16136236 gravitacion universal

Fsica para todos1Carlos Jimnez Huaranga

LEY DE GRAVITACIN UNIVERSAL

Alrededor de 1685, Newton logr demostrar que las todos los cuerpos en el Universo se atraen entre s gravitacionalmente. Newton descubri que:

"La fuerza de atraccin entre dos cuerpos es proporcional a sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa"

Ejemplo: Qu valor tendra la aceleracin de la gravedad en la superficie de la Tierra si su radio se duplica y la masa permanece constante?

Se sabe que la aceleracin de la gravedad en la superficie terrestre es:

g G MT 9,8 m / s2 R2T

M1

M2

Si la masa no vara y el radio se duplica, entonces, la ecuacin sera:

FF

d

F G M1 M 2 d 2

Donde: M1 y M2: masas de los cuerpos, expresadas en kilogramos (kg).d: distancia que separa los centros de las masas, expresada en metros (m).F = Fuerza de atraccin entre las masas, expresada en newton (N).

G = Constante de gravitacin universal G = 6,67 10-11 N.m2/kg2

Ejemplo: Calcular la fuerza con que se atraen dos cuerpos de masas 800 kg y 1 000 kg, separadas por una distancia de 2 m

Datos: M1= 800 kg; M2= 1 000 kg; d = 2 m

Usemos la ecuacin: F G M1 M 2 d 2

Reemplazamos datos:

F 6,671011 (800)(1000) 22

Luego: F 13,34106 N

Aceleracin de la gravedad en la superficie de un planeta o satlite (g):

g

g G M R2

M: masa del planeta o satlite

R: radio del planeta o satlite

G: constante de gravitacin universal.

g GMT GMT1GMT1g

(2RT )24 R2 T

x4 R2T4

1

gx(9,8m / s2 ) gx 2,45m / s2

4

Aceleracin de la gravedad a una altura h de la superficie (gh):

hgh

g

R

R2 gh g (R h)2

R: radio del planeta o satlite h: altura respecto a la superficie

g: aceleracin de la gravedad en la superficie.

gh: aceleracin de la gravedad a una altura h

Ejemplo: Calcular el valor de la aceleracin de la gravedad a una altura de la superficie terrestre igual a 2 veces el radio de la Tierra.

Dato: h = 2R

En la ecuacin:

gh gR2 gR2 gR2g

(R h)2(R 2R)2(3R)2

9

gh9,8m / s2

gh 9,09 m / s2

9

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Aceleracin de la gravedad en el interior de un planeta o satlite (gi)

R

xgi g x

R

Ejemplo: Si queremos determinar la aceleracin de la gravedad en el punto medio del radio terrestre, la distancia x es igual a R/2; entonces:gi gR / 2 g1g9,8 m / s2

R

222

gi 4,9 m / s2

ENERGA POTENCIAL GRAVITACIONAL

La energa potencial gravitacional (U) de dos partculas de masas M1 y M2 separadas por una distancia "d" es:

M1 M2

d

U G M1 M 2 d

Donde: U = energa potencial gravitacional y se expresa en joules (J)

M1 y M2 = masas y se expresan en kilogramos (kg)

d = distancia de separacin y se expresa en metros (m)

Ejemplo: La energa potencial gravitacional de un sistema formado por dos masas de 106 kg cada una y separadas 10 m, es igual a:

U 6,671011 106 106

U 6,67 J

10

Ejemplo: Si se tiene 3 masas ubicadas en los vrtices del tringulo, tal como se observa en la figura. Calcular la energa potencial gravitacional del sistema mostrado.

Carlos Jimnez Huaranga

M2=5106 kg

300 m500 m

400 m

M1=15106 kgM3=12106 kg

La energa potencial del sistema es:

U G M1M 2 G M1M3 G M 2 M3

d12d13 d23

U G 151065106 G15106 12106 G 5106 12106 300 400 500

U = -251010 G 451010 G 121010 G U = -821010 G = -821010 6,6710-11U 54,7 J

Ejemplo: Un cuerpo de masa m es soltado desde una altura igual al radio terrestre R, con qu velocidad lleg el cuerpo a Tierra?

A

h=R

B

R

Por conservacin de energa mecnica: Em(A) = Em(B)

Ec(A) + Ep(A) = Ec(B) + Ep(B)

Como el cuerpo es soltado en A: Ec(A) = 0

G m M m v2 G m M R h 2 R

Simplificamos m y reemplazamos h=R

GM v2 GM v GM

2R 2 RR

Donde; M: masa de la Tierra.Pero, tambin se sabe que: g GMR2

Entonces: v gR


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LEYES DE KEPLER

1ra LEY: (Ley de las rbitas)

"Todos los planetas giran alrededor del Sol describiendo una rbita elptica en la cual el Sol ocupa uno de los focos".

Fuente: www.kalipedia.com

2da LEY: (Ley de las reas)

"El radio vector posicin que une un planeta con el sol describe reas iguales en tiempos iguales".

Fuente: www.kalipedia.com

Ejemplo: La trayectoria de un planeta, cuyo ao consta de 240 das, encierra un rea total "P". Determinar el rea "S" si para ir desde "B" hasta "C" emplea 36 das.

"O": Centro elptico

CElipse

SB

OSol

Como las reas barridas por el radio vector posicin son proporcionales al tiempo que emplea en barrerlas, podemos plantear:rea barrida tiempo de B aCrea totaltiempo total

S36 das

S 3 P

20

P 240 das


3ra LEY: (Ley de los periodos)

"Los cuadrados de los periodos de revolucin planetarios son proporcionales a los cubos de los radios de sus rbitas."

R

T 2 cons tan te

R3

R: radio de la rbita

T: periodo de rotacin

Ejemplo: Dos satlites S1 y S2 orbitan circularmente alrededor de un mismo planeta. El primero tarda 216 horas en recorrer su rbita. El segundo tiene un periodo de 27 horas. Calcular la relacin de los radios de sus rbitas R1/R2.

Datos: T1 = 216 horas; T2 = 27 horas

2T2216227232162

T 12R1

33333272

R 1R 2R 1R 2R 2

3232

216632R1

R 1(2) 4

R2

33

R 2273


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PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Dos cuerpos se atraen con una fuerza de 800 N. Si uno de ellos duplica su masa y el otro la

triplica y la distancia entre ellos se cuadruplica. Cul es la nueva fuerza de atraccin gravitatoria entre ellos?A) 600 N B) 150 NC) 200 N

D) 300 N E) 100 N

2. Si el mdulo de la fuerza de atraccin del Sol sobre un planeta es igual a 41022 N. Si la masa del Sol se volviese 3 veces mayor y la distancia se redujera a la mitad, el mdulo de la fuerza de atraccin entre ellos sera: A) 1201021 NB) 151022 N

C) 2401022 ND) 241012 N

E) 51020 N

3. Determinar la fuerza resultante que acta

sobre la masa "2m". Considere: F Gm2 a2

aa

3m2mm

A) FB) 2FC) 3F

D) 4FE) 6F

4. Dos masas M y 9M estn separadas por una distancia D. En la lnea que las une colocamos una tercera masa m y observamos que se mantiene en equilibrio. A qu distancia de la masa M se encuentra m?B) D/3C) D/4

A) D/2

D) D/6E) D/9

5. Una masa "5m" se encuentra ubicada en el punto (- 4/5; 3/5) y otra masa "8m" en el punto (1; 0). Determinar la fuerza resultante que soportara una masa "m" ubicada en el origen (0; 0) (G = constante de gravitacin)A) 5 Gm2 B) 3 Gm2C) 8 Gm2

D) 13 Gm2 E) 15 Gm2

6. Dos cuerpos celestes esfricos de masas "4M" y "9M" y radios "R" y "2R" respectivamente se encuentran separados de tal manera que sus superficies distan "3R". Determinar la fuerza de atraccin entre los cuerpos.

Considere: F GM 2

R2 A) F/2B) F/3C) F

D) 2FE) 3F


7. Si la masa terrestre aumentase en un 60% y el radio se duplicara. La aceleracin de la gravedad en la superficie de la Tierra: A) Aumentara en un 40%

B) Aumentara en un 80%

C) Disminuira en un 40%

D) Disminuira en un 60%

E) Permanecera constante

08. Cul ser el peso de una persona que pesa 600 N si el radio de la Tierra se duplicara y sumasa se triplicara?C) 450 N

A) 150 N B) 300 N

D) 400 N E) 900 N

9. En la superficie de un planeta, una pelota tiene un peso de 720 N. Qu peso tendra dicha pelota si la masa del planeta se duplica y su radio se hiciera el triple?

A) 80 N B) 160 NC) 240 N

D) 120 N E) 200 N

10. Calcular la aceleracin de la gravedad en la superficie del Sol, considerando el radio del Sol cien veces el radio terrestre y la masa del Sol 250 000 veces la masa de la Tierra A) 98 m/s2B) 196 m/s2C) 245 m/s2D) 490 m/s2

E) 980 m/s2

11. La masa de la Luna es 1/80 de la masa de la Tierra y su radio 1/4 de sta. Cul es la aceleracin de la gravedad en la superficie de la Luna?

Considere: g= aceleracin de la gravedad en la superficie de la Tierra. A) g/20B) g/4C) g/5

D) g/10E) g/16

12. La masa de un planeta desconocido es el doble de la masa terrestre pero su densidad es igual al de la Tierra. Determinar la aceleracin de la gravedad en la superficie de dicho planeta. g=aceleracin de la gravedad en la superficie terrestre

A) 2gB) g/2C) 2 g

D) 32gE) 34g

13. Qu porcentaje de la aceleracin de la gravedad en la superficie terrestre es la aceleracin de la gravedad en un punto situado a una altura "3R/2", de dicha superficie? (R = Radio terrestre)A) 50%B) 75%C) 32%

D) 25%E) 16%


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14. A qu altura de la superficie terrestre, la aceleracin de la gravedad se reduce al 64% con respecto al valor en la superficie?(R=Radio de la Tierra)C) R/3

A) R/2B) R/4

D) R/5E) R/8

15. La aceleracin de la gravedad en la superficie de un planeta es la octava parte de la aceleracin de la gravedad en la superficie terrestre, si la masa del planeta es el doble de

la masa de la Tierra. Determinar su radio:(R = radio terrestre)C) 4 R

A) RB) 2 R

D) 8 RE) 16 R

16. La masa de Jpiter es casi 300 veces mayor que la de la Tierra. Si el radio de aquel planeta fuera igual al radio terrestre, cuntas veces mayor o menor que en la Tierra sera la aceleracin gravitatoria en Jpiter?

A) 150 veces menor

B) 300 veces mayor

C) 500 veces menor

D) 300 veces menor

E) 500 veces mayor

17. Un cuerpo pesa 320 N en la superficie terrestre. Cunto pesar a una altura igual a tres veces el radio de la Tierra?

A) 80 N B) 160 NC) 20 N

D) 35,5 N E) 106, 6 N

18. Un cuerpo pesa al nivel del mar 75 N. A qu altura debe elevarse para que su nuevo peso sea 3 N? Considere: R = radio terrestre A) RB) 2RC) 3R

D) 4RE) 5R

19. En qu relacin estn los valores de la aceleracin de la gravedad en dos puntos, uno situado a una profundidad igual a la cuarta parte del radio terrestre y el otro a una altura igual al radio terrestre ambos respecto de lasuperficie de la Tierra.C) 1: 4

A) 1; 1B) 1; 2

D) 3; 1E) 3; 4

20. Un planeta "M" tiene 2 satlites "A" y "B" los que giran a su alrededor, describiendo rbitas aproximadamente circulares. Si el perodo de "B" es 160 das y el radio de la rbita de giro de "A" es la cuarta parte del radio de la rbita de "B". Hallar el perodo de "A"A) 10 das B) 15 das C) 20 das D) 25 das E) 30 das


21. Dos satlites de la Tierra cada una de masa "m", se mueven en rbitas circulares concntricas con la Tierra. Si sus posiciones son 2R y 4R respecto del centro terrestre; en que relacin estn sus energas cinticas A) 1/6B) 1/2C) 3

D) 1/4E) 4

22. Dos satlites de masas MA y MB se encuentran en rbitas circulares de radios RA y RB alrededor de un planeta de masa M. Hallar la

relacin entre las energas cinticas de A y B. Considere: M A = 2MB y R B = 1,5 RAA) 1B) 2C) 3

D) 4E) 5

23. En la Tierra un hombre puede saltar una altura mxima "H", mientras que en un planeta salta solamente 0,5 H. Si el radio de este planeta es cuatro veces ms grande que la Tierra, qu relacin existir entre las densidades de este planeta y la Tierra? A) 2B) 3C) 4

D) 1/2E) 1/4

24. En la figura se observa el movimiento de un planeta en torno a una estrella "E". Si se sabe que desde la posicin "P", tarda el quntuple en llegar a "A" que de "C" hasta "P", encontrar qu fraccin de la superficie elptica es la porcin sombreada.

B

EA

C

PD

A) 1/6B) 2/3C) 4/5

D) 3/2E) 5/7

25. Si un planeta que gira alrededor del Sol demora 9 das en trasladarse de A hacia B, determinar el periodo de rbita.

A5S

3S

B

A) 48 dasB) 24 dasC) 15 das

D) 18 dasE) 20 das


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26. Con qu velocidad lineal gira un satlite alrededor de la Tierra en una rbita circular de radio "4R"?


29. Cul ser la variacin de la energa cintica

de un satlite de masa "m" al cambiar de una

rbita a otra alrededor de la Tierra, si las

GM

R

8 km / h

aceleraciones de la gravedad en las rbitas

son: g/4 y g/9; respectivamente.

M = masa de la TierraG= constante de gravitacin

Donde: R = Radio terrestre;

M= masa de la Tierra

A) 8 km/s B) 6 km/sC) 5 km/s

D) 4 km/s E) 2 km/s

27. Un planeta tiene dos satlites que orbitan concntricamente en trayectorias circulares respecto del planeta. Uno de ellos tiene un periodo de 27 das, el otro demora 6 das en barrer el 75% del rea total encerrada por su trayectoria. Hallar la relacin de sus radios vectores. A) 9/16B) 1/4C) 12/15

D) 2/9E) 9/4

28. Un cuerpo de masa "m" es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad "V0". Desde la superficie de la tierra, donde su masa es "M" y su radio "R". Calcular su velocidad, cuando ha recorrido una altura igual a "R"

Considere: vo 2GM

R

vovovo

A)B)2C)

22

vo4

2

D)E)2 vo

4

R= radio terrestre

g= aceleracin de la gravedad en la superficie

terrestre

A) GmM/2RB) GmM/12R

C) GmM/6RD) GmM/12R

E) GmM/3R

30. Un satlite se encuentra en una rbita circular alrededor de la Tierra, a una altura donde la aceleracin de la gravedad es la cuarta parte de la aceleracin de la gravedad en la superficie terrestre. Determine el periodo de

traslacin en la rbita del satlite ; considere:

R = radio terrestre

g = aceleracin de la gravedad en la superficie

terrestre.

A) 4RB) 2R

gg

C) 4gD) 4R

2R2g

E) 42R

g


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