su resolu-ción 0,757,170 AA ii xP 1,190,270 AA ii xP 5,38A iP 21,0A ix El flujo de masa de A, local, en el punto indicado es iGy yykN AAA

f.m. 97

38.5650f.m. s mkmol 4E5,9 2A

,N A

0

50

100

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4

Concentración en la solución, f. m.

Pres

ión

parc

ial,

kPa

(0,07; 63)

(xAi; PAi)


s /mkmol 1042 24A A,N

Comprobando iLL xxCkN AAA

f.m. 210,070kg/kmol 946,17kg/m 968

sm513

3

A , E,N

s /mkmol 1042 24

A A,N Con lo que el flujo de masa del amoniaco, por difusión es s mmol 24,0 2

NH3AN 10.1

Ejemplo 10.2. Difusión entre fases, coeficiente de

distribución constante Para un sistema líquido gas, en el cual se transfiere una sustancia A, desde un líquido hacia el gas en contacto con él, la relación de equilibrio de fases, se representa adecuadamente por

AiAi xy 75,0 En un punto dado del aparato, el líquido contiene 90 por ciento molar de A y el gas posee una concentración de 45 por ciento molar de A. El coeficiente individual de transferencia de masa en el gas, en dicho punto, tiene un valor de 3 molA/(m2 s f.m.A) y el 70% de la resistencia global a la transferencia de masa se encuentra en la fase gaseosa. Evalúe el flujo molar de A y las composiciones en la interfase.


Datos conocidos: yAG : composición en la fase gaseosa 0,45 f.m. xAL : composición en la fase líquida 0,90 f.m. ky : coeficiente de transferencia de masa local en la fase gaseosa 3 molA/m2 s f.m. Proporción de la resistencia en la fase gaseosa 0,70 Respuesta 10.2 Difusión de A

*AAAAA yyKyykN GyiGy

*AAAAA xxKxxkN LxiLx Equilibrio de fases ALA* xmy A Resistencias en la fase gaseosa

7,011

y

y

Kk

Sustituyendo valores numéricos yy kK 7,0 El flujo de masa

ALAA xmyKN AGy

AA

2A

A f.m. 9,075,0450f.m. s m

mol 37,0 ,N

El flujo de masa de A, por difusión es s /mmol 470 2

A A,N 10.2


Las concentraciones en la interfase, de lado del gas

Gy

i ykN

y AA

A

AA

2

2

A f.m. 45,0f.m. s /mmol 3

s /mmol 470

A

Ai

,y

AA f.m. 61,0iy 10.2 En la fase líquida

,750f.m. 610 AA

A,

my

xA

ii

AA f.m. 81,0ix 10.2 Ejemplo 10.3 separación de benceno En una torre para la separación de benceno del tolueno, que trabaja a una temperatura de 360 K, y en un punto de ella la fase gaseosa contiene 50 por ciento molar de benceno y el líquido, en contacto, tiene una concentra-ción de 20 por ciento molar de benceno, el flujo de masa entre las fases es de 70 mmolde benceno/m2 s. Si se consi-dera que el 60 % de la resistencia se encuentra en la fase gaseosa y los calores molares latentes del benceno y del tolueno son iguales, determine las concentraciones en la interfase. Datos conocidos: Nomenclatura A : benceno B : tolueno f.m. fracción mol de A


ky : coeficiente de transferencia de masa local en la fase gaseosa kL : coeficiente de transferencia de masa local en la fase líquida P°A : presión de vapor del benceno 124,4 kPa P°B : presión de vapor del tolueno 48,90 kPa yAG : composición del benceno en la fase gaseosa 0,50 f.m. xAL : composición del benceno en la fase líquida 0,20 f.m. NA : Flujo de benceno entre las fases 70 mmolA/m2 s Proporción de la resistencia en la fase gaseosa 0,60 Respuesta 10.3 Difusión de benceno, A, usando los datos conocidos:

*AAAAA yyKyykN GyiGy

*AAAAA xxKxxkN LxiLx Equilibrio de fases, considerando - Solución líquida ideal MJ/kmol 3,34MJ/kmol 0,30 BA - Gases perfectos (ideales)

iA

iAi xP

Pxmy AAA

BLBLA xPxPP A Resistencias en la fase gaseosa

6,011

y

y

y

y

kK

Kk

2,019,482,04,1244,124

PPm A

A


94,1Am El flujo de masa

*AAAAA xmyKyykN AGyiGy Resolviendo para yAi,

ALAAA xmykK

yy AGy

yGi

f.m. 2,094,15,06,0f.m. 5,0A iy AA f.m. 43,0iy 10.3 En la fase líquida

,941

f.m. 430AA

,my

xA

ii

AA f.m. 22,0ix 10.2 Nota:

No se preguntan los coeficientes de transferencia de masa, pero se pueden calcular

A2 f.m. s /mmol 01 Ay , k

A2 f.m. s /mmol 03 Ax , k

Ejemplo 10.4 extracción de amoniaco Se requiere extraer amoniaco de una solución acuosa, que desciende dentro de una torre de pared húmeda, absorbiéndolo en una corriente de aire, que fluye por la parte central en contracorriente. En cierto nivel de la torre, la concentración de amoníaco es de 4 kmol/m3 en el líquido y la presión parcial de amoniaco en el aire de 3 kPa. La temperatura en el sistema es de 15 C y la


presión de 15 kPaman. El coeficiente local de trans-ferencia de masa en la fase líquida, del amoniaco en el agua, se estima en 2,110-6 (kmol/s m2)/(kmol/m3) y se considera que la fase gaseosa posee el 80% de la resistencia total a la transferencia de masa . Evalúe la transferencia de masa local y determine las concentra-ciones en la interfase. Datos y Nomenclatura: A : amoniaco CA : concentración de A en el líquido, kmolA/m3 PA : presión parcial de A en el vapor, kPa Equilibrio líquido vapor:

fequ equ equ equA A A AP P y C x

Sistema agua, aire, amoniaco a 288 K

xA kmolA/kmol 0 0,05 0,1 Tabulado

yA kmolA/kmol 0 0,04019 0,07767 Calculado

CA kmolA/m3 0 879,6 1721,4 Calculado

PA kPa 0 4,14 8 Tabulado

kg/m3 999,1 979,2 960,8 Tabulado

M kmol/kg 17,97 17,92 Calculado

C kmol/m3 17592 17214 Calculado Difusividad del amoniaco: en aire 2,17 Pa m2/s en agua líquida 1,7710-9 m2/s kG : coeficiente de transferencia de m/s masa local en la fase gaseosa kL : coeficiente de transferencia de masa local en la fase líquida 2,110-6 m/s f(xA) : relación de equilibrio de fases cuadro PAG : composición de amoniaco en la fase gaseosa 3 kPa. CAL : composición del amoniaco en la fase líquida 4 kmolA/m3


MA : peso o masa molecular del amoniaco 17,031 kmol/kg MB : peso o masa molecular del agua 18,015 kmol/kg M : peso o masa molecular de la mezcla : densidad de la mezcla kg/m3 T : temperatura 388 K P : presión dentro del sistema 103 kPa Patm : presión atmosférica 88 kPa Respuesta 10.3 Muestra del cálculos, para el equilibrio líquido gas

A 0,05x

A A B A(1 )L LM M x M x

17,031 0,05 18,015 (1 0,05) 17,9658M C M

33

kg kmol979, 2 17,9658 17,592 Mmol mm kg

C

A AC x C

3AA A3

kmol kmol0,05 17592 880 kmol mkmol m

C

AAPy

P A

34,14 kPa 0, 04019103 kPa

y

1 1

2 1 2 1

equ equ equ equA A A Aequ equ equ equ

A A A A

P P C CP P C C

3A

0 04,14 kPa 0 879,6 kmol /m 0

equ equA AP C

Con lo que


3A

kPa0,00471kmol /m

equ equA AP C

Difusión de amoniaco, A, usando los datos conocidos:

A A A A A *G G i G GN k P P K P P

A A A A *L L i L L AN k C C K C C Resistencias en la fase gaseosa

A A

A A

1 1 0,81 1 *

y G iG G

y G G G

k P Pk KK K k P P

A A A A *Gi G G

G

KP P P Pk

Sustituyendo

AA 3 3

A

kmolPa3 kPa 0,8 3 kPa 0,00471 4kmol /m miP

A 0,62 kPaiP 10.4

3Akmol /m0,615 Pa

0,00471 PaAiC

3

A130 kmol /mAiC 10.4

3

6 AA 3

kmolm 10 mol2,1 10 4 130,7s m kmol

N

2

A A0, 26 mol /m sN 10.4


Capítulo 11

ANÁLISIS DIMENSIONAL 11.1 METODOLOGÍA El análisis dimensional, es una técnica que consiste en obtener relaciones entre las variables que afectan un proceso (independientes, causa o perturbadas) sobre una variable de interés (dependiente, efecto o respues-ta), por medio de la consistencia entre sus dimensiones. La forma del modelo para la relación (modelo de regre-sión) se obtiene por conocimientos previos o por intuición y los parámetros de la función propuesta a partir de datos experimentales (ajuste). El método es sugerido por los modelos mecanicistas de los procesos, en cuanto que las relaciones obtenidas, permiten acomodarlas en grupos adimensionales. Tam-bién, por el principio de los criterios de semejanza, que establece que para aplicar una fórmula obtenida para una tamaño dado de un proceso a uno de mayor tamaño o a uno de menor tamaño, escalar, se debe mantener la relación entre las variables de interés: deben correspon-der y mantener el mismo valor. Ejemplos de criterios de semejanza Semejanza geo-métrica

21

LD

LD

Semejanza cine-mática para un flujo bidireccional 21

y

x

y

x

vv

vv

Semejanza en la potencia para la agitación de un fluido

1

53 dW

253

d

W

Capítulo 11 Análisis dimen. 434 G. Chacón V.

Teorema de Buckingham Las variables estudiadas quedan expresadas en térmi-nos de grupos adimensionales, con otras variables que afectan el proceso. Para lo cual se aplica el Teorema de Buckingham que se enuncia a continuación y cuya metodología se muestra mediante ejemplos. Si se tiene una variable relacionada por medio de función de varias variables independientes.

nxxxxxy ,,,f 4321 Con n : número de variables involucradas en la función

(incluyendo la dependiente) m : número de dimensiones primarias, en las n variables r : rango de la matriz formada por la n variables y las m

dimensiones. Es decir, el orden máximo del deter-minante que no sea nulo, que se puede encontrar en dicha matriz.

i : número de grupos adimensionales independientes, de la ecuación.

Entonces se puede formar una ecuación entre i grupos adimensionales

i ,,, 321 De tal forma que

rni Como regla (tiene excepciones) cuando se emplean solo unidades fundamentales,

mr El primer grupo, 1i , incluye la variable dependiente (efecto o respuesta)


Quedan r variables que se repiten, que deben cumplir las siguientes reglas a) El número de ellas es igual al rango r b) No deben tener (entre sí) las mismas dimensiones

netas Ejs.: CP y s; DAB y v

c) No se debe incluir la variable dependiente d) Deben incluir, entre los r números, todas las m

dimensiones primarias. Las variables en estudio se definen sobre la base de la experimentación, de criterios y modelos empíricos, técnicos y científicos y de la formulación de modelos mecanicista. 11.2 EJERCICIOS Ejemplo 11.1. Ecuación diferencial en variables adimen-

sionales Escriba la ecuación de Navier Stokes), para viscosidad constante, en variables adimensionales. Respuesta 11.1 La ecuación de Navier Stokes (Ec. 2.10), para viscosidad constante

02 gPvvv

tv

Se definen los números adimensionales simples

20*

vPP

P

vvv

*


tvt *

ggg

*

xx *

yy *

zz *

*

Sustituyendo en la ecuación diferencial para la cantidad de movimiento

***

** 22

vvvtvv

0*****2

22

ggPvvv

*****

** 2 v

vvv

tv

0*** 2

gv

gP

0*1****1***** 2

g

FrPv

Revv

tv

11.1

No. de Fraude

gvFr

2

No. de Reynolds

vRe


Ejemplo 11.2. Ecuación de calor en variables adimen-sionales

Escriba la ecuación de energía térmica, para un líquido, en variables adimensionales. Respuesta 11.2 La ecuación de la energía térmica (Ec. 2.15) para densi-dad, capacidad calorífica y viscosidad constantes,

TkTvtTCV

2

0: PvvvG

TCPTC PV

entalpía

Sustituyendo

GTkTvCtTC PV 2

0: vv

Se definen los números adimensionales simples

f

f

TTTT

T

*

tvt

*

vvv

*

xx *

yy *

zz *

*

Sustituyendo en la ecuación diferencial para la cantidad de movimiento

**

tTTTvC fV

*** Tv

TTvC fP


GTTTk f

**2

2

0**:**2

2

vvv

*****

** 2 T

vCkTv

tT

CC

PP

V

vTTvC

GfP

0**:**2

vvTTC

vfP

**1***

**1 2 T

PrReTv

tT

0**:**1*

vvNtRe

G

11.2

Razón de Coeficientes V

P

CC

No. de Prandtl

k

CPr P

2

v

TTCNt fP

No. de Reynolds

vRe

No. de generación fP TTCvGG

*


Ejemplo 11.3. Pérdidas por fricción Formule mediante análisis dimensional, la relación de las pérdidas por ficción en un tramo recto de un conducto de un fluido en movimiento en régimen turbulento, expresa-do como una potencia, en términos de las variables del proceso. Considere que depende de la velocidad del fluido, la longitud y el diámetro del conducto, del valor de las asperezas del material del conducto y de las propie-dades del fluido, su densidad y su viscosidad. Proponga un grupo que contenga la energía cinética del flujo de fluidos. Respuesta 11.3 i ) Enlistar las variables ,,,,,f DLvW ii ) Desarrollar las variables en términos de sus

dimensiones primarias, en forma de matriz

m\n W v D L

3

2

sm kg

3mkg

sm

m m sm

kgm

kg 1 1 0 0 0 1 0

m 2 -3 1 1 1 -1 1

s -3 0 -1 0 0 -1 0

iii ) Evaluar el rango de la matriz Por prueba y rectificación (las calculadoras automáticas realizan esta operación), se toma el determinante con las tres primeras filas y columnas, pues tienen menos ceros que las otras.


01131Det 31121 33020 02 Det Por lo tanto el rango de la matriz es 3r Grupos adimensionales 437 i iv ) Definir las variables que se repiten En este caso particular, se pide que un grupo contenga la energía cinética del flujo

82

232 DvvAvcE

Entonces se escogen como variables que se repiten Dv,, v ) Obtener los grupos adimensionales

Primer grupo adimensional

WDv cba 1

3

2

3 sm kgm

sm

mkg1 c

ba

kg: a 1 0 m: 3a b c 2 0 s: b 3 0


Acomodando para resolver el sistema

1 a 0 b 0 c -1-3 a 1 b 1 c -20 a -1 b 0 c 3

Resolviendo a -1; b -3; c -2 Sustituyendo se obtiene el número adimensional

otPDv

W

231

(Pot : número de potencia)

Segundo grupo adimensional

cba Dv2

s mkgm

sm

mkg1 3

cba

kg: a 1 0 m: 3a b c 1 0 s: b 1 0 Acomodando para resolver el sistema

1 a 0 b 0 c -1-3 a 1 b 1 c 10 a -1 b 0 c 1

Resolviendo a -1; b -1; c -1 Sustituyendo se obtiene el grupo adimensional

ReDv1

2


Tercer grupo adimensional

LDv cba 3

mmsm

mkg1 3

cba

kg: a 0 m: 3a b c 1 0 s: b 0 Acomodando para resolver el sistema

1 a 0 b 0 c 0-3 a 1 b 1 c -10 a -1 b 0 c 0

Resolviendo a 0; b 0; c -1 Sustituyendo se obtiene el número adimensional

DL

3

Cuarto grupo adimensional

cba Dv4

mmsm

mkg1 3

cba

Por analogía con el caso anterior

D 4

La potencia en términos de las variables de interés es


DD

LDvDv

W

,,23

11.3

Referencia: Las pérdidas de energía se definen en términos del factor de fricción de Darcy

2

232 4,,1

2 DvDv

DDL

Rev

DLf

AvW

D

Comparando esta definición con el resultado, entonces

DRef D

,1θ

Sobre base semiteórica se obtiene la relación de Cole-brook

DfRef DD

269,052,2log2110

Ejemplo 11.4. Potencia en la agitación de un fluido

Obtenga por medio del análisis dimensional, una relación para la potencia consumida por la agitación de un fluido. Considere que depende del diámetro y la frecuencia de revolución del agitador y de las propiedades del fluido, su densidad y su viscosidad. Respuesta 11.4 i ) Enlistar las variables ,,,f DW


ii ) Desarrollar las variables en términos de sus dimensiones primarias, en forma de matriz

m\n W D

3

2

sm kg

3mkg

s1

m sm

kg

kg 1 1 0 0 1

m 2 -3 0 1 -1

s -3 0 -1 0 -1

iii ) Evaluar el rango de la matriz Se toma el determinante con las tres primeras filas y columnas. 05 Det Por lo tanto el rango de la matriz es 3r Grupos adimensionales 235 i iv ) Definir las variables que se repiten Se escogen como variables que se repiten. D,, v ) Obtener los grupos adimensionales


WD cba 1

3

2

3 sm kgm

s1

mkg1 c

ba


kg: a 1 0 m: 3a c 2 0 s: b 3 0 Resolviendo a -1; b -3; c -5 Sustituyendo se obtiene el número adimensional

otPD

W

531


cba D2

s mkgm

s1

mkg1 3

cba

kg: a 1 0 m: 3a c 1 0 s: b 1 0 Resolviendo a -1; b -1; c -2 Sustituyendo se obtiene el grupo adimensional

ReD1

22

La potencia del agitador del un fluido en términos de las variables de interés es

253 DD

W

11.4


Ejemplo 11.5. Convección libre Obtenga por medio del análisis dimensional, una relación para el coeficiente de transferencia de calor, para la convección libre o natural. Considere que depende de la longitud de la placa, de la fuerza boyante del fluido y de las propiedades del fluido, su densidad, su viscosidad, su conductividad térmica y su capacidad calorífica. Respuesta 11.5 i ) Enlistar las variables kCgLh P ,,,,,f ii ) Desarrollar las variables en términos de sus dimen-

siones primarias, en forma de matriz

m\n h L g CP k

K3s

kgm 22 sm

kg3m

kgsm

kgK2

2

sm

K s m kg

3

kg 1 0 1 1 1 0 1

m 0 1 -2 -3 -1 2 1

s -3 0 -2 0 -1 -2 -3

K -1 0 0 0 0 1 -1

iii ) Evaluar el rango de la matriz Se toma el determinante con las cuatro primeras filas y columnas. 02 Det Por lo tanto el rango de la matriz es 4r


Grupos adimensionales 347 i iv ) Definir las variables que se repiten Se escogen, como variables que se repiten. ,,, Lk v ) Obtener los grupos adimensionales


hLk dcba 1

K skg

s m kg

mkgm

K sm kg1 333

dcb

a

kg: a c d 1 0 m: a b 3 c d 0 s: 3 a d 3 0 K: a 1 0 Resolviendo a -1; b 1; c 0; d 0 Sustituyendo se obtiene el número adimensional

NukLh

1


gLk dcba

2

2233 sm

kgs m kg

mkgm

K sm kg1

dcb

a


kg: a c d 1 0 m: a b 3 c d 2 0 s: 3 a d 2 0 K: a 0 Resolviendo a 0; b 3; c 1; d -2 Sustituyendo se obtiene el número adimensional

GrLg

2

3

2


P

dcba CLk 3

K sm

s m kg

mkgm

K sm kg1 2

2

33

dcb

a

kg: a c d 0 m: a b 3 c d 2 0 s: 3 a d 2 0 K: a 1 0 Resolviendo a -1; b 0; c 0; d 1 Sustituyendo se obtiene el número adimensional

Prk

CP

3

El coeficiente de transferencia de calor (o de película) en términos de las variables de interés es

k

CLgkLh P

,2

3

11.5


Ejemplo 11.6 Transferencia de masa de una sus-tancia

Desarrolle mediante análisis dimensional, la relación para el coeficiente de transferencia de masa para el flujo de solvente en el secado de piezas recién pintadas, en régimen de flujo laminar. Considere que depende de la velocidad del aire, la longitud perpendicular al flujo de aire y la longitud en la dirección de dicho flujo y la presión del sistema; así como de las propiedades del fluido, su densidad, su viscosidad y su difusividad en el aire. Suponga que no depende de las concentraciones de la superficie ni la del medio y que el proceso es a temperatura constante. Respuesta 11.6 i ) Enlistar las variables PDLvk ABC ,,,,,,f ii ) Desarrollar las variables en términos de sus dimen-

siones primarias, en forma de matriz

m\n kC v L DAB P

sm

m 3mkg

sm

smkg

m s

m2

2smkg

kg 0 0 1 0 1 0 0 1

m 1 1 -3 1 -1 1 2 -1

s -1 0 0 -1 -1 0 -1 -2

iii ) Evaluar el rango de la matriz Se toma el determinante con tres filas y columnas en el medio. 01 Det


Por lo tanto el rango de la matriz es 3r Grupos adimensionales 538 i iv ) Definir las variables que se repiten Se escogen como variables que se repiten. ,, ABD v ) Obtener los grupos adimensionales


Ccb

ABa kD 1

smm

sm

mkg1

2

3c

ba

kg: a 0 m: 3a 2 b c 1 0 s: b 1 0 Resolviendo a 0; b -1; c 1 Sustituyendo se obtiene el número adimensional

ShD

k

AB

C

1


vD cb

ABa 2

smm

sm

mkg1

2

3c

ba


kg: a 0 m: 3a 2 b c 1 0 s: b 1 0 Resolviendo a 0; b -1; c 1 Sustituyendo se obtiene el número adimensional

ScReD

v

AB

2


cb

ABa D3

s mkgm

sm

mkg1

2

3c

ba

kg: a 1 0 m: 3a 2 b c 1 0 s: b 1 0 Resolviendo a -1; b -1; c 0 Sustituyendo se obtiene el número adimensional

ScDAB

3

Cuarto grupo adimensional

LD cb

ABa 4

mms

mmkg1

2

3c

ba


kg: a 0 m: 3a 2 b c 1 0 s: b 0 Resolviendo a 0; b 0; c -1 Sustituyendo se obtiene el número adimensional

L 4

Quinto grupo adimensional

PD cb

ABa 5

2

2

3 s mkgm

sm

mkg1 c

ba

kg: a 1 0 m: 3a 2 b c 1 0 s: b 2 0 Resolviendo a -1; b -2; c 2 Sustituyendo se obtiene el número adimensional

2

2

5ABD

P

El coeficiente de transferencia de masa en términos de las variables de interés es

2

2

,,,ABABABAB

C

DP

LDDv

Dk

11.6


Capítulo 12

FLUJO EXTERNO DE LOS FLUIDOS 12.1 DEFINICIÓN DE CAPA LÍMITE Considérese un flujo, de un fluido, sobre una superficie sólida, cuyo movimiento se encuentra en estado estacio-nario, es decir la velocidad no cambia con el tiempo, sólo con la posición.

- De acuerdo con el principio de no deslizamiento, de la

teoría del continuo, la velocidad del fluido en contacto con el sólido es igual a la del sólido. Si la pared está en reposo, relativo, vs = vw = 0

Para y 0 : vx = vs = vw ; T = Ts = TW ; CA = CAs= CAW - La magnitud de la velocidad aumenta, a partir de la

pared, desde 0, hasta un valor dado por las carac-terísticas del flujo y del fluido. Por lo cual, debe existir un gradiente de velocidad, ejercido por un esfuerzo retardador, de arrastre o de fricción, yx. El esfuerzo decrece a medida que la velocidad aumenta. En forma análoga se manifiesta el cambio de temperatura con el flujo de calor y de la concentración de una sustancia A, componente de una mezcla, con la difusión de masa.

- En la capa límite se manifiestan los efectos más impor-

tantes de energía molecular (cantidad de movimiento, potencial térmico y potencial químico).

yvx

dd

v=v T=T CA=CA

v=vs T=Ts CA=CAs

corriente libre

capa límite

y

s qs NAs

Gradiente de velocidad

x

vx

Capítulo 12 Flujo externo. 454 G. Chacón V.

- Se presenta una subcapa laminar, entre el sólido y el seno del flujo del fluido en régimen turbulento. Si el flujo del fluido es laminar, toda la capa límite es laminar.

- A partir de cierta distancia, , perpendicular a la placa,

los efectos pierden significación y las propiedades se mantienen constantes, la fricción, yx, es despreciable.

Para y : vx = v = vf ; T = T = Tf ; CA = CA= CAf 12.2 ANALOGÍAS ENTRE LOS FENÓMENOS DE

TRANSPORTE En la capa límite de un fluido se observa que los fenóme-nos presentan un mismo mecanismo energético, como se muestra en el cuadro:

Relaciones globales Momentum Calor Masa de A

2/ vvvC sDs TThq ss AsACsA CCKN Relaciones suponiendo difusión “pura”

0d

d

y

ss y

vv

0dd

y

ss y

TTkq 0d

d

y

AsAABsA y

CCDN

Relaciones empíricas entre espesores de capa límiteV 31PrT 31ScC

Comparando los dos criterios

V

s

y

s

D

vvyvv

vC

0dd

2

T

s

y

s

TTyTT

Prkh

03/1

dd

C

sAA

y

sAA

AB

C

CCyCC

ScDk

,,

0

,

3/1

dd

Aproximando los perfiles (de v, T, o CA) como lineales

31312 ScReSh

PrReNuCD

(12.1)

Reynolds Prandtl Chilton Colburn


12.3 MODELO PARA EL FLUJO, DESARROLLADO, EN RÉGIMEN LAMINAR, SOBRE UNA PLACA PLANA (Pared húmeda)

Sea una película de líquido de espesor que des-ciende por una placa inclinada, con un ángulo (con la horizontal) y libremente (forzado sólo por la gravedad). Con las siguientes consideraciones adicionales: - Flujo del fluido en estado estacionario, para la

cantidad de movimiento, el calor y la masa de la sustancia A.

- Flujo del fluido en régimen laminar - Masa, fluida, como un continuo y homogénea - Fluido newtoniano (cumple la Ley de Newton en

régimen laminar) - Geometría perfecta y espesor, , constante - Las condiciones no cambian en la dirección z, per-

pendicular al plano del flujo (al plano del papel) - Variación despreciable de los parámetros (, , k y

DAB) con la temperatura y la posición (flujo incom-presible)

- El fluido sólo se desplaza en la dirección x. La

velocidad y la variación del esfuerzo en otras direc-ciones es despreciable, vy 0 y vz 0

- Efectos de contacto entre fases, regido por el prin-

cipio de masa continua o no deslizamiento Interfase líquido sólido vx y =0 0 Interfase líquido gas yxy =W 0

- No hay generación de calor ni reacción química - La difusión de calor y de la masa de A, son despre-

ciables en la dirección x, comparada con las debidas al movimiento del fluido en esa dirección.


Balance de masa, total

0

xvx

Balance de cantidad de movimiento 0sen2

2

g

yv

xvv xx

x

Balance de energía térmica

2

2

22 2

yv

yTkg

xTC

xvv x

xPx

Balance de la masa de la sustancia A

2

2

yCD

xCv A

ABA

x

Resolviendo las ecuaciones, con las condiciones de contorno:

Para y 0 vx = 0 T = Ts CA = CAs Para y yx = 0 vx = vMAX T = T CA = CA

Perfil de velocidad

yygvx

22

21sen

(12.2)

vx, T, CA

g

g sen

Fx x

y

yxAncho B

Largo, L

Despreciables


La velocidad promedio

MAXx vgv32

3sen2

(12.3)

3

sen32 gvBm

x

(12.4)

31

2 sen3

g

(12.5)

44 xvRe (12.6)

Fuerza viscosa o de fricción, sobre la pared

L

y

xL

yxys xByvxBF

00

0 0dd

2

d2

2

0

2

x

ACD

Lx

DxsvACxBvCF

LBgxBgFL

s sendsen0

Coeficiente de fricción o arrastre para la capa en régimen de flujo laminar

LB

LBgAFvC

AC

sxD

sen2

2

Rev

Cx

D246

(12.7)

Las Ecs. 12.5 y 12.7, se cumplen para Re 2105

Número de Reynolds para el flujo sobre

una pared plana

Flujo de masa por unidad de ancho sobre una pared plana

Coeficiente de arrastre o fricción

para la capa en régimen laminar

Espesor de la capa en régimen

laminar


Perfil de temperatura

12

2

32exp

n Pxnn

s

s

Ck

vxC

TTTT

(12.8)

Perfil de concentración de A

12

2

32exp

nAB

xnn

AsA

AsA Dv

xCCC

CC

(12.9)

Solución de Johnston Pigford (1952) C1 0,7857 1 5,1213 C2 0,1001 2 39,318 C3 0,03599 3 105,64 Números adimensionales

Prandtl: k

CPr P

Nusselt: k

hNu

Schmidt: ABAB DD

Sc

Sherwood:

AB

C

Dk

Sh

Flujos en la pared

Calor TThyTkq sx

yAB

0

Masa de A AAsLxy

AABA CCk

yCDN

0

Balances a lo largo de la placa Calor

xwTThxxTCwv sxPx δδ

Masa de A

xwCCkxwvxC

AAsLxxA δδ


Simplificando y separando variables

Calor xCv

hTT

TPx

x

s

dd

Masa de A xvk

CCC

x

Lx

AAs

A dd

Integrando, entre x 0 y x L con hx h y kLx kL, constantes en ese intervalo. Calor

7857,03

21213,5explnln

0

LPrReL

PrReNu

TTTT

s

sL

Masa de A

7857,03

21213,5explnln

0

LScReL

ScReSh

CCCC

AsA

AsAL

Con lo que Calor 41,3241,041,3 LPrReNu (12.10) Masa de A 41,3241,041,3 LScReSh (12.11) Se cumple para Re 100 y L 1 Para valores más grandes de Reynolds Calor

Masa de A ScReL

Sh

23

(12.12)

Se cumple para 100 Re 1200


12.4 MODELO DE PRANDTL O “EXACTO” PARA LA CAPA LÍMITE

El modelo, parte de las ecuaciones de conservación (cantidad de movimiento, calor y masa de A, respectiva-mente) como consecuencia de suponer una capa límite muy delgada y un número de Reynolds grande. Con las siguientes consideraciones adicionales. - Flujo bidireccional - A medida que la posición se aleja de la entrada, de la

placa, en el sentido y dirección del flujo, la magnitud y forma del perfil de velocidad varía

xxxxx vv

δ

xxx δ

- Variación despreciable de los parámetros (, , k y


- Flujo del fluido en estado estacionario, para la


0 v

- Flujo del fluido no rotacional (y en estado estacio-

nario), las líneas de corriente y de trayectoria no se cruzan

yx

vv

y

x

dd

- El esfuerzo cortante está representado por el gra-

diente de velocidad en la dirección del flujo con respecto la posición perpendicular al mismo

xv

yv yx

- Los efectos de cantidad de movimiento, térmicos y de

masa, son equivalentes ABD


AsA

AsA

s

s

s

sx

CCCC

TTTT

vvvv

- Los efectos energéticos en la dirección del flujo (x) son

despreciables, comparados con los respectivos en la dirección perpendicular (y)

0

xvy 0

xP

02

2

xvx

02

2

xT

02

2

xCA

- Los efectos mecánicos en la dirección perpendicular al

flujo (y), no aportan significativamente a las fuerzas viscosas y a la cantidad de movimiento

0

yP

02

2

yvy

- Los flujos de cantidad de movimiento, calor y masa de

una sustancia, se evalúan en la pared Esfuerzo viscoso o de arrastre

2

22

0

vvC

yv s

Dxy

x

Transferencia de calor

TThyTkq sx

y 0

Transferencia de masa de A

AAsCxy

AABA CCk

yCDN

0

- Se considera que la placa está en reposo

00

syx vv

Formulación del modelo, Prandtl (1904)


Balance de masa, total

0

yv

xv yx


2

2

yv

yvv

xvv xx

yx

x


2

2

yTk

yTCv

xTCv PyPx

Balance de la cantidad de sustancia A

2

2

yCD

yCv

xCv A

ABA

yA

x

“Solución” mediante análisis dimensional, Blasius (1908) Las tres ecuaciones energéticas tienen la misma forma matemática, por lo que se convierten en ecua-ciones en variables adimensionales con base en una velocidad adimensional.

AsA

AsA

s

s

s

sx

CCCC

TTTT

vvvv

222dd

Como v, T y CA son valores asintóticos cuando y () y considerando que ABD , la forma sugerida para , es una variable global así

21

21

21

21

21

21

21

21

21

xy

Dv

xyv

xyv

AB

Las derivadas de la variable adimensional,

xx

yvx

221

21

23

21


21

21

xv

y

Entonces, la velocidad se define

dd

2

vvx

Con lo que

2

2

2

2

dd

42dd

2

xv

xv

xv

xv xx

2

22121

2

2

dd

421

dd

2

xvv

xvv

yv

yv xx

xvv

yv

yv

yv xxx

41

dd

20 3

32

2

2

2

2

2

2

3

32

2

2

dd

8

xv

yvx

Para la velocidad vy, en el punto y, con el balance de masa

2

2

dd

4

xv

xv

yv xy

Integrando

21

2

2

2

2

2dd

4dd

4 vx

xvy

xvvy

dd

21d

dd

21 21

2

221

xv

xv

vy

Sustituyendo estos resultados en la ecuación diferen-cial del balance de la cantidad de movimiento.

4dd

21

dd

4dd

2

21

2

2 vxv

xvv

3

32

2

221

dd

8dd

xv

xv


Simplificando, queda

0dd

dd

2

2

3

3

Con las condiciones de frontera para 0 (0)= (0) = 0 (y 0; vx = 0) para () = 2 (y ; vx = v) Solución numérica de Howarth (1938) y validación de Nikuradse (1942).

xvy

2

2

2

v

vx

0,0 0,000 1,328 0,000 0,4 0,529 1,310 0,265 0,8 1,034 1,189 0,517 1,2 1,458 0,912 0,729 1,6 1,752 0,557 0,876 2,0 1,911 0,257 0,956 2,4 1,976 0,088 0,988 2,8 1,995 0,022 0,996 3,2 1,999 0,004 0,999 3,6 2,000 0,000 1,000 4,0 2,000 0,000 1,000 5,0 2,000 0,000 1,000

Con la que se obtiene

5,299,0

vvx

98,199,099,0

vvvx

24328,100

2

2

(12.13)

El espesor de la capa límite, , se considera que es la distancia a partir de la placa, en la que la velocidad es 99% de la que corresponde a la corriente libre, vx 0,99 v. De la definición de


21

21

99,0 21

x

yv yv

21

0,5

vx (12.14)

Coeficiente de fricción o arrastre Se evalúa la transferencia de cantidad de movimiento en la pared o interfase.

22

222

00

vCvvC

yv

Dxs

Dxy

x

02

221

0

2

,0 dd

42

x

vvyvvC

y

xxD

21

,

40

2

xvC xD

(12.15)

Número de Reynolds para el flujo sobre una pared plana

LvRe

(12.16)

El coeficiente global de arrastre o fricción

LL xDD xxvL

xC

LC

0

21

0

, d4

01d2

12

Efectuando la Integral

21

0

21

2012

401

2

vL

Lvx

LC

L

D

Número de Reynolds para el flujo sobre

una pared plana


216641,0

2 ReCD (12.17)

Se cumple para Re 5 104 Otros modelos

Von Kármán Re < 5 104 216465,0

2 ReCD

Prandtl-Blasius Re < 5 104 51037,0

2 ReCD

Schultz y Grunow

Re < 5 105

64,2407,0log214,0

2

ReCD

Prandtl-Blasius

5 105 < Re < 5 107 ReReCD 850037,02 51

Schlichting (1960)

5 106 < Re < 5 109 ReReCD 4350

log2275,0

2 584,2

Coeficiente de transferencia de calor Se parte del principio de analogía de los procesos de transporte

s

s

s

sx

TTTT

vvvv

22dd

Y, el flujo de calor se evalúa en la pared o interfase

TThyTkq s

y 0

0

2

2

0 dd

dd

21

ys

y yTTk

yTkq

Coeficiente de fricción para la capa límite del flujo sobre

una pared plana


sxs TThx

vTTk

0

21

2

2

21

dd

21

Despejado en términos de coeficiente de transferen-cia de calor, h,

21

40

xvkhx

(12.18)

El coeficiente global de transferencia de calor

LL

x xx

vk

Lxh

Lh

0

21

0d

401d1


21

0

21

202

401

Lv

Lkxv

kL

hL

216641,0 Rek

LhNu

(12.19)

Con la modificación de Pohlhausen (1925)

31216641,0 PrRek

LhNu

(12.20)

Se cumple para Re 5 104 Con la misma modificación, a partir del modelo de Prandtl-Blasius Para Re 5 108 PrReNu 54036,0

25 calentamiento 13 enfriamiento

Número de Nusselt para la capa límite del flujo sobre una

pared plana


Coeficiente de transferencia de masa de A Se parte del principio de analogía de los procesos de transporte

AsA

AsA

s

sx

CCCC

vvvv

22dd

Y, el flujo de masa de A se evalúa en la pared o interfase

AAsCy

AABA CCk

yC

DN0

0

2

2

0 dd

dd

21

yAsAAB

y

AABA y

CCDy

CDN

AsACxAsAAB CCkx

vCCD

0

21

2

2

21

dd

21

Despejado en términos de coeficiente de transferen-cia de masa de la sustancia A, kC,

21

40

xv

Dk ABxC

(12.21)

El coeficiente global de transferencia de masa

L

AB

L

xCC xx

vDL

xkL

k0

21

0d

401d1


21

0

21

202

401

Lv

LDxvD

Lk AB

L

ABC

216641,0 ReD

LkSh

AB

C

(12.22)

Con la modificación de Chilton y Colburn (1933-34)


31216641,0 ScReD

LkSh

AB

C

(12.23)

Con la misma analogía, a partir del modelo de Prandtl-Blasius Para Re 5 108 3154037,0 ScReSh Nota: al comparar las relaciones para los coeficientes de transferencia de cantidad de movimiento (“momentun”), calor y masa de A se tiene

31312 ScReSh

PrReNuCD

(12.1)

12.5 MODELO PARA LA CAPA LÍMITE DE FLUJOS

SOBRE ESFERAS Y CILINDROS Considérese el flujo, en estado estacionario de un fluido sobre un una esfera sólida y perpendicular a un cilindro sólido.

v=v T=T CA=CA corriente

librecapa límite

r = 0

r = D/2

Punto de desprendimiento Punto de estancamiento

r

vx

Estela v=vs T=Ts CA=CAs

x

Número de Sherwood para la capa límite del flujo sobre

una pared plana


- De acuerdo con el principio de no deslizamiento, de la teoría del continuo, la velocidad del fluido en contacto con el sólido es igual a la del sólido. Si está en reposo relativo, v = 0. para r D/2 vr = 0 T = Ts = TW CA = CAs= CAW

- Para el Punto de estancamiento

para 0 v = 0 - A partir de cierta distancia, perpendicular a la línea de

flujo, a partir del sólido para r v = vx = v = vf T = T = Tf CA = CA= CAf

- El flujo entra o choca contra la superficie, con un perfil de velocidad constante para 0 v = vx = v

- Flujo bidireccional - Flujo del fluido en estado estacionario, para la


0 v

- Flujo del fluido incompresible y no rotacional, en

términos de la función de corriente - Variación despreciable de los parámetros (, , k y


- En la capa límite se manifiestan los efectos más impor-

tantes de energía molecular (cantidad de movimiento, potencial térmico y potencial químico).

Cantidad de movimiento 2

2

rv

vv rr

Difusión de calor 2

2

r

TTv

Difusión de una sustancia A 2

2

r

CDCv A

ABA


Los coeficientes de transferencia, de cantidad de movi-miento, calor y masa, se evalúan en forma semiempírica, con relaciones como las siguientes, que se resumen en el cuadro 36.

PARA LA ESFERA

sen2r

vr

y rr

v

sen

El balance de masa, Milne y Thomson (1955)

0sen

sen2

22

2

rr (12.24)

3

161

431cos

rD

rDvvr (12.25)

3

321

831sen

rD

rDvv (12.26)

Caída de presión

DCvPP

1

2

2

(12.27)

Paradoja de D’alembert, si el flujo es ideal, esto es: no presenta resistencia al flujo ni a la fricción, ni a la forma, CD = 0, la presión no varía con la posición, r.

Re < 0,1 D

D ReC 24

Stokes (1850)

Con el factor de forma

Re < 1

D

DD Re

ReC

163124 Osen (1910)


Re < 100 21

163124

D

DD Re

ReC

2 < Re < 500 535,18

DD Re

C Schlichting (1960)

103 < Re < 2105 4444,0DC Newton

Re < 6103

221

5407,024

DD Re

C

Abraham (1970) y Van Dyke (1971) Re < 3103 312160,00,2 PrReNu D Ranz y Marshall (1952) 3121552,00,2 ScReSh D Fröessling (1939) 1 < Re < 3104 214,00,2 DReNu

523206,0 PrReD Schlichting (1960) RaD FScReSh

62,021347,00,2 Steinberger y Treybal (1960) GrSc 108 41569,0 ScGrF DRa

GrSc 108 244,0310254,0 ScScGrF DRa

PARA EL CILINDRO

r

vr

y r

v


El balance de masa

022

2

2

2

rrrr (12.28)

2

21cos

rDvvr (12.29)

2

21sen

rDvv (12.30)

Caída de presión

DCvPP

sen412

2

(12.31)

Re < 0,5

DDD ReRe

Cln002,2

18

Lamp (1932)

1 < Re < 1000 32431011,91

DDD ReRe

C

104 < Re < 3105 2,1DC Re < 1000 38,02150,043,0 PrReNu D Hsu (1963) 104 < Re < 3104 38,05325,0 PrReNu McAdams, Hilpert, Knudsen y Katz 44,053281,0 ScReSh D Bedigfield y Drew (1950) 0,1 < Re < 105 1 20.35 0,34 DNu Re

0,58 0,30,15 DRe Pr


12.6 EJERCICIOS Ejemplo 12.1 Viscosímetro de bola Se tiene un viscosímetro de bola de 95,3 mm de diámetro, en el cual se usa una bola de acero (densidad certificada 7808,8 kg/m3) de 1,55 mm de diámetro. Evalúe la viscosidad de un fluido con gravedad especí-fica 0,870 20/4 C, con el cual, la bola alcanza una velocidad final de 3,22 mm/s, cuando el sistema está a 20 C. Datos conocidos: H2O: densidad del agua (a 4 C) 999,972 kg/m3 : densidad del líquido (a 20 C) 870 kg/m3

g.e. 0,870 20/4 C vM: velocidad final medida 3,22 mm/s v: velocidad final ¿? DM: diámetro del viscosímetro 0,0953 m D: diámetro de la bola 0,00155 m s: densidad de la bola (a 20 C) 7808,8 kg/m3 Respuesta 12.1 Diagrama del volumen de control El viscosímetro de bola consiste en un recipiente cilíndri-co, en el cual se coloca el líquido, para el que se desea realizar la medición. Se deja caer una esfera con densidad conocida (dentro del líquido) y se mide la velocidad final o constante. Se emplea para medir visco-sidades de fluidos con valores altos de dicha propiedad. Balance de fuerzas

PESOFORMAFRICCIÓNBOYANTE FFFFF


tvV

gVv

ACgV ssPD d

d2

2

En términos del diámetro de la esfera

0246

223 v

DCgD Ds

Resolviendo para la velocidad final de la caída de una partícula esférica dentro de un fluido

13

42

s

DCgDv

Sustituyendo el coeficiente de fricción o arrastre, consi-derando flujo de fluidos laminar

1

1631243

421

2

s

ReRe

gDv con

vD

Re

FFRICCIÓN

FBOYANTE

F PESO

FFORMA

v

D

DM


212

1631

18

RegDv s

Despejando para la viscosidad

212

1631

18

Re

vgD

s

Sustituyendo valores, la corrección de la velocidad por las paredes del recipiente MM vDDv 4,21

s

mm22,3m 0953,0m 00155,04,21

v

smm 55,3v Sustituyendo y considerando Re 0,1

3

22

mkg8708,7808

m/s 3E55,318m/s 80665,9m 00155,0

La viscosidad del fluido evaluado es: s kg/m 71,2 12.1 Corrección por fuerzas inerciales de forma

s kg/m 71,2kg/m 870m/s 3E55,3m 00155,0 3

vDRe

1,0107,1 3 Re No es necesaria realizar la corrección, dentro del error experimental del equipo de medición.


Ejemplo 12.2 Sedimentación Para la sedimentación de tiza, 17 a 28 kN/m3, en partícu-las de 0,05 a 0,10 mm, en tolueno, de 20 a 30 C, evalúe la profundidad que alcanzan las partículas en cinco minutos. Respuesta 12.2 Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Partículas perfectamente esféricas - La fuerza aumenta, F 0, hacia abajo - La posición aumenta, z 0, hacia abajo - La densidad del fluido es constante y conocida - Equilibro de las fuerzas del sistema, volumen de

control inercial - Velocidad final estable v = constante - Régimen de flujo laminar, con Re 0,1. Balance de fuerzas


gVv

ACgVt

vVsPD

s

2dd 2

Velocidad final, del balance de fuerzas en el estado esta-cionario,

02

2

gVvACgV sPD

13

42

s

DCgDv con

vDRe

Sustituyendo el coeficiente de fricción o arrastre, consi-derando flujo de fluidos laminar, con Re 0,1.

sgDv

18

2


Datos conocidos: Se utilizan las propiedades para las condiciones críticas, las que aseguren la sedimentación de todas las partícu-las (obsérvese la ecuación ): : densidad del tolueno (a 20 C, mayor viscosidad) 867 kg/m3 : viscosidad del tolueno (a 20 C, mayor viscosidad) 0,589 g/m s v: velocidad final ¿? D: diámetro de la partícula (menor diámetro) 0,05 mm s: peso especifico (densidad) de la partícula (el menor) 17 kN/m3 tee: tiempo en que se alcanza la velocidad final v ¿? hee: profundidad a la que se alcanza la velocidad final v ¿? t: tiempo en que se sedimenta la partícula 300 s h: profundidad a la que se sedimenta la partícula al tiempo t ¿? Simplificando el balance de fuerzas, para la etapa transi-toria: 0 v v.

VvAC

gtv

s

PD

s

21

dd 2

Sustituyendo el coeficiente de fricción o arrastre, consi-derando flujo de fluidos laminar, con Re 0,1

3

22

62

424

1d

d

D

vDvD

gtv

ss

2181

dd

Dvg

tv

ss

vgDt

vg ss

2181

dd

11


Definiendo gs 1 Entonces la ecuación se simplifica

vv

tv 1

dd1

Separando variables

t

vvv d

1d

Integrando

Ctetv

vv

1ln

Al inicio t 0 y v 0 (la partícula parte del reposo) y la Cte 0, con lo que

t

vvv exp1

Despejando la velocidad

tzt

vvv

ddexp1

La profundidad cuando se alcanza el estado estacionario es

teeheett

vvz

00dexp1d

1exp

2

eeeeee tv

vtvh

El tiempo cuando se alcanza el estado estacionario ( v 0,99 v) es


01,099,01exp

vvtv ee

La profundidad para que se deposite el sedimento, eeee httvh 299,0 vtvh La velocidad final, sustituyendo valores,

m/s kg 000589,018

m/s 80665,9m 05000,0 22

v

32

3

mkg867

m/s 80665,9N/m 17000

La velocidad final de la partícula: mm/s 0,2m/s 0002,0 v

Se redondea hacia abajo, por seguridad

Cálculo del número de Reynolds

m/s kg 000589,0

mkg867m/s 0002,0m 05000,0 3

vDRe

15,0Re La corrección por factor de forma es

986,016

15,03116

312121

Corr

Rev

v

Queda dentro del redondeo de seguridad.


2

2

3

3m/s 80665,9

m/s 80665,9N/m 17000mkg867

11

g

s

2m/s 90,4 La profundidad de sedimentación en cinco minutos es

2m/s 90,4

m/s 0020,0,990s 003sm 0020,0h

m 4E43000020,0 h La profundidad alcanzada a los cinco minutos es: m 6,0h 12.2 Ejemplo 12.3 Elución (Clarificación) Un suelo finamente dividido de galena y piedra caliza con una proporción de 1 a 4, se elucida, clarifica, con una corriente hacia arriba, la cual fluye a 5 mm/s. Evalúe la proporción de galena en el material depositado. Respuesta 12.3 Datos conocidos: Se utilizan las propiedades para las condiciones críticas, aquellas que aseguren la sedimentación de todas las partículas (obsérvese la ecuación ): g.eG: gravedad especifica (densidad relativa) de la galena 7.5 g.eC: gravedad especifica (densidad relativa) de la piedra caliza 2,0 - 2,7


: densidad del agua (a 20 C), 998,2 kg/m3 : viscosidad del agua (a 20 C), 1,006 g/m s v: velocidad final 0,005 m/s D: diámetro de la partícula ¿? La distribución de tamaños para cada material, tamizado, se muestra en el siguiente cuadro.

Diámetro Proporción de peso menor

μm %

20 15 30 28 40 48 50 54

60 64 70 72 80 78

100 88

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones.

El problema consiste en determinar el tamaño de la partícu-la que tiene una velocidad de sedimentación igual o mayor a la del flujo de agua hacia arriba.

- Partículas perfectamente esféricas - La fuerza aumenta, F 0, hacia abajo - La posición aumenta, z 0, hacia abajo - La densidad del fluido es constante y conocida - Equilibro de las fuerzas del sistema, volumen de

control inercial - Velocidad final estable, v = constante. Balance de fuerzas


gVv

ACgVt

vVsPD

s

2dd 2


Velocidad final, del balance de fuerzas en el estado estacionario,

02

2

gVvACgV sPD

13

42

s

DCgDv

Sustituyendo el coeficiente de fricción o arrastre, consi-derando flujo de fluidos laminar y con

vDRe

Despejando el diámetro de la partícula

21

163118

Reg

vDs

Sustituyendo valores, en el número de Reynolds.

s kg/m 3E006,1kg/m 2,998m/s 005,0

DRe

DRe 3100,5 Diámetro para la galena

kg/m 2,99815,7m/s 80665,9m/s 005,0 kg/m 3E006,118

2D

21

163E0,531

D

1 21,4229 E 9 1 930, 2D D m El diámetro para la galena es DG 3,805110-5 m = 38 m (Re 0,2) Partículas de galena con DG 38 m, 44 %


Diámetro para la piedra caliza

kg/m 2,99817,2m/s 80665,9m/s 005,0 kg/m 3E006,118

2D

21

163E0,531

D

212,93316E4002,5 DD m El diámetro para la piedra caliza es DC 7,4810-5 m = 74,8 m (Re 0,4) Partículas de piedra caliza con DP 74,8 m, 75 % Remoción de galena y piedra caliza Base: 100 kg de material de entrada Galena removida 20 0,44 8,8 kg galena100 kg Galena retenida 20 8,8 11,2 kg galena100 kg Piedra caliza removida 80 0,75 60 kg p. caliza100 kg Piedra caliza retenida 80 60 20 kg p. caliza 100 kg Entonces

100608,8

,88removida galena%

100202,11

1,21retenida galena%

Galena en el clarificado 13 % Galena en el sedimento 16 % 12.3


Ejemplo 12.4 Cilindro calentado Un conducto de 1 ced. 80, cuya cara externa se man-tiene entre 28 C, un extremo, y 35 C, el otro extremo, se calienta (externamente) con una corriente de gases de combustión a 150 C y 105 kPa, con una velocidad de 20 m/s, perpendicular al largo del conducto. Evalúe la transferencia de calor. Respuesta 12.4 Datos conocidos: Temperatura promedio o de película Se supone que para el proceso interno del conducto, la temperatura se comporta en forma logarítmica (y lo mismo la externa, Sec. 13.1, Ec. 13.4).

K 27328K 27335ln

K 27328K 27335ln 12

12

TTTTTT ws

C 531K 305 ,Ts Para evaluar las propiedades del fluido, de calentamien-to, se usa la temperatura promedio o de película

K 364C 7,902

C 5,31C 1502

TTT s

Y se considera que los gases de combustión tienen pro-piedades similares a las del aire puro. T: temperatura promedio o de película del aire 364 K : densidad del aire (1 atm) 0,966 kg/m3 : viscosidad del aire 21,4 mg/m s k: conductividad del aire 31,0 mW/m K Pr: número de Prandtl del aire 0,695 v: velocidad del aire 20 m/s


D: diámetro del tubo (externo) 1 ced. 80 0,0334 m L: longitud del tubo ¿ ? Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Propiedades (parámetros) constantes - Estado térmico estacionario: el flujo de calor y las

temperaturas no varían con el tiempo. Número de Reynolds

m/s kg 5E14,2

mkg966,0m/s 20m 0334,0 3

vDRe

41002,3 Re Número de Nusselt

3,058,021 15,034,035,0 PrReRekDhNu

1 20,35 0,34 3,02E 4Nu

0,58 0,30,15 3,02 E 4 0,695

107Nu Nota: con otra fórmula 38,06,025,0 PrReNu 106695,04E02,325,0 38,06,0 Nu Con otra fórmula (McAdams, Hilpert, Knudsen y Katz) 31618,0193,0 PrReNu 100695,04E02,3193,0 31618,0 Nu El coeficiente de película es

K W/m99m 0334,0

K W/m0310,0107 2DkNuh

Flujo de calor TTAhQ s


W1000

kW 1C 1505,31m 0334,0Km

W 99 2 LQ

kW/m 2,1LQ 12.4 Ejemplo 12.5 Cable eléctrico Un cable de aluminio (con resistividad de 28,3 nV m/A) de 5 mm de diámetro, trasporta un corriente de 400 A. El elemento está cubierto con una capa de material aislante de 6,5 mm de espesor (cuya conductividad térmica es de 0,242 W/m K). El aire que lo rodea se encuentra a 290 K. Determine el coeficiente de transfe-rencia de calor o de película, entre la capa aislante y el medio, si el aire: a) Está en reposo. b) Se desplaza perpendicularmente al eje del cable, a

razón de 9 m/s. Datos conocidos: T: temperatura promedio o de película del aire ¿ ? : densidad del aire (1 atm) ¿ ? : viscosidad del aire ¿ ? k: conductividad del aire ¿ ? Pr: número de Prandtl del aire ¿ ? v: velocidad del aire 9 m/s DI: diámetro del cable, sin aislante 0,005 m D: diámetro del cable con aislante 0,018 m L: longitud del cable ¿ ? : resistividad eléctrica del cable 28,3 nV m/A i: corriente eléctrica 400 A


Respuesta 12.5 Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Propiedades (parámetros) constantes - Estado térmico estacionario: flujo de calor y las

temperaturas constantes con el tiempo. Flujo de calor, disipado por la resistencia eléctrica

2

4

IDLR

2

2 4

IDiLRiQ

El calor disipado al ambiente es TThLDTTAhQ ss Reuniendo las dos expresiones

2

4

Is D

iTThDLQ

Despejando la temperatura

hD

iD

TTI

s14

2


m 018,0

m/A V 9E3,284sT

K 2901A V 1

W1m 005,0

A 4002

h

K 290 W/m0784 2

h

Ts


a) Caso del aire en reposo Como primer intento se toma

K W/m10 2h Sustituyendo

K 698K 290K W/m10

W/m07842

2

sT

K 4942

K 290K 8692

TTT s

Propiedades T: temperatura promedio o de película del aire 500 K

Kg m110366,1/ 3722

TTDgPrGr s322 /

K 290869m 018,0K m17E366,1 33 PrGr

4102,3 PrGr Con lo que, el coeficiente de película para el aire es

412

2

41 1432,132,1

hDi

DDTT

hI

s

51254 432,1

IDD

ih

A V 1 W1

Am V 9E3,28432,1 54h

512

m 005,0m 018,0A 400

K W/m15 2h 12.5 a)


b) Caso del aire en movimiento m/s 9v Como primer intento se toma

K W/m100 2h Sustituyendo

K 331K 290KW/m100

W/m07842

2

sT

K 3102

K 290K 3132

TTT s

Propiedades T: temperatura promedio o de película del aire 300 K : densidad del aire (1 atm) 1,1772 kg/m3 : viscosidad del aire 18,46 mg/m s k: conductividad del aire 26,24 mW/m K Pr: número de Prandtl del aire 0,7081 v: velocidad del aire 9 m/s D: diámetro externo del cable 0,018 m Número de Reynolds

m/s kg 5E846,1

mkg1772,1m/s 9m 018,0 3

vDRe

41003,1 Re Número de Nusselt

3,058,021 15,034,035,0 PrReRekDhNu

214E03,134,035,0Nu

3,607081,04E03,115,0 3,058,0

2 W/m88m 018,0

K W/m02624,03,60 DkNuh


Corrigiendo el primer valor de prueba

K 336K 290K W/m88

W/m07842

2

sT

K 3132

K 290K 363

T

Propiedades, a T = 313 K 1,129 kg/m3 18,9 mg/m s k 27,3 mW/m K Pr 0,705 v 9 m/s D 0,018 m

m/s kg 5E89,1mkg129,1m/s 9m 018,0 3

Re

3107,9 Re 213E7,934,035,0Nu

3,058,0 705,03E7,915,0 1,58Nu

m 018,0K W/m0273,01,58

DkNuh

K W/m88 2h 12.5 b)


Ejemplo 12.6 Disolución de una pieza sólida Estime el flujo de masa de sal común, fundida, que se trasfiere de un cuerpo a una corriente de agua de 9 m/s y 300 K, si tiene la forma de: a) una esfera, de 15 mm de diámetro b) un cilindro, de 15 mm de diámetro por 15 mm de

largo, con sus caras planas tapadas y el flujo perpen-dicular al eje del mismo.

Datos conocidos: A NaCl B H2O MA: masa molecular de la sal 58,45 MB: masa molecular del agua 18,015 T: temperatura del sistema 300 K w*: solubilidad de la sal en agua a 300 K 36,2 g A/100 g B *: densidad a la saturación a 300 K 1198,4 kg/m3 DAB*: difusividad a la saturación a 300 K 1,5410-9 m2/s D: diámetro de la esfera y del cilindro 0,015 m º: densidad a dilución linfita a 291 K (agua) 998,6 kg/m3 º: viscosidad a dilución linfita a 291 K (agua) 1,0610-3 kg/m s DABº: difusividad a dilución linfita a 291 K 1,2610-9 m2/s º: viscosidad del agua a 300 K 8,5610-4 kg/m s º: densidad del agua a 300 K 996,5 kg/m3 CA: concentración de la sal en el agua ¿ ? v: velocidad del agua 9 m/s Respuesta 12.6 Consideraciones, aproximaciones y suposiciones.


- Propiedades (parámetros) constantes - Estado de flujo de masa estacionario y la tempe-

ratura y las concentraciones constantes con el tiempo.

Concentraciones en la saturación Fracción peso

A* 36, 2* 0, 266 kg /kg

* 100 36, 2 100w

w

Fracción mol

A

A B1Mx

M M

015,18834,045,58266,045,58266,0*

x

/kmolkmol 100,0* Ax Peso molecular medio 015,18100,0145,58100,0 M kg/kmol 07,22M Concentración molar, de saturación

AC x C xM

3

Akmol 1198, 4 kg/m* 0,100kmol 22,07 kg/kmol

AC

3

A* 5, 45 kmol /mAC Corrección de la difusividad por la temperatura

0

0

0

B BAB AB

B 0 B

º º TT

T

TD DT


2 3

AB 3

m 1,06 E 3 kg/m s 996,5 kg/m s 300 Kº 1, 26 E 9s 8,56 E 4 kg/m 998,6 kg/m 291 K

D

9 2

AB º 1,605 10 m /sD Difusividad media entre los dos puntos del análisis

2

AB ABAB

1,54 E 9 1,60 E 9 m2 2 s

s fD D

D

/sm10571 29 ,DAB Número de Reynolds

B

B

ºº

D vD vRe

s kg/m 4E56,8kg/m 5,996m/s 9m 015,0 3

Re

51057,1 Re Número de Schmidt

B B

AB AB

º ºScD D

/sm9E571

1kg/m 5,996

s kg/m 4E56,823

,Sc

546Sc a) Caso de la esfera Número de Rayleigh

ScDgScGrB

B

AM

fsD

23


32 m 015,0

sm80665,9ScGrD

546

s kg/m 4E56,8kg/m 5,996

5,9964,1198kg/m 5,9964,11982

23

91051,4 ScGrD Número de Sherwood

62,021244,031 347,00254,02 ScReScScGrSh D

244,031 5469E51,40254,02Sh 3E08,419525465E57,1347,0 62,021 31028,4 Sh

m 015,0/sm9E5713E28,4

2

,D

DShk ABC

m/s 1048,4 4Ck Flujo de masa entre las dos fases A A A AC s fm N A k A C C Área de contacto 2DA

2 AA 3

kmolm4, 48 E 4 0,015 m 5, 45 "0"s m

m

kmol

mmol 6E1

A A1,7 mmol /sm 12.6 a)


b) Caso del cilindro Se supone que se cumple la analogía de Chilton-Culburn, con el propósito de evaluar el número de Sher-wood a partir del de Nusselt.

HD JJ 51057,1 Re 546Sc Para Re > 103 y Sc >2,6 Número de Sherwood

213131 34,035,0 Re

PrReNu

ScReSh

3,058,015,0 PrRe

3158,021 15,034,035,0 ScReReSh Sustituyendo valores

215E57,134,035,0Sh

3158,0 5465E57,115,0

31037,2 Sh

2

AB 1 57 E 9 m /s2,37 E 30,015 mC

D ,k ShD

m/s 1048,2 4Ck Flujo de masa entre las dos fases A A A AC s fm N A k A C C Área de contacto LDA


Am2, 48 4 0,015 m 0,015 ms

m E

kmol

mmol 6E1"0"m

kmol 45,5 3

A

A0,96 mmol /sAm 12.6 b) Notas: - El área de transferencia de masa para el cilindro (del caso

b) es de igual valor que para la esfera (del caso a). - El coeficiente de transferencia de masa para el cilindro (del

caso b) es 55% del correspondiente a la de la esfera (del caso a).

Ejemplo 12.7 Placa plana Estime el flujo de estireno que se retira por medio de “secado” desde una placa plástica, durante su manufac-tura, con una corriente de nitrógeno que pasa a lo largo de la misma, a 290 K. Datos conocidos: A estireno B nitrógeno L: longitud en la dirección del flujo de gas 0,6 m v: velocidad del gas 30 m/s T: temperatura del gas 290 K P: presión del gas 101,3 kPa DAB: difusividad del estireno en nitrógeno a 290 K 710-6 m2/s PA

0: presión de saturación (vapor) del estireno a 290 K 670 Pa : densidad del nitrógeno a 290 K y 1 atm 1,199 kg/m3 : viscosidad del nitrógeno a 290 K 17,45 mg/m s


Respuesta 12.7 Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Propiedades (parámetros) constantes - Estado másico estacionario: flujo de masa y la tempe-

raturas constantes con el tiempo - Se toma como propiedades de la masa gaseosa las

correspondientes al gas solvente (nitrógeno) - Se considera el nitrógeno, B, no difundente - La corriente de nitrógeno suficientemente grande

como para tomar

A2 0y , A2 0P - En la interfase, del lado del gas, se supone saturado

0A AiP P .

Número de Schmidt

3 2AB

1,745E 5 kg/m s1,199 kg m 7 E 6 m /s

ScD

08,2Sc Número de Reynolds

s kg/m 5E745,1

mkg199,1m/s 30m 6,0 3

vLRe

61023,1 Re Número de Sherwood

318,0037,0 ScReD

LkSh

AB

C

318,0 08,26E23,1037,0Sh 3105,3 Sh El coeficiente de transferencia de masa es


2

AB 7 E 6 m /s3,5E 30,6 mC

Dk ShL

mm/s 41 m/s 041.0 Ck

BB

LMG LM C

Pk P kR T

K 290

1J 314,8

K molsm 041,0

TRkk C

G

sm μmol/Pa 17sm mol/Pa 1071,1 225

Gk Flujo de masa, de estireno, A, A A1 A2GN k P P

mol1mmol 1000Pa 0670

s m Pamol 5E71,1 2 AN

2

A 11 mmol/m sN 12.7 Ejemplo 12.8 Columna de pared húmeda Una columna de pared húmeda se emplea para oxigenar el agua, a 25 C y 140 kPa, a partir de una corriente de aire. La columna tiene un diámetro de 712 mm, un espesor de 11 mm y un alto de 1,38 m. El flujo de agua sobre la pared interna es de 15 mL/s. a) Evalúe, en un punto dado (de la columna), el flujo de

oxígeno por unidad de área (flux), si se desprecia la concentración de oxígeno en el seno del fluido.

b) Si se desprecia la concentración de oxígeno en el seno del fluido y la de la entrada a la columna, así como, la variación de la concentración del oxigeno en el (valor del) flujo de gas, evalúe la transferencia de oxígeno al agua, en toda la columna.


Datos conocidos: A oxígeno B agua D: diámetro interno de la columna 0,712 m V : flujo de agua 1,510-5 m3/s T: temperatura del sistema 298 K P: presión del sistema 140 kPa DAB: difusividad del oxígeno en agua a 298 K 2,510-9 m2/s H: parámetro de Henry, para oxígeno en agua a 298 K 4,44109 Pa yA: composición del oxígeno en el aire 0,21 f. m. kG: coeficiente de transferencia de masa individual del oxígeno en el aire 3,910-10 kmol/m2 s Pa Propiedades del agua a 298 K : densidad 997,04kg/m3 : viscosidad 0,893 g/m s z: posición vertical en la columna L: altura de la columna 1,38 m Respuesta 12.8 Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Propiedades (parámetros) constantes - Estado másico estacionario: flujo de masa y la tem-

peratura constantes con el tiempo - Se toma como propiedades de la masa gaseosa las

correspondientes al gas solvente (nitrógeno) - Se considera, la difusión del oxígeno en el agua en

contra difusión molecular - La composición de oxígeno en el seno del fluido

despreciable A2 0x ,

- En la interfase, del lado del líquido en equilibrio con el gas y se cumple la ley de Henry,

A A1y H x .


Número de Schmidt

3 2AB

8,93E 4 kg/m s997 kg m 2,5E 9 m /s

ScD

358Sc Flujo de masa, del líquido, por unidad de ancho

m 712,0

/sm 5E5,1mkg997 33

DVΓ

s kg/m 107,6 3Γ Número de Reynolds

s kg/m 4E93,8s mkg 3E7,644

ΓRe

30Re Espesor de la capa líquida

31

2

.3

gΓ

31

223 m/s 80665,9mkg 04997s kg/m 3E7,6 s kg/m 4E93,83

,

mm 12,0m 1022,1 4 Número de Sherwood

AB

3, 41Ck LShD

El coeficiente de transferencia de masa es

2

AB 2,5 E 9 m /s3, 411, 22 E 4 mL

Dk Sh


m/s 1096.6 5Lk Cxkxk BLMLBLMx

kg 8,0151kmol

m kg 04997

sm 5E96.6 3

,M

kCkk LLx

s kmol/m 1085,3 23xk a) Flujo de masa, local, de oxígeno, A, *

A A A A Ax i L x LN k x x K x x

xyyx kkmK

111

BB

LMG LM y

Pk P kP

Pa 5E40,1Pasm

kmol 10E9,3 2 Pkk Gy s mmol/m 55s kmol/m 1046,5 225

yk

kmol 3E85,3

s mkmol 5E46,5

s m Pa 9E44,4Pa 5E40,11 22

xK

kmol

s m 6,259kmol

s m 58,01 22

xK

s mol/m 3,8s kmol/m 1084,3 223

xK

* AA

1, 40 E 5 Pa 0,214, 44 E 9 Pa

PxH

* 6

A 6,6 10 f.m.x


Con lo cual

A 2

kmol kmolA 1E9 μmol3,84 E 3 6,6 E 6 0m s kmol 1 kmol

N

2

A 25 μmol/m sN 12.8a) b) Flujo global o total de masa, de oxígeno, A, Balance de la masa de una sustancia en la columna A AdN A d m A A0

dz LL i Lz

k C C D z

ALx

xz CDv d0

En términos de la composición en equilibrio zDCCK ALAL d* Adz Lv D C Las definiciones

CK

K xL ;

Γvz ;

AA

CxC

; AMC C . Sustituyendo los respectivos valores

*A A Ad dx L L

ΓK x x z C x

Separando variables

A*A A

d dxL

L

Kx zΓ Cx x

Integrando con las condiciones de límites:


0z A A 00L z

C C

Lz A AL z LC C

*A A*A A 0

ln L xz L

L z

x x M K Lx x Γ


A6,6E 6 f.m6,6E 6 f.m 0

L z Lx

m 38,1s mkmol 3E84,3

kg 3E7,6s m

kgkmol 015,18exp 2

6

A 6,6 10 f.m.L z Lx

Balance global de la masa de oxígeno A A Az L Lz L z L

m v D C C

A A AL Lz L z L

Γ Cm D x x

A6,7 E 3 kg kg0,712 m

m s 18,015 kmolm

kmol 1μmol 1E90f.m 6E6,6

El flujo total de masa de oxígeno es A 5,5 μmol/sm 12.8b)


Capítulo 13

FLUJO DE FLUIDOS DENTRO DE CONDUCTOS RECTOS

Flujo incompresible y en estado estacionario 13.1 INTRODUCCIÓN El flujo unidimensional en conductos rectos es una aplicación clásica de la Ingeniería. En las secciones siguiente se desarrolla la teoría en la que se basan los modelos para evaluar los coeficientes de transferencia de cantidad de movimiento (“momentum”), calor y masa; que son necesarios para las ecuaciones de conserva-ción. También, se realiza la aplicación de las ecuaciones de conservación a casos sencillos y su análisis.

Nomenclatura r = Posición perpendicular al flujo, a partir del centro

del conducto = Posición en la dirección del flujo, axial, a partir de

la entrada A = Área transversal, perpendicular, a la dirección del

flujo (del espacio libre del conducto)

v=vmáx T=Tmáx CA=CAmáx

v=vs T=Ts CA=CAs P=PEst

r

s

Gradiente de velocidad: rv

dd

v

z

g qs NAs

=0 z=0 P=P0 T=T0 CA=CA0

Capa límite

Corriente libre

d

dsen zggg

=L z=zL P=PL T=TL CA=CAL

Líneas de flujo

Capítulo 13 Flujo en conductos 506 G. Chacón V.

S = Área lateral del flujo (interna del conducto)

S

= Perímetro del flujo (interno del conducto), mojado.

Definiciones varias Diámetro equivalente o hidráulico

4 Cuatro veces el área de flujod Perímetro mojadod

ADeSλ

L = Largo, en dirección axial del conducto Velocidad promedio

vA

Avv

A

0

d

Flujo volumétrico, caudal, gasto o carga.

0

dA

V Q v A v A Fuerza de fricción o arrastre, sobre la pared, en prome-

dio

d0 2/

L

DrrsSF

Esfuerzo de fricción o de piel

2

2 vC

SF

Ds

P

CD = Coeficiente de fricción o arrastre Presión dinámica y estática

2

2 vPP stadyn

Psta = Presión estática, es la medida en la pared del conducto, para r D/2, v = vs = vw= 0

Pdyn = Presión dinámica, es la medida en cualquier punto en el seno del fluido, para r r, v = v


Pérdidas por fricción Pérdidas de energía debido a la fricción y otros tipos de

irreversibilidad o pérdidas de energía no explica-das, de Darcy y Weisbach.

2

2

v

DLf

AvvFhgH D

sff

22

v

DLfF

fD = 4 fF = factor de fricción de Darcy fF = factor de fricción de Fanning

Otras formas de evaluar las pérdidas de energía:

Le = Longitud equivalente. Es la pérdida de ener-gía expresada en términos de una longitud de tubo recto.

Kf = Coeficiente de pérdida de energía. Se expresa en términos de la energía cinética por unidad de masa.

22

22

v

DeLefvKhgH Dfff

Curva de demanda del sistema, altura, carga o cabeza hidráulica o piezométrica

2

12 21)(

AVK

DLf

gzz

gHh fD

PSPS

Curva característica de operación de la bomba

gVWVcc

gHh BCPS

PB

)1( 3

21 C3 1,5 a 2,0

Números descriptores del flujo

Reynolds

24

DVDevDeRe


Flujo de Calor Nusselt Prandtl

khDeNu

k

CPr P

Flujo de Masa Sherwood Schmidt

AB

C

DkDeSh

ABAB DD

Sc

Ecuaciones de conservación Considérese un flujo, de un fluido, unidimensional, dentro de un conducto, con paredes sólidas, de área constante. Geometría

2

4DA

DS

dd

Balance total de masa

VAvAvAv LLL 000 (13.1)

Balance de cantidad de movimiento en

LLL

L

rr AvAvDD2

02

000d

2

L

LL gAPAP000 dsen (13.2)

Balance de energía mecánica

fLLL HzzgPPvv

VW

00

20

2

2

(13.3)


ddd

STThTAvcQ ssPs

Integrando a lo largo del conducto, entre 0 y L


DL

PrReNu

DL

vCh

TTTT

Ps

Ls

0

ln41

(13.4)

Balance de la sustancia A, componente de una mezcla

ddd

SCCkCAvm AAsLA

A

Integrando a lo largo del conducto, entre 0 y L

DL

ScReSh

DL

vk

CCCC L

AAs

ALAs

0

ln41

(13.5)

Consideraciones y aproximaciones para los modelos de

flujo de fluidos en conductos rectos - Masa, fluida, como un continuo y homogénea - Se presenta una capa límite (Cap. 12.). En la cual, se

manifiestan los efectos más importantes de energía molecular (potencial mecánico, potencial térmico y potencial químico)

- La magnitud de la velocidad aumenta, a partir de la

pared, desde 0, hasta un valor dado por las caracte-rísticas del flujo y del fluido. Por lo cual, debe existir un gradiente de velocidad, ejercido por un esfuerzo retardador, de arrastre o de fricción, y. El esfuerzo decrece a medida que la velocidad aumenta. En forma análoga, se manifiesta un cambio de temperatura con el flujo de calor o de la concentración de una sustancia A, componente de una mezcla, con la difusión de masa

- Se presenta una subcapa laminar, entre el sólido y el

seno del flujo del fluido en régimen turbulento (Si el flujo del fluido es laminar, toda la capa límite es laminar)

- Estado estacionario para la cantidad de movimiento, el

calor y la masa del la sustancia A, Es decir, no cambian con el tiempo, sólo con la posición


0

tv 0

tT

0

tCA

- Unidireccional, solamente existe flujo en la dirección

del conducto . La variación del esfuerzo y la velo-cidad en otras direcciones es despreciable

0rv y 0v

Estas dos condiciones se resumen como flujo unidi-mensional; la difusión de la cantidad de movimiento, del calor y de la masa de A, son despreciables en la dirección , comparada con las debidas al movi-miento del fluido en esa dirección

- Flujo incompresible

0DD

t

(Para gases, si 1,00

0 P

PPL )

- De acuerdo con el principio de no deslizamiento, de la

teoría del continuo, la velocidad del fluido en contacto con el sólido es igual a la del sólido. Si la pared está en reposo, relativo

r D/2 v = vs = vw= 0 T = Ts = TW CA = CAs= CAW - La variación de la velocidad, la temperatura y la

concentración a lo largo de la pared, son despre-ciables

r D/2 v = vs = vw = Constante

T = Ts = TW = Cte. CA = CAs= CAW = Cte. - Punto de simetría en el centro del conducto

r 0 0

rv 0

rT 0

rCA

- Variación despreciable de los parámetros (, k y

DAB) con la temperatura y la posición - Flujo completamente desarrollado. Los efectos de

entrada y salida son despreciables


- Variación de la presión con el radio y el ángulo des-preciables

0rP

0

rP

- Caída de presión constante

L

PPP L 0

- El flujo del fluido no gira ni rota

0

rv

0rT 0

r

CA - El movimiento y la variación de la presión, en r,

debido al efecto sobre la densidad, causada por las diferencias de temperatura o concentración, entre la pared y el seno del fluido, son despreciables

- Los efectos difusionales en la dirección del flujo, ,

son despreciables

02

2

v 02

2

T 02

2

AC

- No hay generación de calor ni reacción química - Geometría perfecta - Área constante, un solo tramo,

0A

- Se cumple la analogía entre cantidad de movimien-

to, calor y masa CD Re2 = Nu Pr-1/3 = Sh Sc-1/3 (13.6) - Los números de Reynolds, Nusselt y Sherwood, se

evalúan con base en el diámetro equivalente del conducto, De.


viscosidad, , constante

13.2 MODELO PARA EL RÉGIMEN DE FLUJO LAMINAR

Consideraciones adicionales, al modelo general - Flujo de un fluido newtoniano en régimen laminar - Se desprecian los efectos de fricción en el balan-

ce de energía térmica ledespreciabˆ v

- Se cumple para 2300,20002000Re Balance de masa, total

0

v ; 0v

Balance de cantidad de movimiento en la dirección del flujo, .

0

rvr

trzgPvv

0sen0

rvr

trg

LPPL


rTr

rrkTCv P

rCr

rrDCv A

ABA

Con las condiciones de contorno

r 0 0

rv

0

rT

0

rCA

r D/2 v = 0 T = Ts CA = CAs 0 v = <v> T = T0 CA = CA0

conductividad k, constante


P = P0 z = z0 L v = <v> T = TL CA = CAL P = PL z = zL

Balance de cantidad de movimiento Velocidad

LzgPzgPv LL 00

22 2116 D

rD

(13.7)

La velocidad máxima, en r 0

16

200 D

LzgPzgPv LL

MAX (13.8)


32

200 D

LzgPzgPv LL (13.9)

MAXvv21

Flujo volumétrico, gasto o carga

128

400 D

LzgPzgPV LL (13.10)

2

4DvQV

Ecuación de Hagen (1839) Poiseuille (1840).

Desarrollo teórico por Weidemann (1856)


Fuerza viscosa o de fricción, sobre la pared

dd

02/

0 2/

L

Dr

L

DrrsS

rvSF

L

Dr

LLs Dr

LzgPzgPF

02/

00 d2

4

2

00DzgPzgPF LLs

LvF xs 8 (13.11) Coeficiente de fricción o arrastre

LD

LvAFCv

AC

sD

8

2

2

ReDv

CD1616

(13.12)

Coeficiente de fricción de Darcy, o coeficiente de pérdidas de energía por fricción

4/

82Dv

vLvAv

vFH sf

2

2

v

DLfhgH Dff

ReDv

fD6464

(13.13)


Balance de energía térmica Despreciando los efectos de fricción y sin generación de calor

rTr

rD

rD

rT

kCDv P

22121

Perfil de temperatura

10

2fn

nns

s

DrC

TTTT

(13.14)

P

n

Ck

DvDD

2

2

32exp

Escribiendo las variables y parámetros en términos de los números de Reynolds y de Prandtl, para r D/2 y L.

1

2

0 32expf

n

nnn

s

sL

PrReμ

DLC

TTTT

Comparando con el balance de energía en el conducto,

DL

PrReNu

DL

vch

TTTT

Ps

Ls

0

ln41

(13.15)

Se tiene que, Graetz (1885),

66,3

LDPrRe

LDPrReNu (13.16)

Sobre esta base, Seider y Tate (1936), proponen

14,031

86,1

wLDPrReNu

(13.17)

Las propiedades se miden a la temperatura media del flujo. El subíndice w indica que se mide a la temperatura de la pared. El cociente de visco-sidades es una corrección por el efecto de la convección, entre la pared y el seno del fluido.


Balance de la cantidad de sustancia A

A

AB

CD

Dv

r

Crr

Dr

Dr

A2212

1

Perfil de concentración de A

10

2fn

nnAsrA

AsA

DrC

CCCC (13.18)

ABn DDvD

D2

2

32exp

Escribiendo las variables y parámetros en términos de los números de Reynolds y de Schmidt, para r D/2 y L.

1

2

0 32expf

n

nnn

AsA

AsLA

ScReDLC

CCCC

(13.19) Comparando con el balance de masa de A en el con-ducto, Ec. 13.5

DL

ScReSh

DL

vk

CCCC L

AAs

ALAs

0

ln41

(13.20)

Se tiene que

LDScRe

LDScReSh (13.21)

Debido a este resultado, se propone utilizar la analogía de Chilton Colburn

3131 PrReNu

ScReSh

(12.1)


3.3 MODELOS PARA EL RÉGIMEN DE FLUJO TUR-BULENTO

Considérese un flujo de un fluido newtoniano en régi-men turbulento, dentro de un conducto cilíndrico de área constante. Se cumple para 400030003000 Re Con las condiciones de contorno

r 0 0rv 0

rT 0

rCA

r D/2 v = 0 T = Ts CA = CAs 0 v = <v> T = T0 CA = CA0 P = P0 L v = <v> T = TL CA = CAL P = PL Esfuerzo cortante Se utiliza la hipótesis de la longitud de mezclado de Prandtl (1925) (Sec. 3.3), para la capa límite (Sec. 12.1), con el propósito de evaluar las pérdidas por fricción, para las condiciones de fluido mencionado; la cual ofrece resultados aceptables para las aplica-ciones de la Ingeniería. Para la subcapa laminar

rv

r dd

RrR

Para la subcapa crítica o de amortiguamiento ?r RrR Para la subcapa turbulenta

El modelo de Prandtl está definido en térmi-nos de la distancia, y, a partir de la pared interna del conducto o interfase.

yv

yvykr d

dd

d2

2Dy R r


Consideraciones adicionales: - Toda la resistencia al movimiento se presenta en la

zona turbulenta - El esfuerzo de fricción es constante a lo largo del

radio 0 r 20 DrRy . Con lo que

01

dd

ykyv

Integrando, con las condiciones de contorno

y D/2 – r = 0 (r D/2) v = 0 y D/2 – r = D/2 (r 0) v = vMáx

NOTA:

El modelo presenta las siguientes inconsistencias - En el centro del tubo existe resistencia, a pesar de

que es un punto de simetría 22 DrDy 00 r - No permite evaluar el esfuerzo de fricción en la

pared, pues

2/0 d

ddd

Dry rv

yv

- El esfuerzo de fricción queda implícito y sólo se evalúa si se mide la velocidad máxima.

Se obtiene

2

1ln12

nl1

0 Dr

kDy

kvv Máx

(13.22)


4

d2

ln12

2

2

20

D

yD

yk

vyD

v

D

Máx


Integrando

02

21

21

28

kyyDv

Dv Máx

2

22

412ln

21

22ln

2

Dy

y

yyD

yyDyD

yD

Re arreglando

22

2

00

2423121

DDkDvv Máx

DDDk2ln441 2

2

En forma resumida

2

ln210 D

CteCtev

(13.23)

Espesor de la capa no turbulenta, : Si se supone que en la capa laminar el esfuerzo de fricción es constante

r

vr d

d0

Despreciando el espesor de la capa de flujo crítico Despejando e integrando

22

022 DrDrDrDr

rrvv

Con la condición de no deslizamiento 0

2

Drv

El modelo propone que

0

2

Drv

La única justificación, de esta proposición, es que repre-senta un valor intermedio entre 0 y la vMáx y que el término de la derecha tiene unidades de velocidad. No está claro el sentido físico de la misma.


Con lo que, el espesor es

0

2

0

222

v

ReDD (13.24)

Sustituyendo, la Ec 13.24, en la relación 13.23

01 2 2

0

ln 2v Cte Cte Rev

(13.25)

Sustituyendo el coeficiente de fricción o arrastre

221

0

vCD

22ln2

21D

D

CReCteCteC

(13.26)

El modelo desarrollado por Prandtl (1927), fue eva-luado con datos experimentales para tubería lisa, por Nikuradse (1931) y obtuvo los siguientes parámetros, que fueron comprobados por Reichardt (1943).

4,01log4110

DD CReC (13.27)

Nótese que el coeficiente de fricción queda implícito

Otras relaciones para flujo turbulento, en tubería lisa

Re 4000 < Re < 100 000

BlasiusRe

v 2

00395.0

410791,0

ReCD (13.28)

Von Kármán

71

21

D

rvv Máx 51048,0

ReCD (13.29)


Asperezas Son las imperfecciones y variaciones que presentan las superficies de los materiales. Las cuales varían con el uso, de los mismos, por corrosión, erosión, sedimentación, etc.

: Asperezas, (“roughness”), es la longitud media

de las alturas de las imperfecciones.

Su efecto en la fricción es despreciable en el régimen de flujo laminar, pero se vuelve importante a medida que au-menta la velocidad. Para flujo completamente turbulento, el valor de las pérdidas de energía por fricción debido a las asperezas son más significativas que las del fluido mismo.

Régimen de flujo completamente turbulento

4102 Re 100DCReD

Si se sustituye el valor de las asperezas en el modelo de fricción obtenido con la longitud de mezclado, Ec. 13.23, Si

entonces

2

ln210 D

CteCtev

(13.30)

Con los datos de Nikuradse (1931) y Reichardt (1943), se obtienen los coeficientes.

28,2log4110

DCD

(13.31)


Efectos de fricción combinados Colebrook y White (1938-1939) proponen combinar los efectos provocados por la fricción, en el fluido (tubería lisa) y por las asperezas, de la manera si-guiente, y que fue corroborada por Schlichting (1960).

DCReC DD

2698,02615,1log4110 (13.32)

Modificando, para que no quede el factor de fricción implícito, sustituyendo el valor del coeficiente de fric-ción en el argumento del logaritmo, con la ecuación obtenida por Von Kármán, Ec. 13.29, Churchill (1973) propone

DReCD

2698,0758,5log419,010 (13.33)

Coeficiente de fricción de Darcy, o coeficiente de pérdidas de energía por fricción,

Factor de fricción

DfRef DD

2698,0523,2log2110 (13.34)

Colebrook y White (1938-1939)

DRefD 7,37log21 9,0

10

(13.35)

Churchill (1973)

910

10 7,39,6log8,11

DRefD

(13.36)

Haaland (1983)


Coeficientes de transferencia de energía térmica y de la cantidad de sustancia A

En general, se modela los fenómenos de transferen-cia de calor y de masa con la teoría de capa límite y las analogías de Reynolds Prandtl y de Chilton Colburn. Con el modelo de fricción de von Kármán, Ec. 13.29

5024,0

82 13131DD

ReScReSh

PrReNufC

(13.37)

13.4 OTROS EFECTOS DE LA FRICCIÓN Y DE LA

IRREVERSIBILIDAD DE LOS PROCESOS

Régimen de flujo en transición Algunos autores definen un régimen de flujo en transi-ción, como aquél que es turbulento pero que dominan tanto las fuerzas inerciales y viscosas como las de las asperezas, para distinguirlo del completamente turbu-lento.

43 102103 Re 200DfReD

Régimen de flujo crítico Para el régimen de flujo crítico, que algunos autores lo llaman régimen de flujo de transición (laminar a tur-bulento), Sec. 7.4, Churchill (1977) recomienda una aproximación 30002000 Re 291068,5 RefD (13.38)


Efectos de entrada en un conducto Considérese un flujo de fluidos dentro de un conduc-to, supóngase que: - Entra con un perfil de velocidad uniforme - La velocidad en la pared, v, es cero, por la condición

de no deslizamiento - Se desarrolla una capa límite a partir de las paredes

del conducto - El efecto de la superficie es más pronunciado a medi-

da que se profundiza en el conducto - A una distancia, C, suficientemente grande, la capa

límite alcanza su máximo en el centro del tubo - Después de ese punto, el flujo continúa con el mismo

perfil de velocidad, es decir se mantiene un flujo com-pletamente desarrollado.

Se obtiene las siguientes relaciones empíricas, para la longitud necesaria, C, para alcanzar el flujo com-pletamente desarrollado

Flujo

Laminar ReD

0575,00

C Langhaar (1942) (13.39)

Turbulento 50,25500

C D

Deissler (1950) (13.40)

Los coeficientes de transferencia de cantidad de movimiento, calor y de la masa de una sustancia, A, tienden a ser más altos que los previstos, por las relaciones, debido a la formación de vórtices, por desviaciones y bordes pronunciados y los efectos de las diferencias de temperatura o concentración, altas.


Pérdidas menores Son las pérdidas de energía producidas por fuerzas internas en accesorios, como válvulas, codos, expansiones, contracciones y otras causas de irrever-sibilidad. Pese a su nombre, representan valores significativos de energía, especialmente en tramos cortos de tubería (menores de cincuenta diámetros) y flujo grandes; para tramos mayores (de mil diámetros) se pueden “volver” despreciables. Se expresan en términos de la energía cinética, por unidad de masa, en el punto de mayor velocidad.

22

20

20

v

DeLefvKhgH Dfff

Expansión o ensanchamiento

Para la expansión súbita, se puede obtener a partir de los balances de masa, cantidad de movimiento y de energía, una relación mecanicista (ver ejercicio 5.20):

2

0

1

2

21

20

2

1

0 111

vv

DD

AAK fExp (13.41)

Que es la ecuación de Borda-Carnot El coeficiente de pérdidas de energía, varía ligera-mente con la velocidad de entrada, Brater y King (1976), presentan datos experimentales, que fueron relacionadas por Ulate (2003).

v0 D0

v1 D1

Expansión súbita

v0 D0

v1 D1

Expansión gradual

F


2

21

201

DDbaK fExp (13.42)

11998,008,0

0081,0

0

vv

a 197,0 b

Para la expansión gradual

67,01 41

40 Cp

DDK Exp (13.43)

D02/ D2 Cp (5 < < 10º)

0,80 0,35-0,30 0,75 0,45-0,35 0,50 0,53-0,42 0,25 0,70-0,50

En la obra de Brater y King (1976), se encuentran valores experimentales para el coeficiente de expan-sión gradual.

Contracción o reducción

No se ha propuesto un modelo con base teórica, Weisbach, propone, sobre la base del área transver-sal de la vena contracta un modelo general del tipo

2

11

CfCon C

K (13.44)

v0 D0

Contracción súbita

v1 D1

v0 D0

Contracción gradual

F

Vena contracta

vC DC

v1 D1


Los datos experimentales de Weisbach (1855), que son muy usados, se relacionan por

3

41

4028,062,0

DDCC (13.45)

También, se ajustan, Chacón (1993), por

2

41

4099,0137,0

DDK fCon (13.46)

El coeficiente de pérdidas de energía, varía ligera-mente con la velocidad de entrada, Brater y King (1976), presentan datos experimentales, que fueron relacionados por Ulate (2003)

23

031

1fConDKD

(13.47)

00,502 0,0116 0,5v ; 01,199 0,0243 1v Para la contracción gradual 05,0ConK (13.48)

KfCon

30 º 0,02 45 º 0,04 60 º 0, 07

En la obra de Brater y King (1976), se encuentran valores experimentales para el coeficiente de contrac-ción gradual.

Diámetro típico Como criterio de diseño para escoger el diámetro de una tubería se utiliza, el siguiente concepto de optimi-zación. I·D2·L: Inversión (costo de tubería basado en el

espesor, la longitud el material, etc.)


C·L/D5: Costo de operación o consumo (costo de las pérdidas de energía por fricción)

La función de costo u objeto

LDCDIO

2

52

El diámetro óptimo es

71

75

ICDOpt (13.49)

Las diferentes ediciones del manual de Perry, contienen un nomograma para el estimado del diámetro óptimo, basado en éste y otros criterios. También se puede usar una velocidad típica, en lugar del diámetro, Para líquidos: 7,1;3,1típicav m/s (12.50)

Factores de fricción, de Darcy Weisbach, para algunos casos, con la diferentes ecuaciones y los datos (○-□) de Nikuradse (1931) con asperezas artificiales, arena, y los simulados () para asperezas naturales a partir de los datos experimentales de Rouse y Howe (1953).

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

1,E+03 1,E+04 1,E+05 1,E+06 1,E+07Re

f D

Lisa

200DfReD

Laminar

Crítico

Colebrook (1938), Ec 13.34Nikuradse (1931)

Simulación de datos experimentales

/D 0,003968

/D 0,01634

/D 0,01

/D 0,001

/D 0,0001

Churchill (1973), Ec 13.35

Haaland (1983), Ec 13.36

Churchill (1977), Ec 13.38


13.5 EJERCICIOS Ejemplo 13.1 Presión dinámica Un medidor de flujo, del tipo contracción, se emplea para inspeccionar el gasto de un hidrocarburo, que se transporta por un conducto número 6 cédula 80. La contracción es gradual y reduce el diámetro a un con-ducto número 4 cédula 80. La diferencia de presión se mide en un manómetro en U; cuyo extremo aguas arriba, está colocado en el centro del tubo y la toma que se encuentra aguas abajo mide la presión en la pared (interna) del mismo. El líquido manométrico es una sal-muera al 15% y marca en las condiciones de operación 215 mm. Evalúe el caudal en esas condiciones y la caída de presión provocada en el aparato. Diagrama del medidor tipo contracción

Respuesta 13.1 Datos conocidos: g.e60/60 ºF: densidad relativa del hidrocarburo 0,765 : viscosidad cinemática del hidrocarburo 3,4 mm2/s Std : densidad del agua a 60 °F 999,014 kg/m3 v : velocidad del fluido ¿?

v0 D0

Al manómetro

v1 D1

Pdyn1

P1

P0


L : longitud del conducto ¿? D1 : diámetro de la entrada 6 Céd. 80 0,1463 m D0 : diámetro de la salida 4 Céd. 80 0,0972 m : valor de las asperezas para el conducto ¿? Kf : coeficiente de pérdida de energía 0,024 P : caída de presión en el conducto ¿? g.e.m 20/4 C: Grav. Esp. del líquido manométrico 1,107 hm : altura manométrica 0,215 m Std : densidad del agua a 4 C 999,972 kg/m3 Consideraciones - Flujo incompresible - Estado estacionario - Las pérdidas se representan por Kf - La velocidad se representa por su valor promedio, <v> - La diferencia de alturas o diferencia de energía poten-

cial es despreciable No se levanta un peso ni se mueve un eje, no hay

potencia del volumen de control. Balance de masa

0d

d000111 AvAv

tmVC


AvWHzgzgvvPP

f

10

21

20

1

1

0

0

22

Manometría mmdyn hgPPP 01 Presión dinámica 22

111 vPPdyn Pérdidas de energía 22

0 vKH ff


Resolviendo, con vv

022

201

200

vK

PvPf

dyn

mmdyn

fhgPPvK

012

0

21

Con lo que

f

mm

Khegeggv

1

1....20

Sustituyendo valores La velocidad

024,01m 215,01

765,0107,1m/s 80665,92 2

0

v

m/s 36,100 vv El flujo volumétrico del hidrocarburo, en el sistema, es

m/s 36,1m 0972,044

20

2000

vDAvV

L/s10/sm 0100 3 ,V 13.1 Caída de presión en el aparato, con el balance de energía mecánica

0222

20

21

20

1

1

0

0 v

KvvPP

f

Sustituyendo el balance de masa y arreglando 00011 AvAv


2

12

0

2

1

001

vK

DD

PPP f

024,01463,00972,01

mkg972,999765,0

2

3P

2

2

s kg/m 1000kPa 1

2m/s 36,1

La caída de presión en el medidor con reducción es kPa 41,0 P 13.1 Ejemplo 13.2 Orificio Un medidor de flujo, del tipo orificio, se emplea para medir el caudal de un hidrocarburo, que se transporta por un conducto número 6 cédula 80. El diámetro del orificio es de 4 (pulgadas). La diferencia de presión se mide en un manómetro en U; cuyo líquido manométrico es una salmuera al 15% y marca en las condiciones de operación 363 mm. Evalúe el flujo en esas condiciones y la caída de presión provocada por el aparato. Respuesta 13.2 Datos conocidos: g.e60/60 ºF. : densidad relativa del hidrocarburo 0,765 : viscosidad cinemática del hidrocarburo 3,4 mm2/s Std : densidad del agua a 60 °F 999,014 kg/m3 v : velocidad del fluido ¿? L : longitud del conducto ¿? D : diámetro del conducto 6 Céd. 80 0,1463 m DC : diámetro del orificio 4 0,1016 m


: valor de las asperezas para el conducto ¿? Kfo : coeficiente de pérdida de energía (Perry: A1A0 2) 3,4 P : caída de presión en el conducto ¿? g.e.m 20/4 C: Grav. Esp. del líquido manométrico 13,54 hm : altura manométrica 0,363 m Std : densidad del agua a 4 C 999,972 kg/m3 Diagrama del medidor tipo orificio

Consideraciones - Flujo incompresible - Estado estacionario - Las pérdidas se representan por Kf - La velocidad se representa por su valor promedio, <v> - La diferencia de alturas o diferencia de energía poten-

cial es despreciable - No se levanta un peso ni se mueve un eje, no hay

potencia del volumen de control. Balance de masa

0d

d111212 AvAv

tmVC

Al manómetro

P2 v2 D2

P1 v1 D1

P0 PC V0 VC D0 DC

Vena contracta

2

10

010 1

2AA

PPACQ C

CC 0,61; Re0 3104



AvWHzgzgvvPP

f

10

21

20

1

1

0

0

22

Manometría mmC hgPPP 1 Pérdidas de energía 22

1 vKH ff Fórmula para el cálculo del flujo con un orifico (Perry)

12

401

011

DDPPCv C

CPP 0

Sustituyendo el valor de las presiones del manómetro

1

1....24

011

DDhegeggCv mm

C

Sustituyendo valores, la velocidad

11016,01463,0

m 363,01765,0107,1m/s 80665,9261,0 4

2

1

v

m/s 60,011 vv Número de Reynolds en el orificio 00011 AvAv

m/s 60,01016,01463,0

2

1

2

0

10

v

DDv

m/s 24,10 v

/sm 6E4,3

m/s 24,1m 1016,02

00

vDRe

40 107,3 Re


El flujo volumétrico del hidrocarburo, en el sistema, es

m/s 60,0m 1463,044

21

2111

vDAvV

L/s10/sm 0100 3 ,V 13.2 Caída de presión en el aparato, con el balance de energía mecánica

0222

22

21

22

1

1

2

2 vKvvPP

f

Sustituyendo el balance de masa y arreglando 02211 AvAv

2

21

21vKPPP f

2

2

3 s kg/m 1000kPa 1

2m 60,04,3

mkg972,999765,0 P

La caída de presión en el medidor de orificio, es kPa 47,0 P 13.2 Ejemplo 13.3 Pérdidas por fricción Para medir las pérdidas por fricción, de un material dado, se coloca un tubo de 18 m, con uniones soldadas cada 6 m de 1Ced 40. Para el ensayo se hace pasar agua a razón de 0,83 L/s, la temperatura se mantiene en 20 C. Se usa un manómetro, en U, con mercurio como líquido manométrico y las tomas se colocan a 2 m de la entrada y a 2 m de la salida. Si la lectura (altura manométrica) es de 138 mm, a) calcule el coeficiente de pérdidas por ficción y b) estime el valor medio de las asperezas (“roughness”).


Datos conocidos: : densidad del agua 998,2 kg/m3 : viscosidad del agua 1,006 g/m s V : flujo volumétrico 0,83 L/s L : longitud del conducto 14 m D : diámetro del conducto 1 Céd. 40 0,0266 m : valor de las asperezas para el conducto ¿? P : caída de presión en el conducto ¿? h : altura manométrica con una 138 mm g.e.20/4 C : Grav. Esp. del líquido manométrico 13,546 Respuesta 13.3 i ) Velocidad

33

21 m 0266,0

/sm 4E3,844

DVvv

m/s 49,1v ii ) Número de Reynolds

kg/m 3E006,1

kg/m 2,998m/s 49,1m 0266,0 3

vDRe

41094,3 Re iii ) Factor de fricción

DfRef DD

2698,0523,2log21

Queda en términos del valor de las asperezas . iv ) Pérdidas de energía, por fricción

2

2

vDLfH Df


v ) Balance de energía mecánica

AvWHzgzgvvPP

f

10

21

20

1

1

0

0

22

Para el caso

fHPPP

21

vi ) Manometría mm hgPPP 21 972,999546,13m/s 58066,9 2P (Pa)s kg/m 16980m 138,0kg/m 2,998 23 vii ) Conclusión

2

2

vDLfP

D

Lv

hgDLv

PDf mmD

2222

m 14m/s 49,1kg/m 2,998s kg/m 16980m 0266,02

23

2Df

El factor de fricción para el sistema es 029,0Df 13.3 a) Estimación del valor medio de las asperezas, despejando

2698,0

523,210 21

DfRe D

f D

2698,0

m 0266,0029,04E94,3

523,210 020,021


m 09859,04E76,3001156,0 El valor medio de las asperezas es mm 077,0m 107,7 5 13.3 b)

Nota: 20019 DfReD

Ejemplo 13.4 Viscosímetro con flujo provocado por el

peso

Un tipo de viscosímetro, para líquidos, consiste en un depósito relativamente grande, del cual, se deja correr el líquido (por gravedad), a través de un tubo delgado. La viscosidad se determina con el flujo o el tiempo en que baja el nivel del fluido en el depósito.

Diagrama del viscosímetro por gravedad

Para una muestra de aceite, con densidad constante, que fluye a razón de 273 mm3/s, por un conducto de 1,8 mm de diámetro, determine su viscosidad.

Capilar

h

L

P1, D1

P2, D1

z0

z1

z2

P0, D0

Depósito


Datos conocidos: g.e60/60 ºF.: densidad relativa ¿? : viscosidad cinemática ¿? v : velocidad del fluido ¿? V : flujo volumetrico 273 mm3/s D : diámetro del conducto 1,8 mm h : altura del líquido en el depósito 30 mm L : longitud del conducto capilar 0,550 m fD : coeficiente de pérdida de energía Respuesta 13.4 Consideraciones - Volumen de control, fluido en el conducto capilar (en

movimiento) - Flujo incompresible, constante - Estado estacionario - Las pérdidas se representan por fD - La velocidad se representa por su valor promedio, <v> - No se levanta un peso ni se mueve un eje, no hay

potencia del volumen de control - Las pérdidas de energía a la entrada del capilar (salida

del depósito) son despreciables Balance de energía mecánica en el recipiente

AvWHzgzgvvPP

f

10

21

20

1

1

0

0

22

21 0 1 0/2P P v g h P g h

Balance de masa

0d

d222111 AvAv

tmVC

Resolviendo, con el balance de masa en el conducto

2214

DVvvv

Pérdidas de energía


2

2

vDLfH Df

vDvDRe

fD

646464

Del balance de energía mecánica en el conducto

0222

2

12

21

2212

vDLfzgzgvvPP

D

Sustituyendo valores y considerado flujo laminar, con 02 PP y Lgzgzg 12

0322

D

vLLghg Con lo que

VDg

Lh

1281

4

Referencia: Viscosímetro de Oswald. Sustituyendo los valores numéricos

2m/s 80665,9

mm 550mm 301

2

3

4

m 1mm 1000

/sm 7E73,2128m 3E8,1

La viscosidad cinemática de la muestra líquida es /smm 8,9 2 13.4 Número de Reynolds

DVvDRe4


/sm 6E8,9m 3E8,1

/sm 7E73,242

3

Re

20Re es flujo laminar Ejemplo 13.5 sistema en flujo laminar Se dosifica ácido sulfúrico al 75% y 40 C a un reactor a 65 kPa, impulsado por una presión de 102 kPa y con un gasto másico de 10 g/s. La tubería es de acero al carbo-no (oxidada internamente) cédula 80 y de 20 m de largo. Determine el diámetro de la tubería, para no utilizar otra fuerza impulsora. Datos conocidos: : densidad del ácido sulfúrico al 75 % (a 40 C) 1650 kg/m3 : viscosidad del ácido sulfúrico al 75 % (a 40 C) 8,6 mPa s m : flujo del ácido sulfúrico 0,01 kg/s L : longitud del conducto 20 m D : diámetro del conducto ¿? Céd. 80 ¿? : valor de las asperezas para el conducto 0,5 mm P PLP0: caída de presión en el conducto -37 kPa Respuesta 13.5 i ) Velocidad

2

4D

mA

mv

Queda en términos del diámetro, D. ii ) Número de Reynolds

D

mvDRe

4


iii ) Factor de fricción, suponiendo flujo laminar,

m

DRe

fD

1664

Entrada contracción súbita 00 DD 5,0fK

Salida expansión súbita 00 DD 1fK

Válvula de globo media abierta 5,9fK iv ) Pérdidas de energía, por fricción y “menores”

22

22

vKKKvDLfH fvfsfeDf

2

24

2116

Dm

DL

mDH f

2

24

21

D

mKKK fvfsfe

2

2424

2128

DmKKK

DLmH fvfsfe

f


AvWHzgzgvvPP

fLL

L

L

0

220

0

0

22

Para el caso fL HPPP

0

vi ) Conclusión

4

214

2116

DmKKK

mLP

fvfsfe

fvfsfe KKK

mLD

164

Pm

24

21



5,915,0

kg/s 01,0m 20s kg/m 3E6,8164 D

Pa 3E37kg/m 1650

kg/m 1650kg/s 01,04

21 32

3

0446,06E72,75,05,915,06,864 24 D 44 m 9E1625,1 D mm 5,8m 0058,0 D El diámetro de la tubería es 80 Céd.41 D 13.5 S comprueba de la suposición de flujo laminar m 0077080 Céd.41 ,D

D

mvDRe

4

m 0,0077s kg/m 3E6,8

kg/s 01,04

Re

193Re es flujo laminar NOTA: despreciando las pérdidas en los accesorios. Se simplifica y se obtiene la ecuación de Hagen y Poiseuille, Ec. 13.10

24

4128DvD

LPmV x


m

PLD

1284

34

kg/m 1650kg/s 01,0

Pa 3E37 m 20s kg/m 3E6,8128

D

44 m 9E1479,1 D mm 5,8m 0058,0 D Ejemplo 13.6 Velocidad en régimen de flujo turbulento Un “crudo” se traslada por un oleoducto de acero comer-cial de 12” Céd. 40. Estime la velocidad del fluido, si la diferencia de presión entre dos puntos, de un tramo, se-parados 5 km y que están al mismo nivel, es de 323 kPa. Desprecie el efecto de las uniones. Datos conocidos: : densidad del hidrocarburo 913 kg/m3 : viscosidad cinemática del hidrocarburo 74 mm2/s v : velocidad del fluido ¿? L : longitud del conducto 5 km D : diámetro del conducto 12 Céd. 40 0,3032 m : valor de las asperezas para el conducto 0,046 mm P : caída de presión en el conducto -323 kPa Respuesta 13.6 i ) Velocidad

¿?42

DVv

Queda en términos de la velocidad, <v>.


ii ) Número de Reynolds

DVvDvDRe4

iii ) Factor de fricción Suponiendo flujo turbulento, con la Ec. 13.34 de Colebrook y White (1938-1939)

2

2698,0523,2log2

DfRef

DD

(i)

iv ) Pérdidas de energía

2

2

vDLfH Df


Av

WHzgzgvvPPf

12

21

22

1

1

2

2

22

Para el caso ff hgHPPP

21 (ii)

vi ) Conclusión

2

2

vDLfP

D

Multiplicando y dividiendo por el cuadrado del número de Reynolds.

22

2

vDRev

DLfP

D

Despejando para Re

2

3

2

DLPfRe D (iii)



32 kg/m 913

m 3032,0m 3E5

Pa 5E23,32/sm 5E4,7

m 3032,0

DfRe

849DfRe

2

3032,0m 5E6,42698,0

849523,2log2

Df

0393,0Df Nota: 20013,0 DfRe

D

El número de Reynolds

42790393,0

849Re

La velocidad

LfDPv

D

2

m 3E50393,0kg/m 913

m 3032,0Pa 5E23,323

v

La velocidad del “crudo” en el conducto es m/s 0,1 v 13.6 Swamee y Jain (1976) reunieron este procedimiento (algoritmo), Ecs i, ii y iii, en una sola fórmula (sólo se aplica para un tramo de conducto, con pérdidas menores despreciables o usando la Le respectiva)

DDhgL

LDhg

Qf

f

7,317,3ln965,0

21

3

215



21

3

5

m 3E5kg/m 913m 3032,0Pa 5E23,3965,0V

21

3

3

m 3032,0Pa 5E23,3m 3E5kg/m 91317,3ln

3032,07,3

m 5E6,4/sm 5E4,7 2

El flujo volumétrico es /sm 75,0 3V 13.6

23

2 m 3032,0/sm 75,044

D

Vv

La velocidad del “crudo” en el conducto es m/s 0,1 v 13.6 Ejemplo 13.7 descarga por gravedad Un depósito, de gran tamaño, está lleno de agua hasta un nivel de 5,00 0,05 m, la cual se desaloja por gravedad, a través de un orifico en el fondo. El conducto de salida es de hierro galvanizado con un diámetro nominal de 6 Céd 40 con 10 m de longitud. Estime la velocidad de salida. Datos conocidos: : densidad del agua 998,2 kg/m3 : viscosidad del agua 1,006 g/m s v : velocidad del fluido, en el conducto de salida ¿? h : nivel del agua en el tanque 4,95 m


L : longitud del conducto 10 m D : diámetro del conducto 6 Céd. 40 0,1541 m : valor de las asperezas para el conducto 0,15 mm P : caída de presión en el conducto ¿? Respuesta 13.7 Consideraciones - Volumen de control, fluido en el sistema - Flujo incompresible, constante - Estado estacionario - La velocidad se representa por su valor promedio, <v> - No se levanta un peso ni se mueve un eje, no hay

potencia del volumen de control - Los efectos energéticos en el tanque son despreciables

2 1 2salida entradav v v v v v La entrada y la salida están a la atmósfera

aatmosféricentradasalida PPP . Esquema del volumen de control

i ) Velocidad ¿? vv Queda en términos de la velocidad, v. ii ) Número de Reynolds

vDRe

h

L z 0

1

2


iii ) Factores de fricción Suponiendo flujo turbulento

2

2698,0523,2log2

DfRef

DD


Salida Expansión súbita 00 DD 1fK

Válvula de compuerta abierta 2,0fK Sea 7,1 fK iv ) Pérdidas de energía, por fricción y “menores”

22

22

vKKKvDLfH fvfcfeDf


Av

WHzgzgvvPPf

12

21

22

1

1

2

2

22

Para el caso 02

2

fHhgv

02

12

vK

DLfhg fD

vi ) Conclusión, despejando la velocidad, v.

fD KDLfhgv

12

Con los valores

7,1m 1541,0m 101m 95,4m/s 80665,92 2

Df

v

m/s 89,647,2

806,97Df

v

(i)


El número de Reynolds

s kg/m 3E006,1

kg/m 2,998m 1541,0 3

vvDRe

vRe 510529,1 (ii) El factor de fricción

2

1541,04E5,12698,0

5E529,1523,2log2

DD fv

f

2

6262,25E650,1log2

D

D fvf (iii)

Resolviendo, el sistema de tres ecuaciones i, ii y iii, por el método de sustituciones sucesivas, con un primer ensayo, de fD, 02,06262,2log2 2

Df

3,17,2

806,9702,089,647,2

806,97

v

m/s 5v Segunda iteración

0199,06262,202,05

650,1log22

Df

m/s 62,415,10199,089,647,2

806,97

v

La velocidad de salida del sistema depósito conducto, por gravedad, es m/s 4 2

1 v 13.7

Factor de seguridad


Ejemplo 13.8 Pérdidas por fricción en un tramo de conducto

Se requiere determinar la presión necesaria a la entrada de un tramo de conducto que traslada amoníaco líquido, para que en un punto, a 250 m de distancia cerca de la salida, se encuentre como líquido saturado. El flujo es de 2 m3/h con una temperatura de operación de 25 a 30 C. La tubería es de acero comercial de 2 Céd. 160. Considere las pérdidas en las uniones despreciables. Datos conocidos:

Se considera cítrico la mayor presión de saturación del amoníaco.

T : temperatura del sistema 30 C : densidad del NH3 595,2 kg/m3 : viscosidad del NH3 0,136 g/m s Psat: presión de saturación del NH3 11,665 kPa V : flujo volumétrico del fluido 2 m3/h 556 mm3/s L : longitud del conducto 250 m D : diámetro del conducto 2 Céd. 160 0,0428 m : valor de las asperezas para el conducto 0,046 mm P1 : presión a la entrada del conducto ¿?

Se considera ligeramente mayor, un 10% de la pre-sión de saturación del amoníaco.

P2 : presión a la salida del conducto 1,1Psat 12,83 kPa Referencia: Válvula de expansión Respuesta 13.8 i ) Velocidad

24

DVv

m/s 386,0

m 0428,0/sm 4E56,542

3

v



DVvDRe

4

(i)

s kg/m 4E36,1m 0428,0

kg/m 2,955/sm 4E56,54 33

Re

4102,7 Re iii ) Factores de fricción Flujo turbulento, con la Ec. 13.35 de Churchill (1973)

29,0

7,37log2

DRefD

(ii)

023,0m 0428,07,3

m 5E6,44E2,7

7log2

29,0

Df

iv ) Pérdidas de energía, por fricción

2

2

vDLfH Df


Av

WHzgzgvvPPf

12

21

22

1

1

2

2

22


21

vi ) Conclusión, para el caso

52

22 82 D

VLfvDLfP D

D

(iii)

Con los valores numéricos

52

23

m 0428,0/sm 4E56,5m 250023,08

fHP


22/sm 17,10

fHP

La presión en el extremo de entrada 221 PhgPHP ff (iii)

kPa 665,111,1s kg/m 1000

kPa 1sm17,10

mkg 2,595 22

2

31 P

kPa 191 P 13.8 Swamee y Jain (1976) reunieron este procedimiento (algoritmo), Ecs i, ii y iii, en una sola fórmula (sólo se aplica para un tramo de conducto, con pérdidas menores despreciables o usando la Le respectiva)

29,0

5

2

7,362,4ln07,1

DQ

DDg

LQhf


5

23

m ,04280m 502/sm 4E56,507,1fHP

9,0

33 kg/m 2,955/sm 4E56,5s kg/m 4E36,1m 0428,062,4ln

2

0428,07,3m 5E6,4

La caída de presión o la pérdida de energía por fricción es

2 210 m /sfP H


Ejemplo 13.9 diámetro de un tramo de conducto Determine el diámetro, necesario, de una tubería BWG14, de bronce, que traslada tolueno, como líquido saturado entre 90 y 100 C, a razón de 1,75 L/s, de tal manera que en una distancia de 305 m, la caída de presión no sea mayor que 30 m. Considere las pérdidas en las uniones despreciables y que el nivel se mantiene constante. Datos conocidos:

Se considera cítrica la menor temperatura, pues el fluido posee un mayor valor de la viscosidad.

T : temperatura del sistema 90 C : densidad del fluido 800 kg/m3 : viscosidad del fluido 0,290 g/m s Psat: presión de saturación del fluido 54,13 kPa V : flujo volumétrico del fluido 1,75 L/s 1,7510-3 m3/s L : longitud del conducto 305 m D : diámetro del conducto BWG14 ¿? : valor de las asperezas para el conducto 0,0015 mm P : caída presión entre los dos puntos del tramo de conducto 30 m Respuesta 13.9 i ) Velocidad

2

3

2/sm 3E75,144

DDVv

Queda en términos del diámetro, D. ii ) Número de Reynolds

DVvDRe4

(i)


D

Re

s kg/m 4E90,2kg/m 800/sm 3E75,14 33

DRe 3101,6 iii ) Factor de fricción Suponiendo flujo turbulento, con la Ec. 13.34 de Cole-brook y White (1938-1939)

2

2698,0523,2log2

DfRef

DD

(ii)

2

6E5,12698,03E1,6

523,2log2

DfDf

DD

2

7E05,44E10,4log2

DfDf

DD

iv ) Pérdidas de energía, por fricción

2

2

vDLfH Df


Av

WHzgzgvvPPf

12

21

22

1

1

2

2

22


21


52

22 82 D

VLfvDLfP D

D

f

D

HVLfD

2

25 8

(iii)


22

235

m/s 80665,9m 30/sm 3E75,1m 3058

DfD

2,00762,0 DfD Se itera con el factor de fricción de Darcy por ser más estable (matemáticamente) que el diámetro. 01,0Df 2,001,00762,0 D m 030,0D Mejorando el valor

2

m 030,07E05,4

01,0m 030,04E10,4log2

Df

0168,0Df Segunda iteración m 0337,00168,00762,0 2,0 D

2

m 0337,0705,4

0168,0m 0337,04E10,4log2

EfD

0162,0Df m 0334,00162,00762,0 2,0 D El diámetro nominal, que es igual al externo, es 84,1m 0376,0m 00211,02m 0334,0 D BWG14 "1 2

1D 13.9


Swamee y Jain (1976) reunieron este procedimiento (algoritmo), con la ecuación de Churchill (1973) - no usa la de Colebrook y White -, para calcular el factor de fricción de fD, y los pasos i y iii, en una sola fórmula (sólo se aplica para un tramo de conducto, con pérdidas menores despreciables o usando la Le respectiva)

04,075,42

25,1

2,5

4,966,0

ff hgLQ

hgLQD


3

32,5

2

4,93

kg/m 800/sm 4E90,2

m 03m/s 8079m 305/sm 3E75,166,0

,D

04,075,4

2

2325,1

m 03m/s 8079m 305/sm 3E75,1m 6E5,1

,

m 0339,0D Ejemplo 13.10 Trasiego de un fluido Se trasladan 15 L/s de ácido acético desde un tanque, de 2 m diámetro por 1,5 m de altura, abierto a la atmósfera, hasta otro cuya entrada está 3 m arriba de la base del recipiente y a una presión de 20 kPaman. El ambiente se mantiene a una presión de 90 kPa y su temperatura varía entre 20 y 26 C. El nivel del líquido en el depósito se mantiene en 1,1 0,1 m, (desde la base). El fluido lo impulsa una bomba centrífuga de 6 kW con una eficiencia de 68%. La tubería es de acero revestido con fibra de vidrio ( 0,06 mm) con un diámetro interno de 75 mm y 42 m de largo. El sistema tiene una válvula de compuerta, una T de paso, tres uniones, tres codos y una válvula de globo. Evalúe la cabeza total y la presión del fluido a la salida.


Respuesta 13.10 Esquema del sistema

Datos conocidos: : densidad del ácido acético 20 C 1060 kg/m3 : viscosidad del ácido acético 20 C 2,5 mPa s V : flujo volumétrico 0,015 m3/s L : longitud del conducto 42 m D : diámetro del conducto 0,075 m : asperezas para el conducto 0,06 mm z1 : nivel de entrada 1 1,0 m P1 : presión a la entrada 1 90 kPa z2 : nivel de salida 2 3,0 m P2 : presión a la salida 2 110 kPa i ) Velocidad

22 4

4 DVDvV

m/s 4,3

m 075,0/sm 015,042

3

v


vDRe

53

1008,1 kg/m 3E5,2

kg/m 1060m/s 4,3m 075,0

Re

P1 T1 v1 z1 1

P2 T2 v2 z2

2


iii ) Factores de fricción y otras pérdidas de energía

29,0

7,37ln8686,0

DRefD


Salida expansión súbita 00 DD 1fK

Válvula de compuerta abierta 2,0fK

Válvula de globo ½ abierta 5,9fK

Te paso en línea 9,0fK Codos 90º estándar 8,03 fK

Uniones 04,03 fK

6,14 fK Las pérdidas en la entrada, en la salida, por las partes del equipo, etc., en la bomba, se consideran en su eficiencia

68,0 iv ) Pérdidas de energía, por fricción y “menores”

22

22

vKv

DLfH fDf

29,0

m 075,07,3m 5E6

5E08,17ln8686,0

Df

021,0Df

2

22vK

DLfH fDf

2m/s 4,36,14

m 075,0m 42021,0

2

fH

2222 /sm 153/sm 78,56,148,11 fH



Av

WHzgzgvvPPf

12

21

22

1

1

2

2

22

vi ) Cabeza total

Curva de demanda del sistema, altura, carga o carga hidráulica o piezométrica

)(2 12

21

2212 zz

gvv

gPP

gHh PS

PS

2

21

AVK

DLf

g fD


23

2

sm8067,9

mkg 1060Pa 3E90110

m 80665,9s

PSh

15,1sm153

sm

2"0"4,3m 13 2

2

2

222

15,1m/s 80665,9

/sm1538,56,199,182

22PSh

La cabeza total o piezométrica es m 23PSh 13.10 NOTA: La potencia requerida es

233

m/s 80665,9m 2386,0

kg/m015,0kg/m1060

PShgVW

kW 2,4W vii) Presión del fluido a la salida

2 22 1

2 2 12 2dynv vWP P P

V

2 1 fg z z H



2

22

332 sm

2"0"

mkg1060kPa 90

sm 015,0kW 668,0

dynP

m kg/s 1000

kPa 1sm153m 13

sm8067,9 22

2

2

La presión de salida es kPa 1802 dynP 13.10

Nota: la presión de salida es diferente y mayor que la externa y contraria.

NOTA: La presión estática, a la salida es 22

22 2 3 2

3, 4m/skg 1 kPa180 kPa 10602 m 2 1000 kg/s msta dyn

vP P

kPa 1732 staP Ejemplo 13.11 Tubería de condensador a caldera De un condensador, que trabaja a 60 C, se traslada el agua por medio de una bomba centrífuga, hasta una caldera que opera a 0,20 MPa y que su entrada está a 2,3 m más arriba de la salida del condensador. La bomba recibe el agua (líquido saturado) por un tubo de acero inoxidable 304 # 1 céd 80 de 3 m de largo y lo impulsa por un tramo de tubo # 2½ céd 160 de 8 m, con un codo, una T usada como codo (purga) y otra T de paso (donde se coloca una válvula de seguridad o alivio) y una válvula de paso. Para el sistema mencionado calcule la potencia, de la bomba, requerida para un gasto 5 L/s y una eficiencia, de la misma, de 70%. Datos conocidos:


: densidad del agua, 60 C 983,2 kg/m3 : viscosidad 0,47 g/m s PA

sat: presión de saturación del agua, 60 C 19,94 kPa V : flujo volumétrico 0,005 m3/s : aspereza para el material del conducto 0,01 mm

Conducto de acopio, 1 L1 : longitud del conducto 1 3 m D1 : diámetro del conducto 1 1 Céd. 80 0,0243m z1 : nivel de entrada 1 0,0 m P1 : presión a la entrada 1 19,94 kPa

Conducto de servicio, 2 L2 : longitud del conducto 2 8 m D2 : diámetro del conducto 2 2½ Céd. 160 0,0540 m z2 : nivel de salida 2 2,3 m P2 : presión a la salida 2 200 kPa Respuesta 13.11 Esquema del volumen de control

i ) Velocidad Balance de masa 2221110 AvAv VAvAv 2211

V

P1 T1 v1 z1

P2 T2 v2 z2

Condensador

Caldera


Con lo que

m/s 8,10m 0243,0

/sm 3E5442

3

21

1

D

Vv

m/s 18,2m 0540,0

/sm 3E5442

3

22

2

D

Vv


vDRe

53

3

1 1048,5s kg/m 4E7,4

kg/m 983,2m/s 8,10m 0243,0

Re

53

3

2 1047,2s kg/m 4E7,4

kg/m 983,2m/s 18,2m 0540.0

Re

iii ) Factores de fricción

29,0

7,37ln8686,0

DRefD



Te paso en línea 9,0fK

Te entrada lateral 0,1fK

Codo de 90º estándar 8,0fK

Salida Expansión súbita 00 DD 0,1fK

7,01 fK ; 7,32 fK Las pérdidas en la entrada, la salida las partes, etc., de la bomba, se consideran en su eficiencia 70,0 iv ) Pérdidas de energía, por fricción y “menores”

22

22

vKv

DLfH fDf


29,0

1 m 0243,07,3m 5E0,1

5E48,57ln8686,0

Df

0171,01 Df

29,0

2 m 0540,07,3m 5E0,1

5E26,27ln8686,0

Df

0166,02 Df v ) Balance de energía mecánica

Av

WHzgzgvvPPf

12

21

22

1

1

2

2

22


2

21

22

1212 vvzzgPPVW

22

22

22

22

21

11

11

vKDLfvK

DLf fDfD


32

3

3 /sm kg 1000kW 1

70,01

sm3E5

mkg983,2W

Pa 3E94,19200

kgm

983,21 3

2

222

2 sm

28,1018,2m 03,2

sm8067,9

2

22

sm

28,107,0

m 0243,0m 30171,0

15,1

sm

218,27,3

0540,0m 80166,0 2

22


2

2

mskW 3E8,08W

kW 2,65sm7,145,1637,556,221,183 2

2

La potencia es kW 3W (4 H.P.) 13.11 Ejemplo 13.12 Bombeo Una bomba toma agua, a razón de 13 L/s, desde un depósito, colocada a 5 m del depósito, por medio de un conducto No. 6 Ced. 40, cuyo extremo de succión se encuentra por debajo de la superficie (nivel) del agua, en el depósito, tiene un codo y una válvula de compuerta. La bomba descarga el líquido por un conducto que desemboca 2,0 m arriba del nivel del agua en un evaporador, contra una presión de 60 kPavac. La tubería de salida es No. 3 Ced. 80, con dos codos y una válvula de globo. Ambas construidas con acero inoxidable 304. El medio se encuentra a la presión barométrica de 87 a 91 kPa. Y la temperatura entre 20 y 26 C. Considere que la eficiencia de la bomba es 75 %. Calcule la altura sobre el nivel del líquido, que debe tener la bomba, para que en su entrada se presente cavitación incipiente. Para 7 m de altura, (de la bomba sobre el nivel del líquido) determine la potencia de la bomba. Datos conocidos:

Se considera crítica la mayor temperatura, pues el fluido posee un mayor valor de la presión de saturación y menor valor de la viscosidad, produciendo menor caída de presión.

T1 : temperatura 26 C

Se considera ligeramente mayor, un 15 % de la presión de saturación, del amoníaco, como capaz de producir cavi-tación incipiente.


V : flujo volumétrico, gasto o carga 0,013 m3/s : densidad del agua 996,8 kg/m3 : viscosidad del agua 0,873 g/m s : asperezas del material de los conductos 0,01 mm Respuesta 13.12 Diagrama del volumen de control

A la entrada (0) de la bomba: D0 : diámetro, 6 Ced. 40, 0,1541 m v0 : velocidad del fluido en el conducto de entrada z0 : nivel de la bomba h m L0 : longitud del conducto, del depósito a la bomba, 5 + h m P0 : presión a la entrada de la bomba 1,15Psat 3,87 kPa Referencia:Cavitación, carga positiva neta de succión, NSPH. En el nivel (1) del depósito: D1 : diámetro grande “ ” v1 : velocidad del fluido z1 : nivel del fluido (referencia) 0 P1 : presión PAtm 87 kPa

v2 P2 z2

v1 P1 z1

z2 - z1v0 P0 z0

h


A la salida (2) del conducto: D2 : diámetro, 3 Ced. 80, 0,0737 m v2 : velocidad del fluido z2 : nivel del fluido al salir 2 m L2 : longitud del conducto 2 m P2 : presión (87 60) kPa 27 kPa

Primera parte, evaluación de la altura de la bomba, h i ) Velocidad Balance de masa 0001110 AvAv VAvAv 0011 Con lo que

042

11

DVv

m/s 70,0m 1541,0

/sm 013,0442

3

20

0

D

Vv


vDRe

53

3

0 1023,1s kg/m 4E73,8

kg/m 996,8m/s 70,0m 1541,0

Re

iii ) Factores de fricción

29,0

7,37ln8686,0

DRefD




Codo de 90º estándar 8,0fK

5,10 fK iv ) Pérdidas de energía, por fricción y “menores”

22

22

vKv

DLfH fDf

29,0

0 m 1541,07,3m 5E0,1

5E23,17ln8686,0

Df

0176,00 Df v ) Balance de energía mecánica

Av

WHzgzgvvPPf

12

21

22

1

1

2

2

22


22

020

00

00

21

20

1010 vK

DLfvvzzgPP

fD


m 0sm8067,9

kg/m 996,8Pa 3E8787,30 23 h

2

22

2

222

sm

27,05,1

m 1541,0m 50176,0

sm

2"0"70,0

h

083,9368,0140,0245,0397,83 h m 8,4h 13.12


Segunda parte, potencia de la bomba, para una altura de 7 m.

i ) Velocidad Balance de masa 2221110 AvAv VAvAv 2211 Con lo que

042

11

DVv

m/s 05,3m 0737,0

/sm 013,0442

3

22

2

D

Vv


vDRe

53

3

2 1056,2s kg/m 4E73,8

kg/m 996,8m/s 05,3m 0737,0

Re

iii ) Factores de fricción Válvula de globo ½ abierta 5,9fK

Salida expansión súbita 00 DD 0,1fK

Dos codos de 90º estándar 8,0fK

Sea 1,122 fK iv ) Pérdidas de energía, por fricción y “menores”

29,0

2 m 0737,07,3m 5E0,1

5E56,27ln8686,0

Df

0161,02 Df



Av

WHzgzgvvPPf

12

21

22

1

1

2

2

22


2

21

22

1212 vvzzgPPVW

22

22

22

22

20

00

00

vKDLfvK

DLf fDfD


3

3

3 kg/m 996,8Pa 3E8727

75,01

sm013,0

mkg996,8W

2

222

2 sm

2"0"05,3m 072

sm8067,9

2

22

sm

270,05,1

m 1541,0m 750176,0

2

22

sm

205,31,12

0737,0m 20161,0

32/sm kg 1000kW 115,1

2

2

mskW 3E8,91W

2

2

sm2,587,06,43,882,60

kW 1,82W La potencia es kW 2W (2½ H.P.) 13.12


Ejemplo 13.13 Flujo de calor en régimen laminar Una solución de azúcar y otros compuestos, con 20° Brix, se calienta de 10 C a 40 C. El sistema lo forma un conjunto de conductos de acero inoxidable 304 de dos pulgadas cédula cuarenta, con un flujo de 30 mL/s, cada uno. El calentamiento es con vapor de agua, de tal forma que su pared se encuentra a 100 C. Evalúe la longitud de cada conducto y la caída de presión. Datos conocidos: : densidad cuadro : viscosidad cuadro CP: capacidad calorífica cuadro k: conductividad térmica cuadro V : flujo volumétrico 310-5 m3/s D: diámetro del conducto 0,0525 m L: longitud del conducto ¿? : aspereza para el conducto 0,01 mm h: coeficiente de película ¿? TW: temperatura de la pared 100 C T0: temperatura a la entrada 10 C TL: temperatura a la salida 40 C

T C 10 40 °Brix 20 20 kg/m3 1169 1097 mPa s 2,665 1,199CP kJ/kg K 4,13 4,32k W/m K 0,52 0,59

Respuesta 13.13 Consideraciones, las del modelo de transferencia de

calor en conductos.


Balance de energía térmica, (Ec. 13.4)

DL

PrReNu

DL

vch

TTTT

Ps

Ls

0

ln41

Resolviendo, con las propiedades a la temperatura loga-rítmica media entre los extremos del conducto.

25CK 9,297

15,2731015,27340ln

1040ln 0

0

TTTTT

L

LLM

T C 25 °Brix 20 kg/m3 1134

(*) kg/m s 1,74710-3

CP J/kg K 4,22103

k W/m K 0,55(*) Interpolación ln con 1/T(en K)

i ) Velocidad

23

21 m 0525,0

/sm 5E344

DVvv


DVvDRe4

3 34 3E 5 m /s 1134 kg/m

0,0525 m 1,747 E 3 kg/m sRe

472Re Flujo laminar iii ) Coeficiente de transferencia de calor o de película

14,031

86,1

WLDPrReNu


(**) No se conoce la viscosidad de la solución a la temperatura de la pared, pero se considera que es mejor aproximación usar, para esta corrección, los valores correspondientes al agua pura que extrapolar con los valores dados de la solución.

19,2822,0893,086,1

14,0

K kW/m ,550

s kg/m 3E764,1K J/kg 3E22,4

kC

Pr P

4,13Pr iv ) Conclusión

DL

PrReLDPrRe

TTTT

W

LW

31

0

19,24ln

320

74,8ln

LDPrRe

TTTT

W

LW

Despejando para L,

23

0

ln74,81

TTTTDPrReL

W

LW

Con los valores

3 2

1 100 40472 13, 4 0,0525 m ln8,74 100 10

L

El largo de cada tubo es m 3 2

1L 13.13 El flujo de calor intercambiado, de la Termodinámica: LP TTVcQ 0


W1000

kW 1C 4010s

m 5E3 K kg

J3E22,4mkg1341

3

3 Q

El flujo de calor transferido por cada tubo es kW 3,4Q 13.13 Caída de presión

2

221

v

DLfHPPP

Df

14,0

64

WD Re

f

DL

RevP

W

14,02 642

2 0,14

3

0,014 m/skg 64 0,893 3,5 m1134m 2 472 0,822 0,0525 m

P

La caída de presión en cada tubo es Pa 2,1 P 13.13 Que representa una necesidad de energía mecánica de VPW

WμW 6E1

sm 5E3Pa 2,1

3

W μW 36W


Ejemplo 13.14 Analogía de los procesos de transfe-rencia

Por una tubería 1 BWG 12 de 1,5 m de largo, fluye agua con una rapidez de 1 kg/s. La temperatura a la entrada, para el fluido, es de 20 C y la temperatura de la pared, del conducto, se considera aproximadamente constante en 50 C. Si se conoce que la caída de pre-sión, entre los puntos de entrada y salida es de 7,0 kPa, estime la temperatura de salida (del agua). Datos conocidos: : densidad del agua Ref. : viscosidad constante Ref. CP: capacidad calorífica Ref. k: conductividad térmica Ref. m : flujo másico 1 kg/s L1: longitud del conducto 1,5 m D1: diámetro interno del conducto 1 BWG 12 0,0199 m : valor de las asperezas h: coeficiente de película ¿? TW: temperatura de la pared 50 C T0: temperatura a la entrada 20 C TL: temperatura a la salida ¿? P: caída de presión en el conducto 7 kPa Respuesta 13.14 Consideraciones, - Las del modelo de transferencia de calor en conductos - Se desprecia la variación de la temperatura a lo largo

del conducto interno (de bronce) - Se cumple la analogía de Chilton Colburn.



DL

PrReNu

DL

vch

TTTT

Ps

Ls

0

ln41

Resolviendo, con las propiedades a la temperatura logarítmica media del conducto

0

0

ln TTTT

TL

LLM

Como primera iteración se toma la temperatura a la salida como

C 30LT

C 25K 1,298

15,2732015,27330ln

2030

LMT

T C 25 kg/m3 997,04 kg/m s 0,89310-3

CP J/kg K 4,1796103

k W/m K 0,610Pr 6,12

i ) Velocidad

24

Dm

Amvv

m/s 2,3

m 0199,0kg/m 04,997kg/s 14

23

v


DmvDRe4

s kg/m 3E893,0m 0199,0

kg/s 14

Re

4102,7 Re Flujo turbulento


iii ) Coeficiente de transferencia de calor o de película

Por el principio de analogía entre los procesos de transferencia, ya que se conoce la caída de presión

318 PrReNufD

Caída de presión, con el balance de energía mecánica.

2

221

v

DLfHPPP

Df

31248 PrReNu

LD

vPfD

3124

PrReLD

vPNu

iv ) Conclusión, de la Ec. 13.4,

DL

LD

vP

PrRePrRe

TTTT

W

LW2

31

0 44ln

3220

lnPrv

PTTTT

W

LW

Despejando para TL,

3220 exp

PrvPTTTT WWL

Con los valores

3223 12,6m/s 2,3kg/m 04,997

Pa 3E7exp2050C 50LT

C 5,25LT “Refinando” el resultado


C 7,22K 9,29515,2732015,2735,25ln205,25

1

LMT

T C 22,7 kg/m3 997,57

(*) kg/m s 0,94710-3

CP J/kg K 4,1806103

k W/m K 0,606Pr 6,51

(*) Interpolación ln con 1/T Velocidad

232 m 0199,0kg/m 62,997kg/s 144

D

mvv

m/s 2,3v Valorando TL,

3223 51,6m/s 2,3kg/m 57,997

Pa 3E7exp2050C 50LT

La temperatura de salida del agua de enfriamiento es C 25LT 13.14 La transferencia de calor en el sistema, de la Termo-dinámica LPLP TTcmTTVcQ 00

W0001

kW 1C 2025K kg

J3E18,4s

kg1 Q

El flujo de calor transferido por cada tubo es kW 21Q 13.14


Ejemplo 13.15 Diámetro equivalente Un flujo de 2 L/s de agua para enfriamiento a 20 C, corre por el espacio anular entre dos tubos concéntricos, Intercambiador tubo-tubo. El conducto interno es de bronce 1 BWG 14 y el externo de PVC 3 Céd 40 y tienen 1,0 m de largo. La temperatura de la pared del tubo interno se mantiene en 150 C, constante aproxima-damente. Calcule la transferencia de calor al agua de enfriamiento. Datos conocidos: : densidad Ref. : viscosidad Ref. CP: capacidad calorífica Ref. k: conductividad térmica Ref. V : flujo volumétrico 0,002 m3/s L1: longitud de cada conducto 1 m D1: diámetro externo del conducto interno, de bronce 1 BWG 14 0,0254m D2: diámetro interno del conducto externo, de PVC 3 Céd 40 0,0779 m : valor de las asperezas para tubo liso 0,0015 mm h: coeficiente de película ¿? TW: temperatura de la pared 150 C T0: temperatura a la entrada 20 C TL: temperatura a la salida ¿? Respuesta 13.15 Consideraciones, - Las del modelo de transferencia de calor en conductos - Se desprecia la variación de la temperatura a lo largo

del conducto interno (de bronce) - Se desprecian las pérdidas del calor al medio (a través

de conducto externo)


- Se supone flujo turbulento y se puede usar el diámetro equivalente

- Volumen de control: el flujo de agua dentro del conducto anular.

Esquema del volumen de control


DL

PrReNu

DL

vch

TTTT

Ps

Ls

0

ln41

Resolviendo, en términos del diámetro equivalente

12

12

21

224

4

dd4 DD

DD

DD

λSADe

m 0254,00779,0 De m 0525,0De Las propiedades a la temperatura logarítmica media, entre la entrada y la salida del conducto

0

0

ln TTTT

TL

LLM

Flujo agua de enfriamiento, conducto externo

V

D1 D2


Como primera iteración se toma la temperatura a la salida

C 30LT

C 25K 1,298

15,2732015,27330ln

2030

LMT

T C 25 kg/m3 997,04 kg/m s 0,89310-3

CP J/kg K 4,1796103

k W/m K 0,610Pr 6,12

i ) Velocidad

22

3

21

22 m 0254,0m 0779,0

/sm 002,044

DD

Vvv


vDeRe

s kg/m 3E893,0

kg/m 04,997/sm ,470m 0525,0 33

Re

41075,2 Re Flujo turbulento iii ) Coeficiente de transferencia de calor o de película

41

5254023,0

WPrPrPrReNu

iv ) Conclusión.

415254

0

023,04ln

WW

LW

PrPr

DL

PrRePrRe

TTTT


41

6,02,00

092,0ln

WW

LW

PrPr

DL

PrReTTTT

Despejando para TL,

41

6,02,00092,0exp

WWWL Pr

PrDL

PrReTTTT

Con los valores

6,02,0 12,64E75,2

092,0exp20150C 150LT

41

16,112,6

m 0525,0m 1

C 3489,0130150 LT “Refinando” el resultado

C 0,27K 2,300

15,2732015,27334ln

2034

LMT

T C 27 kg/m3 996,49

(*) kg/m s 0,85410-3

CP J/kg K 4,1792103

k W/m K 0,613Pr 5,83

(*) Interpolación ln con 1/T Número de Reynolds

s kg/m 3E854,0

kg/m 49,996/sm ,470m 0525,0 33

Re

41087,2 Re Flujo turbulento


Valorando TL,

6,02,0 83,54E87,2

092,0exp20150C 150LT

41

16,183,5

m 0525,0m 1

La temperatura de salida del agua de enfriamiento es C 34LT 13.15 La transferencia de calor en el sistema, de la Termo-dinámica es: LP TTVcQ 0

W6E1

MW 1C 2034s

m 3E2 K kg

J3E18,4mkg49,996

3

3 Q

El flujo de calor transferido es MW 12,0Q 13.15 Ejemplo 13.16 Conducto aislado Una corriente de vapor de agua a 700 K y 3 MPa fluye dentro de un conducto de acero, horizontal 8 Céd 140, con un caudal de 5 t/h. El sistema se recubre, con un aislante, de conductividad térmica de 0,10 W/m K y se encuentra en un ambiente a 300 K. Estime el valor del espesor, necesario, del aislante, para que la temperatura de su cara externa, no sea mayor de 400 K. Datos conocidos: m : flujo másico 5 t/h D0: diámetro interno del conducto 8 BWG 140 0,1778 m


Vapor de agua, sobre calentando (Perry), en el conducto a 3 MPa

Ta: temperatura 700 K : densidad 9,63 kg/m3 : viscosidad 2,6010-5 kg/m s CP: capacidad calorífica 2,26103 J/kg K k: conductividad térmica 0,061 W/m K Pr: número de Prandtl 0,96

Metal, del conducto k0: conductividad térmica 40 W/m K : valor de las asperezas 0,046 mm D1: diámetro externo del conducto 8 BWG 140 0,2191 m

Aislante, para el conducto k1: conductividad térmica 0,10 W/m K D2: diámetro externo del aislante ¿?

Aire, que rodea el aislante TAM: temperatura media

K 3502

300400

AMT

g22: 6,482107 1/m3 K Pr: número de Prandtl 0,6972 Tf: temperatura 300 K Respuesta 13.16 Esquema del volumen de control

D1 D0D2 Ta

Tf


Consideraciones, - Las de los modelos de transferencia de calor en

conductos y en paredes, despreciando el efecto de la radiación.

i ) Velocidad del vapor

24

Dm

Amvv

m/s 8,5m 1778,0kg/m 63,9

s h/3600 1 tkg/1 1000 t/h5423

v


DmvDRe4

5108,3s kg/m 5E60,2m 1778,0s h/3600 1 tkg/1 1000 t/h54

Re

Flujo turbulento iii ) Coeficiente de transferencia de calor o de pelícu-

la, para el vapor

41

3154023,0

WPrPrPrRe

kDhNu

m 17780

K W/m061,0196,05E8,3023,0 14,03154

,ha

K W/m228 2ah iv ) Coeficiente de transferencia de calor o de

película, para el aire, en reposo

PrTTDgPrGr fW 32

2

Considerando, como primer intento, un espesor del aislante de 0,1 m. m 0,42m 1,022191,02 D


6972,0K 30040042,0K m

17E482,6 33 PrGr

8103,3 PrGr

4141

2 42,030040032,132,1

DTT

h fWf

K W/m2,5 2fh Transferencia de calor K 4002 TTW

W1000

kW 1K 300400K W/m2,5 2 fWf TThq

2kW/m 52,0q Espesor del aislante, con el balance de energía en el sistema, Sec.6.2.2

2

12

1

01

0

2

2ln

2ln1

kDD

kDD

Dh

TTLQ

a

a

1

2

2

0

0

1

1

0

2

ln2

ln2

1DD

kD

DD

kD

h

TTq

a

a

Resolviendo para el diámetro externo del aislante, D2.

0

1

1

02

0

2

1

2 ln2

12lnDD

kD

hqTT

Dk

DD

a

a

2

2

W/m520K 400700

m 1778,0K W/m1,02

m 2191,0ln D

m 1778,0m 2191,0ln

K W/m402m 1778,0

K W/m2821

2

m 4177,02 D El espesor es mm 99


“Refinando” el resultado

K W/m19,54177,0

30040032,1 241

fh

Transferencia de calor W/m519K 300400K W/m19,5 2 q Espesor del aislante

2

2

W/m519K 400700

m 1778,0K W/m1,02

m 2191,0ln D

m 1778,0m 2191,0ln

K W/m402m 1778,0

K W/m2821

2

m 4174,02 D El espesor de la capa aislante es m 1,0 13.16 Ejemplo 13.17 Transferencia de masa en la corriente de

aire, en una columna de pared húmeda Por una columna de pared húmeda de 508 mm de diámetro interno, fluye una mezcla de aire y anhídrido carbónico a razón de 1 m/s, junto a una corriente de agua (que se desliza sobre la pared del conducto). La columna opera a 10 atm y 25 C, En un punto dado del tubo, se tiene una concentración de 0,1 fracción mol de dióxido de carbono en el flujo gaseoso. En ese mismo punto, en la interfase, en el líquido, se tiene una fracción mol del anhídrido de 0,005, que corresponde a una presión parcial de 0,83 MPa, al equilibrio, de dicha sustancia en el aire. Calcule el flujo, local (en ese punto) de la masa del anhídrido carbónico.


Respuesta 13.17 Nomenclatura A = CO2 B = aire Consideraciones, las del modelo de transferencia de

masa en conductos y se usan las propiedades de la mezcla gaseosa, como las ponderadas con los valo-res correspondientes a las sustancias puras.

Datos conocidos, interpolando (Welty, Perry) para una composición promedio T : temperatura 298 K P : presión 10 atm 1,01 MPa v : velocidad 1 m/s D : diámetro del conducto 0,508 m PA

* : presión parcial del CO2 en equilibrio con la fase líquida 0,83 MPa yAG : composición del CO2 en el seno de la corriente 0,1 f.m. *

AAi PP

82,0Pa 5E01325,1atm 10

Pa 5E3,8*

PP

PPy AAi

Ai

46,02

82,010,02

AiAGAM

yyy Densidad

atm 1atm 10kg/m 54,01842,146,0786,1 3

: densidad a 10 atm 14,6 kg/m3 Viscosidad s mg/m 54,038,1846,0896,14 : viscosidad 16,8 mg/m s DABP: ifusividad CO2 en el aire 1,57 Pa m2/s


Balance de masa local, AGAiyA yykN i ) Velocidad m/s 1 vv ii ) Número de Reynolds

vDRe

53

103,4s kg/m 5E68,1kg/m 6,14m/s 1m 508,0

Re

Flujo turbulento iii ) Número de Schmidt.

ABD

Sc

74,0/sm Pa 57,1kg/m 6,14Pa 6E01,1s kg/m 5E68,1

23

Sc

iv ) Coeficiente de transferencia de masa

P

TRD

DkD

DkScReSh

AB

y

AB

C

3183,0023,0

3183,0 74,05E3,4023,0yk

Pa 6E01,1K 298K J/mol 51314,8m 5080

Pa 6E01,1/sm Pa 57,1 2

,

s mol/m 2,1 2yk El flujo de masa de CO2 local entre el agua y el aire AGAiyA yykN

1,082,0s m

mol 2,1 2 AN


El flujo de masa de anhídrido carbónico transferido en ese punto (local) entre la solución acuosa y la gaseosa, es s mol/m 9,0 2AN 13.17 Ejemplo 13.18 Coeficiente local de transferencia de

masa Una tubería de 4 Céd 40 de diámetro, que se ha lavado, se seca mediante una corriente de aire. La tubería es de acero comercial muy usado. El flujo de aire es de 0,10 m3/s. En un punto dado la temperatura es de 20 C, la presión de 1,5 atm y la humedad es de 10% de la saturación. Considerando que la película en la pared es agua pura, calcule la transferencia local de la masa del agua al aire. Desprecie el efecto de la evaporación en la temperatura del sistema. Datos conocidos, interpolando: T : temperatura 293 K P : presión 1,5 atm 152 kPa : densidad del aire 1,5 atm 1,807 kg/m3

1,205 kg/m3 a 1 atm - Interpolación gas perfecto o ideal : viscosidad del aire 18,13 mg/m s DABP: difusividad del agua en el aire

T DABP K Pa m2/s

273 2,229 Perry 298 2,634 Welty 293 2,55

PA0 : presión de vapor o de saturación

del agua 2,339 kPa V : flujo volumétrico 0,1 m3/s D : diámetro del conducto 0,1023 m yAi : composición en la interfase ¿? yAG : composición en la corriente ¿?



masa en conductos y se usan las propiedades del aire, seco, como si fuesen las de la mezcla aire agua.

Balance de masa local, AGAiyA yykN i ) Velocidad

m/s 12m 1023,0/sm 1,044

2

3

21

D

Vvv


DVvDRe4

3 3

54 0,1 m /s 1,807 kg/m 1, 24 100,1023 m 1,813E 5 kg/m s

Re

Flujo turbulento iii ) Número de Schmidt.

60,0/sm Pa 55,2kg/m 807,1Pa 3E152s kg/m 5E813,1

23

ABDSc

iv ) Coeficiente de transferencia de masa 3183,0023,0 ScReSh

P

TRD

DkD

DkShAB

y

AB

C

0,83 1 3 20,023 1, 24 E 5 0,60 2,55 Pa m /s

0 1023 m 8,31451 J/mol K 293 Kyk,

s mol/m 3,3 2yk


El flujo de masa local entre el agua y el aire La composición del agua en la interfase, en la fase gaseosa, por ser agua “pura”, en la fase líquida, se considera la saturación, por las leyes de Roult y Dalton

0

* AAi

Py yP

f.m. 0154,0kPa 152kPa ,3392

Aiy

Composición del agua en el seno del aire, 10 % saturado

PPy A

AG

0

1,0

f.m. 00154,0kPa 152kPa ,33921,0 AGy

El flujo de masa de agua transferido al aire, es AGAiyA yykN

mol mmol 1E30015,00154,0

s mmol 3,3 2 AN

El flujo de masa de agua transferido en ese punto (local) es s mmol/m 46 2AN 13.18


Ejemplo 13.19 Tubo de diálisis Se propone separar etanol de una solución acuosa con proteínas. Para lo cual, se introduce la mezcla dentro de un conducto al que atraviesa. El tubo es de material semipermeable ( 0,1 mm) de 20 mm de diámetro externo, 1,55 mm de espesor y 0,5 m de largo. Dentro del cual, se hace pasar agua, que entra pura, a razón de 30 L/h. Si se considera que la concentración en la pared interna del tubo, es de 30 % (en peso) de etanol y se mantiene constante, aproximadamente, a lo largo del mismo, estime la concentración a la salida del conducto. Datos conocidos, a 25 C: T : temperatura 298 K : densidad del agua 997 kg/m3 : viscosidad del agua 0,893 g/m s Pr : No. de Prandtl del agua 6,12 V : flujo volumétrico 0,03 m3/h L : longitud del conducto 0,5 m D1 : diámetro del interno del conducto 0,0169 m : valor de las asperezas 0,1 mm ky : coeficiente de transferencia de masa del etanol ¿? xW : concentración del etanol en la pared 30 % p.p. x0 : concentración del etanol a la entrada 0 xL : concentración del etanol a la salida ¿?

14,0015,187,0069,463,0

069,463,0

Wx

Difusividad del etanol en agua a 25 C

x DAB

f.m. m2/s109 kg/m3

0,000 1,28 997,0 0,050 1,13 977,7 0,275 0,41 911,5 0,500 0,90 858,8 0,700 1,40 824,9 0,950 2,20 791,2



masa en conductos y se usan las propiedades del agua como si fuesen las de la mezcla alcohol agua.

Balance de masa de una sustancia, (Ec. 13.15)

DL

ScReSh

DL

vk

CCCC L

AAs

ALAs

0

ln41

Resolviendo, La concentración logarítmica media del conducto, no funciona en este caso, a pesar de que el fenómeno presenta comporta-iento logarítmico para la concentración. Como primera iteración se toma la concentración a la salida, como f.m 05,0Lx

025,02

005,0

AMx

Del cuadro

/sm 1021,1 29ABD

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0Concentración, fración mol

Difu

sivi

dad

700

800

900

1000

Den

sida

d

m2/s109 kg/m3


i ) Velocidad

24

DV

Amvv

m/s 037,0

s 3600h 1

m 0169,0/hm 03,04

2

3

v


DVvDRe4

s 3600

h 1s kg/m 4E93,8m 0169,0

kg/m 997/hm 03,04 33

Re

701Re Flujo laminar iii ) Número de Schmidt.

740/sm 9E21,1kg/m 979

s kg/m 3E893,023

ABD

Sc

iv ) Coeficiente de transferencia de masa Como no existe relación para el número de Sherwood, para flujos en régimen laminar, se emplea el principio de analogía entre los procesos de transferencia de Chilton Colburn Reynolds

31318 ScReSh

PrReNufD

Usando 3186,1 LDPrReNu Al sustituirla queda 3186,1 LDScReSh


iv ) Conclusión.

DL

LD

ScReScRe

CCCC

AAW

ALAW3131

0

86,14ln

320

44,7lnLDScReCC

CCAAW

ALAW

Despejando para xAL CALCL

32044,7exp

LDScRexxxx AAWAWAL

Con los valores

32m 5,0m 0169,0740701

44,7exp014,014,0ALx

f.m 00159,0ALx La concentración a la salida del conducto es 0,00159 f.m.ALx 13.19 “Refinando” el resultado, no afecta apreciablemente el valor de DAB La transferencia de masa de alcohol en el sistema

ALAALAA xxM

VCCVM 00

3 3m 997 kg/m0,03 0,00159 0 f.m.

h 46,069 kg/kmolAM

kmol 1

mmol 6E1s 6003

h 1

El flujo de masa del etanol es mmol/s 28,0AM 13.19

Escuela de Ingeniería Química Facultad de Ingeniería Universidad de Costa Rica



CUADROS CARACTERÍSTICAS DE LOS CUADROS - Son para apoyo didáctico y para las evaluaciones - Están incompletos (el usuario debe completarlos

para otros usos) - Las fórmulas y otros relaciones para el cálculo de

parámetros y propiedades son las que tienen apoyo teórico, no pretenden ser las más exactas (el lector puede usar otras, más “modernas”).

Gerardo Chacón Valle

2012

Fenómenos de Transporte 598 G. Chacón V.

Cuadro 1 Relaciones geométricas para cuerpos homogéneos

Prisma rectangular

Área transversal dwAx Superficie lateral hdwS yz 2

Momento de inercia (área) 3121 wdI x wdI y 3

121

Volumen hwdV Momento de inercia (masa) 22

121 dwmJ z

Cilindro

Área transversal 2

41 DAz

Superficie lateral hDS Momento de inercia (área) 4

641 DII yx

Volumen hDV 241

Momento de inercia (masa) 281 DmJ z

y

h z

D x

h

d

w z

y

x


Cilindro Hueco

Área transversal 22

41 1 DAz

Superficie lateral hDS 1 Momento de inercia (área) 44

641 1 DII yx

Volumen hDV 22

41 1

Momento de inercia (masa) 2281 1 DmJ z

Cono

Área transversal 2rAz

Superficie lateral 22 zrrS

Relación (Thales) h

Dzr

2

Momento de inercia (área) 4641 DII yx

Volumen hDV 2121

Momento de inercia (masa) 2403 DmJ z

Esfera

z0

h z

y

x D

r

zh

D D

h z

y

x


Área transversal 24 rAr Volumen 3

61 DV

Momento de inercia (masa) 2101 DmJr

Esfera hueca

Área transversal 24 rAr Volumen 33

61 1 DV

Momento de inercia (masa)

23

5

101

11 DmJ r

Concha esférica ( 1 ) 261 mDJr

x

z

y

D D

r

y

z

D x

r


Cuadro 2 Propiedades moleculares de las sustancias

(R.A. Svehla 1962)

Sustancia Fórmula M K nm

01 Helio-4 He 4,003 10,22 0,2551 02 Neón Ne 20,180 32,8 0,2820 03 Argón Ar 39,948 93,3 0,3542 04 Criptón Kr 83,800 178,9 0,3655 05 Xenón Xe 131,300 231,0 0,4047 06 Aire 28,95 78,6 0,3711

07 Oxígeno O2 31,999 106,7 0,3467 08 Nitrógeno N2 28,014 71,4 0,3798 09 Flúor F2 37,997 112,6 0.3357 10 Cloro Cl2 70,905 316,0 0,4217 11 Bromo Br2 159,808 507,9 0,4296 12 Iodo I2 253,808 474,2 0,5160

13 Hidrógeno H2 2,016 59,7 0,2827 14 Ácido cianhídrco HCN 27,026 569,1 0,3630 15 Ácido clorhídrico HCl 36,461 344,7 0,3339 16 Ácido fluorhídrico HF 20,006 330 0,3148 17 Ácido bromhídrico HBr 80,912 449 0,3353 18 Ácido yodhidrico HI 127,912 288,7 0,4211

19 Agua H2O 18,015 809,1 0,2641 20 Peróxidohidrógeno H2O2 34,01 289,3 0,4196 21 Ácido sulfhídrico H2S 34,082 301,1 0,3623 22 Amoniaco NH3 17,031 558,3 0,2900 23 Hidrazina N2H4 32,045 24 Arsina AsH3 77,93 259,8 0,4145

25 Fosfina PH3 34,00 251,5 0,3981 26 Hidruro de silicio SiH4 32,09 207,6 0,4084 27 Óxido nitroso N2O 44,013 232,4 0,3828 28 Óxido de nítrico NO 30,006 116,7 0,3492 29 Cloruro de nitrosilo NOCl 65,459 395,3 0,4112 30 Dióxidonitrógeno NO2 46,006


Cuadro 2. (Cont.) Propiedades moleculares de las sustancias Sustancia Fórmula M K nm 31 Dióxido de azufre SO2 64,065 335,4 0,4112 32 Trióxodo de azufre SO3 80,064 33 Monóxidocarbono CO 28,010 91,7 0,3690 34 Dióxido de carbono CO2 44,010 195,2 0,3941 35 Sulfurocarbonilo COS 60,070 336,0 0,4130 36 Formaldehído CH2O 30,026

37 Cloruro de boro BCl3 117.169 337,7 0,5127 38 Floruro de boro BF3 67,805 186,3 0,4198 39 Borato de metilo BC3H6O 68,89 396,7 0,5503 40 Mercurio Hg 200,590 750 0,2969 41 Bromuro mercúrico HgBr2 360,44 686,2 0,5080 42 Cloruro mercúrico HgCl2 271,52 750 0,4550

43 Yoduro mercúrico HgI2 327,53 695,6 0,5625 44 Hexafloruroazufre SF6 164,050 222,1 0,5128 45 Tetraflorur silicio SiF4 104,060 171,9 0,4880 46 Bromuro estánico SnBr4 483,306 563,7 0,6388 47 Cloruro estánico SnCl4 260,502 48 Hexaflorurouranio UF6 236,8 0,5967

49 Ácido fórmico CH2O2 46,026 50 Bromuro de metilo CH3Br 94,939 449,2 0,4118 51 Cloruro de metilo CH3Cl 50,488 350 0,4182 52 Metano CH4 16,043 148,6 0,3758 53 Metanol CH4O 32,042 481,8 0,3626 54 Tetraclorocarbono CCl4 153,822 322,7 0,5947

55 Tetrafluorcarbono CF4 88,005 134,0 0,4662 56 Fosgeno COCl2 98,916 57 Disulfurocarbono CS2 76,143 467 0,4483 58 Cloroformo CHCl3 119,377 340,2 0,5389 59 Tricloetileno C2HCl3 131,389 60 Clorurometileno CH2Cl2 84,933 356,3 0,4898


Cuadro 2. (Cont.) Propiedades moleculares de las sustancias Sustancia Fórmula M K nm 61 Cianógeno C2N2 52,036 348,6 0,4361 62 Acetileno C2H2 26,038 231,8 0,4033 63 Etileno C2H4 28,054 224,7 0,4163 64 Acetaldehído C2H4O 44,053 65 Metil formato C2H4O2 60,053 66 Ácido acético C2H4O2 60,053

67 Cloruro de etilo C2H5Cl 64,514 300 0,4898 68 Etano C2H6 30,070 215,7 0,4443 69 Etanol C2H6O 46,069 362,6 0,4530 70 Éter metílico C2H6O 46,069 395,0 0,4307 71 Etilen amina C2H7N 45,084 72 Metil acetileno C3H4 40,065 251,8 0,4761

73 Propileno C3H6 42,081 298,9 0,4678 74 Ciclopropano C3H6 42,081 248,9 0,4807 75 Acetona C3H6O 58,080 560,2 0,4600 76 Acetato de metilo C3H6O2 74,079 469,8 0,4936 77 Propano C3H8 44,097 237,1 0,5118 78 Alcohol n propílico C3H8O 60,096 576,7 0,4549

79 1-3 butadieno C4H6 54,092 80 Acetato de etilo C4H8O2 88,106 521,3 0,5205 81 n Butano C4H10 58,123 531,4 0,4687 82 Isobutano C4H10 58,123 330,1 0,5278 83 Éter etílico C4H10O 74,123 313,8 0,5678 84 Dietil amina C4H11N 73,138

85 n Pentano C5H12 72,150 341,1 0,5784 86 2-2 Dimetil propano C5H12 72,150 193,4 0,6464 87 Benceno C6H6 78,114 412,3 0,5349 88 Ciclohexano C6H12 84,161 297,1 0,6182 89 n Hexano C6H14 86,177 399,3 0,5949 90 Tolueno C7H8 92,141


Cuadro 3. Propiedades críticas de las sustancias (!)

Fórmula TC PC ZC Tb Vb K MPa K m3/kmol

01 He 5,2 0,23 0,305 -0,388 4,21 0,0685 02 Ne 44,4 2,67 0,300 -0,038 27.1 0,0168 03 Ar 150,9 4,90 0,292 0,000 87,3 0,0284 04 Kr 209,4 5,50 0,288 -0,002 119,8 0,0347 05 Xe 289,7 5,84 0,286 0,002 165,0 0,0447 06 Aire 132,5 3,79 0,318

07 O2 154,6 5,02 0,287 0,020 90,2 0,0282 08 N2 126,2 3,39 0,288 0,037 77,4 0,0347 09 F2 144,1 5,17 0,287 0,053 85,0 0,0252 10 Cl2 417,2 7,79 0,279 0,073 239,0 0,0454 11 Br2 584,2 10,28 0,286 0,128 331,9 0,0536 12 I2 819 11,7 0,266 0,229 457,5 0,0715

13 H2 33,2 1,30 0,304 -0,22 20,4 0,0286 14 HCN 456,7 5,35 0,195 0,407 298.9 15 HCl 324,7 8,36 0,253 0,134 188.1 0,0306 16 HF 461,2 6,49 0,117 0,383 292.7 17 HBr 363,2 8,46 0,280 0,069 206,1 18 HI 424,0 8,31 0,309 0,05 237,6

19 H2O 647,1 21,94 0,228 0,343 373,2 0,0188 20 H2O2 728 19,4 0,248 423,4 0,027 21 H2S 373,5 9,00 0,287 0,096 212,8 0,0329 22 NH3 405,7 11,30 0,241 0,253 239,7 0,0250 23 N2H4 653,2 14,73 0,429 0,315 386,7 24 AsH3 218

25 PH3 324 6,48 0,27 188 26 SiH4 269,7 4,86 16127 N2O 309,6 7,28 0,277 0,143 184,2 0,0364 28 NO 180,2 6,52 0,252 0,585 121,4 0,0236 29 NOCl 440 9,1 0,35 0,318 267,7 30 NO2 431,3 10,1 0,86 294,3

(!) Use el cuadro 2 para la nomenclatura de acuerdo con el número.


Cuadro 3. (Cont.) Propiedades criticas de las sustancias (!) Fórmula TC PC ZC Tb Vb K MPa K m3/kmol

31 SO2 430,8 7,86 0,269 0,244 263 0,0439 32 SO3 490,9 8,19 0,255 0,423 318 33 CO 132,9 3,49 0,300 0,048 81,7 0,0355 34 CO2 304,2 7,38 0,274 0,225 subli 35 COS 375 5,9 0,26 0,099 222,9 0,0515 36 CH2O 408 6,59 0,223 0,282 254

37 BCl3 452,0 3,87 0,150 285,7 38 BF3 260,8 4,99 0,42 173.3 39 BC3H6O 40 Hg 629,8 0,0157 41 HgBr2 595 42 HgCl2 577

43 HgI2 44 SF6 318,7 3,76 0,281 0,286 209,3 45 SiF4 271,7 5,06 46 SnBr4 47 SnCl4 591,9 3,75 48 UF6

49 CH2O2 588 5,81 0,148 0,317 373,8 50 CH3Br 467 8,00 0,321 0,192 276,7 51 CH3Cl 416,3 6,69 0,275 0,154 249,2 0,0506 52 CH4 190,6 4,59 0,286 0,011 111,7 0,0378 53 CH4O 512,6 8,14 0,224 0,566 337,8 0,0427 54 CCl4 556,4 4,54 0,270 0,191 349,7 0,10

55 CF4 227,6 3,74 0,277 0,191 145,2 0,053856 COCl2 455 5,7 0,28 0,204 280,8 0,0695 57 CS2 552 8,04 0,280 0,118 319,4 58 CHCl3 536,4 5,55 0,296 0,228 334,3 59 CH2Cl2 513 6,10 0,277 0,193 313.0 60 C2HCl3 571 4,91 0,265 0,213 360,4


Cuadro 3. (Cont.) Propiedades criticas de las sustancias (!) Fórmula TC PC ZC Tb Vb K MPa K m3/kmol 61 C2N2 400,2 5,94 0,348 0,276 252,5 62 C2H2 308,3 6,15 0,271 0,188 63 C2H4 282,3 5,03 0,283 0,086 169,4 0,0494 64 C2H4O 466 5,57 0,221 0,292 293,6 65 C2H4O2 487,2 5,98 0,255 0,254 304,9 0,0628 66 C2H4O2 592,0 5,74 0.208 0,463 391,1 0,0641

67 C2H5Cl 460,4 5,46 0,221 0,206 285,4 0,0713 68 C2H6 305,3 4,85 0,279 0,098 184,7 0,0522 69 C2H6O 513,9 6,12 0,240 0,643 351,5 70 C2H6O 400,1 5,27 0,271 0,192 248,3 0,0638 71 C2H7N 456,2 5,59 0,298 0,283 289,7 72 C3H4 402,4 5,62 0,276 0,216 250,0

73 C3H6 365,6 4,63 0,286 0,137 225,4 0,0689 74 C3H6 397,9 5,51 0,277 0,264 240,4 75 C3H6O 508,2 4,71 0,234 0,307 329,4 0,0775 76 C3H6O2 506,6 4,69 0,256 0,326 330,1 77 C3H8 369,8 4,21 0,273 0,149 231.1 0,075 78 C3H8O 536,8 5,12 0,252 0,617 370,4 0,0818

79 C4H6 425,2 4,30 0,268 0,192 268,7 0,0832 80 C4H8O2 523,3 3,85 0,254 0,363 350,3 0,106 81 C4H10 425,2 3,77 0,272 0,197 272,7 0,0967 82 C4H10 408.1 3,62 0,278 0,177 261,3 0,0979 83 C4H10O 466,7 3,64 0,264 0,281 307,7 84 C4H11N 496.6 3,67 0,268 0,300 328,6 0,109

85 C5H12 469,7 3,36 0,271 0,251 309,2 86 C5H12 433,8 3,20 0,269 0,197 282,687 C6H6 562,2 4,88 0,273 0,209 353,3 0,096 88 C6H12 553,6 4,10 0,274 0,212 353,9 0,117 89 C6H14 507,6 3,04 0,269 0,304 341,9 90 C7H8 591,8 4,10 0,262 0,262 383,8 0,118


Cuadro 4 Integral de colisión para viscosidad y difusividad, basada

en los potenciales de Lennard Jones. (Hirschfelder, Curtis & Bird, 1954)

T/ D T/ D T/ D 0,30 2,785 2,662 1,65 1,264 1,153 4,0 0,9700 0,88360,35 2,628 2,476 1,70 1,248 1,140 4,1 0,9649 0,87880,40 2,492 2,318 1,75 1,234 1,128 4,2 0,9600 0,87400,45 2,368 2,184 1,80 1,221 1,116 4,3 0,9553 0,8694

0,50 2,257 2,066 1,85 1,209 1,105 4,4 0,9507 0,86520,55 2,156 1,966 1,90 1,197 1,094 4,5 0,9464 0,86100,60 2,065 1,877 1,95 1,186 1,084 4,6 0,9422 0,85680,65 1,982 1,798 2,0 1,175 1,075 4,7 0,9382 0,8530

0,70 1,908 1,729 2,1 1,156 1,057 4,8 0,9343 0,84920,75 1,841 1,667 2,2 1,138 1,041 4,9 0,9305 0,84560,80 1,780 1,612 2,3 1,122 1,026 5 0,9269 0,84220,85 1,725 1,562 2,4 1,107 1,012 6 0,8963 0,8124

0,90 1,675 1,517 2,5 1,093 0,9996 7 0,8727 0,78960,95 1,629 1,467 2,6 1,081 0,9878 8 0,8538 0,77121,00 1,587 1,439 2,7 1,069 0,9770 9 0,8379 0,75561,05 1,549 1,406 2,8 1,058 0,9672 10 0,8242 0,7424

1,10 1,514 1,375 2,9 1,048 0,9576 20 0,7432 0,66401,15 1,482 1,346 3,0 1,039 0,9490 30 0,7005 0,62321,20 1,452 1,320 3,1 1,030 0,9406 40 0,6718 0,59601,25 1,424 1,296 3,2 1,022 0,9328 50 0,6504 0,5756

1,30 1,399 1,273 3,3 1,014 0,9256 60 0,6335 0,55961,35 1,375 1,253 3,4 1,007 0,9186 70 0,6194 0,54641,40 1,353 1,233 3,5 ,9999 0,9120 80 0,6076 0,53521,45 1,333 1,215 3,6 ,9932 0,9058 90 0,5973 0,5256

1,50 1,314 1,198 3,7 0,9870 0,8998 100 0,5882 0,51301,55 1,296 1,182 3,8 0,9811 0,8942 200 0,5320 0,46441,60 1,279 1,167 3,9 0,9755 0,8888 400 0,4811 0,4170

= T/ 1,16145 ()-0,14874 + 0,52487 exp(-0,77320 ) + 2,16178 exp(-2,43787 ) 1,604 ()-1/2 D 1,06036 ()-0,15610 + 0,19300 exp(-0,47635 ) + 1,03587 exp(-1,52996 ) + 1.76474 exp(-3,89411 )


Cuadro 5 Constantes fundamentales

Gravedad estándar g 9,806 65 m/s2 Atmósfera estándar PStd 101 325 Pa Temperatura estándar TStd 273,15 K Cte. Univ. gases R 8,314 51 kJ/kmol K Pto. triple agua Tw 273,16 K Vol. Std. del gas V Std 22,414 1 m3/kmol Dens. std. Agua 4 C Std 999,9720 kg/m3

Dens. std. Agua 60 °F Std 999,0121 kg/m3

Velocidad luz c 2,997 925 E 8 m/s No. Avogadro N 6,022 137 E 26 1/kmol Cte. Boltzmann k 1,380 66 E-23 J/K Cte. Planck h 6,626 076 E-34 J s Cte. Stefan-Boltzmann 5,6705 E-8 W/m2K4 Carga electrón e 1,602 177 E-19 A s Cte. de Faraday F 9,648 531 E 4 A s/mol

Cuadro 6 Densidad relativa o gravedad específica de fluidos

normalmente usados como líquidos manométricos a 20 C/4 C

g.e. / D.R.

Aceite azul E. V. Hill 0,797 Aceite rojo Meriam 0,927 Aceite azul Meriam, Bromoetilbenceno 1,75

Benceno 0,879 Dibultilftalato 1,04 Monocloronaftaleno 1.20

Tetracloruro de carbono 1,595 Tetrabromo metano 2,95 Mercurio 13,545 87 Mercurio 4 C 13,585 21 Mercurio 0 C 13,595 08 Mercurio 25 C 13,533 61


Cuadro 7 Propiedades de metales a 300 K

Sustancia C TMP hI Mg/m3 J/kg K mm2/s K kW/

m2 K 01 Hierro Puro 7,870 447 22,8 1810 02 Hierro Armco, forjado 7,870 447 20,7 03 Acero al carbono 1010 7,830 434 18,8 04 Acero inoxidable 18-8 8,055 480 3,88 05 Acero inoxidable 304 7,900 477 3,98 1670 1,9 06 Acero inoxidable 316 8,238 468 3,37 3,8

07 Aluminio puro 2,702 903 97,1 933 11 08 Duraluminio 2,770 875 71,8 775 09 Aluminio-195, 4,5 Cu 2,790 883 68,1 10 Silumino 1,0 Cu 2,650 867 5,93 11 Alusil Al-Si 2,627 854 7,17 12 Al-Mg-Si 2,707 892 7,31

13 Cobre puro 8,933 385 117 1358 25 14 Cobre electrolítico 8,950 385 112 15 Bronce 8,800 420 14,1 1293 16 Latón 8,530 380 34,2 118817 Plata alemana 8,618 410 32,8 18 Constantán 40 Ni 8,92 420 6,06

19 Niquel puro 8,90 444 23,0 1728 20 Inconel X-750 8,51 439 3,13 1665 21 Hasteloy B 9,24 381 3,47 22 Cuproníquel 8,80 421 5,26 23 Platino puro 21,45 133 25,1 2045 24 Platino 40 Rh 16,63 162 174 1800

25 Oro 19,30 129 127 1336 26 Plata 10,50 235 174 1235 27 Cinc 7,14 389 41,6 693 28 Estaño 7,31 227 40,1 505 29 Magnesio 1,74 1024 87,6 929 30 Plomo 11,34 129 24,1 601


Cuadro 8 Conductividad térmica de metales

T, K 200 300 400 600 800 1000 1200 Sustancia W/m K

01 Hierro Puro 83 71 66 53 42 37 35 02 Hierro Arm. 81 73 66 53 42 32 29 03 Acero C 1010 64 59 49 39 31 04 Acero in.18-8 15 17 20 23 25 05 Acero in. 304 13 15 17 20 23 25 06 Acero in. 316 13 15 18 21 24 07 Aluminio puro 237 237 240 231 218 08 Duraluminio 138 174 187 188 09 Aluminio-195 136 168 174 185 10 Silumino Cu 125 140 146 163 11 Alusil Al-Si 148 160 170 179 12 Al-Mg-Si 179 193 13 Cobre puro 413 401 393 379 366 352 339 14 Cobre electr. 15 Bronce 42 52 52 16 Latón 74 111 134 146 150 17 Plata alemana 116 135 147 18 Constantán 21 21 23 19 Niquel puro 105 91 80 66 68 72 76 20 Inconel X-750 10,3 11,7 13,5 17,0 20,5 24,0 27,6 21 Hasteloy B 9 10 11 22 Cuproníquel 23 Platino puro 73 72 72 73 76 79 83 24 Platino 40 Rh 25 Oro 323 317 311 298 284 270 255 26 Plata 420 429 425 412 396 379 361 27 Cinc 123 120 116 110 28 Estaño 73 67 62 29 Magnesio 159 156 153 149 146 30 Plomo 37 35 34 31


Cuadro 9 Conductividad térmica de materiales inorgánicos

Refractarios C k T, K 300 400 600 800 1000 1300

Mgm

kJkgK

WmK

Ladrillo diatomea Cocido a 1330 C 2,0 0,86 1,04 1,06 1,08

Ladrillo diatomea Cocido a 1450 C 2,3 1,29 1,35 1,39

Missouri 2,6 0,90 1,39 1,67Magnesita 2,53 0,98 4,0 3,03 2,15Arcilla 2,65 0,938 0,9 1,4 1,8Sílica 1,32 1,52 1,87 2,22 2,60 Materiales varios C k

T, K 300 50 100 200 300 400

Pyrex 2,64 0,84 0,38 0,57 0,88 1,1 1,6PTFE teflón 2,20 1,05 0,32 0,62 1,00 0,35 0,45Hule caucho 1,23 1,74 0,14 0,17 0,20 0,22 0,24Concreto 2,31 0,65 0,93 - 1,41 Vidrio fundido 2,22 0,745 1,38Madera 0,5 2,6 0,10 - 0,35

Aislantes C k T, K 300 250 300 350 400 450

kg/m3 Magnesia 85% 270 0,98 0,066 0,069 0,073 0,077Poliestireno 30-60 1,21 0,023 0,028 0,033Fibra de vidrio 28 0,835 0,038 0,051 0,066Fibra de vidrio 40 0,026 0,035Vidrio celular 145 0,050 0,058 0,069Corcho 160 1.68 0,043Espuma uretano (1) 70 0,026 0,035Asbestos 0,58 1,05 0,162 0,197Celulosa 0,045 1,34 0,030 (1) Espuma de poliuretano con superficie externa aluminada


Cuadro 10 Propiedades de agua líquida saturada

T CP k Pr (+) Pvap C kg/m3 kJ/kg K g/m s W/m K (1/K)103 Pa kJ/kg

0 999,8396 4,2177 1,791 0,563 13,42 -0,067 6,113 102 2501 2 999,9399 4,211 1,673 0,567 12,43 -0,033 7,056 102 2497 4 999,9720 4,205 1,568 0,571 11,55 0,002 8,131 102 2492 6 999,9399 4,200 1,473 0,575 10,76 0,032 9,349 102 2484 8 999,8477 4,196 1,387 0,579 10.05 0,060 1,0721 103 2482

10 999,6987 4,1922 1,309 0,583 9,41 0,089 1,2276 103 2478 15 999,0977 4,1858 1,141 0,592 8,07 0,151 1,7051 103 2466 20 998,2019 4,1819 1,006 0,602 6,99 0,206 2,339 103 2454 25 997,0429 4,1796 0,893 0,610 6,12 0,257 3,169 103 2442 30 995,6454 4,1785 0,800 0,618 5,41 0,303 4,246 103 2430

35 994,0296 4,1782 0,721 0,625 4,82 0,346 5,628 103 2419 40 992,2136 4,1786 0,654 0,632 4,32 0,384 7,384 103 2407 45 990,213 4,1795 0,598 0,638 3,92 0,42 9,593 103 2395 50 988,037 4,1807 0,549 0,644 3,56 0,45 1,2349 104 2382 55 985,696 4,1824 0,507 0,649 3,27 0,49 1,5758 104 2371

60 983,200 4,1844 0,470 0,655 3,00 0,52 1,9940 104 2358 70 977,771 4,1896 0,407 0,664 2,57 0,58 3,119 104 2334 80 971,799 4,1964 0,356 0,671 2,23 0,64 4,739 104 2309 90 965,321 4,2051 0,317 0,677 1,97 0,69 7,014 104 2283

100 958,365 4,2160 0,282 0,681 1,75 0,75 1,01325 105 2257

110 951,0 4,229 0,256 0,685 1,58 0,84 1,4327 105 2230 120 943,4 4,244 0,233 0,686 1,44 0,89 1,9853 105 2203 130 934,9 4,263 0,213 0,687 1,32 0,94 2,701 105 2174 140 926,2 4,285 0,195 0,687 1,22 1,00 3,613 105 2145 150 917,0 4,311 0,184 0,686 1,16 1,03 4,758 105 2114

160 907,5 4,341 0,172 0,684 1,09 1,04 6,178 105 2083 180 886,8 4,41 0,154 0,675 1,01 1,15 1,0021 106 2015 200 863,7 4,50 0,139 0,664 0,94 1,3 1,5538 106 1941 220 839 4,62 0,126 0,652 0,89 1,5 2,318 106 1858 240 812 4,76 0,116 0,63 0,88 1,7 3,344 106 1767

260 784 4,97 0,108 0,61 0,88 2,0 4,688 106 1662 280 751 5,28 0,101 0,58 0,92 2,6 6,412 106 1543 300 712 5,76 0,094 0,54 1,00 3,0 8,581 106 1405 320 667 6,58 0,084 0,51 1,08 4,2 1,1274 107 1238 340 610 8,19 0,075 0,46 1,34 5,7 1,459 107 1027

350 574 9,70 0,071 0,43 1,60 6,5 1,651 107 893 360 528 14,6 0,065 0,40 2,4 18 1,865 107 720 374,15 306,75 0,045 0,24 2,21297 107 (+) En este y los otros cuadros 10n, significa que toda la columna está multi-plicada por dicha cantidad, Ej.: para 180 C se lee = 1,1510-3 1/K


Cuadro 11 Propiedades del etilen glicol líquido saturado

T CP k Pr (+) C Mg/m3 kJ/kg K mm2/s W/m K (1/K)104

0 1,129 2,283 54,05 0,248 562 6,5

10 1,122 2,333 31,47 0,250 329 20 1,115 2,382 18,66 0,253 196 6,5 30 1,108 2,430 12,51 0,255 132 40 1,100 2,479 8,49 0,258 89,9

50 1,093 2,527 6,45 0,259 68,8 60 1,086 2,574 4,22 0,260 45,4 80 1,074 2,668 2,89 0,261 31,7

100 1,057 2,761 1,96 0,263 21,8 6,5

Cuadro 12

Propiedades del tolueno líquido saturado

T CP k Pr Pvap C kg/m3 kJ/kg K g/m s W/m K kPa kJ/kg

-20 904 1,579 1,100 0,144 12,06 0,22-10 895 1,602 0,915 0,142 10,32 0,45

0 885 1,640 0,768 0,140 9,03 0,92 427,110 876 1,659 0,669 0,137 8,09 1,66 421,220 867 1,682 0,589 0,135 7,36 2,91 415,3

30 858 1,710 0,521 0,132 6,74 4,88 409,540 848 1,74 0,468 0,130 6,30 9,04 403,650 839 1,77 0,420 0,127 5,89 16,58 397,660 829 1,81 0,381 0,125 5,53 18,47 391,670 820 1,84 0,352 0,123 5,28 27,10 385,980 810 1,88 0,322 0,120 5,06 38,75 379,8

100 790 1,97 0,270 0,115 4,64 74,03 367,2120 769 2,06 0,294 0,111 5,45 131,00 354,1140 748 2,14 0,199 0,107 3,99 216,5 339,9160 726 2,22 0,102 341,3 324,9180 702 2,29 0,098 514,5 308,9

200 676 2,36 0,093 746,9 291,6240 617 2,50 0,083 1438 253,5280 537 2556 200,6300 476 3262 154,7


Cuadro 13 Propiedades del aceite para motor SAE 50 (sin uso)

T CP k Pr(+) (+) C kg/m3 kJ/kg K mm2/s W/m K 10-3 (1/K)104

0 899,12 1,796 4280 0,147 47,1 7,0

20 888,23 1,880 900 0,145 10,4 7,0 40 876,05 1,964 240 0,144 2,87 60 864,04 2,047 83,9 0,140 1,05 80 852,02 2,131 37,5 0,138 0,49

100 840,01 2,219 20,3 0,137 0,276 120 828,96 2,307 12,4 0,135 0,175 140 816,94 2,395 8,0 0,133 0,116 160 805,89 2,483 5,6 0,132 0,084 7,0

(+) En este y los otros cuadros 10n, significa que toda la columna está multi-plicada por dicha cantidad, Ej.: para 80 C se lee Pr = 4,9102 1/K

Cuadro 14 Propiedades de la glicerina

T CP (+) k Pr (+) (+) C Mg/m3 kJ/kg K (m2/s)103 W/m K 10-3 (1/K)104

0 1,2760 2,261 8,87 0,282 90,7

10 1,2701 2,319 3,07 0,284 31,8 4,7 20 1,2626 2,389 1,18 0,285 12,5 30 1,2565 2,426 0,50 0,286 5,33 4,8 40 1,250 2,484 0,22 0,287 2,38

50 1,243 2,544 0,15 0,288 1,65 5,0 60 2,548 0,289 70 2,588 0,291 80 2,625 0,293 90 2,657 0,294

100 2,686 0,295

(+) En este y los otros cuadros 10n, significa que toda la columna está multi-plicada por dicha cantidad, Ej.: para 10 C se lee = 3,0710-3 m2/s


Cuadro 15 Propiedades del aire a baja presión

T (*) CP k Pr g 2/2 K kg/m3 kJ/kg K mg/m s mW/m K 1/(m3 K) 100 3,6010 1,0266 6,924 9,246 0,7688 2,652 1010 150 2,3675 1,0099 10,283 13,735 0,7561 3,466 109 200 1,7684 1,0061 13,289 18,09 0,7391 8,683 108 250 1,4128 1,0053 15,99 22,27 0,7219 3,062 108

273 1,2931 1,0056 17,17 24,13 0,7157 2,037 108 298 1,1842 1,0062 18,38 26,10 0,7086 1,366 108 300 1,1772 1,0063 18,46 26,24 0,7081 1,329 108 325 1,0862 1,0076 19,63 28,16 0,7022 9,244 107

350 0,9980 1,0090 20,75 30,03 0,6972 6,482 107 375 0,9412 1,0116 21,85 31,86 0,6937 4,854 107 400 0,8826 1,0140 22,86 33,65 0,6889 3,655 107 425 0,8304 1,0176 23,88 35,39 0,6866 2,791 107

450 0,7833 1,0207 24,84 37,07 0,6840 2,167 107 475 0,7429 1,0255 25,78 38,77 0,6819 1,714 107 500 0,7048 1,0295 26,71 40,38 0,6810 1,366 107 550 0,6423 1,0392 28,48 43,60 0,6788 9,069 106

600 0,5879 1,0551 30,18 46,59 0,6835 6,202 106 650 0,5430 1,0635 31,77 49,53 0,6822 4,407 106 700 0,5030 1,0752 33,32 52,30 0,6850 3,193 106 750 0,4709 1,0856 34,81 55,09 0,6860 2,393 106

800 0,4405 1,0978 36,25 57,79 0,6886 1,810 106 850 0,4149 1,1095 37,65 60,28 0,6930 1,401 106 900 0,3925 1,1212 38,99 62,79 0,6962 1,104 106 950 0,3716 1,1321 40,23 65,25 0,6980 8,807 105

1000 0,3524 1,1417 41,52 67,52 0,7021 7,064 105 1100 0,3204 1,160 44,4 73,2 0,704 4,64 105 1200 0,2947 1,179 46,8 78,2 0,705 3,23 105 1300 0,2707 1,197 49,3 83,7 0,705 2,27 105

1400 0,2515 1,214 51,7 89,1 0,705 1,66 105 1500 0,2355 1,230 54,1 94,5 0,704 1,24 105 1600 0,2211 1,248 56,3 100 0,704 9,45 104 1700 0,2082 1,267 58,4 105 0,704 7,31 104

(*) está a una atmósfera.


Cuadro 15. (Cont.) Propiedades del aire a baja presión T (*) CP k Pr g 2/2 K kg/m3 kJ/kg K mg/m s mW/m K 1/(m3 K)

1800 0,1970 1,287 60,7 111 0,704 5,74 104 1900 0,1858 1,309 62,9 117 0,704 4,50 104 2000 0,1762 1,339 65,1 124 0,704 3,60 104 2100 0,1682 1,372 67,2 131 0,704 2,93 104

2200 0,1602 1,419 69,3 139 0,707 2,38 104 2300 0,1538 1,482 71,4 149 0,710 1,98 104 2400 0,1458 1,574 73,5 161 0,719 1,61 104 2500 0,1394 1,688 75,7 175 0,730 1,33 104

Cuadro 16 Propiedades del hidrógeno a baja presión

T (*) CP k Pr DH2,B K kg/m3 kJ/kg K mg/m s W/m K m2 Pa/s

50 0,5096 10,50 2,52 0,0362 0,721 NH3: 7,74 100 0,2457 11,23 4,21 0,0665 0,712 N2: 6,95 150 0,1637 12,60 5,60 0,0981 0,718 Ar: 7,01 200 0,1227 13,54 6,81 0,1282 0,719 O2: 7,06 250 0,0982 14,06 7,92 0,1561 0,713

273 0,0904 14,46 8,42 0,175 0,696 300 0,0819 14,31 8,96 0,182 0,706 350 0,0702 14,44 9,95 0,206 0,697 400 0,0614 14,49 10,86 0,228 0,690450 0,0546 14,50 11,78 0,251 0,682

500 0,0492 14,51 12,64 0,272 0,675 600 0,0408 14,54 14,29 0,315 0,664 700 0,0349 14,57 15,9 0,351 0,659 800 0.0306 14,67 17,4 0,384 0,664 900 0,0272 14,82 18,8 0,412 0,676

1000 0,0245 14,97 20,2 0,440 0,686 1500 0,0164 16,00 25,6 0,587 0,697 2000 0,0123 17,05 30,9 0,751 0,701

DNH3,B: Difusividad del hidrógeno a 273 K en B


Cuadro 17 Propiedades del amoniaco a baja presión

T (*) CP k Pr DNH3,B K kg/m3 kJ/kg K mg/m s W/m K m2 Pa/s 250 0,842 2,20 8,20 0,0198 0,91 Aire: 2,01 273 0,793 2,18 9,35 0,0220 0,90 N2: 2,20 300 0,703 2,20 10,1 0,0246 0,90 O2: 2,31 400 0,520 2,27 13,8 0,0364 0,86 H2: 7,74 500 0,413 2,42 17,6 0,0511 0,83

DNH3,B: Difusividad del amoniaco a 273 K en B

Cuadro 18 Propiedades del oxígeno a baja presión

T (*) CP k Pr DH2,B K kg/m3 kJ/kg K mg/m s W/m K m2 Pa/s 100 3,9918 0,9479 7,77 0,0091 0,815 Aire: 1,77 150 2,6190 0,9178 11,49 0,0137 0,773 NH3: 2,31 200 1,9559 0,9131 14,85 0,0182 0,745 N2: 1,83 250 1,5618 0,9157 17,9 0,0226 0,725 H2: 7,06 273 1,4402 0,9166 19,2 0,0247 0,696

300 1,3007 0,9203 20,6 0,0268 0,709 350 1,1133 0,9291 23,2 0,0307 0,702 400 0,9755 0,9420 25,5 0,0346 0,695 450 0,8682 0,9567 27,8 0,0383 0,694 500 0,7801 0,9722 29,9 0,0417 0,697

600 0,650 1,00 33,9 0,049 0,70 800 0.487 1,05 41,1 0,062 0,70

1000 0,390 1,85 47,6 0,074 0,70 1500 0,260 1,14 62,1 0,101 0,70 2000 0,195 1,18 74,9 0,126 0,70

DNH3,B: Difusividad del oxígeno a 273 K en B


Cuadro 19 Propiedades del nitrógeno a baja presión

T (*) CP k Pr K kg/m3 kJ/kg K mg/m s W/m K

100 3,481 1,072 6,86 0,0095 0,79 150 2,276 1,050 10,3 0,0157 0,77 200 1,707 1,044 13,0 0,0189 0,75 250 1,366 1,043 15,5 0,0234 0,73 300 1,142 1,041 17,8 0,0264 0,71

400 0,834 1,046 22,0 0,0330 0,69 500 0,682 1,056 25,7 0,0384 0,68 600 0,569 1,076 29,1 0,0458 0,69 700 0,493 1,097 32,1 0,0512 0,69 800 0,428 1,123 34,8 0,0561 0,70

1000 0,314 1,168 40,0 0,065 0,72 1200 0,285 1,204 44,5 0,072 0,75 1500 0,228 1,244 51,5 0,091 0,70 2000 0,171 1,287 61,9 0,114 0,70

(*) está a una atmósfera.

Cuadro 20 Propiedades del argón a baja presión

T (*) CP k Pr K kg/m3 kJ/kg K mg/m s W/m K

150 3,471 0,527 12,5 0,0096 0,686 200 2,409 0,525 16,5 0,0125 0,671 250 2,006 0,523 19,5 0,0152 0,670

300 1,602 0,521 22,9 0,0177 0,668 400 1,159 0,520 28,9 0,0223 0,666 500 0,961 0,520 34,3 0,0264 0,663 600 0,801 0,520 39,0 0,0301 0,66

800 0.608 0,520 46,6 0,0369 0,66 1000 0,487 0,520 54,2 0,0427 0,66 1500 0,324 0,520 70,6 0,0551 0,67


Cuadro 21 Estimadores para propiedades de la Interfase

(nm), T(K), P(Pa), (kg/m3), (kg/m s), k(W/m K), DAB(m2/s),

M(kg/kmol), V(m3/kmol). Subíndices indican condición o punto: C: crítico, B: ebullición normal, Std: estándar o normal, 0: referencia

Propiedades Críticas 084,0291,0Cz 21.01 BBC TTT 49,147,1 03,1

MTB 16,02,50 21.02

BBC VVV 76,241,2 954,0 21.03

Presión de vapor o saturación

TCTBA

CTBAPSAT lnln

21.04

SATPln

B

C

BC

CBC P

PTTTT

CTCTP lnln

Para: TB 125 K: C 0,19 TB – 17,71; otros: C 0,034 TB – 0,3

elementos: C 13; sust. orgánicas: C 43


Cuadro 21 (Cont.). Estimadores para propiedades de la Interfase

Calor latente de vaporización

n

C

CfgVAP TT

TThH0

0 11

nTBA

21.05

n 0,378 Para: acetaldehído n 0,589 hidrógeno n 0,237

CB

BCBB TT

PPTR

930,01ln093,1 21.06

Tensión superficial

nn

C

C TBATTTT

0

0 11 21.07

Para agua y alcoholes n 0,81 hidrocarburos n 1,15 otras sust. orgánicas n 1,22


Cuadro 22 Estimadores para propiedades para gases a baja presión


M(kg/kmol), V(m3/kmol), CP(kJ/kg), R(kJ/kmol K). Subíndices indican condición o punto: C: crítico, B: ebullición normal, Std: estándar o normal, 0: referencia

Densidad

TRz

MPρ

139,0083,01z

C

C

CC TTPP

TTTT 2,46,1

172,06427

22.08

Se cumple para TTC 4 TTC 3 PPC 0,8 T TSaturación PPC 0,7

TTC 1,5 PPC 2,5 TTC 1,0 PPC 0,8 TTC 0,7 VVC 2,0

Capacidad calorífica MRTDTCTBACP 222

Para: monoatómicos: 5 diatómicos: 7 otros orgánicos: 8 a 9

22.09

Viscosidad

2

218106693,2 TM

Tb

TaTT

T

TT

1

21o

21

0o

22.10


Conductividad o conductibilidad térmica

1 24

2

/8,328 10

k

T Mk

;

213

VCR

1 2

oo

0 0

m

kTT

kT

T Tk aT T

22.11

Difusividad másica

DASAS

AS MPTD 221

23

m

DT

DTTAS T

TaPP

TTD

0

o0

23

0o

22.12

4421 10662,210996,0066,3

ASM

SA

AS MMM

112

2SAAS y SAAS

Parámetros de escala del potencial de Lennard-Jones

31

406,098,10C

C

PT

3131

18,138,11 BC

C VPT

22.13

CT

1693,07915,0

BC TT 03,018,102,079,0

22.14


Cuadro 23 Estimadores para propiedades para líquidos saturados


M(kg/kmol), V(m3/kmol). Subíndices indican condición o punto: C: crítico, B: ebullición normal, Std: estándar o normal, 0: referencia

Densidad

CCC zTTρρ ln1lnln 72

CCC zTTTTρ ln11ln 720

720

23.01

21ln TCTBATTbaρ cC

Volumen especifico a la temperatura de ebullición (Le Bas)

Aiib VV i: número de átomos

VAi: volumen atómico de cada elemento (m3/kmol) 103

23.02

No ofrece buenas resultados para líquidos altamente asociados y moléculas simples.

Hidrógeno 3,7 Oxígeno 7,4Cloro 24,6 metil éster 9,1Flúor 8,7 metil éter 9,9Bromo 27,0 éster o éter más alto 11,0Iodo 37,0 ácido 12,0Azufre 25,6 Unido a S, P o N 8,3 Nitrógeno 15,6 Carbono 14,8 doble enlace. 15,6 Anillo (resta) amina primaria 10,5 tres at. -6,0 amina secundaria 12,0 cuatro at. -8,5 cinco at. -11,5 seis at. o bencénico -15,0 naftaleno -30,0 antraceno -47,5


Capacidad calorífica 2/ln TDTCBTACP 23.03

Viscosidad

20C

B

VTT8,3exp1099,3 7

Tba exp 23.04

exp BAT C

; C 0,29TB 17,71

exp lnBA C T D TT

1 0,28610,2861

01

233CT T

Conductividad o conductibilidad térmica

2 3

2 31 2

3 20 11,113 20 1

C

B C

T Tk

M T T

2A B T C T

23.06

Difusividad másica, a dilución infinita

T

T

To

To

ToS

S

S

SASAS

TT

DD

0

00

m

SS

S TaV

TM

AT

6,0

211610173,1

23.07

, para solvente S: agua 2,6; metanol 1,9; etanol 1,5; no asociados 1,0

Para agua como soluto es mejor usar VsA 0,0756 en lugar de 0,0188


Cuadro 24 Datos para conductos (pipes) estándar (acero)

ANSI, ASA

Diámetro No. Espesor Diámetro nominal externo cédula interno

m mm m

1/8 0,0103 10 1,2 0,0078 40 1,7 0,0068 80 2,4 0,0055

1/4 0,0137 10 1,7 0,0104

40 2,2 0,0092 80 3,0 0,0077

3/8 0,0171 10 1,7 0,0138

40 2,3 0,0125 80 3,2 0,0107

1/2 0,0213 5 1,7 0,0180

10 2,1 0,0171 40 2,8 0,0158 80 3,7 0,0139 160 4,8 0,0118 XX 7,5 0,0064

3/4 0,0267 5 1,7 0,0234

10 2,1 0,0225 40 2,9 0,0209 80 3,9 0,0188 160 5,5 0,0156 XX 7,8 0,0110

1 0,0334 5 1,7 0,0301 10 2,8 0,0279 40 3,4 0,0266 80 4,5 0,0243 160 6,4 0,0207 XX 9,1 0,0152

1 1/4 0,0422 5 1,7 0,0389

10 2,8 0,0366 40 3,6 0,0351 80 4,9 0,0325 160 6,4 0,0295 XX 9,7 0,0228


Cuadro 24. (Cont.) Datos para conductos (pipes) estándar

Diámetro No. Espesor Diámetro nominal externo cédula interno

m mm m

1 1/2 0,0483 5 1,7 0,045010 2,8 0,0427

40 3,7 0,0409 80 5,1 0,0381 160 7,1 0,0340 XX 10,2 0,0279

2 0,0603 5 1,7 0,0570 10 2,8 0,0548 40 3,9 0,0525 80 5,5 0,0493 160 8,7 0,0428 XX 11,1 0,0382

2 1/2 0,0730 40 5,2 0,0627 80 7,0 0,0590 160 9.5 0,0540 XX 14,0 0,0450

3 0,0889 40 5,5 0,0779 80 7,6 0,0737 160 11,1 0,0666 XX 15,2 0,0584

4 0,1143 40 6,0 0,1023 80 8,6 0,0972 120 11,1 0,0920 160 13,5 0,0873 XX 17,1 0,0801

5 0,1413 40 6,6 0,1282 80 9,5 0,1223 120 12,7 0,1159 160 15,9 0,1096 XX 19,1 0,1032

6 0,1683 40 7,1 0,1541 80 11,0 0,1463 120 14,3 0,1397 160 18,3 0,1317 XX 21,9 0,1244


Cuadro 25 Datos para tubos (tubing) estándar (cobre)

BS, ASTM DINDiámetro BWG Espesor Diámetro Diámetro Espesor

nominal externo interno externo mm mm mm mm mm

3/16 4,8 20 0,89 3,0

1/4 6,4 18 1,24 3,9 8,0 0,75

20 0,89 4,6 1,00 22 0,71 4,9 1,25 24 0,56 5,2 10,0 0,75 26 0,46 5,4 1,00 27 0,41 5,5 1,25

3/8 9,5 16 1,65 6,2 11,0 0,75

18 1,24 7,0 1,00 20 0,89 7,7 1,25 22 0,71 8,1 12,0 0,75 24 0,56 8,4 1,00 1,25

1/2 12,7 12 2,77 7,2 14,0 0,75

14 2,11 8,5 1,00 16 1,65 9,4 1,25 18 1,24 10,2 15,0 0,75 20 0,89 10,9 1,00 22 0,71 11,3 1,25

5/8 15,9 12 2,77 10,3 16,0 0,75

14 2,11 11,7 1,00 16 1,65 12,6 1,25 18 1,24 13,4 1,50 20 0,89 14,1

3/4 19,1 10 3,40 12,2 18,0 1,00

11 3,05 13,0 1,25 12 2,77 13,5 1,50 13 2,41 14,2 19,0 1,00 14 2,11 14,8 1,25 15 1,83 15,4 1,50 16 1,65 15,7 20,0 1,00 17 1,47 16,1 1,25 18 1,24 16,6 1,50 20 0,89 17,3 2.00


Cuadro 25. (Cont.) Datos para tubos (tubing) estándar Diámetro BWG Espesor Diámetro Diámetro Espesor nominal externo interno externo

mm mm mm mm mm

7/8 22,2 10 3,40 15,4 22,0 1,00 12 2,77 16,7 1,25 14 2,11 18,0 1,50 16 1,65 18,9 2.00

18 1,24 19,7 23,0 1,00 20 0,89 20,4 1,25

1 25,4 8 4,19 17,0 1,50 10 3,40 18,6 2.00 11 3,05 19,3 24,0 1,00 12 2,77 19,9 1,25 13 2,41 20,6 1,50 14 2,11 21,2 2.00 15 1,83 21,7 25,0 1,00 16 1,65 22,1 1,25 18 1,24 22,9 1,50 20 0,89 23,6 2.00

1 1/4 31,8 10 3,40 24,9 28,0 1,00

12 2,77 26,2 1,25 14 2,11 27,5 1,50 16 1,65 28,4 2.00 18 1,24 29,3 30,0 1,00 1,25

1 1/2 38,1 8 4,19 29,7 1,50 10 3,40 31,3 2.00 12 2,77 32,6 32,0 1,00 14 2,11 33,9 1,25 16 1,65 34,8 1,50 18 1,24 35,6 2.00

2 50,8 8 4,19 42,4 35,0 1,00 10 3,40 44,0 1,25 12 2,77 45,3 1,50 14 2,11 46,6 2.00 16 1,65 47,5 18 1,24 48,3

Cuadro 26


Ecuaciones de variación para un volumen de control diferencial

Coordenadas rectangulares

Masa total

0

zv

yv

xv

tzyx

Cantidad de movimiento (“Momentum”)

x:

zvv

yvv

xvv

tv x

zx

yx

xx

0

zyxg

xP zxyxxx

x

y:

zv

vyv

vxv

vt

v yz

yy

yx

y

0

zyxg

yP zyyyxy

y

z:

zvv

yvv

xvv

tv z

zz

yz

xz

0

zyxg

zP zzyzxz

z

Tensor esfuerzo

zv

yv

xv

xv zyxx

xx 312

zv

yv

xv

yv zyxy

yy 312

zv

yv

xv

zv zyxz

zz 312


xv

yv yx

yxxy

zv

xv xz

xzzx

yv

zv zy

zyyz

Ecuaciones de Navier-Stokes correspondientes a fluido newtoniano en régimen de flujo laminar con y constantes

x:

zvv

yvv

xvv

tv x

zx

yx

xx

02

2

2

2

2

2

zv

yv

xvg

xP xxx

x

y:

zv

vyv

vxv

vt

v yz

yy

yx

y

02

2

2

2

2

2

zv

yv

xv

gyP yyy

y

z:

zvv

yvv

xvv

tv z

zz

yz

xz

02

2

2

2

2

2

zv

yv

xvg

zP zzz

z


Energía

yPv

xPv

zvv

yvv

xvv

tv

yxzyx

2222

2

zzyyxxz gvgvgvzPv

zTv

yTv

xTv

tTC zyxV

zq

yq

xq

zv

yv

xv

TP zyxzyx

zv

yv

xvG z

zzy

yyx

xx

0

zv

xv

yv

zv

xv

yv xz

xzzy

yzyx

xy

xTkqx

yTkqy

zTkqz

Ecuaciones de energía correspondientes a fluido newtoniano en régimen de flujo laminar con parámetros, , , CV (CP) y k, constantes

zzyyxxV gvgvgvtTC

tv 2

2

G

zT

yT

xTk 2

2

2

2

2

2

PTCv

yvPTCv

xv VyVx 22

22

PTCv

zv Vz 2

2


222

2zv

yv

xv zyx

0222

zv

xv

yv

zv

xv

yv xzzyyx

Masa de una sustancia A

yv

xvC

zCv

yCv

xCv

tC yx

AA

zA

yA

xA

0

AAzAyAxz Rz

Jy

Jx

Jzv

x

CDJ AABAx

y

CDJ A

ABAy

z

CDJ AABAz

Ecuaciones de continuidad para una sustancia A, con y DAB constantes

zCv

yCv

xCv

tC A

zA

yA

xA

02

2

2

2

2

2

AAAA

AB RzC

yC

xCD


Cuadro 27 Ecuaciones de variación para un volumen de control

diferencial Coordenadas cilíndricas

Masa total

01

zρv

θrρv

rρrv

rtρ zθr


r:

rP

zvv

rv

θrvv

rvv

tvρ r

zθr

θr

rr

2

01

zτ

rτ

θrτ

rrτ

rρg zrθθθrrr

r

θ:

θrP

zvv

rvv

θrvv

rvv

tvρ θ

zθrθ

θθ

rθ

01 2

2

zτ

θrτ

rτr

rρg zθθθrθ

θ

z:

zP

zvv

θrvv

rvv

tvρ z

zz

θz

rz

01

zτ

θrτ

rrτ

rρg zzθzrz

z

Tensor esfuerzo

zv

θrv

rrv

rrv

μτ zθrrrr

1312

zv

θrv

rrv

rrv

θrv

μτ zθrrθθθ

1312

zv

θrv

rrv

rzv

μτ zθrzzz

1312


θrv

rrv

rμττ rθθrrθ

θr

vzv

μττ zθzθθz

zv

rvμττ rz

zrrz


r:

rr

zθr

θr

rr ρg

rP

zvv

rv

θrvv

rvv

tvρ

2

0212

2

22

2

zv

θrv

rθrv

rrv

rrμ zθrr

θ:

θθ

zθrθ

θθ

rθ ρg

θrP

zvv

rvv

θrvv

rvv

tvρ

0212

2

22

2

zv

θrv

rθrv

rrv

rrμ θrθθ

z:

zz

zz

θz

rz ρg

zP

zvv

θrvv

rvv

tvρ

012

2

22

2

zv

θrv

rvr

rrμ zzz


Energía

θrPv

rPv

zvv

θrvv

rvv

tvρ

θrzθr

2222

2

zzθθrrz gvgvgvρzPv

zTv

θrTv

rTv

tTCρ zθrV

zq

θrq

rrq

rzv

θrv

rrv

rTPT zθrzθr

ρ

11

zvτ

rv

θrvτ

rvτρεG z

zzrθ

θθr

rr

zv

rvτ

θrv

rrvrτ rz

rzrθ

rθ

0

θrv

zvτ zθ

θz

rTkqr

θr

Tkqθ

zTkqz

Ecuaciones de energía correspondientes a fluido newtoniano en régimen de flujo laminar con parámetros, , , CV (CP) y k, constantes

zzθθrrV gvgvgvρtTρC

tvρ 2

2

ρεG

zT

θrT

rTr

rrk 2

2

22

21

PTCv

θrρvPTCv

rρv VθVr 22

22

PTCv

zρv Vz 2

2


222

2zv

rv

θrv

rvμ zrθr

0222

θr

vzv

zv

rv

θrv

rrvrμ zθrzrθ


θrv

rrv

rC

zCv

θrCv

rCv

tC θr

AA

zA

θA

rA 1

01

AAzAθArz Rz

Jθr

Jr

rJrz

v

r

CDJ AABAr

θr

CDJ AABAθ

z

CDJ AABAz


zCv

θrCv

rCv

tC A

zA

θA

rA

012

2

22

2

AAAA

AB RzC

θrC

rCr

rrD


Cuadro 28 Ecuaciones de variación para un volumen de control diferencial

Coordenadas esféricas

Masa total

0

sinsinsin1 2

2

θrρv

θθrθρv

rvρr

rtρ θr


r:

rP

rv

θrvv

rv

θrvv

rvv

tvρ rθr

θr

rr

22

sin

0sinsin

sin1 2

2

rτ

θrτ

rτ

θθrθτ

rτr

rρg rθθθrrr

r

θ: θrP

rθv

θrvv

rvv

θrvv

rvv

tvρ θθrθ

θθ

rθ

cot

sin

2

0cot

sinsinsin1 2

2

rθτ

θrτ

rτ

θθrθτ

rτr

rρg θrθθθrθ

θ

:

rθvv

rvv

θrv

vθr

vv

rv

vt

vρ θr

θr

cotsin

θrτ

rτ

rτr

rρg

θrP θrr

2

21

sin

0sin

cot2

θrτ

rθτθ

Tensor esfuerzo

θrv

θθrθv

rvr

rrvμτ θrr

rr sinsinsin1

312

2

2

θrv

θθrθv

rvr

rrv

θrvμτ θrrθ

θθ sinsinsin1

312

2

2

rθv

rv

θrv

μτ θr cotsin

2

θrv

θθrθv

rvr

rθr

sinsinsin1

31 2

2


θrv

rrvrμττ rθ

θrrθ

θr

vθrθv

θμττ θθθ sin

sinsin

r

rvr

θrvμττ r

rr

sin


r:

rrθr

θr

rr ρg

rP

rv

θrvv

rv

θrvv

rvv

tvρ

22

sin

222

22

2 sinsin

sin11

θrv

θrvθ

θrθrvr

rrμ rrr

0sin

2cot22222

θrv

rrθv

θrv

rrv θθr

:

rθv

θrvv

rvv

θrvv

rvv

tvρ θθrθ

θθ

rθ cot

sin

2

θrvθ

θrθrvr

rrμρg

θrP θθ

θ sinsin

11 22

0sin

cot2sin

2sin 22222

2

θθr

vrθ

θrv

θrv

rθrv θrθ

:

rvv

θrv

vθr

vv

rv

vt

vρ r

θr

sin

rv

rrr

μρgθrP

rθvv θ

2

21

sincot

θrv

θrv

θrv

θθrθ 22222

2

sinsinsin

sin1

0sin

cot2sin

2

θrv

rθ

θrv

rθr


Energía

θrvv

θrvv

rvv

tvρ

θr sin2

2222

gvgvgvρ

θrPv

θrPv

rPv θθrrθr sin

θrTv

θrTv

rTv

tTρC θrV sin

θrv

θrθv

θrvr

rTPT θr

ρ sinsin

sin11 2

2

ρεGθr

qθrθq

θrqr

rθr

sinsin

sin11 2

2

rθv

rv

θrv

τrv

θrvτ

rvτ θrrθ

θθr

rrcot

sin

rv

θrv

rv

τrv

θrv

rvτ r

rθrθ

rθ

sin

0cot

sin

rθv

θrv

θrv

τ θθ

rTkqr

θr

Tkqθ

θrTkq

sin

Ecuaciones de energía correspondientes a fluido newtoniano en régimen de flujo laminar con parámetros, , , CV (CP) y k constantes

rTr

rrkgvgvgvρ

tTρC

tvρ

θθrrV2

2

2 12

ρεG

θrT

θrTθ

θrθ 222

2

sinsin

sin1

PTCv

θrρvPTCv

rρv VθVr 22

22

PTCv

θrv V2sin

2


222 cotsin

2rθv

rv

θrv

rv

θrv

rvμ θrrθr

22

sin

θrv

rv

rv

θrv

rv

rvμ rrθθ

0sin

cot 2

θrv

rθv

θrv θ


θrCv

θrCv

rCv

tC AA

θA

rA

sin

θrv

θvθrθr

vrr

C θr

A sinsin

sin11 2

2

0sin

sinsin

11 2

2

A

AAθAr ξRθr

JθrθJ

θrJr

r

rCDJ A

ABAr

θr

CDJ AABAθ

θrCDJ A

ABA sin


rCr

rrD

θrCv

θrCv

rCv

tC A

ABAA

θA

rA 2

21

sin

0sin

sinsin

1222

2

AAA ξRθr

Cθr

Cθθrθ


Cuadro 29 Densidad y concentración en una mezcla binaria

densidad másica total de la mezcla, kg/m3 C densidad molar total de la mezcla, kmol/m3

Vm

VV δδ

δδlim

MVn

VVC

δδ

δδlim

A densidad másica de la especie A, kgA/m3 CA densidad molar de la especie A, kmolA/m3

Vm

VVA

A δδ

δδlim

A

AAA MV

nVV

C

δδ

δδlim

A fracción másica del la especie A, kgA/kg xA fracción molar de la especie A, kmolA/kmol

AA

A mmw

CC

nnx AA

A

B densidad másica de la especie B, kgB/m3 CB densidad molar de la especie B, kmolB/m3 B fracción másica del la especie B, kgB/kg xB fracción molar de la especie B, kmolB/kmol 1BA 1BA xx

BBAA MxMxM Conversiones

BBAA

AAA MM

Mx

BBAA

AAA MxMx

Mx

Para mezcla de gases a baja presión

TRPM

AAA BA

BBAA

TRPMPM

AAA Y

TR

PC

AA BA

BA CCTRPP

TRPC

PPCCxy AAAA g.e DR 0 gravedad específica o densidad relativa g peso específico


Cuadro 30 Módulos de expansión y compresión

Expansión isobárica,

dilatación térmica PP TT

VV

11

Compresibilidad isotérmi-ca, módulo de compre-sibilidad TT PP

VV

11

Compresibilidad isentró-pica, módulo de elas-ticidad volumétrica SS PP

VV

11

Módulo isentálpico de Young

HPT

Cuadro 31

Grupos adimensionales correspondientes

Cantidad de movimiento

Transferencia de calor

Transferencia de masa

sf

s

vvvv

sf

s

TTTT

AsAf

AsA

CCCC

No. de Fraude

gvFr

2

No. de Prandtl

kCPr P

No. de Schmidt

ABAB DDSc

No. de Reynolds No. de Nusselt No. de Sherwood

vRe

khNu

ABDkSh C

2F

DCJ 31H PrRe

NuJ

31D ScRe

ShJ

No. de Péclet Pe RePr Pe ReSc No. de Stanton St Nu(RePr) St Sh(ReSc) No. de Graetz Gz = RePrL No. de Match M = vc No. de Biot Bi = hmedio (VkA)sistema Módulo de Fourier Fo = t/(V/A)2sistema No. de Grashof 23 /Δ TgGr 23 /Δ gGr No. de Rayleigh Ra = GrPr


Cuadro 32 Coeficientes de transferencia

222sf vvv sf TTT AiAf CCC

A

Avv

d

2sf

AM

TTT

2,AiAf

AMA

CCC

sf

sfLM TT

TTT

ln

AsAf

AsAfLMA CC

CCC

ln,

Coeficientes locales

2

22sf

Df

vvCH

2

2

vDLfH Df

sf TThq AiAfA CCkN AiAfA CCkN

k : para cuando B (no A) no se difunde. k : para contradifusión molecular, de A en B (no A).

Coeficientes globales para difusión de calor y masa fIfERR TTAUQ fIAfEARRA CCAKM ,,

01

1

0

1AkA

AhA

UR

fI

R

R

01;

1

0,

1AD

AAk

AK AB

R

fIC

R

R

112

2

NN

RNR

AkA

AkA

12;

2

ADA

AB

R

Ri

AhA

NfE

R

NfEC

R

NNAB

RN

AkA

ADA

,1;

Placa plana 1 iii xx 11

i

R

AA

Cilindro hueco, tubo

1

1 ln2 i

iii D

DD 11

i

R

i

R

DD

AA

Esfera hueca

211

ii

i

ii

DDD

D2

11

i

R

i

R

DD

AA


Cuadro 33 Coeficientes de transferencia de masa en el

equilibro de fases

Coeficientes globales de transferencia de masa entre fases en equilibrio

Equilibrio iLixi Cmxmy AAA iLixi CmxmP AAA LxGxLxGy xmyKxmyKN AAAAA LLGLLLGG CmPKCmPKN AAAAA

x

x

yy km

kK

11 xyyx kkmK

111

etc.

L

L

GG km

kK

11 LGLL kkmK

111

etc.

Relaciones entre los coeficientes de

transferencia de masa Para gases: AAAA CkykPkN CyG AAA CkykPk CyG

TR

Pk

PP

kPkF ,LMC

,LMy,LMGG

BBB

CkTR

PkkPk CCyG

Para líquidos AxAxALAL xkxkCkCkN A CkMkkxCkxkF LLx,LML,LMxL BB


Cuadro 34 Coeficientes de transferencia de calor para cuerpos

simples en fluidos en reposo, McAdams (1949) Convección libre o natural (◊)(#)

Nu = a (GrPr)n Para aire: h = b (T/)n (P/PStd)m

h, W/m2 K; T, K; , m GrPr a n b n m

A partir de superficies vertical (placa y cilindro)

104 - 109 0,59 14 L 1,42 14 L 12109 – 1013 0,10 13 L 0,95 13 1 23 0,021 25 L

A partir de superficies horizontales cilindro 104 - 109 0,53 14 D 1,32 14 D 12109 – 1013 0,10 13 D 1,24 13 1 23 Placa caliente hacia arriba o fría hacia abajo 104 - 109 0,54 14 2AP 1,32 14 2AP 12109 – 1012 0,14 13 2AP 1,43 13 1 23 Placa caliente hacia abajo o fría hacia arriba 105 – 1011 0,27 14 2AP 0,59 14 2AP 12 0,58 15 LaLb 0,61 15 LaLl 23

A partir de objetos espaciales General NuVA = 0,52 (GrVAPr)14 Esfera 1 – 1011 NuD = 2 + 0,43 (GrDPr)14

(◊) Las propiedades se calculan a la temperatura de película (promedio arit-mético entre la temperatura de la pared y la del seno del fluido) Coeficientes de transferencia unidimensional de masa en

fluidos en reposo, mezcla binaria (‼) B no difundente

2121,

AALAAAMLMB

ABA CCkCC

MCDN

Contra difusión molecular

2121 AACAAAB

A CCkCCDN

(‼) Para conversiones y definiciones ver cuadros 29 y 32


Cuadro 35 Coeficientes de transferencia de cantidad de movimiento

calor y masa para flujo de fluidos dentro de conductos cilíndricos, convección forzada (#)

NOTA: Coeficientes de transferencia promedio, para propiedades

constantes en la superficie (w). Se calculan con las propiedades del medio del fluido (f) y se hace la siguiente corrección:

w

f

Flujo Laminar Flujo Turbulento Sieder y Tate 0,14 (PrfPrw)1/4 Calentamiento 0,17 0,38 Enfriamiento 0,11 0,23

Notas:

Los coeficientes se basan en el diámetro interno del conducto, D 25 calentamiento 13 enfriamiento

f fF2 fD8 Re < 2000 (Laminar) RefD 64

Pr = 0,6 – 700 RePrDL > 10

3186,1 LDPrReNu

66,317,0 31 PrRe

PrDL < 1 31

075,1 NuLDPrReNu

34310 012,0 LDPrReGrNu

Para anillos concéntricos (Laminar), Con base en el diámetro

equivalente D2 D1 D1 D2, D2 D1

ln11

16422

2

RefD

567,6Nu Para conducto rectangular (Laminar) Con base en el diámetro equivalente. baba /2

ba / 0 1/8 1/4 1/3 1/2 5/7 1 RefD 96,0 82,3 72,9 68,3 62,2 58,3 56,9

Nu 7,54 5,60 4,41 3,95 3,39 3,10 2,98 Re = 2000 - 3000 291068,5 RefD

(Crítico)


Cuadro 35 (Cont.). Coeficientes de transferencia Re > 3000 (Turbulento)

221 2698,0Re523,2log2

Dff DD

2109 7,37ln8686,0

DRe

29107,3Re9,6ln7817,0

D

Tubo liso; D 0 Re = 4103 – 6108

51024,08 RefD 4103955,0 Re

Pr = 0,6 – 160 3154023,0 PrReNu Sc = 0,6 – 3000 3183,0023,0 ScReSh

Re = 104 – 4105

Pr = 0,7 – 1,7104 PrReNu 54027,0 Sc > 100 3188,00149,0 ScReSh

Corrección por entrada LD 2 - 20 20 - 60 > 60

ma1 DL a 1 6 0 m 0,7 1 -

Pérdidas en accesorios, Kf Rosca Brida Leq/D Codos 90o estándar 0,7 - 0,8 0,3 32

90o radio largo 0 5 - 0,7 0,2 20 90o recto 1,3 - 1,5 0,3 45o estándar 0,3 - 0,4 15 180° de retorno, 1,2 - 1,7 0,2 75

Tes entrada lateral 1,0 paso en línea 0,4 - 0,9 0,2 20 salida lateral 1,3 - 2,0 1,0 67

Acoples y uniones 0,04 0.0 Válvulas compuerta abierta 0,13 - 0,20 0,10 7

½ abierta 3,8 - 4,5 200 globo abierta 6,0 - 7,5 5,0 350

½ abierta 8,5 - 9,5 en ángulo 2 - 4 170

tope, de bisagra 2 Medidores de flujo 6 - 15 Expansión brusca (1 v0v)2 Contracción súbita 0,50 [(1 (vv0)2]2


Cuadro 35 (Cont.). Coeficientes de transferencia

Aspereza, “Roughness”, en conductos

mm

Acero estirado, soldado Nuevo 0,04 - 0,10 Usado 0,15 - 0,20 con capa de óxido 0,2 - 0,5 remachado 0,9 - 9,0 comercial 0,046 inoxidable 0,01

Hierro galvanizado 0,15 fundido 0,25 fundido asfaltado 0,12 forjado 0,05

Tubo liso (bronce, plomo, vidrio, PVC, etc.) 0,0015

Concreto normal 0.8 - 3,0 pulido 0.3 - 0,8

Madera nueva lijada 0,2 - 0,9 Polietileno D < 200 mm 0,1 Poliestireno, fibra de vidrio reforzada, D > 200 mm 0,05 - 0,85

(#) En este y los otros cuadros de coeficientes de transferencia de cantidad de movimiento, calor o masa, las relaciones son las que están más asociadas con la teoría, por lo que el lector debe actualizarlas.


Cuadro 36 Coeficientes de transferencia de cantidad de movimiento

calor y masa para flujo de fluidos externo convección forzada (◊)(#)

Alrededor de esferas

Con base en el diámetro de la esfera, D y la velocidad final v Corrección de la

velocidad MM4,21 vDDv

Velocidad de caída estable

f

fs

DCgDv

342

Re 100 21

163124

ReRe

CD

Re = 2 – 500 535,18 ReCD

Re 106

221

5407,024

DD Re

C

Re = 103 – 2105 4444,0DC Re 103 38,02150,043,0 PrReNu 312160,00,2 PrReNu

Re = 3,5 – 8104 Pr = 0,7 – 380

214,00,2 ReNu 523206,0 PrRe

Re = 1 – 3103

Sc = 0,6 – 1,9 3121552,00,2 ScReSh

Re = 1 – 3104

Sc = 0,6 – 3200 62,021347,00,2 ScReSh

RaF

GrSc 108 41569,0 ScGrFRa

GrSc 108 244,0310254,0 ScScGrFRa


Cuadro 36 (cont.) Coeficientes de transferencia …

Flujo perpendicular (alrededor) de cilindros

Con base en el diámetro del cilindro, D Re 0,5 ReReCD ln28 Re = 1 – 1000 431,91 ReCD 38,02150,043,0 PrReNu Re = 103 – 105 2,1DC Re = 4102 – 2,5104

Pr = 0,7 – 1,5103 38,05325,0 PrReNu Sc = 0,6 – 2,6 44,053281,0 ScReSh

Re = 0,1 – 105 2134,035.0 ReNu

0,58 0,30,15 Re Pr


Cuadro 36 (cont.) Coeficientes de transferencia …

Flujo sobre placas planas, paralelo e ilimitado

Con base en la longitud de la placa, L La transferencia comienza en el lado principal Re 5104 21664,02 ReCD 3121664,0 PrReNu PrRe 2176,0 3121664,0 ScReSh

Re = 3105 –108 ReReCD 870037,02 51

584,2log2275,0 Re

Pr = 0,7 – 380 43,054037,0 PrReNu

PrRe 54036,0 Sc = 0,6 – 2500 3154037,0 ScReSh

Transferencia por ambos lados de la placa Re = 2104 – 5105 43,00027,0 PrReNu Gas confinado en una tubería, flujo paralelo a la placa Re = 2,6103 – 2,2104 3171,011,0 ScReSh

La transferencia en una pared húmeda (vertical) del líquido al gas (del lado del líquido)

Con base en el espesor de la película, sin agitación,

ΓRe 4 : flujo de masa por unidad de ancho

Re 1200 3123 gΓ ReCD 24 Re 100 41,3Sh

Re = 100 –1200 2123 LScReSh Re = 1300 –8300 21506,151076.1 ScReSh (◊) Las propiedades se calculan a la temperatura de película (promedio arit-mético entre la temperatura de la pared y la del seno del fluido)


Cuadro 37 Eficiencias de aletas, de sección transversal constante

mL RLR0

1,00 1,25 1,50 2,00 2,50 3,00 4,00 5,00 0,00 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,05 0,9992 0,9991 0,9990 0,9988 0,9987 0,9986 0,9983 0,9982 0,10 0,9967 0,9963 0,9959 0,9953 0,9947 0,9943 0,9934 0,9927 0,15 0,9926 0,9917 0,9909 0,9895 0,9883 0,9872 0,9853 0,9838 0,20 0,9869 0,9853 0,9839 0,9815 0,9793 0,9775 0,9743 0,9716 0,25 0,9797 0,9773 0,9752 0,9714 0,9681 0,9653 0,9604 0,9564 0,30 0,9710 0,9677 0,9647 0,9594 0,9548 0,9508 0,9441 0,9385 0,40 0,9499 0,9442 0,9391 0,9302 0,9227 0,9161 0,9050 0,8960 0,50 0,9242 0,9160 0,9085 0,8956 0,8847 0,8753 0,8597 0,8470 0,60 0,8951 0,8840 0,8741 0,8571 0,8429 0,8307 0,8106 0,7944 0,70 0,8634 0,8495 0,8372 0,8163 0,7988 0,7840 0,7599 0,7407 0,80 0,8300 0,8135 0,7990 0,7743 0,7541 0,7370 0,7094 0,6878 0,90 0,7959 0,7769 0,7604 0,7325 0,7098 0,6908 0,6605 0,6370 1,00 0,7616 0,7405 0,7221 0,6915 0,6669 0,6464 0,6140 0,5891 1,10 0,7277 0,7048 0,6849 0,6521 0,6259 0,6043 0,5704 0,5446 1,20 0,6947 0,6702 0,6492 0,6146 0,5873 0,5649 0,5300 0,5038 1,30 0,6629 0,6371 0,6152 0,5793 0,5512 0,5283 0,4929 0,4665 1,40 0,6324 0,6057 0,5830 0,5463 0,5176 0,4945 0,4589 0,4326 1,50 0,6034 0,5760 0,5529 0,5156 0,4866 0,4634 0,4280 0,4020 1,60 0,5760 0,5482 0,5247 0,4871 0,4581 0,4349 0,3999 0,3742 1,70 0,5502 0,5220 0,4984 0,4607 0,4319 0,4089 0,3743 0,3492 1,80 0,5260 0,4977 0,4740 0,4364 0,4078 0,3851 0,3511 0,3266 1,90 0,5033 0,4749 0,4513 0,4140 0,3857 0,3634 0,3301 0,3061 2,00 0,4820 0,4537 0,4302 0,3933 0,3654 0,3435 0,3109 0,2876 2,25 0,4347 0,4069 0,3841 0,3484 0,3217 0,3009 0,2701 0,2484 2,50 0,3946 0,3678 0,3457 0,3115 0,2861 0,2664 0,2376 0,2173 2,75 0,3607 0,3348 0,3136 0,2810 0,2569 0,2383 0,2112 0,1923 3,00 0,3317 0,3068 0,2866 0,2555 0,2327 0,2151 0,1897 0,1720 3,25 0,3068 0,2830 0,2636 0,2340 0,2124 0,1957 0,1718 0,1551 3,50 0,2852 0,2624 0,2439 0,2157 0,1951 0,1794 0,1567 0,1411 3,75 0,2664 0,2445 0,2269 0,2000 0,1804 0,1654 0,1440 0,1292 4,00 0,2498 0,2289 0,2120 0,1863 0,1676 0,1534 0,1330 0,1191 4,50 0,2222 0,2029 0,1874 0,1638 0,1467 0,1338 0,1153 0,1027 5,00 0,2000 0,1822 0,1678 0,1461 0,1304 0,1185 0,1016 0,0901 5,50 0,1818 0,1652 0,1519 0,1318 0,1173 0,1063 0,0907 0,0801 6,00 0,1667 0,1512 0,1388 0,1200 0,1065 0,0963 0,0819 0,0721

kWhm

2

fenómenos de transportes

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