Gravitación

OBlETlKJS

1.- Reconocer y comprender las causas queoriginan la gravedad y su poderosainfluencia en la configuraciones delUniverso

2.- Entender y aplicar las leyes que gobier-nan el movimiento de los planetas ydel os satélites.

1permanente afán del hombre por descubrir las causas y lasrazones que podrían explicar la maravillosa organizacióndel Cosmos lo introdujeron en inimaginables aventuras,

acumulándose así miles de horas - hombre en el planteo de teorías y larealización de investigaciones, pero poco a poco se fueron obteniendolas pistas que conducirían a una explicación simple y probadamentecierta, que llegaría por medio del genio de un hombre llamado IsaccNewton, quien basándose en los trabajos de sus antecesores como TychoBrahe, Copérnico, Galileo y Kepler, logró descubrir la Ley deGravitación Universal, publicada en sus "Principios matemáticos deFilosofía Natural" (1686/05/8).

11II NEWTON,LAMANZANA Y LA LUNASe dice (sin haber quedado confirmado) que la idea de la gravita-

ción le sobrevino a Newton a raíz de la caída de una manzana cuandodescansaba bajo un manzano. Lo importante de esta popular anécdotaes que Newton nos propuso lo siguiente: «La misma causa que hacecaer a los cuerpos en general es la misma que mantiene a la Luna enorbita alrededor de la Tierra».

afirm~~~~f~~'n~~~~~~~:;:! II~ --.lu~-f)~.,:;~::?;¡;.--~ -que la Luna abandone la tan- .l· I ••./~~~. )

gente es que ella experimente I / .> Tangenteuna aceleración, la misma que [ /ts. .»:

Ir: //

s?lo se exPflicaríadsi la Tie.~a 1:' /'J-ejerce una uerza e atracción I ••. hsobre aquella. De este modo, I t,..JY-.t.en el mismo tiempo en que cae ¡-' --.. •• '....:1la manzana la alturah. la Lunacae la distancia y, los dos con al :> ~movimientos acelerados, aunque ------->..~----'-~..•.......~F=:-ig--:-13::--'.1con distintas aceleraciones.

Lineasde visión

JOHANNES KEPLER

(1571 - 1630)

Este gran matemático yastrónomo alemán nacióen Wurtenberg. Fué directordel Observatorio Astronómi-co de Praga, sucedléndoleen el cargo a su maestroTycho Brahe (1546 - 1601),de quien heredó sus traba-jos de mediciones astronó-micas, las que luego de unminucioso y prolongadoestudio le permitieron des-cubrir las leyes que descri-ben el movimiento de losplanetas y llevan su nom-bre,las mismas que, luegole permitieron a Newtondescubrir la Ley de laGravitación Unlvesal.Susconclusiones se publicaroncon los títulosde «MysteriumCosmographicum. (1596)«Astronomla Nouvc» (1609)y «De Harmonice Mundi.(1619).

252 Física-Primer nivel

CONSTANTEG

110 años después de lapublieac/ón de la Ley de laGravitación de Newton sepudo efectuar la mediciónde G y, el primero en hacer-la fue Henry Cavendish en1797, utilizando para ellouna balanza de torslón.EIvalor de G en el S./. es Iguala 6,67.10'11 N.m2/kgl.

INGRAVIDEZ

Un cuerpo se encuentra enestado de ingravidez cuandoestá en caído libre, de mane-ra que toda balanza bajodicho cuerpo odlnamómetroque lo sostenga Indicará cea:Una nave espaclalorbltandoalrededor de la nerra está su-jeta a una única fuerza y éstaes la fuerza de gravedad porlo tonto se encuentra en caí-da libre. Esto significa que lanave se encuentra en estadode Ingravidez; luego, todos loscuerpos dentro de la nave• flotarán •.

DEBESSABERQUE:

Para una esfera maciza ouniformemente hueca, New-ton demostró que para efec-tos externos se puede consi-derar que toda su masa estáconcentrada en su centrogeométrico. A esta equiva-lencia se llama masa pun-tual. Asimismo, toda partículadentro del cascarón estaráen estado de imponderabi-lidad, es decir la fuerza degravedad del cascarón so-bre él es nula.

Félix Aucallanchi V..¿A QUE SE D~BE LA GRAVEDAD ?'Denominamos gravedad al efecto mismo de la atracción existente

entre los cuerpos; sin embargo, la causa o el porqué sucede ésto ha que-dado un tanto sin explicación hasta principios del siglo XX, Actualmen-te los fí~icos teóricos plantean que jl} I <\el espacio se deforma por la presen- ~.cia de grandes masas, generándose (f )así la gravedad. Esta deformación X.del espacio es como la que originauna bola pesada al centro de un man- ~ _ _ ~tel como el de la Fig. 13.2. Fig. 13.2

11II LEY DE LA GRAVITACION ÜN!VERSALEsta ley establece que: «Toda f--'~..=, ==.,."".,

partícula material del Universo seratrae con cualquier otra partícula, con [fuerzas de igual intensidad pero de:direcciones opuestas, y cuyo valor esedirectamente proporcional con elrproducto de sus masas e inver-¡rsamente proporcional con el cuadrado Ide la distancia que las separa» . I

¡(13.1) IL=~~~~~~~~~~~

Fig 13.3donde G es la Constante de Gravitación Universal, De la Fig. 13.3, vemosque la Tierra atrae a la Luna, y de igual modo la Luna a la Tierra.

DI·VARIACION DE LA GRAVEDAD CON iA..ALTURA . .. .

Newton demostró que la atracción gravitatoria que ejerce la Tierrasobre los cuerpos se traduce en un movimiento acelerado cuando éstosson dejados caer libremente, verifi- '.'cándose que la aceleración (g) dela caída será menor cuanto más lejosnos encontremos de la superficie te- ¡ ,',;.rrestre.Si consideramos a la Tierrar'/:~~ Ocomo una esfera, el valor de g en la~",:::::..superficie y a una altura h respec-. . ·'~:Ti,.tívamente estará dada por: i,' ..;. ,c:..,-'-"" .. ,

I gs=G¡rlI g= G (R ~h)21 (13.3)

donde: s, = 9,81 m/s2

(13.2)

Fig 13.4

•VARIACION DE LA GRAVEDAD CON LALATITUD (O)

El movimiento de rotación de la r------------,Tierra sobre su eje produce un cambioen el valor de la aceleración de la gra-vedad.DelaFig. 13.5: go = gravedad sila tierra no girase, lie = Aceleracióncentripeta, y g =(g o -lie) es la gravedadefectiva del lugar. En realidad, 10 quenosotrosmedirnos y experirnentunosesg; y si soltunos una plomada, ésta seorientará en la dirección de g .Solo en elpolo desaparecen los efectos de laaceleración lie, verificándose allí que:g = s; Fig. 13.5

11II ENERGIA POTENCIAL GRAVITATORIACuando un cuerpo de masa m se

encuentra a una distancia d considera- ~ble con relación al centro de la Tierra, -, -c

la energ.ía potencial grav~tatoria queo....M.. »>ambos tienen se define aSI: ;;:.;. //IEPG= - G M;r-I (13.4);~" <:/ / .dond~ EPG también coincide con el ':\', \ / / dtrabajo de un agente externo para traer ~ - Va m desde el infinito hasta el punto "A". '-----'~--....:::..:c~~-~'='r>?_Z

__ VELOCIDADES ORBITALES y DE ESCAPECuando el hombre intentó lanzar satélites artificiales para ponerlos

a or-bitar la Tierra, encontró que éstos podían describir una circunferencia,una elipse, una parábola o una hipérbola, 10 cual quedaría definido por elimpulso inicial. Llamaremos velocidad orbital o primera velocidadcósmica (VI) a aquella que le permite a un satélite dar vueltas encircunferencias alrededor de la Tierra, y cuyo valor viene dado por:

y l\amaremos velocidad de escape (v ) a la que deberíamos dara un satélite para que no vuelva al punto de fanzamiento, de modo quesiguiendo una trayectoria parabólica se aleje para siempre de la Tierra.Su valor está dado por:----~=.....

v2 = ~2 Gt! = J2 VI = 11.16km/s

Cuando el lanzamiento se realiza con una velocidad Vo tal que:VI < Vo < v2' las trayectorias son elípticas, de manera que los proyectiles

Gravitación 253

VARIAC/ON DE"g" CON LA»amx: (h)

(En la latitud 9=45°)

h(km} g(m/s2}

O 9,8120 9.7540 9,6960 9,6380 9,57

100 9,51200 9,22

VARIAC/ON DE"g" CON LALATITUD(9)

(A nivel del mar)

Latitud g(m/s2}

00 9.780200 9.786400 9,80260 ° 9,81980° 9,831900 9,832

DEBESSABERQUE:

Los gravímetros sensitivosson aparatos que permitenmedir pequeñisimas varia-ciones de la gravedad. Susvalores se expresan en launidad gol :

1 gol = 1 cm/s2 = 1O-3g.Subira un cerro de 300 m

de altura produciría unavariación de 9 del orden de0,1 gol.

254 Física-Primer nivel Fé/ix Aucal/anchi V.

DEBESSABER QUE

Llamaremos Apogeo alpunto de la elipse que se Iencuentra más alejado dela Tierra, y Perlgeo al punto a)de la elipse que se encuen-tra mós próxImo a la Tierra.Estos mismos puntos se de-nomInan Afelio y Periheliorespectivamente cuando enel foco de la elipse se en-cuentra el Sol.

MUY INTERESANTE

Un satélite seró estacio-nario sI en todo momento seencuentra frente a un mismolugar de la superficie terres-tre, debido al hecho de tenerun período de rotación iguala 24 horas.

TEORIAGEOCENTRICA

Fué sustentada por Clau-dio Ptolomeo (100-17B),astrónomo de Alejandría.Según esta teoría, la Tierraes el centro del Universo, ycada planeta semueve conM.C.U. con relacIón a unpunto, y dicho punto conrelacIón a la Tierra tiene unsegundo movimIento circu-lar. La trayectoría así obtenI-da la denominó epicicloide.Esto fué descrito en su traba-jo titulado Almagesto.

lanzados con velocidades mayores que v2 describirán trayectorias hipe r-bólicas.

Vuelo Libre.",..1 b)-.'\.\ "o

Fin de____'_-\ Propulsiónt Vuelo Motor

Punto de lanzamiento

Fig.13.7

11II MOVIMIENTO PLANETARIOEl descubrimiento de las leyes que rigen el movimiento de los

planetas fué uno de los procesos más interesantes en la evolución de laciencia, y en particular de la Física. Los griegos consideraron al hombrecomo el centro del Universo,y fue por ello que asumieron que la Tierrase encontraba en el centro geométrico del mismo, de manera que losdemás astros giraban alrededor de él, y en el siguiente orden: La Luna,Mercurio, Venus, Sol, Marte, Júpiter, Saturno y las estrellas fijas. Estacreencia fué reforzada por Claudio Ptolomeo con su teoría "Geocéntrica",teoría que duro hasta mediados del siglo XVI, en que surge la teoríaHeliocéntrica de Nicolás Copérnico, que consideraba al Sol como elcentro del Universo, desde el cual la trayectoria de los planetas son líneasmás sencillas.Esta teoría fué reforzada por observaciones astronómicashechas por Tycho Brahe, las mismas que fueron utilizadas por JohannesKepler para el descubrimiento de sus leyes.

En la actualidad se tiene pruebas de la existencia de nueve planetasque conforman el Sistema Planetario Solar los cuales son:

(1) MERCURIO (2) VENUS (3) TIERRA (4) MARTE (5) JUPITER(6) SATURNO (7) URANO (8) NEPTUNO (9) PLUTON

11II LEYES DE KEPLERLuego de 20 años de obsesionado estudio, Kepler logró corregir

el modelo Heliocéntrico , y pudo establecer con sencillez asombrosaque el movimiento de los planetas así como el de los satélites se rigenpor tres leyes:

lni) Ley de las órbitas.- Todo planeta gira alrededor del Sol describiendouna orbita elíptica, ocupando él uno de los focos.2da) Ley de las áreas.- La recta que une un planeta cualquiera con el

Gravitación 255

Sol (radio vector) describe áreas iguales en tiempos iguales.

JB) Ley de los períodos.- El cuadrado del periódo (T) de un planetaes directamente proporcional con el cubo del radio vector medie(semíeje mayor de la elipse).

TEORJAHELlOCENTRJCA

Estateoría fué publicadaen el libro «De RevolutionibusOrbium Coeiesttirr» el año1542. por el monje polaco

~

Nicolás Copérnico (1473-TI _ "1 1543). quien en su afán de

=> T.. - r...: (13.4) encontrar una explicación., ~ más sencilla al movimiento

r-' ---, de los planetas llegó a lainevitable conclusión deque el Soldebía situarseenel centro del Universo.y elresto de los planetas de-bían girar alrededor de éla distancias cada vezmayores.

a)

P l--------lA

ATENC/ONII2r ----1-

A:.Apopo r = q·t Las leyes de Kepler sonP'.a...:- vólldos tonto poro safelltes

& -.... naflrales como pero soIeIltesL---~----=.:...-------'-----"--------Fi-;::;J;;-g-. -;-;13~.8 atlflcloles

--+--- b ---+

Prob. 1.- La distancia entre /o nerra y la Luna es 60 R(R= radio terrestre). lA qué distancia delcentro de la Tierraun cuerpo colocado en la línea que une la luna y la nerra estaró enequilibrio? Se sabe además que: masa terrestre = 81 masa lunar.A)48R B)62R C)54R D)50R E)42R

ResoluciÓn.-

Del gráfico se observa que el cuerpo demasa "m H debe ser atraído por la Tierra ypor la Luna, con fuerzas iguales para queesté en equilibrio.

FT= FL

MTm MLmG7 = G(d_x)2

=> 9 (d -x) =x

TJeml F. F. Luna-----~-------~--- ,

, ,, ,, ,, ,x ¡ (d-x)-+

d=60R

9 9x= IOd= 10 (60R) => x=54R RPTA.C

Probo 2.- lA qué altura respecto de la superficie terrestre el peso 00 una persona se horó lacuarta porte? R = radio terrestre.

A)R/2 D)3R E) 2 R/5B)R C)2R

256 Física-Primer Nivel Félix Aucallanchi V.

Resolución.-

Reconociendo que el peso es la fuerza de gravedad que ejerce la Tierra sobre cada uno de nosotros, podemosdecir de acuerdo con los datos que: P = P (4, donde Ps = peso en la superficie terrestre. Y como los pesosdependen de la gravedad local, concluímos que esta rmsma relación se verificará para las aceleraciones dela gravedad: g = g/4. Seguidamente, utilizaremos la relación (13.3) para determinar la altura h:

R2 g R2

g=gJ4(R+h)2 :::} -t=gs(R+h)2 :::} (R+W=4R2 :::} h=R RPTA.B

Prob 3.- Suponiendo que el radio de la Luna es 1/6 del radio de la Tierra, y que la densidad dela Tierra es 1,5 veces m~or que el de la Luna, ¿Cuánto vale la gravedad en la Luna,si en la Tierra es 9,8 rtüs ? (en m/s2).

A) 1,08 B) 0,96 C) 1,63 O) 9,8 E) 0,18 UNMSM - 80Resolución.-

Suponiendo que un planeta es esférico de radio R y densidad D, podemos decir que su volumen es V = 41tH3/3,Y por consiguiente su masa será: M =D. V = D (4ltR3/3).Luego, la gravedad en su superficie la encontraremosen base a estas deducciones y a la relación (13.2)

M 41tR3D/3 4g = G R2 = G R2 = "3 ltGRD

Y utilizando esta relación para la Luna y la Tierra, así como los datos del problema, tendremos:

gL .t6LDL (1I6RT)DL gT

g.; =~RTDT = RT(l,5DL) :::} gL = ""9 :::} gL = 1,08 mlsl RPTA.A

Probo 4.- Deterrtincr /o aceleración centrípeta en lTI txrto de /o línea ocuatoriol, siel radio terrestre allíes 6 400 km. AsImismo, encontrcr /o g-o.tedad efecfM:J en dicho /ug::r (gs 9,8m/s2)

A)0,065 m/s2 ; 8,754 m/s2 B) 0,042 m/s2; 7,345 m/s2 C) 0,234 m/s2 ; 9,347 mís2

O) 0,034 m/s2 ; 9,766 m/s2 E) 0,342 m/s2 ; 6,343 mls2

Resolución.-

De acuerdo con lo visto en el item (13.5) y en virtud a la Ley de D'Alembert, diremos que un observadorubicado en el centro de la Tierra (O) apreciará que un punto cualquiera de la superficie terrestre, y en particularaquel ubicado en la línea ecuatorial, experi-menta dos aceleraciones: La gravedad normal g y el opuesto de laaceleración centrípeta (-ac) dellugar.Luego, la gravedad efectiva (C ef) estará dada así:

Cef = Cs + (-ac) a:::} ICef I = s, - ac (*) cjg·

donde: a = 0)2 R = (21t 'f R = 41t2 R {R=6.4.l06

me T ) T2 T=24h=86400s

2a = 4(3,14) .6,14.106:::} a

c= 0,034 m/s2

e (86400)2

y en (*) : Igef I = 9,8 - 0,034

.. Iger I = 9,766 mlsl RPTA.D ·~··

Gravitación 257

Probo 5.- lA qué altura de la superficie terrestre la velocidad de un satélite es un tercio de laprimera velocidad cósmIca? R = Radio terrestre.A]5R B] 10R C] 14R O] 8 R E] 6 R

Resolución.-

Utilizando las relaciones del item (13.7) para la velocidad de un satélite y la primera velocidad cósmicarespectivamente, así como la condición del problema, tendremos:

V raV = _1- => 3v = VIra =>

3J GM JGM3 (R+h) = R => RPTA.Dh=8R

Probo 6.- Unsatélite orbita la Tierracon una velocidad igual a la mitad de la primera velocIdadcósmica ¿Qué valor tIene la aceleración de la gravedad en dicha órbita? gs =gravedad en la superficIe terrestre = 10 m/s2.A] 0,453 m/s2 B] 0,625 m/s2 C] 0,424 m/s2 O] 0,826 m/s2 E] 0,539 m/s2

Resolución.-

Aprovechando la solución del ejercicio anterior encon-traremos la distancia (el) del satélite al centro de la Tierra:

VIra JGM JGMv=-2- => 2v= VIra => 2 d = R => d=4R

A continuación calcularemos la gravedad g en la órbita enbase a la relación (13.3):

R2 gg = gS(4R)2 = l~ => g = 0,625 m/s2 RPTA. B

Observación.- La gravedad g de la órbita desempeña el papel de aceleración centrípeta.

/------------y~~~·~~·~~~·~············l./--- Vg """

,,,,,d=4R

Probo 7.- Un satélite gira en una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura donde laaceleración de la 9ravedad es la cuarta parte de la gravedad en la superficie de laTierra.Hallar el penodo de revolución del satélite (considere R el radio de la Tierray gla aceleración de la gravedad en la superficie terrestre].

A] 41tJR / g B] 21tJR / g 9 41tJg /2R D]41tJ2R/ g E]41tJR / 2g UNI 94 - 2

Resolucién>

En primer lugar calcularemos la distancia r del satélitehasta el centro de la Tierra, para lo cual utilizaremosla condición del problema y la relación (13.3):

R2g' =g2 =>r => r=2R

A continuación, reconocemos que para el movimientocircunferencial uniforme del satélite, la gravedad g'que éste experimenta es justamente la aceleracióncentrípeta. Luego en base a la obsevación señaladaen el item (6.8) y el resultado anterior, encontraremosel período T del movimiento.

258 Física-Primer nivel Félix Aucallanchl V.

g 41t24" = r2 . (2R).

fiKT=41t Vg RPTA.D

Probo 8.- Un satélite gira alrededor de la 7ierra con un período T1= 16 dios, y un segundo satélite lohace con un período T2= 2 días. Si la velocidad de este último satélite es la mitad de laprimera velocidad cósmica, ¿Cuál es el radio de giro del primer satélite? R =Radio terrestre.

A) 10R 8)8 R C] 16R D) 12 R E) 9 R

Resolución.-

En base al dato de las velocidades diremos que el radio de giro r2 del segundo satélite es: r2 = 4R; ésto en virtuda lo obtenido en el problema anterior. Luego, de acuerdo con la 3ra Ley de Kepler se debé cumplir que:

(16díasj _ (íJ

2días - 4R => Tt=16R RPTA.C

Probo 9.- Dos satélites S1 y S2 orbltan circularmente alrededor de un mismo planeta. El primerobarre en 144 noras las 2/3 partes del área total de su órbita. El segundo satélit~ tieneun período igual a 27 horas. Entonces, la razón de los radios de sus órbitas R/R2 es:A)2 8) 3 C] 4 D) 9 E) 14 UNI 93 - 1

Resolución.-

De acuerdo con los datos podemos reconocer que el primer satélite tiene un período de 216 horas, lo cual sepuede deducir en base a la 2¡!¡¡Ley de Kepler y una regla de tres simples:

J44h tS} 1) = 144h.S = => TI = 216 h1) S tS

Seguidamente calcularemos la razónRl / R2 entre los radios de giro de los satélites utilizando para ello la 3ra

Ley de Kepler, veamos:

RPTA.C.

Probo 10.- Un satélite gira en torno al planeta Mubicado en el polo F1' empleando 18

«reses . SI el tiempo para ir de A a 8es de 1mes, yde e hasta D es de 3meses. ¿Qué parte de toda la elipsees la región sombreado? F2segundo foco de la elipse.

A) 1/9 D) 3/5

8) 3/2 E) 8/5

C] 1/7

B

Gravitación 259

Resolución."

Sean: S = área de toda la elipse, y S2 = área buscada.De acuerdo con la igualdad de las regiones AF,B y 6 mes~es,,---=__CF2D, diremos que sus áreas son iguales a S,. Luego,utilizando la 2da Ley de Kepler tendremos:

1) Arco AB: S ::> 18 meses }s, = I~S, ::> 1 meses...... (1)

2) Arco CD: S ::> 18 meses }s,+s2=iS, + S2 ::> 3 meses

...... (2)

A e

y reemplazando (1) en (2), despejamos S2' de modo que : I~ + S2 = t ~ S2 = t RPTA. A

Probo 11." Determinar el tiempo que debería durar el día para que un sujeto colocado en elecuador reduzca su peso normal en 25 %

A) 2rtJR / 9 B) 2rtJ3R / 9 E) 4rtJ3R /gC) 4rtJR /g D) 4rtJR / 3g

Resolución ."

De acuerdo al esquema deducimos que: Fe= mg'

Aplicando la relación (9,6) tenemos:

2R -' L.( (1)mi» - mg ~. W - R .

Según la relación (6.7) deducimos que: W = 2; .

Además por condición del problema se deduce quee' = 3/4 g. Luego, reemplazando en (1):

,.,2 = 3/4g (2rt ]2 3gVJ R ~ T) = 4R

Luego 2; = !.pj.1 f= ~",:1fIRPTA.DV3g.

260 Física-Primer nivel Félíx Aucallanchi V.

I~ AUTOEVALUACION

1.- Indicar verdadero (V) o falso (F) segúncorresponda:

: ) Gravitación es el fenómeno atractivo entre dosmasas.

: ) El peso es la fuerza de gravedad sobre un cuerpoejercicio por otro.

( ) Peso y gravedad son dos conceptos iguales.

A) FFV B) FVV C) VFV D) VVF E) VVV

2.- Sañalar la afirmación correcta:

<\) La Tierra tiene un peso nulo respecto de cualquiercuerpo celeste.

B) La aceleración de la gravedad no depende deltamaño del planeta.

=) La aceleración de la gravedad solo depende de lamasa del planeta.

D) Al viajar por un túnel hacia el centro de la Tierra,la gravedad aumenta.

~) la aceleración de la gravedad en el centro de laTierra es nula.

t- Dadas las siguientes proposiciones:

L El menor valor de la aceleración de la gravedaden la Tierra se presenta en la Línea Ecuatorial.

[1.En los polos se miden los valores de g sin losefectos de rotación de la Tierra.

1II.Si soltamos una piedra en Lima, la prolongaciónde la trayectoría pasa por el centro de la Tierra.

:Y. La variación de g con la latitud se debe básica-mente a que la Tierra es achatada en los Polos yensanchada en el Ecuador.

Señalar lo correcto:

<\) I C)III E) 11 Y IIIB) 11 D) IV

lo Los cuerpos que viajan dentro de una nave espacial!n órbita alrededor de la Tierra están en estado dengravidez porque:

<\) Dentro todos tienen la misma velocidad

3) La Tierra no ejerce atracción sobre ellos

::) En el espacio no hay aire

)) Dentro todos experimentan igual aceleración.

S) La nave no tiene aceleración.

5.- Si F es la fuerza de gravedad que ejerce elcascarón M sobre la partícula m, entonces es falsoque:

A) F4 < F3

B) F[ = O

C) F2 = F3

D) F[ = F2

E) F2 < F3

6.- 'Complementar correctamente «La teoría____ fué sustentada por »

4Om

A) Heleocéntrica, Kepler D) Geocéntrica, T. Brahe.

B) Geocéntrica, Ptolomeo E) Helicéntrica, Newton

C) Antigua; Ptolomeo

7.- En relación al siguiente sistema planetario. lostiempos (r) son tales que:

3A) tu = t34 ~B) t23 = 2t4[

C) t[2 = t4[ 4 2

D) t23 = t34 2SE) 1[2 = 2t34

18.- En relación a la pregunta anterior, las velocidades(v) son tales que:

A)V4>V2

B) v[ = v3

C) v[ < v2

9.- Los radios de la órbitas de dos satélites son talesque: 9R[ = l6R2; luego, la relación de sus períodosT¡lT2 será:

A) 6/7 B) 9/16 C) 64/27 D) 3/4 E) 4/3

10.- En el Sistema Solar, el planeta de menor período es:

A) Jupiter

D) Marte

B) Neptuno C) Venus

E) Mercurio

Gravitación 261

PROBLEMAS PROPUESTOS

NIVEL 1

01.- ¿Con qué fuerza (en N) se atraen dos asteroidescuyas masas son: 8.108 kg /\ 9. J09 kg, si además ladistancia entre ellas es de .16,67 km?

A) 55 B) 64 C)78 D) 72 E) 40

02.- Si una de dos masas se triplica y la distanciaentre ellas se duplica. ¿En qué razón se encuentranlas fuerzas de atracción gravitacional inicial y finalentre dichos cuerpos?

A) 3:6 B)4:3 C)5:2 D)7:4 E)4:8

03.- Determinar la intensidad del campo gravitatorioen P, si al colocar allí una masa puntual m = 6 kg ;experimenta una fuerza F = 60 N, tal como se indica.

A) (-6;-8) N/kg

B) (3;-9) N/kg

C) (12;4) N/kg

D)(-9;21) N/kg

E) (-5;-l)N/kg o X

04.- Sabiendo que en l!n punto P el campo tiene unaintensidad g = -10 j (N/kg) ¿Qué fuerza (en N)experimentará allí una masa puntual de 6 kg? Dar larespuesta en función de los vectores unitarioscartesianos.

A) -50] B) 4] C) -60] D) 8] E) -6 ]

05.- Considerando que la Tierra es una esfera macisay homogénea ¿A qué distancia (en megametros) desu centro, la intensidad del campo gravitatorio seráigual a 6,67 m/s2? Masa de Tierra = 6.1024 kg.

Sugerencia: Utilizar: .J6O '" 7,75

A) 5,65 B) 3,89 C) 7,62 D) 4,27 E) 7,75

06.- Sabiendo que el campo gravitatorio creado porA y B en P es nulo ¿En qué razón se encuentran x ey , si mA/mB = 4/9?

A) 8/2

B)2/3

C) 1/2

D) 317

E) 6/3

A B

G),-------------r-----------@-iI _, I,, , ,;.-- X I Y ----...;

NIVEL 2

07.- ¿A qué distancia mínima del centro de la Tierra,la gravedad es la mitad del que existe en la superficie?Dar la respuesta en función de R = Radio terrestre.

A)R/2 C)R/5 D)R/3B)R/9

08.- Por mediciones realizadas en la línea ecuatorial,se sabe que la aceleración de la gravedad efectiva esg = 9,78 mls2. Sabiendo que por efectos únicos degravedad, el valor debería ser go = 9,81 m/sl, ¿Cuáles el valor de la aceleración centrípetac, (enmls2) delos puntos del Ecuador?

A) 0,05 B) 0,08 C) 0,01 D) 0,02 E) 6,03

09.- Si el cuerpo de masam se deja caer en A, ¿Cuál esla energía mecánica total del sistema cuando llegue a B?

A) -GMmI7R

B) GMm/3R

C)-GMm/5R

D) -GMm/2R

E)GMmlIR

10.- Un satélite artificial gira alrededor de la Tierraa una distancia R de su superficie. Encontrar surapidez (v) de traslación (enkmls) si: gs = JOm/s2

/\ R = 6 400 km.

A) 4/J2

D) 9/J2

B)2/J2

E)3/J2

C)6/J2

11.- Determinar en qué razón se encuentran los tiern-

~ 3pos de recorrido ti /\ t2, si: S2 = ¡

A) 2/3

B) 3/8

C)3/4

D) 5/6

E) 217

262 Física-Primer nivel

NIVEL 3

12.- En la superficie de un planeta una persona tiene unpeso de 720 N ¿Qué peso (en N) tendría dicha personasi la masa del planeta se duplicara y su radio se hicierael triple?

A) 180 B) 360 C) 140 O) 120 E) 160

13.- ¿A qué profundidad la gravedad es un tercio de laexiste en la superficie de la Tierra? R = Radio terrestre.

A) R/3 B) R/4 C) R/6 O) 2R/3 E)R/5

14.- Si D es la densidad de un planeta y R es su radio,¿Cuál es la expresión que le corresponde a la gravedaden su superficie? G = Constante de GravitaciónUniversal.

O) 4rr.GDR2 E) 1rr.GDR

15.- ¿A qué distancia del centro de la Tierra una navegirará, con la mitad de la primera velocidad cósmicaalrededor de ella ? R = Radio terrestre.

A) 2R B)4R C)3R 0)5R E) 3R/2

16.- ¿Cuál es la velocidad orbital de un satélite quegira alrededor de un planeta cuya masa es nueve vecesel de la Tierra, y su radio es cuatro veces el terrestre?(v( = 8 km/s)

A)8 B) 10 C) 12 O) 15 E) 18

17.- Para el esquema mostrado, ¿Cuál es la expresióncorrecta para la energía cinética del satélite de masa m ?

A) GmMI2R

B) GmM12R2

.... m

~~)C) GM/R

O) GmM/4R

E) Gm/R2

18.- Del problema anterior,¿Cuál sería la expresióncorrecta para la energía mecánica del sistema?

A) -GmM/4R

B) GmMI2R

C) -GmMI2R

O) GmM/4R

E) -GmM/3R

Félix Aucollonchi V.

19.- Sabiendo que: 1( = 9 días ¿Qué tiempo empleael satélite indicando para pasar de B hasta C?

A) 18 días <;-

B) 8 días

C) 6 días A C

~SS ;jI

O) II díasI(

12

E) 15 días B

20.- Encontrar en qué relación están los periodos detraslación 1( 1\ 1} de los satélites mostrados.

A) 2/30

O) 28/6

B) 27/8

E) 5/41

C) 42/1

21.- Sabiendo que el planeta A demora 8 veces loque demora B para dar una vuelta alrededor del Sol.¿En qué razón se encuentran los radios de giro?

A)4

B)6

C)20)8E)3

,,,,,,,,,,,,,,, ,, ,

/~9A.' A ,/

22.- Un satélite artificial de la Tierra ha sido lanzadodesde el Ecuador, y se mueve por una órbita circularen el plano de éste y en el sentido de la rotación dela Tierra. Si el radio de la órbita es R = 4RT 'siendo RT = 6 400 km (radio terrestre), ¿Al cabo dequé tiempo pasará el satélite por primera vez por elpunto de lanzamiento?

A) 18 h, 45 mili, 36 s

B) 21 h, 38 mili, 2 s

C) 23 h, 40 mili, 48 s

O) I día, 2 h , 38 min

E) I día, 5 h , 55 mili