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TTTTTeora de Observacioneseora de Observacioneseora de Observacioneseora de Observacioneseora de Observaciones 2323232323

INTRODUCCIN

Las operaciones topogrficas, se realizan fundamentalmente para determinar mediciones ya sean linealesy/o angulares. Estas mediciones se efectan bajo el control de la vista humana u observacin, que eviden-temente, como cualquiera de los dems sentidos, tiene un lmite de percepcin ms all del cual no seaprecian perfectamente las magnitudes que se observan, originando a una observacin aproximada de lamedida, sin embargo mediante la estadstica inductiva o inferencia se logra establecer ciertos lmites detolerancia, es decir el grado de precisin de la observacin que se manifiesta cualitativa y cuantitativamentea travs de ese error de apreciacin.

1. Clases de medicin

En la figura, es fcil notar que la longitud AB mide 3 veces unmetro: 3 metros (medicin directa).

Unidad patrn: 1 metro

B) Medicin indirectaEs aquella medida que se obtiene mediante cier-tos aparatos o clculos matemticos ya que sehace imposible medirla mediante un proceso vi-sual simple.

Ejemplo ilustrativo; Magnitud: Longitud

A) Medicin directaEs aquella en la cual se obtienen la medida exac-ta mediante un proceso visual, a partir de unasimple comparacin con la unidad patrn.

Ejemplo ilustrativo:

Frmula: A = (largo)(ancho) = (3 m) (2 m)

A = 6 m2

Se recurri al uso de una frmula matemtica.

Se quiere medir el rea del rectngulo.

3 metrosA B

1 metrolargo = 3 m

anch

o =

2 m

TEORADE

OBSERVACIONESCaptulo 2

JorJorJorJorJorge Mendoza Dueas / Samuel Mora Quionesge Mendoza Dueas / Samuel Mora Quionesge Mendoza Dueas / Samuel Mora Quionesge Mendoza Dueas / Samuel Mora Quionesge Mendoza Dueas / Samuel Mora Quiones2424242424

Error

ExactitudPrecisin

2. Exactitud, precisin y error

A) ExactitudEs el grado de aproximacin a la verdad o grado de perfeccin a la que hay que procurar llegar.

B) PrecisinEs el grado de perfeccin de los instrumentos y/o procedimientos aplicados.

C) ErrorEs la diferencia entre el valor verdadero y el valor determinado mediante las mediciones. No obstante,es preciso anotar que el valor verdadero no se conoce ni se conocer jams.

3. Causa de los errores

A) NaturalesSon aquellos errores ocasionados por las variaciones meteorolgicas (lluvia, viento, temperatura, hu-medad, etc.)

B) InstrumentalesSon aquellos que se presentan debido a la imperfeccin de los instrumentos de medicin.

C) PersonalesSon aquellos ocasionados debido a las limitaciones de los sentidos humanos en las observaciones(vista, tacto, etc).

4.- Clases de errores

A) PropiosSon aquellos que provienen del descuido, torpeza o distraccin del observador, stas no entran en elanlisis de la teora de errores.

Es posible que el operador lea en la cinta mtrica 15,40 metros y al momento de anotar escriba pordescuido L = 154 metros.

15 16

Lectura

L = 154 m


B) SistemticosSon aquellos que aparecen debido a una imperfeccin de los aparatos utilizados; as como tambin a lainfluencia de agentes externos como viento, calor humedad, etc.Estos errores obedecen siempre a una ley matemtica o fsica, por lo cual es posible su correccin.

Supongamos que se quiere medir la longitud AB,pero al usar la cinta mtrica, sta se pandea comose muestra, la lectura que se toma en estas condi-ciones no ser la verdadera, habr que corregir.

L = L' correccin

2W LCorreccin =

24 F

C) Accidentales o fortuitosSon aquellos que se presentan debido a causas ajenas a la pericia del observador, y al que no puedeaplicarse correccin alguna, sin embargo estos errores suelen obedecer a as leyes de las probabilidades;por tal motivo se recomienda tomar varias lecturas de una misma medicin pues generalmente estassuelen ser diferentes.

TEORA DE PROBABILIDADES

Son entes matemticos que sirven para aproximar una cantidad a un rango permisible (de los erroresaccidentales); en esta teora se supone que: Los errores pequeos son ms frecuentes que los grandes. No se cometen errores muy grandes. Los errores pueden ser positivos o negativos. El verdadero valor de una cantidad es la media de un nmero infinito de observaciones anlogas.

Donde: W, L y T son parmetros conocidos.

Probabilidad

Es la relacin que define el nmero de veces que unresultado debe ocurrir respecto al nmero total deposibilidades.En el ejemplo de la figura se observa que el crculoest dividido en 10 tringulos; El color negro tendrentonces una probabilidad de dos a diez (2/10) de serel ganador en el juego de la ruleta, el plomo: 3/10 y elblanco 5/10 como se aprecia.

Para analizar la teora de probabilidades en la topografa se tomar un ejemplo ilustrativo, con el cual seexplicar los conceptos fundamentales as como su respectivo significado.

En este caso la correccin se determina mediante la siguiente frmula:

L

L

BA


Ejemplo ilustrativo

Se ha medido la longitud en milmetros que existeentre dos puntos, para ello se han realizado 100mediciones, los valores que se presentan carecende errores sistemticos. La tabla muestra los valo-res medidos y el nmero de veces.

La media aritmtica X; ser:

X = 700,00 mm

Calculando la desviacin entre cada valor y lamedia:

i iV = X X

Xi (mm) Nmero de veces Vi (mm)

692,00 1 8,00693,00 1 7,00694,00 1 6,00694,20 1 5,80695,00 1 5,00695,20 2 4,80695,70 2 4,30696,00 3 4,00696,80 2 3,20697,00 4 3,00697,40 2 2,60697,90 2 2,10698,00 5 2,00698,20 4 1,80698,70 3 1,30699,00 6 1,00699,10 3 0,90699,60 2 0,40700,00 10 0,00700,40 2 0,40700,70 2 0,70701,00 8 1,00701,30 2 1,30701,90 3 1,90702,00 5 2,00702,20 3 2,20702,80 4 2,80703,00 4 3,00704,00 4 4,00704,40 1 4,40704,70 1 4,70705,00 2 5,00706,00 2 6,00707,00 1 7,00708,00 1 8,00

Valor medido Nmero de veces

692,00 1693,00 1694,00 1694,20 1695,00 1695,20 2695,70 2696,00 3696,80 2697,00 4697,40 2697,90 2698,00 5698,20 4698,70 3699,00 6699,10 3699,60 2700,00 10700,40 2700,70 2701,00 8701,30 2701,90 3702,00 5702,20 3702,80 4703,00 4704,00 4704,40 1704,70 1705,00 2706,00 2707,00 1708,00 1


Llamaremos marca de clase a la mnima divisinconstante que puede variar en todas las mediciones;en nuestro caso 1 milmetro

Tabulando y teniendo presente:

f = Frecuencia absolutaf = Nmero de desviaciones en el intervalo

Presentamos a continuacin al histograma de fre-cuencias absolutas que viene a ser la representa-cin discreta de la frecuencia con que se repiten lasdesviaciones en cada intervalo de marca de clase.

Si unimos mediante lneas rectas los puntos supe-riores centrales de las barras del histograma, obten-dremos el polgono de frecuencia

Si aumentramos el nmero de mediciones tantocomo quisiramos y ajustamos an ms la precisin,obtendramos una marca de clase bastante pequeaal punto que el polgono de frecuencia pasara a seruna lnea contnua curva, simtrica respecto al cen-tro y en forma de campana.Se observar en la curva la existencia de dos puntosde inflexin (cambio de concavidad).

Curva tpica de probabilidad.

Matemticamente es posible representar dicha curvamediante modelos probabilsticos de variable aleatoriacontnua; el ms usado es el Modelo Normal Standar.

Intervalo del histograma Frecuencia absoluta

(mm)

8,5 a 7,5 17,5 a 6,5 16,5 a 5,5 25,5 a 4,5 34,5 a 3,5 53,5 a 2,5 82,5 a 1,5 111,5 a 0,5 120,5 a +0,5 14+0,5 a +1,5 12+1,5 a +2,5 11+2,5 a +3,5 8+3,5 a +4,5 5+4,5 a +5,5 3+5,5 a +6,5 2+6,5 a +7,5 1

+7,5 a +8,5 1

Frecuencia absoluta16151413121110987654321

16151413121110987654321

0,5

1,5

2,5

3,5

4,5

5,5

6,5

7,5

8,5

+0,

5+

1,5

+2,

5+

3,5

+4,

5+

5,5

+6,

5+

7,5

+8,

5 Error


16151413121110987654321

0,5

1,5

2,5

3,5

4,5

5,5

6,5

7,5

8,5

+0,

5+

1,5

+2,

5+

3,5

+4,

5+

5,5

+6,

5+

7,5

+8,

5 Error

Polgono defrecuencia


16151413121110987654321

0,5

1,5

2,5

3,5

4,5

5,5

6,5

7,5

8,5

+0,

5+

1,5

+2,

5+

3,5

+4,

5+

5,5

+6,

5+

7,5

+8,

5 Error

Punto de inflexin

Punto de inflexin

Error

Probabilidad o frecuencia

21 z1 2P(z)=

2e

0,5

1,5

2,5

3,5

4,5

5,5

6,5

7,5

8,5

+0,

5+

1,5

+2,

5+

3,5

+4,

5+

5,5

+6,

5+

7,5

+8,

5 Error


Z(error)

Probabilidad

Punto deinflexin

Punto deinflexin

+

Z(error)

Probabilidad o frecuencia

Punto deinflexin

Punto deinflexin

+

En la curva tpica de probabilidad se ubican dos puntos de inflexin cuyas abcisas correspondientes toman elnombre de: Desviacin Tpica o Standar ()

Como se aprecia, el rea encerrada por la curva de probabilidad limitado por los valores de la desviacintpica () corresponde al 68,27% del rea total bajo la misma curva.

Observaciones de igual precisinSe considera que las observaciones son tomadas en idnticas condiciones, vale decir con los mismosinstrumentos, la misma brigada, las mismas condiciones climatolgicas, etc.

A) Media (X)Es el valor que tiende a situarse en el centro del conjunto de datos ordenados segn su magnitud. Esla media aritmtica de un conjunto de datos.

+ + +1 2 3 nX X X ... + XX =n

B) Desviacin (Vi)Se le llama tambin error aparente de una medicin, es la diferencia entre la media y el valor corres-pondiente a una medicin.En realidad la desviacin es el error aproximado para cada medicin, dado que no se conoce elverdadero valor.

i iV = X X

C) Error medio cuadrtico de una observacin (Desviacin tpica o standar): Corresponde al valor del error del punto de inflexin de la curva tpica de probabilidad.

Vese ejemplo ilustrativo (pag. 26)

En el caso de nuestro ejemplo ilustrativo (pag. 26)

X = 700,00

El rea achurada indica que entre los lmites y + se puede esperar que estos errores ocurran el68,27% de veces.


2V

=n 1

2V

=n

Matemticamente:

: desviacin tpica o standarV : desviacin de cada medicinn : nmero de mediciones

Estadsticamente, la primera expresin (2 n 30) es porque el valor resultante representa un mejorestimador de la desviacin tpica de una poblacin de la que se ha tomado una muestra. Prcticamentesi n = 30, no hay diferencia entre las dos expresiones.

Analizando el ejemplo ilustrativo de la pag. 26

2 n 30 n > 30

n = = 100 = 930,14

Xi (mm) Nmero de veces Vi (mm) V2 V2

692,00 1 8,00 64,00 64,00693,00 1 7,00 49,00 49,00694,00 1 6,00 36,00 36,00694,20 1 5,80 33,64 33,64695,00 1 5,00 25,00 25,00695,20 2 4,80 23,04 46,08695,70 2 4,30 18,49 36,98696,00 3 4,00 16,00 48,00696,80 2 3,20 10,24 20,48697,00 4 3,00 9,00 36,00697,40 2 2,60 6,76 13,52697,90 2 2,10 4,41 8,82698,00 5 2,00 4,00 20,00698,20 4 1,80 3,24 12,96698,70 3 1,30 1,69 5,07699,00 6 1,00 1,00 6,00699,10 3 0,90 0,81 2,43699,60 2 0,40 0,16 0,32700,00 10 0,00 0,00 0,00700,40 2 0,40 0,16 0,32700,70 2 0,70 0,49 0,98701,00 8 1,00 1,00 8,00701,30 2 1,30 1,69 3,38701,90 3 1,90 3,61 10,83702,00 5 2,00 4,00 20,00702,20 3 2,20 4,84 14,52702,80 4 2,80 7,84 31,36703,00 4 3,00 9,00 36,00704,00 4 4,00 16,00 64,00704,40 1 4,40 19,36 19,36704,70 1 4,70 22,09 22,09705,00 2 5,00 25,00 50,00706,00 2 6,00 36,00 72,00707,00 1 7,00 49,00 49,00708,00 1 8,00 64,00 64,00


Dado que n = 100 > 30

= 2V 930,14

=n 100

= 3,05 mm

Este valor significa que de las 100 mediciones tomadas es probable que 68 de ellas quede dentro de loslmites de error [3,05 mm; +3,05 mm].Veamos la tabla, para un intervalo de error [3,50 mm; +3,50 mm], tenemos 76 mediciones que caendentro de dicho rango (analice Ud. en el intervalo [3,05 mm; +3,05 mm]).

D) Error probable de una observacin (E50)Es aquel intervalo, dentro de cuyos limites existe la probabilidad de que el 50% del total de medicionesintegren dicho rango.En la actualidad se usa poco este error.

Intervalo del histograma Frecuencia absoluta

(mm)

8,5 a 7,5 1

7,5 a 6,5 1

6,5 a 5,5 2

5,5 a 4,5 3

4,5 a 3,5 5

3,5 a 2,5 8

2,5 a 1,5 11

1,5 a 0,5 12

0,5 a +0,5 14

0,5 a +1,5 12

+1,5 a +2,5 11

+2,5 a +3,5 8

+3,5 a +4,5 5

+4,5 a +5,5 3

+5,5 a +6,5 2

+6,5 a +7,5 1

+7,5 a +8,5 1

76 mediciones

50E = 0,6745

: Desviacin tpica o standar

Error

Probabilidad

2

3 +

+2

+3

0,

6745

+0,

6745


En nuestro ejemplo ilustrativo:

50E = 0, 6745 = 0,6745( 3, 05)

50E = 2, 06 mmEste valor significa que de las 100 mediciones tomadas, es probable que 50 de ellas queden dentro delos lmites de error [2,06 mm; +2,06 mm].

E) Ecuacin general del ndice de precisinLa probabilidad de un error de cualquier porcentaje de probabilidad se determina por la siguienteexpresin:

= pE KEp : porcentaje de errorK : factor numrico que corresponde al porcentaje de error : desviacin tpica o standar

Expresiones usuales en topografa: E90 = 1.6449 E95 = 1.9599 E99,73 = 3

Comnmente en topografa se usa con mayor frecuencia: E95, en nuestro ejemplo ilustrativo:

E95 = 1,9599 (3,05)E95 = 5,98 mm

Este valor significa que de las 100 mediciones tomadas es probable que 95 de ellas queden dentro delos lmites de error [5,98 mm; +5,98 mm].

Por otro lado es preciso anotar que la curva de probabilidad en el eje de las X es un asntota, luego; nose puede evaluar el error de 100%, razn por la cual debe considerarse que estas tres expresiones(E90; E95; E99,73) nos dan los valores mximos que se presentan en la prctica. Errores mayores que3 ya no se consideran errores accidentales sino equivocaciones.

F) Error de la media (Em)Est visto que la media, tambin est sujeto a error.Error de la media a cualquier porcentaje de probabilidad es aquel intervalo (Em; +Em) dentro decuyos lmites puede caer el verdadero error accidental de la media con una probabilidad de p%.

= pmE

En

Demostracin:

+ + +1 2 3 nX X X ... + XX =n

Pero:

Luego: = sumamE

En

...(1) = suma2 2E E ...(ver pag 34)


Si hacemos: E = Ep (2) en (1)

=suma p2 2E nE = pm

EE

n...demostrado

=suma pE n E ...(2)

En nuestro ejemplo ilustrativo (si p = 95%)

E95

= 5.98 mm

= = 95m mE

E E 0, 60 mm100

G) Valor ms probable (V.M.P.)Es aquel valor que se acerca ms al verdadero valor pero que no lo es. Comnmente se considera a lamedia como el valor ms probable de varias mediciones.

V.M.P. = X

En nuestro ejemplo ilustrativo: V.M.P. = 700,00 mm; como quiera que el V.M.P. nunca ser el valor verdade-ro, se deduce que existir un error y que dicho valor exacto estar ubicado dentro del rango de ciertos limites:[V.M.P. Em; V.M.P. +Em] con una probabilidad de p%. En nuestro ejemplo ilustrativo, el valor verdaderoestar contenido en el rango de [700 0,60 ; 700 + 0,60], lo que es [699,40 mm ; 700,60 mm] con unaprobabilidad del 95%.

Observaciones de diferente precisinEn algunas ocasiones, la medida de una magnitud se realiza en diferentes das, con diversos equipos eincluso con cambio de operadores (en el peor de los casos); cada uno de ellos constituye una circunstan-cia particular. Cada circunstancia tiene cierta precisin el cual se puede cuantificar mediante el peso.

PesoEs un parmetro que mide el grado de precisin que debe aplicarse a cada una de las observaciones.

El peso puede estar dado por el nmero de mediciones de cada observacin.

Ejemplo de aplicacin:

Observacin A Observacin C

120 30' 16" 120 30' 36"120 30' 40" 120 30' 10"

120 30' 40"Observacin B 120 30' 38"

120 30' 22"120 30' 32"120 30' 12"

1 = 120 30' 28" (Peso = 2)

2 = 120 30' 22" (Peso = 3)

3 = 120 30' 21" (Peso = 4)


El peso puede estar dado por el error probable de cada observacin.

= =1 1 2 2 3 32 2 2P E P E P E

Ejemplo de aplicacin:Observacin A : 120 30' 28" 10"

Observacin B : 120 30' 22" 5"

Observacin C : 120 30' 31" 2"

= =1 2 32 2 2P (10) P (5) P (2)

Haciendo P1 = 1

Se tiene: P1 = 1 ; P2 = 4 ; P3 = 25

De lo cual se deduce que la observacin C tiene mayor precisin.

A) Media ponderada (X)La media ponderada de varias observaciones de diferente precisin, est determinada por la siguienteexpresin.

+ + ++ + +

1 1 2 2 3 3 n n

1 2 3 n

P X P X P X ... + P XX =

P P P ... + P

B) Error probable de la media (Em)Es aquel intervalo [Em ; +Em], dentro de cuyos lmites puede caer el verdadero error accidental de lamedia con una probabilidad de p%.

=

2

m(PV )

E K( P)(n 1)

Em : Error de la media para p%K : factor nmero que corresponde al porcentaje de errorP : pesoV : desviacinn : nmero de observaciones

As tenemos; para p = 50% K = 0,6745p = 90% K = 1,6449p = 95% K = 1,9599

C) Valor ms probable (V.M.P.)Comnmente se considera a la media como el valor ms probable.

V.M.P. = X


Errores en las operaciones matematicasHasta el momento se han analizado los errores accidentales para una operacin simple.Sin embargo existen ocasiones en las cuales es necesario realizar una operacin compuesta; as por ejem-plo supongamos que se desea medir la distancia que hay entre dos puntos del orden de 100 metros, conuna cinta mtrica de 20 metros; en este caso el valor final vendr afectado de un error que ser la resultantede los errores de las mediciones elementales.

A) Error de una suma

L = L1 + L2 + L3

= + +1 2 32 2 2

sumaE E E E

B) Error de una diferencia

L = L1 L2

= +1 22 2

diferenciaE E E

C) Error de un producto

A = (L1)(L2)

= +1 1 2 22 2 2 2

productoE L E L E

Correcciones en las operaciones matemticasMuchas veces cuando se realizan las mediciones de varios tramos angulares o lineales, estos se encuentransujetos a ciertas condiciones geomtricas.Generalmente al comprobar dichas condiciones geomtricas se encuentra siempre un eror de cierre el cualindica la presencia de errores accidentales.Hay diversos mtodos que permiten distribuir dicho error en cada uno de los valores medidos, uno de ellosy el ms confiable es el de mnimos cuadrados; no obstante es posible realizar la correccin del siguientemodo:

P1C1 = P2C2 = P3C3

= =1 2 3

1 2 32 2 2

C C C

E E E

P1; P2; P3 : PesosC1; C2; C3 : Correcciones

E1; E2; E3 : ErroresC1; C2; C3 : Correcciones

A B C DL1E1

L2E2

L3E3

A B C

L2 , E2L, EDif

L1 , E1

L1 , E1

L2 , E2


Ejemplo 1

Corregir cada uno de los ngulos

Solucin

= 180 00' 14" Ecierre = +14"

C1 + C2 + C3 = 14" ...(a)

= =1 2 32 2 2C C C

2 4 6

= =2 31C C

C4 9

...(b)

De (a) y (b): C1 = 1" ; C2 = 4" ; C3 = 9"

ngulos corregidos1 = 42 20' 10" 1" 1 = 42 20' 09" 02"2 = 83 16' 12" 4" 2 = 83 16' 08" 04"3 = 54 23' 52" 9" 3 = 54 23' 43" 06"

Ejemplo 2

Calcular el verdadero valor de la longitud AC con unaprobabilidad del 90%; mxima tolerancia = 0,010 m.

Longitud AB

1 observacin 2 observacin20,253 m 20,255 m20,242 m 20,239 m20,261 m

Longitud BC

1 observacin 2 observacin 3 observacin16,232 m 16,241 m 16,239 m16,234 m 16,222 m

Solucin

Analizando la longitud AB

1 observacin 2 observacin

L = 20,252; P = 3 L = 20,247; P = 2

Medicin V Medicin V20,253 +0,001 20,255 +0,00820,242 0,001 20,239 0,00820,261 +0,009

Li Pi PL V V2 PV2

20,252 3 60,756 +0,002 4106 12106

20,247 2 40,494 0,003 9106 18106

5 101,250 +0,002 4106 30106

= = PL 101, 25

L P 5

= =L 20, 250 ; n 2

Ntese: iV = L L

Calculando:

Em para 90% de probabilidad

=

2

m(PV )

E 1, 6449( P)(n 1)

= = 6

m3010

E 1,6449 0,004 m5(2 1)

AB = 20,250 m 0,004 m

Analizando la longitud BC

1 observacin 2 observacin

L = 16,233; P = 2 L = 16,238; P = 2

Medicin V Medicin V16,232 0,001 16,241 +0,00316,234 +0,001 16,235 0,003

3 observacin

L = 16,239; P = 1

Medicin V16,239 0,000

1

2 3

42 20' 10" 02"

83 16' 12" 04" 54 23' 52" 06"

A B C


= = PL 81,181

L P 5

= =L 16, 236 ; n 3

Calculando:Em para 90% de probabilidad

=

2

m(PV )

E 1, 6449( P)(n 1)

= = 6

m34,8 10

E 1, 6449 0, 003 m5(3 1)

BC = 16,236 m 0,003 m

Analizando la longitud AC

AC = AB + BC = 20,250 + 16,236

AC = 36,486 m

Calculando el error de la media con una probabilidad del 90%.

= + = +1 22 2 2 2

sumaE E E (0, 004) (0, 003)

= sumaE 0, 005 m

El verdadero valor de la longitud AC con una probabilidad del 90% se encontrar en el siguiente rango:

[36,486 m 0,005 m] = [36,481; 36,491]

Li Pi PL V V2 PV2

16,233 2 32,466 3,2103 10,24106 20,48106

16,238 2 32,476 +1,8103 3,24106 6,48106

16,239 1 16,239 +2,8103 7,84106 7,84106

5 81,189 +0,002 4106 34,8106

topografia uni cap 2.pdf

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