Campo Gravitatorio Física 2º Bachillerato

Curso 2013-14

IES “Ojos del Guadiana”

Campo Gravitatorio

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1.-Diferentes modelos del universo

1.1.-Primeras observaciones Las primeras civilizaciones consideraban a la Tierra plana con

su ciudad en el centro de ella. Hacia el año 400 a.C. está generalizada la idea de que la Tierra

tiene la forma de una esfera. Aristóteles sitúa a la Tierra inmóvil en el centro del Universo y a

distancias crecientes se encuentran las esferas que trasladan

a la Luna, el Sol, Venus, Mercurio, Marte, Júpiter y Saturno, que giran con movimiento circular uniforme. Más alejada

estaría la esfera de las estrellas y que aparentemente no se mueve, por lo que estas parecen estar fijas.

1.2.-Modelo geocentrista

Propuesto por Ptolomeo 140 d.c.

No explica la trayectoria aparente que siguen los planetas. En ocasiones parecen retroceder para luego seguir con su camino,

es lo que se denomina movimiento retrógado. Las trayectorias que siguen los planetas se denominan epiciclos.

1.3.-Modelo heliocentrista.

N. Copérnico (1473-1543) concibe la idea de que es el Sol y no la

Tierra el centro del universo. Con este modelo se explican fenómenos como: alternancia de los

días y de las noches, las fases de la Luna y el movimiento retrógado de los planetas.

Las ideas de Copérnico no sólo no se aceptaron, sino que las combatieron activamente tanto la iglesia Luterana como la iglesia

Católica.

2.-Leyes del KEPLER

Basándose en los datos de Tysho Brahe descubrió:

Que las trayectorias de los planetas alrededor del sol eran elipses.

Que la velocidad de los planetas alrededor del Sol no era constante Una relación matemática precisa que relacionaba el periodo del

planeta y la distancia media al Sol.

Posteriormente estas aportaciones adquirieron el rango de leyes.

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Primera ley

Todos los planetas se mueven en órbitas elípticas con el Sol situado en

uno de los focos.

Planeta

Sol Perihelio Afelio

Perihelio de la Tierra: 147,2 mill km Afelio de la Tierra: 149,6 mill km

Segunda ley

El radio vector que une cualquier planeta con el Sol barre áreas

iguales en tiempos iguales.

B C

A B

SBC / tBC < SBA / tBA

Tercera ley

El periodo de cualquier planeta es proporcional al cubo de la distancia media del planeta al Sol

T2 = c R3

T: periodo del planeta R: distancia media del planeta al Sol

C: constante de proporcionalidad

Visitad siguiente página para ver simulaciones:

http:// http://www.walter-fendt.de/ph14s/

Planeta

Sol

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4.-Conservación del momento angular.

El momento angular es una magnitud física de carácter vectorial que se define como el producto vectorial del vector de posición de una

partícula respecto de un sistema de referencia por el vector cantidad de movimiento:

L

p

r

O trayectoria

L = r x p

Para estudiar la variación de esta magnitud física, la derivamos respecto del tiempo:

MrxFdt

mdvrxxmv

dt

dr

dt

rxmvd

dt

dL )(

La variación del momento angular de una partícula con respecto a un punto en la unidad de tiempo es igual al momento

resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula con respecto a dicho punto.

Veamos que consecuencias tiene que el momento angular se

conserve:

Si M = 0 dL/dt = 0 L = cte

Un caso especial de conservación de L es cuando las fuerzas que actúan sobre la partícula son centrales, es decir que la dirección de

la fuerza siempre pasa por el mismo punto. Esto ocurre con las fuerzas de atracción entre el Sol y la Tierra, o en general entre cualquier

planeta.

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Las consecuencias que se derivan son las siguientes:

Por conservar la dirección. El momento angular será perpendicular al plano que forman los vectores r y v, por tanto la

trayectoria de la partícula debe estar en un plano. Por conservar el sentido. La partícula siempre recorrerá la órbita

en el mismo sentido, y por tanto las trayectorias de los cuerpos en el seno de campos de fuerzas centrales serán curvas planas.

Por conservar el módulo. La velocidad areolar también

permanecerá constante.

4.-Ley de Newton de la gravitación universal.

Newton consiguió en el siglo XVII un notable avance en el estudio de los planetas, averiguando la causa de ese movimiento.

La causa es una fuerza que varía directamente proporcional al producto de las masas de los cuerpos e inversamente proporcional al

cuadrado de la distancia que los separa.

M1 M2

F21 F12

R12

Módulo:

F12 = F21 = G M1 M2 / R122

G= constante de gravitación universal = 6,67 10-11 Nm2/kg2

Expresión vectorial:

F12 = - (G M1 M2 / R122 )u12

Enunciado de la ley de gravitación universal:

“Todo cuerpo ejerce una fuerza atractiva sobre otro cuerpo que es proporcional a las masas de los cuerpos e inversamente

proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.”

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5.-Campo gravitatorio.

5.1.-Concepto de campo gravitatorio

El concepto de campo se utiliza en Física para describir interacciones a distancia.

Para el caso del campo gravitatorio nos referimos a una magnitud física de carácter vectorial que se define como la fuerza ejercida sobre

la unidad de masa presente en esa región. Se representa por “g”.

g = F/m (N/kg)

Para los casos de que el campo gravitatorio esté creado por masas

puntuales, su expresión es la siguiente:

P g

M

Su módulo:

g P = GM/R2 Dirección: La recta que une el punto y la masa que crea el campo

gravitatorio.

Sentido: Hacia la masa que crea el campo gravitatorio

5.2.-Representación gráfica

El campo gravitatorio, como campo de fuerzas que es, se representa por líneas de campo que tienen como característica principal que son

tangentes al vector intensidad de campo gravitatorio.

Ejemplos:

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6.-Principio de superposición

El campo gravitatorio satisface el principio de superposición

m1

g1

g m2 g2 g3

m3

El campo gravitatorio resultante es la suma vectorial de los vectores intensidad de campo creados por cada masa.

g = ni

i

gi1

7.-Campo conservativo.

Definiciones:

Campo: magnitud física que se manifiesta en una determinada región del espacio.

Campos vectoriales(la magnitud física es de carácter vectorial) y escalares (la magnitud física es de carácter escalar)

Campos conservativos: son campos de fuerzas conservativas Fuerzas conservativas: son aquellas cuyo trabajo realizado en una

trayectoria cerrada es nulo. También se puede definir como

aquellas fuerzas cuyo trabajo realizado entre dos puntos no depende del camino seguido.

El campo gravitatorio como ejemplo de campo conservativo:

B

SAB SBA

WT = WAB + WBA WAB = P. SAB

WBA = P. SBA

WT = 0

A

P

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Todo campo de fuerzas conservativo lleva asociado una función que depende de la posición EP(r), tal que el trabajo realizado es igual a la

diferencia de los valores que toma dicha función entre el punto inicial y el punto final. A esta función se la denomina energía potencial.

WAB = B

A

Fdr = Ep (A) - Ep (B)

8.-Energía potencial gravitatoria.

La energía potencia gravitatoria de un cuerpo de masa “m” en un

punto “P”, se define como el trabajo realizado por las fuerzas del campo gravitatorio para trasladar el cuerpo de masa “m” desde el el

origen del campo (se suele tomar a distancia infinita) hasta el punto P.

r (origen el c. gravitatorio)

P

M r m F dr

EP = Cr

GMm

rGMm

r

drGMmFdr

r r1

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9.-Potencial gravitatorio

Es la energía potencial por unidad de masa en dicho punto. Se puede

definir también como el trabajo realizado por las fuerzas del campo para trasladar la unidad de masa desde el origen del campo hasta

dicho punto.

V = r

MG

m

Ep (J/kg)

Expresiones relacionadas con el potencial gravitatorio:

WAB = EP(A)-EP(B) = m (VA – VB )

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10.-Campo gravitatorio terrestre.

Cuando la masa que crea el campo gravitatorio no es una masa

puntual, sino un cuerpo esférico (nuestro planeta), con su masa uniformemente distribuida, se mantienen todas las expresiones

anteriores, pero las distancias se miden ahora desde el centro geométrico de la esfera.

Para puntos exteriores a la superficie terrestre: g = G2)( hR

M

En la superficie terrestre: g0 = G 2/81,92

smR

M. Este valor puede

sufrir variaciones debido a dos factores. Uno porque el radio polar es menor que el radio ecuatorial y el segundo factor es debido al

movimiento de rotación de la Tierra. Ambos factores hacen que el valor de g disminuya a medida que subimos de latitud.

Para puntos interiores: g = 4πGρr/3

Como resumen se puede apreciar como varia el valor de la intensidad del

campo gravitatorio terrestre con el siguiente gráfico:

g

G M/R2

RT

11.-Movimiento de planetas y satélites artificiales.

Consecuencias de la interacción gravitatoria.

11.1.-Velocidad de escape de un satélite.

Es la velocidad que se debe de adquirir en el momento del lanzamiento para escapar del campo gravitatorio del planeta en el que

se encuentre. Para su cálculo se aplica el principio de conservación de la

energía mecánica en el punto de lanzamiento y en el infinito:

Em(punto de lanzamiento) = Em (infinito)

1mve

2/2 + (-GMm/R) = 0

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ve = R

GM2 Rg02

En la superficie de la Tierra tiene un valor de 11,2 km/s.

11.2.-Velocidad orbital de un satélite

Cuando un satélite se encuentra en órbita alrededor de la

Tierra a una cierta altura R, la única fuerza que actúa sobre él es la fuerza de atracción gravitatoria. Esta es una fuerza centrípeta dirigida

hacia el centro de la Tierra. Según la segunda ley de Newton:

R

vmma

R

MmG

2

2

Tierra

R

MGv Sol

11.3.-Energía orbital de un satélite.

Es la energía mecánica del mismo cuando se encuentra en

órbita y es la suma de la energía cinética más la energía potencial:

R

GMm

R

GMm

R

GMm

R

GMmmvE

2

1

2

12

2

1

2

Ep

Energía negativa que significa que el satélite está atrapado por

el planeta o que ambos forman un sistema ligado.

11.4.-Estudio energético de las trayectorias.

a) Cuando el satélite tiene una energía mecánica menor que cero.

Su Energía cinética es menor que su energía potencial (Ec<EP). El sistema se denomina ligado.

Da lugar a trayectorias cerradas (elipses o circunferencias).

Ejemplos: satélites alrededor de la Tierra, Tierra alrededor del Sol.

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b) Cuando el satélite tiene una energía mecánica mayor o igual que cero.

Su Energía cinética es mayor o igual que su energía potencial (Ec

mayor o igual que EP). El sistema se denomina no ligado.

Da lugar a trayectorias abiertas (hipérbolas). Ejemplos: cometas.

Velocidad inicial v0 Energía Órbita

v0 < vc

Em<0

Elíptica incompleta

v0 = vc Circunferencia

vc < v0 < ve Elipse

v0 = ve Em = 0 Parábola

v0 > ve Em > 0 Hipérbola

Vc = velocidad centrípeta; ve = velocidad de escape

11.5.-Satélites geoestacionarios.

Son satélites geoestacionarios los que tienen el mismo periodo

que el tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta completa y por tanto se encuentran siempre sobre el mismo punto de la superficie terrestre.

Veamos cómo se determina la altura de una órbita geoestacionaria:

La velocidad orbital del satélite será:

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R

GMv

Y el tiempo empleado en dar una vuelta a la Tierra

R

GM

R

v

RT

22

T2= GM

R324

3

24

2GMTR 4,22.10

7 m

Y la altura sobre la superficie terrestre:

H = R – RT = 4,22.10

7 m – 6,37.10

6m =

3,58.10 7m = 35.863 km

11.6.-Puesta en órbita de un satélite

Tiene lugar en varias etapas:

1. El satélite es lanzado desde un transbordador espacial o

lanzadera con la velocidad necesaria para mantenerse en una órbita de transferencia. Ésta, sin embargo, no es la

órbita definitiva

2. En el apogeo de esta órbita (punto más lejano de la

Tierra), eí satélite es inyectado en su órbita definitiva mediante motores propulsores.

3. Una vez situado en su órbita definitiva, el satélite puede

corregir las desviaciones que se produzcan gracias a sus motores.