Facultad Regional Resistencia Dto. de Ingeniería Química

Cátedra Ingeniería de las Instalaciones

Cálculo del tiempo de descarga

de tanques y recipientes

Ing. Carlos O. Alderetes

Nora F. Bertollo

Serie N°4 / 2004 – Argentina

Introducción

La competitividad industrial es esencial para sobrevivir en escenarios cada vez másexigentes no solo por parte de los clientes actuales y potenciales sino también por lascontinuas innovaciones que la competencia industrial implementa a los fines de obtenerventajas de diferenciación respecto de sus pares. En la búsqueda de la competitividad esimportante identificar y eliminar todos aquellos procesos y operaciones que no agreguenvalor al producto introduciendo costos que de otra forma podrían ser evitados. El transportede productos es un ejemplo típico de ello de las actividades que no agregan valor y exigenrecursos, razón por la que debe ser analizado cuidadosamenteEl vaciado de tanques y recipientes así como la transferencia de productos entre ellos sonoperaciones frecuentes en las plantas de procesos (almacenaje de petróleo y combustibles,cervecerías, bodegas, lácteos, bebidas en general, etc.). Estas operaciones pueden efectuarsepor medio de bombas o bien por convección natural aprovechando las diferencias deniveles entre tanques. En este último caso es importante conocer los tiempos requeridosdado que pueden ser importantes para la operación y la planificación de actividades variassobre estos equipos. El tema que presenta interés práctico, no es tratado en los textosclásicos de operaciones unitarias pero sí en publicaciones técnicas de la especialidad con loque se demuestra la importancia de sus aplicaciones en la industriaEs objetivo de este trabajo, explicar la importancia del tema y dar a conocer parte de estainformación existente

Objetivos

El estudio del tema y las consideraciones pertinentes a cada caso permitirán

1. Plantear las ecuaciones matemáticas que rigen este fenómeno y obtener las fórmulasfinales deseadas

2. Conocer las ecuaciones aplicables a los casos más frecuentes presentados en la prácticaindustrial y sus limitaciones

3. Calcular la influencia que ejercen las pérdidas de carga en el proceso de trasvase sobrelos tiempos de descarga

4. Aprender como afectan algunas variables al fenómeno de descarga

5. Conocer las desviaciones experimentales respecto de los datos teóricos

Vaciado de tanques y recipientes

En muchas industrias existe en un momento dado la necesidad de vaciar sus tanques seacon fines de limpieza temporaria o simplemente para efectuar algún trabajo demantenimiento en los mismos. En otras situaciones, se precisa trasvasar producto de unequipo a otro aprovechando las diferencias de niveles entre ellos cualquiera sea sudisposición, esto es, descarga por gravedad desde un nivel superior a otro inferior o bienentre tanques ubicados horizontalmente. En ambos casos, se trata de aprovechar lagravedad para producir estos efectos sin necesidad de tener que recurrir a un equipo debombeo, evitando de esta forma también el gasto energético que su empleo requiere. Comoya expresáramos, se busca pues eliminar actividades que generen costos y no agreguenvalor a o los productos elaboradosEl vaciado de tanques y recipientes es un proceso en régimen no estacionario dado quetenemos una salida de masa del sistema a una velocidad variable que dependerá del nivel delíquido en el mismo. Al no haber ingreso de masas al tanque, esta descarga provocará uncambio en el contenido inicial del equipo, de modo que podemos plantear el balancegeneral de masas y energía del sistema de la siguiente forma:

H

→ M2

Figura N°1

Balance de masas y energía

dTdEEE

dTdEEE

dTdMMM

dTdMMM

/0

/

/0

/

21

21

21

21

−=⇒=

=−

−=⇒=

=−

A partir de conocer las ecuaciones generales del proceso y asumiendo que los productosalmacenados son líquidos, veremos como se calculan los tiempos de descarga para cadacaso particular

Tiempo de descarga en tanques y recipientes

El diseño de tanque más difundido en la industria es sin dudas, el tanque cilíndrico de ejevertical con fondo plano tal como el mostrado en la figura N°1. Considerando este diseñocomo base calcularemos el tiempo de descarga de los mismos en dos situaciones diferentes,a saber:

1. Tanque cilíndrico vertical de fondo plano sin cañería asociada (descarga libre)

Por la ecuación de Bernoulli:

gvzz.2

22

21 += despreciando las pérdidas

21 zzH −=

Hgzzgv ..2.(.2 )212 =−=

Considerando las pérdidas, la velocidad real de descarga a través de la boquilla es:

HgCv v ..2.=

donde Cv es el coeficiente de velocidad.

Área de la vena contracta: occ ACA .=donde Ao es el área de la conexión de salida y Cc es el coeficiente de contracción.

Caudal descargado:

donde V es el volumen descargado y Cd es el coeficiente de descarga.

Por otro lado tenemos que : tV

Av

c

.1=

Aplicando la ecuación de Bernoulli y la ecuación de continuidad a través de una boquilla uorificio, tenemos:

HgACdtdV

od ..2..=

dtHgACdV od ...2..=

El volumen descargado también se puede expresar como:

dHAdV .−= donde A es la sección transversal del tanque supuesta constante

Igualando,

dtHgACdHA od ...2... =−

siendo 4. 2DA π=

Integrando entre los tiempos 0 y t y los niveles H0 y Hf, para áreas transversales constantes,tenemos:

( )gCA

HHDt

do

fo

...8

.. 2 −=

π y para conexión de salida circular:

HgACvAt

VQ odc ..2... ===

HgCdH

AAdt

do ..2..−=

4. 2dAo

π=

tenemos que el tiempo de descarga del tanque será:

( )

gCd

HHDt

d

fo

.2..

..22

2 −= (1)

Vemos entonces que para una misma diferencia de nivel, el tiempo de descarga crecerá conel cuadrado del diámetro del tanque. De manera análoga, vemos también que para dostanques iguales y con una misma diferencia de nivel, el tiempo de descarga disminuirá conel cuadrado del diámetro de la conexión de salida y será inversamente proporcional alcoeficiente de descarga de la conexión de drenajeEl efecto de la forma de la boquilla sobre la velocidad de flujo está representado por elcoeficiente de descarga (Cd) que se considera constante para fluidos newtonianos en flujoturbulento. Algunos valores de coeficientes de descarga característicos son:

61,0=dC para orificios con aristas vivas (sharp-edged)80,0=dC para tubo corto, flush-mounted.98,0=dC para orificio de contorno redondeado

En la práctica existen muchas instalaciones donde los tanques son vaciados a través decortas cañerías o simplemente a través de un codo a 90° hacia un canal colector dedesagües o hacia un tanque situado a un nivel inferior, situaciones estas en las que puedeaplicarse esta ecuación

2. Tanque cilíndrico vertical de fondo plano con cañería asociada para trasvase otransferencia de líquido

Aplicando Bernoulli:

Hgv ..2= vv =2

Considerando las pérdidas de fricción:

lhg

vH +=.2

2

siendo g

vdLfhl .2

..2

= y

Hzz =− 21

2..4DVHH o π

−=

gvzz.2

22

21 +=

Entonces,

( )2/1

2..4.

/.1.2

−+

=DVH

dLfgv o π

De la expresión del caudal descargado, y, obtenemos:

Finalmente, igualando expresiones tenemos:

dVDVH

dLfg

ddt .

..4.

/.1.2.

.4

2/1

202

−

−+

=ππ

Integrando entre los tiempos 0 y t y entre Vo y Vf:

( )

−−+= 22

2

.

.4./.1.2.

DV

HHdLfgd

Dt foo π

o

( 2 )

Vemos que para una diferencia dada de nivel, el tiempo de descarga crecerá según la raízcuadrada de las pérdidas de carga en la conducción

Nomenclatura

Ao sección transversal de la cañería en m2A sección transversal del tanque en m2Cd coeficiente de descarga de la boquilla de drenajed diámetro de la cañería en mD diámetro del tanque en mf factor de fricción de la cañeríag aceleración de la gravedad en m/seg2H altura del líquido en cualquier momento encima de la conexión de salida en mhl pérdida de fricción en la cañería en m.c.l

vAdtdV

o .= 2.4d

Ao π=

dtddVv

...4

2π=

( ) ( )fo HHdLfgd

Dt −+= ./.1.2.2

2

L longitud equivalente de la cañería de conexión entre tanques en mV Volumen de líquido en m3tf tiempo para drenar un volumen de líquido en segv velocidad de salida del líquido en m/ segz elevación vertical en m

Subíndices

f final (cantidad a ser drenada)o inicial1 superficie libre del líquido en el tanque en cualquier momento2 en la conexión de salida

Análisis comparativo de Casos N°1 y 2

Para cuantificar este fenómeno veamos ahora la influencia que ejercen sobre el tiempo dedrenaje las pérdidas de carga en la cañería respecto a la descarga libre. Para ello vamos aconsiderar el caso de un tanque API cuyas dimensiones son las siguientes

Diámetro: 30 mAltura: 12 mFluido contenido: aguaDiferencia de altura a descargar: ∆h = 6 mConexión de descarga: 8” – Sched 40Longitud equivalente: 50 mFactor de fricción: f = 0.018Coeficiente descarga de la tobera de salida: 0.61

Los tiempos calculados para estas situaciones fueron:

1. aplicando la ecuación (1):

2. según ecuación (2):

min5648,9.2.61,0

612.203,030.2

2

2

hst =

−=

( ) ( ) min556612.1203,0/50.0185,0.8,9

2.203,030

2

2

hst =−+=

En este ejemplo puede apreciarse claramente la importancia de considerar las pérdidas decarga en la cañería asociada al tanque para el trasvase de líquidos. El tiempo de descargaen el caso N°2 se incrementó un 43% en comparación con el tiempo de la descarga libre através del orificio.

Influencia de la geometría del recipiente

A medida que se produce la descarga del líquido y según la forma geométrica del tanque,pueden presentarse dos situaciones:

1. que el área transversal del recipiente sea constante en toda su altura, o

2. que el área transversal varíe en distintos niveles

En efecto, el planteo e integración de las ecuaciones anteriores se simplifica dado que en elcaso analizado la sección transversal del tanque cilíndrico se mantiene constante en toda sualtura. Si el área transversal varía, el tema es más complicado y para obtener los tiempos dedescarga se tiene que conocer la función que relaciona el área con la altura de líquido, estoes, encontrar la relación:

Esta cuestión es importante dado que es otro de los casos frecuentes que se presentan en lapráctica industrial en los tanques y recipientes de diseño API o ASME tales como:

• Recipientes esféricos

• Recipientes cilíndricos horizontales de:

- cabezales semielípticos- cabezales semiesféricos- cabezales toriesféricos- cabezales planos

• Recipientes cilíndricos verticales de:

- fondo semielíptico- fondo semiesférico- fondo toriesférico- fondo cónico

)(hfA =

La tabla siguiente resume los tiempos de descarga para recipientes de diferentes formasgeométricas sin cañería de conexión

Tabla N°1 – tiempos de descarga

Vaciado de recipientes a través de una conexión de salida sin cañería asociadaTipo de

recipienteCaracterística Representación Tiempo de vaciado

Cilíndricovertical confondo plano

Áreatransversalconstante gAC

hDtod

d ...8.. 2π=

Cilíndricohorizontalconcabezalesplanos

Áreatransversalvariable gAC

hDDLtod

d ..3))(.(.8 2/32/3 −−=

CónicoÁreatransversalvariable gAC

htod

d ...5.tan..2 2/52 θπ=

EsféricoÁreatransversalvariable gAC

hDhtod

d ..3).5/3.(..2 2/3 −= π

Esta tabla como veremos nos permitirá resolver algunos de los casos antes mencionadospara recipientes de área transversal variable

Tiempo de descarga en tanques de sección variable

Veremos el procedimiento de calculo de estos casos para que por analogía pueda serextendido a otras situaciones que interesen en la práctica. Comenzaremos con aquellosdiseños de recipientes de mayor interés en la industria

1. Recipientes esféricos con cañería asociada

Aplicando la ecuación de Bernoulli:

lhzg

vz ++= 2

22

1 .2

y g

vdLfhl .2

..2

2=

teniendo en cuenta que Hzz =− 21

tenemos: 2/1

2 /.1..2

+=

dLfHgv

Haciendo un balance de masa para el líquido en el tanque,

2.. vadtdhA −=

El área de la sección transversal del líquido en cualquier momento es el área circular

correspondiente a la cuerda diametral formada por la superficie del líquido: Ac 2.π

Por el Teorema de Pitágoras:

22

2

2Rcx =

+

Reconociendo que 4. 2da π= y haciendo reemplazos en las fórmulas anteriores, tenemos:

( )2/12

22

/.1..2.

4.

+−=−

dLfHgd

dtdhxR

Finalmente, desde que: y ohHh −=

La ecuación diferencial buscada es:

( ) ( )[ ]2/12

22

/.1..2.

4...2..2

+=+++−

dLfHgd

dtdHhRhHRhH ooo

Integrando entre t = 0 y t y desde el nivel Ho hasta Hf, tendremos la ecuación (3)

Donde: y oo hRhe ..222 +=

Rhx −=

( ) ( )[ ]ooofff HeHbHHeHbHdLfgd

t )..2..3/4.5/2(..2..3/4.5/2./.1..21.4 2222

2 +−−+−+=

Rhb o +=

2. Tanque cilíndrico vertical con fondo semielíptico y cañería de descarga

El tiempo que lleva realizar la descarga de líquido desde un nivel Ho hasta un nivel Hf,cuando esta diferencia de niveles se encuentra en la parte cilíndrica del tanque (áreatransversal constante), se calcula mediante la ecuación ya vista

( 2 )

Para la sección semielíptica (fondo) habrá que hallar otra expresión que tendrá en cuentaque el área transversal de la misma decrece a medida que el nivel del líquido se acerca a laconexión de salida. Para esto, consideremos el área transversal en función de la altura dellíquido:

−=

bhh

bRA

22

.2..π

Si,

entonces de tenemos:

oHHh −=

( ) ( )fo HHdLfgd

Dt −+= ./.1.2.2

2

2.. vadtdhA −=

( ) ( )dLfHg

Dbd

dtdHHHBE

/.1..2.....2

222

+

=+−

donde bhB o +=

oo hbhE ..222 +=

Integrando entre Ho y Hf, cuando ambos niveles se encuentran en la sección semielíptica:

( 4 )

donde: ( )dLfgbd

DC /.1..21.

.

2

+

=

Llegado este punto vemos que nos encontramos frente a tres sub-casos posibles. Aplicandolas fórmulas (2) y (4) para el vaciado total del tanque tendremos

Sub-caso1: el líquido del tanque llena parcialmente el fondo semielíptico:

( ) ( )[ ]oooooo HEHBHHhbhCt ..2..3/4.5/2...3/8.15/16. 222 +−−+=

Sub-caso2: el líquido del tanque llena la totalidad del volumen del fondo semielíptico:

y of hH =

( ) ( )[ ]oooooo hbbhbhhhbhCt +−+−+= ..15/14..15/32.15/16...3/8.15/16. 222

oo hbH +=

( ) ( )[ ]ooofff HEHBHHEHBHCt ..2..3/4.5/2..2..3/4.5/2. 2222 +−−+−=

of hH =

Sub-caso3: el nivel inicial del líquido se encuentra en la parte cilíndrica del mismo:

El tiempo de vaciado será:

siendo: con of hbH +=

( ) ( )[ ]oooooossemielip hbbhbhhhbhCt +−+−+= ..15/14..15/32.15/16...3/8.15/16. 222 (5)

con y

3. Tanque cilíndrico vertical con fondo semiesférico con cañería asociada

Se aplican las mismas fórmulas que para tanque cilíndrico vertical con fondo semielípticopero el valor de b se reemplaza por R o D/2.

4. Tanque cilíndrico horizontal con cabezales semielípticos sin cañería asociada

El tiempo total de descarga se calcula mediante la suma del tiempo obtenido para tanquecilíndrico horizontal con fondo plano y del tiempo de descarga de los cabezalessemielípticos.

De esta manera, se obtiene:

pcabsemielicilin ttt +=

ssemielipscilin ttt +=

( ) ( )foscilin HHdLfgd

Dt −+= ./.1.2.2

2

oo hbH += of hH =

( )[ ] [ ]

−+−−= hDh

DbhDDL

gACt

od

.5/3.......3

8 2/32/32/3 π ( 6 )

5. Tanque cilíndrico horizontal con cabezales semiesféricos sin cañería asociada

Se aplican las mismas fórmulas que para tanque cilíndrico horizontal con fondosemielíptico pero el valor de b se reemplaza por R o D/2.

6. Tanque cilíndrico vertical con fondo cónico sin piping

Aquí como en los casos anteriores, el tiempo total de descarga será la suma de los tiemposparciales para el drenaje del sector cilíndrico más el del sector cónico, esto es:

( )gCd

HHDtd

d

fo

.2..

..22

2 −= +

gACh

od ...5.tan..2 2/52 θπ ( 7 )

Este caso es otro de los más frecuente en las plantas de procesos, donde se recurre a estediseño para permitir la descarga de líquidos con presencia de sólidos

Cambios en las propiedades físicas del líquido

En el desarrollo de las ecuaciones anteriores se asumió que el líquido descargado manteníaconstante sus propiedades durante el proceso de drenaje. Si bien las ecuaciones muestranque el tiempo de descarga depende de la geometría del recipiente y de la diferencia deniveles, resulta interesante ver que acontece con los tiempos cuando se modifican lascondiciones iniciales al variar por ejemplo, la naturaleza del fluido descargado o latemperatura del proceso. Como viéramos al analizar las pérdidas de carga, la dependenciade la viscosidad con la temperatura puede modificar de manera importantes los tiemposempleados. El tiempo de descarga de un determinado fluido es inversamente proporcional ala velocidad de salida del mismo. Si tenemos dos fluidos, de pesos específicos diferentes,que descargan de recipientes iguales un mismo volumen bajo las mismas condiciones, setiene:

( 8 )

cónicocil tttd +=

2

1

1

2

1

2

2

1

/..2/..2

γγ

γγ

=∆∆

==PgPg

vv

tt

Así se puede concluir que los tiempos de descarga son directamente proporcionales a lasraíces cuadradas de los pesos específicos. Utilizando este concepto es que se puededeterminar el peso específico de un producto desconocido sabiendo el de otro

Bibliografía Consultada

• Loiácono Nick, “ time to drain a tank with piping “, Chemical Engineering Magazine,August 1987

• Mahnoosh Shoaei, “ Draining tanks: how long does it really take? “, ChemicalEngineering Magazine, january 1989

• Sommerfeld Jude, “ tank draining revisited “, Chemical Engineering, May 1990

• Foster T., “ Time required to empty a vessel “, Chemical Engineering, May 1981

• Schwarzhof Jay & Sommerfeld Jude, “ How fast do spheres drain “, ChemicalEngineering, June 1988

• Koehler F., “ Draining elliptical vessel heads “, Chemical Engineering, May 1984

• Richard Green, “ Válvulas “, Edit.Mc Graw Hill, edic.1994

• Crane Inc, “ Flujo de fluidos “, Edit.McGraw Hill, edic.1996