tema 7. valores y vectores propios - uah.es · lineales y clausura lineal independencia lineal...

Tema 7.Valores yvectorespropios

7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo

7.2 Espacios ysubespaciosvectoriales

Combinacioneslineales yclausura lineal

Independencialineal

Bases ydimension

7.3 Valores yvectorespropios

Matricesdiagonalizables

Calculo de Ak

Tema 7: Valores y vectores propios

Determinantes

Espacios y subespacios vectoriales

Valores y vectores propios


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

Permutaciones

Definicion

Una permutacion p = {p1, p2, . . . , pn} de los numeros{1, 2, . . . , n} es una nueva ordenacion de los elementos{1, 2, . . . , n}, es decir, un cambio en el orden de dichosnumeros.

En particular {1, 2, . . . , n} es una permutacion de {1, 2, . . . , n}y se denomina permutacion identidad.

Teorema

El conjunto de todas las permutaciones de {1, 2, . . . , n} sedenota por Sn y tiene n! = 1 · 2 · 3 · · · n elementos.


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

Permutaciones

Definicion

Una permutacion p = {p1, p2, . . . , pn} de {1, 2, . . . , n} es par oimpar dependiendo de si el numero de intercambios entre doselementos que hay que hacer en p para transformarla en lapermutacion identidad {1, 2, . . . , n} es par o imparrespectivamente.

Definicion

Sea p una permutacion. Se define el signo de p como sigue:

sig(p) =

{+1, si p es par;−1, si p es impar.


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

Ejemplo. Permutaciones

S3 esta formado por los 6 elementos siguientes:

{1, 2, 3} permutacion identidad

{1, 3, 2} permutacion impar


{2, 3, 1} permutacion par

{3, 1, 2} permutacion par


sig({1, 2, 3}) = sig({2, 3, 1}) = sig({3, 1, 2}) = 1

sig({1, 3, 2}) = sig({2, 1, 3}) = sig({3, 2, 1}) = −1


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

Permutaciones

Observacion

Al transformar una permutacion p de Sn en la permutacionidentidad {1, 2, . . . , n}, los intercambios (entre dos elementos)posibles no son unicos, pero sı la paridad del numero deintercambios.


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

Determinantes

Definicion

El determinante de una matriz A de orden n es el escalar(numero real en nuestro caso) definido por:

det(A) = |A| =∑p∈Sn

sig(p) a1p1a2p2 · · · anpn .

Ejemplo

Utilıcese la definicion de determinante para calcular eldeterminante de

A =

(a11 a12

a21 a22

).


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

Regla de Sarrus

Ejemplo

Demuestrese la regla de Sarrus para el calculo de losdeterminantes de matrices de orden 3.

Regla de Sarrus:

det

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

− a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32.

Ejemplo

Utilıcese la regla de Sarrus para calcular el determinante de

A =

1 2 32 1 33 1 2


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

Propiedades de los determinantes

Sea A ∈Mn. Se verifican las siguientes propiedades:

det(A) = det(AT ).

OBS: Este resultado permite extender las propiedades quevamos a enunciar por filas a la correspondiente situacionpor columnas.

Si dos filas de A son iguales, entonces det(A) = 0.

Si una fila de A consta solo de ceros, entonces det(A) = 0.

Si A es triangular, entonces det(A) = a11a22 · · · ann.

det(AB) = det(A) det(B).

det(αA) = αn det(A), ∀α ∈ R.


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

Determinantes y operaciones elementales

Con respecto a las operaciones elementales por filas secumplen las siguientes propiedades:

Tipo I: fi ↔ fj , i 6= j .El determinante de la matriz que resulta cambia de signo.

Tipo II: fi → fi + λfj , i 6= j .El determinante no cambia.

Tipo III: fi → βfi , β 6= 0. El determinante quedamultiplicado por β.

OBS: Como hemos dicho anteriormente, estas operacionespueden realizarse tambien por columnas.


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

Menor complementario. Adjunto.

Definicion

Sea A = (aij) ∈Mn.

Dado un elemento Aij de A, se llama menor complementariode aij al determinante de la submatriz de orden n − 1 queresulta al suprimir en A la fila i y la columna j . Se denotara porαij .

El adjunto del elemento aij se define como

Aij = (−1)i+jαij .


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

Desarrollo del determinante por los elementos deuna fila o columna

Teorema

Sea A = (aij) ∈Mn. Entonces

det(A) = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin, ∀i = 1, . . . , n,

desarrollo del determinante de A por los elementos de lai-esima fila.

det(A) = a1jA1j + a2jA2j + · · ·+ anjAnj , ∀j = 1, . . . , n,

desarrollo del determinante de A por los elementos de laj-esima columna.


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

Ejemplo. Calculo de determinantes

Ejemplo

Calculese utilizando el teorema anterior el determinante de

A =

3 1 2 14 1 2 11 0 0 15 3 2 3

.


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

Operaciones elementales y calculo de determinantes

Calculo del determinante de una matriz A ∈Mn

Paso 1: Transformamos A en una matriz escalonada Bempleando operaciones elementales tipo I y II.

Paso 2: Sea p el numero de operaciones elementales tipo Ique se han realizado, entonces

det(A) = (−1)p det(B) = (−1)pb11b22 · · · bnn.


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

Ejemplo. Calculo de determinantes

Ejemplo

Calculese utilizando el procedimiento anterior el determinantede

A =

1 2 1 −1 01 3 2 2 12 4 3 −1 10 1 2 3 11 2 1 3 1

.


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

Invertibilidad

Teorema

A es invertible ⇐⇒ det(A) 6= 0.


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

Ejemplo introductorio. Vectores en el plano

R2 = {(x, y) vectores : x, y ∈ R}

Definicion

Sean −→v = (a, b) y −→w = (c , d) vectores del plano xy , y λ ∈ R.Se define el vector suma −→v +−→w como

−→v +−→w = (a + c , b + d).

Se define el vector λ−→v como

λ−→v = (λa, λb).

(R2,+, ·) es un espacio vectorial.


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

Definicion de espacio vectorial

Definicion

Se llama espacio vectorial sobre (R,+, ·) a un conjunto Vdotado de una operacion interna (+, suma de vectores) y unaoperacion externa (·, producto de un escalar por un vector) condominio de operaciones R que verifica las 8 propiedadessiguientes:

1 u + v = v + u, ∀u, v ∈ V

2 u + (v + w) = (u + v) + w , ∀u, v ,w ∈ V

3 Existe elemento neutro−→0 ∈ V tal que

u +−→0 =

−→0 + u = u,∀u ∈ V

4 Para cada u ∈ V existe elemento opuesto −u ∈ V tal queu + (−u) =

−→0 .


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

Definicion de espacio vectorial

5 λ(u + v) = λu + λv , ∀λ ∈ R, ∀u, v ,∈ V

6 (λ + µ)u = λu + µu, ∀λ, µ ∈ R, ∀u ∈ V

7 λ(µu) = (λµ)u, ∀λ, µ ∈ R, ∀u ∈ V

8 1u = u, ∀u ∈ V donde 1 es el elemento unidad de R.

Los elementos de V se denominan vectores.


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

El espacio vectorial Rn

Rn =

{−→x =

x1

x2...xn

: x1, x2, . . . , xn ∈ R

}

Sean −→x ,−→y ∈ Rn, λ ∈ R.

−→x +−→y =

x1 + y1

x2 + y2...

xn + yn

, λ−→x =

λx1

λx2...

λxn

.

(Rn,+, ·) es un espacio vectorial.


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

El espacio vectorial Mm×n

(Mm×n,+, ·) es un espacio vectorial, donde Mm×n es elconjunto de las matrices m × n con elementos en R, + es lasuma de matrices y · es el producto de un numero real por unamatriz.


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

Subespacios vectoriales

Definicion

Sea V un espacio vectorial y W un subconjunto no vacıo de V .Si W es un espacio vectorial con respecto a las operaciones enV , entonces W es un subespacio vectorial de V .

Ejemplo

Todo espacio vectorial tiene al menos dos subespacios:

El subespacio cero: {−→0 }.El propio espacio vectorial.

Ambos se denominan subespacios triviales del espaciovectorial.


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

Caracterizacion de subespacio vectorial

Teorema

Sea (V ,+, ·) un espacio vectorial y W un subconjunto no vacıode V . Entonces W es un subespacio vectorial de V si y solo si

1 u + v ∈ W , ∀u, v ∈ W.

2 λu ∈ W , ∀u ∈ W , ∀λ ∈ R.


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

Ejemplo. Subespacio vectorial

Ejemplo

W = {(x , y) ∈ R2 : y = mx , m ∈ R}

es un subespacio vectorial de R2.

W es el conjunto de puntos en R2 que se encuentran en unarecta que pasa por el origen.

Ejemplo

El conjunto de puntos en R2 que se encuentran en una rectaque no pasa por el origen no es un subespacio vectorial deR2.


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

Combinaciones lineales

Definicion

Una familia o sistema de vectores de un espacio vectorial Ves cualquier subconjunto A de V , en el que puede haberelementos repetidos.

Definicion

Sea A = {v1, v2, . . . , vk} una familia finita de vectores de V .Un vector v ∈ V es una combinacion lineal de los vectores deA si

v = c1v1 + c2v2 + · · ·+ ckvk ,

para ciertos c1, c2, . . . , ck ∈ R.


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

Clausura lineal

Notacion

Sea A = {v1, v2, . . . , vk} una familia de vectores de V . Elconjunto de todos los vectores que son combinacion lineal delos vectores de A se denota por

〈A〉 = 〈v1, v2, . . . , vk〉

Teorema

Sea A = {v1, v2, . . . , vk} una familia de vectores de V .〈A〉 = 〈v1, v2, . . . , vk〉 en un subespacio vectorial de V .

A 〈A〉 = 〈v1, v2, . . . , vk〉 se le denomina clausura lineal deA = {v1, v2, . . . , vk}.


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

Ejemplo. Clausura lineal

Ejemplo

Sean los vectores de R3:

v1 =

301

y v2 =

0−12

.

Probar que W = 〈v1, v2〉 es un subespacio vectorial de R3.


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

Independencia lineal

Definicion

Se dice que los vectores de la familia A = {v1, v2, . . . , vk} delespacio vectorial V son linealmente dependientes si existenconstantes c1, c2, . . . , ck ∈ R no todas iguales a 0 tales que:

c1v1 + c2v2 + · · ·+ ckvk =−→0 .

En caso contrario se dice que son linealmente independien-tes. Los vectores de la familia A = {v1, v2, . . . , vk} sonlinealmente independientes si la unica combinacion lineal suyaque da como resultado el vector

−→0 es aquella en la que

c1 = c2 = · · · = ck = 0.


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

Interpretacion geometrica en R3

En R3, si consideramos que todos los vectores salen del origenla dependencia lineal es facil de visualizar:

Dos vectores son linealmente dependientes si estan en lamisma recta.

Tres vectores son linealmente dependientes si estan en elmismo plano.


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

Procedimiento

El procedimiento para determinar si una familia de vectoresA = {v1, v2, . . . , vk} son, o no, linealmente independienteses:

Paso 1: Se plantea la ecuacionc1v1 + c2v2 + · · ·+ ckvk =

−→0 , que conduce a un sistema

homogeneo.

Paso 2: Si el sistema obtenido en el Paso 1 tieneunicamente la solucion trivial, entonces los vectores de Ason linealmente independientes.

En otro caso son linealmente dependientes.


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

Ejemplos. Independencia lineal

Ejemplo

Estudiese si los vectores de R4

v1 =

−1100

y v2 =

−2011

son linealmente independientes.


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

Sistema generador

Definicion

Se dice que una familia de vectores A = {v1, v2, . . . , vk} delespacio vectorial V es un un sistema generador de V , si cadavector v ∈ V es una combinacion lineal de los vectores de A.

Ejemplo

Estudiese si los vectores

v1 =

(11

), v2 =

(32

)y v3 =

(20

)son un sistema generador de R2.


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

Base

Definicion

Los vectores del sistema A = {v1, v2, . . . , vk} del espaciovectorial V forman una base para V si:

A es sistema de generadores de V .

Los vectores de A son linealmente independientes.

Ejemplo

A =

{(10

),

(01

) }es una base de R2.

Es la base canonica de R2.


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

Ejemplos. Base

Ejemplo

B =

{10...0

,

01...0

, . . . ,

00...1

}

es la base canonica de Rn.


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

Numero de vectores de dos bases de un mismoespacio vectorial

Teorema

Si B = {v1, v2, . . . , vn} y A = {w1,w2, . . . ,wm} son dos basesdel espacio vectorial V , entonces m = n.


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

Dimension

Definicion

La dimension de un espacio vectorial no nulo V es el numerode vectores que tiene una de sus bases.

Observacion

Como {−→0 } es linealmente dependiente, es natural decir que el

espacio vectorial {−→0 } tiene dimension cero.

Ejemplo

dim(Rn) = n.


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

Introduccion

Sea A ∈Mn,

x ∈ Rn A−−−−→ Ax ∈ Rn.

En ocasiones: Ax = λx para cierto λ ∈ R.

λ valor propio de A.

x vector propio de A asociado a λ.

APLICACIONES: ecuaciones diferenciales, fısica, ingenierıa,biologıa...

OBJETIVO: Estudiar los valores y vectores propios de unamatriz A ∈Mn.


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

Valores y vectores propios

Definicion

Sea A ∈Mn y x un vector no nulo de Rn tal que Ax = λxpara cierto λ ∈ R. Entonces decimos que λ es un valor propio(autovalor) real de A y que x es un vector propio (autovector)real de A asociado a λ.

Observacion

Nos referiremos a los valores y vectores propios realessimplemente como valores y vectores propios.

Observacion

∀A ∈Mn y ∀λ ∈ R se cumple A−→0 = λ

−→0 . Por esta razon el

vector nulo−→0 no se considera vector propio.


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

Calculo de los valores propios

Teorema

Sea A ∈Mn y λ ∈ R. Las siguientes afirmaciones sonequivalentes:

1 λ es un valor propio de A.

2 det(A− λIn) = 0.

Definicion

Sea A ∈Mn.

El polinomio caracterıstico de A es det(A− λIn).

La La multiplicidad algebraica de un valor propio de Aes el numero de veces que aparece como raız del polinomiocaracterıstico.


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

Ejemplo. Calculo de valores propios

Ejemplo

Calculese el polinomio caracterıstico de

A =

1 2 −10 3 00 1 2

,

sus valores propios, ası como la multiplicidad algebraica decada uno de ellos.


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

Valores propios de una matriz triangular

Lema

Si A ∈Mn es una matriz triangular, entonces los valorespropios de A son los elementos de su diagonal principal.


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

Calculo de vectores propios. Subespacios propios

Definicion

Sea A ∈Mn y λ ∈ R.

El subespacio propio de A asociado a λ es el conjuntoVλ formado por todos los vectores x ∈ Rn tal que(A− λIn)x =

−→0 .

Vλ es un subespacio vectorial de Rn.

La multiplicidad geometrica de λ es la dimension de Vλ.


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

Ejemplo. Subespacios propios

Ejemplo

Calculense los subespacios propios asociados a cada uno de losvectores propios de la matriz A del ejemplo anterior.

Recordamos que

A =

1 2 −10 3 00 1 2

,

y que sus valores propios son λ1 = 1, λ2 = 2 y λ3 = 3.


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

Multiplicidad algebraica y multiplicidad geometrica

Teorema

Las siguientes afirmaciones son ciertas:

1 La multiplicidad geometrica de un valor propio es mayor oigual que 1.

2 La multiplicidad algebraica de un valor propio es siempremayor o igual que su multiplicidad geometrica.


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

Matrices diagonalizables

Notacion

A la matriz diagonal de orden n cuyos elementos de ladiagonal principal son λ1, λ2, . . . , λn la denotaremos por

diag(λ1, λ2, . . . , λn) =

λ1 0 . . . 00 λ2 . . . 0

. . .0 0 . . . λn

.

Observacion

Los valores propios de diag(λ1, λ2, . . . , λn) son λ1, λ2, . . . , λn.


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak


Definicion

Una matriz cuadrada A es diagonalizable si existen matricesD digonal y P invertible tales que:

A = PDP−1

Lema

Sea A ∈Mn diagonalizable, con

A = PDP−1,

D = diag(λ1, λ2, . . . , λn),

entonces los valores propios de A son λ1, λ2, . . . , λn.


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak


Teorema

Sea A ∈Mn. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1 A es diagonalizable.

2 Existe una base de Rn formada por vectores propios de A.

3 Todos los valores propios de A son reales y para cada valorpropio coinciden su multiplicidad algebraica y geometrica.


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

Ejemplo. Diagonalizacion de matrices

Ejemplo

Diagonalıcese la matriz

A =

2 0 0−6 2 63 0 −1

.


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

Calculo de Ak

Teorema

Sea A ∈Mn con valores propios λ1, λ2, . . . , λn, entonces losvalores propios de Ak son λk

1 , λk2 , . . . , λk

n .

Cada vector propio de A sigue siendo vector propio de Ak , y siP diagonaliza a A, entonces P tambien diagonaliza a Ak .

Dk = (P−1AP)(P−1AP) · · · (P−1AP) = P−1AkP.


7.1Determinante

Definicion

Propiedades

Calculo



Independencialineal

Bases ydimension



Calculo de Ak

El caso particular A−1

Observacion

Si A ∈Mn es invertible y tiene valores propios λ1, λ2, . . . , λn,entonces los valores propios de A−1 son

1

λ1,

1

λ2, . . . ,

1

λn.

tema 7. valores y vectores propios - uah.es · lineales y clausura lineal independencia lineal...

Documents