fenómenos de fricción.pdf

2013 21

Oscar Yovany Fajardo

Fenmenos de friccin enla nanoescala: Estudio

terico y computacional

Departamento

Director/es

Director/es

Tesis Doctoral

Autor

Repositorio de la Universidad de Zaragoza Zaguan http://zaguan.unizar.es

UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA

Departamento

Director/es


FENMENOS DE FRICCIN EN LANANOESCALA: ESTUDIO TERICO Y

COMPUTACIONAL

Director/es

Tesis Doctoral

Autor



Departamento

Director/es

Director/es

Tesis Doctoral

Autor



Fenmenos de friccin en la nanoescala: estudioterico y computacional


Departamento de Fsica de la Materia CondensadaInstituto de Ciencia de Materiales de Aragn

Universidad de Zaragoza

TESIS DOCTORAL

Fenmenos de friccin en la nanoescala: estudioterico y computacional

por Oscar Yovany Fajardo

Director de tesis:

Dr. Juan Jos Mazo Torres

Zaragoza, Enero de 2013

JUAN JOS MAZO TORRES, Profesor Titular de Fsicade la Materia Condensada de la Universidad de Zaragoza

CERTIFICA

que la presente memoria. Fenmenos de friccin en la nanoes-cala: estudio terico y computacional. que corresponde con elproyecto de tesis aprobado, ha sido realizada en el Departa-mento de Fsica de la Materia Condensada de la Universidadde Zaragoza bajo su direccin, y autoriza su presentacin paraque sea calicada como Tesis Doctoral.

Zaragoza, 28 de enero de 2013

Fdo: Juan Jos Mazo Torres

A mi madre

ndice

Prlogo xi

1. Introduccin 11.1. Leyes fenomenolgicas de friccin . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Propiedades bsicas del modelo Prandtl-Tomlinson . . . . . . . 41.3. Modelo Prandtl-Tomlinson en 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. Activacin trmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5. Otros modelos de friccin a escala atmica . . . . . . . . . . . . 121.6. Comentarios relevantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2. Friccin y desorden supercial 232.1. El modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2. Desorden supercial sin temperatura . . . . . . . . . . . . . . . 252.3. Desorden supercial con temperatura . . . . . . . . . . . . . . . 302.4. Efecto del amortiguamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.5. Conclusiones y comentarios relevantes . . . . . . . . . . . . . . 37

3. Friccin sobre supercies con defectos 393.1. El modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2. Defectos superciales sin temperatura . . . . . . . . . . . . . . 453.3. Defectos superciales con temperatura . . . . . . . . . . . . . . 483.4. Efecto del amortiguamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.5. Conclusiones y comentarios relevantes . . . . . . . . . . . . . . 54

4. Efectos de actuacin ac en friccin atmica 594.1. El modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2. Efectos de actuacin sin temperatura . . . . . . . . . . . . . . . 614.3. Efectos trmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.4. Discusin y conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5. Anisotropa en friccin atmica: modelo PT en 2D 715.1. El modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

x ndice

5.2. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.2.1. Red cuadrada y supercie NaCl: . . . . . . . . . . . . . 755.2.2. Red hexagonal y supercie HOPG: . . . . . . . . . . . . 785.2.3. Red honeycomb: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.3. Discusin y conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6. Barrera nita y espectroscopia de fuerza 876.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.2. Modelo y resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.3. Tiempo para alcanzar la barrera . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.4. Espectroscopia dinmica de fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.5. Discusin y conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.6. Apndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Discusin y conclusiones 109

Bibliografa 114

Prlogo

El trabajo realizado en esta tesis doctoral est centrado en el estudiocomputacional del efecto de la temperatura en las propiedades dinmicas, fun-damentalmente en el desanclaje o depinning de uxones en una serie de dis-positivos superconductores basados en uniones Josephson. Desde este punto devista, podra decirse que se trata de un trabajo de fsica de estado slido, o deun trabajo en el campo de la superconductividad aplicada o incluso propio delmundo de la ingeniera de dispositivos superconductores.

Por otro lado, hemos de tener presente, que una unin Josephson suponeuna excelente realizacin experimental de uno de los sistemas-modelo ms im-portantes de la fsica no lineal: el pndulo. As, una red de uniones Josephsonacopladas entre s corresponde a una modelizacin de un conjunto de oscilado-res no lineales acoplados. Como veremos, el sistema elegido, un anillo formadopor uniones conectadas en paralelo, se corresponde con un conjunto de pn-dulos unidos por muelles de torsin. Entre otras cosas, dicho sistema es muyinteresante por poseer un tipo especial de solucin: los famosos solitones, unode los objetos paradigma de la ciencia no lineal. Desde un punto de vista fsicoun solitn se corresponde con un cuanto de ujo magntico o uxn en el sis-tema superconductor y la conguracin en anillo es especialmente interesantepor posibilitar que una vez creados dichos uxones o solitones queden atrapa-dos en el sistema. Por tratarse de un sistema discreto, nuestros solitones (losllamaremos kinks en muchas ocasiones, ya que la palabra solitn suele reservar-se a estos objetos en el continuo) estn anclados a la red y por lo tanto sufrenun proceso de desanclaje en presencia de campos externos, proceso que comoveremos se ve afectado de manera importante por el efecto de la temperatura.Desde este punto de vista, podra decirse que nuestro trabajo es un trabajo deciencia bsica en el campo de los sistemas dinmicos no lineales, en este casoperturbados por ruido, y las conclusiones obtenidas pueden tener inters enmbitos muy lejanos al de la fsica de sistemas superconductores.

Estas memorias son parte de la experiencia de vida, inmerso en una nuevacultura y con el apoyo e interaccin de formidables seres humanos y excelentes

xii Prlogo

cientcos comenzando por Juanjo y los dems del Non Linear and Statisti-cal Physics Group, y los miembros del Departamento de Fsica de la MateriaCondensada, a todos ellos quiero expresarles mi profunda gratitud.

Captulo 1

Introduccin

Tribologa es la ciencia que estudia fenmenos de adhesin, friccin, lu-bricacin y desgaste de supercies en movimiento relativo [14]. La friccindesempea un papel central en diversos fenmenos y en una amplia escalade longitudes que van desde la nanoescala hasta las escalas caractersticas desistemas geolgicos [58]. Tambin abarca sistemas tan diversos como moto-res moleculares [8, 9], contactos nanomtricos, interfases de mltiples contac-tos [10] y interfases macroscpicas como las presentes en terremotos [5]. Debidoa su amplio rango de aplicaciones, la tribologa es un campo de investigacininterdisciplinar donde convergen fsica, qumica, geologa, biologa e ingeniera.

Es bien conocido el uso de fenmenos de friccin con propsitos tecnol-gicos desde pocas prehistricas. El desarrollo de herramientas de piedra, o lageneracin de fuego a travs de la frotacin de madera contra madera o porel golpe entre piedras son unos pocos ejemplos que se remontan a pocas tanantiguas como la misma historia de la humanidad. Las colosales estructurasegipcias, por otro lado, slo fueron posibles despus de desarrollar mecanismosde lubricacin que permitieran el transporte de grandes bloques de materialdesde distancias considerables. Por su enorme importancia prctica y tecno-lgica, la friccin ha sido estudiada durante varios siglos y ha despertado lacuriosidad de algunos de los cientcos ms sobresalientes. Por ejemplo, hace500 aos Leonardo da Vinci ya conoca muchos de los resultados importantesrelacionados con la friccin entre objetos macroscpicos que fueron atribuidosposteriormente a otros eminentes cientcos como Guillaume Amontons, Leo-nard Euler y Charles Agustin Coulomb. Aunque su trabajo no ejerci ningunainuencia histrica debido a que permaneci sin conocerse por varios siglos, daVinci es considerado el precursor de la tribologa moderna.

En el estado tecnolgico actual, la situacin no es muy diferente. Un datoestimado indica que las prdidas econmicas en 1995, derivadas del desgaste

2 Captulo 1. Introduccin

de piezas mecnicas tuvo un coste aproximado 116 billones de dlares, nica-mente en Estados Unidos [11, 12]. As, el desarrollo de supercies duraderasy/o de baja friccin se ha convertido en un factor importante en la produccinde dispositivos y partes mviles. Adems, con la revolucin nanotecnolgicaen progreso, el desarrollo de dispositivos ecientes a escala micromtrica y na-nomtrica exige un mayor control de los efectos de la friccin y el desgastede piezas mecnicas. Una mejor comprensin de la friccin a escala atmica,representara un gran progreso tanto desde el punto de vista prctico comodesde el punto de vista de las ciencias bsicas. Grandes avances en este campoconllevaran mejoras importantes en la miniaturizacin de sistemas micro- ynano-electromcanicos, sistemas de almacenamiento computacional y motoresentre otros [7]. Desde el punto de vista de las ciencias bsicas, el entendimientode este fenmeno tan complejo nos permitira comprender las relaciones emp-ricas que describen los fenmenos de friccin a escala macroscpica a partir derelaciones fundamentales.

A pesar de su importancia y del tiempo transcurrido desde los primerosestudios pioneros de da Vinci, nuestra comprensin de la naturaleza del fen-meno de friccin es relativamente incipiente y muchos aspectos claves sobre susorgenes permanecen sin ser entendidos completamente [8, 13]. La dicultadradica en la complejidad que surge de la dinmica colectiva de una inmensacantidad de contactos en la interfase de las supercies en interaccin, an enel sistema ms simple [10]. Unido a esto, la existencia de procesos fuertementefuera del equilibrio en la interfase de cualquier sistema tribolgico subrayanfuertemente la naturaleza no lineal del problema de la friccin.

1.1. Leyes fenomenolgicas de friccin

Los primeros resultados publicados sobre friccin se atribuyen a GuillaumeAmontons en el siglo XVII, y describen lo que actualmente se conoce como lasdos primeras leyes clsicas de la friccin:

1.) La fuerza de friccin es proporcional a la carga normal aplicada.

2.) La fuerza de friccin no depende del rea de contacto aparente.

Adicional a estas dos reglas, existe una tercera que resume las observacioneshechas por Coulomb alrededor del siglo XVIII:

3.) La fuerza de friccin cintica es independiente de la velocidad de movi-miento una vez este se inicia.

1.1. Leyes fenomenolgicas de friccin 3

En los ltimos aos, con el avance de notables tcnicas experimentales yel incremento de la capacidad computacional, este campo de investigacin harecibido un importante y vigoroso impulso. Dentro del mbito experimental,el advenimiento del microscopio de fuerza de friccin (que es esencialmente unmicroscopio de fuerza atmica modicado) desarrollado por Gary McClellandy Matew Mate [14] en la dcada de los 80s y el aparato de fuerza supercialdesarrollado por Jacob Israelachvili [1519] en 1970, ha brindado la posibilidadde investigar la fuerza de friccin a escala atmica.

Estas tcnicas inspeccionan fenmenos de friccin en escalas de longituddiferentes y as proveen informacin complementaria entre s, permitiendo rea-lizar investigaciones experimentales desde la escala de los micrmetros (aparatode fuerza supercial) hasta escalas del orden atmico (microscopio de fuerzade friccin y microbalanza de cristal de cuarzo [20? ]). Esto permiti por pri-mera vez poner a prueba diferentes hiptesis que por siglos haban rondadoeste campo. Como resultado de estas investigaciones pioneras, ahora se sabeque las relaciones fenomenolgicas de la friccin no son vlidas en la escala mi-croscpica, por lo menos no en su forma original. Sus resultados mostraron laexistencia de fuerzas de friccin aun en ausencia de cargas aplicadas [15, 18, 21].Adems, investigaciones posteriores, han mostrado que la fuerza de friccin aescala atmica entre una supercie cristalina y una punta presenta, de hecho,un comportamiento dependiente de la velocidad [22, 23]. Estas observacionesson conrmadas por resultados experimentales entre supercies [16] y tambinen diferentes materiales [24].

Otro resultado contra intuitivo que destaca la naturaleza compleja del fe-nmeno, se presenta en el deslizamiento de pelculas de tomos de Kriptnsobre supercies cristalinas de oro. Jacqueline Krim, quien acuo el trminode nanotribologa al nal de la dcada de los 90s, observ que la fuerza defriccin entre pelculas lquidas presenta un valor ms grande que la que hayentre monocapas slidas [11, 25]. La explicacin a este peculiar comportamien-to surgi de una minuciosa investigacin computacional adelantados por MarkRobbins [26], quien mostr que la diferencia de fuerza de friccin proviene dela mayor movilidad de los tomos en la capa lquida respecto a los de la capasolida. As, mayor movilidad de los tomos en la capa liquida conlleva unamayor facilidad de pasar a un estado stuck entre los tomos superciales delcristal de oro. Adems de dar la explicacin a las observaciones experimentales,situ a la simulacin computacional como otra herramienta importante paraobtener informacin de difcil acceso experimental.

Estos resultados, en resumen, muestran la necesidad de revisar las leyesfenomenolgicas de la friccin cuando las dimensiones del sistema de inte-rs estn en el orden de la escala atmica, ms exactamente cuando la razn


Figura 1.1: Representacin esquemtica del modelo de Prandtl-Tomlinson. Una puntade masa m y posicin x desliza sobre un potencial de sustrato V (x) de amplitud U0 yperiodicidad a. La punta es acoplada elsticamente a un soporte mvil de velocidadvs a travs de un muelle de constante k.

volumen-supercie llega a ser grande [8, 13, 27].

1.2. Propiedades bsicas del modelo Prandtl-Tomlinson

El modelo de Prandtl-Tomlinson es el modelo minimalista ms simple em-pleado para interpretar las principales observaciones experimentales de la fric-cin en el caso de una nica punta arrastrada sobre una supercie y a es-cala atmica. Este modelo se remonta a los trabajos de Prandtl (1928) y deTomlinson (1929) y ha sido usado extensivamente en las dos ltimas dcadasdebido a que es simple de entender, brinda la posibilidad de obtener resulta-dos analticos y desde el punto de vista computacional resulta menos costosoque otras aproximaciones. A pesar de su increble simplicidad, este modelo escapaz de reproducir observaciones experimentales tales como el tpico patrndiente de sierra que muestra la fuerza de friccin a escala atmica y que esconsiderado uno de los principales mecanismos de disipacin de energa en lanano-escala [4, 8, 13, 17, 2729].

El modelo de Prandtl-Tomlinson (PT) considera el movimiento de unamasa puntual m arrastrada sobre un potencial sinusoidal que representa lainteraccin punta-supercie, gura 1.1 [4, 8, 13, 28, 29]. La punta est sujetaa travs de un muelle de constante elstica efectiva k a un soporte mvil convelocidad vs. Esta elasticidad representa la rigidez combinada de la punta y dela interfase de contacto punta-supercie. Para este caso la energa del sistemase puede escribir como

U(R; x) =k

2[R(t) x]2 U0 cos(2

ax) (1.1)

donde U0, x y a son la amplitud del potencial de interaccin punta-sustrato, laposicin de la punta y la constante de red, respectivamente (ver gura 1.1). La

1.2. Propiedades bsicas del modelo Prandtl-Tomlinson 5

posicin del soporte est dada por R(t) = vst. El paisaje de energa del sistemapuede ser bastante complejo dependiendo de la seleccin de valores para losparmetros del sistema, (U0; k; a; ). El modelo de PT predice en general dostipos de movimientos de la punta dependiendo del parmetro adimensional := 42U0=ka

2, conocido como el parmetro de Tomlinson. Esta cantidadrepresenta la razn entre los dos tipos de interaccin presentes en el fenmeno:la interaccin punta-sustrato y la interaccin elstica del sistema. El primertipo de movimiento de la punta se da para < 1, donde la punta presenta unmovimiento suave y continuo. Por otro lado, cuando > 1, la punta presentaun movimiento discontinuo caracterstico, conocido como stick-slip. El valor = 1 en el marco del modelo PT representa la transicin entre este movimientodiscontinuo y el movimiento suave de la punta, conocido como transicin ala lubricidad [4, 30]. Estos dos regmenes de movimiento estn ntimamenterelacionados con el grado de complejidad del paisaje de energa del sistema. Lagura 1.2 presenta dos casos correspondientes a dos valores de . Cada uno delos valores representa a uno de los regmenes anteriormente descritos. Podemosver una serie de mnimos locales estables (estados meta-estables para ser msprecisos) del sistema los cuales estn dados por la condicin

@U(R; x)

@x= k (R x) + 2U0

asin

2

ax

= 0; (1.2a)

@2U(R; x)

@x2> 0: (1.2b)

Podemos ver en la ecuacin (1.2a) que para un valor dado , existen variassoluciones posibles. Para < 1, por ejemplo, siempre se cumple la condicin

cos

2

ax

> 1

; (1.3)

Esto conlleva que la punta siempre permanece en este mnimo de naturalezaestable y el movimiento resultante de la punta ser suave y continuo. Geom-tricamente, como se puede ver en la gura 1.2a), esta situacin corresponde auna nica interseccin entre la lnea de recta que provine del trmino de fuerzadel muelle y la fuerza que surge de la interaccin punta - sustrato o fuerza la-teral FL. Esto se obtiene, por ejemplo, en el lmite de elasticidad de un slidocompletamente rgido. En la gura 1.2 c) y d) se ilustra el movimiento tpicode la punta en este rgimen. Podemos ver que tanto el comportamiento de lafuerza y de la posicin de la punta presentan un comportamiento suave. Lasituacin es completamente diferente para el caso > 1 (k de resorte muy pe-quea o interaccin punta-sustrato muy fuerte). En este caso, existen mltiples


t3

t2

t1

t3t2

h)

g)

f)

=7.0

c)

e)

d)

a)

F (nN)

b)

t1

=0.8

U(R,x)

U(R,x)

Paisaje Energia

Solucion Grafica

Fuerza / Posicion

O

x t

O

Posicion

Posicion

F(nN)

F

u

e

r

z

a

F

u

e

r

z

a

Figura 1.2: Solucin grca para la meta-estabilidad del movimiento de la punta. Mo-vimiento continuo (guras (a)-(d) para un =0.8)) y stick-slip (guras (e)-(h) paraun =7.0) de la punta. Las lneas rectas y la curva en (a) y (e) representan la fuerzade muelle sobre la punta para diferentes tiempos (t1 < t2 < t3) y la fuerza de interac-cin punta-sustrato, respectivamente. (a) Para < 1, existe solo una interseccin dela lnea de fuerza del muelle con la fuerza del sustrato para cualquier valor de t. Estorepresenta un nico mnimo en el paisaje de energa del sistema, (b). En (c)y (d) semuestra un ejemplo del comportamiento suave y continuo de la fuerza lateral y de laposicin de la punta. Para > 1, existen varias intersecciones de la lnea recta con lafuerza de sustrato, (e). Esto se reeja en la existencia de varios mnimos meta-establesen el paisaje de energa del sistema, (f). La fuerza muestra un cambio abrupto conforma de diente de sierra que caracteriza el movimiento stick-slip de la punta, (g) y(h).

1.2. Propiedades bsicas del modelo Prandtl-Tomlinson 7

a)

F (nN)

b)

=7.0

U(R,x)

Paisaje Energia

Solucion Grafica

x

O

s

t

i

c

k

Figura 1.3: Representacin del movimiento stick-slip de la punta y de la evolucindel paisaje de energa asociado para > 1. Como se puede ver en a), el punto deequilibrio meta-estable de la punta (interseccin entre la lnea negra a trazos y lafuerza de punta-sustrato) existe instantes antes de que la recta se vuelva tangentea la curva de la fuerza punta-sustrato. Cuando son tangentes, el punto de equilibriopasa de ser estable a inestable y el evento slip hacia el siguiente punto de equilibrioocurre, b). Regiones marcadas en lnea gruesa de color gris corresponden a la etapastick de la punta.

soluciones a la ecuacin (1.2a) correspondientes a mltiples estados metaesta-bles en el paisaje de energa del sistema. Esto puede verse ms fcilmente de lasolucin geomtrica del sistema en la gura 1.2(e). Cuando > 1, se presentanmltiples intersecciones entre la recta de la fuerza de muelle y la fuerza que sederiva de la interaccin punta-sustrato. Como se puede ver fcilmente, el nme-ro de soluciones aumenta con . Una vez la punta est en uno de los mnimosmetaestables, y debido al movimiento del soporte, la naturaleza de este mnimopasa de ser localmente estable a inestable, gura 1.3. Esto sucede exactamentecuando x = a2 cos

1(1), donde la segunda derivada de la energa poten-cial con respecto a x se hace cero (punto de inexin), @2U(R; x)=@x2 = 0.Esto se puede ver geomtricamente en la gura 1.3. Debido al movimiento delsoporte, el punto de interseccin entre la lnea recta que representa la fuerza demuelle Fres y la fuerza de interaccin punta-sustrato FL se mueve lentamente alo largo de la curva de FL (lneas rectas a trozos). Esta etapa corresponde a lafase stick del fenmeno. Este movimiento suave continua hasta cuando Fresllega ser tangente con la curva FL. Cuando eso sucede, el mnimo en el cualreside la punta cambia de estable a inestable y se presenta un cambio abrup-to en la posicin de la punta, fase slip del fenmeno (gura 1.3(b)). Comoexiste un movimiento continuo del soporte, este fenmeno se repite muchasveces. El movimiento resultante recibe el nombre de movimiento stick-slip.Es necesario resaltar que el evento slip de la punta puede abarcar ms de unaconstante de red y la posicin nal en la que termina depender nalmente deun compromiso entre el nmero de mnimos accesibles en el paisaje de energa


y el grado de disipacin presente en el sistema [4, 31, 32].

La fuerza lateral evaluada en los experimentos est dada por F = k [vst x]y la fuerza de friccin cintica Fk es el promedio temporal de F [33, 34]. Esinteresante notar que la fuerza lateral mxima, la fuerza de friccin estticaFs, asociada con x = a2 cos

1(1) est dada por [4, 33]

Fs =ka

2

p2 1: (1.4)

1.3. Modelo Prandtl-Tomlinson en 2D

A pesar de la enorme utilidad que representa el modelo PT en una dimen-sin, hay que enfatizar que algunas propiedades que dependen de la dimensio-nalidad del sistema quedan obviamente despreciadas. El modelo PT puede sergeneralizado a dos dimensiones para describir estas caractersticas importan-tes [4, 3539]. El esquema de PT unidimensional es modicado de esta manerapara permitir el movimiento de la punta bajo el efecto de un potencial en dosdimensiones que al igual que su versin 1D, incluye un trmino que describe lainteraccin elstica de la punta y de la zona de contacto y un segundo trminoque surge de la interaccin punta-sustrato. El potencial combinado se convierteen

U(R(t); r) = Vel(R(t); r) + Vint(r); (1.5)

donde R(t) = vst y r representan la posicin del soporte y de la punta respec-tivamente, siendo vs el vector velocidad del soporte. Ahora, para un valor dadode la posicin R(t), las posiciones de equilibrio de la punta estn determinadaspor

rU(R(t); r) = 0; (1.6a)1;2 > 0; (1.6b)

donde 1;2 son los valores propios de la matriz Hessiana @2U(R(t); r)=@xi@xj .De una manera anloga a la situacin unidimensional, la punta localizada ini-cialmente en uno de los estados metaestables del paisaje de energa sigue adia-bticamente el soporte mientras que se encuentre dentro de la regin de esta-bilidad cuya frontera C(r) es delimitada por las ecuaciones (1.6a y 1.6b) [40].Cuando la punta alcanza el borde de dicha regin, salta repentinamente alsiguiente dominio de estabilidad accesible del paisaje de energa del sistema.La dinmica del sistema queda completamente determinada despus de jar el

1.3. Modelo Prandtl-Tomlinson en 2D 9

Figura 1.4: Solucin grca de las regiones de estabilidad obtenidas a partir de lasolucin del Hessiano para un potencial de simetra hexagonal. Regiones delimitadaspor las curvas de color verde (frontera de la regin de estabilidad C con valorespositivos de los valores propios del Hessiano, 1;2 > 0) corresponden con las regionesde movimiento adiabtico de la punta, fase stick. Regiones delimitadas por la curvade color negro corresponden con las zonas de equilibrio inestable del potencial.


Figura 1.5: Representacin esquemtica de fenmeno de activacin trmica. A T = 0K,el salto de la punta que reside en un mnimo de energa metaestable se da nicamentecuando la barrera efectiva desaparece, U(R(t); x) = 0 (lnea gris). En presencia deefectos trmicos, la temperatura puede proveer suciente energa para que la partculasalte sobre la barrera antes que esta desaparezca, lnea negra.

valor apropiado del parmetro que describa la disipacin presente en el sistema(parmetro de amortiguamiento ) y los efectos del entorno (efectos de tem-peratura T ). Estos parmetros, que son de vital importancia, subscriben losefecto de los diferentes grados de libertad del sistema que no son explcitamenteincluidos en el modelo.

1.4. Activacin trmica

Existe abundante evidencia experimental y terica que indica el papel tras-cendental de la temperatura en la friccin a escala atmica [4, 2224, 4155].A T = 0 K, la punta salta al siguiente mnimo de energa accesible nica yexclusivamente cuando la barrera de energa es cero, U(R(t); x) = 0 (vergura 1.5). En presencia de efectos trmicos, el evento slip de la punta esanticipado como resultado de la energa adicional proveniente del bao trmi-co [42, 50]. Tiempos de stick ms cortos debido a la fenmeno de activacintrmica, producen menos energa potencial acumulada y por lo tanto menosenerga disipada en el momento del evento slip y menor fuerza de friccin.Otro efecto particular de la temperatura se presenta en el as llamado rgi-men de mltiples slip de la punta, saltos de la punta de longitudes que sonun mltiplo de la constante de red. En este ltimo rgimen, y debido a que

1.4. Activacin trmica 11

la temperatura anticipa los eventos slip, un menor nmero de mnimos deenerga sern disponibles en el momento de salto y con ello una menor lon-gitud total de salto de la punta. De estos dos efectos en competencia surgenimportantes consecuencias para el comportamiento de la fuerza de friccin enfuncin de la temperatura en un rango de parmetros del sistema, como sepodr ver en el captulo 2 de esta memoria. Adems, y como es evidente, dela naturaleza estocstica de los efectos trmicos y su contribucin sobre lostiempos de stick, as como sobre la fuerza lateral asociada en el momento desalto, se desprende una descripcin estadstica del valor de fuerza de friccinalrededor un valor medio dado [2224, 42, 50]. Las uctuaciones trmicas in-troducen una escala de tiempo asociada con la tasa de escape, , por efectos deactivacin trmica de la punta sobre la barrera de energa. Unida a esta ltimay como consecuencia del arrastre de la punta, una segunda escala de tiemposurge naturalmente en el problema, fWB = vs=a. Esta ltima cantidad es unamedida del tiempo que el soporte necesita para recorrer una distancia igual auna constante de red. Estas dos escalas de tiempo, tasa de escape y velocidad,representan dos regmenes bien diferenciados de movimiento de la punta. De lacomparacin relativa de las dos escalas de tiempo, surge naturalmente un se-gundo parmetro, = (vs=a)= , que nos permite distinguir rpidamente cadauna de estos dos regmenes de movimiento de la punta [13, 56].

Rgimen de arrastre trmico (Thermal drift o thermolubricity): Este caso, 1, corresponde a un rgimen de muy bajas velocidades o altas tempera-turas [13, 56]. En estas condiciones, la punta tiene suciente tiempo para ir yvolver sobre la barrera antes de que el soporte recorra una constante de red.La fuerza de friccin cintica satisface la siguiente relacin

Fk(vs; T ) =k

!0

U0kBT

eU0=kBT (1.7)

Donde !0 es la frecuencia de intentos en el fondo del pozo y k la constante deelasticidad del sistema

Rgimen stick-slip: Para 1, las uctuaciones trmicas contribuyen aactivar el salto de la punta sobre la barrera justo antes del punto de inestabili-dad del sistema [13, 23]. Unido a esto, la probabilidad de salto de la punta ensentido contrario, hacia atrs, es muy baja. En estas condiciones la fuerza defriccin puede ser descrita por la relacin

Fk(vs; T ) = F0 B T 2=3 ln2=3CvsT

(1.8)

Con F0 la fuerza a T = 0 K y en el lmite de baja velocidad. B es unaconstante determinadas por la forma del potencial y C es una constante quedepende de m, k, a, U0 y . En este rgimen y en el rango de velocidades


bajas vs, se predice una dependencia funcional logartmica Fk / T lnvsT

en

lugar de la ecuacin (1.8) [13, 22, 57]. Desde el punto de vista experimentaly computacional ha resultado difcil delimitar el rango exacto de aplicacinde cada una de ellas. Sin embargo, de la comparacin de algunos resultadosnumricos y experimentales se muestra un mejor ajuste de escalamiento de lasmedidas experimentales con la relacin (1.8) [23].

Respecto al modelo PT, este puede ampliarse para incluir efectos trmicosen la dinmica del sistema. Esto es posible al introducir un trmino de fuerzaaleatoria (t) y un trmino de amortiguamiento m _x, lo cual lleva a unaecuacin tipo Langevin para la dinmica del sistema

mx+m _x+@U (R; x)

@x= (t) (1.9)

La fuerza aleatoria debe satisfacer la relacin de uctuacin-disipacin.Adems debe tener media cero h(t)i = 0 y ser -correlacionada,

h(t)(t0)i = 2mkBTt t0 (1.10)

Los resultados presentados en esta memoria fueron obtenidos de la simula-cin de la ecuacin (1.9) en una o dos dimensiones a travs de un mtodo deRunge-Kutta estocstico de cuarto orden.

1.5. Otros modelos de friccin a escala atmica

A pesar de que esta memoria este restringida completamente al modeloPT en una y dos dimensiones, es importante mencionar por cuestiones decompletitud otros enfoques relevantes a la modelizacin de la fuerza de friccinen la escala atmica.

Modelo Frenkel-Kontorova (FK):

Este es un modelo bsico de la ciencia de supercies introducido para es-tudiar efectos de conmensurabilidad entre interfaces. En friccin, el modeloFK es empleado para investigar los efectos que surgen de mltiples contactosentre: i) dos supercies o ii) los que se producen entre una punta y una super-cie. En esta ltima situacin y en condiciones experimentales, no es posibleasegurar que siempre exista un nico contacto en la interfase de interaccinpunta-sustrato. Este tipo de situaciones y los efectos que se derivan, como esevidente, no pueden ser abordadas por modelos tipo PT. Es importante en-fatizar, adems, que la relacin entre fuerza de friccin y rea supercial noest completamente entendida [10]. Entre muchas otras cosas que se pueden

1.5. Otros modelos de friccin a escala atmica 13

Figura 1.6: Representacin del modelo Frenkel-Kontorova (FK). Una cadena unidi-mensional de tomos de masa m, acopladas elsticamente entre as a travs de unmuelle de constante K e interactuando con un potencial de sustrato V (xi) de in-tensidad U0 y constante de red a. La cadena en estado natural tiene un espaciadoac.

mencionar, est la dicultad que encuentra la aplicacin del concepto de reay de la no aplicabilidad de la mecnica de medios continuos a escala atmica.Es en ese sentido que modelos como FK y similares nos permiten abordar estaimportante cuestin desde el punto de vista de la dinmica de multi-contactosen la interfase entre dos supercies o una entre una punta y una supercie.

El Hamiltoniano que describe el modelo FK estndar, ecuacin (1.11) esesencialmente un modelo que describe la dinmica de una cadena de N part-culas (para nuestro caso tomos o contactos atmicos) acopladas armnica-mente y sujetas a un potencial sinusoidal, ver gura 1.6 [13].

HFK =Xi

p2i2m

+K

2(xi+1 xi ac)2 + U0

2cos

2

axi

(1.11)

El primer trmino del Hamiltoniano describe la energa cintica de las part-culas que conforman la cadena, cada una de masam . El segundo trmino surgede la interaccin elstica entre el i-simo tomo y sus dos vecinos ms cercanos(xi1 y xi+1) a travs de un acoplamiento armnico de constante K y distanciade equilibrio ac. El ltimo trmino corresponde a la interaccin de cada unade las partculas de la cadena con un potencial de magnitud U0 y de constantede red a. El fenmeno de friccin esttica puede ser abordado estudiando elsistema con una fuerza externa (incrementada adiabticamente hasta el valoren el cual el sistema comienza a deslizar) aplicada sobre uno de los extremos dela cadena. En lo que respecta al tema de friccin, compresiones (extensiones)en la estructura de la cadena debido a la inclusin (sustraccin) de un to-mo extra dentro de la estructura original de la cadena conllevan importantesefectos sobre la friccin esttica del sistema. Una compresin producto de la


Figura 1.7: Ilustracin del modelo Frenkel-Kontorova-Tomlinson (FKT). El modeloFKT adiciona un acoplamiento elstico de constante kt entre cada uno de los tomosde la cadena FK y un superior mvil que se mueve con velocidad vs.

inclusin (sustraccin) de un tomo extra recibe el nombre de excitacin kink(anti-kink) o simplemente kink. Estas excitaciones son importantes debido aque la energa de activacin para iniciar su movimiento es siempre menor quela energa del potencial de sustrato U0 [13]. As, por ejemplo, para una mayorconcentracin de kinks en la interfase mayor ser la movilidad esperada de lasupercie. Adicionalmente, el modelo de FK es un modelo ampliamente usadopara entender la transicin al rgimen superlubrco en el cual dos superciescon espaciado de red inconmensurables pueden deslizar bajo contacto seco sinninguna inestabilidad stick-slip a escala atmica (ms exactamente el trminoreferido a este fenmeno es lubricidad estructural).

Modelo Frenkel-Kontorova-Tomlinson (FKT):

El modelo Frenkel-Kontorova-Tomlinson (FKT) fue introducido por Weissy Elmer en 1996 para estudiar los efectos que surgen de considerar un acopla-miento armnico en cada uno de los contactos atmicos del modelo FK conun soporte mvil [13, 58, 59]. El modelo que resulta es una combinacin delmodelo de FK y el modelo PT. La energa del sistema est dada por

VFKT (R; x) =Xi

kt2[R(t) + (i 1)ac xi]2 +

Xi

K

2(xi+1 xi ac)2

+Xi

U0 cos

2

axi

:

(1.12)


Aqu, kt es la constante de acoplamiento de cada uno de los tomos dela cadena con un soporte mvil a velocidad vs (con R(t) = vst). xi es eldesplazamiento de i-simo tomo respecto a su posicin de equilibrio. a y U0 sonla constante de red y la magnitud del potencial se sustrato, respectivamente. acy K son la distancia de equilibrio y la constante de acoplamiento entre tomoscontiguos en la cadena. El valor de la fuerza instantnea entonces se obtienede la suma de la fuerza sobre cada uno de los contactos

F (t) =Xi

k [vst+ (i 1)ac xi] : (1.13)

Este modelo resulta muy til cuando se busca investigar los efectos quesurgen del tamao nito y de la rigidez de la punta. Por ejemplo, resultadosderivados de este modelo indican que la fuerza de friccin incrementa de ma-nera lineal con el rea (ms exactamente con el nmero de contactos en lainterfase) cuando ac=a = 1. Para otros valores de la razn ac=a, el modelomuestra comportamientos ms complejos. Por ejemplo, se encuentran mlti-ples valores del tamao de la punta (llamados tamaos mgicos) donde el valorde la fuerza de friccin disminuye, pero con un comportamiento general de lafriccin, tomado sobre todo el rango de tamaos de la punta, mostrando unatendencia lineal con el tamao del sistema [59].

Modelos mecnico-cinticos de mltiples contactos:

Recientes hallazgos experimentales obtenidos por dos grupos de investiga-cin (X. Zhao et al. [60] y A. Schirmeisen et al. [43, 48]) han revelado sor-prendentes resultados que no pueden ser completamente entendidos dentro delmodelo de PT. Dichos trabajos muestran que la fuerza de friccin presen-ta un comportamiento no montono con la temperatura para varios tipos demateriales y en un amplio rango de valores de T . Estos resultados han sidointerpretados como resultado de la dinmica compleja que surge del comporta-miento colectivo de mltiples enlaces formados aleatoriamente en la interfasepunta-sustrato de los experimentos mencionados [48]. Sin embargo es impor-tante mencionar que investigaciones experimentales posteriores mostraron quela descripcin hecha a partir del modelo PT se recobra si la geometra de lainterfase en el experimento consigue reducir la rugosidad en la interfase entrepunta y sustrato [50], lo cual diculta la creacin de mltiples enlaces en lainterfase e imita ms de cerca las suposiciones hechas en el modelo PT.

Desde la perspectiva del modelo de mltiples contactos, la naturaleza delos enlaces puede representar situaciones en las que se presentan enlaces mole-culares, puentes capilares, asperezas entre supercies rugosas o para interfaseslubricadas estos enlaces pueden representar parches de lubricante solidica-do [13, 48]. Cada uno de estos contactos, independiente de su naturaleza, es


Figura 1.8: Modelo mecnico-cintico. a) Mltiples enlaces modelados cada uno comoun acople elstico de constante ki, son formados y destruidos en la interfase entreuna punta y un sustrato. La rotura de un enlace se modela como un evento de saltoactivado trmicamente sobre una barrera B y entre un estado A (enlace intacto) yun estado C (enlace roto). El movimiento de la punta est determinado por cuatroritmos caractersticos, ver explicacin en el texto principal.

modelado como un muelle elstico conectando la supercie mvil y la supercieque sirve de sustrato, ver gura 1.8(a). En la interfase y como consecuencia delmovimiento y de los efectos de temperatura, los enlaces frecuentemente se rom-pen y tambin se forman. Mientras un enlace est intacto, existe una tensinque lo estira al ritmo de la velocidad del soporte mvil. Unido a este efecto,la rotura del enlace se modela como un evento de salto sobre una barrera depotencial entre el estado enlazado (estado A) y el estado sin enlace formado(estado C), gura 1.8(b) y (c). La rotura de un enlace se modela como unevento de salto sobre una barrera [Eoff (fi), la cual disminuye con la fuerzaelstica sobre el enlace] entre los estados A y C. En ausencia de temperatura,el salto se produce cuando se alcanza el punto de inestabilidad de este paisajede energa efectivo. Cuando existen efectos trmicos, la ruptura de contactosse considera como un evento de escape activado trmicamente sobre la barrera(Eoff (fi)). De esta manera la formacin de los enlaces limita el movimientode la supercie mvil, [48, 49]. Unido a estos eventos de rotura de enlaces, exis-te un proceso de formacin de enlaces que tambin es activado trmicamentesobre una barrera de energa [Eon, una cantidad de energa constante quese debe pagar para formar un enlace en la supercie] que separa el estado noformado respecto al estado de enlace formado. Como es evidente, la cintica deruptura y formacin de enlaces depende de la naturaleza fsica de los enlaces.

La descripcin dinmica del fenmeno de friccin en este tipo de modelos


mecnico- cinticos est determinada por cuatro ritmos caractersticos, [13, 48,49]:

i) k0off , el ritmo de rotura espontneo de enlaces.

ii) kon, el ritmo de formacin de enlaces.

iii) Kvs=fc, el ritmo de rotura forzado de enlaces donde fc es el valor defuerza media para la rotura de un enlace.

iv) wm = maxK=(m);

pK=m

, es el ritmo caracterstico de relajacin

asociado con la fuerza aplicada al contacto, con el parmetro de amor-tiguamiento relacionado con la disipacin de la energa cintica de lapunta.

Este tipo de modelos predice tres regmenes de movimiento que surgen delcomportamiento colectivo de los enlaces y de la dinmica de rotura-creacinde enlaces. Un deslizamiento suave de la punta para velocidades muy bajas otemperaturas muy altas y para cuando k0off > Kvs=fc. Un deslizamiento sua-ve de la punta para velocidades altas o temperaturas bajas si kon < Kvs=fc.Finalmente, comportamientos stick-slip para rango de velocidades y tempe-raturas intermedias a los dos primeros regmenes mencionados. Es de valormencionar que este tipo de modelos han reproducido varios de los comporta-mientos no montonos de la fuerza de friccin con la temperatura. Adems,han atribuido el pico observado en la curva friccin frente a la temperatura, aun efecto directo de la competencia entre la formacin activada trmicamentey la ruptura de conjuntos de enlaces o contactos atmicos en la interfase entrepunta y sustrato.

Efectos de elasticidad punta-sustrato:

La constante de elasticidad de torsin de un cantilever usado en experi-mentos tpicos de friccin a escala atmica es del orden de k0 s 50-80N/m.Sin embargo, la constante elstica efectiva estimada de los experimentos esmucho menor que la constante elstica del cantilever, keff s 1-3N/m (valorque es el orden de magnitud de la constante elstica asociada a un enlace at-mico) [41, 61]. As, este valor bajo de la constante se puede asociar como elresultado de combinar una constante elstica de cantilever k0, una constanteelstica para el pice de la punta kp y una constante elstica relacionada a laelasticidad del sustrato ks. Generalmente estas dos ltimas se agrupan en unasola que describe la elasticidad de la punta-sustrato.

k1 := k1efectiva = k10 + k

1ps (1.14)


Figura 1.9: Representacin esquemtica del modelo de dos masas y dos muelles. Unamasa pequea ma con posicin x (el pice de la punta) interacciona con un potencialde sustrato V (x) de amplitud U0 y periodicidad a. El pice es acoplado elsticamentea una segunda masaMp (resto de la punta) por medio de un muelle de constante k. Elesquema naliza con un segundo acople K de Mp con un soporte mvil con velocidadvs.

Los resultados experimentales muestran que este resultado se cumple paratodos los cantilever independiente de su material o de forma de la punta [33].Este valor bajo de la constante de elasticidad indica que solo un grupo reducidode los tomos que conforman la punta son los que estn en contacto con elsustrato. As, la elasticidad dominante k, surge de la interaccin de este gruporeducido de partculas (pice de la punta de ma s 1020Kg respecto a la masade la punta Mp s 1012Kg) con un nmero reducido de capas atmicas queestn por encima de este pice [61]. Se resume a continuacin observacionesexperimentales que han sido interpretadas como efecto directo de esta granexibilidad asociada con el movimiento rpido del pice de la punta (se haestimado tericamente, y asumiendo una forma piramidal para el pice de lapunta, una cota inferior para la frecuencias del pice fa = 12

qkma

s variosGHz, [61])

a) Amplia variacin de los tiempos de slip con cotas mximas de variosms.

b) Un canal adicional de disipacin que tiene importantes consecuenciassobre las curvas caractersticas del sistema.

c) Nuevos regmenes de movimiento donde el pice de la punta puede estarparcial o completamente deslocalizado respecto a la posicin de la punta.

Estos resultados sugieren la necesidad de describir el movimiento de lapunta como el efecto neto que surge de un esquema de acoplamiento de dosmasas y dos muelles, ver gura 1.9 [61, 62]. ma es una masa pequea asociadaa los tomos del pice de la punta que estn en interaccin directa con el


potencial de sustrato. Esta masa pequea esta acoplada elsticamente a unasegunda masa ms grande Mp (la cual describe el efecto de inercia combinadode la parte restante de la punta y el cantilever) a travs de un muelle deconstante k modelando el efecto elstico del pice y del sustrato. Finalmente,Mp est acoplada por un segundo muelle de constante K a un soporte mvilcon una velocidad vs. La dinmica de este modelo de dos masas y dos muelles,que ha mostrado describir los resultados experimentales mencionados lneasarriba, viene descrita por

Mp X + _X + c

_X _x

+ k (X x) +K (X vst) = X(t) (1.15)

max+ c

_x _X

+ s _x+ k (xX) + @U(x)

@x= x(t) (1.16)

La ecuaciones (1.15) y (1.16) describen el movimiento del cantilever conposicin dada por X y el movimiento del pice de coordenada x, respecti-vamente. El potencial de interaccin pice-sustrato de constante de red a yamplitud U0 est dado por U(x) = U0 cos

2a x. Adems, se han incluido ex-

plcitamente los parmetros de amortiguamiento , c y s responsables de ladisipacin de energa cintica en el cantilever, la deformacin del pice y elsustrato, respectivamente.

Los efectos de uctuaciones trmicas sobre el movimiento del cantilever yel pice de la punta vienen dados por dos fuerza aleatorias e independientes,X(t) y x(t), que son -correlacionadas: hX(t)X(t0)i = 2(+c)kBT(t t0)y hx(t)x(t0)i = 2(c + s)kBT(t t0).

Es importante aclarar que el modelo original PT de una sola masa y unmuelle se mantiene vlido para un amplio rango de valores de parmetros, enlas cuales no es necesario asumir explcitamente el enfoque de dos masas y dosmuelles. Como ha sido mostrado por Tshiprut el al. [62], usando una masay una constante de acoplamiento efectiva, el modelo original con un nicoacoplamiento elstico sigue siendo til. De esta manera, la ecuacin dinmicatendra la forma [62]:

mx+ c ( _x vs) (kef=k) + s _x+ kef (x vst) + @U(x)@x

= x(t); (1.17)

con m y ke la masa y constante elstica efectiva.

El canal adicional de disipacin que proviene de la exibilidad del picerespecto al resto de la punta, c, tiene un efectos importante sobre las cur-vas caractersticas del sistema. Especcamente, la disipacin asociada con los


efectos de elasticidad del grupo reducido de tomos en contacto directo conel sustrato conlleva a una modicacin en el comportamiento de la curva defuerza de friccin frente a la velocidad del soporte [63]. Experimentalmentese ha encontrado evidencia de una zona tipo plato en el lmite de altas velo-cidades [64], que ha sido interpretada tericamente como efecto directo de ladisipacin que surge de considerar los efectos de c [63]. En general, el compor-tamiento predicho cuando se introduce explcitamente este canal de disipacin,

c, es un comportamiento no montono de la fuerza de friccin cintica hFkicon la velocidad del soporte vs.

As, el comportamiento general puede resumirse a partir de una relacinpara la fuerza de friccin cintica con un primer trmino para el caso c =0 (primer trmino de la ecuacin 1.17), el cual es relevante en el regin develocidades bajas correspondiente al rgimen stick-slip y un segundo trminoque surge de los efectos de disipacin del canal c. El comportamiento generalde esta relacin es un comportamiento no montono con la velocidad [63].

hF (#)i = hF (# = 0)i #vs (1.18)

con := c + s y # = c=. A velocidades bajas e intermedias, la exibilidaddel pice de la punta presenta comportamientos tipo stick-slip. Para valoresms grandes de vs, el movimiento del pice es suavizado y la disipacin a travsdel canal asociado con esta exibilidad del pice se reduce. As la contribucina la friccin que se deriva de este grado de libertad tambin se reduce.

Simulaciones de Dinmica Molecular a todos los tomos (MDS):

En los modelos anteriores, nicamente los grados de libertad ms relevan-tes del sistema son considerados dentro de cada modelo tipo minimalista. Esteenfoque resulta muy til para interpretar observaciones experimentales y en-tender muchos aspectos de la friccin a escala atmica. Sin embargo, considerarla naturaleza atmica del sistema es en muchos casos deseado o incluso la ni-ca forma de acceder a informacin que desde el punto de vista experimentalresulta complejo obtener o incluso puede ser inaccesible. Tal aproximacin alproblema es posible desde el enfoque de dinmica molecular a todos los tomos(MDS por sus siglas en ingls) [10, 13, 19, 27, 65]. En este tipo de simulacio-nes, dado un conjunto de potenciales empricos de interaccin y unas adecuadascondiciones geomtricas y de frontera, las ecuaciones de movimiento clsicas deNewton correspondientes a un nmero de dado partculas (tomos o molculas)se resuelven numricamente.

Este enfoque permite abordar el estudio de una gran variedad de condi-ciones que van desde los sistemas libres de defectos y casi ideales hasta losaltamente desordenados [27]. Todo esto sin las dicultades tcnicas en la pre-

1.6. Comentarios relevantes 21

paracin de muestras que surgen en el mbito experimental. Unido a esto, laposibilidad de acceder a la informacin que proviene de seguir el movimientoindividual de las partculas del sistema, constituye una herramienta nica a lahora de comprender los orgenes moleculares de la friccin.

Sin embargo, las capacidades computacionales actuales (una paralelizacinen un clster de tamao medio 102 ncleos, por ejemplo) restringe el uso de es-ta tcnica a simulaciones con escalas de tiempo del orden de microsegundos, enel mejor de los casos (para un sistema del orden N s 105 partculas) [13]. Porotro lado, las velocidades tpicas en experimentos de friccin a escala atmicase encuentran en el rango vs s 101 103nm/s, lo cual permite simular mo-vimientos sobre distancias de como mximo unos cuantos picometros usandoMDS. Distancias de este orden resultan insucientes para describir fenmenosde stick-slip en friccin. Para lograr distancias razonable, las velocidades for-zosamente usadas en simulaciones van desde 0.1 a 10 m/s, lo cual conlleva auna brecha de al menos 6 rdenes de magnitud en la velocidad.

Existen tcnicas especiales como la dinmica de replicas paralelas [66], quepermite reducir esta brecha (se pueden obtener simulaciones con velocidadesdel orden 103m/s para sistemas con tamaos de N s 103 104 partculas),pero que siguen siendo insucientes a la hora de analizar muchos sistemas tri-bolgicos de inters. A pesar de estas importantes limitaciones, la informacinque se obtiene de esta aproximacin resulta de gran valor. Este panorama evo-luciona rpidamente con el desarrollo que se da en las mquinas de clculo,as que es de esperar que el papel desempeado por MDS sea cada vez msimportante.

1.6. Comentarios relevantes

Para nalizar esta corta introduccin, es importante comentar la relacinde los resultados y modelos de este captulo con los fenmenos de friccin enescalas micromtricas y macroscpicas.

La friccin depende del grado de rugosidad de las supercies en contac-to, de la qumica de la interfase, de las propiedades elsticas e inelsticas decontactos, del material, el entorno y de la historia previa de la interfase de con-tacto [4, 27, 67]. A pesar de la enorme complejidad que encierra cualquier fe-nmeno de friccin, se han alcanzado signicantes progresos en la comprensinde fenmenos de friccin que surgen de contactos individuales. Actualmente larelacin entre estos resultados para contactos individuales y los que surgen aescala macroscpica constituyen una rea muy activa de investigacin en estecampo [6875].


Debe resaltarse que al igual que en cualquier fenmeno no lineal y com-plejo, el comportamiento de una interfase macroscpica no surge de la merasuperposicin de efectos de sus partes tomadas individualmente, los contac-tos individuales. Por ejemplo, recientes resultados experimentales han logradovisualizar en tiempo real la dinmica del rea neta en la interfase entre dosbloques de material semitransparente [6870, 73]. Estas investigaciones logra-ron establecer que el comportamiento colectivo (frentes de onda) de conjuntosmacroscpicos de contactos en la interfase, determinan el mecanismo de tran-sicin de friccin esttica a cintica. La existencia de diferentes frentes de ondaa travs de la interfase conlleva una distribucin inhomognea de los contactos,lo cual adems caracteriza el inicio de eventos de deslizamiento en la interfase.

Otro importante resultado indica que el coeciente de friccin esttica parael mismo sistema muestra una dependencia con la conguracin especca decarga a lo largo de la interfase [68, 76]. Este importante resultado fue vincu-lado con los cambios en la dinmica de ruptura de contactos en la interfasedel sistema examinado. Este tipo de experimentos pioneros ponen a nuestradisposicin resultados muy interesantes, pero sobre todo, abren gran cantidadde interrogantes y hacen de este campo de investigacin uno muy prometedory excitante.

Captulo 2

Friccin y desorden supercial

En este captulo investigamos el efecto de desorden supercial sobre la fric-cin atmica. Los resultados se restringen al rgimen dinmico de stick-slipy a un modelo tipo Prandtl-Tomlinson en una dimensin. Se encuentra quela presencia de desorden supercial en el potencial de sustrato puede modi-car la longitud media de salto, slip, y de este modo la fuerza de friccinen el sistema. En particular, el efecto de desorden es ms importante a bajastemperaturas y cerca de los puntos de transicin dinmica o a cargas altas.Adicionalmente, se muestran resultados para diferentes valores de los parme-tros de temperatura T , amplitud del potencial de corrugacin U0, velocidad dearrastre vs y amortiguamiento . Se pone especial atencin en la comparacinentre los resultados en los casos de supercies perfectas y con desorden a di-ferentes temperaturas y como el efecto combinado de desorden y temperaturaafecta la dinmica del sistema. En la ltima parte de este captulo, presenta-mos resultados que resaltan la robustez de nuestros resultados previos frente acambios en amortiguamiento efectivo en el sistema.

La mayora de esfuerzos tericos para describir los experimentos de micros-copa de fuerza de friccin se han enfocado en estudiar supercies perfectamenteperidicas con o sin la inclusin de efectos trmicos. Sin embargo, el estudiodel efecto de desorden sobre la friccin atmica es particularmente importanteya que supercies de esta clase, supercies que distan de ser perfectamenteperidicas, estn siempre presentes en la naturaleza.

24 Captulo 2. Friccin y desorden supercial

2.1. El modelo

Se ha usado un modelo tipo Prand-Tomlinson generalizado en una dimen-sin, el cual incluye efectos trmicos

Md2x

dt2+M

dx

dt+@U(R; x)

@x= (t);

U(R; x) =k

2[R(t) x]2 + V (x):

(2.1)

En este marco de modelado, la punta se considera como una simple partcu-la que es arrastrada sobre un potencial sustrato unidimensional. Aqu, U(R; x)es el potencial efectivo, el cual incluye el efecto de acoplamiento elstico de lapunta con el soporte que se mueve a velocidad constante vs y la interaccinpunta sustrato V (x). M y x son la masa efectiva y la posicin lateral de lapunta y k es la constante de resorte. es el trmino de ruido aleatorio el cualsatisface la relacin de uctuacin-disipacin h(t)(t)i = 2MkBT(t t) con

el coeciente de friccin microscpica y kB la constante de Boltzmann.

El desorden supercial se modela incluyendo un segundo trmino armnicoen el potencial estndar de interaccin punta-supercie

V (x) = U01 + sin

2x

b

cos

2x

a

: (2.2)

Aqu = ab es el factor de conmesurabilidad, " mide la importancia del se-gundo armnico, y a y U0 son el espaciado de red y la amplitud del potencialsupercial regular (" = 0), respectivamente. Esta amplitud puede cambiarsevariando la carga sobre el sistema, aunque es de valor notar que un cambioen este parmetro probablemente conlleve el cambio en otros parmetros delsistema en una manera no trivial. El efecto de este desorden es un cambio pe-queo en la forma del potencial (ver gura 1). De esta manera se introduce unadistribucin en las alturas de las barreras y ligeros cambios en las posicionesde los mximos y mnimos del potencial.

El principal punto de inters de este captulo es estudiar el valor mediohF i de la fuerza de friccin instantnea F (t) = k[R(t) x(t)] como funcinde la velocidad del soporte vs, temperatura, intensidad del potencial de in-teraccin U0 y otros parmetros del modelo. Ecuaciones adimensionales seobtienen si medimos la energa en unidades de U0, espacio en unidades delespaciado de red (ex = 2x=a) y el tiempo en unidades de la frecuencia naturalde las oscilaciones de la punta en el fondo del potencial supercial ( = !ptcon !p = 2

pUo=Ma2). Entonces, e = =!p, ek = 1= = ka2=(42Uo) yevs = vspM=Uo son el amortiguamiento, la constante de resorte y la velocidad

normalizadas, respectivamente.

2.2. Desorden supercial sin temperatura 25

21 22 23 24 25

-1

0

1

0

0.1

0.3

V / U

0

x / a

Figura 2.1: Potencial punta-supercie para el caso =p5+12;0 y = 0 (sustrato per-

fectamente sinusoidal), =0.1 (bajo desorden, lnea roja a trozos), y =0.3 (caso dedesorden fuerte, lnea punteada azul).

Se ha integrado numricamente la ecuacin (2.1) para diferentes valores delos parmetros del sistema. Siguiendo el trabajo de Tshiprut el al., en nuestrassimulaciones hemos usadoM = 5;01011Kg, a = 0;45 nm, k = 1;5 N/m, =105 s1 (excepto en la seccin nal donde permitimos que el amortiguamientocambie) y U0 en el rango 0.2 eV a 1.2 eV (entonces e va desde 0.3 a 0.1 y desde 4 a 25). Para vs hemos normalmente usado 10 nm/s. Respecto alparmetro de desorden supercial se ha usado = (

p5 + 1)=2 y =0, 0.1 o

0.3.

2.2. Desorden supercial sin temperatura

En esta seccin se presentan simulaciones numricas del efecto de desor-den supercial como denido en la ecuacin (2.2) sobre las propiedades fsicasdel sistema, principalmente la fuerza de friccin promedio hF i, para diferentesvalores de los parmetros. Antes de presentar los resultados y con el propsi-to de comprender mejor el problema se revisarn brevemente las principalespropiedades del sistema para el caso perfecto (" = 0). Para este caso, el prin-cipal resultado se muestra en la gura 2.3(a) donde presentamos la fuerza defriccin como funcin de la amplitud del potencial de corrugacin U0 en el r-gimen de velocidades bajas (vs = 10 nm/s). El inset muestra una curva tpica


0.4 0.6 0.8 1.0

0.4

0.8

1.2

1.6

F(nN)

U

o

(eV)

0 2 4 6 8 10 12

0.0

0.6

1.2

4

3

1

2

I

FnN

ln v

s

II

III

0.5 0.6 0.7 0.8

10

12

14

16

x / a

0.5 0.6 0.7 0.8

( d )( c )( b )

( a )

t (s)

0.5 0.6 0.7 0.8

Figura 2.2: (a) Fuerza de friccin promedio como funcin U0, amplitud del potencialde corrugacin, para vs =10 nm/s. El inset muestra la fuerza de friccin en funcinde la velocidad del soporte para U0 =0.27 eV (ver echa en la gura principal). Lasguras (b), (c) y (d) muestran la evolucin temporal de la posicin de la punta paravarios valores de U0 correspondientes a las regiones 1, 2 y 3 en (a). En todos los casosT = 0 K.

de fuerza de friccin en funcin de la velocidad del soporte (calculada parael caso U0 = 0;27 eV). Aqu, y en las guras siguientes, lnvs se reere a unavelocidad medida en nm/s. Adems, en todos lo casos = 105 s1 (e ' 0;25).En la curva de la fuerza de friccin en funcin de la velocidad del soporte (verrecuadro gura 2.2(a)), podemos distinguir tres regiones dinmicas. A bajasvelocidades se encuentra una primera regin (marcada como I) que correspon-de al bien conocido comportamiento stick-slip con salto de una constante dered. La segunda regin (regin II en la gura 2.2(a)) es adems caracterizadapor un comportamiento stick-slip pero con longitudes de salto ms grandes.Esta segunda regin aparece usualmente en valores intermedios de velocidad yest ausente para valores sucientemente altos de amortiguamiento. Finalmen-te, encontramos la regin III que corresponde a valores ms altos de velocidaddonde la punta desliza suavemente y el comportamiento stick-slip desaparece.

Nos enfocaremos principalmente en la dinmica del sistema cuando est


en el rgimen stick-slip. En esta regin, la dinmica es gobernada por la lon-gitud de salto del evento slip. La gura 2.2(a) muestra la fuerza de friccincomo funcin de la amplitud del potencial, U0. Esta curva presenta una se-rie marcadas discontinuidades que corresponden a cambios en la longitud delos eventos de salto. Las discontinuidades marcan transiciones entre diferentesestados dinmicos. La regiones numeradas como 1, 2, 3 y 4 corresponden res-pectivamente a saltos con una, dos, tres y cuatro constantes de red. El rangode valores del parmetro en cada regin es: 1;0 < 1 6;66 2 11;45 3 16;03 4 20;61. Para valores de < 1, la punta desliza suavemen-te y los eventos stick-slip no aparecen. Las guras 2.2(b)- 2.2(d) muestran ladinmica temporal de la punta para las regiones 1, 2 y 3.

Es importante mencionar que un cambio en U0, adems cambia el amor-tiguamiento y la velocidad adimensional del sistema ya que ~ = =!p con!p = 2

pUo=Ma2 y evs = vspM=Uo. As, un valor grande de U0 implica un

valor pequeo en e y esto permite saltos ms largos de la punta. Siguiendo es-tudios previos, se considerarn U0, y vs como parmetros independientes dealgn modo accesibles y experimentalmente controlados o medidos. Adems,se ha vericado numricamente que la transicin observada en la gura estpresente en simulaciones a e y evs constante y as podemos estar seguros deatribuirlas a modicaciones en el perl del potencial.

Ahora se presentarn los resultados de como la inclusin de desorden su-percial afecta la fuerza de friccin y la dinmica de la punta. Se mostrarque en algunos casos el desorden supercial modica fuertemente la respuestadel sistema. Como se espera, el principal efecto del desorden es suavizar lascurvas de la fuerza de friccin frente al potencial de corrugacin. Sin embargo,una pequea cantidad de desorden adems afecta las curvas caractersticas deforma importante para algunos valores de los parmetros, en particular, cercaa los puntos de transicin, ver gura 2.3(a). En esas regiones la presencia dedesorden cambia los valores de la longitud media de cada evento de slip (verrecuadro en la gura) lo cual tiene importantes consecuencias en el resultadode la fuerza de friccin promedio. La gura adems muestra que el efecto deldesorden es ms importante a valores grandes de U0. Ah, el amortiguamientoadimensional es ms pequeo y la dinmica es ms sensible a pequeos cam-bios en el potencial de sustrato. La gura 2.3(b) muestra un conjunto de curvasde la fuerza de friccin en funcin de la velocidad para varios valores de U0(0.31, 0.52 y 0.71 eV) y las compara con el caso regular (smbolos abiertos) ydesordenado (smbolos rellenos). Dichos valores de U0 han sido seleccionadoscerca de puntos de transicin dinmica. En la parte de velocidades bajas de lacurva (regin I) los valores de la fuerza de friccin han sido importantementemodicados por la presencia de desorden supercial. En valores ms altos develocidad el sistema cambia a la regin II y esta diferencia desaparece. Esta


0.4 0.6 0.8 1.0

-0.3

0.0

0.3

0.6

0.9

U

0

(eV)

F (nN)

0.4 0.6 0.8 1.0

0

1

2

3

4

L / a

0 3 6 9 12

0.5

1.0

ln v

s

F(nN)

( a )

( b )

0.31 eV

0.52 eV

0.71 eV

0 2 4 6 8 10

1

2

L/ a

Figura 2.3: Efectos de desorden supercial en la dinmica stick-slip del sistema paraT = 0 K. Smbolos abiertos para el caso de potencial regular ( = 0) y los smbolosslidos para la situacin con desorden ( =0.1). (a) Fuerza de friccin y longitud desalto media frente a la amplitud del potencial en el rgimen de baja velocidad. Elrecuadro muestra la longitud de salto promedio para diferentes valores de U0. (b)Fuerza de friccin en funcin de la velocidad vs para U0 =0.31 eV (crculos), 0.52 eV(cuadrados), 0.71 eV (tringulos). El recuadro muestra la longitud media de los saltospara U0 =0.31 eV.


0.4 0.6 0.8 1.0

0.3

0.6

0.9

( c )

( b )

( a )

0

0.1

0.3

U

0

(eV)

F (nN)

3 6 9 12

0.3

0.6

0

0.1

0.3

ln v

s

F (nN)

0 3 6 9 12

0.3

0.6

0

0.1

0.3

F (nN)

ln v

s

Figura 2.4: (a) Fuerza de friccin media en funcin de la amplitud del potencial paravs =10 nm/s. Fuerza de friccin media en funcin de la velocidad de arrastre de lapunta para U0 =0.31 eV (gura (b)), y U0 =0.34 eV (gura (c)), para =0, 0.1 y 0.3.


regin se caracteriza por eventos de salto ms largos, los cuales corresponden afuerzas de friccin medias menores. La abrupta transicin observada en el casoregular es suavizada y anticipada por la presencia de desorden. A velocidadesmucho mayores el fenmeno de stick-slip desaparece y no hay diferencia entrela situacin desordenada y la regular. De nuevo, podemos ver la curva para lalongitud media de salto (recuadro de la gura 2.3(b)) para entender la curvaprevia en trminos de esta variable. La diferencia entre el caso regular y eldesordenado es causada por la modicacin de la longitud de salto que surgede la inclusin del desorden y depende de los valores especcos de U0 y .

La gura 2.4 muestra el efecto de un desorden mayor sobre la curvas carac-tersticas del sistema. Como se indic antes, cerca a los puntos de transicindinmica la inclusin de una pequea cantidad de desorden puede producir uncambio dramtico en la respuesta del sistema. Se ve adems que para " = 0;3,perturbacin un poco mayor que la obtenida con " = 0;1 (ver gura 2.1),el efecto sobre la fuerza de friccin es mucho ms fuerte. Para este valor dedesorden, importantes solapamientos entre reas correspondientes a diferenteslongitudes de salto son observadas. Valores de desorden mayores a este valor" = 0;3 producen efectos mucho ms grandes.

2.3. Desorden supercial con temperatura

Ahora estudiaremos el efecto combinado de desorden supercial y tempera-tura en la dinmica del sistema. Hay bastantes evidencias tanto experimentalescomo numricas que muestran el importante papel desempeado por la tem-peratura en los fenmenos de friccin. El principal efecto de la temperaturaes la reduccin de la fuerza de friccin en la regin stick-slip de la curva defriccin con la velocidad. Esta reduccin ha sido observada a altas temperatu-ras y ha sido explicada debido a la existencia de saltos de la punta activadostrmicamente. Sin embargo, se ha observado recientemente que a bajas tem-peraturas las uctuaciones trmicas pueden incrementar la fuerza de friccin,la cual alcanza un mximo y luego decrece. Adicionalmente a la activacintrmica, la presencia de temperatura puede adems reducir la longitud mediade los saltos. Esta reduccin explica el incremento de la fuerza de friccin quedomina el comportamiento del sistema a bajas temperaturas. Dichos efectosson claramente vistos en las guras 2.5(b) y 2.5(c), donde adems se presentanresultados para el caso del potencial regular (smbolos abiertos).

Debido al importante papel jugado por la temperatura es natural con-siderar en este momento los efectos combinados de uctuaciones trmicas ydesorden supercial en la respuesta del sistema. Las guras 2.5 y 2.6 resumenlos principales resultados. En la gura 2.5(a) mostramos una comparacin de

2.3. Desorden supercial con temperatura 31

0.3 0.6 0.9

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

50K

400K

F (nN)

U

0

(eV)

0 100 200 300 400 500 600

0.2

0.4

0.6

0.8

0.27eV

0.46eV

0.56eV

0.65eV

0.82eV

F (nN)

( a )

( b )

( c )

T (K)

0 100 200 300 400 500 600

1

2

3

4

0.27eV

0.46eV

0.56eV

0.65eV

0.82eV

L / a

T (K)

Figura 2.5: Comparacin del efecto de desorden supercial para diferentes valores deT y U0. (a) hF i como funcin de U0 para T = 50 y 400 K. (b) hF i en funcin de T y(c) hF i en funcin T para U0 = 0.27, 0.46, 0.56, 0.65 y 0.82 eV.


0 3 6 9 12

0.4

0.6

0.8

( c )

ln v

s

F (nN)

( b )

( a )

0K

53K

133K

213K

293K

373K

0 3 6 9 12

0.4

0.6

0.8

F (nN)

ln v

s

0K

53K

133K

213K

293K

373K

0 3 6 9 12

0.4

0.6

0.8

133K

F (nN)

ln v

s

Figura 2.6: Curvas de fuerza de friccin en funcin de la velocidad para (a) =0 y(b) =0.1 y diferentes valores de T y para U0 =0.65 eV. La gura (c) compara elresultado para el caso regular y el desordenado a T =133 K.

2.4. Efecto del amortiguamiento 33

la curva de fuerza de friccin en funcin de la amplitud del potencial para elcaso regular (" = 0) y el caso irregular (" = 0;1) a 50 y 400 K (para T = 0K ver la gura 2.3(a)). La diferencia ms importante entre las dos curvas seobserva a pequeos valores de temperatura y cerca a los puntos de transicin,o en valores grandes de la amplitud del potencial. Como se puede ver en lasguras la diferencia desaparece a altas temperaturas. Este efecto es estudiadoen las guras 2.5(b) y 2.5(c), donde calculamos la fuerza de friccin y la lon-gitud media de los eventos de salto como una funcin de la temperatura delsistema para cinco valores diferentes de U0 correspondientes a los cinco estadosdiferentes marcados en la gura 2.5(a).

Se observa que la inclusin de desorden no modica los dos principales efec-tos trmicos en competencia ya reportados en la literatura, ver guras 2.5(b)y 2.5(c): decrecimiento montono de la friccin debido a la activacin trmicasin modicacin de la longitud media de salto, dominante a valores pequeosde U0 o temperaturas altas, y el incremento de la friccin debido a la reduccinde la longitud de salto, observada a bajas temperaturas y valores altos de U0.Esta reduccin puede entenderse usando la imagen stick-slip de la dinmicade la punta donde el perl de potencial de la punta, el cual adems dependede la posicin relativa entre punta y soporte, cambia continuamente creandonuevos mnimos durante la etapa stick del ciclo lo cual posibilita saltos mslargos. El ruido trmico reduce el tiempo de la fase stick cuando induce saltosactivados trmicamente. As, el perl de potencial contiene un nmero menorde mnimos accesibles y la longitud media de salto es adems reducida.

Como se espera, en cuanto a la inclusin de desorden se observa que uc-tuaciones sucientemente fuertes pueden apantallar cualquier efecto inducidopor el desorden. Adems, hemos estudiado el efecto combinado de desorden ytemperatura sobre la curva de fuerza de friccin frente a la velocidad del sopor-te. La gura 2.6 muestra ejemplos de la modicacin de la curva de fuerza defriccin versus la velocidad debido al efecto combinado de desorden y tempe-ratura. Podemos distinguir las tres regiones mostradas en la gura 2.2(a) y losdos principales efectos trmicos descritos lneas arriba. La gura 2.6 muestraadems, en algunos casos, una reduccin de la fuerza de friccin con la veloci-dad en la regin de baja velocidad de la curva caracterstica del sistema. Unresultado similar ha sido recientemente reportado por Barel y Urbakh.

2.4. Efecto del amortiguamiento

Los efectos trmicos han sido incluidos asumiendo la existencia de un baotrmico a una temperatura dada acoplada al sistema y satisfaciendo la rela-cin de uctuacin-disipacin. La disipacin es controlada por el parmetro de


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.2

0.4

F (nN)

2

1

1

2

( a )

3

0.058125 0.058200 0.058275

1

2

x / a

( b )

t (s)

1

2

3

0 5 10 15 20

0

4

8

U / U

o

x (2 a)

3

0.0 0.1 0.2

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

F(nN)

t (s)

( c )

0.058125 0.058200 0.058275

-0.5

0.0

0.5

1.0

2

1

3

Figura 2.7: Figura (a) muestra hF i como funcin del amortiguamiento adimensionale ( =0, T = 0, U0 =0.31). LAs guras (b) y (c) muestran la evolucin temporal de laposicin de la punta (b) y de la fuerza de friccin (c) para e =0.20 (curva 1),e =0.19(curva 2) y e =0.06 (curva 3).

2.4. Efecto del amortiguamiento 35

amortiguamiento, el cual puede ser visto como una medida de la intensidad delacoplamiento del sistema al bao, el cual modela el efecto de todos los demsgrados de libertad presentes en el sistema. La temperatura es un parmetrobien controlado. Sin embargo, determinar el valor correcto del amortiguamien-to para la punta es un asunto ms complejo. As, es importante estudiar ladinmica del sistema para diferentes valores del amortiguamiento con el nde vericar la robustez de los resultados contra cambios en este parmetro.El efecto del amortiguamiento ha sido estudiado en el contexto de robustezde la forma funcional de la dependencia de la fuerza de friccin con la veloci-dad y para estudiar el efecto de la exibilidad de la punta sobre la dinmicastick-slip

Respecto a los efectos del amortiguamiento, usualmente es denido un valorde amortiguamiento crtico arriba del cual las oscilaciones de la punta desapa-recen (dinmica sobreamortiguada). En este caso todos los saltos deterministastienen una longitud cercana a una constante de red. Existen resultados experi-mentales que indican que el amortiguamiento est abajo de este valor crtico,lo cual corresponde a una situacin ms compleja y mucho ms rica desde elpunto de vista dinmico. Se ha investigado primero en el caso regular el efectodel parmetro de amortiguamiento sobre la fuerza de friccin para valores de ecruzando el valor crtico. Despus hemos estudiado como este comportamientoes afectado cuando se introducen efectos de desorden. Nuestro primer resulta-do, gura 2.7(a) muestra una serie de escalones en la curva de fuerza de friccinen funcin del amortiguamiento. Cerca a las discontinuidades un cambio pe-queo en el amortiguamiento puede producir un cambio grande en la fuerza defriccin. Cada escaln en esta gura corresponde a un salto de longitud cerca-na a una o dos constantes de red, respectivamente (ver adems recuadro de lagura). En el lmite sobreamortiguado, nicamente la zona marcada con 1 esalcanzada. En valores menores del amortiguamiento, la punta puede alcanzarel sitio marcado como 2. Si el amortiguamiento es reducido, de nuevo la puntapuede moverse entre los pozos 1 y 2, y entonces oscilar atrs hacia 1 donde esatrapada. Para un amortiguamiento menor, la punta oscila hacia atrs y ade-lante entre ambos mnimos antes de alcanzar un valor de equilibrio. Entonces,decreciendo el valor del amortiguamiento, se observan transiciones adicionales.Las guras 2.7(b) y 2.7(c) muestran la evolucin temporal de la posicin y lafuerza de la punta para tres valores cercanos de amortiguamiento, dos de ellosa ambos lados de un punto de transicin. Para otros valores de los parmetros(U0 ms grande) situaciones ms complejas son encontradas. En esos casos ladinmica resulta de la interaccin entre un nmero mayor de mnimos que losmostrados en la gura 2.7.

Cuando se incluye desorden supercial y/o temperatura, se observa, co-mo es esperado, que este comportamiento es fuertemente suavizado o incluso


0.0 0.2 0.4 0.6

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

F (nN)

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

0.2

0.3

0.4

0.5

~

F (nN)

a

b

0 K

100 K

373 K

0.0 0.1 0.2 0.3

1

2

L / a

Figura 2.8: (a) Efectos de desorden supercial sobre la fuerza de friccin media y lalongitud media de salto para diferentes valores del parmetro de amortiguamientonormalizado: T =0 K, smbolos abiertos para =0 y slidos para =0.1. (b) Efectocombinado de desorden supercial ( =0.1) y temperatura (T =0, 100 y 373 K) sobrela fuerza de friccin para diferentes valores del amortiguamiento normalizado. Enambos casos U0 =0.31 eV.

2.5. Conclusiones y comentarios relevantes 37

suprimido. La gura 2.8(b) muestra el cambio de la fuerza de friccin y lalongitud media de salto como una funcin del amortiguamiento para un casode desorden leve (" = 0;1) y su comparacin con la curva en el caso regular(" = 0). La gura 2.8(b) muestra la fuerza de friccin como una funcin delamortiguamiento cuando (" = 0;1) y para tres valores diferentes de tempera-tura.

2.5. Conclusiones y comentarios relevantes

Con el n de investigar el efecto de desorden supercial sobre la friccinatmica se han hecho extensivas simulaciones numricas con base en el modelounidimensional de Prandtl-Tomlinson. Los resultados muestran el importantepapel desempeado por el desorden para algunos valores dados de los pa-rmetros. En particular, el desorden es importante a bajas temperaturas. Atemperaturas sucientemente altas las uctuaciones trmicas son capaces deapantallar el efecto del desorden. Adems, el desorden supercial es particular-mente importante cerca a los puntos de transicin dinmica y a valores altosde la amplitud del potencial de sustrato U0. Los puntos de transicin dinmicaestn asociados a discontinuidades en el valor medio de la longitud de salto delrgimen stick-slip. As, la determinacin de este valor medio ha mostrado sermuy til con el n de entender la respuesta dinmica del sistema.

El desorden en el sistema se ha aproximado mediante la inclusin de unsegundo armnico inconmesurado dentro del potencial de interaccin punta-supercie. El modelo modica ligeramente las posiciones extremas y las alturasde las barreras respecto al potencial usual regular. Aunque tal modelo no co-rresponde a un modelo de desorden aleatorio, a escalas de longitudes cortaslas diferencias entre ambos casos no son importantes. En cualquier caso, laecuacin (2.2) adems representa el perl de potencial en una direccin dadapara una red cuasi-peridica.

Se han presentado resultados para valores moderados e intermedios delparmetro de desorden, " =0, 0.1 y 0.3. Obviamente, el efecto es mucho msfuerte a valores ms grandes de ". Sin embargo tales potenciales representanuna modicacin fuerte con respecto al caso regular (" = 0). Respecto alfactor de conmesurabilidad , se han encontrado resultados similares para otrosvalores de este parmetro.

Se ha enfocado la atencin sobre la regin stick-slip de la curva del sistemade fuerza de friccin como funcin de la velocidad de arratre del soporte. Msall de esta regin la curva no es afectada por el desorden o la temperaturacomo se muestra en las guras 2.3(b), 2.4(b), 2.4(c) y 2.6. La regin stick-


slip es dominada por la amplitud los diferentes stick-slips. En el caso regulary a temperatura cero la dinmica es peridica y las transiciones entre losdiferentes estados dinmicos denidos por hLi, son abruptas. Ambos, desordeny temperatura producen una mezcla de saltos de diferentes longitudes. As,como se muestra en las diferentes guras, estos suavizan las curvas de friccinde una manera similar.

Una cuestin importante es el modelado de la punta y su interaccin conel entorno. Esta interaccin ja el valor del amortiguamiento en el sistema.Resultados experimentales han mostrado que valores aceptables del amorti-guamiento adimensional estn en las regiones de sobre amortiguado y del r-gimen moderado al del amortiguamiento alto. Como se ha visto, una correctaidenticacin del amortiguamiento experimentado por la punta es importantepara entender la dinmica del sistema.

Respecto al acoplamiento de la punta al soporte mvil, el modelo de Prandtl-Tomlinson aproxima esta interaccin en la forma ms simple, un acoplamientoarmnico. Sin embargo, recientes trabajos los cuales usan otros esquemas deacoplamiento, muestra que para algunos valores de los parmetros la respuestadinmica depende del modelo. La elasticidad de la punta ha sido recientementeestudiada por ejemplo usando un modelo de dos masas y dos resortes. Creemosque los efectos de desorden en este esquema ms complejo sern similares a losreportados aqu.

Captulo 3

Friccin sobre supercies condefectos

Se presenta un estudio terico del efecto de defectos superciales sobre lafriccin atmica en el rgimen dinmico de stick-slip en un modelo minima-lista. El estudio se enfoca en como la presencia de defectos y temperaturacambian las propiedades promedio del sistema. Se han identicado dos meca-nismos principales los cuales modican la fuerza de friccin media del sistemacuando se consideran defectos. Como es de esperarse, los defectos cambian elperl de potencial localmente y as afectan la fuerza de friccin. Pero la presen-cia de defectos cambia adems la funcin de distribucin de probabilidad de lalongitud de salto de la punta y as la fuerza de friccin media. Se corroboranambos efectos para diferentes valores de temperatura, carga externa, velocidaddel soporte y amortiguamiento. Adems se muestra una comparacin de losefectos de superciales defectos y desorden supercial sobre la dinmica delsistema.

Como se ha mostrado en el captulo 2 de este memoria, pequeas incerti-dumbres en el potencial efectivo de interaccin entre una punta de un microsco-pio de fuerza de friccin (FFM, por sus siglas en ingls) y una supercie puedeproducir cambios fuertes en el comportamiento friccional de la punta. Otrosresultados han mostrado que otras clases de imperfecciones en el potencial desustrato modican adems el comportamiento friccional en la escala atmica.Reguzzoni et al. estudiaron la friccin en el deslizamiento de mono capa dexenn sobre un sustrato de cobre. En dicho estudio se encontr que el iniciodel evento de salto de la monocapa es afectado fuertemente por la presenciade defectos tipo vacancias dentro de la mono capa.

Hlscher et al. analizaron la dependencia de la fuerza de friccin con lacarga en escalones superciales a escala atmica.

40 Captulo 3. Friccin sobre supercies con defectos

Con el n de caracterizar mejor la friccin a escala atmica bajo potencia-les superciales realistas presentamos resultados en este captulo para el efectode defectos superciales sobre la friccin atmica y su interaccin con los efec-tos trmicos. Por defectos superciales nos referimos a molculas absorbidas,vacancias o inclusiones de tomos atractivos o repulsivos dentro de la red per-fecta. Se usar un modelo minimalista el cual se enfoca sobre los grados delibertad ms relevantes y enfatiza la naturaleza no lineal de la dinmica de lafriccin. Consideramos el caso uni-dimensional y nos enfocaremos en la reginstick-slip de la curva de fuerza de friccin en funcin la velocidad de arrastredel soporte. El mismo problema ha sido estudiado previamente por Tshiprutet al. Presentamos resultados para el valor medio de la fuerza de friccin y lalongitud de salto, y para las funciones de distribucin de probabilidad de lalongitud de salto (PDF, por sus siglas en ingls) para un rango de valores dela amplitud del potencial de corrugacin, densidad de defectos, temperaturay amortiguamiento. Se presentan resultados para cuatro tipos diferentes dedefectos. Los resultados indican que la presencia de defectos puede modicarfuertemente el comportamiento friccional en la escala atmica. Los cambiosobservados en la fuerza de friccin resultan de cambios locales del perl delpotencial, lo cual en muchos casos produce adems cambios signicativos enlas PDF de las longitudes de salto. Se compararan nuestros resultados conel caso libre de defectos y se evaluar como la inclusin de defectos modicalocalmente la longitud de salto que la punta realiza. Para nalizar, se haruna detallada comparacin de los resultados para el desorden supercial y de-fectos superciales. Adems, observamos que el efecto de desorden supercialsobre las cantidades promedio es apantallado a uctuaciones trmicas sucien-temente fuertes. Por el contrario, para el problema de defectos supercialesencontramos efectos signicativos an a temperaturas altas.

3.1. El modelo

Estudiamos un modelo generalizado de Prandtl-Tomlinson el cual incluyeefectos trmicos.

Md2x

dt2+M

dx

dt+@U(R; x)

@x= (t);

U(R; x) =k

2[R(t) x]2 + V (x):

(3.1)

Aqu como en el captulo 2, modelamos la punta como una partcula arras-trada por un muelle elstico sobre una un potencial de sustrato uni-dimensional.U(R; x) describe el potencial de interaccin efectivo de la punta el cual incluye

3.1. El modelo 41

-2

0

2

V (x)

-2

0

2

A0=0.71U0

A0=-2.0U0

A0=2.0U0

( c )

( b )

A0=-0.71U0

T

y

p

e

I

T

y

p

e

I

I

( e )

( d )

( a )

27 30

18 21 24

-2

0

2

x

Figura 3.1: Potencial punta-supercie V (ex)=U0 para (a) red perfecta, (b) red condefectos tipo I en los mnimos, (c) red con defectos tipo I en los mximos, (d) red condefectos tipo II en los mnimos y (e) red con defectos tipo II en los mximos.

el acoplamiento elstico de la punta con un soporte mvil a velocidad cons-tante vs (Rs(t) = R0 + vst), y la interaccin punta-sustrato V (x). De igualmanera, M y x son la masa efectiva y la posicin lateral de la punta y k laconstante elstica efectiva de muelle. es el trmino de ruido aleatorio el cualsatisface la relacin de uctuacin-disipacin h(t)(t)i = 2MkBT(t t) con

el coeciente de friccin microscpica y kB la constante de Boltzmann.

Modelamos los defectos superciales por medio de la inclusin de trminosgaussianos dentro del potencial de interaccin punta-supercie estndar

42 Captulo 3. Friccin sobre supercies con defectos

0.0

0.5

1.0

perfect lattice

type I defect-in-maxima

type I defect-in-minima

( b )

F(nN)

1

2

3

4

( a )

0.3 0.6 0.9

0.0

0.5

1.0

perfect lattice

type II defect-in-maxima

type II defect-in-minima

U0 (eV)

Figura 3.2: Fuerza de friccin promedio frente a la amplitud del potencial de corru-gacin U0 en la regin de bajas velocidades (vs =10 nm/s). T =0 y = 105s1. (a)Resultados para red libre de defectos (crculos slidos), red con defectos tipo I en losmximos (cuadrados slidos), y defectos tipo I en los mnimos (cuadrados vacos).Resultados para la red libre de defectos (crculos slidos), red con defectos tipo II enlos mximos (cuadrados vacos) y red con defectos tipo II en los mnimos (cuadradosslidos). La densidad de los defectos es d =30%.

V (x) = U01;0 + cos

2

ax

+Xj

A0e (xxj)

2

22 : (3.2)

A0 da la amplitud del potencial de defecto y es su amplitud. a y U0, comode costumbre, son el espaciado de red y la amplitud del potencial superciallibre de defectos, respectivamente.

Se muestran resultados ms adelante para las cuatro clases de defectos mos-tradas en la gura 3.1(b)- 3.1(e). El panel (a) muestra el perl de potencialpara una red perfecta. Se modela la inclusin de tomos de diferentes natura-lezas introduciendo trminos gaussianos localizados de forma aleatoria en losmnimos (xj = na) de lo que seria la re

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