esfuerzos en recipientes
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MECÁNICA DE MATERIALES II
ESFUERZOS EN RECIPIENTES BAJO PRESIÓN
ALUMNO: DAVID ROCHA VALDEZ
3-DIC-2012
INSTITUTO TECNOLOGICO DE CIUDAD JUAREZ
PROFESOR: ING. CARLOS JAVIER GARCÍA GRADO
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INDICE
ESFUERZOS GENERALES EN CILINDROS DE PARED DELGADA Y GRUESA SUJETOS A
PRESIÓN INTERNA Y EXTERNA. ......................................................................................... 2
CILINDROS DE PARED DELGADA. .................................................................................. 2
RESUMEN. ..................................................................................................................... 4
CILINDROS DE PARED GRUESA. .................................................................................... 5
CASOS PARTICULARES: ESFUERZOS MÁXIMOS .................................................................8
Caso I: Sólo presión interior. ......................................................................................... 8
Caso II: Sólo presión exterior. ....................................................................................... 9
ESFUERZOS GENERALES EN RECIPIENTES ESFÉRICOS DE PARED DELGADA Y GRUESA
SUJETOS A PRESIÓN INTERNA Y EXTERNA. .....................................................................10
ESFERAS DE PARED DELGADA. .................................................................................... 10
ESFERAS DE PARED GRUESA. ...................................................................................... 11
BIBLIOGRAFÍA ..................................................................................................................13
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ESFUERZOS GENERALES EN CILINDROS DE PARED
DELGADA Y GRUESA SUJETOS A PRESIÓN INTERNA Y
EXTERNA. CILINDROS DE PARED DELGADA.
Un depósito cilíndrico que contenga un fluido a una presión p N/m2 está
sometido a fuerzas de tensión según secciones longitudinales y transversales,
y las paredes han de resistir estas fuerzas para evitar que estalle.
Consideremos primeramente una sección longitudinal cualquiera A-A que corte
diametralmente al cilindro de la figura 1-13(a) sometido a presión interior. En la
figura 1-13 (b) se representa el diagrama de cuerpo libre de una de las mitades
del cilindro.
Evidentemente, y para mantener el equilibrio del medio cilindro, la fuerza
total F, que actúa normalmente al plano A-A, es resistida por las fuerzas
iguales P que actúan en las dos secciones cortadas de la pared del cilindro.
Por tanto,
Un procedimiento más sencillo para determinar la fuerza F resultante de
todas las fuerzas elementales en una dirección, es el indicado en la figura 1-14.
La mitad inferior del cilindro está ocupada por un fluido, y puesto que éste
transmite por igual las presiones en todas las direcciones, la distribución de
presiones y de esfuerzos elementales es la misma que en la figura 1-13. En
estas condiciones y de acuerdo con la figura 1-14b, en donde se representa el
diagrama de cuerpo libre correspondiente a la mitad inferior del cilindro, es
evidente que la fuerza F (que es la misma que antes), es igual a la presión por
el área en la que actúa. Como esta área es la superficie libre del fluido, o sea,
DL, se obtiene, como antes, que F = pDL.
3
El esfuerzo en la sección longitudinal que soporta la fuerza F resulta de
dividir ésta entre el área de las dos secciones de corte. Por tanto,
[
]
Este esfuerzo suele llamarse esfuerzo <<tangencial>> o circunferencial.1
Si consideramos ahora el diagrama de cuerpo libre de una parte del
depósito cilíndrico fuerza F que tiende a separar esta parte del cilindro de la
otra, y que es la fuerza que actúa sobre el fondo del mismo, ha de ser
contrarrestada por la resultante P de las fuerzas que actúan en la pared del
cilindro, normalmente al plano de la sección transversal de corte. El área de
esta sección es igual al espesor de la pared multiplicado por la longitud de la
circunferencia media, o sea π(D+t)t. Si t es muy pequeño comparado con D, el
área es aproximadamente igual a πDt. Por tanto,
[P=F]
O bien,
en donde el subíndice l indica que se trata de una tensión longitudinal, porque
actúa paralelamente al eje longitudinal del cilindro. Se puede afirmar que si la
presión en un depósito cilíndrico se eleva hasta alcanzar el valor de ruptura, la
falla del material tendrá lugar a lo largo de una sección longitudinal, o de una
1 El adjetivo tangencial se debe a que actúa tangencialmente a la circunferencia directriz del cilindro,
pero es preferible llamarlo circunferencial, para no confundirlo con el esfuerzo cortante, al que también se conoce con el nombre de tangencial.
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junta longitudinal. Cuando un depósito cilíndrico se construye con dos o más
placas remachadas, como en la figura 1-16, la resistencia de las juntas
longitudinales deberá hacerse doble que la resistencia de las juntas
circunferenciales.
Si los extremos del cilindro son redondeados, como los de la figura 1-18,
o bien salientes o bien entrantes, la fuerza total que tiende a romper el depósito
por una sección transversal se calcula multiplicando la presión interna por el
área encerrada en esta sección transversal por intersección con ella de la
pared interna del cilindro o depósito en general, ya que, de acuerdo con lo
expuesto con relación a la figura 1-14, se puede suponer que el espacio
comprendido entre la sección transversal A-A y el extremo abombado de la
figura 1-18 está ocupado por un fluido. La fuerza total longitudinal es igual al
producto de la presión interior por el área, rayada en la figura, de esta sección
transversal del depósito, no de sus paredes.
RESUMEN.
Cilindros de pared delgada presurizados internamente.
(a) Tensiones que actúan sobre el cilindro;
(b) Tensiones que actúan sobre un elemento.
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Se quieren determinar los esfuerzos producidos por la presión interna para un
recipiente cilíndrico.
Se considera que un cilindro es de pared delgada si su relación radio r y el
espesor t es mayor que 1/10.
En este caso, se puede idealizar el problema considerando que los esfuerzos
cortantes y sólo se tienen los esfuerzos normales transversales y longitudinales
como se muestran.
Nótese que se idealiza el problema como si se tuviera un estado plano de
esfuerzos principales.
CILINDROS DE PARED GRUESA.
En el estudio de los cilindros de pequeño espesor, se determinó el valor
de la fuerza que actúa en una sección longitudinal de sus paredes mediante las
ecuaciones de la estática (Fig. 1-1).2
2 El subíndice b es del inglés bearing = aplastamiento.
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En un cilindro de pared gruesa, se puede seguir un proceso análogo3 para
determinar la fuerza total que transmite la sección longitudinal. Dividiendo esta
fuerza entre el área sobre la que actúa se obtiene el valor medio del esfuerzo
circunferencial o tangencial, tanto en el caso de paredes delgadas como en el
de paredes gruesas.
El problema de la determinación del esfuerzo tangencial σt y del esfuerzo
radial σr, en un punto cualquiera, en función de las presiones exterior e interior
aplicadas, y de las condiciones geométricas, fue resuelto en 1833 por Gabriel
Lamé.4El cilindro de la figura 13-39 tiene un radio interior a y un radio exterior
b, estando sometido a presiones interna y externa uniformemente distribuidas y
de valor pi y po. Aislemos un cilindro de espesor diferencial dr, y consideremos
la mitad de la longitud unitaria de este elemento cilíndrico diferencial.
El esfuerzo tangencial en el elemento aislado en la figura 13-40 es σt, el
esfuerzo radial en la superficie interior es σr y en la superficie exterior σr + d σr,
ya que σr varía a lo largo del radio. Los esfuerzos radiales se suponen
(incorrectamente) de tensión de modo que un resultado negativo indica
compresión. Tal elemento puede estudiarse como un cilindro de pared delgada 3 adj. Semejante.
Diccionario Enciclopédico Vox 1. © 2009 Larousse Editorial, S.L. 4 Père de Gabriel Léon Jean Baptiste Lamé (22 de julio de 1795 - 1 de mayo de 1870) fue un matemático
francés.
Fig. 1-11 La deformación de la placa superior por el
esfuerzo de contacto, está muy exagerada.
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y, por tanto, para el equilibrio, la suma total de las fuerzas aplicadas debe ser
igual a cero:
El producto puede despreciarse, como infinitésimo de segundo
orden, respecto de las otras cantidades.
Las expresiones generales de σr y σt en un punto cualquiera de la distancia r
del centro:
Vista frontal completa de un cilindro de pared gruesa, presurizado interna y
externamente.
(a) con los esfuerzos que actúan sobre el cilindro; (b) con los esfuerzos que
actúan sobre un elemento
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CASOS PARTICULARES: ESFUERZOS MÁXIMOS Caso I: Sólo presión interior.
Si la presión interior es pi y la exterior es nula (po=0), las ecuaciones anteriores
adquieren la forma:
(
)
(
)
Obsérvese que σr siempre es negativa (compresión) y que σt siempre es
positiva (tensión) y mayor que σr. Su valor máximo aparece en la superficie
interior del cilindro:
(
)
y la relación del valor máximo al valor medio de este esfuerzo tangencial es:
El valor máximo tiene lugar en la superficie interior del cilindro, en donde σr y σt
son máximos y de signos contrarios, lo que da para τmáx el valor de:
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Cilindro de pared gruesa internamente presurizado, que muestra los esfuerzos
circunferencial (en el aro) y radial para diferentes valores del radio.
Caso II: Sólo presión exterior.
Si la presión exterior es po y la interior es cero (pi=0), las ecuaciones se
convierten en:
(
)
(
)
En este caso, σr y σt son siempre negativos (compresión) y σt es
siempre mayor que σt. El máximo esfuerzo de compresión (σt) tiene lugar en la
superficie interior, en donde σr, es nulo, y viene dado por:
El valor de (τt)máx se aproxima a -2po cuando b es muy grande en relación con
a, como ocurre en un cilindro con un pequeño orificio central.
Cilindro de pared gruesa externamente presurizado que muestra los esfuerzos
circunferencial (aro), y radial (diferentes radios).
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ESFUERZOS GENERALES EN RECIPIENTES ESFÉRICOS DE
PARED DELGADA Y GRUESA SUJETOS A PRESIÓN
INTERNA Y EXTERNA. ESFERAS DE PARED DELGADA.
En el análisis de un recipiente a presión esférica, el objetivo es
determinar el esfuerzo en su pared para garantizar la seguridad. Debido a la
simetría de una esfera, un cuerpo libre conveniente para usarse en el análisis
es la mitad de la esfera, como se muestra en la figura 15-2.
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La presión interna del líquido o gas contenido en la esfera actúa perpendicular
a las paredes, uniformemente sobre toda la superficie interior. Como la esfera
se cortó a través de un diámetro, todas las fuerzas actúan en dirección
horizontal. Por consiguiente, solo se tiene que considerar el componente
horizontal de las fuerzas creadas por la presión del fluido para determinar la
magnitud de la fuerza en las paredes.
La ecuación para el esfuerzo en una esfera de pared delgada es:
(
)
Esta es la expresión del esfuerzo que actúa en la pared de una esfera de pared
delgada sometida a presión interna.
ESFERAS DE PARED GRUESA.
Para un cilindro de pared gruesa, la figura 15-5 muestra la notación a ser
utilizada. La geometría se caracteriza por el radio interno a, el radio externo b, y
cualquier posición radial entre a y b, llamada r. El esfuerzo longitudinal se llama
σ1; el esfuerzo anular es σ2.
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Estos tienen el mismo significado que para recipientes de pared delgada,
excepto que ahora tendrán magnitudes variables en diferentes posiciones de la
pared. Además de los esfuerzos anular y longitudinal, en un recipiente de pared
gruesa se crea un esfuerzo radial σ3. Como su nombre lo indica, el esfuerzo
radial actúa a lo largo de un radio del cilindro o esfera. Este es un esfuerzo de
compresión y varía desde una magnitud de cero en la superficie externa hasta
un valor máximo en la superficie interna, donde es igual a la presión interna.
La tabla 15-1 resume las fórmulas necesarias para calcular los tres
esfuerzos5 en las paredes de los cilindros y esferas de pared gruesa sometidos
a presión interna.
TABLA 15-1 Esfuerzos en esferas de pared gruesa.6
5 Los términos esfuerzo longitudinal y esfuerzo anular no se aplica a esferas. En su lugar, se hace
referencia al esfuerzo tangencial, el cual es igual en todas direcciones alrededor de la esfera. 6 Los símbolos utilizados aquí son los siguientes a=radio interno; b=radio externo; r=cualquier radio entre
a y b; p=presión interna, uniforme en todas las direcciones. Los esfuerzos son de tensión cuando son positivos, y de compresión cuando son negativos.
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BIBLIOGRAFÍA
1. Resistencia de Materiales.
Ferdinand L. Singer / Andrew Pytel
TERCERA EDICIÓN
Editorial HARLA
2. Resistencia de Materiales Aplicada
Robert L. Mott
Tercera Edición
Editorial PEARSON, Prentice Hall