ALGEBRA LINEAL AGO-DIC 2014

VECTORES Y VALORES PROPIOS

Contenido Definicin de vector y valor propio Ecuacin Caracterstica Polinomio Caracterstico Multiplicidad Algebraica y Multiplicidad Geomtrica Determinacin de Valores propios Determinacin de Vectores propios

Vectores propios normalizados Diagonalizacin

Definiciones: VALORES Y VECTORES PROPIOS Los valores y vectores propios se conocen tambin como

eigenvalores y eigenvectores. Se utilizan generalmente en sistemas lineales de ecuaciones

homogeneos que representan problemas en ingeniera de equilibrio dinmico (vibraciones, elasticidad, sistemas oscilatorios).

[A][x] = [0] Del SELSH mostrado anteriormente, se pueden obtener

soluciones no triviales (variable x distinta de cero). Generalmente estas soluciones no son nicas, ya que las ecuaciones simultneas establecen relaciones entre las x, las cuales pueden crear vectores con distintos valores, cada vector puede satisfacer al sistema, es decir puede existir ms de un vector solucin.

Por lo cual el SELSH puede representarse tambin de la siguiente forma

[A][x] = [x] Donde: es un valor propio y x es el vector asociado al valor

propio, o bien el vector propio. Para cada valor propio debe de existir un vector

propio para que la matriz [A] sea digonalizable.

De la ecuacin [A][x] = [x], se tiene que: [A][x] - [x] = 0 Factorizando [x]: [x] ([A] - )= 0 Aqu es necesario que se multiplique por una matriz identidad ya que no podemos restar un escalar a una matriz: [x] ([A] - [I]) = 0 [x] matriz de vectores propios ([A] - [I]) matriz de donde se obtendrn los valores propios

Ecuacin Caracterstica ([A] - [I]) = 0 es una matriz de cuyo determinante se

obtiene la ecuacin caracterstica: [A] - [I] = 0 ECUACIN CARACTERSTICA

|[][]|=|11 12 13 1 21 22 23 2 31 32 33 3 1 2 3 |=0

Polinomio Caracterstico

Observe que para resolver el determinante, se resta a cada uno de los elementos de la diagonal principal.

El polinomio resultante de desarrollar el determinante se llama POLINOMIO CARACTERSTICO.

Todo valor propio debe de ser una raz del polinomio caracterstico.

()=|[][]|= (1)+(1)1++

Multiplicidad Algebraica La multiplicidad algebraica M.A., es la cantidad de veces que un valor propio se

repite como solucin en el polinomio caracterstico. Por ejemplo si los valores propios son: =, =, = La multiplicidad algebraica para el valor de = porque se

encuentra tres veces como raz del polinomio caracterstico. =, =, = La multiplicidad algebraica para el valor de = porque se

encuentra dos veces como raz. La multiplicidad algebraica para el valor de = porque se encuentra 1 vez como raz del polinomio caracterstico.

=, =, = La multiplicidad algebraica para el valor de = , = , = porque se encuentra cada uno una sola vez como raz del

polinomio caracterstico.

Multiplicidad Geomtrica La multiplicidad geomtrica M.G., es la cantidad de vectores en

cada subespacio de valores propios: Si la M.A = k , donde k representa el nmero de races, la M.G. = 1, 2, 3, , k Si M.A. = M.G. la matriz [A] es simtrica. Si M.A. = M.G. la matriz [A] es diagonalizable, lo que quiere decir

que existe una matriz diagonal que se obtiene de la siguiente operacin: []= []1[][], donde [C] es la matriz de vectores propios, y [] contiene en su diagonal principal a cada uno de los valores propios. []=[1&0&0@0&2&0@0&0&3]

Ejemplo: Sea la siguiente matriz Determine: a) Ecuacin Caracterstica b) Polinomio Caracterstico c) Valores Propios d) Multiplicidad Algebraica y multiplicidad geomtrica e) Vectores Propios f) Vectores Propios Normalizados g) Demuestre que la matriz es diagonalizable

[]= [1&2@2&1]

Solucin: a) Ecuacin Caracterstica Sabemos que la ecuacin caracterstica resulta de: [A] - [I] = 0 Donde hay que restar a los elementos de la diagonal

principal y resolver el determinante: |[][]|=|1&2@2&1|= 0 = (1)24= 223=0 La ecuacin caracterstica es =

Solucin: b) Polinomio Caracterstico El polinomio caracterstico se obtiene de la ecuacin

caracterstica: La ecuacin caracterstica es = Por lo tanto el polinomio caracterstico es: ()= Note que es la misma ecuacin solo que el polinomio no se

iguala a cero y se pone en trminos de P().

Solucin: c) Valores Propios o eigenvalores Los valores propios son las races del polinomio

caracterstico, por lo tanto ser necesario recurrir a algn mtodo de factorizacin directa u otro, que nos permita conocer sus soluciones.

()= El polinomio puede factorizarse directamente, ()= =()(+) Por lo tanto los valores propios son: = =

Solucin d) Multiplicidad Algebraica y Multiplicidad Geomtrica

La multiplicidad algebraica para los valores de ={, } es 1 ya que aparecen una sola vez como solucin

La multiplicidad geomtrica para los valores de ={, } es tambin 1 ya que para cada valor propio slo puede existir un vector propio.

Entonces M.A. = M.G. = 1 para = M.A. = M.G. = 1 para = Por consiguiente podemos decir que la matriz es diagonalizable. Quiere decir que existe una matriz diagonal que se obtiene por

medio de la operacin []= []1[][] y que tendr a 3 y -1 como elementos de su diagonal principal

[]= [1&2@2&1]

Solucin e) Vectores Propios Sabemos que para cada valor propio existe un vector propio,

por lo tanto comenzamos por obtener el vector propio para el valor de =

[x] ([A] - [I]) = 0 esta es la ecuacin que relaciona los vectores propios con los valores propios sustituyendo: [1&2@2&1][1@2]=[0@0] =1

Sustituyendo: [1(1)&2@2&1(1)][1@2]=[0@0] [2&2@2&2][1@2]=[0@0]

[2&2@2&2][1@2]=[0@0], de aqu se obtiene un sistema de ecuaciones homogneo que se resuelve por el mtodo de Gauss-Jordan de ser necesario.

Resolviendo la multiplicacin entre matrices queda el sistema: 21+22=0 21+22=0 [2&2@2&2|0@0] [1&1@0&0|0@0] donde de la ltima

matriz nos da el vector propio. 1+2=0 2= 2

Solucin e) Vectores Propios

El sistema tiene solucin mltiple, donde 2 es la variable libre. 1+2=0 2= 2 Despejando 1 : =2 = 2 Obtenemos ahora el vector que ser la base para el valor propio igual a -1 (=1)={( 2, 2) 2} Esto se lee de la siguiente manera: El conjunto de vectores para el espacio vectorial de =1, son los vectores en 2 cuya primera componente es un nmero negativo y su segunda componente es igual a la primera pero positiva.

Solucin e) Vectores Propios

Ahora obtenemos el vector para la base de: (=1)={(2, 2) 2} (=1)={2(1, 1) 2} Por lo tanto el vector propio para =1es 1=(1,1)

Solucin e) Vectores Propios

Solucin e) Vectores Propios Sabemos que para cada valor propio existe un vector propio,

por lo tanto comenzamos por obtener el vector propio para el valor de =

[x] ([A] - [I]) = 0 esta es la ecuacin que relaciona los vectores propios con los valores propios sustituyendo: [1&2@2&1][1@2]=[0@0] =1

Sustituyendo: [1(3)&2@2&1(3)][1@2]=[0@0] [2&2@2&2][1@2]=[0@0]

[2&2@2&2][1@2]=[0@0], de aqu se obtiene un sistema de ecuaciones homogneo que se resuelve por el mtodo de Gauss-Jordan de ser necesario.

Resolviendo la multiplicacin entre matrices queda el sistema: 21+22=0 2122=0 [2&2@2&2|0@0] [1&1@0&0|0@0] donde de la ltima

matriz nos da el vector propio. 12=0 2= 2

Solucin e) Vectores Propios

El sistema tiene solucin mltiple, donde 2 es la variable libre. 12=0 2= 2 Despejando 1 : =2 = 2 Obtenemos ahora el vector que ser la base para el valor propio igual a 3 (=3)={(2, 2) 2} Esto se lee de la siguiente manera: El conjunto de vectores para el espacio vectorial de =3, son los vectores en 2 cuya primera componente y segunda componente son iguales y positivas

Solucin e) Vectores Propios

Ahora obtenemos el vector para la base de: (=3)={(2, 2) 2} (=3)={2(1, 1) 2} Por lo tanto el vector propio para =3es 2=(1,1)

Solucin e) Vectores Propios

Solucin f) Vectores Propios normalizados Del inciso e, los vectores propios son: 1=(1,1) 2=(1,1) Cada componente del vector propio se dividir entre su norma

(mdulo, magnitud), para hacerlo un vector unitario. 1= (1,1)/(1)2+ (1)2= (1,1)/2=(1/2, 1/2) =(/, /) 2= (1,1)/(1)2+ (1)2= (1,1)/2=(1/2, 1/2) =(/, /)

Solucin g) Demuestre que la matriz [A] es diagonalizable

Podemos demostrarlo, a travs de las multiplicidades algebraica y geomtrica. Ya que al encontrar un vector propio para cada valor propio M.A.=M.G., sabemos que [A] es diagonalizable.

Tambin podemos darnos a la tarea de buscar la matriz [D] que contiene a los valores propios mediante la siguiente operacin: []= []1[][], donde [C] es la matriz de vectores propios.

Diagonalizacin []= []1[][] []=[1&1@1&1] las columnas son los vectores

propios []1=[ 1/2&1/2@1/2&1/2] es la matriz

inversa de la matriz de vectores propios. []=[ 1/2&1/2@1/2&1/2][1&2@2&1][1&1@1&1]

[ 1/2&1/2@1/2&1/2][1&2@2&1]=[ 1/21+1/22& 1/22+1/21@1/21+1/22&1/22+1/21]=[1/2& 1/2@3/2&3/2] []=[1/2& 1/2@3/2&3/2][1&1@1&1]=[1/211/21&1/211/21@3/21+ 3/21&3/21+3/21]=[1&0@0&3] []=[1&0@0&3]

Referencias: www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma00-130/lecturas/

m130-09.pdf www.uaem.mx/posgrado/mcruz/cursos/mn/eigen.pdf